- 1 名前：1 mailto:age [2010/03/06(土) 12:44:09 ]
- [２つの封筒問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
一方を選んで中を見ると10000円だった。
他方の袋に入っている金額は5000円か20000円なので
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？
この問題・類題に関する意見・質問のスレです。専用スレ立てました。
この問題を他のレスで質問したりすると、高頻度で荒れる原因になりますので
できるだけ、こちらに書くようお願いします。
こんな確率求めてみたい その1/8
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/
から派生しました。
- 186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 00:34:58 ]
- s5179さん
あまりに混乱しているようなのでフォローです。
エクセルできますよね。
数学は実際に計算やってみるのが基本です。
A列に1,2,3,4,5,6,7,8,9,10と入力
B列に=2^A列
C列に=B列*2
D列に=B列/2
と入力します。
意味的には、
A列が一様な整数分布（の一部）→封筒の組を選ぶ
B列が手にした数値（割り切れる問題を避けるため2^Aにしてあります）
C列が交換して増える場合
D列が交換して減る場合
仮の計算のため、とりあえずは１から１０で計算します。
11行目で合計を求めてください。
B列が2046、C列が4092、D列が1023になります。
BからCの場合と、BからDの場合はA列の整数を一様に取ることができれば1/2になることも理解できると思います。
この場合のBの数値を手にした人の期待値は、
=（Cの合計＋Dの合計）/（Bの合計*2）
で計算でき、上の数値を使って計算すると1.25になります。
- 187 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 00:35:43 ]
- 続き
さて、この表をよく見るとこのパラドクスの原因がどこにあるか一目瞭然で、
10組しか封筒がないのであれば、整数10のときの封筒の組からは2048に増えることは無く、
「交換しない！」が正解なので、2048を1024へ書き換える。
同様に整数1のときも書き換えるとパラドクスは消え、比率は1.00になります。
いまは１から１０でやりましたが、この上限を無限に飛ばしたのがもとの問題だと考えています。
私の立場は、
・片方の封筒の中身を確認したあとの条件付確率として、1.25倍はパラドクスではない
・とはいえ、整数（or自然数）全体の一様分布を作ることはできない
→封筒を引く前の期待値が発散してしまい、ここがパラドクスの原因
・当然、他の人が仮定しているような発散しない分布を仮定すれば、交換後も1倍になる
という感じです。
- 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 02:23:52 ]
- >>186-187
この問題を現実に置き換えることは不可能ということでよろしいですか？
それなら同意見。
- 189 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 04:30:13 ]
- ありがとう御座います。
>>186-187
そう、そこです、そこが混乱する所です。
A列に1,2,3,4,5,6,7,8,9,10と入力
B列に=2^A列
C列に=B列*2
D列に=B列/2
これのA列を正の実数にして封筒の1方に
C列を一方に入れパッケージしたものが自分の考える大きな封筒の中身です。・・・①
A列とB列のパッケージでも同じ分布の封筒になるかと思います。・・・・②
しかし①と②の大きな封筒の色は違いませんでしょうか？
①と②を同じ箱に入れると①と②の大きな封筒の枚数は同じですが
数値は発散してしまいます。
B列とD列の大きな封筒の色は同じです、少し色は薄いかもしれません。
（A、B）の大きな封筒＜黒い＞、（A、C）の大きな封筒＜白い＞、（A、D）の大きな封筒＜A、Bのものより少し薄いが十分に黒い＞
のまだらな箱の中身が出来るように思います。
あとE列に(1/2)^A列の封筒も在りかと思います。（A、E）の大きな封筒の色はグレー？か？・・・④
①、②、③、④が混ざった箱はとてもカオスで自分の理解に耐えません、ええ頭が爆発しそうです。
A列をただの実数にしてみんなに封筒を引かせ借金まみれにしたくなります。
- 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 04:31:33 ]
- 整理ができるまであと800レス強で足りますかのう
- 191 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 04:33:53 ]
- 訂正
>>189の②において同じ分布としたのは誤りです。
寝起きなのでご容赦願います・・・・
ではまた寝ます。
レス待ちは寝ることにしました、
これで健康が取り戻せそうです。
- 192 名前：s5179 [2010/03/13(土) 04:37:05 ]
- >>190
そうじゃのう、わしらが死ぬ前に解けるとよいのう
- 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 04:53:28 ]
- ＞・とはいえ、整数（or自然数）全体の一様分布を作ることはできない
＞→封筒を引く前の期待値が発散してしまい、ここがパラドクスの原因
一様分布でない分布のもとでも、同様のパラドクスが起きるように設定できるらしい。
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
その場合でも、封筒を引く前の期待値は発散するようだが。
- 194 名前：s5179 [2010/03/13(土) 05:46:11 ]
- 寝付けなかったので、寝る前に補足
>>189
の②のパッケージの仕方は【２＾A、２＾（A+1)】です、④も同様です。
④の色は青？
せっかく円と言う単位が付いているので
Aは正の整数
一方はA円、もう一方は２A円
Aの値の範囲が∞までの場合と160,000円くらいまでに分けて考えたらどうでしょうか？
そうすれば１≦A≦80,000で
箱の中身は大きな封筒80,000枚で考え易いののですが・・・・
まあ、この大きな封筒にパッケージと言う考え方の同意自体取れていないのですが・・・
明示されていない条件を明示して（または仮定して）
みなで同じ問題を解かないですか？
- 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 05:48:52 ]
- 寝付けなかったので、
- 196 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 10:36:23 ]
- >>188
そうです現実問題としては、整数・自然数全体に一様分布を入れることはできないと考えています。
- 197 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 11:01:03 ]
- >>189
失礼ですが、混乱されているようなので、いきなり連続体上での分布を考えるのは避けたほうがよいと思います。
今回の例示を1～10の整数にしたのは、離散であればいろいろ検討しやすいと思ったからです。
私の考える、この問題の作業ステップは
・1～Nの自然数から1/Nの確率（一様）でひとつ選択し、nとする
・２つの封筒として、「2^n」と「2^(n+1)」を用意
・プレイヤーはこのうちのひとつを選択し、中身を確認
という流れです。
この1ステップ目のN大きくなり、最終的に無限大に発散させたものがこの問題の1例となります。
※他の例を作成することも可能
繰り返しになりますが、無限大に発散させた状態で確率を論じることは不可能
考え方としては、
・1/Nの確率でひく、最大値Nを引かない限り1.25倍になることは異論がないと思います。
→ひとつの封筒の中身を確認し、2^(N+1)でなければ1.25倍
・このNを大きくしていくと、最大値Nを引く確率はどんどん小さくなる
・Nを無限大まで発散させた場合を想定すると、どんな数値を引いても、それは最大値ではないので、1.25倍が適応される
という風に考えています。
- 198 名前：s5179 [2010/03/13(土) 12:42:54 ]
- 186さん
まず１点、2^Nは不味いんじゃないでしょうか？
自然数ですよ
たとえば2^N=10000としてNの値を教えて頂きたいのですが・・・
- 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 15:42:18 ]
- >>198
俺は>>197=>>186ではないが、
＞・1～Nの自然数から1/Nの確率（一様）でひとつ選択し、nとする
＞・２つの封筒として、「2^n」と「2^(n+1)」を用意
>>197の場合、１からNまでの任意の自然数なのはｎの部分のことであって
2^nが１からNまでの任意の自然数とは言っていない
- 200 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 15:54:28 ]
- >>198
（199さんフォローありがとうございます）
199さんの言うとおりで、いきなり任意の自然数で考えると、２で割り切れない不都合が起きるので、2^Nに置き換えて考えています。
2で割れる、有理数体や実数体で考えると、自然数での単純さが無くなり混乱の元となるので、代替案としての説明です。
すぐには納得行かないかもしれませんが、基本的な考え方は一緒なので、このやり方で一度考えてみませんか。
- 201 名前：s5179 [2010/03/13(土) 17:26:34 ]
- >>200
A=2^nとすると
2^(n+1)=2・2^n=2Aです。
つまり（A、２A）で表す事が可能です。
金額の比は1:2とありますので全てのやり方で応用可能です。
期待値12500派の人は（A、２A）ではイケナイ何かやましい事があるのですか？
<<<例えば最大値の半分を超る値を初めに引けないとか>>>
- 202 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 18:33:09 ]
- >>201
確かに私は期待値12500派ですが、（A,2A)でいけないとは、言っていませんよ。
ただし、普通にAが自然数であれば、奇数は2Aになりえないので、交換するときに
余計な条件となりかねないので、今回の思考実験では避けたいのです。
＃Aが有理数や実数とする場合は別の困難が発生します。
自然数全体と2^n（n:自然数）は１対１対応するので、ひとつの例としては問題ないと考えています。
- 203 名前：s5179 [2010/03/13(土) 18:55:41 ]
- >>186
問題はない？
先ほど出した
『2^ｎ=10000としてｎの値を教えて頂きたい』
の答えが必要になりそうですね
答えられないのでしたら2の累乗を使うのであれば対数も使えるように
実数に代えて下さい
- 204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 20:17:24 ]
- 期待値12500を満たす母集合を考えると、有限ではありえない。
無限の母集合から何かを選択する操作に、統計とか期待値の概念はない。
- 205 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 20:18:31 ]
- >>203
いやまあ、どうしても実数で考えたいというであれば、止めはしません。
実数で考えて、混乱されているようなので、自然数（整数）で考えてみることをお勧めしたつもりです。
実数上での確率の扱いに慣れているのであれば問題ないです。
（とてもそのようには見えませんでした）
私もs5179さんのおっしゃるように封筒の作り方を確立することには賛成です。
私の提案が、自然数nに対して、「2^n」と「2^(n+1)=2*2^n」の組をつくることです。
この利点は、最大値と最小値以外であれば、どの数値を引いても勝つ確率が1/2であることがわかりやすいことです。
- 206 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 20:27:39 ]
- >>203
欠点としては、もともとの問題の10000円に対する自然数nが設定できないことですね。
（まあ、「2500*2^n」「2500*2^(n+1)」にしてもいいのですが）
とにかく、自分の理解できるところまで引き返してほしいです。
（複雑なものを複雑なままで考えても前進は厳しいですよ）
- 207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 20:32:05 ]
- 結局期待値 1.25 って言ってる人は、
任意の実数xを選んだとき、(2x + x/2)/2 が 1.25x だと言ってるだけじゃないの？
そんなの統計でも期待値でもない。
- 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 20:34:17 ]
- 俺の知る限り、実証する方法のないものは期待値とは呼ばない。
- 209 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 20:46:11 ]
- 私は
（A、２A） でAは自然数を推します。
値の分布も均一で密度の偏りもありません。
Aの値の範囲は∞の場合と有限１≦A≦40000の場合を分けて考えればよいと思います。
設問はA＝10000で奇数ではないので、当面は奇数が出る問題は考える必要が無いかと思います。
- 210 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 20:49:43 ]
- >>209
s5179さん
ある封筒を開けて、その数値が9999だった場合はどのようにするのですか？
または、その数値は入っていないのか？
（期待値を理解するためには、封筒に含まれる数値の組の分布を考える必要があります）
- 211 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 21:40:57 ]
- >>209
入っています。
入らなくする為に（2A、4A)も考えましたが。
そこまで作為的に値を決めた場合、その問題は>>1とは別問題であると考えます。
あくまで>>1の解釈の統一を望んでいます。
- 212 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 21:42:54 ]
- >>210
186さんもちろん9999の場合は次の封筒を引いた方が良いと思います。
- 213 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 22:03:07 ]
- 186さん
上限40000としたときの封筒の組み合わせは20000通りです。
その内の半分には奇数が含まれています。
その半分が選択した封筒の組み合わせになった場合1/2の確率で奇数を初めに引き
そこで必勝となります。
20002以上の数を引いても必勝です、これも組み合わせの半分は対象となり1/2で必勝です。
その他の場合を考えます。
その他の場合に必ず得をする（その試行の獲得賞金の平均を上回れる）戦術があるか考えます。
>>1の問題は取りあえず置いておいて上限200くらいでやってみるのも一興かと
- 214 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 22:07:42 ]
- >>211
s5179さん
>>1に基づいて考えたいということはわかりました。
ただし、1には「入っている金額の比は１：２とする」という設定があるので、これを満たすためには、
どの封筒をあけても、1:2になる数値が必要と考えています。
この２点を満たすために、
「2500*2^n」「2500*2^(n+1)」（n:自然数）の封筒の組を考える
では、いけませんか。
自然数全体で、1:2の比の存在のありなしを考えると、素数分布を考えるような感じで話がそれすぎると思います。
（もとの単純なパラドクスからはるかにずれてしまいます）
- 215 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 22:20:31 ]
- >>214
186さん下記の封筒の組は１：２になっていませんか？
なにか自分が気づいていないミスでもあるのでしょうか？
（A.2A)
(1.2)
(2.4)
(3.6)
(4,8)
(5.10)
(6.12)
・
・
・
(49.98)
(50.100)
・
・
・
(10000.20000)
・
・
(20000.40000)
- 216 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 22:27:59 ]
- >>213
わかりました。それでは、簡単のためA:1～10でやってみましょう。
大きい封筒が、10ありその中に小さい封筒が20。
最初に小さい封筒をあけて出てくる数値は、
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20のどれか。
（このうち、2,4,6,8,10は２つ入っています）
このうち、1,3,5,7,9,12,14,16,18,20を引いた場合は迷うことなく終了。
（今回の期待値計算から除きます）
2のとき、1が1/2、4が1/2 （1.25倍）
4のとき、2が1/2、8が1/2 （1.25倍）
6のとき、3が1/2、12が1/2 （1.25倍）
8のとき、4が1/2、16が1/2 （1.25倍）
10のとき、5が1/2、20が1/2 （1.25倍）
となり、2,4,6,8,10を引いたときの条件付確率では、1.25倍になります。
ただこれは単なる条件付確率で、パラドクスの解決に役に立たないと思います。
- 217 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 22:32:26 ]
- >>215
いえ、それでも問題はありません。
ただし、上に書いたようにいびつな形で無視される場合があり、
もともとのパラドクスがどこにあるのかわかりづらくなると考えています。
＃単純な条件付確率の話をしたいわけではないでしょう。
どの数値を引いても問題が成立し、かつ1.25倍にならないと、元の問題のパラドクスの楽しさが損なわれます。
- 218 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/13(土) 22:36:13 ]
- 確率スレは盛り上がるよな
- 219 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:02:20 ]
- >>216
186さん、それを親から見ると
（１、２）の封筒で 1/2の確率で先１必勝＜＞先２後１ 損得なし
（２、４）の封筒で 1/2の確率で２を先に引く後に４になる＜＞1/2の確率で４を先に引き２になる 損得なし
(３，６）の封筒で 1/2の確率で先３必勝＜＞1/2で先６後３ 損得なし
（４、８）の封筒で 1/2の確率で先４後８＜＞1/2で先８後４ 損得なし
（５、１０）の封筒で 1/2の確率で 先５後１０＜＞1/2で先１０後５ 損得なし
・
・
・
・
（１０、２０）の封筒で 1/2の確率で 先１０後２０＜＞1/2の確率で先２０後１０ 損得なし
どうでしょう？損得の観点からみて、必ず交換で得しました？
大きい封筒を先に引けないと期待値が上がってしまう説明になりませんか？
- 220 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:11:15 ]
- >>219はなんかいろいろおかしな事になってます
確認せずに書き込みすみませんでした
- 221 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:17:12 ]
- しかし
２つの封筒問題を解くときに
封筒を引く側だけの視点でなく、封筒を出す側からの>>219のような考査も必要なのではないでしょうか？
値を∞にしても親からの視点であれば、
子がいろいろと考えてるな損得は運しだいなのにと思うはずです。
>>219の件は本当にどうもすみませんでした
- 222 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:18:50 ]
- >>219
いくつか勘違いがあるかもしれませんので、確認のため、私の考えをもう一度
・分布が期待値が計算できるものの場合、パラドクスは発生しません
（今回のように離散で有界の場合）
・1.25倍になり、パラドクスが発生するようにみえるのは、それが「現実には構成できない」からです。
問題に戻ると、パラドクスの発生源は端点にでるので、そこをぞんざいに扱うとパラドクスは発生しません。
前のスレで紹介されていましたが、
「二人で勝負します、ひとりが自然数全体からある数字を（等確率で）先にひとつ選ぶ」
「それがどんな数字であろうと、後から引くほうがそれより大きい数値を引く確率が大きい」
というパラドクスと根は同一だと考えています。
つまりこのように、自然数全体から一様にひとつの数値を選ぶこと自体が不可能。
- 223 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:32:01 ]
- 186さん
２つの封筒問題で一つの封筒を見た後、
他方の封筒を選択したほうがよいかどうかお答えください。
私は（頭の悪い書き方ですが）
（∞、2∞)の封筒の組でも同様の損も得もしない状況が生まれると考えています。
もちろんこの場合自分が２∞を引いた事は知る由も在りません。
他の場合も同様で取り得る値が実数になってしまうと奇数の縛りもなくなり
すべての事象で引いても引かなくても同じになるかと思います。
因みに>>1の10000を引いた場合においても同じです。
- 224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 23:33:49 ]
- >>223
>それが「現実には構成できない」からです。
て回答してるじゃん。
- 225 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:40:09 ]
- 有限でも期待値１．２５になったじゃん
有限の自然数で解こうぜ兄貴
- 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 23:41:54 ]
- >>222 が最終解だな。この設問だと分布が不明なため、期待値自体が存在しない。
- 227 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:44:10 ]
- >>223
>>224（フォローありがとうございます）
損や得という言葉を不明確に使うのは危険です。
先にあげたように、
「このような状況を作ることは不可能」
「（不可能であることを無視して）1のような状況の元では、交換すれば期待値が1.25倍になる」
「この状況下では、得になる（＝多いほうをとる）か損になる（少ないほうをとる）かは1/2であると仮定している」
大きい封筒（中に２つの封筒）の視点から見たら、つまらない問題になってしまいますよ。
- 228 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:47:50 ]
- >>225
OKです。
なので、前提をすり合わせたいのですが、今の時点でなかなか一致点が見つかりません。
封筒の分布だけでも認めてもらいたいのですが。
- 229 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:59:06 ]
- 個人的には
（１，２）の場合
（２，４）の場合
（４、８）の場合
（A、２A）の場合
（X、２X）の場合
それぞれの事象は独立で他に影響を及ぼさない
それぞれの事象の期待値は２つの封筒の合計金額の半分である。
期待値は１つめの封筒を開けた時ではなく２つの封筒を選んだときに出題者が知る
選択によって期待値の増減は無い
封筒を一つ開けただけでは期待値は分らないと思います。
パラドクスは１つめの封筒を見ると、その封筒を後で選ぶ可能性が消えること
それにより期待値？が上がってしまうこと
- 230 名前：186 mailto:sage [2010/03/14(日) 00:19:17 ]
- >>229
それでは、s5179さんの「期待値」と、1の問題に設定されている「期待値」の意味が異なっていますよ。
小さい封筒を開けたときに、もうひとつの数値が設問の「期待値」です。
大きな封筒の期待値で考えるならば、
・小さい封筒を開けると、「2」だった
・大きい封筒（1,2）か（2,4）のどちらか
・この二組の「大きい封筒」が選ばれる確率は同等としてみる
・（1,2）の封筒の期待値は1.5、（2,4)の封筒の期待値は3（しかし、これは小さい封筒を弾いている人には関係ない）
・２つの組が同等の確率であれば、2→1が1/2、2→4が1/2で期待値は、2.5（1.25倍）
どこが問題ですかね？
- 231 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/14(日) 00:30:28 ]
- >>230
186さん勿論理解しております。
期待値、獲得金額、のズレからパラドクスのポイントを探っています。
- 232 名前：186 mailto:sage [2010/03/14(日) 00:40:25 ]
- >>231
であれば、OKです。
s5179さんの考えを聞かせてもらったほうが、話は早いかもしれません。
・「2」を引いた
・（1,2）の封筒の期待値は1.5→この場合、期待値+0.5
・（2,4）の封筒の期待値は3→この場合、期待値-1
・この２つの大きな封筒の出現率が同一なら、このままでいたら期待値はマイナス
→じゃあ交換したほうが得
ってな感じですかね。
- 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 00:46:49 ]
- テスト
- 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 00:49:01 ]
- 「パラドクス｣という用語が何か誤解を生む種のように見える
sの人と186の人、意味を合わせておいた方がいいと思うよ
- 235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 00:51:10 ]
- この問題、「交換した方がいい」が正解みたいな空気になってるけど、それ間違いだよ
- 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 00:53:27 ]
- >>207
設問と
(2x + x/2)/2 が 1.25xとのギャップ、ずれに気付くかどうか
(2x + x/2)/2 が 1.25x派は結局
「(2x + x/2)/2 が 1.25xだから(2x + x/2)/2 が 1.25xである」を
回りくどく言って仮定と結論が同じに見えなくする努力をしてるだけだから
- 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 00:54:56 ]
- >>234
言葉遊びはすでに開始しているんだぜ
- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 01:03:10 ]
- >>236
読みにくい
「(2x + x/2)/2 が 1.25x」とのギャップ
のように、括弧を使ってくれ
- 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 01:22:42 ]
- 本当だな＞言葉遊び
- 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 04:54:23 ]
- ２つの封筒であることが問題を複雑にしている。
１つで考えれば問題の本質がわかりやすい。
１、有限で一様な確立分布
２、有限で非一様な確立分布
３、無限で一様な確立分布
４、無限で非一様な確立分布
- 241 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 05:08:04 ]
- １、（１から６までの整数が）書かれたカードのうち１枚が封筒に入っている。
ただし、どのカードが入っているかは同様に（確からしい）。期待値は？（答３．５）
２、（同文）、、、（確かではない）。期待値は？（答、わからない）
３、（正の実数が書かれた）、、、（確からしい）。期待値は？
（答、ありえない問題設定。そんな確立分布存在しない。）
４、（正の実数が書かれた）、、、（確かではない）。期待値は？（答、わからない）
- 242 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 05:20:34 ]
- いかさまされたサイコロの期待値なんてわからない。
確立の問題では、通常（問題文に書かれていなくても）「同様に確からしい」とする。
このため、二つの封筒の問題の場合にも、他方の封筒の金額が２倍か１/２かは、
同様に確からしいと考えてしまう人が多い。
しかし、そんな確率分布は存在しないから問題が成立しない。（←ここ重要）
一方、「同様に確からしい」としない場合には、確率分布が分からない以上答えは
分からない。
よって、どちらの立場をとっても問題が成立していない。
- 243 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 05:28:21 ]
- 最後に現実の場合について述べておく。
その場合、相手をよく見て確率分布を推測する。
これに照らしあわせて、考えて選択すると良い。
- 244 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/14(日) 08:31:37 ]
- >>241
240さん、この３の答えも分らないで良いのでは？
240さんは頭がよいようなので
>>1の試行の前にサイコロをふって出た目×１万円を上限として問題を解いてみてください、
ただしあまりお金がないので４，５，６が出たときはサイコロを振りなおす。
封筒の中身は（n,2n)
これだったら実地可能だと思いませんか？
答えをお聞きしたい
- 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 08:49:56 ]
- >>244
>これだったら実地可能だと思いませんか？
それは別の問題じゃね？このスレで検討する意味ないよ。
- 246 名前：186 mailto:sage [2010/03/14(日) 09:13:51 ]
- >>244
（私は240ではありませんが）
サイコロの1,2,3で、（1,2）（2,4）（3,6）の組ができます。
最初の封筒をあけて出てくる金額（万円）は
1,2,2,3,4,6（わかりやすさのため、2を2回書いています）
このうち、1,3,4,6の場合→交換の問題が成立しない
2のとき、交換後1/2で1、1/2で4（期待値2.5、1.25倍）
となります。
これは以前話した、有限一様分布での条件付確率の問題と一緒ですよね。
>>232にも書きましたが、s5179さんがやりたいことをまとめてもらえませんか？
＃s5179さんが話したい内容がいまいちつかめません。
- 247 名前：186 mailto:sage [2010/03/14(日) 09:17:09 ]
- >>246
「やりたいこと」はいままでに書いてありますね。
「主張したいこと」をまとめてもらえませんか？
- 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 09:19:45 ]
- 何を主張したいかをまとめたい
- 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 09:25:17 ]
- なにかしら 1.25 になるものを探しているんだろうね。
みなさん、もうつきあうことないよ。結論出てるし。
- 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 09:26:00 ]
- どこにパラドックスが潜んでいるのかを明確にしたい
- 251 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 09:27:15 ]
- >240さん、この３の答えも分らないで良いのでは？
だめ。s5179さんは最も重要な部分について理解していないようなので、
かみくだいて説明する。
「封筒に自然数が書かれたカードが一枚入れられている。どの自然数が書かれているかは同様に確からしい。」
このような問題設定はありえない。
なぜなら1が入っている確立をxとすると、2が入っている確立、３が、４が、、、全てxとなる。
確立の全事象が起こる確率は1なので、
x+x+x+x+,,,,,,=1
これはありえない。
- 252 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 09:43:58 ]
- しかも封筒が二つの場合には二次元空間上の確率分布を考えなければならないので、少し難しい。
しかし、２倍と１/２の確立が常に同じと仮定すると同様の矛盾が現れる。
この問題の本質は「無限」にあるので、有限の場合はまったくの別問題。私はめんどうな計算問題には興味ない。
- 253 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 09:45:30 ]
- 訂正。上の文の始まりの「しかも」は削除。
- 254 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/14(日) 10:08:52 ]
- >>246
186さん問題を取り違えています。
４，５，６が出たときはサイコロを振りなおすが抜けています。
やり直して下さい。
>>252
高々可算の集合の問題なのに焦りすぎです。
メンドウな計算を避けて数学の問題を解くことは出来ません。
いつでもいいので気の向いた時に答えをお聞かせ下さい。
私の答えは、分らない、引いても引かなくても損も得もしないです。
【重要】
240さん、以下を証明するか、証明されている論文の提示を求めます。
出来ないならばあなたの脳内設定です。
脳内設定を声高に叫ぶのであれば、病院に行くことをお勧めします。
>1が入っている確立をxとすると、2が入っている確立、３が、４が、、、全てxとなる。
>確立の全事象が起こる確率は1なので、
>x+x+x+x+,,,,,,=1
>これはありえない。
- 255 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/14(日) 10:12:50 ]
- s5179って本物？
こんな攻撃的な人だっけか？
- 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 10:14:02 ]
- ＞脳内設定を声高に叫ぶのであれば、病院に行くことをお勧めします。
んなこと言ったらみんな病院行くことになるんんじゃね？
そんな人々が脳内条件を並べて曲りなりに会話するための隔離スレなんだから
- 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 10:14:46 ]
- >>255
今までにもけっこうボロが出てる
- 258 名前：186 mailto:sage [2010/03/14(日) 10:18:52 ]
- >>254
「4,5,6のとき振りなおす」という条件ですと、1,2,3の面しかないサイコロを振るのと同値ですよ。
（そこがどうしても納得いかないというのであれば、計算してもいいですが）
- 259 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 10:20:47 ]
- >1が入っている確立をxとすると、2が入っている確立、３が、４が、、、全てxとなる。
>確立の全事象が起こる確率は1なので、
>x+x+x+x+,,,,,,=1
>これはありえない。
具体的に何行目が理解できないの？
1行目は>251の仮定「どの自然数が書かれているかは同様に確からしい」より。
２行目は、確立の定義より。
３行目は１行目と２行目より明らか。
４行目も証明する必要ある？
- 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 10:25:34 ]
- 確立はいい加減やめようや
- 261 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/14(日) 10:25:57 ]
- 期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？
期待値だから得したことにはならない。wktkしただけ。
- 262 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/14(日) 10:26:11 ]
- せめて確率って書いて欲しいってことじゃね？
- 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 10:56:39 ]
- >>254
言い換えると、
x+x+x+x+,,,,,,=1
の系に対して、サイコロ振ってなにかを選択する操作は不可能。
なので、期待値は存在しない。
- 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 11:08:07 ]
- x+x+x+x+,,,,,,=1の系に対して、サイコロ振ってなにかを選択する操作は不可能。
なので、問題が成立しない
のほうがベターかな。
- 265 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/14(日) 11:09:15 ]
- 素朴な疑問。
サイコロの目を１万倍にする理由は何？
そのまんまでいいじゃんね？
もしくは＄にするとかさ。
- 266 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 11:11:18 ]
- 私の４行目の主張は、もっとシンプルなものです。
「x+x+x+x+,,,=1を満たす実数xは存在しない」ということです。
- 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 11:16:30 ]
- >>266
なるほどそうか。
- 268 名前：186 mailto:sage [2010/03/14(日) 11:17:40 ]
- s5179さん
相手にだけ求めるのは変ですので、繰り返し部分が多いですが、もう一度私の論点以下に書きます。
・自然数全体で考える前に、2^n（n:自然数）の系列を考える
2^nの系列で考える利点は、特異点が端点のみになること
自然数全体で考えたい場合は、任意の奇数*2^nの系列の合成を考えることにより実現でき、結局は2^nの場合を考えれば十分
・封筒の作成方法
0～N-1（N:任意の自然数）のなかから、1/Nの確率でひとつの自然数nを取り出す
このnを使用し、（2^n、2^(n+1)）の数値が入った大きい封筒を作る
・小さい封筒をあける
この封筒の数値を2^k（k:0~N）と表記する
k=0のとき、交換すれば、必ず1→2になる
k=Nのとき、交換すれば、必ず2^N→2^(N-1)になる
これら、両端点以外の場合（k:1～N-1）
交換後、1/2の確率で2^k→(2^k)/2となり、1/2の確率で2^k→(2^k)*2となる
この場合、期待値は元の数値の1.25倍
・Nを十分に大きくすれば、「ほとんどすべての場合」両端点以外の場合になり、期待値は1.25倍となる
→このNを無限に発散させると、「ほとんどすべて」が「必ず」に変わり、
交換後の期待値が1.25倍で固定されるというのがこの問題のパラドクス
・このパラドクスの原因は、「このNを無限に発散させることが実現不可能」からきている
- 269 名前：186 mailto:sage [2010/03/14(日) 11:20:51 ]
- >>266
240さん
見えない相手に対して、あまりに雑に書きすぎだと思いますよ。
表現だけ見ると、「積分論が成り立たない！」になっちゃいますよ。
- 270 名前：7 mailto:sage [2010/03/14(日) 11:53:07 ]
- 横からすまんが、ちょっと質問なんだけど
自然数から等確率に１つの数nを選んだ時に
[nが偶数である確率]=1/2
[nを3で割ると１あまる確率]=1/3 とか
[n=1である確率]=0
[n=0.5である確率]=0
[nが自然数である確率]=1
[n=1である確率]:[n=2である確率]=1:1
[n=1である確率]:[n=0.5である確率]=1:0
さらに自然数から等確率に１つの数mを選んだ時に
[n<mとなる確率]=1/2
っていうのを認めない立場？
例えば
自然数n,mを選んだ時にn<mとなる確率p
は
{1,2,…,N}から任意にn,mを選んだ時にn,mとなる確率p_(N)=(N-1)/2N
だから、p=lim_(N→∞){p_(N)}=1/2となる
とするのは駄目？
もちろん、このことをもって
自然数全体に一様な確率分布が存在するとは言わないけど、厳密にはありえないからこそ
「どの自然数が選ばれるかは同様に確からしいとした時、選ばれた数が条件Aを満たす確率p」
というのは「{1,2,…,N}のどれが選ばれるかは同様に確からしいとし
選ばれた数が条件Aを満たす確率をp_(N)とした時にp=lim_(N→∞){p_(N)}なるp」
つまり「∀ε>0,∃N∈{自然数全体},∀M∈{自然数全体},
p_(M)=({1,…,M}の中で条件Aを満たす要素の数)/({1,…,M}の要素の数)
[M>N⇒|p-{p_(M)}|<ε]」
と私は解釈して(この解釈が妥当である保障はない)考えているのだけど
こんな解釈した問題には興味ない？矛盾はあると思う？
- 271 名前：7 mailto:sage [2010/03/14(日) 11:57:40 ]
- あと、有界で期待値12500円の場合にもパラドクスが発生してると思うのなら
>>14の視点の混同が原因では？
確率の問題では期待値が高いことを得だとか有利だとか呼ぶこともあるけど
それは日常で使う得や有利という言葉の意味とは異なってるし
ゲームが全部終わった後での賞金(の合計)の大小についての"得"と
"他方の期待値は12500円だから換えた方が得"の"得"は
条件や意味が違うから別物であって、実際に交換して得しなくても矛盾はない。
未確認の金額の期待値と確認済みの金額の比を見て交換するかどうかを
判断する方法(個人の視点)と、２つ封筒の金額のうちの大きい方を最初に受け取った回数の期待値と
ゲームした回数の比＝(最初に受け取った金額が２つのうちの大きい方である確率)＝1/2
を見て交換するかどうかを判断する方法(場の視点)を混同すると矛盾してるように見える。
どちらの方法を選択する方が良いかを考えるには、ゲームのがどんな目的なのかとか
参加者がどんな行動をするのかが決まっていまいといけない。例えば>>7[2a]のような状況を
考えて、それと同時にA君の条件をC君に,B君をD君に対応させてC君とD君にもゲームして
もらうとする。A君がB君よりも多くの金額を得ようとするなら、交換はしてもしなくても有利にはならない。
A君がC君よりも多くの金額を得ようとするなら、A君は交換はするという戦略をとったほうがC君より有利。
と考えるのが個人的には自然だと思う。
別の例だと、公正なサイコロを１回か２回投げ、後に投げた方の目が
１～５ならその目の数が得点に、６の目がでたら得点として16点もらえる
というゲームがあったとする(２回投げるかは１回目が終わった後にプレイヤー自信が決められる)。
１回しか投げない時の得点の期待値は31/6で5より大きいけれど
だからといって、１回目に投げたサイコロの目が５の時に２回目を投げた方が良いかどうかは
この"良い"がどんな意味なのかとか、何を目的としたゲームなのかはっきりさせないと決められない。
- 272 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 12:08:56 ]
- 「封筒に自然数が書かれたカードが一枚入れられている。どの自然数が書かれているかは同様に確からしい。」
この問題から「どの自然数が書かれているかは同様に確からしい。」
という仮定を削除すれば、問題を満たす確率分布はいくらでも存在するよ。
「もし、確率分布を、、、と仮定（解釈）すると、、、」という話には、私は興味無い。
だってそれは別の問題じゃん。
- 273 名前：7 mailto:sage [2010/03/14(日) 12:48:51 ]
- おｋ。
＞だってそれは別の問題じゃん
それを言われると>>1の上部は終了ですな。
(派生元でも既に指摘されてたことではあるけど)
>>1の類題・別の仮定を加えた別の問題を考えたいなら
>>1には明記されていないことをちゃんと明確しないと解けないよ
というのが私の主張、ということで。
ただ、「x+x+x+x+,,,=1を満たす実数xは存在しない」という表現は
あまりよろしくないとは思うよ。x+x+x+x+,,,=1が何を意味するのか
明確にするか、別の表現に直した方が適切だと思う。
- 274 名前：186 mailto:sage [2010/03/14(日) 12:51:56 ]
- >>270
7さん
（私への質問かどうかわかりませんが）私の考えは、
・「自然数から等確率に１つの数nを選んだ時に」→これは実現できない
・[nが偶数である確率]=1/2、[nを3で割ると１あまる確率]=1/3
これらは、2つまたは3つの同値類に分類され、その同値類同士での確率として解釈しているのでOK
・[n=0.5である確率]=0、[nが自然数である確率]=1
これらは、選択するときの分布関係なしに0/全事象と全事象/全事象
・[n=1である確率]:[n=2である確率]=1:1
これは、1と2を等確率で引くという前提の繰り返し
・[n=1である確率]=0、[n=1である確率]:[n=0.5である確率]=1:0
これらはなんらかの分布を仮定しなければいけないため、ナーバスな問題（後半の表記は0:0）
・さらに自然数から等確率に１つの数mを選んだ時に[n<mとなる確率]=1/2
引く前であれば、OK。下の証明もそれで同意できます。
ただし、（実現できない条件のもとで）「nを引いた後の条件付確率」は、
「nがどんな数値であろうとも、後に引くmのほうが大きくなる確率は限りなく1」
- 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 14:49:40 ]
- >>274の
>・「自然数から等確率に１つの数nを選んだ時に」→これは実現できない
理解できない人は、このあたりがネックになってるぽい。
言葉遊びだけじゃなくて、具体的にどうやれば実現できるか考えれば分かるよ。
- 276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 14:53:06 ]
- こういう俺は、コンピュータでシミュレーションが可能かどうかで考えるしか能がないけどね。
- 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 16:13:24 ]
- >>275
例え可算であっても無限を扱う事象は実現できないだろ。
現実は有限だからな。
- 278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 16:17:41 ]
- ん？できないって言ってるんだけど？
- 279 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 16:41:23 ]
- x+x+x+,,,=1
とは、
s_1=x
s_2=x+x
s_3=x+x+x
,,,
と定義し、n→∞としたとき、s_n→1であるということ。
こんな説明が必要な人には、「二つの封筒」問題を理解するのは無理だよ。
二つの封筒の場合には、R^2上の確率測度p(x,y)で、
サポートがy=2xとy=x/2に含まれるものを考える必要がある。
もし、「任意の0以上の実数cに対して一方の封筒の金額がc円のとき、
他方の金額が2cである確率とc/2である確率が等しい」と仮定すると
任意の0以上の実数cに対してp(c,2c)=p(c,c/2)およびp(2c,c)=p(c/2,c)が成立する。
しかし、これは全事象の確率が1であることと矛盾する。（←ここの証明が重要だが、
詳しく書くのは面倒だ。）
- 280 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 16:50:14 ]
- 我ながら記号の使い方が不適切な部分があるな。
まぁ、確率論を理解している人なら適当に修正してくれるだろうし、
確率論を理解していない人はそもそも理解できないだろうから、まぁいいか。
あと、金額cのとりうる範囲は>0とすべきだった。c>=0とすると、
「どちらの封筒も0円である確率が1それ以外の確率は0」
ってのが解として存在してしまうから。
- 281 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/14(日) 17:25:23 ]
- >>279
封筒をｎ枚用意し一つの封筒には１、一つの封筒には２・・・、１つの封筒にはNとすべての封筒に数字を記入した紙を入れる。
（１を引く確率1/n）+（2を引く確率1/n)+・・・・・・・（Nを引く確率1/n）=１
これのnが∞のときに適用出来ないと解釈しました。
誤解であれば謝罪させて頂きます。
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
一方を選んで中を見ると10000円だった。
上記において封筒を（10000、20000）しか用意しなかったとして
この問題の命題を果たしていないことになるかどうか
これは重要な点だと思います。
解釈の統一を求めます。
私は問題ないと思います
入っている金額の比は１：２になっていますし
1方を先に選んで10000円になる可能性もあるからです。
- 282 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/14(日) 18:26:25 ]
- なんの期待値について話してるのか理解できてる？
選んだ封筒に対して常に他方の封筒の金額の期待値が高くなる様な金額組の確率分布は存在しないよ
これは高校の知識で簡単に示せる
あと、「他方の封筒に変えた方が得する」事を言うためには、
選んだ封筒、他方の封筒それぞれについて金額×確率を定義域全体で積分して比べないといけないよ
そして、この値はどんな分布であれ互いに等しい。
これも簡単に示せる。
つまり封筒を変えても得もしないし損もしない
「1000円の封筒を見た時に、他方の封筒の金額が500円であるか2000円であるかは等確率だ」
と、思い込んでしまう事にパラドクスと言われる事の原因がある
- 283 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 18:40:39 ]
- >>281
前半はOK
後半について、（といってもちょっと違う例だが）
例えば,
「一方の金額が1000円であったとき、もう一方が500円、2000円である確率がそれぞれ1/2である。
（ただし、他のある金額についてはこのように1/2にはならない。）」
この確率分布は実現可能だよ。
しかし
「一方の金額がc円であったとき、もう一方がc/2円、2c円である確率がそれぞれ1/2である。
という命題が「任意の」正の実数cに対して成立する。」
この確率分布は実現不可能。「任意の」というのが重要。
- 284 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 18:51:02 ]
- 後半について
（＊）「(10000、20000)という確率が1で、それ以外の確率が0である確率分布。」
これは問題の命題を満たしている。
そしてこの場合は一方が10000円ならもちろん封筒を交換した方が得。
（確率分布が与えられれば、それにしたがって計算すれば、どちらが得かが分かる。）
- 285 名前：186 mailto:sage [2010/03/14(日) 19:11:35 ]
- >>281
>上記において封筒を（10000、20000）しか用意しなかったとして
>この問題の命題を果たしていないことになるかどうか
なると思います。
ただ、これで一体何が説明できるのでしょうか。
この問題でもめているのは（＝みなが興味あるのは）、一見できないはずのことに限りなく近いものを構成できることではないのでしょうか。
元の問題に近づけるために、1250*2^n(n:1からN)の系列を考えます。
このとき、両端(2500と2500*2^N)の2つを引かない限り、条件付確率により交換により1.25倍になります。
Nを必要なだけ大きくすることにより、限りなく1に近い確率でこの状況を発生させることができます。
（N=2*10^10にすれば、99.99999999%の確率）
単に「構成できない」から意味が無い、というだけでないところがこのパラドクスの面白いところだと思います。
- 286 名前：7 mailto:sage [2010/03/14(日) 19:17:58 ]
- >>279
こちらの意図が伝わらなかったようだが、お互いの前提のどこが
食い違っているのか確かめるために質問させてもらった。
＞こんな説明
というぐらいなら、中途半端にしないでちゃんと説明して欲しかったが
おそらく「x+x+x+x+,,,=1を満たす実数xは存在しない」というのは
￢∃x∈R,∀ε>0,∃n∈N,∀m∈N[m>=n⇒|mx-1|<ε]
(Rは実数全体の集合,Nは自然数全体の集合とする)
を意味しているのだと思う。一方私は
∀ε>0,∃n∈N,∀m∈N,∃x∈R[m>=n⇒|mx-1|<ε]
を考えていた。どっちの式も真であるが、違いは歴然。
違うことを前提にしているのだから、食い違って当然だね
というだけのお話。
>>281
＞上記において封筒を（10000、20000）しか用意しなかったとして
私も問題ないと思うけど、どういう意図なのか
＞解釈の統一
とはどういうことなのか、いまひとつわからない。
>>282
確かに
＞「1000円の封筒を見た時に、他方の封筒の金額が500円であるか2000円であるかは等確率だ」
＞と、思い込んでしまう事
はよくある間違いのひとつではあるけど
「1000円の封筒を見た時に、他方の封筒の金額が500円であるか2000円であるかは等確率」
という問題を考えること自体は問題ないことは、一応言っておこう。
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