- 1 名前：1 mailto:age [2010/03/06(土) 12:44:09 ]
- [２つの封筒問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
一方を選んで中を見ると10000円だった。
他方の袋に入っている金額は5000円か20000円なので
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？
この問題・類題に関する意見・質問のスレです。専用スレ立てました。
この問題を他のレスで質問したりすると、高頻度で荒れる原因になりますので
できるだけ、こちらに書くようお願いします。
こんな確率求めてみたい その1/8
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/
から派生しました。
- 152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 23:32:54 ]
- >>150
「語るに落ちる」とはこれか
やっぱりなｗ
- 153 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/10(水) 23:39:32 ]
- >>152
落ちてないけど、そう言いたい気持ちはわかる
似たようなのがいるね俺と
850まで読んだけど歴史は繰り返すを地で行ってる
- 154 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 23:41:55 ]
- 苦笑
- 155 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/10(水) 23:45:25 ]
- >>153
読み終わった
850-1000はスレが荒れて理解しながら読まなくていいから楽だった
- 156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/11(木) 00:19:22 ]
- s5179は結構まともだとおもうぞ
言ってる事はいまいち分からないが、話せば分かりそうな感じ
- 157 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 00:28:24 ]
- >>156
ありがとう
説明が難しいので、分りにくくなっていると思います。
でも矛盾はないと思います
- 158 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 00:33:12 ]
- たとえば、一番分ってもらえないと思うのは
「期待値12500円の解法は(5000,10000)(10000,20000)の場合なのに
初めに5000、20000を引く可能性を排除してしまっている、これには矛盾がある」
などです。
多分 初めに10000引いたんだから当たり前だろボケと思われるでしょう
しかし本当なのです。
- 159 名前：156 mailto:sage [2010/03/11(木) 01:25:30 ]
- >>158
それは「矛盾がある｣という言い方をするのがいけない
普通の条件付き確率の問題として説明すれば良いんじゃないか？
- 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/11(木) 01:27:16 ]
- 説明能力の問題？
- 161 名前：156 mailto:sage [2010/03/11(木) 01:38:14 ]
- >>160
>>126とか>>129とかは意味不明だが、最近の書き込みはそうなんじゃないか
- 162 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 02:12:59 ]
- 遅レスですみません反証します。
初めに引いた値が10000の時
（5000、10000）もしくは（10000、20000）の組み合わせであると考えられる
カードを配る親から目線（子が12500派の子）
（5000、10000）のとき試行A
１/2の確率で子が5000を選ぶその後10000選ぶ・・・①
1/2の確率で子が10000を選ぶその後5000を選ぶ・・・②
期待値-7500
＜＜＜＜＜超えられない壁＞＞＞＞＞
（10000、20000）のとき試行B
1/2の確率で子が10000を選ぶその後20000を選ぶ・・・③
1/2の確率で子が20000を選ぶその後10000を選ぶ・・・④
期待値-15000
期待値12500円の解法は②と③の平均をとっています、10000を初めに引いた事によって①と④の可能性を切り離しています。
しかし①と②は同一のゲームで切り離せません、同じように③と④も切り離せません
便宜上、子を12500派プレイヤーにしましたが、交換しない子、交換したりしなかったりする子
子の振る舞いによって期待値は変りません、
試行Aの場合、封筒は1/2の確率で5000もしくは10000で期待値は-7500です
試行Bの場合、封筒は１/2の確率で10000もしくは20000で期待値は-15000です
試行A、Bの平均をとったものが11250円派の解法です。
試行A、Bは起こりうる確率は同じです。
しかし試行A、Bは同じ回数起こるとは限りません
たとえば試行C（100、200）もA、Bと同じ確率で起こり得ます。
これが期待値12500円と11250円の反証です。
- 163 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 02:29:53 ]
- >>158
そうですね
10000円を最初に引いた問題だけど
5000円や20000円も最初に引く可能性があるよねと言いたかったのです。
でもたぶんこの言い方だと12500円派の人にその時の期待値は6250円と25000円ですよ、ププ
とか言われそうだなと思って。
- 164 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 02:48:06 ]
-
>>162 によりこの２つの封筒問題（>>1)では子の選択により親の期待値に変化はありません
よって封筒を引く必要はありません。
因みに>>135は （A、2A) Aは１～10000の整数なので
（1,2)(2,4)(3,6)(4,8)(5,10)・・・・・（4999,9998)(5000,10000)(5001,1002)・・・・（9999,19998)(10000,20000)
のように10000通りの封筒の組み合わせになります。
初めに選んだ数字が奇数のときはもう１枚ひく 2500/10000
初めに選んだ数字が偶数で２～10000は大きい数を引く確率1/2×5000/10000
初めに選んだ数字が偶数で10002以上の時は引かない 2500/10000
で勝率0.750の問題です。
- 165 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 03:06:37 ]
- >>164より
その他の２つの封筒問題の場合でも
封筒の中身が有限で実数の場合は値の範囲が分れば
その半分より大きければそのままで必勝（全体の1/4の割合)で1×1/4
それ以下であれば勝敗は 1/2×3/4
勝率5/8で少し有利
値の範囲が∞で整数の場合
初めに出た値が奇数でもう一枚引くで必勝1/4
その他は勝敗 1/2×3/4
勝率5/8で少し有利
になると思います。
- 166 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 03:09:33 ]
- >>162は
誤 カード
正 封筒
でお願いします。
- 167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/11(木) 05:17:52 ]
- ・・・・・・・・・
- 168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/11(木) 16:24:18 ]
- >>162
ヒント：条件付き期待値
問題には，
> 一方を選んで中を見ると10000円だった。
とあるので，5000を選んでから10000を選ぶ場合や
20000を選んでから10000を選ぶ場合は除外されている．
>>14
の指摘のように，２つ目の封筒が高額の方である確率が1/2である
かどうかは，定かではないが，この問題の場合，
残りの封筒の中身が5000円か10000円かは
等確率であるとするのが妥当と思われる．
（いずれにしても，この確率を求めることは数学ではない．）
したがって，
>>1
の通りに期待値は，12500円でいいと思われる．
だからといって，別の袋を選んだ方が，得になるかどうかは微妙な問題
ではなかろうか？
10000円が確定しているところから，確率1/2で損をするのだから．
金額の比が１：１００であって，最初の封筒の中身が
１億円だった場合なら，残りの封筒を選ぶと期待値は
５０億５０万円になるが，封筒を変更する人がいるでしょうか？
確率1/2で１００万円になってしまうのは損と考えるのが
常識的と思われるが．．．．
- 169 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 20:47:17 ]
- >>168
のヒントにより自分の答えが間違っていることに気が付きました。
封筒の中身が１：２になっている ・・・・①
一方の封筒を引くと10000円だった ・・・・② NEW
より
（Ⅰ） 他方の封筒の期待値を求める。
（Ⅱ） 他方の封筒を引いた方が得か
これを求める問題だったんですね
やっと理解出来ました。
またあとで自分なりの答えを書き込みたいと思います。
- 170 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 22:24:36 ]
- 絶望した
答えに絶望した・・・
そして>>1をよく読んでいない自分に絶望した
>>1の
他方の袋に入っている金額は5000円か20000円なので
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？
間違っています。
>>1の問題の答えは
期待値の計算式 5000a＋20000(1-a) (aは5000、10000の封筒ペアを用意する割合）
期待値は分らない（期待値の取り得る範囲は5000円～20000円）
期待値＞10000円になるかどうか分らないので引くべきかどうか分らない
出題ミスじゃん時間返せ
- 171 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 22:40:59 ]
- 因みに
>>1
の問題は明示していなければ1/2とするならば 期待値12500円となり引いた方が得
2/3より多い割合で5000円を入れるならば期待値が10000円を下回り引いた方が損
- 172 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 22:43:14 ]
- また間違えた
もう一度やり直します。
- 173 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 22:46:12 ]
- 間違えていなかった
もういいよ・・・・
- 174 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/11(木) 23:37:33 ]
- この調子で完走してくれｗ
- 175 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/12(金) 00:19:54 ]
- 期待値12500円の時に感じるパラドクスを解明
10000円を引く・・・① 現在１
金額が１：２より
（b,5000、A,10000）・・・② 推測の過去
もしくは
（A,10000、B,20000）・・・③ 推測の過去
②は③等確率なので次の封筒の期待値は
5000×1/2+20000×1/2=12500
期待値が12500円なので他方を必ず選ぶと決める ・・・④ 現在2
③においてB,20000円を引いて期待値25000として必ず他方を選ぶ
③においてA10000を選んでもB20000を選んでも必ず他方を選ぶ選択をする
封筒Aを手に取った時点で、封筒Bに交換する方が得をするために
封筒Bを取りますが、ここで封筒を交換しても良いと言われると、
今度は同じ議論で封筒Aに交換する方が得をします。このように繰り返すと、封筒を無限に交換し続ける
どんな２つの封筒の組み合わせでも大きい方を引いた時も小さい時を引いた時も他方っを選択するのはおかしい。
- 176 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/12(金) 00:28:41 ]
- 途中で書き込んでしまった
まだ書き加えたり削除したりの途中です。
年度末で忙しいのに死んでしまう
10000円が出たときに
他方が5000円もしくは20000円であることを等確率にしていいんだろうか？とか
等確率に定義してしまって、問題を解く、パラドクスも説明する
を目指しています。
前スレ、前々スレ、他のサイトを参考にしながらですが。
やはり親目線の解き方が楽でいいなー、と思っています。
- 177 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/12(金) 04:01:17 ]
- <<1
の問題は
明示されてなければ確率は均等の法則に従えば12500円
引いた方が良いかどうかは、
1/2の確率で同額の獲得金額の増減があるので、引いても引かなくてもどちらでもよい。
みたいね、睡眠時間返して欲しいよ・・・
- 178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/12(金) 11:26:05 ]
- 「明示されていなければ確率は均等」には異論はないが
だからといって、何が何に対して均等であるかの要請については
特別な法則があるわけではない
たとえば
主催者が、ある１円について、このゲームのためにそれを用立てる確率は
どの１円についても均等と仮定すれば
２つの封筒の合計金額が15000円のゲームと合計金額が30000円のゲームが
執り行われる確率は等しくはならない。
- 179 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/12(金) 11:27:01 ]
- >>177
＞ 1/2の確率で同額の獲得金額の増減があるので
同額ではないけど？
- 180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/12(金) 16:07:53 ]
- >>178
ですな。
だからこそ何について均等なのかを考え
どこに影響が出て、どこに矛盾が起きうるか考える必要が出てくる
- 181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/12(金) 16:33:50 ]
- 何について均等かによっては矛盾が起こるのですか？
- 182 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/12(金) 17:20:00 ]
- >>179
カードを配る親から目線（子が12500派の子）
（5000、10000）のとき試行A
１/2の確率で子が5000を選ぶその後10000選ぶ・・・①
1/2の確率で子が10000を選ぶその後5000を選ぶ・・・②
期待値-7500
＜＜＜＜＜超えられない壁＞＞＞＞＞
（10000、20000）のとき試行B
1/2の確率で子が10000を選ぶその後20000を選ぶ・・・③
1/2の確率で子が20000を選ぶその後10000を選ぶ・・・④
期待値-15000
便宜上、子を12500派プレイヤーにしましたが、交換しない子、交換したりしなかったりする子
子の振る舞いによって期待値は変わらない
これだったら間違ってない？
この問題は引く人間の選択によって獲得出来る金額に差はでないと思う。
じゃあ、期待値の計算式 5000a＋20000(1-a)
においてaの取り得る値は１か0、１か０の比率はわからない。
期待値は5000もしくは20000、
あたりまえだし期待値じゃないけど真理は含まれていると思う
なんか１つ目の封筒を見ないと取り得る値の範囲が絞れないけど
見てしまうと低い値、高い値を最初引けなくなってしまう。
ウロボロスの蛇に首を絞められてる気分だ
②と③を足すからおかしくなるんだよ
試行AとBは全く別だから、足したり引いたりできないのに
- 183 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/12(金) 22:03:58 ]
- みんなはどんなイメージで>>1の問題を解いているのだろうか？
私は、
大きな封筒がありその中に小さな封筒が２つ入ってる
封筒の中にはそれぞれ数値が書かれた紙が入っていて、その比は1：2になっている。
大きな封筒は非常にたくさんあり、数値に偏りなく、見た目には無地で見分けがつかない
その大きな封筒が大きな箱にぎっしり入っている
試行の度に大きな封筒を１枚選び、試行が終われば戻す
こんなイメージで問題を解いているので
１度(5000,10000)の大きな封筒を選んだからといって、次に引く封筒は全く違う値だし
どんどん繰り返し、やっと10000がでたらまた5000がペアだった
そんなイメージで解いているんですが
因みに
私は社会人で仕事ぶりもそこそこです。
妻も子もいます（虹の嫁ではないです）。
言いたい事は
私は頭も精神もおかしくはありません
２ｃｈでは粘着ですが、久しぶりの書き込みなので暴走気味なだけです
議論を楽しんでいるので反論は大歓迎です、もっと議論したいので煽り気味です
数学は好きでした、特に確率の問題は大好きでした。
- 184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/12(金) 23:29:25 ]
- 分裂症の気はあるかもしれんね
自分で分かってたことが分かってない等
- 185 名前：7 mailto:sage [2010/03/12(金) 23:52:15 ]
- >>182
所々私の理解の及ばない箇所があるけれど
子が金額10000円を確認した後、交換するかどうか決める前の時点では
二つの封筒の金額は{5000,10000}か{10000,20000}かのどちらかに決定しているし
{5000,10000}の時と{10000,20000}の時とは別の試行なのだから
子が{5000,10000}の時と{10000,20000}の時を同時に考えて期待値を求めるのは
おかしい、と言ってるように見える(全然違ってたらすまん)
が、{5000,10000}の時と{10000,20000}の時とは別の試行だかといって一緒に考えることは
できないというのは早計だと思う。
例えば、親が賞金の組を決める時
{5000,10000}が選ばれる確率と{10000,20000}が選ばれる確率の比を1:99
として、子もそのことを知っているとする。金額の組が決まり、親が２つの封筒を
用意し、子が１つの封筒を選んで中を確認する。すると中身の金額は10000円であった。
もしこの子が私であったら「この時点で金額の組は{5000,10000}か{10000,20000}か
のどちらかに決定しているけれど、{10000,20000}が選ばれた可能性が高い、つまり
他方が20000円である可能性が高い」と考えて交換する。
子にとって10000円を確認したことは重要な情報であり、交換するかしないかの
判断材料になり得る。
別の問題として比が99:1とし、それ以外は同じ(確認した金額10000円)だったら、私は交換しない。
>>1の問題では、この比が何対何かは論理的には判断できないし、1:1と考えるのが自然だとは
思えないので、交換するかどうかは決められない、というのが答え(>>1自体はこれで終了)だと思う。
けれど、比が1:1となるような問題(または2:1となるような問題)を考えた場合
子にとっての他方の金額の期待値が12500円(10000円)と言えるか？
交換した方が良い(交換しない方が良い)と言えるか？
ということが私の個人的な課題。そして上はyes,下はnoと自分の中では答えも出てる。
- 186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 00:34:58 ]
- s5179さん
あまりに混乱しているようなのでフォローです。
エクセルできますよね。
数学は実際に計算やってみるのが基本です。
A列に1,2,3,4,5,6,7,8,9,10と入力
B列に=2^A列
C列に=B列*2
D列に=B列/2
と入力します。
意味的には、
A列が一様な整数分布（の一部）→封筒の組を選ぶ
B列が手にした数値（割り切れる問題を避けるため2^Aにしてあります）
C列が交換して増える場合
D列が交換して減る場合
仮の計算のため、とりあえずは１から１０で計算します。
11行目で合計を求めてください。
B列が2046、C列が4092、D列が1023になります。
BからCの場合と、BからDの場合はA列の整数を一様に取ることができれば1/2になることも理解できると思います。
この場合のBの数値を手にした人の期待値は、
=（Cの合計＋Dの合計）/（Bの合計*2）
で計算でき、上の数値を使って計算すると1.25になります。
- 187 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 00:35:43 ]
- 続き
さて、この表をよく見るとこのパラドクスの原因がどこにあるか一目瞭然で、
10組しか封筒がないのであれば、整数10のときの封筒の組からは2048に増えることは無く、
「交換しない！」が正解なので、2048を1024へ書き換える。
同様に整数1のときも書き換えるとパラドクスは消え、比率は1.00になります。
いまは１から１０でやりましたが、この上限を無限に飛ばしたのがもとの問題だと考えています。
私の立場は、
・片方の封筒の中身を確認したあとの条件付確率として、1.25倍はパラドクスではない
・とはいえ、整数（or自然数）全体の一様分布を作ることはできない
→封筒を引く前の期待値が発散してしまい、ここがパラドクスの原因
・当然、他の人が仮定しているような発散しない分布を仮定すれば、交換後も1倍になる
という感じです。
- 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 02:23:52 ]
- >>186-187
この問題を現実に置き換えることは不可能ということでよろしいですか？
それなら同意見。
- 189 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 04:30:13 ]
- ありがとう御座います。
>>186-187
そう、そこです、そこが混乱する所です。
A列に1,2,3,4,5,6,7,8,9,10と入力
B列に=2^A列
C列に=B列*2
D列に=B列/2
これのA列を正の実数にして封筒の1方に
C列を一方に入れパッケージしたものが自分の考える大きな封筒の中身です。・・・①
A列とB列のパッケージでも同じ分布の封筒になるかと思います。・・・・②
しかし①と②の大きな封筒の色は違いませんでしょうか？
①と②を同じ箱に入れると①と②の大きな封筒の枚数は同じですが
数値は発散してしまいます。
B列とD列の大きな封筒の色は同じです、少し色は薄いかもしれません。
（A、B）の大きな封筒＜黒い＞、（A、C）の大きな封筒＜白い＞、（A、D）の大きな封筒＜A、Bのものより少し薄いが十分に黒い＞
のまだらな箱の中身が出来るように思います。
あとE列に(1/2)^A列の封筒も在りかと思います。（A、E）の大きな封筒の色はグレー？か？・・・④
①、②、③、④が混ざった箱はとてもカオスで自分の理解に耐えません、ええ頭が爆発しそうです。
A列をただの実数にしてみんなに封筒を引かせ借金まみれにしたくなります。
- 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 04:31:33 ]
- 整理ができるまであと800レス強で足りますかのう
- 191 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 04:33:53 ]
- 訂正
>>189の②において同じ分布としたのは誤りです。
寝起きなのでご容赦願います・・・・
ではまた寝ます。
レス待ちは寝ることにしました、
これで健康が取り戻せそうです。
- 192 名前：s5179 [2010/03/13(土) 04:37:05 ]
- >>190
そうじゃのう、わしらが死ぬ前に解けるとよいのう
- 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 04:53:28 ]
- ＞・とはいえ、整数（or自然数）全体の一様分布を作ることはできない
＞→封筒を引く前の期待値が発散してしまい、ここがパラドクスの原因
一様分布でない分布のもとでも、同様のパラドクスが起きるように設定できるらしい。
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
その場合でも、封筒を引く前の期待値は発散するようだが。
- 194 名前：s5179 [2010/03/13(土) 05:46:11 ]
- 寝付けなかったので、寝る前に補足
>>189
の②のパッケージの仕方は【２＾A、２＾（A+1)】です、④も同様です。
④の色は青？
せっかく円と言う単位が付いているので
Aは正の整数
一方はA円、もう一方は２A円
Aの値の範囲が∞までの場合と160,000円くらいまでに分けて考えたらどうでしょうか？
そうすれば１≦A≦80,000で
箱の中身は大きな封筒80,000枚で考え易いののですが・・・・
まあ、この大きな封筒にパッケージと言う考え方の同意自体取れていないのですが・・・
明示されていない条件を明示して（または仮定して）
みなで同じ問題を解かないですか？
- 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 05:48:52 ]
- 寝付けなかったので、
- 196 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 10:36:23 ]
- >>188
そうです現実問題としては、整数・自然数全体に一様分布を入れることはできないと考えています。
- 197 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 11:01:03 ]
- >>189
失礼ですが、混乱されているようなので、いきなり連続体上での分布を考えるのは避けたほうがよいと思います。
今回の例示を1～10の整数にしたのは、離散であればいろいろ検討しやすいと思ったからです。
私の考える、この問題の作業ステップは
・1～Nの自然数から1/Nの確率（一様）でひとつ選択し、nとする
・２つの封筒として、「2^n」と「2^(n+1)」を用意
・プレイヤーはこのうちのひとつを選択し、中身を確認
という流れです。
この1ステップ目のN大きくなり、最終的に無限大に発散させたものがこの問題の1例となります。
※他の例を作成することも可能
繰り返しになりますが、無限大に発散させた状態で確率を論じることは不可能
考え方としては、
・1/Nの確率でひく、最大値Nを引かない限り1.25倍になることは異論がないと思います。
→ひとつの封筒の中身を確認し、2^(N+1)でなければ1.25倍
・このNを大きくしていくと、最大値Nを引く確率はどんどん小さくなる
・Nを無限大まで発散させた場合を想定すると、どんな数値を引いても、それは最大値ではないので、1.25倍が適応される
という風に考えています。
- 198 名前：s5179 [2010/03/13(土) 12:42:54 ]
- 186さん
まず１点、2^Nは不味いんじゃないでしょうか？
自然数ですよ
たとえば2^N=10000としてNの値を教えて頂きたいのですが・・・
- 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 15:42:18 ]
- >>198
俺は>>197=>>186ではないが、
＞・1～Nの自然数から1/Nの確率（一様）でひとつ選択し、nとする
＞・２つの封筒として、「2^n」と「2^(n+1)」を用意
>>197の場合、１からNまでの任意の自然数なのはｎの部分のことであって
2^nが１からNまでの任意の自然数とは言っていない
- 200 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 15:54:28 ]
- >>198
（199さんフォローありがとうございます）
199さんの言うとおりで、いきなり任意の自然数で考えると、２で割り切れない不都合が起きるので、2^Nに置き換えて考えています。
2で割れる、有理数体や実数体で考えると、自然数での単純さが無くなり混乱の元となるので、代替案としての説明です。
すぐには納得行かないかもしれませんが、基本的な考え方は一緒なので、このやり方で一度考えてみませんか。
- 201 名前：s5179 [2010/03/13(土) 17:26:34 ]
- >>200
A=2^nとすると
2^(n+1)=2・2^n=2Aです。
つまり（A、２A）で表す事が可能です。
金額の比は1:2とありますので全てのやり方で応用可能です。
期待値12500派の人は（A、２A）ではイケナイ何かやましい事があるのですか？
<<<例えば最大値の半分を超る値を初めに引けないとか>>>
- 202 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 18:33:09 ]
- >>201
確かに私は期待値12500派ですが、（A,2A)でいけないとは、言っていませんよ。
ただし、普通にAが自然数であれば、奇数は2Aになりえないので、交換するときに
余計な条件となりかねないので、今回の思考実験では避けたいのです。
＃Aが有理数や実数とする場合は別の困難が発生します。
自然数全体と2^n（n:自然数）は１対１対応するので、ひとつの例としては問題ないと考えています。
- 203 名前：s5179 [2010/03/13(土) 18:55:41 ]
- >>186
問題はない？
先ほど出した
『2^ｎ=10000としてｎの値を教えて頂きたい』
の答えが必要になりそうですね
答えられないのでしたら2の累乗を使うのであれば対数も使えるように
実数に代えて下さい
- 204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 20:17:24 ]
- 期待値12500を満たす母集合を考えると、有限ではありえない。
無限の母集合から何かを選択する操作に、統計とか期待値の概念はない。
- 205 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 20:18:31 ]
- >>203
いやまあ、どうしても実数で考えたいというであれば、止めはしません。
実数で考えて、混乱されているようなので、自然数（整数）で考えてみることをお勧めしたつもりです。
実数上での確率の扱いに慣れているのであれば問題ないです。
（とてもそのようには見えませんでした）
私もs5179さんのおっしゃるように封筒の作り方を確立することには賛成です。
私の提案が、自然数nに対して、「2^n」と「2^(n+1)=2*2^n」の組をつくることです。
この利点は、最大値と最小値以外であれば、どの数値を引いても勝つ確率が1/2であることがわかりやすいことです。
- 206 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 20:27:39 ]
- >>203
欠点としては、もともとの問題の10000円に対する自然数nが設定できないことですね。
（まあ、「2500*2^n」「2500*2^(n+1)」にしてもいいのですが）
とにかく、自分の理解できるところまで引き返してほしいです。
（複雑なものを複雑なままで考えても前進は厳しいですよ）
- 207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 20:32:05 ]
- 結局期待値 1.25 って言ってる人は、
任意の実数xを選んだとき、(2x + x/2)/2 が 1.25x だと言ってるだけじゃないの？
そんなの統計でも期待値でもない。
- 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 20:34:17 ]
- 俺の知る限り、実証する方法のないものは期待値とは呼ばない。
- 209 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 20:46:11 ]
- 私は
（A、２A） でAは自然数を推します。
値の分布も均一で密度の偏りもありません。
Aの値の範囲は∞の場合と有限１≦A≦40000の場合を分けて考えればよいと思います。
設問はA＝10000で奇数ではないので、当面は奇数が出る問題は考える必要が無いかと思います。
- 210 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 20:49:43 ]
- >>209
s5179さん
ある封筒を開けて、その数値が9999だった場合はどのようにするのですか？
または、その数値は入っていないのか？
（期待値を理解するためには、封筒に含まれる数値の組の分布を考える必要があります）
- 211 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 21:40:57 ]
- >>209
入っています。
入らなくする為に（2A、4A)も考えましたが。
そこまで作為的に値を決めた場合、その問題は>>1とは別問題であると考えます。
あくまで>>1の解釈の統一を望んでいます。
- 212 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 21:42:54 ]
- >>210
186さんもちろん9999の場合は次の封筒を引いた方が良いと思います。
- 213 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 22:03:07 ]
- 186さん
上限40000としたときの封筒の組み合わせは20000通りです。
その内の半分には奇数が含まれています。
その半分が選択した封筒の組み合わせになった場合1/2の確率で奇数を初めに引き
そこで必勝となります。
20002以上の数を引いても必勝です、これも組み合わせの半分は対象となり1/2で必勝です。
その他の場合を考えます。
その他の場合に必ず得をする（その試行の獲得賞金の平均を上回れる）戦術があるか考えます。
>>1の問題は取りあえず置いておいて上限200くらいでやってみるのも一興かと
- 214 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 22:07:42 ]
- >>211
s5179さん
>>1に基づいて考えたいということはわかりました。
ただし、1には「入っている金額の比は１：２とする」という設定があるので、これを満たすためには、
どの封筒をあけても、1:2になる数値が必要と考えています。
この２点を満たすために、
「2500*2^n」「2500*2^(n+1)」（n:自然数）の封筒の組を考える
では、いけませんか。
自然数全体で、1:2の比の存在のありなしを考えると、素数分布を考えるような感じで話がそれすぎると思います。
（もとの単純なパラドクスからはるかにずれてしまいます）
- 215 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 22:20:31 ]
- >>214
186さん下記の封筒の組は１：２になっていませんか？
なにか自分が気づいていないミスでもあるのでしょうか？
（A.2A)
(1.2)
(2.4)
(3.6)
(4,8)
(5.10)
(6.12)
・
・
・
(49.98)
(50.100)
・
・
・
(10000.20000)
・
・
(20000.40000)
- 216 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 22:27:59 ]
- >>213
わかりました。それでは、簡単のためA:1～10でやってみましょう。
大きい封筒が、10ありその中に小さい封筒が20。
最初に小さい封筒をあけて出てくる数値は、
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20のどれか。
（このうち、2,4,6,8,10は２つ入っています）
このうち、1,3,5,7,9,12,14,16,18,20を引いた場合は迷うことなく終了。
（今回の期待値計算から除きます）
2のとき、1が1/2、4が1/2 （1.25倍）
4のとき、2が1/2、8が1/2 （1.25倍）
6のとき、3が1/2、12が1/2 （1.25倍）
8のとき、4が1/2、16が1/2 （1.25倍）
10のとき、5が1/2、20が1/2 （1.25倍）
となり、2,4,6,8,10を引いたときの条件付確率では、1.25倍になります。
ただこれは単なる条件付確率で、パラドクスの解決に役に立たないと思います。
- 217 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 22:32:26 ]
- >>215
いえ、それでも問題はありません。
ただし、上に書いたようにいびつな形で無視される場合があり、
もともとのパラドクスがどこにあるのかわかりづらくなると考えています。
＃単純な条件付確率の話をしたいわけではないでしょう。
どの数値を引いても問題が成立し、かつ1.25倍にならないと、元の問題のパラドクスの楽しさが損なわれます。
- 218 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/13(土) 22:36:13 ]
- 確率スレは盛り上がるよな
- 219 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:02:20 ]
- >>216
186さん、それを親から見ると
（１、２）の封筒で 1/2の確率で先１必勝＜＞先２後１ 損得なし
（２、４）の封筒で 1/2の確率で２を先に引く後に４になる＜＞1/2の確率で４を先に引き２になる 損得なし
(３，６）の封筒で 1/2の確率で先３必勝＜＞1/2で先６後３ 損得なし
（４、８）の封筒で 1/2の確率で先４後８＜＞1/2で先８後４ 損得なし
（５、１０）の封筒で 1/2の確率で 先５後１０＜＞1/2で先１０後５ 損得なし
・
・
・
・
（１０、２０）の封筒で 1/2の確率で 先１０後２０＜＞1/2の確率で先２０後１０ 損得なし
どうでしょう？損得の観点からみて、必ず交換で得しました？
大きい封筒を先に引けないと期待値が上がってしまう説明になりませんか？
- 220 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:11:15 ]
- >>219はなんかいろいろおかしな事になってます
確認せずに書き込みすみませんでした
- 221 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:17:12 ]
- しかし
２つの封筒問題を解くときに
封筒を引く側だけの視点でなく、封筒を出す側からの>>219のような考査も必要なのではないでしょうか？
値を∞にしても親からの視点であれば、
子がいろいろと考えてるな損得は運しだいなのにと思うはずです。
>>219の件は本当にどうもすみませんでした
- 222 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:18:50 ]
- >>219
いくつか勘違いがあるかもしれませんので、確認のため、私の考えをもう一度
・分布が期待値が計算できるものの場合、パラドクスは発生しません
（今回のように離散で有界の場合）
・1.25倍になり、パラドクスが発生するようにみえるのは、それが「現実には構成できない」からです。
問題に戻ると、パラドクスの発生源は端点にでるので、そこをぞんざいに扱うとパラドクスは発生しません。
前のスレで紹介されていましたが、
「二人で勝負します、ひとりが自然数全体からある数字を（等確率で）先にひとつ選ぶ」
「それがどんな数字であろうと、後から引くほうがそれより大きい数値を引く確率が大きい」
というパラドクスと根は同一だと考えています。
つまりこのように、自然数全体から一様にひとつの数値を選ぶこと自体が不可能。
- 223 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:32:01 ]
- 186さん
２つの封筒問題で一つの封筒を見た後、
他方の封筒を選択したほうがよいかどうかお答えください。
私は（頭の悪い書き方ですが）
（∞、2∞)の封筒の組でも同様の損も得もしない状況が生まれると考えています。
もちろんこの場合自分が２∞を引いた事は知る由も在りません。
他の場合も同様で取り得る値が実数になってしまうと奇数の縛りもなくなり
すべての事象で引いても引かなくても同じになるかと思います。
因みに>>1の10000を引いた場合においても同じです。
- 224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 23:33:49 ]
- >>223
>それが「現実には構成できない」からです。
て回答してるじゃん。
- 225 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:40:09 ]
- 有限でも期待値１．２５になったじゃん
有限の自然数で解こうぜ兄貴
- 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 23:41:54 ]
- >>222 が最終解だな。この設問だと分布が不明なため、期待値自体が存在しない。
- 227 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:44:10 ]
- >>223
>>224（フォローありがとうございます）
損や得という言葉を不明確に使うのは危険です。
先にあげたように、
「このような状況を作ることは不可能」
「（不可能であることを無視して）1のような状況の元では、交換すれば期待値が1.25倍になる」
「この状況下では、得になる（＝多いほうをとる）か損になる（少ないほうをとる）かは1/2であると仮定している」
大きい封筒（中に２つの封筒）の視点から見たら、つまらない問題になってしまいますよ。
- 228 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:47:50 ]
- >>225
OKです。
なので、前提をすり合わせたいのですが、今の時点でなかなか一致点が見つかりません。
封筒の分布だけでも認めてもらいたいのですが。
- 229 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 23:59:06 ]
- 個人的には
（１，２）の場合
（２，４）の場合
（４、８）の場合
（A、２A）の場合
（X、２X）の場合
それぞれの事象は独立で他に影響を及ぼさない
それぞれの事象の期待値は２つの封筒の合計金額の半分である。
期待値は１つめの封筒を開けた時ではなく２つの封筒を選んだときに出題者が知る
選択によって期待値の増減は無い
封筒を一つ開けただけでは期待値は分らないと思います。
パラドクスは１つめの封筒を見ると、その封筒を後で選ぶ可能性が消えること
それにより期待値？が上がってしまうこと
- 230 名前：186 mailto:sage [2010/03/14(日) 00:19:17 ]
- >>229
それでは、s5179さんの「期待値」と、1の問題に設定されている「期待値」の意味が異なっていますよ。
小さい封筒を開けたときに、もうひとつの数値が設問の「期待値」です。
大きな封筒の期待値で考えるならば、
・小さい封筒を開けると、「2」だった
・大きい封筒（1,2）か（2,4）のどちらか
・この二組の「大きい封筒」が選ばれる確率は同等としてみる
・（1,2）の封筒の期待値は1.5、（2,4)の封筒の期待値は3（しかし、これは小さい封筒を弾いている人には関係ない）
・２つの組が同等の確率であれば、2→1が1/2、2→4が1/2で期待値は、2.5（1.25倍）
どこが問題ですかね？
- 231 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/14(日) 00:30:28 ]
- >>230
186さん勿論理解しております。
期待値、獲得金額、のズレからパラドクスのポイントを探っています。
- 232 名前：186 mailto:sage [2010/03/14(日) 00:40:25 ]
- >>231
であれば、OKです。
s5179さんの考えを聞かせてもらったほうが、話は早いかもしれません。
・「2」を引いた
・（1,2）の封筒の期待値は1.5→この場合、期待値+0.5
・（2,4）の封筒の期待値は3→この場合、期待値-1
・この２つの大きな封筒の出現率が同一なら、このままでいたら期待値はマイナス
→じゃあ交換したほうが得
ってな感じですかね。
- 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 00:46:49 ]
- テスト
- 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 00:49:01 ]
- 「パラドクス｣という用語が何か誤解を生む種のように見える
sの人と186の人、意味を合わせておいた方がいいと思うよ
- 235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 00:51:10 ]
- この問題、「交換した方がいい」が正解みたいな空気になってるけど、それ間違いだよ
- 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 00:53:27 ]
- >>207
設問と
(2x + x/2)/2 が 1.25xとのギャップ、ずれに気付くかどうか
(2x + x/2)/2 が 1.25x派は結局
「(2x + x/2)/2 が 1.25xだから(2x + x/2)/2 が 1.25xである」を
回りくどく言って仮定と結論が同じに見えなくする努力をしてるだけだから
- 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 00:54:56 ]
- >>234
言葉遊びはすでに開始しているんだぜ
- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 01:03:10 ]
- >>236
読みにくい
「(2x + x/2)/2 が 1.25x」とのギャップ
のように、括弧を使ってくれ
- 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 01:22:42 ]
- 本当だな＞言葉遊び
- 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 04:54:23 ]
- ２つの封筒であることが問題を複雑にしている。
１つで考えれば問題の本質がわかりやすい。
１、有限で一様な確立分布
２、有限で非一様な確立分布
３、無限で一様な確立分布
４、無限で非一様な確立分布
- 241 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 05:08:04 ]
- １、（１から６までの整数が）書かれたカードのうち１枚が封筒に入っている。
ただし、どのカードが入っているかは同様に（確からしい）。期待値は？（答３．５）
２、（同文）、、、（確かではない）。期待値は？（答、わからない）
３、（正の実数が書かれた）、、、（確からしい）。期待値は？
（答、ありえない問題設定。そんな確立分布存在しない。）
４、（正の実数が書かれた）、、、（確かではない）。期待値は？（答、わからない）
- 242 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 05:20:34 ]
- いかさまされたサイコロの期待値なんてわからない。
確立の問題では、通常（問題文に書かれていなくても）「同様に確からしい」とする。
このため、二つの封筒の問題の場合にも、他方の封筒の金額が２倍か１/２かは、
同様に確からしいと考えてしまう人が多い。
しかし、そんな確率分布は存在しないから問題が成立しない。（←ここ重要）
一方、「同様に確からしい」としない場合には、確率分布が分からない以上答えは
分からない。
よって、どちらの立場をとっても問題が成立していない。
- 243 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 05:28:21 ]
- 最後に現実の場合について述べておく。
その場合、相手をよく見て確率分布を推測する。
これに照らしあわせて、考えて選択すると良い。
- 244 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/14(日) 08:31:37 ]
- >>241
240さん、この３の答えも分らないで良いのでは？
240さんは頭がよいようなので
>>1の試行の前にサイコロをふって出た目×１万円を上限として問題を解いてみてください、
ただしあまりお金がないので４，５，６が出たときはサイコロを振りなおす。
封筒の中身は（n,2n)
これだったら実地可能だと思いませんか？
答えをお聞きしたい
- 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 08:49:56 ]
- >>244
>これだったら実地可能だと思いませんか？
それは別の問題じゃね？このスレで検討する意味ないよ。
- 246 名前：186 mailto:sage [2010/03/14(日) 09:13:51 ]
- >>244
（私は240ではありませんが）
サイコロの1,2,3で、（1,2）（2,4）（3,6）の組ができます。
最初の封筒をあけて出てくる金額（万円）は
1,2,2,3,4,6（わかりやすさのため、2を2回書いています）
このうち、1,3,4,6の場合→交換の問題が成立しない
2のとき、交換後1/2で1、1/2で4（期待値2.5、1.25倍）
となります。
これは以前話した、有限一様分布での条件付確率の問題と一緒ですよね。
>>232にも書きましたが、s5179さんがやりたいことをまとめてもらえませんか？
＃s5179さんが話したい内容がいまいちつかめません。
- 247 名前：186 mailto:sage [2010/03/14(日) 09:17:09 ]
- >>246
「やりたいこと」はいままでに書いてありますね。
「主張したいこと」をまとめてもらえませんか？
- 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 09:19:45 ]
- 何を主張したいかをまとめたい
- 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 09:25:17 ]
- なにかしら 1.25 になるものを探しているんだろうね。
みなさん、もうつきあうことないよ。結論出てるし。
- 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/14(日) 09:26:00 ]
- どこにパラドックスが潜んでいるのかを明確にしたい
- 251 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 09:27:15 ]
- >240さん、この３の答えも分らないで良いのでは？
だめ。s5179さんは最も重要な部分について理解していないようなので、
かみくだいて説明する。
「封筒に自然数が書かれたカードが一枚入れられている。どの自然数が書かれているかは同様に確からしい。」
このような問題設定はありえない。
なぜなら1が入っている確立をxとすると、2が入っている確立、３が、４が、、、全てxとなる。
確立の全事象が起こる確率は1なので、
x+x+x+x+,,,,,,=1
これはありえない。
- 252 名前：240 mailto:sage [2010/03/14(日) 09:43:58 ]
- しかも封筒が二つの場合には二次元空間上の確率分布を考えなければならないので、少し難しい。
しかし、２倍と１/２の確立が常に同じと仮定すると同様の矛盾が現れる。
この問題の本質は「無限」にあるので、有限の場合はまったくの別問題。私はめんどうな計算問題には興味ない。
|
 |
