不等式への招待 第４章

1 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/15(月) 19:00:00 ] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ… 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ 過去スレ ・不等式スレッド （Part1）　 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ ・不等式への招待 第３章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/ 過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 姉妹サイト（？） Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000 152 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/12(日) 07:16:17 ] >>150 こんなのよく思い付くな。 見た目は綺麗だけど、証明にはイマイチだな〜。 153 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/12(日) 07:24:23 ] abc>=1 っていえる？ いえるなら、 ↓みたくいっきにとけたんだけど。 (a + b + c) - (ab + bc + ca) 　=　(a + b + c) - (4 - abc) (∵与条件) 　>= 3√(abc) - (4 -abc) (∵相加相乗平均) 　= n^2 +3n -4 ( n = √(abc) とおいた) 　= (n + 3/2)^2 - 25/4 ゆえに、 (n + 3/2)^2 - 25/4 >= 0 ・・・（１）　を示せばいい （１）⇔ (n + 3/2) >= 5/2 ⇔ n >= 1 ⇔ abc>=1 で、 abc >=1 なので成立 ■ で、肝心の abc >= 1 がしめせん。 154 名前：153 mailto:sage [2009/07/12(日) 07:35:24 ] あと、 a +b = p, ab = q と置くと、相加相乗平均より、p>=2√q・・・（１） 与件 ⇔ a.b.c>=0 （・・・（２））∧ c(p + q) + q = 4 ⇔a,b,c>=0∧c = (4-q)/(p+q) （p + q ≠ 0 ∵ 仮に p + q = 0 ならa = b = 0 となり 与条件に矛盾） すると、(a + b + c) - (ab + bc + ca) = c(1-p) +(p-q) = {(4-q)(p+q)}/(1-p) + (p-q) よって、{(4-q)(p+q)}/(1-p) + (p-q) >=0 を示せばよい。 で、（１）と（２）を使ってしめせるんじゃまいかな？・・・と思ったけど、 多分どっかで計算ミスしてて、示せない。。。 155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/12(日) 07:42:44 ] >>153 云えません。 相加･相乗平均により 　t = ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3), よって 　abc > 1　⇒　t + abc ≧ 3(abc)^(2/3) + abc > 4, これは題意に矛盾。 156 名前：153 mailto:sage [2009/07/12(日) 07:55:57 ] >>155 あら・・・・失礼 157 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/12(日) 08:00:17 ] >>152 そうかなぁ〜。 オリンピックレベルの問題とかではこういう解き方の方がむしろ常套手段だと思うんだけどな…。 158 名前：153 mailto:sage [2009/07/12(日) 08:07:22 ] >>155 でも、妙に数値がそろってる気が。。。 少し直せば正しくなるのかな？ あるいはどっかでおっきな勘違い？ 159 名前：150 mailto:sage [2009/07/12(日) 16:10:30 ] >>152 題意から 　a/(a+2) + b/(b+2) + c/(c+2) = 1, そこで ボクは 　x = k * a/(a+2), 　y = k * b/(b+2), 　z = k * c/(c+2), とおいた。 　x+y+z = k > 0, 　a = 2x/(k-x) = 2x/(y+z), 　b = 2y/(k-y) = 2y/(z+x), 　c = 2z/(k-z) = 2z/(x+y), 160 名前：159 mailto:sage [2009/07/12(日) 16:18:16 ] >>152 (補足)　↑では 恒等式 　　a/(a+2) + b/(b+2) + c/(c+2) = 1 + 2(ab+bc+ca+abc-4)/{(a+2)(b+2)(c+2)}, を使いますた。 　 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/12(日) 17:20:54 ] >>158 >>153の相加相乗平均の部分が違う．3数だから立方根だ． 3*(abc)^3となり，同様にnを置くと n^3 +3n -4 = (n - 1)(n^2 + n +4) ずばり>>153は勘違いしているな． A > B において B > 0 と A > 0 は関係がない．A > 0 > B などを考えれば明らか． B > 0 ならば A > 0 が言えるが， B <= 0 でも A > 0 の場合はある． これが今の場合ね． n < 1 の時，B(=n^3 +3n -4) < 0 だが 既に3例ぐらい証明されているように A[=(a + b + c) - (ab + bc + ca)] > 0． 162 名前：161 mailto:sage [2009/07/12(日) 17:27:16 ] ちょっと変な書き方だった 最初の段落は「ケアレスミスの指摘」ね，結果的に． あと後段の > A > B において B > 0 と A > 0 は関係がない は言い過ぎた． B > 0 の場合は大いに関係があるわｗｗｗ 「不等号の向き」が違う場合は注意せよ，という話か 163 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/12(日) 18:04:00 ] どうも 150 です. >>159-160 さん補足有り難うございます. この置き方は, 例えば, USAMO の問題で, a^2+b^2+c^2+abc=4 という関係式に対して, a = 2√( (yz) / ((x+y)(x+z)) ) b = 2√( (zx) / ((y+z)(y+x)) ) c = 2√( (xy) / ((z+x)(z+y)) ) という置換をして解く解法があります. これを知っていたので, 今回の解答はこれを変形して, bc/a = (2x/(y+z)) という関係と, a^2+b^2+c^2+abc = (ca/b)(ab/c) + (ab/c)(bc/a) + (bc/a)(ca/b) + (ab/c)(bc/a)(ca/b) という関係から導きました. 後で調べてみたら, ab+bc+ca+abc=4 に対して, a = 2x/(y+z), b = 2y/(z+x), c = 2z/(x+y) とおく方法は知られているものでした. しかし, 形はどうであれ, (a, b, c) →(f(x), f(y), f(z)) (a, b, c) →(S[x](x, y, z), S[y](x, y, z), S[z](x, y, z)) という置き方は良く行われます. 164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/12(日) 18:09:16 ] >>160 その恒等式はどこから出てきたんだ？？ 一応 a(b+2)(c+2) + (a+2)b(c+2) + (a+2)(b+2)c = 3abc + 4(ab + bc + ca) + 4(a+b+c) と出てきて，(a+α)(b+β)(c+γ) が関係あると考え，abc の係数を1にするために 与関係式(ab+bc+ca+abc=4 ⇔abc=4-ab-bc-ca)を使うと abc + 2(ab + bc + ca) + 4(a+b+c) + 8 = (a+2)(b+2)(c+2) だから a(b+2)(c+2) + (a+2)b(c+2) + (a+2)(b+2)c = (a+2)(b+2)(c+2) が得られ，両辺(a+2)(b+2)(c+2)で割って =1 の式が出てくるけど． 165 名前：164 mailto:sage [2009/07/12(日) 18:11:35 ] リロードしてなかったのでとんちんかんなレスしてしまったorz 166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/13(月) 03:50:36 ] >>147 照れるぜ！ 167 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/14(火) 01:49:03 ] アタシ･･･ネイルアーティスト検定に合格したの！！ 218.219.144.2/%7Eimg/vip/s/vip20ch78224.jpg キャバ嬢が好きなエグザイル image.blog.livedoor.jp/dqnplus/imgs/0/5/056ad755.jpg 168 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/14(火) 13:59:47 ] 【問題】 閉区間[0,1]上の連続関数 f(x)にたいして、 a_n = ∫_{0→1} x^n f(x) dx, n=0,1,2,,,, で数列 {a_n} を定める． このとき，不等式 Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx が成立することを示せ。 また、これが最良であることも示せ。 169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 14:10:00 ] 最良の定義は？ 170 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 14:25:00 ] >>147 条件に等号があるからそれを使って変数を減らす。 差を変形して変数が１以下と１以上であればいい事を見つける。 条件から１以下の変数と１以上の変数があることを示す。 どの部分が自然じゃない？ 171 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/14(火) 17:05:47 ] x,y,zは実数とする √ ( x ^ 2 + y ^ 2 ) + 2 √ ( y ^ 2 + z ^ 2 ) + 3 √ ( z ^ 2 + x ^ 2 ) ≦ M √ ( x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 ) を満たす正の定数Mの最小値を求めよ 172 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 18:07:51 ] >>171 a=√(x^2+y^2),b=√(y^2+z^2),c=√(z^2+z^2)とおくと 0≦a+2b+3c≦M√((a^2+b~2+c^2)/2) すなわち (a+2b+3c)^2≦(M^2/4)(a^2+b^2+c^2) ここでコーシーシュワルツより (a+2b+3c)^2≦(1^2+2^2+3^2)(a^2+b^2+c^2) 等号はa:b:c=1:2:3で成り立つ よってM^2/4=14 173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 18:11:14 ] まちがい ×　(a+2b+3c)^2≦(M^2/4)(a^2+b^2+c^2) ○　(a+2b+3c)^2≦(M^2/2)(a^2+b^2+c^2) ×　M^2/4=14 ○　M^2/2=14 174 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 18:13:30 ] >>169 定数 π未満だと不等式が成立しないということ。 つまり、0<C<πとなる任意の C>0 に対して、不等式 Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx が成立しない関数ｆ(x)が存在する、ということを示せばよい。 175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 18:25:30 ] Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx の等号成立条件を示せばいいってこと？ 176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 18:28:33 ] >>175 違う。 πより小さい定数では、不等式が成立しないことを示すこと。 （つまり、ベスト・コンスタントの問題） 177 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 19:09:06 ] 176にかってに横から追加すると 等号が自明でないfで成り立つならば >>175 のように等号条件を示しても良いが ヒルベルトの不等式を用いるならば 等号は自明な場合(f=0)しか成り立たないので 等号条件を示すのは「違う」となる 178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 20:36:27 ] >>126 ゴリ押しの証明だが一応できた。 ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1247571189 179 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 20:45:49 ] ゴメン。ちょっと修正。 ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1247571893 180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 21:55:34 ] >>168,177 【問題】 (訂正版) 閉区間[0,1]上の連続関数 f(x)（ただし，恒等的に0でない）にたいして、 　　a_n = ∫_{0→1} x^n f(x) dx, n=0,1,2,,,, で数列 {a_n} を定める． このとき，不等式 　　Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx が成立することを示せ。 また、定数 πが不等式が成立するための最良の定数であることも示せ。 181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/15(水) 03:40:51 ] >>171 √ は上に凸だから、 　√(x^2 +y^2) + √(z^2 +x^2) ≦ √(x^2 +y^2 +z^2) + x,　　････ (1) 　2√(y^2 +z^2) + 2√(z^2 +x^2) ≦ 2√(x^2 +y^2 +z^2) + 2z,　　････ (2) 5(x^2 + z^2) = (x+2z)^2 + (2x-z)^2 ≧ (x+2z)^2　より 　x + 2z ≦ (√5)√(x^2 +y^2 +z^2),　　　　　　　　　　　　　･････　(3) (1) 〜 (3) を辺々たす。 　M = 3+√5, 等号成立は x:y:z = 1:0:2 のとき >>172 　(a,b,c) は鋭角三角形条件を満たすんぢゃね? 182 名前：172 mailto:sage [2009/07/15(水) 03:53:21 ] >>181 　とは言え、(1) (2) は逆向きの希ガス。 183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/15(水) 04:30:27 ] a , b , c ≧ 0 a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + abc = 4 のとき 0 ≦ ab + bc + ca - abc ≦ 2 | x | ≦ 1 のとき | 4 x ^ 3 + a x ^ 2 + b x + c | の最大値は1以上であることを示せ 184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/15(水) 05:21:16 ] >>183 前半の問題は >>163 の時に言った USAMO の問題です. いくつか解法がありますが, その一つとして >>163 で言った置き方があります. 他にも解法がありますので, 色々と考えてみると面白いかもしれませんね. ある程度解法が出尽くしてしまったら, まだ知られていない解法を紹介します. 185 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/15(水) 05:34:55 ] 2log2 + 2log5 + 0.505 ＜ Σ [ k = 1 → 100 ] ( 1 / k ) ＜ 3log2 + 2log5 + 0.005 186 名前：185 mailto:sage [2009/07/15(水) 05:42:09 ] >>185は忘れて下さい 187 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/15(水) 16:19:05 ] 有名サイトかもしれないが一応 つjp.mathnori.com/ 188 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/15(水) 16:31:56 ] >>187 もうずっと更新されていないよね。 189 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/15(水) 16:33:06 ] >>187 もうずっと更新されていないよね。 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/15(水) 22:56:50 ] >>187 おいらには解けない５ science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116991508/ 191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/15(水) 23:30:32 ] >>183 (下) 4x^3 + a･x^2 + bx + c = f(x) とおくと、 　f(x) - f(-x) = 8x^3 + 2bx, 　{f(1) - f(-1)} -2{f(1/2) - f(-1/2)} = 6, ∴　|f(1)|、|f(-1)|、|f(1/2)|、|f(-1/2)| のいずれかが1以上。 192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/16(木) 00:45:04 ] 投下 x > 1 のとき ( logx ) [ log { ( x + 1 ) / ( x - 1 ) } ] の最大値を求めよ 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/16(木) 01:51:25 ] >>192 {log(1+√2)}^2　　　(x=1+√2) 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/16(木) 02:08:10 ] >>192 　(x+1)/(x-1) = y とおくと、 　(x-1)(y-1) = 2,　　　(直角双曲線) これは x = y = 1+√2 をとおる。 >>185 　log(n) + 0.505 < Σ[k=1→n] (1/k) < log(n) + 0.698 195 名前：191 mailto:sage [2009/07/16(木) 22:15:14 ] >>183 (下) max{|f(x)| ; -1≦x≦1} = 1 となるのは a=0, b=-3, c=0 のとき 　f(x) = 4x^3 -3x = 1 - (1-x)(1+2x)^2 ≦ 1,　(x=1, -1/2 で最大値1) 　f(x) = 4x^3 -3x = (1+x)(1-2x)^2 -1 ≧ -1,　(x=-1, 1/2 で最小値-1) あるいは 　f(x) = -sin(3arcsin(x)), 196 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/17(金) 02:42:14 ] www.yozemi.ac.jp/NYUSHI/sokuho/recent/okayama/zenki/sugaku_bun/images/mon3_1.gif 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/17(金) 03:59:50 ] 拾い ( a + b + c ) ( x + y + z ) = 3 ( a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 ) ( x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 ) = 4 のとき a x + b y + c z > 0 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/17(金) 05:57:06 ] >>197 あえて、行列使うか、 あるいは、xyz空間で、 x+y+z=(a+b+c)/3 x^2+y^2+z^2=(a^2+b^2+c^2)/4 を考えて、 線形計画法でやろうかとおもたけど、むりでした。 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 02:36:28 ] >>183の上は 三角形ABCの内心をI、内接円、外接円の半径を順にr,Rとして r/R≦(AI+BI+CI)/2R≦r/R+1 を示せばよい。 200 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/18(土) 02:38:29 ] >>197 上の式を２乗する事から始めればできそう。 それか、三次元のベクトル空間に持ち込むか。 201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 02:55:21 ] >>197 >>200 に従い、3個の単位ベクトルを 　ａ↑ = (a,b,c) / √(a^2 + b^2 + c^2), 　ｘ↑ = (x,y,z) / √(x^2 + y^2 + z^2), 　ｅ↑ = (1,1,1) / √3, とおく。いま 　(ａ･ｅ) = A, 　(ｘ･ｅ) = X, 　ａ - Aｅ = Ａ_v, 　ｘ - Xｅ = Ｘ_v, とおくと 　|Ａ_v| = √(1-A^2), 　|Ｘ_v| = √(1-X^2), 　|Ａ_v||Ｘ_v| ≦ 1 - (A^2 + X^2)/2 ≦ 1 - AX, ∴　(ａ･ｘ) = AX + (Ａ_v･Ｘ_v) ≧ AX - |Ａ_v||Ｘ_v| ≧ 2AX -1 題意より AX= 1/2 だから 　(ａ･ｘ) ≧ 0, 202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 03:10:23 ] >>197 >>200 に従い、3個の単位ベクトルを 　ａ↑ = (a,b,c) / √(a^2 + b^2 + c^2), 　ｘ↑ = (x,y,z) / √(x^2 + y^2 + z^2), 　ｅ↑ = (1,1,1) / √3, とおく。いま 　(ａ･ｅ) = cos(∠(ａ,ｅ)) = cosα,　　　　(0≦α≦π) 　(ｘ･ｅ) = cos(∠(ｘ,ｅ)) = cosθ,　　　　(0≦θ≦π) とおくと 　∠(ａ,ｘ)) ≦ ∠(ａ,ｅ) + ∠(ｘ,ｅ) = α + θ, ∴　(ａ･ｘ) = cos(∠(ａ,ｘ)) ≧ cos(α + θ) 　　= 2(cosα)(cosθ) − cos(α−θ) ≧ 2(cosα)(cosθ) -1, 題意より (cosα)(cosθ) = 1/2 だから 　(ａ･ｘ) ≧ 0, 203 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/18(土) 04:43:37 ] 0＜θ≦φ≦π/2において sinθ/sinφ≧θ/φ これのうまい証明方法ってありまつか？ 204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 05:23:21 ] >>203 sinx/xが[0,π/2]で単調減少であることを示す くらいしか思いつかん 205 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/18(土) 05:58:03 ] 数列 a [ n ] において a [ 1 ]= 3 , a [ 2 ] = 5 , a [ 3 ] = 7 ( a [ n ] ) ( a [ n + 3 ] ) = ( a [ n + 2 ] ) ^ 2 - ( a [ n + 1 ] ) ^ 2 を満たすとき | a [ n ] | < 14 / √ 3 a , b , c > 0 , a ^ 2 > b c のとき ( a ^ 2 - b c ) ^ 2 ≧ k ( b ^ 2 - c a ) ( c ^ 2 - a b ) を満たす最大の k を求む 206 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/18(土) 06:10:14 ] >>202 いつも俺の方針に従って解いてくれてありがとう(笑) 207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 06:17:59 ] >>205 ２問目は数オリ本選やがな 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 06:21:37 ] >>206 涙拭けよ(笑) 209 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/18(土) 10:52:08 ] >>208 はい。 210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 17:00:00 ] ｄ＝（ｂｃ）＾（１／２）。 　（ａ＾２−ｂｃ）＾２−４（ｂ＾２−ａｃ）（ｃ＾２−ａｂ） ＝（ａ＾２−ｂｃ）＾２−４（ｂ＾２ｃ＾２＋ａ＾２ｂｃ）＋４ａ（ｂ＾３＋ｃ＾３） ≧（ａ＾２−ｄ＾２）＾２−４（ｄ＾４＋ａ＾２ｄ＾２）＋８ａｄ＾３ ＝ａ＾４−６ａ＾２ｄ＾２＋８ａｄ＾３−３ｄ＾４ ＝（ａ＋３ｄ）（ａ−ｄ）＾３。 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 22:41:46 ] >>204 y=sin(x) は 0<x<π で上に凸ゆえ 　sinθ ≧ {(φ-θ)sin(0) + θsinφ}/φ = (θ/φ)sinφ, 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/19(日) 06:06:31 ] 671 < Σ [ k = 1 , 100 ] √ k < 672 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/19(日) 08:13:08 ] >>212 �納k=1,n] f(k) = S_n　とおく。y=f(x) は上に凸だから 　∫[k-1/2,k+1/2] f(x)dx　< f(k), 　 {f(k-1) + f(k)}/2 < ∫[k-1,k] f(x)dx, ゆえに 　∫[1/2,n+1/2] f(x)dx < S_n < (1/2)f(1) + ∫[1,n] f(x)dx + (1/2)f(n), 本題では f(x) = √x なので, 　[ (2/3)x^(3/2) ](x=1/2, n+1/2) < S_n < (1/2) + [ (2/3)x^(3/2) ](x=1,n) + (1/2)√n, 　(2/3){(n+1/2)^(3/2) - (1/2)^(3/2)} < S_n < (1/2) + (2/3){n^(3/2) -1} + (1/2)√n, 本題では n=100 なので 　671.437･･･ < S_100 < 671.50 なお　S_100 = 671.462947103148･････ 214 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/19(日) 19:56:21 ] x≧1のとき(log(x+1))^2>(logx)(log(x+2))を示せ 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/19(日) 21:44:17 ] >>214 0 < x ≦1 のときは明らか。 x>1 のとき 　ビブンのことはビブンでするのもいいが、 　log(x) = log(x+1) + log(1 -1/(x+1)) < log(x+1) - 1/(x+1), 　log(x+2) = log(x+1) + log(1 +1/(x+1)) < log(x+1) + 1/(x+1), 両辺>0 だから 辺々掛けて 　log(x)log(x+2) < {log(x+1)}^2 - {1/(x+1)}^2 < {log(x+1)}^2, ぬるぽ 216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/19(日) 21:53:59 ] >>214 log(x+1) / log(x) > log(x+2) / log(x+1) を示せばいいから f(x) = log(x+1) / log(x) が単調現象だってことを示せば済む． つまり f'(x) = ( x log(x) - (x+1) log(x+1) ) / (x(x+1) (log(x))^2) < 0 を示せばいいが，これは g(x) = x log(x) が単調増加であることに同値で g'(x) = log(x) + 1 > 0 より言える >>215 > x≧1のとき 217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/19(日) 21:59:13 ] >>216 x≧1は必要ないってことだろ >>215 が 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/19(日) 22:55:17 ] >>199 △ABC の3辺の長さを 　AB = x+y,　BC = y+z,　CA = z+x, とおき >>163 を使うと 　AI = √{x(x+y)(x+z)/s} = bcR, 　BI = √{y(y+z)(y+x)/s} = caR, 　CI = √{z(z+x)(z+y)/s} = abR, 　2r = 2√(xyz/s) = abcR, 　R = (y+z)(z+x)(x+y)/{4√(xyzs)}, 　s = x+y+z, ∴　(AI+BI+CI-2r)/R = bc + ca + ab -abc, 　 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/20(月) 01:44:45 ] αは実数 β = sin α , γ = sin β のとき ( | α | + | γ | ) ≧ 2 β また π < 3.1416 を用いて sin ( 1 / 2 ) > 0.4764 220 名前：203 mailto:sage [2009/07/20(月) 15:35:18 ] >>219 　>>203-204 の応用問題でつね。 (上) 　sin( ) の周期性から、|α| <π を考えれば十分。 　∵　α - [(α+π)/2π]*2π = α' とおくと 　|α'| ≦ min(|α|, π) 　β = sinα = sin(α'), ・α=nπ のときは明らか(α=0で等号成立)。 ・α≠nπ のとき 　θ=|β|, φ=|α'| を代入する。 　|sinβ| / |β| > |sin(α')| / |α'|, 　|γ| / |β| > |β| / |α'|, 　|α| + |γ| ≧ |α'| + |γ| > 2√(|α'||γ|) > 2|β| ≧ 2β, (下) 　θ=1/2, φ=π/6 を代入する。 　sin(1/2) > 3/(2π) > 0.47746･･･ 221 名前：181 mailto:sage [2009/07/20(月) 16:32:14 ] >>171 　a,b,c を >>172 のようにおくと問題は、 (a,b,c) が鋭角△条件を満たすとき、 　pa + qb + rc ≦ M√{(a^+b^2+c^2)/2}, を満たすMの最小値を求めよ。 　(p,q,r) が鋭角△条件を満たすときは >>172 と同様な答となり、等号条件は a:b:c = p:q:r (相似) となる。 しかし >>171 のように (p,q,r) が鋭角△条件を満たさないときは、上記のような (a,b,c)は存在しない。 それぢゃぁ >>171 のように r - √(p^2 +q^2) = 2δ > 0 の場合はどうするか？ 　(pa+qb)^2 = (p^2 +q^2)(a^2 +b^2) - (qa-pb)^2 ≦ (p^2 +q^2)(a^2 +b^2), 　pa + qb + rc ≦ √(p^2 +q^2)√(a^2 +b^2) + rc　　　(← コーシー) 　　　=　M{√(a^2 +b^2) +c}/2 - δ{√(a^2 +b^2) -c}　{← M = r + √(p^2+q^2)} 　　　≦ M{√(a^2 +b^2) +c}/2　　　　　　　　　　　　(← δ>0) 　　　≦ M√{(a^2 +b^2 +c^2)/2}, 　　　　　　　　　　(← コーシー) 等号成立は a:b:c = p:q:√(p^2+q^2) (直角��) のとき。 　参考書[3] の最初にもあるが、説明不足の希ガス。 222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/20(月) 17:39:56 ] sin 10ﾟ > 0.17 を示せ 多分東大模試の過去問 多分小問付いてたはず 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/20(月) 18:10:09 ] 3倍角利用して3次方程式の解の評価に帰着 224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/20(月) 18:14:49 ] >>222 　y=sin(x) は |x| < 90ﾟ で単調増加。 　sinα = 0.17 なるαが1つ存在する。 　sin(3α) = 0.490348 < 1/2 = sin(30ﾟ), ∴ 3α < 30ﾟ, ∴ α < 10ﾟ, ∴ 0.17 < sin(10ﾟ) かな？ 225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/20(月) 19:43:48 ] そろそろネタ切れ | Σ [ k = 1 , n] { a [ k ] sin ( kx ) } | ≦ | sin x | のとき | Σ [ k = 1 , n] k a [ k ] | ≦ 1 226 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/20(月) 21:21:29 ] 255だるまにおん　[2009/06/22(月) 17:50:07] 出題 f(x)は0≦x≦1において積分可能で、 　∫[0,1]f(x)dx=∫[0,1]xf(x)dx=1 が成り立つものとする。このとき、 　∫[0,1](f(x))^2dx≧4 を証明せよ。 www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/ 227 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/20(月) 23:45:03 ] まとめサイトの中の人 携帯でみれるようになりませんかね？ 228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/20(月) 23:54:08 ] >>226 0≦∫[0,1]{f(x)-6x+2}^2dx ＝∫[0,1]{f(x)}^2dx - 12∫[0,1]xf(x)dx + 4∫[0,1]f(x)dx + ∫[0,1](36x^2-24x+4)dx ＝∫[0,1]{f(x)}^2dx - 12 + 4 + 4 ＝∫[0,1]{f(x)}^2dx - 4 移項して ∫[0,1]{f(x)}^2dx ≧ 4 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/21(火) 06:34:31 ] 何処かの掲示板の回答と同じですね。 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/21(火) 07:36:34 ] 同一人物 231 名前：228 mailto:sage [2009/07/21(火) 07:55:52 ] >>229 確かに，引用元に貼ってある解答を見たら，全く同じだった。 どう考えても結局同じ解答に至るということだね。 一般に，g,hを与えられたL^2(Ω)の元，α,βを任意の複素数とするとき， 　{ ||f||^2 ∈R | f∈L^2(Ω)，<f,g>=α，<f,h>=β } の最小元を探す問題は，同様に 　|| f- ag - bh ||^2 を最小化する a,b を見つける２次式の問題に帰着される。 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/21(火) 08:30:59 ] a,b,c＞0 abc=1 (1+ab)/(a+b)+(1+bc)/(b+c)+(1+ca)/(c+a)≧3 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/21(火) 22:53:03 ] >>227 諦めろ！ 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/22(水) 00:24:18 ] >>231 　{f(x)-6x+2, 2x-1, 1} が直交系････ 235 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/22(水) 05:43:21 ] 1.4<∫[0,1]e^(x^2)dx<1.5を示せ。 ただし2.71<e<2.72。 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/22(水) 21:12:15 ] ふと思った問題 ↑a=(a[1],a[2],…a[n]) ↑x=(x[1],x[2],…x[n]) 0<a[1]≦a[2],…≦a[n] 0≦x[i] ↑a･↑x=K>0 のとき |↑x|を最大,最小にする↑xは何か 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/22(水) 21:40:33 ] >>234 直交性から 　∫{f(x)}^2 dx = ∫{f(x)-6x+2}^2 dx + 9∫(2x-1)^2 dx +∫1^2 dx 　　≧ 9∫(2x-1)^2 dx +∫1^2 dx, >>235 与式をＩとおく。 　1 + t + (1/2)t^2 < e^t < 1 + t/(1 - t/2), から 　[ x + (1/3)x^3 + (1/10)x^5 ](x=0,1) < Ｉ < [ (√2)log{(√2 +x)/(√2 -x)} - x](x=0,1), 　1 + (1/3) + (1/10) < Ｉ < (√2)log{(√2+1)/(√2 -1)} -1, 　1.43333････ < Ｉ < 1.49290････ >>236 　最小値はコーシーで、 |ｘ↑| ≧ Ｋ/|ａ↑|. 238 名前：235 [2009/07/22(水) 22:07:21 ] 用意していた解法 e^t≧1+t+(t^2/2)+(t^3/6)より e^(x^2)≧(1+x^2+(x^4/2)+(x^6/6)を使う ∫[0,1]e^(x^2)dx ≧∫[0,1]{(1+x^2+(x^4/2)}dx =43/30 >1.4 ∫[0,1]e^(x^2)dx =e-∫[0,1]2x^2*e^(x^2)dx ≦e-∫[0,1]2x^2*{(1+x^2+(x^4/2)+(x^6/6)}dx =e-(1178/945) <2.72-1.22 =1.5 239 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/23(木) 00:45:30 ] この数学五輪って確か中学レベルの知識で解ける程度の問題レベルだったはず。 鼻高々の金メダリスト達に東大や京大の理系数学の問題を見せて、 数学の本当の恐ろしさというものを思い知らせてやりたいなｗ 俺も立命館の数学科出身だけど、数学を舐めるなと言いたい。 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 01:45:00 ] 釣りは他所でやってね 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 01:50:41 ] >>239 中学レベルの知識で解ける≠中学生レベルの実力で解ける 確かに数学オリンピックは行列や解析が範囲外だったりするが、 知識があるからって簡単に解ける問題ばかりではない。 それにIMOにでるほどの人たちが高校数学程度の知識に 欠けてるってのは考え難い。 東大京大の問題くらいだったら解いてしまうんじゃないかな。 金メダリストたちがこの先大成するかはわからないが、 素直に応援しようじゃないか。 そんなことより、不等式を崇める作業に戻るんだ 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 01:54:35 ] 釣りにマジレスすんなｗ 243 名前：241 mailto:sage [2009/07/23(木) 01:57:29 ] 3辺の長さがa,b,cの三角形がある。ただし、a≧b≧cである。 s=(a+b+c)/2とおく。 三角形の面積を2等分する線分の長さをlとするとき、 l≧√{2(s-a)(s-b)}を示せ。 244 名前：241 mailto:sage [2009/07/23(木) 01:59:16 ] >>242 すまん、死んでお詫びを(AA略 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 04:41:11 ] 政権童貞 「一回やらせて」 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 05:30:30 ] 0 ﾟ < θ < 180 ﾟ において cosθ = 12 / 13 のとき n ﾟ < θ < ( n + 1 ) ﾟ を満たす整数nを求めよ （早稲田大） 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 09:32:50 ] カンでn=5 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 16:55:20 ] ここの問題を他所で自分が考えたように出題 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 22:19:35 ] >>246 　cosθ = 12/13 より, 　cos(4θ) = T_4(cosθ) = 8(cosθ)^4 - 8(cosθ)^2 +1 = -239/(13^4) < 0, 　sin(4θ) = U_4(cosθ)sinθ = 1 - 1/(13^4), 4θ -90ﾟ > 0 より 　sin(4θ -90ﾟ) < (π/180)(4θ -90ﾟ) < tan(4θ -90ﾟ), 　|cos(4θ)| < (π/180)(4θ -90ﾟ) < |cos(4θ)|/sin(4θ), 　239/(13^4) < (π/180)(4θ -90ﾟ) < 239/(13^4 - 1), 　0.479454ﾟ < 4θ -90ﾟ < 0.479471ﾟ 　22.6198635ﾟ < θ < 22.6198678ﾟ 　n = 22 なお、　θ = 22.61986494804042617294901087668･･･ >>237 (中)　補足 　1 + t + (1/2)t^2 < e^t < 1 + t/(1 - t/2), 左側:　逐次積分で 　e^t -1 >0,　　　(t>0) 　e^t -t -1 >0, 　e^t -(1/2)t^2 -t -1 >0, 右側: (e^t - 1)/(e^t + 1) = tanh(t/2) < t/2, を e^t について解く。 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 23:15:31 ] 自然対数の底eを e = Σ [ k = 0 , ∞ ] ( 1 / k ! ) とする ( 1 ) e < 2.721 ( 2 ) log ( 1 + x ) ≦ x / √ ( 1 + x ) ( 3 ) 1.0317 < e ^ ( 1/32 ) < 1.0318 ただし 2.721 ^ ( 1 / 16 ) < 1.064561 とする 251 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/24(金) 17:00:01 ] myhome.personaldb.net/ideahitme/problem3.pdf 252 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/24(金) 23:00:31 ] >>228の6x-2ってどっから出てきたんですか？

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