- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 21:11:21 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 23:44:16 ]
- ＞問題出したというより疑問として出したんだけど
- 655 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 23:52:35 ]
- >>634
目から鱗です。。。
- 656 名前：だいすけ ◆jcXETTeIVg mailto:sage [2009/09/23(水) 00:07:51 ]
- 今日、来年理１受けることを決めたｗ
で、問題。
=========================================================================================
ある自然数の２乗で表すことのできる数を平方数と呼ぶ。
1^2=1,2^2=4,3^2=9,4^2=16・・・（中略）・・・2010^2=4040100,2011^2= 4044121,….であるので
平方数を小さい順に記述すると、
1,4,9,16・・・（中略）・・・,4040100,4044121,・・・・(以下永遠に続く)
である。
ある自然数nは、平方数であり、nを１０進法で記述したとき各桁の数字がすべて１である。
n を求めよ。
=========================================================================================
って、平方数かじったことある人なら楽勝かもしれないけど、
「東大入試」って考えれば、いいよね？（でもかんたんすぎる？解き方もいろいろあるし）
- 657 名前：だいすけ ◆jcXETTeIVg mailto:sage [2009/09/23(水) 00:13:02 ]
- もひとつ。
=========================================================================================
ｘｙ座標平面上に、原点Ｏを中心とし半径１の円Ｃ、および、円Ｃの円周上に相異なる点Ｐ、点Ｑがあり、ＰＱ＝aである。
また、△ＯＰＱの面積を２等分する直線lがある。
直線lと△ＯＰＱの交点を点Ｍ、点Ｎとするとき、線分ＭＮの長さの最小値を a を用いて表せ。
=========================================================================================
（実は数学から長らく離れてたので、東大入試の難易度、年々かんたんになってるということくらいしかあまり知らない・・・）
- 658 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 00:17:16 ]
- 2^X=X^2の実数解Xを求めよ。
こんなのどうだろう。
ちょっと逸脱気味だし、満点取るやついないだろうな…
- 659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 00:42:30 ]
- >>658
X^(1/X) = 2^(1/2),
X = 2,4
- 660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 01:30:23 ]
- >>656
条件より、ある正整数kを用いて、
n=(10^k-1)/9
とあらわせる。
これより、
9n=10^k-1……(※)
以下では法4で考える。
nは平方数なので、0,1と合同になるが、0と合同になるのはnが4の倍数のときである。
4の倍数の下一桁には1が現れないことから、nは1と合同となる。
9が1と合同であることとあわせて、(※)の左辺は1と合同になる。
したがって、
10^k-1≡1⇔10^k≡2⇔2^k≡2⇔2^(k-1)≡1
k-1≧2のとき、2^(k-1)は4の倍数になるから、
k-1=0,1⇔k=1,2
前者のときは、
n=1
後者のときは、
n=11
nは平方数なので、求める数はn=1である。
- 661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 02:09:08 ]
- >>660
なるほどなあ いい問題や
- 662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 02:10:43 ]
- じゃあオレからも一題。
y=x^2 と x^2+y^2+z^2=1で囲まれる体積の、小さいほうの体積を求めよ。
- 663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 02:11:27 ]
- どこがいい問題なんだか
- 664 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 03:07:28 ]
- 円C_a,C_b,C_cは互いに3点で外接する。
その三点を通る円の面積をS
C_a,C_b,C_cに囲まれた部分の面積をS'とする
この時S'/Sの最大値を求めよ
- 665 名前：>>656=だいすけ ◆jcXETTeIVg mailto:sage [2009/09/23(水) 03:13:11 ]
- >>660
あってます。
けど、「nは平方数なので、0,1と合同になる」の部分、東大入試的には説明不足で減点にならないのかなぁ・・・
あと、2^(k-1)≡1 がわかった段階で、そのあとは、
（mod 4の考えから少し（？）離れれば）
「k>=2 のとき2^(k-1)は２の倍数なので、題意を満たさない。また、k=1のとき、n=1。これは題意を満たす。答えは１」
で終わる。
たぶん、「正整数pについて、p^2≡0 または p^2≡1 (mod 4)」ってのを知ってたから、こう解いたのだと思いますが、
ちょっと実験すれば、回答は５行で書けます。
- 666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 03:45:46 ]
- >>656
難易度A*だな
- 667 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 04:11:34 ]
- 秒針、短針、長針をもった、正確に動いている時計がある。
この3本の針について、どの2本の針のなす角も120°である瞬間は存在するか。
- 668 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 04:40:47 ]
- 命題P,Qがある。P,Qは真か偽か不明だが少なくとも一方は真である。
続き作れ
- 669 名前：だいすけ ◆jcXETTeIVg mailto:sage [2009/09/23(水) 05:05:50 ]
- >>667
それぞれの針は、なめらかに動くの？それとも、（たとえば秒針なら）１秒ごとに、2π*(1/60)だけ「カチっ」って、瞬間移動っぽく動くの？
(分針は必ずなめらかに動くんだっけ？いつもデジタル時計しか見てないからわすれた）
>>668
Ans,
命題「>>668」は真か偽か不明である。
- 670 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 09:18:18 ]
- 数列｛a[n]｝は
漸化式a[n+2]=(a[n+1]+a[n])/2とa[1],a[2] によって定まる数列である。
lim[n→∞]a[n]＝αとおくとき、
|a[1]-α|≧|a[2]-α|を示せ。
(☆漸化式を解かない方法てあるかな？)
- 671 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 10:15:09 ]
- 誰か>>658を解ける強者いない？
ちなみにコンピュータは使わないでね。
>>659は違います。実数解は全部で3つ存在してます。
- 672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 10:57:12 ]
- ま、どうでもいいけど、問題としてどんな面白みを感じてるのさ？
- 673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 12:21:55 ]
- X^2=(-X)^2=2^X
2^(-X)=(-X)^(-2)
2^(1/(-2))=(-X)^(-1/X)
1/√2=t^(1/t)
さて…?
- 674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 12:27:06 ]
- x＜0で片や単調増加、片や単調減少
中間地の定理から-0.5と-1の間に零が一個ある、程度でいいんじゃねえの
- 675 名前：うんこ mailto:sage [2009/09/23(水) 14:05:12 ]
- -0.76あたりで３つめをとるな！
しかし、673のようにx乗根を取ったときその変形が同値なのかわからんな。
- 676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 17:45:30 ]
- 任意の自然数k,mについて
a^n+b^n=c^(km+1)
が成立するような(a,b,c）の組は無限個存在することを示せ.
- 677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 17:46:56 ]
- × a^n+b^n=c^(km+1)
○ a^m+b^m=c^(km+1)
- 678 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 18:10:21 ]
- >>561=>>632=>>672
文句ばっかり言ってるね。
自分が投下した問題を吊るしてみなさいYO
- 679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 18:11:16 ]
- 実際つまらんから言われても当然
- 680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 18:12:21 ]
- {a[n]}(n=1,2,3,…)は各項が正の実数からなる数列で、
初項a[1]から第n番目の項a[n]までの和をS[n]とおく。
a[n]=√S[n]を満たしているとき、a[n]の一般項を求めよ。
- 681 名前：だいすけ ◆jcXETTeIVg mailto:sage [2009/09/23(水) 18:19:45 ]
- >>656 で出題したやつのかんたんな解答例
nは題意により奇数。一般に偶数の２乗は偶数。ゆえに、∴n=(2k+1)^2 （kは非負整数）とおける
するとn=(2k+1)^2=4*(k^2)+4*k+1 ゆえにn-1=4*(k^2)+4k=4(k^2+k)
題意よりn-1の下１桁は０であるので、4(k^2+k) = 0
(∵ 4*非負整数 の下１桁が0になるのは、この非負整数が0のときだけである)
∴ n-1=0 ゆえにn=1 これは題意を満たす。よって答えは n=1
===============================
>>657
で出題したやつ、だれも解いてない。だれか解いてくれぇ。。
===============================
>>676 (>>677）
a^m+b^m=c^(km+1) ⇔c = (a^m+b^m)の(km+1)乗根
m,kの値がいくつであっても、a,bは変数であるので、a,bが実数全体を動くことを考えると、(a^m+b^m)は無限個の値をとる。
また、(km+1)は、a,bの値に依存しない。
ゆえに、c（ = (a^m+b^m)の(km+1)乗根）も、（a,bの値に依存するとはいえ）無限個の値をとる。
よって、題意を満たす(a,b,c）の組は無限個存在する。■
、
- 682 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 18:25:07 ]
- >>681
＞4*非負整数 の下１桁が0になるのは、この非負整数が0のときだけである
ダウト
例えば非負整数=5では？
- 683 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 18:37:10 ]
- >>680
大数の宿題かなんかだっけ？
その問題
- 684 名前：681 mailto:sage [2009/09/23(水) 18:39:42 ]
- >>681
の
====
題意よりn-1の下１桁は０であるので、4(k^2+k) = 0
(∵ 4*非負整数 の下１桁が0になるのは、この非負整数が0のときだけである)
====
これ、ウソだった。（4*40=160とか）
正しくは、たとえば、
＝＝＝
n-1が２桁以上のとき、n-1 （ = 4(k^2+k)）は５で割り切れ、これを満たすkは、0のみ。
しかしこのとき、n=(2k+1)^2=1ゆえnは１桁。よって矛盾し、題意を満たさない。
一方、n-1が１桁だと仮定すると、n=1である。これは題意を満たす。よって答えは1
＝＝＝
- 685 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 18:50:05 ]
- 関数f(x)は任意の実数について定義され、実数値をとる関数であり、以下の2つの条件をともにみたす。
f(x)としてありうるものをすべて求めよ。
*任意の実数xについてf''(x)> 0(第2次導関数が常に正の値)である。
*任意の相異なる実数a,bに対してy=f(x)上の2点A(a,f(a)),B(b,f(b))を考えたとき、
線分ABとy=f(x)で囲まれる部分の面積は |a-b|^3 である。
- 686 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 18:53:26 ]
- >>684
＞n-1が２桁以上のとき、n-1 （ = 4(k^2+k)）は５で割り切れ、これを満たすkは、0のみ
意味不明。
そもそも>>656はnの桁数が2以上のときn=1...11≡3(mod4)で平方剰余にならないことからあっさり終了する。
東大にこんな知ってるか知ってないかの安易な出題はまずされない。
- 687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 18:55:47 ]
- >>684
いや k^2+k ( =k*(k+1) )が５の倍数のとき、ダウトだ。。。
最初に解いた答え、どっかゴミバコにすてちった。。。５で割ったことはたしかなんだが。
- 688 名前：687 mailto:sage [2009/09/23(水) 18:57:33 ]
- >>686
n=1...11≡3(mod4)、知ってたけど、東大受験生的には常識？
- 689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 19:01:02 ]
- 4の倍数の判別法くらい中学生でも知ってるだろ・・・
- 690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 19:27:21 ]
- >>679
多分おまえの方がつまらない
- 691 名前：297 mailto:sage [2009/09/23(水) 19:29:58 ]
- >>670
(a[n+1] + 2a[n+2])/3 = (a[n] + 2a[n+1])/3 = ･･････ = (a[1] + 2a[2])/3,
∴ α = (a[1] + 2a[2])/3,
a[n+1] - α = (-1/2)(a[n] - α) = ･･････ = (-1/2)^n {a[1] - α},
- 692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 19:50:19 ]
- >>685
y=6x^2+ax+b
- 693 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 19:52:52 ]
- >>685
任意の実数xについてf''(x)>0
は
任意の実数xについてf'(x) が存在
に弱められそうだだが。
- 694 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 19:56:38 ]
- >>693は勘違い
電電無視してくれ
- 695 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 19:59:31 ]
- でも確かに広義の凸性があれば、2回微分可能でなくてもいいな。
- 696 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 20:04:09 ]
- 確かに
誰かギリギリの条件の模索頼む
- 697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 20:07:37 ]
- >>658
x>0のとき。f(x) = log x/xとすると、f'(x) = (1-\log x)/x^2よりx=eで極大値を持ち、
x<eで単調増加、x>eで単調減少。
2^x=x^2は、logx/x=log 2/2より、x<eでは解はX=2のみ。x>eでは解はX=4のみ。
x<0のとき。y=-xとすると、y^2=2^{-y}よりlog y/y = - log 2/2。このようなyは、0<x<eでf(x)=log x/x
が単調増加するので、0<y<1の間に一意的に存在する。
y = - (2/log(2))*LambertW(log(2)/2)
(LambertW(x)はLambertのW関数で、y=xe^xの逆関数)
- 698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 20:22:21 ]
- 任意の自然数k,mについて
a^m+b^m=c^(km+1)
が成立するような自然数(a,b,c）の組は無限個存在することを示せ.
- 699 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 22:20:32 ]
- >>698
これは簡単すぎだろ
- 700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 00:07:46 ]
- このスレから６問、２０１０年度の東大本試に出したら、暴動起こるだろうな
- 701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 01:12:35 ]
- >>700
作問者って、このスレ見てるのかな？1人くらいはみてそう
- 702 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 01:15:19 ]
- >>698
>>677 で同じの出してるじゃん、だいじょうぶ？
- 703 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/24(木) 01:44:37 ]
- >>671の解答って結局
X=2、4とあと一つX<0の範囲に存在する解は何なんだ？
グラフ書いてみて何となく想像つく気もするが、高校の知識でこれを解く方法なんてあるのか？
- 704 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/24(木) 01:45:54 ]
- >>671じゃなくて>>658だた
訂正
- 705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 02:10:07 ]
- ニュートン法。
- 706 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 05:49:12 ]
- >>703-705
X = -0.7666646959621230931112044225103･･･
- 707 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/24(木) 06:02:36 ]
- >>685の解法おしえて
- 708 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 08:00:00 ]
- 三角形（ａ，ｆ（ａ））（ｂ，ｆ（ｂ））（ｃ，ｆ（ｃ））の面積。
- 709 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/24(木) 08:04:57 ]
- ☆☆☆★最大級の注意を★☆☆☆☆☆
☆☆☆★とくに千葉県、静岡県、東京都や関東で大震災の恐れが★☆☆☆☆☆
☆☆☆★とくに千葉県、静岡県、東京都や関東で大震災の恐れが★☆☆☆☆☆
☆☆☆★とくに千葉県、静岡県、東京都や関東で大震災の恐れが★☆☆☆☆☆
☆☆☆★世界の支配者ユダヤが地震兵器を使うのか★☆☆☆☆☆
友人、知人、親類縁者、あらゆるつながりを駆使して巨大地震がくることを教えて下さい。
四川地震より大きいのが来る可能性があります。
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警告！21-23日の地震は外れた次は27日やヴぁいかも5
live24.2ch.net/test/read.cgi/eq/1253716942/
ワタスの予言では今月中に関東大地震だす３
live24.2ch.net/test/read.cgi/eq/1253594903/
e-PISCO Part11
live24.2ch.net/test/read.cgi/eq/1252991726/
ほんとに大震災だったら犯人は特権階級全員だってことにwwwwwwww
☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆
カナダの世界的科学者ロザリー・バーテルはハープが地震兵器や脳を損傷させる兵器の疑い
があるので情報を公開するように要請している
www.youtube.com/watch?v=8AMlqRsHUXI&feature=player_embedded#t=511
- 710 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/24(木) 08:35:01 ]
- 不等式log_[x](3x^2-10x+7)≧2を満たす実数x(0<x<1)に対して、
x^2-2ax≧1が成り立つaの範囲を求めよ。
※log_[x]（…)は底がxということです。
- 711 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/24(木) 08:37:39 ]
- 任意の実数xか有る実数xに対してかハッキリしてくれ
- 712 名前：710 [2009/09/24(木) 08:50:18 ]
- 【訂正】
不等式log_[x](3x^2-10x+7)≧2を満たす全ての実数x（0<x<1）に対して、
x^2-2ax≧1が成り立つaの範囲を求めよ。
- 713 名前：うんこ mailto:sage [2009/09/24(木) 12:52:27 ]
- >>712 かなり数が汚くなるなあ
一行目変換で 2x^2-10x+7≦0。よって(5-√(11))/2≦x<1。
f(x)=x^2-2ax-1としたとき、f(1)=-2a これが非負なのでa≦0.
よってf(x)の軸は負か0にあり、f( (5-√(11))/2 )≧0より- (9√(11)-25)/28≧a となる
- 714 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/24(木) 14:59:26 ]
- s<tのとき、以下の連立方程式からu, v, s, tを決定せよ。
u*s^3 + v*t^3 = 0 ①
u*s^2 + v*t^2 = 2/3 ②
u*s + v*t = 0 ③
u + v = 2 ④
- 715 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 18:02:13 ]
- u，vは複素でもいいんかい?
- 716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 18:05:01 ]
- いい加減誰か>>511の模範解答をを教えて呉
- 717 名前：714 [2009/09/24(木) 18:26:55 ]
- >>715
成立するなら、いいよ。
- 718 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 19:19:25 ]
- >>714
us(t-s)(t+s)=0
簡単杉
宿題か?
- 719 名前：714 [2009/09/24(木) 19:28:24 ]
- >>718
実際、簡単杉なんだけど、一応、答えを書いて下さい。
- 720 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/24(木) 20:02:57 ]
- >> 713 正解
- 721 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/24(木) 20:15:19 ]
- 次のような自然数の組(a,b)は存在しないことを示せ。
※全ての自然数pに対してap+bが素数となる。
- 722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 20:27:18 ]
- >>721
b≠1 なら、p=b のときに ap+b = ab+b = b(a+1) は合成数。
b＝1 なら、p=a+2 のときに ap+b = a^2 + 2a + 1 =(a+1)^2 は合成数。
- 723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 20:43:02 ]
- >>722
30点ぐらいかな
- 724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 20:45:27 ]
- 東大数学は1問20点です。
- 725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 20:47:26 ]
- >>716
そういう関数fがあれば、集合｛f(x)：x∈[a,b]｝（これは幅をもった区間になる。）
に属する各無理数zに対し、中間値の定理によって、f(c)=zとなるc∈[a,b]が存在して
このcは有理数。すると z|→cなる単射が作れたことになる。
さあ、高校数学の範囲でこの先矛盾を導けるのか？
- 726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 22:29:27 ]
- >>658
〔類題〕
g(X) = (2^X - X^2)/{[2^X - e^(-2W(log(2)/2))](2-X)(4-X)}
とおくとき、 次を示せ。
2^X ≠ X^2 ⇒ 0 < g(X) < e^{2W(log(2)/2)} = 1.70133199790････
- 727 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/24(木) 22:54:44 ]
- Wて？
- 728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 23:56:15 ]
- >>725
以下背理法による略解
ある[a,b]で題意の関数fが存在したとする
a＜c＜d＜b なる有理数 c,dが存在
[c,d]で m＜f(x)＜M なる有理数m,Mが存在
g(x)＝(M－m)(x-c)/(d－c)＋m－f(x)とおく
中間値の定理よりあるα∈[c,d]があって，g(α)＝0
- 729 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/25(金) 00:19:56 ]
- >>707
x≠0 のとき (f(x)/x)'＋f(0)/(x^2)＝6
微分方程式みたいなもん。
- 730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 00:28:22 ]
- >>728
よく思いつくな
- 731 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/25(金) 00:28:44 ]
- >>721
p＝a(a+2)
- 732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 00:30:53 ]
- >>730
有理数係数の1次関数がf(x)を横切れば矛盾が出るという単純な発想を
数式化しただけ
- 733 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/25(金) 00:33:28 ]
- >>729
よくわからん
- 734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 00:34:51 ]
- >>732
その発想が上手いと思った
今日は良い夢が見れそうだ
- 735 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 00:38:58 ]
- >>734
ここであまり誉めらえる事はないんで有り難う
- 736 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/25(金) 00:40:41 ]
- >>733
>>685において a=0，b=x とおいて両辺をxで微分して整理
- 737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 00:43:35 ]
- >>736
なるほど、変数とみて微分するとは気付かなかったｻﾝｸｽ
- 738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 00:47:54 ]
- >>728
細かいが訂正
× 中間値の定理よりあるα∈[c,d]があって，g(α)＝0
○ 中間値の定理よりあるα∈(c,d)があって，g(α)＝0
- 739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 01:34:21 ]
- >>728
ほう
なるほどな
褒美にメロンパンをやろう つ（＃）
- 740 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 01:39:16 ]
- 上半期一番の作問だね。
年度賞の第一候補。
- 741 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/25(金) 08:32:37 ]
- それはない
- 742 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 08:34:46 ]
- これは有名問題だから作問とは言えないね・・・
- 743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 08:40:02 ]
- 上半期？
- 744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 08:58:50 ]
- Oを原点とする座標平面上に、相異なる2点A,Bがある。
A,BはいずれもOと異なるものとし、O,A,Bは一直線上にはないとせよ。
1次変換fは、f(OA↑)=2*OB↑，f(OB↑)=3*OA↑を満たすという。
線分ABを直径とする円上の動点Pをfによって写した点をQとすると、
動点Qはどのような軌跡を描くか。 OA↑，OB↑を用いて答えよ。
- 745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/25(金) 17:46:38 ]
- >>742
あまり見た事ないけど。
解法も有名なやつ？
- 746 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/25(金) 22:07:35 ]
- (1)
∫(0→π/4)(tan^(n+2)+tan^n)dxの値をnを用いて表せ
(2)
π=lim(n→∞)4*Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/(2k-1)を証明せよ
(3)
e=lim(n→∞)2^(Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/k)を証明せよ
- 747 名前：ゆう [2009/09/25(金) 22:10:22 ]
- ｙ=ｘ^2-3ｘ-4を因数分解せよ
- 748 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/25(金) 23:10:43 ]
- >>746訂正
nは非負整数
- 749 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/26(土) 02:39:21 ]
- ∫[0,1](sinθ-√(x^2-1))dxをθを用いて表せ。
- 750 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/26(土) 03:25:13 ]
- √(x^2-1)が虚数になるんだが
- 751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/26(土) 03:45:29 ]
- >>746
(1)
tan(x)^n･{tan(x)^2 + 1} = tan(x)^n / cos(x)^2 = tan(x)^n {tan(x)} ',
∴ (与式) = ∫[0,π/4] tan(x)^n･{tan(x)} 'dx
= [ (1/(n+1))tan(x)^(n+1) ](x=0～π/4)
= 1/(n+1),
(2)
(右辺) = 4Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/(2k-1) = 4Σ[k=1,n] [ (-1)^(k+1)/(2k-1) x^(2k-1) ](x=0,1)
= 4Σ[k=1,n] ∫[0,1] (-1)^(k+1) x^(2k-2) dx
= 4∫[0,1] Σ[k=1,n] (-1)^(k+1) x^(2k-2) dx
= 4∫[0,1] {1 + (-1)^(n-1)･x^(2n)}/(1+x^2) dx
→ 4∫[0,1] 1/(1+x^2) dx (n→∞)
= 4[ arctan(x) ](x=0～1)
= π,
(3)
Σ[k=1,n] (-1)^(k+1)･(1/k) = - Σ[k=1,n] [ (-1)^(k+1)･(1/k)x^k ](x=0,1)
= Σ[k=1,n] ∫[0,1] (-1)^(k+1)･x^(k-1) dx
= ∫[0,1] Σ[k=1,n] (-1)^(k+1)･x^(k-1) dx
= ∫[0,1] {1 - (-x)^n}/(1+x) dx
→ ∫[0,1] 1/(1+x) dx
= [ log(1+x) ](x=0～1)
= log(2),
∴ lim(n→∞) e^{Σ[k=1,n] (-1)^(k+1) 1/k} = 2,
- 752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/26(土) 06:19:48 ]
- >>496-497って直感的には明らかだが論証がめんどくさい。
この事実を公式的に扱えば、例えば、2008年の6番は増減を調べる必要はなく簡単。
ttp://www.densu.jp/tokyo/08tokyosprob.pdf
- 753 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/26(土) 11:34:04 ]
- >>751
そういう方法もあるのか～
一応(1)使う方針は
S_n=∫(0→π/4)(tanx)^ndxとおくと(1)よりS_(n+2)+S_n=1/(n+1)…①
(2)nが偶数の時
S_0=∫(0→π/4)dx=π/4
①より
π/4=1-1/3+1/5…1/(n-1)(+-S_n)
=Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/(2k-1)
+-S_n
n→∞でS_n→0より(∵0≦x＜π/4においてtanx→0)
π=4Σ[k=1,∞](-1)^(k+1)/(2k-1)が示される
(3)はnが奇数の時を考えたら方針は同じです
- 754 名前：ゆう [2009/09/26(土) 21:25:52 ]
- ｙ=ｘ^2-3ｘ-4を因数分数せよ
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