- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 21:11:21 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 446 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/07(月) 01:24:47 ]
- これも, 有名問題。中大, 防衛大に出題されている。
- 447 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/07(月) 01:46:11 ]
- >>441,442
正解です
本来下の問題を予定してたんですが結構しんどいので時間かかるかも
【問】
xy平面において
O(0,0),A(1,0),B(cosθ,sinθ)として、θを0＜θ＜2π(θ≠π)の範囲で動かした時にできる△OABの内心Iの軌跡と垂心Hの軌跡は線対称であることを示せ
- 448 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/07(月) 22:15:12 ]
- >>447
便宜上 -π<θ<πとする。
BからOAに下ろした垂線の足はK(cosθ,0)
HはBKと半直線 y = tan(θ/2)･x の交点だから、
OH = |cosθ|/cos(θ/2),
これと x= OH･cos(θ/2), y = OH･sin(θ/2) から垂心H(x,y)の軌跡は
y = σx√{(1-x)/(1+x)}, σ = Sgn(θ),
OI + |y| = OI{1 + |sin(θ/2)|} = cos(θ/2) だから、
OI = cos(θ/2)/{1+sin(θ/2)},
これと x= OI･cos(θ/2), y = OI･sin(θ/2) から内心I(x,y)の軌跡は
y= σ(1-x)√{x/(2-x)}, σ = Sgn(θ),
これらは x ⇔ 1-x により入れ替わるから、直線x=1/2 について 線対称。
- 449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/07(月) 22:53:14 ]
- >>447
蛇足だが、
外心をO' とすると OO'= AO',
△OO'A は2等辺3角形だから
O' = (1/2, (1/2)tan(θ/2))
∴ 直線 x=1/2 は外心O'の軌跡でもある。
- 450 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/07(月) 23:15:09 ]
- 3問目の出題
lim(n→∞)Σ(k=0→n)〔｛(-1)^k｝2^k/k！〕を求めよ
- 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/07(月) 23:21:13 ]
- 整数a,b及び虚数単位iを用いて表せる全ての複素数a+biに対し
・a+bi=∑(k=0→n) C(k)*(i-1)^k
・全ての非負の整数kについて、C(k)の値は、0又は1と等しい
を同時に満たす数列{Cn}が必ず存在する事を証明せよ。
- 452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/08(火) 21:19:39 ]
- 〔434の類題〕
a,b,c >0 とする。
点P (a,b,c)を通り "傾きが負" である平面の、x軸,y軸,z軸との交点をそれぞれQ,R,Sとする。
このとき △QRS の面積の最小値をa,b,cを用いて表わせ。
>>450
e^(-2)
- 453 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/08(火) 22:01:52 ]
- >>452 正解
こんなにあっさり解かれるとは思わなかった
もう一問 こっちのがメンドイ
lim(n→∞)〔(n+log(n!)-log(n^n))/logn〕
- 454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/08(火) 22:09:51 ]
- >>453
1/2
すたーりんぐデ１コロ
log(n!) ～ (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) + 1/(12n) - ････
- 455 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 06:38:40 ]
- 糞みたいな問題ばかり出題するなよ
- 456 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/09(水) 08:42:31 ]
- 5^x=x^5を満たす有理数解を全て求めよ。
- 457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 11:26:44 ]
- >>456
これは実質的に
・5^xが有理数になるような有理数xは整数に限られる
・xが6以上の整数のとき5^x＞x^5
の二つを証明する問題と見てok?
- 458 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/09(水) 12:32:05 ]
- m×nの格子状のマス目でできた長方形がある。この長方形の右上がりの対角線
の2頂点をP、Qとして、PからQまで格子に沿って至る最短経路の集合をΓとする
(Γの要素の個数は(m+n)!/m!n!)。Γの各要素γに対し、m×nの長方形の内側で
経路γより左上の領域の面積をA(γ)で表す。
このとき
∑_{γ∈Γ} x^A(γ) ＝ (x)_(m+n)/((x)_m・(x)_n)
が成り立つことを証明せよ。ただし、
(x)_k ＝ (x - 1)(x^2 - 1)・・・(x^k - 1) とする。
- 459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 15:46:07 ]
- 一辺の長さが1の正三角形Tが、
一辺の長さが1の正方形の周及び内部を動くとき、
Tの周(辺及び頂点)が動きうる領域の面積を求めよ。
- 460 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/09(水) 16:48:21 ]
- １
- 461 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 21:38:46 ]
- >>456
x<0の時正の数=負の数で矛盾、x=0の時1=0で矛盾、よってx>0
有理数解をx=p/q(p,qは互いに素である自然数）とおくと
5^(p/q)=p^5/q^5
5^p=(p^5q)/(q^5q)
p^5q=5^p・q^5q
p,qは自然数だから右辺は5の倍数、左辺が5の倍数になるにはpが5を素因数に持つことが必要なのでp=r・5^nとおける(rは5の倍数でなく、nは自然数）
左辺に代入して5^(5qn)・r^(5q)=5^p・q^5q…（１）
今pとqは互いに素でpが5の倍数だからqは5を素因数に持たない。
よってに（１）においてr^(5q)はrが5を素因数に持たないから5の倍数でないし、q^5qもqが5を素因数に持たないから5の倍数でない
（１）で5の指数を比較して5qn=p p/q=x=5n
よってx=5,10,15,…
ここまでで半分くらいかね、後は10,15…が不適なことを示せばよいが…。
- 462 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 21:46:58 ]
- >>461の続き
両辺の自然対数を取って整理して log5/5=logx/xを考えて
y=logx/xのグラフとy=log5/5の交点を考える
２つのグラフは1<x<eでただ１つの解、e<xでただ１つの解を持つことが分かる
x=5が明らかに解だからe<xで持っている一つの解は、5
x=5以外のe<xの解は存在しない（交点がただ一つだから）のでx=5が定まればx=10,15…は全て不適
- 463 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 21:56:17 ]
- 5^x と x^5 のグラフから x が実数であれば 5^x = x^5 の交点は一点のみ
特に x = 5 は 5^x = x^5 を満たす
従って 5^x = x^5 を満たす有理数は x = 5 のみ
- 464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 22:02:18 ]
- >>463
０点
x≒1.765でも交わる
- 465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 22:07:00 ]
- >>463
出鱈目。
- 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 22:11:19 ]
- 1.764921914525775882758723590911459101370103259294683808995374687821107721
00333954881401245241408917321376161507472704651465269967385415685401702516
28495329481094119289108128469998154461265068926800052611274579797681972213
12634608768395157996642156026636721864196751650122343143472447144146913303
73918502827891292987144557860123985265300771745815642023767530553835914900
54229055163682555674961682680591076061554853249876417007392791328889634257
18085475933402074557781713000087587410041482534764949835840330894237599785
04350487524054229790516943054767013692517404741930222592947426633313278983
45206525516639867469665798523484311096848508496845001985079565208699315796
28379806655951398683059702049723511534793137370101503381640304489402293572
56318573302313642339128754911216787448274026997646059915214338725866192370
38617044751446527774252958341317408231587777969331131870158867670919016180
60569355376039600818749406572366184585496459568509269478610494515817885972
467265040764801028627430106480002504630569880500955048655884936
- 467 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/09(水) 22:18:13 ]
- 461,462に463あわせたら答えか
- 468 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/09(水) 22:21:57 ]
- >>463 正解 です
- 469 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/09(水) 22:29:06 ]
- a>2/5のとき、方程式x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0は少なくとも1つ虚数解をもつことを示せ。
- 470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 23:03:45 ]
- f(x)=x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0の5解が全て実数であるのはy=f(x)のグラフが極値を４つ持ち、xが小さい方から順に極値が正負正負となるときだけである
f'=5x^4+4x^3+3ax^2+2bx+c,f''=20x^3+12x^2+6ax+2b,f'''=60x^2+24x+6a
f'''=0の判別式D/4=4-10a<0つまりa>2/5のとき、f'''は全てのxに対して正だから
つまりf''は単調増加関数である
f''が単調増加関数だから,f''=0はただ一つの解を持ちその解をx=αとするとx<αでf''<0,α<xで0<f''である
つまりf'はx=αで１つだけ極小値を持つ関数である
（１）y=f'のグラフがx軸と２点で交わるとき
f'の符号は正、負、正と変わるからf(x)は極大値→極小値という風に極値を２つのみもつ関数である
（２）y=f'のグラフがx軸との共有点が１点以下の時
f'は常に負にならないからf(x)は単調増加関数である
（１）、（２）共にf(x)が山を４つもったグラフにはならないのでf(x)=0は少なくとも一つ虚数解を持つ
- 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 23:38:51 ]
- >>461
(q^(5q))*5^p = p^(5q) の両辺の q で割った余りを考えれば p^5q は q の倍数
p と q は互いに素だから q = 1 、では駄目なの？
- 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 23:56:52 ]
- >>470
じゅうかいの時があるだろ
- 473 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/10(木) 00:16:33 ]
- 長さ2の線分ＰＱが次の2条件を満たして動く。
☆点Ｐはx=1上に存在する。
☆線分ＰＱは原点を通る。
このとき、線分ＰＱの通りうる領域の面積を求めよ。
- 474 名前：413 mailto:sage [2009/09/10(木) 09:13:09 ]
- >>413
をだれもといてないのは、簡単すぎるからなのか、計算がめんどいからなのか・・・。
硬貨の種類をもっとすくなくすればよかったかしらん。
- 475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 09:15:29 ]
- よくある問題でオリジナリティーがまるでないから。
- 476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 09:26:59 ]
- >>>473
※以下、答えではない。
====
☆点Ｐはx=1上に存在する。→ P=(1,p)とおく（pは変数）
●「長さ2の線分ＰＱ」→Q=(1 + 2Cosα,p + 2+Sinα)とおく
（αは変数）
☆線分ＰＱは原点を通る。→・・・？？？
線分PQ上の点をA=(a,b)とおくと、min(1,1 + 2Cosα)<=a<=max(1,1 + 2Cosα)
と、機械的におきかえてみて、a,b以外の変数を消しまくって・・・
と考えたけど、
＜☆線分ＰＱは原点を通る。＞の表し方が・・・、
いろいろ表し方あるけど、途中でつまる。
- 477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 09:30:31 ]
- >>413
>>475
あぁ、いわれてみれば・・・。
「東大（京大？）っぽい」とは思ったんだけど、文系数学の易問レベルか。
すこしカスタマイズすれば、多少は難しくなるかもだけど。
- 478 名前：476 mailto:sage [2009/09/10(木) 11:10:17 ]
-
>>473
内分点なんて、単語すら忘れてた・・・。力尽きたので、一行だけ。。。。
＜「点P」がx=1上に存在する＞は、＜点Ｐがx + y = √2上に存在する＞と置き換えたほうが、対称性により計算が楽になると思われ。。。
（点Ｐが直線上を動き、OPの最短距離が１だから）
- 479 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/10(木) 11:50:40 ]
- >>413と似てるけど問題内容は違うの問題です
【問】
1円玉～n円玉のコインが十分な 枚数あり、このうちから何枚か使ってちょうどn円を支払うときのコインの組み合わせは何通りあるか？
- 480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 12:00:00 ]
- >>469
最初だけ。
f(x)=x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d とおくと、グラフより、f(x)=0は少なくとも１つの実数解を持つのでその実数解をpとおく。
f(p)=p^5+p^4+ap^3+bp^2+cp+d=0により、d = - ( p^5+p^4+ap^3+bp^2+cp )
これを、f(x)=0に代入すると、
x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx - ( p^5+p^4+ap^3+bp^2+cp ) =0
変形すると、
(x^5-p^5) + (x^4-p^4) +a(x^3-p^3) +b(x^2-p^2) +c(x-p)=0
さらに変形。
//======================
(x-p) *
{
(x^4 + p * x^3 + p^2 * x^2 + p^3 * x + p^4) +
(x^3 + p * x^2 + p^2 * x + p^3) +
a * (x^2 + p*x + p^2) +
b * (x + p) +
c
}
= 0
よって、g(x) =
(x^4 + p * x^3 + p^2 * x^2 + p^3 * x + p^4) +
(x^3 + p * x^2 + p^2 * x + p^3) +
a * (x^2 + p*x + p^2) +
b * (x + p) +
c
とおくと、g(x) = 0 が少なくとも１つ虚数解をもつことをしめせばいい。・・・
ってやってみたんだけど、無意味？
- 481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 12:02:55 ]
- >>479
＞n円玉 ？？？
２円玉？
１００００円記念硬貨？
- 482 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/10(木) 12:21:37 ]
- >>481
イエス
- 483 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん]
- あぼーん
- 484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 21:40:32 ]
- cos(α)=1/√(1+p^2)、sin(α)=p/√(1+p^2)で
OQ↑=OP↑+PQ↑=(1-2/√(1+p^2), p-2p/√(1+p^2))
か？
- 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/11(金) 22:10:40 ]
- 正三角形8枚、正方形6枚から構成される多面体を考える。
この多面体について、以下を答えよ。
（１）辺の数はいくつか？
（２）頂点の数はいくつか？
（３）
この多面体の頂点の１つを点Pとする。
この多面体の辺上を移動するアリがいる。
点Pを出発点とし、途中で同じ点を通ることなく、
再度点Pへ戻るようにアリが動くとき、
このアリの動き方は何通りあるか？
- 486 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/11(金) 22:12:15 ]
- >>454 スターリング近似なんぞ受験生でできるやついるの？
もっと高校生レベルの解き方で解いて欲しかった・・・
- 487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/12(土) 04:27:40 ]
- 〔434の類題〕
a,b,c >0 とする。
点P (a,b,c)を通り "傾きが負" である平面の、x軸,y軸,z軸との交点をそれぞれQ,R,Sとする。
このとき 4面体O-QRS の体積の最小値をa,b,cを用いて表わせ。
>>453, 486
それは確かにメンドイな…
- 488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/12(土) 04:48:42 ]
- >>487
その平面に垂直な向き（法線）を (L,m,n) とすると、
Lx + my + nz = La + mb + nc = h,
ここに、h は原点Oからこの平面に下ろした垂線の長さ。
ところで
Q(h/L,0,0) R(0,h/m,0) S(0,0,h/n)
だから O-QRS の体積は
(h^3)/(6Lmn) = (La+mb+nc)^3 /(6Lmn) ≧ 27abcLmn /(6Lmn) = (9/2)abc, (←相加･相乗平均)
等号成立は L = bc/√{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2}, m = ca/√{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2}, n = ab/√{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2} のとき。
x/a + y/b + z/c = 3,
- 489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/12(土) 09:06:02 ]
- >>459
Tの頂点から対辺までの距離は 1/√3,
□の４頂点のいずれから見ても
距離が 1/√3 より小さく策、頂角の中央30ﾟの内側の部分
にはTの辺が来ない。
ただし、４頂点からの距離が 1/√3 より短い部分は、４頂角の中央30ﾟの内側部分を含んでいる。
４頂点を (±1/2, ±1/2) とする。
４頂角の中央30ﾟの内側の部分は、
(±(1/2){1 - (1/√3)}, 0)
(±{1-(√3)/2}, ±{1-(√3)/2})
(0, ±(1/2){1 - (1/√3)})
の8頂点をもつ等辺8角形で、面積は 3 - (5/√3) ≒ 0.11325…
□からこれを除いた部分の面積は (5/√3) -2 ≒ 0.88675…
- 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/12(土) 09:33:10 ]
- >>459
Tの頂点から対辺までの距離は (√3)/2,
□の４頂点のいずれから見ても
距離が (√3)/2 より短かく、頂角の中央30ﾟの内側の部分
にはTの辺が来ない。
ただし、４頂角の中央30ﾟの内側部分は、４頂点からの距離が (√3)/2 より短い部分を含んでいる。
４頂点を (±1/2, ±1/2) とする。
４頂点からの距離が (√3)/2 より短い部分は、
S = (3/2)(β-α) -√2 +1 = 0.0955418…
α = arctan(1/√2) = 0.6154797…
β = arctan( √2) = 0.9553166…
□からこれを除いた部分の面積は 0.904458･…
- 491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/12(土) 09:58:52 ]
- 誰か>>380解いて
- 492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/12(土) 19:04:39 ]
- 初投稿です。簡単ですかね。
5^93の上2桁を求めよ。常用対数log2=0.3010を用いてよい。
- 493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/12(土) 19:53:46 ]
- 400以下まとめ(ミスあるかも)
>>17>>29>>54>>61>>76>>79>>123>>144>>187>>190>>191>>216>>236>>261>>329>>342>>358>>370>>378>>380>>384>>398
- 494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/13(日) 00:19:33 ]
- >>492
底は全部10
log(5^93)=93(log10-log2)=93(1-0.301)=65.007
よって5^93=10^65.007=10^65・10^0.007
10^65の部分は5^93の上二桁に影響を及ぼさない（0をつける働きしかしない）ので
5^93の上二桁は10^0.007の上二桁
log1=0,log1.024=log(2^10)/(10^3)=10log2-3=0.01
0<0.007<0.01 → log1<0.007<log1.024
0.007=log1.0…だから、10^0.007=1.0…
5^93の上二桁は10…答
類題経験があれば上1桁は余裕だが、log1.024を考えつかないと上２桁は求まらない
- 495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/13(日) 05:20:00 ]
- 0.01165/0.30095<1/10.
2^(1/10)<1+1/10.
- 496 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/13(日) 19:16:40 ]
- ｘ＝f(t)，y＝g(t) (a≦t≦b) で表わされる曲線を C とする．
ただし，f(t) 及び g(t) は微分可能で，
(f(a)，g(a))＝(f(b)，g(b)) で，さらに，任意の a≦s＜t≦b なる s，t に対して
(f(s)，g(s))＝(f(t)，g(t)) が成り立つとする．
このとき，曲線 C で囲まれる図形の面積 S は
S＝|∫g(t) f’(t) dt | となる事を示せ．
- 497 名前：496 mailto:sage [2009/09/13(日) 19:18:18 ]
- × (f(s)，g(s))＝(f(t)，g(t)) が成り立つとする．
○ (f(s)，g(s))≠(f(t)，g(t)) が成り立つとする．
- 498 名前：492 mailto:sage [2009/09/13(日) 19:52:11 ]
- >>494
完璧です。log1.024が考えついてもらえてよかったです。
- 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/13(日) 20:17:45 ]
- 完璧？
log2=0.30095…とかだとlog(5^93)>65.01になるのに？
- 500 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/13(日) 20:41:27 ]
- 500ゲト
【問】
(1)
y=sinxを原点を中心に45゜回転させたグラフはyがxの関数であることを示せ
(2)(1)のグラフをy=f(x),A_k=|f(k)-ax|としてlim(n→∞)Σ[k=1,n]A_k/nの最小値とその時のaを求めよ
- 501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/13(日) 20:44:35 ]
- Nは正の偶数とする。xの整式f(x)は次の式を満たす
f(x)-f(x-1)=x^(N-1)
f(0)=0
(1)正の整数nについて、次の式が成り立つことを証明せよ
f(-n)=0^(N-1) +1^(N-1)+……+(n-1)^(N-1)
(2)y=f(x)のグラフは直線x=-1/2に関して対称であることを示せ
(3)u=x(x+1)とする。f(x)はuの整式として表せることを示せ
(1)(2)はできたんですけど、(3)ができません
助けていただけないでしょうか
- 502 名前：492 mailto:sage [2009/09/13(日) 20:45:15 ]
- >>499
log2=0.3010としてよいと問題で書きましたが、log2は、log2=0.3010299…と続きます。
仮にlog2=0.3010299とみなすと、log5=1-0.3010299=0.6989701となり、
93*log5=65.0042193(<65.01)となり、結局正しい値が求まるでしょう。
- 503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/13(日) 20:47:14 ]
- 「log2=0.3010としてよい」とは書いてない。
後付け乙。
- 504 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/13(日) 20:59:23 ]
- >>500
A_k=|f(k)-ax| ?
- 505 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/13(日) 21:08:50 ]
- >>504
あっ
A_k=|f(k)-ax|→A_k=|f(k)-ak|で
- 506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/13(日) 21:14:34 ]
- >>502
四捨五入して0.3010になるのは0.30095から0.30105まで。
- 507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/13(日) 21:28:45 ]
- >>506は釣り
- 508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/13(日) 21:35:13 ]
- >>500
aの値によっては発散するんじゃないの？
- 509 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/14(月) 22:33:52 ]
- x,yについての方程式
a(x^3-y^3)+b(x^2-y^2)+c(x-y)=0
がx≠yなる実数解をもつための実数定数a,b,cの満たすべき必要十分条件を求めよ。
- 510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/14(月) 22:45:27 ]
- ax^3+bx^2+cx=ay^2+by+cyがx≠yの解を持てばいいので
f(t)=at^3+bt^2+ctとしたとき
f(t)が極値を持つことが必要十分
あとはa=0のときとa≠0のときで場合分けしてうんたらかんたら…
ちょっと前にコピペされてた問題を簡単にした感じかな
- 511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/15(火) 00:02:37 ]
- 次の性質をもつ関数 y＝f(x) が存在すれば例をあげ，存在しなければそれを示せ．
1．ある閉区間 [a，b] で連続
2．x∈[a，b] において x が有理数のとき，f(x) は無理数で，x が無理数のとき，f(x) は有理数．
# もちろん，大学以降の知識を使えば自明ですが，高校範囲で可能な限り厳密にお願いします．
# 誰でも考え付く問題なので，入試問題として既出であれば教えて下さい．
- 512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/15(火) 12:23:30 ]
- 無理数は有理数より多い。
- 513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/15(火) 17:25:40 ]
- >>512
なんぞ
- 514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/15(火) 22:06:37 ]
- >>512
だからそれは自明だけど範囲外だって。
- 515 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/15(火) 22:08:45 ]
- それを認めたとして、証明できるの？
- 516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/15(火) 22:13:44 ]
- ↑ｱﾎ????????
- 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/15(火) 22:15:29 ]
- できるから問題になっていると恩われ
- 518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/15(火) 22:35:10 ]
- >>380 , >>491
(4n-4)!!･(2n-3)!!/{(4n-1)!!･(2n-2)!!} = (4n-4)!!･(2n-2)!･(4n)!!/{(4n)!･(2n-2)!!^2} = 2^(2n)･{(2n-2)!/(n-1)!}^2･{(2n)!/(4n)!}
次のマクローリン級数を考える。
f(x) = Σ[n=1,∞) 2^(2n)･{(2n-2)!/(n-1)!}^2･{(2n)!/(4n)!} x^(n-1)
= (1/3)Σ[n=1,∞) {(1/2)(3/2)････(n - 3/2)}^2 ／{(5/4)(9/4)･････(n - 3/4)・(7/4)(11/4)････(n - 1/4)} x^(n-1)
= (1/3)Σ[n=1,∞) {Γ(n - 1/2)/Γ(1/2)}^2 ／{Γ(n + 1/4)/Γ(5/4)・Γ(n + 3/4)/Γ(7/4)} x^(n-1)
= (1/3){Γ(5/4)Γ(7/4)/Γ(1/2)^2}Σ[n=1,∞) {Γ(n - 1/2)^2 ／Γ(n + 1/4)・Γ(n + 3/4)} x^(n-1)
= (1/3)･3Ｆ2(1/2,1/2,1; 5/4, 7/4; x), ････ 「一般化 超幾何級数」とか言うらしい。
ここで x=1 とおく。 Whipple の恒等式より
(与式) = f(1)
= (1/3)･3Ｆ2(1/2,1/2,1; 5/4, 7/4; １)
= (π/6)Γ(5/4)Γ(7/4)／{Γ(9/8)Γ(7/8)}^2
= (π/6)(1/4)(3/4)Γ(1/4)Γ(3/4)／{(1/8)Γ(1/8)Γ(7/8)}^2
= 2πΓ(1/4)Γ(3/4)／{Γ(1/8)Γ(7/8)}^2
= 2{sin(π/8)}^2／sin(π/4)
= 2{sin(π/8)}^2／{2sin(π/8)cos(π/8)}
= tan(π/8),
- 519 名前：518 mailto:sage [2009/09/15(火) 22:51:04 ]
- >>380 , >>491
〔Whipple 恒等式〕
一般化 超幾何級数 3Ｆ2(a,b,c; d,e; x) について
3Ｆ2((1/2)+a', (1/2)-a', c; (1/2)+c+e', (1/2)+c-e'; 1)
= {2^(1-2c)}πΓ((1/2)+c+e')Γ((1/2)+c-e')／{Γ((1+a'+c+e')/2)Γ((1+a'+c-e')/2)Γ((1-a'+c+e')/2)Γ((1-a'+c-e')/2)},
mathworld.wolfram.com/WhipplesIdentity.html
〔系〕
3Ｆ2(1/2, 1/2, 1; 3/2 +e', 3/2 -e'; 1)
= (π/2)Γ((3/2)+e')Γ((3/2)-e')／{Γ((2+e')/2)Γ((2-e')/2)}^2
- 520 名前：518 mailto:sage [2009/09/15(火) 23:03:12 ]
- ↑では
Γ(k)Γ(1-k) = π/sin(kπ), (0<k<1)
を使いますた。
- 521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/15(火) 23:09:52 ]
- >>518-520
Chapeau!
- 522 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/16(水) 00:24:54 ]
- 明らかに東大入試の問題には不適
- 523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/16(水) 11:06:45 ]
- なんか一気につまんねースレになったな
- 524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/16(水) 13:52:05 ]
- 出題者が高校範囲で解ける解答を持っていなければスレ違い
- 525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/16(水) 14:38:46 ]
- スレ違いとかどうでもいいよ
細かいこといちいち指摘してんじゃねぇ
- 526 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/16(水) 17:29:39 ]
- y=e^xとy=log(x+a)がただ1つの共有点をもつとき、2＜a＜3であることを示せ。
- 527 名前：猫は残飯 ◆ghclfYsc82 mailto:sage [2009/09/16(水) 17:39:13 ]
- いやいや、この手の計算は確かにChapeauですよね。
こういう計算の中にもいい数学が一杯詰まっていますからね。
- 528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/16(水) 19:42:04 ]
- >>526
e^x=log(x+a)⇔e^(e^x)-x=a
f(x)=e^(e^x)-xとおくと
f'(x)=e^(x+e^x)-1
よってf(x)はx+e^x=0の解αで極大値をとりその値f(α)がaに等しい
ここでx+e^x=0はただひとつの解をもち
-1/2+e^(-1/2)>0…(1)
-2/3+e^(-2/3)<0…(2)
なので-2/3<α<-1/2また
a=e^(e^α)-αであるがe^α=-αより
a=e^(-α)-α
ここでe^(-x)-xは明らかに単調減少であり
2<e^(1/2)+1/2<e^(-α)-α<e^(2/3)+2/3<3 …(3)
(3)より2<a<3
(1)(2)(3)の証明はここでは省いた
- 529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/16(水) 20:25:34 ]
- 一応 >>528の(1)(2)(3)について
(1)の証明
2>√e より1/2<e^(-1/2)
(2)の証明
e*(2/3)^(3/2)>4√6/9>1より
(2/3)^(3/2)>1/e
2/3>e^(-2/3)
(3)の証明
(3/2)^2<eより3/2<e^(1/2)であるから
2<1/2+e^(1/2)
また
(7/3)^(3/2)>3>eより
e^(2/3)<7/3なので
2/3+e^(2/3)<3
- 530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/16(水) 22:37:08 ]
- >>528
W･exp(W) = c, c≧0,
の唯一の実根を W(c)と定義する。（Lambertの W-函数)
然らば、
α = -W(1),
ここに
W(1) = 0.56714329040978387299996866221036････
はオメガ定数。
∴ a = W(1) + 1/W(1) = 2.3303661247616805832251704391621 のとき
両曲線は (x,y) = (-W(1), W(1)) で接する。
mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html
mathworld.wolfram.com/OmegaConstant.html
- 531 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/16(水) 22:57:56 ]
- 次の条件を満たす領域Ａの体積を求めよ。
☆領域Ａに含まれる任意の点Ｐはx軸、y軸、z軸までの距離がいずれもa(>0)以下。
- 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/16(水) 23:12:39 ]
- >>531
x^2+y^2≦a^2
y^2+z^2≦a^2
z^2+x^2≦a^2
で結局垂直三円柱の共通部分になる
んじゃね？
- 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/16(水) 23:34:06 ]
- >>528のf(α)は極小値だった
- 534 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/16(水) 23:53:49 ]
- >>532
です．
さすがに簡単すぎですかw
- 535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/17(木) 00:40:19 ]
- >>534
2004年名市大に同一問題
- 536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/17(木) 10:08:38 ]
- >>528
>a=e^(e^α)-αであるがe^α=-αより
>a=e^(-α)-α
a=e^(e^α)-α=e^(-α)-α=-1/α-α
までやればもっと楽だと思う
αの範囲も-1<α<-1/2まで絞るだけでいいし
- 537 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/17(木) 14:05:54 ]
- 全ての自然数nに対して,|a[n]|<1ならば
lim[n→∞]a[1]a[2]…a[n]＝0
であるといえるか。
いえるなら証明し、いえないなら反例をあげよ。
- 538 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/17(木) 14:07:03 ]
- ↑「対して」の後の「,」は不要でした。
- 539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/17(木) 14:21:01 ]
- >>537
いえない
反例
a_n=(1/2)^{(1/2)^(n-1)}
のとき
積の極限は1/4
- 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/17(木) 14:30:19 ]
- >>537
全ての自然数nに対してb_n<0ならば
Σ[1,∞]b_n=-∞は常に成り立つか？
って問題と同値
成り立つ訳ない
- 541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/17(木) 22:24:08 ]
- >>537
家ない。
判例
a[k] = {(k+1)/k}{(k-1+α)/(k+α)},
のとき
a[1]a[2]……a[n] = (n+1){α/(n+α)} → α, (n→∞)
- 542 名前：541 mailto:sage [2009/09/17(木) 22:35:14 ]
- >>537
a[k] = 1 - (1-α)/{k(k+α)} < 1,
-1/3 < α < 1 より
|a[k]| < 1,
- 543 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/18(金) 01:37:32 ]
- f(x)=x^n/e^xとする．
全ての自然数nに対して、
lim[a→∞]∫[0,a]f(x)dx
が収束することを示せ。
- 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 02:00:37 ]
- >>543
∫x^n*e^(-x)dx=-x^n*e^(-x)+n∫x^(n-1)*e^(-x)dx
帰納法で終了
- 545 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/18(金) 02:08:53 ]
- >>543 正解です。
あとは面倒なだけですねorz
3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0の解が全て正の数であるとき、
ab/c>7を示せ。
- 546 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/18(金) 02:15:43 ]
- ab/c≧9に訂正をば。
|
 |
