- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 21:11:21 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 411 名前：宮川ダイスケ ◆jcXETTeIVg mailto:sage [2009/09/03(木) 22:15:04 ]
- なんかおもろい問題浮かんだけど、正直答えはまだ出ていない。
＝＝＝
xy平面上の２つ長方形ABCD,PQRSがある。
AB=b,AD=d,PQ=q,PS=sとする。
(b,d,q,s>0)
また、b.d.q.sの中で最小の長さはbであるとする。
（ただし、bがd,q,sのどれかと一致する可能性もある）
そして、ABCDは第１象限に含まれ、A=(0,0),B=(b,0)とする。
ABCDは固定し、PQRSを自由にxy平面上で動かす場合、交点の数は当然配置によって異なるが、
その異なる交点の数の最大値をMとする。
b.d.q,sの条件で場合わけし、Mを求めよ。
※ABCDのいずれかの辺とPQRSのいずれかの辺が平行となる場合は除外する。
====
今気づいたけど、似た問題、たけしのコマ大数学なんとかの番組でにたようなのが
あったかも。
- 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/04(金) 00:30:00 ]
- www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/figure/tetrahedronvolume.htm
ＰＱ＝３，ＲＳ＝４，ＰＲ＝ＱＳ＝２，ＰＳ＝ＱＲ＝４。
ＰＱ＝４，ＲＳ＝４，ＰＲ＝ＱＳ＝３，ＰＳ＝ＱＲ＝５。
ＰＱ＝４，ＲＳ＝５，ＰＲ＝ＱＳ＝４，ＰＳ＝ＱＲ＝６。
- 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/04(金) 08:52:31 ]
- 1円玉、５円玉、１０円玉、５０円玉、１００円玉、５００円玉 の組み合わせ（※全ての硬貨を使う必要はない）により、
ちょうど５００円を支払うとき、組み合わせは何通りあるか？
- 414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/04(金) 22:11:38 ]
- x≧0,y≧0,z≧0,x+y+z=1のとき
f(x,y,z)=yx^2+zx^2+xy^2+zy^2+xz^2+yz^2の最大値とその時の(x,y,z)を求めよ
（出典：数検１級２次)
- 415 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/05(土) 00:43:22 ]
- f(x,y,z)=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-x^3-y^3-z^3
=(x^2+y^2+z^2)
-(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)-3xyz
=(xy+yz+zx)-3xyz
y+z=1-xだから
((1-x)/2)^2≧yz≧0(∵相加相乗)でx固定すれば
=(1-x)x-3xyz+yz
=(1-3x)yz+(1-x)xより
x≦1/3ではyzが最大であればよく①
x≧1/3ではyzが最小②
②では
f≦(1-x)x≦1/4
(x=1/2,y=0,z=1/2)
①では
f≦(1-3x)(1-x)^2/4+(1-x)x
=(1-x)((1-x)(1-3x)+4x)/4
=(1-x)(3x^2+1)/4
4f'=6x(1-x)-(3x^2+1)
=-9x^2+6x-1で
=-(3x-1)^2よりx=1/3で最大よりf≦2/9(x=y=z=1/3)
比較して1/4で最大(x=1/2,y=0,z=1/2)(並び替え略)
- 416 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/05(土) 01:35:36 ]
- 2007!!+2008!!は2009で割り切れるか？
- 417 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/05(土) 01:44:40 ]
- 2009=7^2*41で
2007!!は
7と41と21とかで
2008!!は
14と28と82とかあるし割りきれる
二重階乗の定義が覚束ないから意味不明かもしれんのでスルーしてくれ
- 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/05(土) 01:45:17 ]
- >>416
2007!!は41、49で割り切れる
2008!!は82、98で割り切れる
ちょっとレベル低すぎ
- 419 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/05(土) 03:01:49 ]
- 2009=x^2+y^2を満たす自然数組(x,y)を全て求めよ
- 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/05(土) 11:16:50 ]
- >>419
これも2009=7^2*41を使う。41=4^2+5^2だから、
(x,y)=(4*7,5*7)=(28,35)と順番を入れ替えた(x,y)=(35,28)が解であることがわかる。
あとは上記以外の解がないことを示せばよい。まず、
(☆) x^2+y^2=2009のとき、x,yはともに7の倍数である
ことを証明する。
いまx=7m+k (mは0以上の整数,kは0≦k≦6の整数)とおくと、
x^2=49m^2+14mk+k^2 =7(7m^2+2mk)+ k^2だから
x^2を7で割った余りは、k^2を7で割った余りに等しく、
それはk=0,1,2,3,4,5,6に対してそれぞれ0,1,4,2,4,1である。
y^2についても、7で割った余りは0,1,2,4のいずれかであると言える。
ここで、(0,1,2,4)の中から重複を許して2つ選び、その和が7で
割り切れるのは0+0=0だけだから、x,yはともに7の倍数である。
すると、x=7m, y=7nとして、
x^2+y^2=2009よりm^2+n^2=41となり、
この自然数解が(m,n)=(4,5),(5,4)のみであることは
m=1,2,3,4,5,6を代入すれば直ちに分かる。
- 421 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/05(土) 13:13:52 ]
- >>420
正解です
D:x^p+y^p=1,x≧0,y≧0
のなす領域の面積をpを用いて求めよ
- 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/05(土) 13:18:28 ]
- >>421
誤爆ミス
- 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/05(土) 14:36:14 ]
- >>415
よくできました(･∀･)
- 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/05(土) 23:18:07 ]
- >>421
x = t^(1/p),
y = (1-t)^(1/p),
S(D) = ∫[0,1] y･dx
= (1/p)∫[0,1] (1-t)^(1/p) t^(1/p -1) dt
= (1/p)Ｂ(1 + 1/p, 1/p)
= (1/p)Γ(1 + 1/p)Γ(1/p)/Γ(1 + 2/p)
= Γ(1 + 1/p)^2 / Γ(1 + 2/p),
- 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/05(土) 23:39:22 ]
- >>412
はどの問題に対するレスですか？
- 426 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/06(日) 01:18:42 ]
- >>424
出題ミスのはずだったがガンマ関数とか出せば解けるのか…勉強不足でよく知らないですが
【問】
一辺1の正三角形ABCの内部に点Pをとる
この時AP,BP,CPの長さに等しい3辺をもつ三角形が作れるためのPの領域を求めよ
- 427 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/06(日) 10:37:57 ]
- >>426
ミス
内部→内部,周上,外部のいずれか
- 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/06(日) 10:44:43 ]
- Ｚ会の過去問乙
- 429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/06(日) 10:53:43 ]
- >>426
Ｚ会に通報します．
- 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/06(日) 10:56:07 ]
- パクり問題持ってくる人大杉
オリジナリティのある良問を頼むよ
- 431 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/06(日) 11:11:29 ]
- >>428
まじで？
オリジナルのつもりだったけど既出なんだな
- 432 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/06(日) 11:31:22 ]
- 308の改題
y=tanθx上を速さvでy軸正方向へ動く点Pを中心にもつ半径rの円Cと
長さ1でx軸正方向へ速さ1で動く線分Lを考える
うまく円C,線分Lの初期位置を設定することで円Cとx軸の交点が常に線分Lに含まれるためのrの最大値とその時のcosθの値を求めよ ただしvは定数である
- 433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/06(日) 11:35:30 ]
- >>432
ただし円Cの初期位置のy座標は-r以下とする
- 434 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/06(日) 17:14:41 ]
- a,bは共に実数でa>0、b>0を満たすものとする。
点Ｐ(a,b)を通り、傾きが負である直線のx軸とy軸との交点をそれぞれQ,Rとする。
このとき線分QRの長さの最小値をa,bを用いて表せ。
- 435 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/06(日) 21:17:36 ]
- >>434
とりあえず傾きを-k(k>0)としてまともに計算すると
Q(a+b/k,0), R(0,ka+b)でQR^2 = a^2k^2 + 2abk + (a^2+b^2) + 2ab/k + b^2/(k^2)
微妙に対称性が崩れるので、別の方法を考えます。
- 436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/06(日) 21:24:18 ]
- >>434
直線の傾きを -m とおく。(m>0)
PQ = (b/m)√(1+m^2),
PR = a･√(1+m^2),
(PQ)^2 = (PQ + PR)^2 = (1+m^2)(a + b/m)^2
= a^2 + a(am^2 + b/m + b/m) + b{am + am + b/(m^2)} + b^2
≧ a^2 + 3a^(4/3)^2･b^(2/3) + 3a^(2/3)･b^(4/3) + b^2 (←相加･相乗平均)
= {a^(2/3)^2 + b^(2/3)}^3,
等号成立は m = (b/a)^(1/3) のとき。
- 437 名前：436 mailto:sage [2009/09/06(日) 21:31:10 ]
- >>434
訂正
ＱＲ^2 = (PQ + PR)^2 = (1+k^2)(a + b/k)^2
= a^2 + a(ak^2 + b/k + b/k) + b{ak + ak + b/(k^2)} + b^2
= ･･･
- 438 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/06(日) 21:36:53 ]
- >>434 Sorry, the problem is very famous.
The prpblem has been posed in the entrance exam of Nippon University and Meiji University.
Super Solution: Holder kills it in 1 minute.
- 439 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/06(日) 21:37:08 ]
- 原点をOとして、∠POQ=α, ∠OQP=θとおくと、△OPQに正弦定理を用いて
QP=OPsinα/sinθ…①がいえる。
また、∠POR=90°-α, ∠ORQ=90°-θだから、△OPRに正弦定理を用いると
RP=OPsin(90°-α)/sin(90°-θ)= OPcosα/cosθ…②である。
QP,RPは正なので、相加平均と相乗平均の関係から
QR= QP+RP ≧ 2sqrt(QP・RP) = 2・OP・sqrt(sin2α/sin2θ)…③
…駄目だ。相加・相乗の等号成立(QP=RP,すなわちθ=α)と
sin2θを最大にする条件(θ=45°)が一致しない。
- 440 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/06(日) 23:22:43 ]
- 【問】
OA=OB=1の時、△OABの内接円の半径の最大値を求めよ
- 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/06(日) 23:58:28 ]
- ∠AOB=2θとおいて△OAB=r(1+cosθ)=sinθcosθ
r=(sinθcosθ)/(1+cosθ), r^2=(1-cos^2θ)cos^2θ/(1+cosθ)^2
cosθ=tとおいてr^2=(1-t)t^2/(1+t), 0<t<1
微分して増減表 計算が正しけりゃt=(√5-1)/2のとき最大値r=(3-√5)/{(2+2√5)^(1/2)}
よくて地方旧帝下位レベル
- 442 名前：435=439 [2009/09/07(月) 00:28:51 ]
- >>436-438
参りました。
>>440
∠AOB=2θ(0≦θ≦π/2)とすると△AOB = (1/2)sin2θ, またOA+OB+AB=2+2sinθだから、
内接円の半径f(θ)=sin2θ/(2+2sinθ)である。
f'(θ)={2cos2θ・(2+2sinθ)-sin2θ・2cosθ}/(2+2sinθ)^2
=-{(sinθ)^3+2(sinθ)^2-1}/(1+sinθ)^2
=-{(sinθ)^2+sinθ-1}/(1+sinθ)
f'(θ)=0となるのは(sinθ)^2+sinθ-1=0すなわち sinθ=(-1+sqrt(5))/2で、
ここでf'(θ)は正から負に転ずる。つまりこのθでf(θ)は極大かつ最大。
このときcosθ=sqrt(2+2sqrt(5))/2となり、これとsinθをf(θ)の式に代入して
計算するとf(θ)=(3-sqrt(5))sqrt(2sqrt(5)-2)/4が最大値である。
(θ≒38°で、内接円の半径の最大値は約0.300。これはθ=30°(正三角形)のときの
sqrt(3)/6≒0.289やθ=45°(直角二等辺三角形)のときの(2-sqrt(2))/2≒0.293よりも
大きいことが確かめられる。)
- 443 名前：435=439 mailto:sage [2009/09/07(月) 00:36:39 ]
- >>441
負けました。三角関数のまま微分したのが時間ロスの原因か…。
ともあれ、今回もどうせ正三角形が答えだろうと思って計算したら
違ったので驚きました。
- 444 名前：435=439 mailto:sage [2009/09/07(月) 00:52:09 ]
- ではこちらも1問。非常に易しいですが、答えは意外なものになると思います。
(問題) 周の長さが一定の三角形のうち面積が最大のものは、正三角形です。
では、周の長さが一定の扇形で、面積が最大になるのは、中心角がいくらの
ときでしょうか。
正三角形に近い扇形、つまり中心角がπ/3前後だろうと予想するかもしれませんが、
正解はこれとかけ離れています。
- 445 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/07(月) 00:56:25 ]
- これは、1985 中央大理工の問題です
- 446 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/07(月) 01:24:47 ]
- これも, 有名問題。中大, 防衛大に出題されている。
- 447 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/07(月) 01:46:11 ]
- >>441,442
正解です
本来下の問題を予定してたんですが結構しんどいので時間かかるかも
【問】
xy平面において
O(0,0),A(1,0),B(cosθ,sinθ)として、θを0＜θ＜2π(θ≠π)の範囲で動かした時にできる△OABの内心Iの軌跡と垂心Hの軌跡は線対称であることを示せ
- 448 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/07(月) 22:15:12 ]
- >>447
便宜上 -π<θ<πとする。
BからOAに下ろした垂線の足はK(cosθ,0)
HはBKと半直線 y = tan(θ/2)･x の交点だから、
OH = |cosθ|/cos(θ/2),
これと x= OH･cos(θ/2), y = OH･sin(θ/2) から垂心H(x,y)の軌跡は
y = σx√{(1-x)/(1+x)}, σ = Sgn(θ),
OI + |y| = OI{1 + |sin(θ/2)|} = cos(θ/2) だから、
OI = cos(θ/2)/{1+sin(θ/2)},
これと x= OI･cos(θ/2), y = OI･sin(θ/2) から内心I(x,y)の軌跡は
y= σ(1-x)√{x/(2-x)}, σ = Sgn(θ),
これらは x ⇔ 1-x により入れ替わるから、直線x=1/2 について 線対称。
- 449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/07(月) 22:53:14 ]
- >>447
蛇足だが、
外心をO' とすると OO'= AO',
△OO'A は2等辺3角形だから
O' = (1/2, (1/2)tan(θ/2))
∴ 直線 x=1/2 は外心O'の軌跡でもある。
- 450 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/07(月) 23:15:09 ]
- 3問目の出題
lim(n→∞)Σ(k=0→n)〔｛(-1)^k｝2^k/k！〕を求めよ
- 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/07(月) 23:21:13 ]
- 整数a,b及び虚数単位iを用いて表せる全ての複素数a+biに対し
・a+bi=∑(k=0→n) C(k)*(i-1)^k
・全ての非負の整数kについて、C(k)の値は、0又は1と等しい
を同時に満たす数列{Cn}が必ず存在する事を証明せよ。
- 452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/08(火) 21:19:39 ]
- 〔434の類題〕
a,b,c >0 とする。
点P (a,b,c)を通り "傾きが負" である平面の、x軸,y軸,z軸との交点をそれぞれQ,R,Sとする。
このとき △QRS の面積の最小値をa,b,cを用いて表わせ。
>>450
e^(-2)
- 453 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/08(火) 22:01:52 ]
- >>452 正解
こんなにあっさり解かれるとは思わなかった
もう一問 こっちのがメンドイ
lim(n→∞)〔(n+log(n!)-log(n^n))/logn〕
- 454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/08(火) 22:09:51 ]
- >>453
1/2
すたーりんぐデ１コロ
log(n!) ～ (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) + 1/(12n) - ････
- 455 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 06:38:40 ]
- 糞みたいな問題ばかり出題するなよ
- 456 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/09(水) 08:42:31 ]
- 5^x=x^5を満たす有理数解を全て求めよ。
- 457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 11:26:44 ]
- >>456
これは実質的に
・5^xが有理数になるような有理数xは整数に限られる
・xが6以上の整数のとき5^x＞x^5
の二つを証明する問題と見てok?
- 458 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/09(水) 12:32:05 ]
- m×nの格子状のマス目でできた長方形がある。この長方形の右上がりの対角線
の2頂点をP、Qとして、PからQまで格子に沿って至る最短経路の集合をΓとする
(Γの要素の個数は(m+n)!/m!n!)。Γの各要素γに対し、m×nの長方形の内側で
経路γより左上の領域の面積をA(γ)で表す。
このとき
∑_{γ∈Γ} x^A(γ) ＝ (x)_(m+n)/((x)_m・(x)_n)
が成り立つことを証明せよ。ただし、
(x)_k ＝ (x - 1)(x^2 - 1)・・・(x^k - 1) とする。
- 459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 15:46:07 ]
- 一辺の長さが1の正三角形Tが、
一辺の長さが1の正方形の周及び内部を動くとき、
Tの周(辺及び頂点)が動きうる領域の面積を求めよ。
- 460 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/09(水) 16:48:21 ]
- １
- 461 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 21:38:46 ]
- >>456
x<0の時正の数=負の数で矛盾、x=0の時1=0で矛盾、よってx>0
有理数解をx=p/q(p,qは互いに素である自然数）とおくと
5^(p/q)=p^5/q^5
5^p=(p^5q)/(q^5q)
p^5q=5^p・q^5q
p,qは自然数だから右辺は5の倍数、左辺が5の倍数になるにはpが5を素因数に持つことが必要なのでp=r・5^nとおける(rは5の倍数でなく、nは自然数）
左辺に代入して5^(5qn)・r^(5q)=5^p・q^5q…（１）
今pとqは互いに素でpが5の倍数だからqは5を素因数に持たない。
よってに（１）においてr^(5q)はrが5を素因数に持たないから5の倍数でないし、q^5qもqが5を素因数に持たないから5の倍数でない
（１）で5の指数を比較して5qn=p p/q=x=5n
よってx=5,10,15,…
ここまでで半分くらいかね、後は10,15…が不適なことを示せばよいが…。
- 462 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 21:46:58 ]
- >>461の続き
両辺の自然対数を取って整理して log5/5=logx/xを考えて
y=logx/xのグラフとy=log5/5の交点を考える
２つのグラフは1<x<eでただ１つの解、e<xでただ１つの解を持つことが分かる
x=5が明らかに解だからe<xで持っている一つの解は、5
x=5以外のe<xの解は存在しない（交点がただ一つだから）のでx=5が定まればx=10,15…は全て不適
- 463 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 21:56:17 ]
- 5^x と x^5 のグラフから x が実数であれば 5^x = x^5 の交点は一点のみ
特に x = 5 は 5^x = x^5 を満たす
従って 5^x = x^5 を満たす有理数は x = 5 のみ
- 464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 22:02:18 ]
- >>463
０点
x≒1.765でも交わる
- 465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 22:07:00 ]
- >>463
出鱈目。
- 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 22:11:19 ]
- 1.764921914525775882758723590911459101370103259294683808995374687821107721
00333954881401245241408917321376161507472704651465269967385415685401702516
28495329481094119289108128469998154461265068926800052611274579797681972213
12634608768395157996642156026636721864196751650122343143472447144146913303
73918502827891292987144557860123985265300771745815642023767530553835914900
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- 467 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/09(水) 22:18:13 ]
- 461,462に463あわせたら答えか
- 468 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/09(水) 22:21:57 ]
- >>463 正解 です
- 469 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/09(水) 22:29:06 ]
- a>2/5のとき、方程式x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0は少なくとも1つ虚数解をもつことを示せ。
- 470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 23:03:45 ]
- f(x)=x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0の5解が全て実数であるのはy=f(x)のグラフが極値を４つ持ち、xが小さい方から順に極値が正負正負となるときだけである
f'=5x^4+4x^3+3ax^2+2bx+c,f''=20x^3+12x^2+6ax+2b,f'''=60x^2+24x+6a
f'''=0の判別式D/4=4-10a<0つまりa>2/5のとき、f'''は全てのxに対して正だから
つまりf''は単調増加関数である
f''が単調増加関数だから,f''=0はただ一つの解を持ちその解をx=αとするとx<αでf''<0,α<xで0<f''である
つまりf'はx=αで１つだけ極小値を持つ関数である
（１）y=f'のグラフがx軸と２点で交わるとき
f'の符号は正、負、正と変わるからf(x)は極大値→極小値という風に極値を２つのみもつ関数である
（２）y=f'のグラフがx軸との共有点が１点以下の時
f'は常に負にならないからf(x)は単調増加関数である
（１）、（２）共にf(x)が山を４つもったグラフにはならないのでf(x)=0は少なくとも一つ虚数解を持つ
- 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 23:38:51 ]
- >>461
(q^(5q))*5^p = p^(5q) の両辺の q で割った余りを考えれば p^5q は q の倍数
p と q は互いに素だから q = 1 、では駄目なの？
- 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 23:56:52 ]
- >>470
じゅうかいの時があるだろ
- 473 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/10(木) 00:16:33 ]
- 長さ2の線分ＰＱが次の2条件を満たして動く。
☆点Ｐはx=1上に存在する。
☆線分ＰＱは原点を通る。
このとき、線分ＰＱの通りうる領域の面積を求めよ。
- 474 名前：413 mailto:sage [2009/09/10(木) 09:13:09 ]
- >>413
をだれもといてないのは、簡単すぎるからなのか、計算がめんどいからなのか・・・。
硬貨の種類をもっとすくなくすればよかったかしらん。
- 475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 09:15:29 ]
- よくある問題でオリジナリティーがまるでないから。
- 476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 09:26:59 ]
- >>>473
※以下、答えではない。
====
☆点Ｐはx=1上に存在する。→ P=(1,p)とおく（pは変数）
●「長さ2の線分ＰＱ」→Q=(1 + 2Cosα,p + 2+Sinα)とおく
（αは変数）
☆線分ＰＱは原点を通る。→・・・？？？
線分PQ上の点をA=(a,b)とおくと、min(1,1 + 2Cosα)<=a<=max(1,1 + 2Cosα)
と、機械的におきかえてみて、a,b以外の変数を消しまくって・・・
と考えたけど、
＜☆線分ＰＱは原点を通る。＞の表し方が・・・、
いろいろ表し方あるけど、途中でつまる。
- 477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 09:30:31 ]
- >>413
>>475
あぁ、いわれてみれば・・・。
「東大（京大？）っぽい」とは思ったんだけど、文系数学の易問レベルか。
すこしカスタマイズすれば、多少は難しくなるかもだけど。
- 478 名前：476 mailto:sage [2009/09/10(木) 11:10:17 ]
-
>>473
内分点なんて、単語すら忘れてた・・・。力尽きたので、一行だけ。。。。
＜「点P」がx=1上に存在する＞は、＜点Ｐがx + y = √2上に存在する＞と置き換えたほうが、対称性により計算が楽になると思われ。。。
（点Ｐが直線上を動き、OPの最短距離が１だから）
- 479 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/10(木) 11:50:40 ]
- >>413と似てるけど問題内容は違うの問題です
【問】
1円玉～n円玉のコインが十分な 枚数あり、このうちから何枚か使ってちょうどn円を支払うときのコインの組み合わせは何通りあるか？
- 480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 12:00:00 ]
- >>469
最初だけ。
f(x)=x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d とおくと、グラフより、f(x)=0は少なくとも１つの実数解を持つのでその実数解をpとおく。
f(p)=p^5+p^4+ap^3+bp^2+cp+d=0により、d = - ( p^5+p^4+ap^3+bp^2+cp )
これを、f(x)=0に代入すると、
x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx - ( p^5+p^4+ap^3+bp^2+cp ) =0
変形すると、
(x^5-p^5) + (x^4-p^4) +a(x^3-p^3) +b(x^2-p^2) +c(x-p)=0
さらに変形。
//======================
(x-p) *
{
(x^4 + p * x^3 + p^2 * x^2 + p^3 * x + p^4) +
(x^3 + p * x^2 + p^2 * x + p^3) +
a * (x^2 + p*x + p^2) +
b * (x + p) +
c
}
= 0
よって、g(x) =
(x^4 + p * x^3 + p^2 * x^2 + p^3 * x + p^4) +
(x^3 + p * x^2 + p^2 * x + p^3) +
a * (x^2 + p*x + p^2) +
b * (x + p) +
c
とおくと、g(x) = 0 が少なくとも１つ虚数解をもつことをしめせばいい。・・・
ってやってみたんだけど、無意味？
- 481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 12:02:55 ]
- >>479
＞n円玉 ？？？
２円玉？
１００００円記念硬貨？
- 482 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/10(木) 12:21:37 ]
- >>481
イエス
- 483 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん]
- あぼーん
- 484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 21:40:32 ]
- cos(α)=1/√(1+p^2)、sin(α)=p/√(1+p^2)で
OQ↑=OP↑+PQ↑=(1-2/√(1+p^2), p-2p/√(1+p^2))
か？
- 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/11(金) 22:10:40 ]
- 正三角形8枚、正方形6枚から構成される多面体を考える。
この多面体について、以下を答えよ。
（１）辺の数はいくつか？
（２）頂点の数はいくつか？
（３）
この多面体の頂点の１つを点Pとする。
この多面体の辺上を移動するアリがいる。
点Pを出発点とし、途中で同じ点を通ることなく、
再度点Pへ戻るようにアリが動くとき、
このアリの動き方は何通りあるか？
- 486 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/11(金) 22:12:15 ]
- >>454 スターリング近似なんぞ受験生でできるやついるの？
もっと高校生レベルの解き方で解いて欲しかった・・・
- 487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/12(土) 04:27:40 ]
- 〔434の類題〕
a,b,c >0 とする。
点P (a,b,c)を通り "傾きが負" である平面の、x軸,y軸,z軸との交点をそれぞれQ,R,Sとする。
このとき 4面体O-QRS の体積の最小値をa,b,cを用いて表わせ。
>>453, 486
それは確かにメンドイな…
- 488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/12(土) 04:48:42 ]
- >>487
その平面に垂直な向き（法線）を (L,m,n) とすると、
Lx + my + nz = La + mb + nc = h,
ここに、h は原点Oからこの平面に下ろした垂線の長さ。
ところで
Q(h/L,0,0) R(0,h/m,0) S(0,0,h/n)
だから O-QRS の体積は
(h^3)/(6Lmn) = (La+mb+nc)^3 /(6Lmn) ≧ 27abcLmn /(6Lmn) = (9/2)abc, (←相加･相乗平均)
等号成立は L = bc/√{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2}, m = ca/√{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2}, n = ab/√{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2} のとき。
x/a + y/b + z/c = 3,
- 489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/12(土) 09:06:02 ]
- >>459
Tの頂点から対辺までの距離は 1/√3,
□の４頂点のいずれから見ても
距離が 1/√3 より小さく策、頂角の中央30ﾟの内側の部分
にはTの辺が来ない。
ただし、４頂点からの距離が 1/√3 より短い部分は、４頂角の中央30ﾟの内側部分を含んでいる。
４頂点を (±1/2, ±1/2) とする。
４頂角の中央30ﾟの内側の部分は、
(±(1/2){1 - (1/√3)}, 0)
(±{1-(√3)/2}, ±{1-(√3)/2})
(0, ±(1/2){1 - (1/√3)})
の8頂点をもつ等辺8角形で、面積は 3 - (5/√3) ≒ 0.11325…
□からこれを除いた部分の面積は (5/√3) -2 ≒ 0.88675…
- 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/12(土) 09:33:10 ]
- >>459
Tの頂点から対辺までの距離は (√3)/2,
□の４頂点のいずれから見ても
距離が (√3)/2 より短かく、頂角の中央30ﾟの内側の部分
にはTの辺が来ない。
ただし、４頂角の中央30ﾟの内側部分は、４頂点からの距離が (√3)/2 より短い部分を含んでいる。
４頂点を (±1/2, ±1/2) とする。
４頂点からの距離が (√3)/2 より短い部分は、
S = (3/2)(β-α) -√2 +1 = 0.0955418…
α = arctan(1/√2) = 0.6154797…
β = arctan( √2) = 0.9553166…
□からこれを除いた部分の面積は 0.904458･…
- 491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/12(土) 09:58:52 ]
- 誰か>>380解いて
- 492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/12(土) 19:04:39 ]
- 初投稿です。簡単ですかね。
5^93の上2桁を求めよ。常用対数log2=0.3010を用いてよい。
- 493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/12(土) 19:53:46 ]
- 400以下まとめ(ミスあるかも)
>>17>>29>>54>>61>>76>>79>>123>>144>>187>>190>>191>>216>>236>>261>>329>>342>>358>>370>>378>>380>>384>>398
- 494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/13(日) 00:19:33 ]
- >>492
底は全部10
log(5^93)=93(log10-log2)=93(1-0.301)=65.007
よって5^93=10^65.007=10^65・10^0.007
10^65の部分は5^93の上二桁に影響を及ぼさない（0をつける働きしかしない）ので
5^93の上二桁は10^0.007の上二桁
log1=0,log1.024=log(2^10)/(10^3)=10log2-3=0.01
0<0.007<0.01 → log1<0.007<log1.024
0.007=log1.0…だから、10^0.007=1.0…
5^93の上二桁は10…答
類題経験があれば上1桁は余裕だが、log1.024を考えつかないと上２桁は求まらない
- 495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/13(日) 05:20:00 ]
- 0.01165/0.30095<1/10.
2^(1/10)<1+1/10.
- 496 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/13(日) 19:16:40 ]
- ｘ＝f(t)，y＝g(t) (a≦t≦b) で表わされる曲線を C とする．
ただし，f(t) 及び g(t) は微分可能で，
(f(a)，g(a))＝(f(b)，g(b)) で，さらに，任意の a≦s＜t≦b なる s，t に対して
(f(s)，g(s))＝(f(t)，g(t)) が成り立つとする．
このとき，曲線 C で囲まれる図形の面積 S は
S＝|∫g(t) f’(t) dt | となる事を示せ．
- 497 名前：496 mailto:sage [2009/09/13(日) 19:18:18 ]
- × (f(s)，g(s))＝(f(t)，g(t)) が成り立つとする．
○ (f(s)，g(s))≠(f(t)，g(t)) が成り立つとする．
- 498 名前：492 mailto:sage [2009/09/13(日) 19:52:11 ]
- >>494
完璧です。log1.024が考えついてもらえてよかったです。
- 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/13(日) 20:17:45 ]
- 完璧？
log2=0.30095…とかだとlog(5^93)>65.01になるのに？
- 500 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/13(日) 20:41:27 ]
- 500ゲト
【問】
(1)
y=sinxを原点を中心に45゜回転させたグラフはyがxの関数であることを示せ
(2)(1)のグラフをy=f(x),A_k=|f(k)-ax|としてlim(n→∞)Σ[k=1,n]A_k/nの最小値とその時のaを求めよ
- 501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/13(日) 20:44:35 ]
- Nは正の偶数とする。xの整式f(x)は次の式を満たす
f(x)-f(x-1)=x^(N-1)
f(0)=0
(1)正の整数nについて、次の式が成り立つことを証明せよ
f(-n)=0^(N-1) +1^(N-1)+……+(n-1)^(N-1)
(2)y=f(x)のグラフは直線x=-1/2に関して対称であることを示せ
(3)u=x(x+1)とする。f(x)はuの整式として表せることを示せ
(1)(2)はできたんですけど、(3)ができません
助けていただけないでしょうか
- 502 名前：492 mailto:sage [2009/09/13(日) 20:45:15 ]
- >>499
log2=0.3010としてよいと問題で書きましたが、log2は、log2=0.3010299…と続きます。
仮にlog2=0.3010299とみなすと、log5=1-0.3010299=0.6989701となり、
93*log5=65.0042193(<65.01)となり、結局正しい値が求まるでしょう。
- 503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/13(日) 20:47:14 ]
- 「log2=0.3010としてよい」とは書いてない。
後付け乙。
- 504 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/13(日) 20:59:23 ]
- >>500
A_k=|f(k)-ax| ?
- 505 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/13(日) 21:08:50 ]
- >>504
あっ
A_k=|f(k)-ax|→A_k=|f(k)-ak|で
- 506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/13(日) 21:14:34 ]
- >>502
四捨五入して0.3010になるのは0.30095から0.30105まで。
- 507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/13(日) 21:28:45 ]
- >>506は釣り
- 508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/13(日) 21:35:13 ]
- >>500
aの値によっては発散するんじゃないの？
- 509 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/14(月) 22:33:52 ]
- x,yについての方程式
a(x^3-y^3)+b(x^2-y^2)+c(x-y)=0
がx≠yなる実数解をもつための実数定数a,b,cの満たすべき必要十分条件を求めよ。
- 510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/14(月) 22:45:27 ]
- ax^3+bx^2+cx=ay^2+by+cyがx≠yの解を持てばいいので
f(t)=at^3+bt^2+ctとしたとき
f(t)が極値を持つことが必要十分
あとはa=0のときとa≠0のときで場合分けしてうんたらかんたら…
ちょっと前にコピペされてた問題を簡単にした感じかな
- 511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/15(火) 00:02:37 ]
- 次の性質をもつ関数 y＝f(x) が存在すれば例をあげ，存在しなければそれを示せ．
1．ある閉区間 [a，b] で連続
2．x∈[a，b] において x が有理数のとき，f(x) は無理数で，x が無理数のとき，f(x) は有理数．
# もちろん，大学以降の知識を使えば自明ですが，高校範囲で可能な限り厳密にお願いします．
# 誰でも考え付く問題なので，入試問題として既出であれば教えて下さい．
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