- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 21:11:21 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 384 名前：352 [2009/09/02(水) 19:30:38 ]
- 352の問題があまりに面倒くさい為か解答者が誰もいないので問題を少し変更します
〔問題〕
xyz平面において、中心が原点にあり半径が１の球Cがある。
また半径１、高さ１でxy平面に底面が垂直になるように定められた円柱がある。
この円柱の中心が(x,y,z)＝(0,0,p)となっている時、球Cと円柱の共通部分の体積を求めよ。
- 385 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/02(水) 21:28:55 ]
- 高校時代に同級生が作った問題。母関数がどうとか言ってた。
そいつが言うには30分程度で解ける事を想定してるらしいが、俺は40分以上かかった。
a_{1}=1,a_{2}=7,a_{3}=32
a_{n+3}=6a_{n+2}-11a_{n+1}+6a_{n}
を満たす数列{an}がある。以下の問に答えよ。
(1) |x|<1を満たす実数について
1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+……
を証明せよ。
(2) 関数G(z)を、
G(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^2+……+a_{n}z^n+……
と定義する。但しzは実数で、|z|<1、z≠0
(1-6z+11z^2-6z^3)G(z)を求めよ。
(3) 数列{an}の一般項を求めよ。
(4) nが自然数の時、a_{n}≧1を証明せよ。
- 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/02(水) 21:30:57 ]
- ミス。
誤
と定義する。但しzは実数で、|z|<1、z≠0
正
と定義する。但しzは実数で、|z|<1/3、z≠0
- 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/02(水) 21:31:57 ]
- こんな問題に３０分も
かかるのか？
- 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/02(水) 21:38:00 ]
- 部分分数分解する時に3元連立方程式が出てくるから暇はかかるが
それにしたって30分はかからんだろうな
- 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/02(水) 21:45:47 ]
- >>384
xyz平面って何だ？
- 390 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/02(水) 21:47:02 ]
- >>389
それくらいのミスは見逃してやれよ……
- 391 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/02(水) 22:09:55 ]
- このスレの中（過去も含む）の問題で良問と言えるのはどれか.
- 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/02(水) 22:18:26 ]
- >>167とかかなあ
単に整数問題が好きなだけだけど
- 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/02(水) 23:05:07 ]
- 2曲線C1:x^2+y^2=1、C2:y=αx^2+1に接する直線をlとする。
C1,C2,lで囲まれる範囲の面積をαで表せ。
ただしα>1/2
- 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/02(水) 23:43:35 ]
- >>378
四面体の成立条件がわからん。。。
- 395 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/03(木) 00:19:10 ]
- >>393
囲まれる部分なんてある？
- 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/03(木) 00:20:01 ]
- >>394
多分、4つの三角形が実在できて、かつ4点が同一平面上に存在しない場合
かと。
- 397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/03(木) 00:21:36 ]
- >>395
直線lが2曲線に接して、その2つの曲線も接してるから
囲まれる部分はあるはず。
- 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/03(木) 00:24:02 ]
- やっぱ東大っていうと整数とか立体ってイメージがある。
で、整数の問題。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
２桁以上の正整数について、それぞれの位の数字をすべてかけ算する操作Ｍを、
以下のように記述する。
例：===========================
M(1234)=24 （∵1x2x3x4=24）
M(2589)=890 （∵2x5x8x9=890）
===============================
a_{1}=p（pは２桁以上の正整数）
a_{n+1} = M(a_{n}) （nは任意の正整数）
なる数列があり、
操作Ｍの結果が１桁の場合、操作Ｍの結果の値を数列の最後の値とし、数列はそこで終わる。
例：===========================
p=24321のとき、
a_{1}=24321
a_{2}=2x4x3x2x1=48
a_{3}=4x8=32
a_{4}=3x2=6
以上で数列終了。
===============================
p,nがいかなる値であっても、a_{n}=3となることはあり得ないことを証明せよ。
- 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/03(木) 00:25:21 ]
- >>397
lが y=1だとどうすんの
- 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/03(木) 00:26:34 ]
- >>393
すごいむかしに、かなりにた問題やった記憶がある。でも計算より睡魔が・・・。
ちなみに、l:がy=1なる直線の場合もあるね
- 401 名前：394 mailto:sage [2009/09/03(木) 00:29:18 ]
- >>396
＞4点が同一平面上に存在しない場合
これがわからん。
ぐぐったけど、いまいちわからん。
- 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/03(木) 00:30:55 ]
- >>398
問題の意味が全くわからない
p=13だとa_2=M(13)=3
じゃないの？
- 403 名前：398 mailto:sage [2009/09/03(木) 00:31:41 ]
- ごめ、p=311のとき、反例になるわ。。。おかしいな。ちとたんま
- 404 名前：398 mailto:sage [2009/09/03(木) 00:36:01 ]
- ごめ、最終行訂正。
pがいかなる値（ただし２桁以上の正整数）であっても、n=2のとき以外で、a_{n}=3となることはあり得ないことを証明せよ。
- 405 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/03(木) 00:41:12 ]
- >>398
中学生の時にそれ考えたことあるな。掛け合わせ続けるの。
- 406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/03(木) 00:50:00 ]
- ２０の倍数＋１，３，７，９同士の積は２０の倍数＋１，３，７，９。
- 407 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/03(木) 00:57:55 ]
- 1+1=2
- 408 名前：396 mailto:sage [2009/09/03(木) 01:20:46 ]
- >>401
やる気はしないが、xy平面上において
O(0,0),A(0,a),B(b,c),C(d,e)
と置いて
aはOAの長さで
OB長とAB長から連立二次方程式でも解いてbとcを出して
同様に点Cの位置を出して、OA,OB,AB,AC,BCの長さからOCの長さを出す式を作って
そしたら、OA,OB,AB,AC,BCの長さに対しOCの長さがその長さになればOABCは立体にならなくなる。
多分整数解を持たんだろうけど。
- 409 名前：393 mailto:sage [2009/09/03(木) 01:24:21 ]
- >>399>>400他
勿論l:y=1の時は面積など無いから0になるけど、そうならん場合ね。
原文には図が付いていたから言い忘れてしまった。すまない。
- 410 名前：401 mailto:sage [2009/09/03(木) 01:39:02 ]
- >>408
とてつもなく長い式になりそうな・・・
- 411 名前：宮川ダイスケ ◆jcXETTeIVg mailto:sage [2009/09/03(木) 22:15:04 ]
- なんかおもろい問題浮かんだけど、正直答えはまだ出ていない。
＝＝＝
xy平面上の２つ長方形ABCD,PQRSがある。
AB=b,AD=d,PQ=q,PS=sとする。
(b,d,q,s>0)
また、b.d.q.sの中で最小の長さはbであるとする。
（ただし、bがd,q,sのどれかと一致する可能性もある）
そして、ABCDは第１象限に含まれ、A=(0,0),B=(b,0)とする。
ABCDは固定し、PQRSを自由にxy平面上で動かす場合、交点の数は当然配置によって異なるが、
その異なる交点の数の最大値をMとする。
b.d.q,sの条件で場合わけし、Mを求めよ。
※ABCDのいずれかの辺とPQRSのいずれかの辺が平行となる場合は除外する。
====
今気づいたけど、似た問題、たけしのコマ大数学なんとかの番組でにたようなのが
あったかも。
- 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/04(金) 00:30:00 ]
- www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/figure/tetrahedronvolume.htm
ＰＱ＝３，ＲＳ＝４，ＰＲ＝ＱＳ＝２，ＰＳ＝ＱＲ＝４。
ＰＱ＝４，ＲＳ＝４，ＰＲ＝ＱＳ＝３，ＰＳ＝ＱＲ＝５。
ＰＱ＝４，ＲＳ＝５，ＰＲ＝ＱＳ＝４，ＰＳ＝ＱＲ＝６。
- 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/04(金) 08:52:31 ]
- 1円玉、５円玉、１０円玉、５０円玉、１００円玉、５００円玉 の組み合わせ（※全ての硬貨を使う必要はない）により、
ちょうど５００円を支払うとき、組み合わせは何通りあるか？
- 414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/04(金) 22:11:38 ]
- x≧0,y≧0,z≧0,x+y+z=1のとき
f(x,y,z)=yx^2+zx^2+xy^2+zy^2+xz^2+yz^2の最大値とその時の(x,y,z)を求めよ
（出典：数検１級２次)
- 415 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/05(土) 00:43:22 ]
- f(x,y,z)=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-x^3-y^3-z^3
=(x^2+y^2+z^2)
-(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)-3xyz
=(xy+yz+zx)-3xyz
y+z=1-xだから
((1-x)/2)^2≧yz≧0(∵相加相乗)でx固定すれば
=(1-x)x-3xyz+yz
=(1-3x)yz+(1-x)xより
x≦1/3ではyzが最大であればよく①
x≧1/3ではyzが最小②
②では
f≦(1-x)x≦1/4
(x=1/2,y=0,z=1/2)
①では
f≦(1-3x)(1-x)^2/4+(1-x)x
=(1-x)((1-x)(1-3x)+4x)/4
=(1-x)(3x^2+1)/4
4f'=6x(1-x)-(3x^2+1)
=-9x^2+6x-1で
=-(3x-1)^2よりx=1/3で最大よりf≦2/9(x=y=z=1/3)
比較して1/4で最大(x=1/2,y=0,z=1/2)(並び替え略)
- 416 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/05(土) 01:35:36 ]
- 2007!!+2008!!は2009で割り切れるか？
- 417 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/05(土) 01:44:40 ]
- 2009=7^2*41で
2007!!は
7と41と21とかで
2008!!は
14と28と82とかあるし割りきれる
二重階乗の定義が覚束ないから意味不明かもしれんのでスルーしてくれ
- 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/05(土) 01:45:17 ]
- >>416
2007!!は41、49で割り切れる
2008!!は82、98で割り切れる
ちょっとレベル低すぎ
- 419 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/05(土) 03:01:49 ]
- 2009=x^2+y^2を満たす自然数組(x,y)を全て求めよ
- 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/05(土) 11:16:50 ]
- >>419
これも2009=7^2*41を使う。41=4^2+5^2だから、
(x,y)=(4*7,5*7)=(28,35)と順番を入れ替えた(x,y)=(35,28)が解であることがわかる。
あとは上記以外の解がないことを示せばよい。まず、
(☆) x^2+y^2=2009のとき、x,yはともに7の倍数である
ことを証明する。
いまx=7m+k (mは0以上の整数,kは0≦k≦6の整数)とおくと、
x^2=49m^2+14mk+k^2 =7(7m^2+2mk)+ k^2だから
x^2を7で割った余りは、k^2を7で割った余りに等しく、
それはk=0,1,2,3,4,5,6に対してそれぞれ0,1,4,2,4,1である。
y^2についても、7で割った余りは0,1,2,4のいずれかであると言える。
ここで、(0,1,2,4)の中から重複を許して2つ選び、その和が7で
割り切れるのは0+0=0だけだから、x,yはともに7の倍数である。
すると、x=7m, y=7nとして、
x^2+y^2=2009よりm^2+n^2=41となり、
この自然数解が(m,n)=(4,5),(5,4)のみであることは
m=1,2,3,4,5,6を代入すれば直ちに分かる。
- 421 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/05(土) 13:13:52 ]
- >>420
正解です
D:x^p+y^p=1,x≧0,y≧0
のなす領域の面積をpを用いて求めよ
- 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/05(土) 13:18:28 ]
- >>421
誤爆ミス
- 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/05(土) 14:36:14 ]
- >>415
よくできました(･∀･)
- 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/05(土) 23:18:07 ]
- >>421
x = t^(1/p),
y = (1-t)^(1/p),
S(D) = ∫[0,1] y･dx
= (1/p)∫[0,1] (1-t)^(1/p) t^(1/p -1) dt
= (1/p)Ｂ(1 + 1/p, 1/p)
= (1/p)Γ(1 + 1/p)Γ(1/p)/Γ(1 + 2/p)
= Γ(1 + 1/p)^2 / Γ(1 + 2/p),
- 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/05(土) 23:39:22 ]
- >>412
はどの問題に対するレスですか？
- 426 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/06(日) 01:18:42 ]
- >>424
出題ミスのはずだったがガンマ関数とか出せば解けるのか…勉強不足でよく知らないですが
【問】
一辺1の正三角形ABCの内部に点Pをとる
この時AP,BP,CPの長さに等しい3辺をもつ三角形が作れるためのPの領域を求めよ
- 427 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/06(日) 10:37:57 ]
- >>426
ミス
内部→内部,周上,外部のいずれか
- 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/06(日) 10:44:43 ]
- Ｚ会の過去問乙
- 429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/06(日) 10:53:43 ]
- >>426
Ｚ会に通報します．
- 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/06(日) 10:56:07 ]
- パクり問題持ってくる人大杉
オリジナリティのある良問を頼むよ
- 431 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/06(日) 11:11:29 ]
- >>428
まじで？
オリジナルのつもりだったけど既出なんだな
- 432 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/06(日) 11:31:22 ]
- 308の改題
y=tanθx上を速さvでy軸正方向へ動く点Pを中心にもつ半径rの円Cと
長さ1でx軸正方向へ速さ1で動く線分Lを考える
うまく円C,線分Lの初期位置を設定することで円Cとx軸の交点が常に線分Lに含まれるためのrの最大値とその時のcosθの値を求めよ ただしvは定数である
- 433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/06(日) 11:35:30 ]
- >>432
ただし円Cの初期位置のy座標は-r以下とする
- 434 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/06(日) 17:14:41 ]
- a,bは共に実数でa>0、b>0を満たすものとする。
点Ｐ(a,b)を通り、傾きが負である直線のx軸とy軸との交点をそれぞれQ,Rとする。
このとき線分QRの長さの最小値をa,bを用いて表せ。
- 435 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/06(日) 21:17:36 ]
- >>434
とりあえず傾きを-k(k>0)としてまともに計算すると
Q(a+b/k,0), R(0,ka+b)でQR^2 = a^2k^2 + 2abk + (a^2+b^2) + 2ab/k + b^2/(k^2)
微妙に対称性が崩れるので、別の方法を考えます。
- 436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/06(日) 21:24:18 ]
- >>434
直線の傾きを -m とおく。(m>0)
PQ = (b/m)√(1+m^2),
PR = a･√(1+m^2),
(PQ)^2 = (PQ + PR)^2 = (1+m^2)(a + b/m)^2
= a^2 + a(am^2 + b/m + b/m) + b{am + am + b/(m^2)} + b^2
≧ a^2 + 3a^(4/3)^2･b^(2/3) + 3a^(2/3)･b^(4/3) + b^2 (←相加･相乗平均)
= {a^(2/3)^2 + b^(2/3)}^3,
等号成立は m = (b/a)^(1/3) のとき。
- 437 名前：436 mailto:sage [2009/09/06(日) 21:31:10 ]
- >>434
訂正
ＱＲ^2 = (PQ + PR)^2 = (1+k^2)(a + b/k)^2
= a^2 + a(ak^2 + b/k + b/k) + b{ak + ak + b/(k^2)} + b^2
= ･･･
- 438 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/06(日) 21:36:53 ]
- >>434 Sorry, the problem is very famous.
The prpblem has been posed in the entrance exam of Nippon University and Meiji University.
Super Solution: Holder kills it in 1 minute.
- 439 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/06(日) 21:37:08 ]
- 原点をOとして、∠POQ=α, ∠OQP=θとおくと、△OPQに正弦定理を用いて
QP=OPsinα/sinθ…①がいえる。
また、∠POR=90°-α, ∠ORQ=90°-θだから、△OPRに正弦定理を用いると
RP=OPsin(90°-α)/sin(90°-θ)= OPcosα/cosθ…②である。
QP,RPは正なので、相加平均と相乗平均の関係から
QR= QP+RP ≧ 2sqrt(QP・RP) = 2・OP・sqrt(sin2α/sin2θ)…③
…駄目だ。相加・相乗の等号成立(QP=RP,すなわちθ=α)と
sin2θを最大にする条件(θ=45°)が一致しない。
- 440 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/06(日) 23:22:43 ]
- 【問】
OA=OB=1の時、△OABの内接円の半径の最大値を求めよ
- 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/06(日) 23:58:28 ]
- ∠AOB=2θとおいて△OAB=r(1+cosθ)=sinθcosθ
r=(sinθcosθ)/(1+cosθ), r^2=(1-cos^2θ)cos^2θ/(1+cosθ)^2
cosθ=tとおいてr^2=(1-t)t^2/(1+t), 0<t<1
微分して増減表 計算が正しけりゃt=(√5-1)/2のとき最大値r=(3-√5)/{(2+2√5)^(1/2)}
よくて地方旧帝下位レベル
- 442 名前：435=439 [2009/09/07(月) 00:28:51 ]
- >>436-438
参りました。
>>440
∠AOB=2θ(0≦θ≦π/2)とすると△AOB = (1/2)sin2θ, またOA+OB+AB=2+2sinθだから、
内接円の半径f(θ)=sin2θ/(2+2sinθ)である。
f'(θ)={2cos2θ・(2+2sinθ)-sin2θ・2cosθ}/(2+2sinθ)^2
=-{(sinθ)^3+2(sinθ)^2-1}/(1+sinθ)^2
=-{(sinθ)^2+sinθ-1}/(1+sinθ)
f'(θ)=0となるのは(sinθ)^2+sinθ-1=0すなわち sinθ=(-1+sqrt(5))/2で、
ここでf'(θ)は正から負に転ずる。つまりこのθでf(θ)は極大かつ最大。
このときcosθ=sqrt(2+2sqrt(5))/2となり、これとsinθをf(θ)の式に代入して
計算するとf(θ)=(3-sqrt(5))sqrt(2sqrt(5)-2)/4が最大値である。
(θ≒38°で、内接円の半径の最大値は約0.300。これはθ=30°(正三角形)のときの
sqrt(3)/6≒0.289やθ=45°(直角二等辺三角形)のときの(2-sqrt(2))/2≒0.293よりも
大きいことが確かめられる。)
- 443 名前：435=439 mailto:sage [2009/09/07(月) 00:36:39 ]
- >>441
負けました。三角関数のまま微分したのが時間ロスの原因か…。
ともあれ、今回もどうせ正三角形が答えだろうと思って計算したら
違ったので驚きました。
- 444 名前：435=439 mailto:sage [2009/09/07(月) 00:52:09 ]
- ではこちらも1問。非常に易しいですが、答えは意外なものになると思います。
(問題) 周の長さが一定の三角形のうち面積が最大のものは、正三角形です。
では、周の長さが一定の扇形で、面積が最大になるのは、中心角がいくらの
ときでしょうか。
正三角形に近い扇形、つまり中心角がπ/3前後だろうと予想するかもしれませんが、
正解はこれとかけ離れています。
- 445 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/07(月) 00:56:25 ]
- これは、1985 中央大理工の問題です
- 446 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/07(月) 01:24:47 ]
- これも, 有名問題。中大, 防衛大に出題されている。
- 447 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/07(月) 01:46:11 ]
- >>441,442
正解です
本来下の問題を予定してたんですが結構しんどいので時間かかるかも
【問】
xy平面において
O(0,0),A(1,0),B(cosθ,sinθ)として、θを0＜θ＜2π(θ≠π)の範囲で動かした時にできる△OABの内心Iの軌跡と垂心Hの軌跡は線対称であることを示せ
- 448 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/07(月) 22:15:12 ]
- >>447
便宜上 -π<θ<πとする。
BからOAに下ろした垂線の足はK(cosθ,0)
HはBKと半直線 y = tan(θ/2)･x の交点だから、
OH = |cosθ|/cos(θ/2),
これと x= OH･cos(θ/2), y = OH･sin(θ/2) から垂心H(x,y)の軌跡は
y = σx√{(1-x)/(1+x)}, σ = Sgn(θ),
OI + |y| = OI{1 + |sin(θ/2)|} = cos(θ/2) だから、
OI = cos(θ/2)/{1+sin(θ/2)},
これと x= OI･cos(θ/2), y = OI･sin(θ/2) から内心I(x,y)の軌跡は
y= σ(1-x)√{x/(2-x)}, σ = Sgn(θ),
これらは x ⇔ 1-x により入れ替わるから、直線x=1/2 について 線対称。
- 449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/07(月) 22:53:14 ]
- >>447
蛇足だが、
外心をO' とすると OO'= AO',
△OO'A は2等辺3角形だから
O' = (1/2, (1/2)tan(θ/2))
∴ 直線 x=1/2 は外心O'の軌跡でもある。
- 450 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/07(月) 23:15:09 ]
- 3問目の出題
lim(n→∞)Σ(k=0→n)〔｛(-1)^k｝2^k/k！〕を求めよ
- 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/07(月) 23:21:13 ]
- 整数a,b及び虚数単位iを用いて表せる全ての複素数a+biに対し
・a+bi=∑(k=0→n) C(k)*(i-1)^k
・全ての非負の整数kについて、C(k)の値は、0又は1と等しい
を同時に満たす数列{Cn}が必ず存在する事を証明せよ。
- 452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/08(火) 21:19:39 ]
- 〔434の類題〕
a,b,c >0 とする。
点P (a,b,c)を通り "傾きが負" である平面の、x軸,y軸,z軸との交点をそれぞれQ,R,Sとする。
このとき △QRS の面積の最小値をa,b,cを用いて表わせ。
>>450
e^(-2)
- 453 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/08(火) 22:01:52 ]
- >>452 正解
こんなにあっさり解かれるとは思わなかった
もう一問 こっちのがメンドイ
lim(n→∞)〔(n+log(n!)-log(n^n))/logn〕
- 454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/08(火) 22:09:51 ]
- >>453
1/2
すたーりんぐデ１コロ
log(n!) ～ (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) + 1/(12n) - ････
- 455 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 06:38:40 ]
- 糞みたいな問題ばかり出題するなよ
- 456 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/09(水) 08:42:31 ]
- 5^x=x^5を満たす有理数解を全て求めよ。
- 457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 11:26:44 ]
- >>456
これは実質的に
・5^xが有理数になるような有理数xは整数に限られる
・xが6以上の整数のとき5^x＞x^5
の二つを証明する問題と見てok?
- 458 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/09(水) 12:32:05 ]
- m×nの格子状のマス目でできた長方形がある。この長方形の右上がりの対角線
の2頂点をP、Qとして、PからQまで格子に沿って至る最短経路の集合をΓとする
(Γの要素の個数は(m+n)!/m!n!)。Γの各要素γに対し、m×nの長方形の内側で
経路γより左上の領域の面積をA(γ)で表す。
このとき
∑_{γ∈Γ} x^A(γ) ＝ (x)_(m+n)/((x)_m・(x)_n)
が成り立つことを証明せよ。ただし、
(x)_k ＝ (x - 1)(x^2 - 1)・・・(x^k - 1) とする。
- 459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 15:46:07 ]
- 一辺の長さが1の正三角形Tが、
一辺の長さが1の正方形の周及び内部を動くとき、
Tの周(辺及び頂点)が動きうる領域の面積を求めよ。
- 460 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/09(水) 16:48:21 ]
- １
- 461 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 21:38:46 ]
- >>456
x<0の時正の数=負の数で矛盾、x=0の時1=0で矛盾、よってx>0
有理数解をx=p/q(p,qは互いに素である自然数）とおくと
5^(p/q)=p^5/q^5
5^p=(p^5q)/(q^5q)
p^5q=5^p・q^5q
p,qは自然数だから右辺は5の倍数、左辺が5の倍数になるにはpが5を素因数に持つことが必要なのでp=r・5^nとおける(rは5の倍数でなく、nは自然数）
左辺に代入して5^(5qn)・r^(5q)=5^p・q^5q…（１）
今pとqは互いに素でpが5の倍数だからqは5を素因数に持たない。
よってに（１）においてr^(5q)はrが5を素因数に持たないから5の倍数でないし、q^5qもqが5を素因数に持たないから5の倍数でない
（１）で5の指数を比較して5qn=p p/q=x=5n
よってx=5,10,15,…
ここまでで半分くらいかね、後は10,15…が不適なことを示せばよいが…。
- 462 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 21:46:58 ]
- >>461の続き
両辺の自然対数を取って整理して log5/5=logx/xを考えて
y=logx/xのグラフとy=log5/5の交点を考える
２つのグラフは1<x<eでただ１つの解、e<xでただ１つの解を持つことが分かる
x=5が明らかに解だからe<xで持っている一つの解は、5
x=5以外のe<xの解は存在しない（交点がただ一つだから）のでx=5が定まればx=10,15…は全て不適
- 463 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 21:56:17 ]
- 5^x と x^5 のグラフから x が実数であれば 5^x = x^5 の交点は一点のみ
特に x = 5 は 5^x = x^5 を満たす
従って 5^x = x^5 を満たす有理数は x = 5 のみ
- 464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 22:02:18 ]
- >>463
０点
x≒1.765でも交わる
- 465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 22:07:00 ]
- >>463
出鱈目。
- 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 22:11:19 ]
- 1.764921914525775882758723590911459101370103259294683808995374687821107721
00333954881401245241408917321376161507472704651465269967385415685401702516
28495329481094119289108128469998154461265068926800052611274579797681972213
12634608768395157996642156026636721864196751650122343143472447144146913303
73918502827891292987144557860123985265300771745815642023767530553835914900
54229055163682555674961682680591076061554853249876417007392791328889634257
18085475933402074557781713000087587410041482534764949835840330894237599785
04350487524054229790516943054767013692517404741930222592947426633313278983
45206525516639867469665798523484311096848508496845001985079565208699315796
28379806655951398683059702049723511534793137370101503381640304489402293572
56318573302313642339128754911216787448274026997646059915214338725866192370
38617044751446527774252958341317408231587777969331131870158867670919016180
60569355376039600818749406572366184585496459568509269478610494515817885972
467265040764801028627430106480002504630569880500955048655884936
- 467 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/09(水) 22:18:13 ]
- 461,462に463あわせたら答えか
- 468 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/09(水) 22:21:57 ]
- >>463 正解 です
- 469 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/09(水) 22:29:06 ]
- a>2/5のとき、方程式x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0は少なくとも1つ虚数解をもつことを示せ。
- 470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 23:03:45 ]
- f(x)=x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0の5解が全て実数であるのはy=f(x)のグラフが極値を４つ持ち、xが小さい方から順に極値が正負正負となるときだけである
f'=5x^4+4x^3+3ax^2+2bx+c,f''=20x^3+12x^2+6ax+2b,f'''=60x^2+24x+6a
f'''=0の判別式D/4=4-10a<0つまりa>2/5のとき、f'''は全てのxに対して正だから
つまりf''は単調増加関数である
f''が単調増加関数だから,f''=0はただ一つの解を持ちその解をx=αとするとx<αでf''<0,α<xで0<f''である
つまりf'はx=αで１つだけ極小値を持つ関数である
（１）y=f'のグラフがx軸と２点で交わるとき
f'の符号は正、負、正と変わるからf(x)は極大値→極小値という風に極値を２つのみもつ関数である
（２）y=f'のグラフがx軸との共有点が１点以下の時
f'は常に負にならないからf(x)は単調増加関数である
（１）、（２）共にf(x)が山を４つもったグラフにはならないのでf(x)=0は少なくとも一つ虚数解を持つ
- 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 23:38:51 ]
- >>461
(q^(5q))*5^p = p^(5q) の両辺の q で割った余りを考えれば p^5q は q の倍数
p と q は互いに素だから q = 1 、では駄目なの？
- 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/09(水) 23:56:52 ]
- >>470
じゅうかいの時があるだろ
- 473 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/10(木) 00:16:33 ]
- 長さ2の線分ＰＱが次の2条件を満たして動く。
☆点Ｐはx=1上に存在する。
☆線分ＰＱは原点を通る。
このとき、線分ＰＱの通りうる領域の面積を求めよ。
- 474 名前：413 mailto:sage [2009/09/10(木) 09:13:09 ]
- >>413
をだれもといてないのは、簡単すぎるからなのか、計算がめんどいからなのか・・・。
硬貨の種類をもっとすくなくすればよかったかしらん。
- 475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 09:15:29 ]
- よくある問題でオリジナリティーがまるでないから。
- 476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 09:26:59 ]
- >>>473
※以下、答えではない。
====
☆点Ｐはx=1上に存在する。→ P=(1,p)とおく（pは変数）
●「長さ2の線分ＰＱ」→Q=(1 + 2Cosα,p + 2+Sinα)とおく
（αは変数）
☆線分ＰＱは原点を通る。→・・・？？？
線分PQ上の点をA=(a,b)とおくと、min(1,1 + 2Cosα)<=a<=max(1,1 + 2Cosα)
と、機械的におきかえてみて、a,b以外の変数を消しまくって・・・
と考えたけど、
＜☆線分ＰＱは原点を通る。＞の表し方が・・・、
いろいろ表し方あるけど、途中でつまる。
- 477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 09:30:31 ]
- >>413
>>475
あぁ、いわれてみれば・・・。
「東大（京大？）っぽい」とは思ったんだけど、文系数学の易問レベルか。
すこしカスタマイズすれば、多少は難しくなるかもだけど。
- 478 名前：476 mailto:sage [2009/09/10(木) 11:10:17 ]
-
>>473
内分点なんて、単語すら忘れてた・・・。力尽きたので、一行だけ。。。。
＜「点P」がx=1上に存在する＞は、＜点Ｐがx + y = √2上に存在する＞と置き換えたほうが、対称性により計算が楽になると思われ。。。
（点Ｐが直線上を動き、OPの最短距離が１だから）
- 479 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/10(木) 11:50:40 ]
- >>413と似てるけど問題内容は違うの問題です
【問】
1円玉～n円玉のコインが十分な 枚数あり、このうちから何枚か使ってちょうどn円を支払うときのコインの組み合わせは何通りあるか？
- 480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 12:00:00 ]
- >>469
最初だけ。
f(x)=x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d とおくと、グラフより、f(x)=0は少なくとも１つの実数解を持つのでその実数解をpとおく。
f(p)=p^5+p^4+ap^3+bp^2+cp+d=0により、d = - ( p^5+p^4+ap^3+bp^2+cp )
これを、f(x)=0に代入すると、
x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx - ( p^5+p^4+ap^3+bp^2+cp ) =0
変形すると、
(x^5-p^5) + (x^4-p^4) +a(x^3-p^3) +b(x^2-p^2) +c(x-p)=0
さらに変形。
//======================
(x-p) *
{
(x^4 + p * x^3 + p^2 * x^2 + p^3 * x + p^4) +
(x^3 + p * x^2 + p^2 * x + p^3) +
a * (x^2 + p*x + p^2) +
b * (x + p) +
c
}
= 0
よって、g(x) =
(x^4 + p * x^3 + p^2 * x^2 + p^3 * x + p^4) +
(x^3 + p * x^2 + p^2 * x + p^3) +
a * (x^2 + p*x + p^2) +
b * (x + p) +
c
とおくと、g(x) = 0 が少なくとも１つ虚数解をもつことをしめせばいい。・・・
ってやってみたんだけど、無意味？
- 481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 12:02:55 ]
- >>479
＞n円玉 ？？？
２円玉？
１００００円記念硬貨？
- 482 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/10(木) 12:21:37 ]
- >>481
イエス
- 483 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん]
- あぼーん
- 484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 21:40:32 ]
- cos(α)=1/√(1+p^2)、sin(α)=p/√(1+p^2)で
OQ↑=OP↑+PQ↑=(1-2/√(1+p^2), p-2p/√(1+p^2))
か？
|
 |
