- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 21:11:21 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 201 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 01:01:25 ]
- ロイヤルストレートフラッシュができる確率を求めなさい
- 202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/01(土) 01:35:47 ]
- いやです。
- 203 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 02:05:09 ]
- 誰か>>61やってくれよ
悲しくなるよ
- 204 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 08:59:44 ]
- m,nを正の整数値とする。2^nが3^m - 1を割り切るとき、nの最大値をmであらわせ(そのnが最大値であることを証明せよ)。
例 3^960 - 1 を割り切る 2^n の最大値 → n=8
＞理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で…
私は４～５時間かかりましたが現役なら２５～５０分かと。
- 205 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 11:36:19 ]
- >>204
解いてて，mの奇偶で分けるだけで意外と楽だなーと思ったが偶の場合がめんどくさく1.5～2時間ぐらいかかったかなｗ
ちょっとミスしても得意だったら，50分以内に解けるか．．．
取り合えず答えだけ
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
題意を満たすようなnをn(m)と表記する．
(1) m＝1,3 (mod4)
n(m)＝1
(2) m＝2 (mod4)
n(m)＝3
(3) m＝0 (mod4)
m＝(2^l)・k (k∈Z odd)
と表示したlを用いて
n(m)＝l+2
- 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/01(土) 12:14:02 ]
- >>205
答えは正解です。
やっぱり証明は長くなりましたか？
>>all
素朴な方法で証明できるので挑戦してみてね！
- 207 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 12:41:14 ]
- >>206
今 清書してるが，A4 2枚には収まるかな．．．
(3)の場合がちょっとね
ちなみに
3^a-1＝(3-1){3^(a-1)+3^(a-2)+…+3+1}
を用いて示した
- 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/01(土) 14:09:37 ]
- (3)の表現がおかしかった
――――――――――――――――――――――――――――
正しくは以下：
(3) m＝0 (mod4)
m＝(2^2l)・k (l∈N, k∈N odd)
と表示したlを用いて n(m)＝2l+2
――――――――――――――――――――――――――――
l＝0の場合は(1)だし，2kの場合は(2)だから(4^l)kに訂正
kはZ oddでも問題ない(m>0なので)が，一応 正の奇数 なので．
次から解答
- 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/01(土) 14:11:25 ]
- (1) m＝1,3 (mod4)
m＝2k-1 ( k∈N ) とおけて，
3^m-1＝3^(2k-1)-1＝(3-1){3^(2k-2)+3^(2k-3)+…+3+1}
このとき，2つめの括弧内に数が2k-1項，つまり奇数項あることに注意しておく．
続けて 3^m-1＝2・{3^(2k-2)+3^(2k-3)+…+3+1}
ここで第2項について，2項ずつ組にすることにより
3^(2k-2)+3^(2k-3)+…+3+1＝{3^(2k-3)}{(3+1)+{3^(2k-5)}(3+1)+…+3(3+1)+1}
＝{3^(2k-3)}・4+{3^(2k-5)}・4+…+3・4+1＝1 (mod2)
したがって2でのみ割り切れる ∴ n(m)＝1
(2) m＝2 (mod4)
m＝2k ( k∈N odd) とおけて，
3^m-1＝3^(2k)-1＝(3-1){3^(2k-1)+3^(2k-2)+…+3+1}
このとき，2つめの括弧内に数が2k項，つまり偶数項あることに注意しておく．
続けて
3^m-1＝2・{3^(2k-1)+3^(2k-2)+…+3+1}
ここで第2項について，2項ずつ組にすることにより
3^(2k-1)+3^(2k-2)+…+3+1＝{3^(2k-2)}{(3+1)+{3^(2k-3)}(3+1)+…+(3^2)・(3+1)+3(3+1)+(3+1)}
＝{3^(2k-2)}・4+{3^(2k-4)}・4+…+3・4+4
＝4・[{3^(2k-2)}+{3^(2k-4)}+…+3+1]
∴ 3^m-1＝2・4・[{3^(2k-2)}+{3^(2k-4)}+…+3+1]
＝(2^3)・[{3^(2k-2)}+{3^(2k-4)}+…+3+1]
そして， 〔2つめの括弧内〕＝1 (mod2)
∴ n(m)＝3
- 210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/01(土) 14:12:25 ]
- (3) m＝0 (mod4)
m＝{2^(2l)}・k (l∈N, k∈N odd) と表せられる
以下，n(m)＝2l+2 であることを帰納法で示す
(i) l＝1
m＝4kより
3^m-1＝3^(4k)-1＝(3^(2k)-1){(3^(2k)+1}
3^(2k)-1＝(2^3)・(奇数) (∵ (2) )
3^(2k)+1＝{3^(2k)-1}+2＝(2^3)・(奇数)+2＝2{(2^2)・(奇数)+1}
∴ 3^m-1＝{(2^3)・(奇数)}×2{(2^2)・(奇数)+1}
＝(2^4)・(奇数)・{(2^2)・(奇数)+1}
∴ n(m)＝4
(ii) 一般のl, l+1のとき
m＝{2^(2l)}・k (l∈N, k∈N odd) と表示出来，過程よりn(m)＝2l+2
l+1のときは, 2m＝{2^(2l+2)}k で
3^2m-1＝(3^m-1)(3^m+1)
3^m-1＝2^(2l+2)(奇数)
3^m+1＝(3^m-1)+2
＝(3-1){3^(m-1)+3^(m-2)+…+3+1}+2＝2・[{3^(m-1)+3^(m-2)+…+3+1}+1]
同様に2項ずつ組にして
3^m+1＝2・[{3^(m-2)}(3+1)+{3^(m-3)}(3+1)+…+(3^2)・(3+1)+3(3+1)+1+1]
＝(2^2)・(奇数)
3^2m-1＝2^(2l+2)(奇数)・(2^2)・(奇数)＝{2^(2l+4)}・(奇数
∴ n(m)＝2l+4＝2(l+1)+2
よって示された□
- 211 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 16:00:02 ]
- >>208
>>205の表現が正解だと思います。
>>208だと、例えばm=8の時、(l、k)を上手く設定できないことになります。
ついでに言うと、(2)と(3)は一緒にしてOKだと思います。
その方が帰納法も楽になるし。
- 212 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 16:17:48 ]
- S[k]=Σ[i=0、k-1]3^i
L(p)=(2^Lがpを割りきるような最大のL)
とする。
以下証明の準備
①L(p*q)=L(p)+L(q)②pが偶数の時
3^p +1=9^(p/2) +1
≡2(mod8)
∴L(3^p +1)=1
③pが奇数の時
3^p +1=9^{(p-1)/2}*3 +1
≡4(mod8)
∴L(3^p +1)=2
で、こっからが本題。
S[2k]=S[k](3^k +1)
より
L(S[2k])=L(S[k])+L(3^k +1)
∴L(S[2k])=L(S[k])+1(kが偶数)
L(S[2k])=L(S[k])+2(kが奇数)
従ってn=2^l*p(pは奇数、l≧1)の時
L(S[n])=l+1+L(S[p])
S[p]=Σ[i=0、p-1]3^i
は、奇数個(p個)の奇数(各3^i)の和なので、奇数
∴L(S[p])=0
以上より
L(S[n])=0(nが奇数)
L(S[n])=l+1
∴L(3^m -1)=L(2)+L(S[m])
=1(mが奇数)
=l+2(mが偶数)
- 213 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 16:22:00 ]
- >>212は、字数の都合で幾つかはしょったり、
書くの忘れてるところがあったり、
改行してなかったりで見にくいと思うけど、こんな感じでどうでしょう。
- 214 名前：204 [2009/08/01(土) 17:03:56 ]
- nを2より大きな整数、pを奇数としたときp=1mod.2^nを満たすnの最大値をf(p)=nとすると
①f(p^2)=n+1,②奇数qにおいてf(p^q)=nとなることから3^2=1 mod.2^3から出発して帰納的
にもとまります。
①と②の証明は2^nがp-1を割り切る最大値だからp=r*2^n+1 (rは奇数)と置いて
① p^2 = (r*2^n+1)^2 = 1 は mod.2^(n+1) で成立 mod.2^(n+2) で不成立
② p^q = (r*2^n+1)^q = 1 は mod.2^n で成立 mod.2^(n+1) で不成立
※それぞれ二項係数展開して各項を2^n～2^(n+2)で割ればわかります。
mが奇数の場合、3=-1 mod.2^2 → 3^m=(-1)^2 mod.2^2 となって2^2以上で割り切れないため、
2^1が最大。m=奇数 → n=1
mが2の場合、3^2=1 mod.2^3 は明らかで①と②より帰納的に3^(q*2^d)=1 mod 2^(d+2)となり
m=q*2^d → n=d+2
でつ。。。
- 215 名前：205 mailto:sage [2009/08/01(土) 17:21:16 ]
- おおーすっきり
解答してる最中に段々いろいろ思い出したｗ
>>205で
>偶の場合がめんどくさく
と書いたが，どうも勝手に勘違いしてめんどくさがってたようでｗ
>>209-210でなぜ4の倍数に拘ったかはよく思い出せんが
2＾16-1＝(2^8-1)(2^8+1)＝(2^8-1){(2^8-1)+2}
といった関係をみて，まず偶数は別ということで，その後なんか思いついたんだろう
>>211
m=8が入らないことに気付けないとは我ながら．．．
さらにmodの扱いも酷い．まあよくこの手の問題でミスしてたから恐る恐る使ってしまったｗ
- 216 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 22:35:18 ]
- 球面(x+7)^2+(y+9)^2+(z+7)^2=9がある。中心軸がＡ(3,-2,-1)B(-9,0,3)を通る直線に含まれる直円錐を球が円錐に含まれるようにとる。このとき円錐の表面積の最小値を求めよ。
- 217 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/02(日) 23:06:15 ]
-
実数x≧0 に対して、数列{x_n}を以下で定めます。
x_1=x
x_(n+1)=(x_n)^x
極限lim[n→∞]x_nを求めてください。
- 218 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/02(日) 23:08:22 ]
- 求めました(^_^)V
- 219 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/02(日) 23:39:31 ]
- >>217
logx_n=y_nとおくとy_1=logx
y_(n+1)=x*y_n
よりy_n=x^(n-1)*logx
・
0<x<1のときlim[n→∞]y_n=0
・x=1のときlim[n→∞]y_n=0
・x>1のとき
logx>0なのでlog[n→∞]y_n=∞
以上より
・0<x≦1のとき
lim[n→∞]x_n=1
・1<xのとき
lim[n→∞]x_n=∞
・また、x=0のとき
lim[n→∞]x_nはx_2以降が定義されない
すげえつまんねーけど問題これであってる？
- 220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/02(日) 23:49:55 ]
- x_1=x
x_(n+1)=x^(x_n)
ならもう少し興味深かったかもしれん
いずれにしてもxの範囲から0は外さないと駄目だろ
- 221 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/04(火) 15:07:27 ]
- 2cosα+3cosβ+4cos(α+β)の最小値を求めよ。
ただし0≦α+β≦2πとする
なかなか難問だと思いますが・・・
- 222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/04(火) 15:37:24 ]
- 864π
- 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/04(火) 22:15:31 ]
- >>221
3つのベクトルa↑,b↑,c↑を次のようにとる
・｜a↑|=a、｜b↑|=b、｜c↑|=c、ただしa,b,cは正でab=1,bc=3/2,ca=2
・a↑とb↑のなす角はα、b↑とc↑のなす角はβ
このとき2cosα+3cosβ+4cos(α+β)=2(a↑・b↑+b↑・c↑+c↑・a↑)
=|a↑+b↑+c↑|-(a^2+b^2+c^2)
またa=2√3/3,b=√3/2,c=√3
a↑,b↑,c↑は自由に回転でき、c<a+bなので|a↑+b↑+c↑|=0となるように
a↑,b↑,c↑をとることができる
以上から求める最小値は0-(2√3/3)^2-(√3/2)^2-(√3)^2=-61/12
- 224 名前：223 mailto:sage [2009/08/04(火) 22:31:15 ]
- ＞a↑,b↑,c↑は自由に回転でき、c<a+bなので|a↑+b↑+c↑|=0となるように
＞a↑,b↑,c↑をとることができる
を具体的に補足しておくと
α=11/24のとき|a↑+b↑|=c↑となるのでc↑=-(a↑+b↑)となるようにとれば
|a↑+b↑+c↑|=0
- 225 名前：223 mailto:sage [2009/08/04(火) 22:41:55 ]
- なんかところどころおかしいな
>>223 5行目
× =|a↑+b↑+c↑|-(a^2+b^2+c^2)
○ =|a↑+b↑+c↑|^2-(a^2+b^2+c^2)
>>224
× α=11/24のとき|a↑+b↑|=c↑
○ cosα=11/24のとき|a↑+b↑|=|c↑|
何度もすまん
- 226 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/05(水) 00:06:04 ]
- 原点をOとするxy平面上の格子点A(0)、A(1)、A(2)、……、A(n)、…を、次の条件を満たす格子点とする.
A(0)=O |A(n-1)A(n)↑|=n A(n)A(n+1)↑・A(n-1)A(n)↑＝0
(1)O=A(m)となりうるような自然数mをすべて求めよ.
(2)x軸上のある格子点Pに対して、P=A(N)となりうるような自然数Nが存在することを証明せよ.
(3)A(n)について、どのようなnについても一致しないようなxy平面上の格子点をすべて求めよ.
- 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/05(水) 00:23:18 ]
- なんか問題文が変じゃない？
（２）は「ある」じゃなくて「任意の」ではないの？
（３）は「どのようなnについてもA(n)と一致しないようなxy平面上の格子点をすべて求めよ. 」と言いたいのかな。
- 228 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/05(水) 00:25:40 ]
- >>227
すんません。その通りです。アホでごめんなさい
- 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/05(水) 01:59:26 ]
- >>222
なにかと思えば>>216の答えだったんだな 、今やってわかった
要所は全て整数になるけどまあめんどくさかった
- 230 名前：216 mailto:sage [2009/08/05(水) 09:34:41 ]
- >>222,229
正解おめ。時間無制限でもそこそこきつい。30分程度で解ければ大したもんだ。
- 231 名前：221 [2009/08/05(水) 11:01:32 ]
- >>223 正解です
試験内だと加法定理とか和積とかでガッツリやってはまっていく人が多いかな？
- 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/05(水) 12:44:32 ]
- >>231
試験場では何も考えず微分する人が多いと予想
>>226
長くなりそうなので分割
以下、合同式はすべてmod 8であるとする。
p,qをそれぞれmを超えない最大の奇数、偶数として、
A(m)の座標は(±1±3±5±…±p,±2±4±6…±q) (複合任意),
もしくは上のx,y座標を入れ替えたものとして表される。
(1)±1±3±5±…±pについて、符号が正のものの和と負のものの和が
一致するので、1+3+5+…+pは偶数であり、p≡3,7
±1±3=0とはならず、1-3-5+7=0,1+3+5-7+9-11=0
(2n+1)-(2n+3)-(2n+5)+(2n+7)=0から、帰納的にp≧7なら
±1±3±5±…±p=0となるように符号を定めることができる。
±2±4±6±…±qについても同様に、q≡0,6
p≡3,7よりm≡0,7、すなわち
m=8k,8k-1(kは正の整数)
- 233 名前：232 mailto:sage [2009/08/05(水) 12:54:06 ]
- >>232
少し補足
座標が上の形で表されることについて
A(n-1)A(n)↑≠0↑から、A(n-1)A(n)↑⊥A(n)A(n+1)↑
A(0)A(1)=1から、A(1)として考えられるのは(±1,0),(0,±1)
よってA(n-1)A(n)はx軸,y軸と交互に平行となる。
各々のベクトルの向きを考えれば座標が±1±…±pのようになる
±2±4±6±…±qについて
0となる必要十分条件が、2でくくった後の和が
偶数であることが上と同様に示される
(2)(±1±3±5±…±p,±2±4±6±…±q)において、
y座標を0にできるのはq≡0,6であるから、
p≡1,5,7
このとき、うまくp,および符号を定めればx座標を任意の整数値に
することができることを示せばよい。
p≡1の場合
p=1のとき、1,-1を作ることができる。
-(2n+1)+(2n+3)-(2n+5)+(2n+7)=4から、pを十分大きくとれば、
すべての奇数値をとることができる。
p≡7の場合
1-3-5+7=0,1+3+5-7=2から同様にすべての偶数値をとることができる
- 234 名前：232 mailto:sage [2009/08/05(水) 13:06:07 ]
- (3)x,y座標の少なくとも一方は偶数であるから、
(2s+1,2t+1) (s,tは整数)という点が
A(n)と一致することはない。
これ以外の点がすべてA(n)と一致しうることを示そう。
p≡1のとき、±1±3±5±…±pは任意の奇数値をとる。
このときq≡0,2である。
±2±4±6±…±qが任意の偶数値をとることを示す。
q≡0のとき
2-4-6+8=0,-2+4-6+8=4から、4の倍数の値全体をとる。
q≡2のとき、2,-2を作ることができ、4の倍数でない偶数全体をとる。
p≡7のとき、±1±3±5±…±pは任意の偶数値をとる。
また、p≡3のときも任意の偶数値をとることが示される。
p≡7,q≡0として±2±4±6±…±qは任意の4の倍数をとり、
p≡3,q≡2として任意の、4の倍数でない偶数値をとる。
x座標、y座標の入れ替えを考えて、
少なくとも一方が偶数である格子点はA(n)と一致しうることが示された。
- 235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/05(水) 13:29:30 ]
- >>221
条件が無意味
- 236 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/05(水) 14:17:09 ]
- n個の実数の平均の値は常にn個の実数の最小以上最大以下であることを示せ。
ただし、平均の値とはn個の実数a_i(i=1,,n)についてf(a_1,…,a_n)=f(x,…,x)を満たす実数xのことを指し、
任意のa_1～a_nの値についてそれらをどのように入れ替えてもxはただひとつの同じ値をとるものとする。
また、fは連続であり、定義域はどの変数に対しても全ての実数である。＠v
- 237 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/05(水) 14:39:49 ]
- >>232~234
お見事です！
- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/05(水) 17:12:36 ]
- nが4より大きい自然数のとき tan(π/n) は無理数である事を示せ。
- 239 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/05(水) 23:35:12 ]
- >>221 cos(α+β)＝cos(2πｰ(α+β))に気づいたらベクトルを思いつくと思ってそのヒントと
して書いたつもりですが、確かに無意味ですね
- 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/05(水) 23:35:46 ]
- >>238
三角関数の無理数性に関する問題は定期的に出てくるね。
その手の問題はここにまとめられてるよ。
blog.livedoor.jp/seven_triton/archives/51606089.html
- 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/05(水) 23:56:37 ]
- >>231
普通の受験生の発想でもいけるんじゃないかな。
三角関数の合成により、
与式=2√(5+4cos(β))cos(α+γ)+3cos(β)≧-2√(5+4cos(β))+3cos(β)が出て
[ここに、cos(γ)=(2+4cos(β)/(2√(5+4cos(β)))、sin(γ)=4sin(β)/(2√(5+4cos(β)))]
A=-2√(5+4cos(β))+3cos(β)とおけば
dA/dβ=sin(β)(-3+4/√(5+4cos(β)))。
ちょっと符号変化を調べるけど、後の括弧の中が0になるβで
Ａは最小値 -61/12をとることが分かる。
- 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 00:31:06 ]
- >>240
見たけど間接的な証明だね。
tan の場合は直接的な証明は無いものか。
- 243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 01:05:19 ]
- >>241
でも>>223の解法は、これいただき、使わせてもらおって感じだ
技巧に走っているわけでもないし使えそう
- 244 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/06(木) 01:25:03 ]
- >>241 合成でもできましたか
問題を作ったときはベクトルでの方法しか頭になくて他の方法を試してませんでした
もう少し複雑にする必要がありますかね・・・
- 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 02:12:47 ]
- >>244
三角関数の最小問題である以上三角関数の微分でできないようにはできないだろ、多分
良問だしいい解法だと思ったがそれ以上の作為を入れると多分しょうもない問題になる
- 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 02:24:35 ]
- >>238
tan(π/n)が有理数であるとする。
nが奇素数pを素因数に持つとき、p=2l+1とすれば1≦k≦lなる整数kで
tan(kπ/p)は全て有理数となるが
Π[k=1_l]tan(kπ/p)=√pより矛盾。
n=2^m (m≧2)とすると、1≦j≦m-1なる整数jで
cos(π/2^j)が全て有理数となるが、cos(π/4)が無理数なので
条件にあう可能性のあるnは4のみ。
- 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 12:17:07 ]
- >>246
Π[k=1_l]tan(kπ/p)=√p
の部分はどうやったんですか？
解と係数の関係か何かですか？
- 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 14:18:32 ]
- 実数全体で定義された関数 f(x) が，各k (1≦k≦n) に対して
lim[x→k]f(x)/(x-k)＝1
を満たすとき，方程式 f(x)＝0 は各開区間 (k，k+1) (1≦k≦n-1)
で少なくとも１つの実数解をもつことを示せ．
ただし n は与えれれた正の整数とする．
- 249 名前：248 mailto:sage [2009/08/06(木) 14:19:22 ]
- × 実数全体で定義された関数 f(x)
○ 実数全体で定義された連続関数 f(x)
- 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 15:35:58 ]
- kってなんだよ?実数か？
- 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 17:10:25 ]
- 自然数だろjk
- 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 17:28:51 ]
- >>248
lim[x→k-0]f(x)/(x-k)＝m[x→k+0]f(x)/(x-k)=1
lim[x→k+1-0]f(x)/(x-k-1)＝m[x→k+1+0]f(x)/(x-1)=1
より
f(k+α)>0,f(k+1-α)<0 (ただしαは絶対値の極めて小さい正の数)
→中間値の定理より命題は成り立つ
なんか論証甘いか？
- 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 17:33:09 ]
- 甘すぎ
- 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 17:43:50 ]
- >>252で十分なくらいつまらん問題ではある
- 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 18:12:26 ]
- >>252の方針で厳密にやるとε-δ論法になってしまい、範囲外。
高校の範囲内で厳密に納得できる形でお願いします。
- 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 21:08:49 ]
- >>248が問題の全体だとすると各ｋなんてやる意味ないな
- 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 23:36:24 ]
- >>248
f(x)は連続関数なので中間値の定理より開区間(k,k+1)にf(x)=0の解が存在しないならばこの区間で常に正または常に負
常に正のとき
この区間でf(x)/(x-k-1)<0となるのでlim[x→k+1]f(x)/(x-k-1)=1の条件に合わない
常に負のとき
この区間でf(x)/(x-k)<0となるのでlim[x→k]f(x)/(x-k)=1の条件に合わない
よってf(x)=0は開区間(k,k+1)に少なくとも1つの解を持つ
- 258 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/07(金) 12:08:31 ]
- 多分>>248は一生懸命考えた解答があるんだろう
しかし残念ながら問題がしょうもない
- 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 16:32:19 ]
- と一生懸命考えた回答をこけにされた>>252が必死こいてます
- 260 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/09(日) 00:32:12 ]
- >>259
なんでわざわざ
>各k (1≦k≦n) に対して
なんてしてるの？
- 261 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/09(日) 23:55:23 ]
- 一辺の長さが１である正八面体の内部に存在する正四面体の体積の最大値を求めよ.
- 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/10(月) 00:09:30 ]
- 16√2/27な気がする
- 263 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/10(月) 03:31:27 ]
- nは自然数とする
Σ[n=1,∞]|sin(n!)ﾟ|
とΣ[n=1,∞]|1-cos(n!)゜|
の大小を比較せよ
- 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/10(月) 08:32:02 ]
- >>263
n≧6でn！は360の倍数なのでsin(n！)゜=1-cos(n！)゜=0
だからn=1,2,3,4,5だけ考えたらいいだけだな
出かけるから細かく考える時間がないが後者の方が大きいと思う
- 265 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/10(月) 11:39:47 ]
- ひろいもの
1辺の長さが1の正四面体O-ABCがある．この正四面体の辺上を蟻が秒速1で移動し続ける．蟻は分岐点である頂点に辿り着くと，
辿って来たばかりの辺を除いて2つの方向から等確率で1つの方向を選択し，止まる事なく移動し続ける．辺上で進行方向を変える事はない．
頂点Oを出発したn秒後(n=3,4,…)に蟻が頂点Oにいる確率P[n]を求めよ．
- 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/10(月) 19:36:25 ]
- >>265
{P(n)}がn≧3で定義される理由がわからんが
P(0)から定義されるとして
P(0)=1,P(1)=0
P(n+2)={1-P(n+1)-P(n)}/2
になるのかな？
この漸化式から一般項求まる？
- 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/10(月) 21:25:41 ]
- \int^{1}_{-1} x/(2x+4) dx > -0.1を証明せよ。
- 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/11(火) 01:15:59 ]
- ！
- 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/11(火) 04:30:12 ]
- どうせなら\frac あるいは \dfracで書けばよかったのに
- 270 名前：267 mailto:sage [2009/08/11(火) 08:12:03 ]
- 追加: e=2.718...であることは証明なしに用いてもよい。
- 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/11(火) 19:56:18 ]
- >>265
(A→O) +（B→O) + (C→O) = P_n,
(O→A) + (O→B) + (O→C) = X_n,
(A⇔B) + (B⇔C) + (C⇔A) = Y_n,
とおくと、
P_(n+1) = (1/2)Y_n,
X_(n+1) = P_n,
Y_(n+1) = X_n + (1/2)Y_n,
P_n + X_n + Y_n = 1,
これより XとYを消して
P_(n+2) = {1 - P_(n+1) - P_n}/2,
- 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/11(火) 19:57:59 ]
- >>266
特性多項式 t^2 + (1/2)t + (1/2) = (t + 1/4)^2 + 7/16 の根 は -(1/√2)exp(±iα),
P(n) = 1/4 + (-1/√2)^n･q(n),
とおくと、
q_(n+2) = 2cosα･q_(n+1) - q_n, cosα = 1/√8,
q_n は cos(nα)、sin(nα) の一次式と予測される。
q_0 = 3/4,
q_1 = 1/√8,
q_2 = -1/2,
q_3 = -1/√2,
q_4 = 0,
よって
q_n = (2/√7)sin((n-4)α), sinα = √(7/8),
Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 数学・算数質問コーナー(制限版) [ No.034-035]
- 273 名前：272 mailto:sage [2009/08/11(火) 20:03:34 ]
- (修正)
特性多項式 t^2 + (1/2)t + (1/2) = (t + 1/4)^2 + 7/16 の根 は
{-1 ±(√7)i}/4 = -(1/√2)exp(±iα), cosα = 1/√8,
- 274 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/12(水) 03:25:22 ]
- >>263だけど
Σ[n=1,5](sin(n!)+cos(n!))
＞5√2*sin48
を証明せよ
に改題します(>>263より大雑把な)
ちなみに>>264の予想は正解です
- 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/12(水) 04:54:00 ]
- >>267,270
I = ∫[-1,1] x/(2x+4) dx = ∫[-1,1] {(1/2) - 1/(x+2)}dx
= [(x/2) - log(x+2)](x=-1,1)
= 1 - log(3),
x>0 のとき e^x > 1 + x + (1/2)x^2 より
e^0.1 > 1 + 0.1 + 0.005 = 1.105
e^1.1 = e*e^0.1 > 2.718*1.105 > 3.003
1.1 > log(3)
I > -0.1
- 276 名前：267 mailto:sage [2009/08/12(水) 06:56:13 ]
- >>275
正解です。東大の1999年理系6番の類題でした。
- 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/12(水) 19:08:56 ]
- >>263
前者 = 1.4296424132676768103829574760386･･･
後者 = 1.5926941248136387984119254841763･･･
差 = 0.1630517115459619880289680081377･･･
>> 274
左辺 = 4.8369482884540380119710319918623･･･
右辺 = 5.2548274549875885325330534402426･･･
- 278 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/12(水) 23:40:13 ]
- 任意の実数xについて
sin(cosx)≦sin(cos(sinx))≦cos(sinx)を示せv
- 279 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/13(木) 01:53:03 ]
- sin(cosx)≦sin(cos(sinx))
⇔cosx≦cos(sinx) (∵y=sinxは[-1, 1]で増加関数)
両辺倶に偶関数で, 2πを周期に持ち, 更に[π/2, 3π/2]で
cosx≦0≦cos(sinx)から[0,π/2]で考えればよい。
このときy=cosxは減少関数とからsinx≦x
∴cosx≦cos(sinx)
sin(cos(sinx))≦cos(sinx)
⇔t=cos(sinx), sint≦t
0≦t≦1(∵-1≦sinx≦1)なのでsint≦tは成立
- 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/13(木) 14:11:51 ]
- >>277
数値計算して何になる?入試で電卓は使えないぞ
>>263
n=1,2,3,4,5でsin(n!)ﾟ>0,1-cos(n!)ﾟ>0より
Σ[n=1,∞]|sin(n!)ﾟ| <Σ[n=1,∞]|1-cos(n!)゜|
⇔Σ[n=1,5](sin(n!)ﾟ+cos(n!)ﾟ)<5
y=sinxﾟ,y=cosxﾟは(0,90)で上に凸から、ジェンセンの不等式より
(sin1ﾟ+sin2ﾟ+sin6ﾟ+sin24ﾟ)/4<sin(33/4)ﾟ
(cos1ﾟ+cos2ﾟ+cos6ﾟ+cos24ﾟ)/4<cos(33/4)ﾟ
Σ[n=1,5](sin(n!)ﾟ+cos(n!)ﾟ)
<4sin(33/4)ﾟ+4cos(33/4)ﾟ+sin120ﾟ+cos120ﾟ
=4√(1+sin(33/2))+√3/2-1/2 (∵(sinx+cosx)^2=1+2sinxcosx=1+sin2x)
<4√(1+sin18ﾟ)+√3/2-1/2
=4√(1+(√5-1)/4)+√3/2-1/2
=√10+√2+√3/2-1/2<3.17+1.42+1.74/2-1/2=4.96<5
>>274
Σ[n=1,5](sin(n!)+cos(n!))<5√2*sin48だな
sin48ﾟ>sin45ﾟ=1/√2より明らか
sin48ﾟがどこから出てきたのか教えてほしいな。興味がある
- 281 名前：狂介 mailto:sage [2009/08/13(木) 22:24:20 ]
- >>280
274へのレスについてだけど、どういう意味？
sin(i)+cos(i)≦1とはならないけど
- 282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/13(木) 22:37:52 ]
- >>281
せめて280を全部読んでからレスしようよ・・・
- 283 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/14(金) 02:29:05 ]
- >>279>>280
正解です
向きの訂正ありがとうございます
sin48は
合成して
√2(sin46+sin47+sin51+sin69+sin15)＜5√2sin48を示すのは
左辺＜√2(3sin48+2sin42)(ジェンセン)
=√2(3sin48+2cos48)
=√2sin48(3+2/tan48)
＜5√2sin48(∵tan48＞1)
出題後にこっちの方が偶然まとまってくれたのでこっちも出してみました
- 284 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/14(金) 03:04:00 ]
- f1_(x)=f(x)=sin(cosx)
fn+1_(x)=f(fn_(x))とおく。
この時lim(n→∞)f_n((sinx))は定数関数であることを示せ
明日東大模試だし、早めに寝るか…
- 285 名前：狂介 mailto:sage [2009/08/14(金) 08:07:26 ]
- >>282
すいませんでした
>>284
f_n(x)は[sin(-1),sin(1)]にある。
g(x)=sin(cos(x))とすると、|g '(x)|≦r<1 （[sin(-1),sin(1)]について）
平均値の定理を使った定石より、
|f_n(x)-a|≦r|f_(n-1)(x)-a|≦…≦r^(n-1)|f_1(x)-a|
(a=g(a))
よってlim(n→∞)f_n(x)=a
- 286 名前：280 mailto:sage [2009/08/14(金) 23:42:15 ]
- >>283
すごくきれいに48ﾟが出てきたな、面白い。ただ、合成をつかって
√2(3sin48+2cos48)=√26sin(48+α)≦√26
とした方が強い評価ができていいと思う
a_k=p/(k^2+1)+q/(k^2+2)+r/(k^2+3)+s/(k^2+4)とおくと、
k=1,2,3,4でa_k=1/k^2となった。このとき、a_5を求めよ。
- 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 09:03:10 ]
- ↑パクリ問かよ
- 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 11:13:41 ]
- >>286 下
通分すると、分母は (k^2 +1)(k^2 +2)(k^2 +3)(k^2 +4), 分子は k^2 の3次式だから、
a_k = {(-1/3)(k^2 -4)(k^2 -9)(k^2 -16)a_1 + (28/3)(k^2 -1)(k^2 -9)(k^2 -16)a_2 + (-429/7)(k^2 -1)(k^2 -4)(k^2 -16)a_3 + (646/7)(k^2 -1)(k^2 -4)(k^2 -9)a_4}/{(k^2 +1)(k^2 +2)(k^2 +3)(k^2 +4)}
これに a_1 = 1, a_2 = 1/4, a_3 = 1/9, a_4 = 1/16 を代入する。
a_5 = 15/377,
- 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 18:01:28 ]
- 次の性質を満たす正の実数 p がある．
任意の正の整数 n に対して，
a_n＝(p－1－1/1!－1/2!－．．．－1/n!)・(n+1)!
で定まる数列 {a_n} について 0＜a_n＜3 が成り立つ．
このとき，任意の 0 でない有理数 q に対して，
p^q は無理数となる事を示せ．
ただし，題意を満たす p，{a_n} の存在は既知としてよい．
- 290 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/18(火) 05:51:03 ]
-
筑波大＞＞東大が証明されました！
筑波大が世界記録を更新＝２兆５０００億けた 東大超え
tsushima.2ch.net/test/read.cgi/news/1250496577/
- 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/19(水) 00:39:38 ]
- >>284
分からない
- 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/19(水) 17:11:16 ]
- >>291
>>286
- 293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/19(水) 17:29:03 ]
- >>289
q=1 ならできた。
- 294 名前：284とか [2009/08/19(水) 19:06:00 ]
- fn_(x)の最大値をM_n最小値をm_nとすると
sincosx(m_n≦x≦M_n)について
0≦m_n≦M_n≦1に注意して
m_n≦m_(n+1),M_(n+1)≦M_nを示す
M_(n+1)=sincosm_n…①
m_(n+1)=sincosM_n…②で
M_(n+1)≦M_n
⇔sincosm_n≦sincosm_(n-1)
⇔m_n≧m_(n-1)
⇔sincosM_(n-1)≧sincosM_(n-2)
⇔M_(n-1)≦M_(n-2)より
M_1≧M_2≧M_3かつm_1≦m_2≦m_3を示せば十分で
M_1=sin1,M_2=sin1,M_3=sincossincossin1とm_1=0,m_2=sincossin1,m_3=sincossin1であるから示される。これと①,②より
M_(n+2)＜M_nとm_(n+2)＞m_nなので
M_nは大きくみて単調減少
m_nは大きくみて単調増加
またm_n≦M_nより十分大きなnに対してm_n=M_nである
以上よりfn(x)は最大値=最小値となり定数関数となる
よってxにsinxを入れてfn(sinx)も定数である
(やや周りくどいですが…)
補足でcos(sin(cos…sinx))=cos(sin(cos…cosx))＞sin(cos(sin…sinx))=sin(cos(sin…cosx))です
- 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/19(水) 19:07:12 ]
- >>289
ギブ
- 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/19(水) 21:17:45 ]
- >>293
p=e のとき
0 < a_n = ∑[k=0,∞) (n+1)!/(n+1+k)!
= ∑[k=0,∞) (n+1)!/[(n+1)!(n+2)^k]
< ∑[k=0,∞) 1/[(n+2)^k)]
= 1/{1 - 1/(n+2)} = (n+2)/(n+1) ≦ 3/2,
p≠e ならば発散する。
いまeが有理数だと仮定すると e=k/n (k,nは自然数)
n!e は自然数。
a_n/(n+1) も自然数。ところが
0 < a_n/(n+1) < 3/(2(n+1)) < 1
となって矛盾。
∴ eは無理数。
∴ e^(1/m) も無理数。
- 297 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/19(水) 23:14:08 ]
- 【問】
cos(x)=sin(1/x)を満たすxは無理数であることを示せ
(ただしx≠0)
他のと比べたらかなり簡単
- 298 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/20(木) 05:35:52 ]
- >>296
N.G.
それならすぐ回答レスがついたと思われ
ネピアのマクローリン展開なのはすぐに気が付くだろうし。
> p^q は無理数 ← ∴ e^(1/m) も無理数。
仮にpを無理数である√2と仮定するならば
p^2 = 2 よって有利数となる。
よってeが代数的包体でない、すなわち超越数
であることを示さなければならない。
- 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/20(木) 07:30:53 ]
- >>298
素朴な疑問なんですが、eが超越数なら任意の自然数mについてe^mが無理数に
なるのは分かりますが、逆も成り立つんでしょうか？
- 300 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/20(木) 08:12:45 ]
- >>298
これはありなのか？
スレとして
- 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/20(木) 09:13:12 ]
- e^2が無理数はいけたかも。
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