★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/04(水) 16:13:55 ] 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で 解ける問題を考えてうぷするスレ。 これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。 関連スレへどうぞ 過去ログは>>2以降 775 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/14(木) 15:29:11 ] pを2より大きい素数、a、b、c、d、rをそれぞれpで割り切れない整数とし、次式を満たしている。 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　{ra/p}+{rb/p}+{rc/p}+{rd/p}=2 このときa+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+dの少なくとも2つがpで割り切れることを示せ。 ただし{x}は実数xの小数部分をあらわすものとする。 776 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/14(木) 17:04:51 ] >>775 p=7,a=b=c=2,d=1,r=2 が反例になる気が 777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/14(木) 17:45:40 ] >>776 ですよね 778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/15(金) 00:27:43 ] >>769 (3) 　x^3 +x -1 =0 を解いて 　x = {[1+√(31/27)]/2}^(1/3) - {[-1+√(31/27)]/2}^(1/3) 　　≒ 0.6823278038 2801932736 9483739711 0･･･ 779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/15(金) 01:04:51 ] >>769 (3) ニュートン法を使うなら 　(x^3 +x-1)/(x^b) =f(x), 　b = 3/{3+(a + 1/a)} ≒ 0.5827620120 7378122237 8524483589 7･･･ が速いな。 780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/15(金) 01:22:24 ] >>779 n次多項式ならニュートン法使えるし問題ないだろうな 元ネタは不動点定理かな Ｓをバナッハ空間Ｘの中の空でない閉部分集合であるとする このとき写像 Ｆ：Ｓ→Ｓ が縮小写像であれば，Ｓの中にＦ(x)=xとなる点xがただ一つ存在する 東大入試問題も何かしら元ネタあるんだろうがわからん ９８年の難問とやらはグラフ理論だったっけか 781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/15(金) 18:30:52 ] zeusってやつ「東大・京大理学部生は有名中学の算数を解けるか？」ここにも問題出しててスルーされてるな 782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/15(金) 19:37:08 ] グラフ理論っぽいのは見りゃわかるが、 具体的にグラフ理論の何という定理が元ネタなの？ これまでそういうこと書いたもの全く見たことないから、 単にグラフ理論の素養が無いもの同士が 「何となくグラフ理論っぽいよね」と言い合っているだけに思える。 783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/15(金) 20:41:41 ] 大数にグラフ理論・オートマンって書いてた気がする。実家にあるから今わからんが、明日帰省するので確認してみる。 784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/15(金) 21:16:46 ] >>740は おそらく意図していた問題文は 「六角形ABCDEFはどの辺の長さも1以下である。 このとき線分AD,BE,CFの少なくとも一つは長さが2以下であることを証明せよ」 だったと思われ。 で解答は背理法でAD,BE,CFが全て2より大とする。 まず「三角形PQRが∠P≧60ﾟのとき2QR≧PQ+PRとなる」ことを示す。 これは4QR^2≧4PQ^2-4PQ*PR+4PR^2=(PQ+PR)^2+3(PQ-PR)^2≧(PQ+PR)^2 から証明できる。 本問では直線AD,BE,CFからうまく二つ選べば、なす角(鋭角)が60ﾟ以上になるので これをADとBEとすれば先ほど示したことから 2AB+2DE≧AD+BEとなる。 背理法の条件からAD+BE＞4となりAB+DE＞2となるが これは辺の長さが1以下であることに矛盾。 以上から少なくとも一つは2以下になる。 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/15(金) 21:32:23 ] >>783 オートマトンだろ常識的に考えて。 786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/15(金) 21:39:02 ] 定理っていうか研究テーマが元ネタなんじゃない ちょっと見た感じライフゲームに近いと感じた↓ ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%87%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%9C%92%E9%85%8D%E7%BD%AE >>783 楽しみにしてる 787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 03:00:42 ] >>655を誰かおながいします 788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 05:30:32 ] >>655 一階微分可能でいいなら f(x) = x/(1+x)　　(x≧0) 　　 = x/(1-x)　　(x＜0) 789 名前：Zeus [2008/08/16(土) 13:23:15 ] a,nを正の整数とするとき、次の式を満たす正の整数ｂが 存在することを示せ。 （√a−√a-1)＾ｎ＝√ｂ−√ｂ−１ 790 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 13:35:08 ] １ 791 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 14:06:19 ] Rank Name Assoc. 1 (<<) 12930.00 ZHANG Yining CHN 2 (<<) 12790.25 GUO Yue CHN 3 (<<) 12787.25 LI Xiaoxia CHN 4 (<<) 12677.00 GUO Yan CHN 5 (<<) 12655.25 WANG Nan CHN 6 (<<) 12526.00 LI Jia Wei SIN 7 (<<) 12416.25 WANG Yue Gu SIN 8 (<<) 12339.75 JIANG Huajun HKG 9 (<<) 12277.00 FENG Tianwei SIN 10 (<<) 12234.25 TIE Yana HKG 11 (<<) 12223.25 KIM Kyung Ah KOR 12 (<<) 12140.00 FUKUHARA Ai JPN 792 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 14:21:32 ] 正式に、新しいメルセンヌ素数候補の真偽を検証中であることを表明。 　　検証は今週末に完了予定。10万ドルの賞金のかかった1000万桁は超えられず。 793 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 14:24:37 ] 2^p-1（pは素数）の値が素数のものを、先程も述べましたようにメルセンヌ素数と言います。 　Lucas-Lehmerテストは、最初必ず4から始まって、その次からは、4^2-2=14 → 14^2-2=194 → 194^2-2==37634．．．．と、この計算をp-1回やるそうです。 ****(2) 　そして、その(2)の値をメルセンヌ素数で割ってみて割り切れたなら、それは素数と判明するのだそうです。 794 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 14:31:48 ] 電子フロンティア財団(EFF)が、素数の発見に賞金をかけています。 　　　1000万桁の素数で10万ドル 　　　1億桁の素数で15万ドル 　　　10億桁の素数で25万ドル 　　参考記事：分散コンピューティングで素数探しコンテスト (WIRED 1999-03-31) 795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 15:44:49 ] 大数見てみたら D # グラフ、オートマトン、不変量 って書いてある。 問題文だけで１ページ使い、解答も１ページ。 796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 15:51:37 ] いや大数の編集者のカテゴリ分けとかどうでも良いから。 797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 15:55:19 ] >>780の元ネタがなんなのかについて答えたつもりであるが、結局何が知りたいのよ。 798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 15:58:35 ] >>782だった 799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 16:08:51 ] 普通に考えてグラフ理論を全く知らない>>782が みりゃわかるとか意味不明にもほどがあるだろ…常識的に考えて… このスレに常駐してんのはほとんど高校生だろ 元ネタ云々はどうでもいいんじゃね？ 800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 16:10:44 ] ↑付け忘れ グラフ理論の何という定理だったのか、についての詳細はない。 派生してできた問題だろうというのは有名な雲先生から教わったことがある。 ネタは忘れた。因みに98年の大数6,7,8月号ぐらいの特集には雲先生の長編の解答があったと思う。 それに何か書いてたかは忘れた。国会図書館で閲覧はできると思う。 801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 16:11:24 ] 800は>>797ね 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 17:13:07 ] >>799 いや俺もそんなに知らないが>>795も>>799もグラフ理論知らないだろ。 見りゃ分かるってのは「っぽい」ことだけだよ。 98年後期三番とその解答見りゃ離散数学「っぽい」話だな、というのは分かる。 >>782は、「っぽい」だけで、元ネタとなった特定の具体的な理論とか定理とか 或いは「その筋の専門家には良く使われる類の議論として認識されているようなもの」でも良いが いずれにせよそういう詳細ははっきりしないよね、って意味で書いたつもりなんだが。 >>800は理解してくれてるみたいだけど。 元ネタは誰々の不動点定理だなってレベルの話と元ネタは解析だなってレベルの話とでは全然違うでしょ。 （どっちが良い悪いという意味でレベルという言葉を使っているのではないので念のため。） 元ネタはユークリッドの互助法だな、ってのと元ネタは整数論だな、ってのじゃ全然違う。 >>577の元ネタは「QはPIDである」って定理だな、ってのと>>571は整数論の問題だな、くらい違う。 元ネタはグラフ、オートマトン、不変量だなってのは 「元ネタは解析だな」レベルの話だと思うんだが。 オートマトンの専門家とグラフ理論の専門家って 多少理論に被る部分はあるだろうけど違うしね。 803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 17:35:33 ] 不動点定理もかぶっているんですけど… そんなにどころか全く数学を知らないの間違いではないのかな 数学は残念ながら君の言う「っぽい」で判断はできないもんだよ 804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 18:06:35 ] ＞不動点定理もかぶっているんですけど… 被っているってのは98年後期3番に？だから何？ >>777の問題（というか>>780のレス）が念頭にあっただけなんだが。 不動点定理なんて数学のあらゆる分野で出てくるけど 基礎論とかで出てくる不動点定理と解析で出てくる不動点定理じゃ あまり共通点無いと思うんだけど。対角線論法くらいは共通する場合もあるが。 ＞数学は残念ながら君の言う「っぽい」で判断はできないもんだよ だれも「っぽい」って印象だけで実際にグラフ理論が元ネタだと判断出来る、 とか言いたいわけじゃない。寧ろ真逆で、「っぽい」だけじゃ 分野外の人が個人的な印象の話をしてるだけだから意味がない、 だから具体的にどの定理が元ネタなのか分からないと意味がないって意図で書いたんだがな。 805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 18:11:59 ] >>782の下の段ちゃんと読んでね。 「グラフ理論っぽい」という個人的印象による判断に 肯定的な評価はしていないと分かると思うから。 806 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 19:07:46 ] どうでもいいことで論争してんじゃねぇよ暇人ども 807 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 21:13:26 ] 面白いからこの論争続けようぜ >>782はなんでグラフ理論っぽいって見てわかったんだぜ？ おれは全然わからなかったよ 808 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 22:49:35 ] ｎ畳間に畳を敷き詰める方法は何通りあるか（ｎ×２ｍの長方形の部屋にｎ×ｍ枚の畳を敷く場合の敷き方は何通りあるか） 日本語がおかしい問題 809 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 22:59:41 ] 1. Which m x n boards can be tiled by the straight tetromino? For example, can a 10 x 10 board be tiled with 25 of those tetrominoes? 810 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 23:00:35 ] en.wikipedia.org/wiki/Domino_tiling 811 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 23:04:45 ] en.wikipedia.org/wiki/Pfaffian 812 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 23:21:05 ] access.ncsa.uiuc.edu/Stories/nuggets/pfaffian.html 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/16(土) 23:22:00 ] >>807=>>782 814 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/16(土) 23:30:34 ] >>630はどうやるの? 815 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 00:06:46 ] x^2+y^2=0 mod xy+1 (x^2+y^2)=a(xy+1) (x^2+y^2)=a mod x y^2=a mod x y=nx+c y^2=c^2=a mod x (x^2+y^2)/(xy+1)=a=c^2 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 00:12:57 ] >>814 xy+1|x^2+y^2を満たす正整数x,yは存在しないから、命題は真 817 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 00:15:45 ] xy+1|x^2+y^2 2|2 818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 00:20:38 ] >>816 x=2, y=8 819 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 00:27:51 ] y=nx+c xy+1=nx^2+cx+c x^2+y^2=(n^2+1)x^2+2cx+c^2=anx^2+acx+ac a=c 2c=c^2 cn=n^2+1 820 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 00:35:49 ] y=nx+c xy+1=nx^2+cx+1 x^2+y^2=(n^2+1)x^2+2cx+c^2=anx^2+acx+a a=c^2 2c=c^3 c^2n=n^2+1 821 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 00:39:50 ] c^2=2=a n^2-2n+1=0 n=1 y=x+2^.5 x^2+y^2=2x^2+2*2^.5x+2=2(x^2+2^.5x+1) xy+1=x^2+2^.5x+1 822 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 03:55:26 ] a,nを正の整数とするとき、次の式を満たす正の整数ｂが 存在することを示せ。 （√a−√a-1)＾ｎ＝√ｂ−√ｂ−１ 823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 09:45:48 ] >>630 補題1) xy+1 | x^2+y^2 ⇔ xy+1 | x^4+1 ∵) gcd(x, xy+1) = 1 だから xy+1 | x^2+y^2 ⇔ xy+1 | x^2(x^2+y^2) x^2(x^2+y^2) = x^4+1+(xy+1)(xy-1) だから、上は xy+1 | x^4+1 と同値 以下 x≦y とする 補題2) xy+1 | x^2+y^2 なら y=x^3 ∵) 背理法による 上の前提を満たして、y≠x^3 となる組 (x,y) のうち x が最小のものを考える xy+1 | x^2+y^2 なので、補題1より xy+1 | x^4+1 従って、ある非負整数 z が存在して x^4+1 = (xy+1)(xz+1) z=0 のときは y=x^3 なので、z＞0 上から x^4+1 ＞ x^2yz+1 ≧ x^4z+1 なので x＞z xz+1 | x^4+1 から、補題1により xz+1 | x^2+z^2 これは x の最小性に反するので、y≠x^3 となる (x,y) は存在しない 補題2より、xy+1 | x^2+y^2 なら　y=x^3 で、 (x^2+y^2)/(xy+1) = (x^2+x^6)/(x^4+1) = x^2■ 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 09:49:06 ] ×　x^4+1 ＞ x^2yz+1 ≧ x^4z+1 なので ○　x^4+1 ＞ x^2yz+1 ≧ x^3z+1 なので 825 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 10:01:36 ] a−√(a-1)=A A＾ｎ＝√x−√(x-1)と置く。 A^(2n)=2x-1-2√x√(x-1) 2√x√(x-1)=2x-1-A^(2n) 4x(x-1)=4x^2-4x+1-4xA^(2n)+2A^(2n)+A^(4n) 4xA^(2n)=A^(4n)+2A^(2n)+1 x={A^(2n)+A^(-2n)+2}/4={A^(n)+A^(-n)}^2/4 ｛A^(n)+A^(-n)}^2=[{√a−√(a-1)}＾ｎ+{√a+√(a-1)}＾ｎ]^2 が４の倍数である事を示せばよい。 まず、A^(n)+A^(-n)の形を考える。 ２項定理から、(a-1)の奇数乗の項は相殺される。 よって、(a-1)は必ず整数として現れる。 また、全体は係数が２でくくられる。 よって、 A^(n)+A^(-n)は2*√a*整数と言う形になる。 ２乗すれば４の倍数となる。 よって題意は示された。 826 名前：訂正 mailto:sage [2008/08/17(日) 10:04:54 ] A^(n)+A^(-n)は nが奇数の時2*√a*整数と言う形に nが偶数の時2*整数と言う形に なる。 827 名前：訂正2 mailto:sage [2008/08/17(日) 11:53:17 ] >>825、一行目 √a-√(a-1)=A 828 名前：ＺＥＵＳ [2008/08/17(日) 12:44:21 ] >>825 すごいね。 ノーベル物理学賞受賞者を２人も 輩出した、アメリカの名門大学の 定期試験の問題だよ。 よく解けたものだ。 829 名前：ＺＥＵＳ [2008/08/17(日) 13:01:38 ] 0≦ｔ≦Ｔの範囲で、加速度が減速しないまま、 直線上を微小な動きをする物体がある。 その物体の速度が、ｔ＝（１／２）Ｔの時点で、 平均速度を超えることができないことを示せ。 （ノーベル物理学賞受賞者を２人輩出した 　アメリカの名門大学の数学科の定期試験） 830 名前：ＺＥＵＳ [2008/08/17(日) 13:12:19 ] cos36＝１／４＋（１／４）√５であることが分かっている。 （ｔａｎ＾２・１８）（ｔａｎ＾２・５４）が有理数であることを 示せ。 （注）こういう問題をたくさん解いていると、ノーベル賞に近づくかも。 831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 14:58:19 ] >>830 やたら 「ノーベル物理学賞受賞者を２人輩出した大学」 って強調してるけどそれぐらいの大学は沢山あるよね？ 京大数学科だってフィールズ賞２人出してるわけだが。 それに大学の定期試験で日本の高校段階の問題を 出してるってことは、その大学の教育は日本より遅れてるということだ。 おそらくノーベル賞レベルの学生は定期試験なんて 全く相手にせず進んだ勉強をしているか 飛び級で他の学生よりずっと若いかのどちらかだと思うけど。 とりあえず、その定期試験のような問題を解いてれば ノーベル賞に近づけるかもという発想が全くもって理解できない。 832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 15:07:50 ] >>831 キチガイを相手にしなくていいぞ 833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 15:15:18 ] >>832 すまん、このスレ久しぶりに見たんだが、こいつ本当にキチガイなんだな。。 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 15:40:06 ] >>830 ラジアンって知ってる？ 835 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 16:14:06 ] ノーベル物理学賞受賞者を２人輩出した 　アメリカの名門大学の数学科の定期試験 MATH101ですか？ 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 16:19:06 ] 830 ：ＺＥＵＳ：2008/08/17(日) 13:12:19 cos36＝１／４＋（１／４）√５であることが分かっている。 （ｔａｎ＾２・１８）（ｔａｎ＾２・５４）が有理数であることを 示せ。 （注）こういう問題をたくさん解いていると、×ノーベル賞(○ フィールズ賞)に近づくかも。 数オリスレに間違って来たのか、と思うような発言 837 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 17:27:27 ] make a math problem 1 ：Zeus：2008/07/15(火) 15:56:24 make a math problem in english 2 ：名無しさん＠英語勉強中：2008/07/15(火) 16:02:28 >>1 What's one plus one? 3 ：名無しさん＠英語勉強中：2008/07/15(火) 16:03:28 >>1 Zeusとか名乗ってどんだけ中二病なの？ｗｗｗ 4 ：Zeus：2008/07/15(火) 16:04:47 i assume about high school or college level math probrem 5 ：Zeus：2008/07/15(火) 16:05:59 in english!!!! 6 ：名無しさん＠英語勉強中：2008/07/15(火) 16:06:44 >>4 What's the integral of x squared with respect to x over the interval [0,100]? 7 ：Zeus：2008/07/15(火) 16:08:46 >>3 write in english only!!!(i angry!!! 838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 17:32:51 ] あｗｗｗいｗｗｗｗｗｗｗｗｗあんｗｗｗｗｗぐｗｗｗりー 839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 17:42:16 ] english板まで出張してるのか 自己顕示欲の塊だな 840 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 17:52:50 ] 9 ：Zeus：2008/07/15(火) 16:18:36 it up the intelligence quotient that make a math problem in english and solve it. why? it is different that solve a japanese math problem from make a math problem. 10 ：Zeus：2008/07/15(火) 16:19:57 i am american college student. i study math in college. 11 ：名無しさん＠英語勉強中：2008/07/15(火) 16:20:56 >>10 You're not American. 12 ：名無しさん＠英語勉強中：2008/07/15(火) 16:22:00 >>9 Write correct English! What did you learn about grammar at school? 13 ：名無しさん＠英語勉強中：2008/07/15(火) 16:23:07 >>12 Hey, someone else is watching this shitty thread! Talk to me. he is so damned sad lonely person. if you have a time, play with him a moment. 841 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 17:55:33 ] Wildeshaus, Jörg wildesh@zeus.math.univ-paris13.fr 842 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 17:57:30 ] 問題を作らせる問題を出題すべき 1 ：ゼウス[]：2008/03/22(土) 11:16:08 ID:vwopytyu0: www.tsukue-no-mae. net/exam/highschool/kagoshima/public/2003/math/2003-m.htm#2 4． 連立方程式の1 つの方程式がx＋y＝12となるような文章題を1題つくれ。また，その文章題を解いて ... www.heiwaboke.net/2ch/unkar02.php/school7.2ch.net/ojyuken/1206152168 - 18k - キャッシュ - 関連ページ 843 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 18:01:03 ] 23 ：ゼウス[]：2008/03/25(火) 10:10:21 ID:2Co3pBl60 diep.u-gakugei.ac.jp/output/001006012/main.htm はじめに 　生徒の多くは、問題を解くことそのものが数学であると考えていることが 多い。たしかに、授業を構成する際には、その授業の目標に迫るための問題が 教師によって用意され、その問題の解決を通して数学の学習が進められる。 したがって、数学＝問題の解決という図式は適切であるともいえる。 しかし、生徒の学習は問題のパターンによって分類したものの、 解き方を覚えるというものになりがちであるという弊害もある。 数学を暗記にすることで、目先の得点としては一時的に向上するかも しれないが、数 学を作るという立場からは十分な学力が身に着くとは考えられない。 he may be a preschool teacher or student of math education course, trying to find the answers for the math quiz he found on the net. 844 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 18:05:44 ] The lost labor of Hercules The amphora of Zeus had an unusual shape: its cross section at each position x larger than 1 was a circle of radius 1/x (see the figure). The task of Hercules was to paint a liquid glaze on the inner surface of the amphora in preparation for firing it in a kiln. Exercise That an object can have an infinite surface area but a finite volume seems a paradox. A common explanation of the paradox is that comparing area to volume is like comparing apples to oranges: area is measured in square meters, but volume is measured in cubic meters, so why should there be any correlation between the two? Students generally find this explanation unsatisfying. Can you find a better one? Write an explanation, suitable for a calculus student, of what is wrong with the solution of Hercules. The Math 696 course pages were last modified April 5, 2005. These pages are copyright © 1995-2005 by Harold P. Boas. All rights reserved. 845 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 18:09:45 ] 別に面積発散でも薄さ０でぬればいいじゃないか・・・ 846 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 18:22:12 ] zeusはもっと格調高いＭＡＴＨ４００番台の問題を吊るせ・・・ 847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 18:29:07 ] 　　　　　　　　　　＿＿＿＿＿ 　　　　　　　　／　　　　　　　　＼ 　　　　　　／　／・＼　　／・＼　＼ 　　　　　 |　　　￣￣　　　￣￣　　 | 　　　　　 |　　　　（＿人＿）　　　　 | 　　　　　 |　　　　　＼　　　|　　　　 | 　　　　　　＼　　　　　＼＿|　　　 ／ 　　─┐||┌─┐　l　─　 ‐┼‐ 　 ‐┼‐ヽ　l　 ノ　│　.|　 |　　　‐┼‐　‐┼‐ 　　　　　　　 日　 フ　口　　メ　　　__|__　　フ　|┬　　　|　 |　　　‐┼‐　　d 　 （＿_　　　.六　 ↑ .田　 （___　　（丿　）　↑.ﾉ│　　ノ　 ヽ__ノ （丿＼　ノ 848 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 18:41:20 ] だいたいアメリカの大学の学生が日本語読めるか？それでなんで２chで英語の数学問題をきくの？ この背景を分析してくれ・・・クロエ！ 849 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/17(日) 18:43:33 ] ワカッタワ、ジャック かれは、きっとフランス語ができないのよ それで、英語もあやしいいので、AMSのサイトにカキコできないのよ。 でも、きっと大統領をねらっているのだわ！ アリガトウ、クロエ そのまま分析を続けてくれ・・・ 850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/17(日) 20:03:03 ] >>836 　cos(36ﾟ) =c とおくと、 　tan(18ﾟ)^2 = sin(18ﾟ)^2 / cos(18ﾟ)^2 = (1-c)/(1+c), 　tan(54ﾟ)^2 = 1/tan(36ﾟ)^2 = cos(36ﾟ)^2 / sin(36ﾟ) = (c^2)/(1-c^2), 辺々掛けて 　(与式) = {c/(1+c)}^2 ところで、題意により 　c/(1+c) = 1/√5, 　(与式) = 1/5. 851 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 05:52:58 ] >>850の途中の式なんだが、 cos(36ﾟ)^2 / sin(36ﾟ)　じゃなくて　cos(36ﾟ)^2 / sin(36ﾟ)^2　じゃないか？ 852 名前：→ mailto:sage [2008/08/18(月) 06:46:15 ] f[1](x)=x f[n+1](x)=f[n](x){f[n](x)+1/n}　(n≧1) とするとき、ある実数yが存在して任意の自然数nについて 1-1/n<f[n](y)<1 となることを示せ 853 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 06:57:01 ] yはnに依存しないのか？ 854 名前：→ mailto:sage [2008/08/18(月) 07:57:18 ] 依存しません 855 名前：ＺＥＵＳ [2008/08/18(月) 09:01:27 ] 0≦ｔ≦Ｔの範囲で、加速度が減速しないまま、 直線上を微小な動きをする物体がある。 その物体の速度が、ｔ＝（１／２）Ｔの時点で、 平均速度を超えることができないことを示せ。 （ノーベル物理学賞受賞者を２人輩出した 　アメリカの名門大学の数学科の定期試験） 856 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 11:54:55 ] >>855 その問題が簡単なことにも気づけないの？ 857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 14:29:44 ] 東大でe^π>21を示せって問題あったけどこれの評価を厳しくしてe^π>23を示すことはできるかな？ 使っていいのはe>2.71,π>3.14ね 858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 14:34:37 ] 23>2.71^3.14だから無理ぽっい 859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 15:14:48 ] 857ではないが関数電卓あるいはgogleでe^(pi) とうつとe^(pi) = 23.1406926 区分でうまく面積評価すればできるのかこれ？ 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 15:29:53 ] e>2.718を使えばe^π>23が示せるな 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 16:43:37 ] こういう単純な数値評価って 「計算は面倒だがこの方法で原理的にはいくらでも近似できる」 というような方法が生徒に理解されていたら、 必ずしも面倒な計算させなくても良いと思う。 式と式同士の評価だとそうはいかんし、計算量的な事を考えさせるような 良問ならそうでもないんだけど。（ただ受験生には荷が重いだろう） 862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/18(月) 17:51:46 ] 東大のは単なる1次近似で評価できる。 過去にも類題があった。 863 名前：→ mailto:sage [2008/08/19(火) 01:14:32 ] すべての自然数nで a[n]>0 �納k=1,n]a[k]≧√n となるとき �納k=1,n](a[k])^2≧{log(n+1)}/4 であること示せ 864 名前：→ mailto:sage [2008/08/19(火) 06:32:28 ] pを5以上の素数とするとき (2pCp-2)/2p^3 は自然数であることを示せ 865 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/19(火) 06:48:33 ] >>852 ,854 　IMO-1985 @ Helsinki, Problem 6 866 名前：→ mailto:sage [2008/08/19(火) 13:43:39 ] A,Bを2次正方行列とするとき |A+B|+|A-B|=2|A|+2|B| が成り立つことを示せ ただしX=(x　y) 　　　　(z　w) のとき|X|=xw-yzとする 867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/19(火) 15:13:47 ] また勘違いゴミがカス問題貼り付けてますね。（苦笑） 868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/19(火) 19:11:30 ] ＺＥＵＳしねよマジで 869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/19(火) 21:12:31 ] >>866 　A = { a_i,j }, 　B = { b_i,j }, とおくと 　|A+B| = (a_11+b_11)(a_22+b_22) - (a_12+b_12)(a_21+b_21), 　|A-B| = (a_11-b_11)(a_22-b_22) - (a_12-b_12)(a_21-b_21), ∴ |A+B| + |A-B| = 2a_11*a_22 + 2b_11*b_22 - 2a_12*a_21 - 2b_12*b_21 　　　= 2(a_11*a_22 - a_12*a_21) + 2(b_11*b_22 - b_12*b_21) 　　　= 2|A| + 2|B|. 870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/19(火) 23:40:00 ] >>823 x=8. y=30. >>864 (2pCp-2)/2p^3=0. 871 名前：→ mailto:sage [2008/08/20(水) 02:47:03 ] (1)f(x)=x^2とする。 0.f(1)f(2)f(3)…=0.1491625… が無理数であることを示せ 　 (2)f(x)=x^n　(nは自然数)とする。 0.f(1)f(2)f(3)… が無理数であることを示せ 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/20(水) 03:09:50 ] >>870 これは盲点だった >>823 の補題2 以下を訂正 xy+1 | x^2+y^2 であって、(x^2+y^2)/(xy+1) が平方数とならない (x,y) が存在したとして、そのうち x が最小のものを考える xy+1 | x^2+y^2 なので、補題1より xy+1 | x^4+1 従って、ある非負整数 z が存在して x^4+1 = (xy+1)(xz+1)　　…(*) z=0 のときは y=x^3、(x^2+y^2)/(xy+1) = x^2 で、これは平方数なので、z＞0 (*) から x^4+1 ＞ x^2yz+1 ≧ x^3z+1 なので x＞z (x^2+z^2)/(xz+1) - (x^2+y^2)/(xy+1) = (y-z){x^4+1 - (xy+1)(xz+1)}/{x(xy+1)(xz+1)} なので、(*) より (x^2+z^2)/(xz+1) = (x^2+y^2)/(xy+1) (x^2+y^2)/(xy+1) は平方数ではないので、(x^2+z^2)/(xz+1) も平方数ではない これは x の最小性に反する つまり、xy+1 | x^2+y^2 であって、(x^+y^2)/(xy+1) が平方数とならない (x,y) は存在しない■ 873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/20(水) 03:23:59 ] >>870 (10C5-2)/(2*5^3)=1 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/20(水) 07:41:32 ] ******** N = (x^2 + y^2)/(1+xy) is a Square www.mathpages.com/home/kmath334.htm 875 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/20(水) 21:25:15 ] 今年の東大の問題で x=cos2t y=tsint 0≦t≦2π で囲まれる図形の面積求めるやつって うまく処理できますか？ 876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/20(水) 21:29:31 ] グラフの左をつなげるとクレープみたいだ 877 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/20(水) 22:08:49 ] x=cos2t y=tsint 0≦t≦2π x=rcos2t y=rtsint dx=cos2tdr-rsin2tdt dy=tsintdr+(rsint+rtcost)dt dxdy=(cos2t(rsint+rtcost)+rtsintsin2t)drdt 878 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/20(水) 22:12:45 ] SSdxdy=SSAdrdt=.5S(cos2t(sint+tcost)+tsintsin2t)dt あとはオイラー 879 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/20(水) 22:57:02 ] O(0,0)A(2,0)B(0,1)とし、辺ABを1:nに内分する点をPnとする。 ∠AOPn＝θn,APn＝ln とする。 lim[n→∞]ln/θnを求めよ。 880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/20(水) 23:07:21 ] >>879 P_n=(2/(n+1),n/(n+1))より tanθn=(ln/√5)/(n/n+1)=(n+1)ln/n√5 ln/tanθn=√5n/(n+1) tanθ/θ→1より、 lim[n→∞]ln/θn=√5 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/20(水) 23:16:55 ] >>871 f(10^m)を考えれば明らか。 　10・・・0(mn桁) なる小数部分が無限遠方にいくらでも出現するから。 　小数部分は循環しない。つまり無理数。//// 882 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/20(水) 23:20:50 ] 第 6 問 3 人で ‘ジャンケン’ をして勝者をきめることにする.たとえば,1 人が ‘紙’ を出し,他の 2 人が ‘石’ を 出せば,ただ 1 回でちょうど 1 人の勝者がきまることになる.3 人で ‘ジャンケン’ をして,負けた人は次 の回に参加しないことにして,ちょうど 1 人の勝者がきまるまで,‘ジャンケン’ をくり返すことにする. このとき,k 回目にはじめてちょうど 1 人の勝者がきまる確率を求めよ. 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/20(水) 23:27:45 ] >>882 884 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/20(水) 23:29:02 ] 三人のときに三人とも相子になる確率は (3!+3)/3^3=1/3 三人のときに二人で相子になる確率は 3*3/3^3=1/3 三人のときに一人の価値が決まるのは 1/3 二人のときは1/3で相子、2/3で勝ちが決まる。 今、0<j<n番目で三人から二人に落ちたとするとその時の確率は 　(1/3)^n*2 　一方最後まで三人だった場合は 　(1/3)^n ∴求める確率は(2n-1)(1/3)^n 885 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:05:08 ] >>882 第 6 問って何の問題？>>883の反応からして、ひょっとすると今年の東大実戦の問題か？ 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:13:27 ] >>878 　S = (1/2)��(x･dy - y･dx) = (1/2)�怒x･(dy/dt) - y･(dx/dt)}dt でつね。 887 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:18:46 ] >>885 超有名問題だが。 888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:23:27 ] >>887 超有名な何の第６問？ 889 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 00:33:15 ] >>880不正解 答えは2/π 890 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 00:36:11 ] >>880 2/πは別の問題の答えだったm(_ _)m どちらにせよ答えは2√5で不正解 891 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:41:01 ] 円上に適当な三点をとり三角形をつくる。 その三角形の三角の二等分線と円の交点で新たな三角形をつくる。 この作業を繰り返すと三角形が正三角形に近づくことを示せ。 892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:52:15 ] >>890　tanの所ミスったな。 　どちらにしろ駅弁レベルの問題だが。 893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 00:54:18 ] >>891 正三角形に近づくことの定義は？ 894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 01:02:44 ] >>888 71年の東大 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 01:03:06 ] 当たり前の定義でいいんじゃないの。 ３辺の極限が同じ値になる、とか、三つの内角の極限がみなπ/3になる、とかね。 896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 04:11:18 ] 円周上に五点を順に取って五角形ABCDEを作る。 円周上に V, W, X, Y, Z を等間隔に取ったとき 　（五角形ABCDEの面積）＜（正五角形VWXYZの面積） となる（つまり五角形の面積は正五角形のときに最大になること） を以下のように示した。 　AB ≠ BC のとき、弧 AC の中点を B' に動かすと 　（五角形ABCDEの面積）＜（五角形AB'CDEの面積）だから 　五角形ABCDEの面積が最大となるとき、 AB = BC = CD = DE = EA となる。 　したがってこのとき五角形は正五角形となる。(q.e.d.) この証明のどこが間違っているか？ 897 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 04:12:28 ] 弧 AC の中点を B' に動かすと ↓ 弧 AC の中点を B' とすると 898 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 07:02:22 ] 第 5 問 〔新〕 z 軸を軸とする半径 1 の円柱の側面で,xy 平面より上(z 軸の正の方向)にあり,平面 x-√（3）y＋z＝ 1 より下(z 軸の負の方向)にある部分を D とする.D の面積を求めよ. 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 09:17:57 ] √(3y)なのか(√3)yなのかy^(1/3)なのかはっきりしてくれ 900 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 12:31:27 ] >>899 いや、平面っていってるしわかるだろ 901 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 12:51:53 ] >>900 いまのゆとりは平面の方程式習わないし、わからないのがいても仕方がないんじゃね？ 902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/21(木) 12:59:14 ] すまない普通に見落としてた 弁解の余地がないです 903 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 15:26:52 ] C:y=x^2とする。C上の点PとC上にない点Aを考える。 点PにおけるCの接線と2点A,Pを通る直線が垂直であるとき、線分APをAからCに下ろした垂線という。 点Aがy=x^2に異なる三本の垂線を下ろすことができる範囲に存在するとき、少なくとも2本の垂線の長さが等しくなるAの範囲を求めよ。 904 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 20:23:02 ] 第 5 問 〔新〕 z 軸を軸とする半径 1 の円柱の側面で,xy 平面より上(z 軸の正の方向)にあり,平面 x-(3^0.5)y＋z＝ 1 より下(z 軸の負の方向)にある部分を D とする.D の面積を求めよ. 905 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 20:44:21 ] 日本ードイツ　１ー２ 906 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/21(木) 20:47:18 ] 日本ードイツ　０ー２ 907 名前：１３２人目の素数さん [2008/08/22(金) 02:36:25 ] ここの人たちって大体何完レベルですか

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