面白い問題おしえて〜な 十四問目

1 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/02(金) 21:53:23 ] 面白い問題、教えてください 684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 18:49:25 ] >>680 > 問 原点０から出発して、数直線上を通る点Ｐがある。 > 点Ｐは、硬貨を投げて表が出ると+２だけ移動し、 > 裏が出ると-１だけ移動する。 > > このとき、 > 点Ｐが座標３以上の点に初めて到着するまで > 硬貨を投げ続ける。 > このとき、投げる回数の期待値を求めよ。 (略解) a[n] を 座標 3-n に居るときの、コインを投げる期待回数 とする a[0] = a[-1] = 0, a[n] = 1 + (1/2)(a[n-2] + a[n+1])　　(n≧1) が成立し、これを解くと a[n] = 2n + (3-√5)(1 - ((1-√5)/2)^n) 求める期待値は a[3] = (4√5) - 2 = 6.94427191 685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 18:53:28 ] ×　が成立し、これを解くと ○　が成立し、これの a[n]→0 (n→∞) となる解を求めると 686 名前：684 mailto:sage [2008/09/30(火) 19:10:35 ] 訂正になってなかった a[n] = 1 + (1/2)(a[n-2] + a[n+1]) の一般解は A,B,C を任意定数として a[n] = 2n + A + B*((1+√5)/2)^n + C*((1-√5)/2)^n となる。 a[n] = O(n) のはずだから B=0 となる解を求めればよい 687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 20:24:23 ] >>680 「数学Ａの確率の問題です」という時点で釣りだろう。 答えが１より小さいってのもナメくさっとるｗ （投稿者が釣られた結果なのかもしらんが） 688 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 20:50:20 ] >>684 隣接4項間の漸化式なので、a[1]の値が確定しないと それ以上の項が決定できない気がするんだが。 689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 21:29:45 ] >>688 a[n] = O(n)という情報があるから、初項に関する条件は少し弱められるのでは？ 690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 21:40:46 ] >>686 特性方程式はx^4-2x^3+x+2=0 となり、実数解を持たないわけだが。 ＞a[n] = 2n + A + B*((1+√5)/2)^n + C*((1-√5)/2)^n ＞となる。 の所でダウト。 691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 21:45:20 ] 期待値の計算が苦手な俺に ＞a[n] = 1 + (1/2)(a[n-2] + a[n+1]) この式が成り立つ理由を教えてくれ(´・ω・｀) 692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 21:45:54 ] あ、全然違った。 >>690は無視してちょ 693 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/09/30(火) 21:59:15 ] >>690 a[n] = (1/2)*(1+a[n-2]) + (1/2)*(1+a[n+1]) と書いた方が分かり易いかもしれない。 つまり、今いる位置でコインを振って、 表が出たら期待値が1増えて2つ右に移動、 裏が出たら期待値が1増えて1つ左に移動。 694 名前：647 mailto:sage [2008/09/30(火) 23:16:21 ] >>681 > よって6回目の比較で結論が出たとすると、その並び順は多く見積もっても以下の4種類のどれかである。 > E>A>B>C>D,E>A>C>D>B,E>A>B>C>D,A>B>E>C>D 上の部分をよく見直してみてください。その訂正を以て、正解です。 695 名前：681 mailto:sage [2008/09/30(火) 23:30:34 ] >>647 OK,E>A>B>C>Dが重複してるわ 答え：E>A>C>D>B,E>A>B>C>D,A>B>E>C>Dの3通り 696 名前：681 mailto:sage [2008/09/30(火) 23:33:40 ] comment 678のヒントがなかったらあと1週間位の時間を要求していたと思う。 面白かったよ 697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/01(水) 22:39:13 ] >>680 ちょうどn回目に上がるパターン数をf(n)とすると、 f(n) = 0　　　　　　　　　 (n=1 mod3) 　　　 C(n+2, [n/3]+1)　(n=0 or 2 mod3) だな。[ ] はガウス記号。 あとは Σ[1→∞]n*f(n)/2^n の極限値を求めればいいわけだが‥‥ nCrヲタの出現を待つとしよう。 698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/01(水) 22:42:38 ] >nCrヲタ どんなヲタだｗｗｗ 699 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/01(水) 22:53:39 ] >>697 ちょうど2回目で上がるパターンは1通りしかないが、その式によると f(2)＝C(4,1)＝4となってしまう。 700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/01(水) 23:08:27 ] >>698 nCrヲタって群生体で不等式ヲタで三角関数ヲタでもあるらしい… 701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/01(水) 23:20:36 ] 俺はnCrでどんぶり飯三杯はいけるぜ 702 名前：697 mailto:sage [2008/10/01(水) 23:24:16 ] >>699 指摘サンクス。正しくは以下だった f(n) = 0　　　　　　　　　　　　　(n=1 mod3) 　　　 C(n+2, [n/3]+1)/(n+2)　(n=0 or 2 mod3) 703 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/01(水) 23:46:56 ] >>701 それは単なる nCr デブだ。 704 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/02(木) 00:21:09 ] 俺はnCrで3回はヌケる 705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/02(木) 00:23:41 ] >>704 それは単なるnCrフェチだ 706 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/02(木) 00:57:12 ] 俺はnCrで三回はコケる。 707 名前：697 mailto:sage [2008/10/02(木) 01:07:40 ] ついでに>>684の漸化式を、a[1]=aとして解いてみた。 a[n]-a[n-1]-2 = {a[n-1]-a[n-2]-2} + {a[n-2]-a[n-3]-2} と変形できるので、3項間に帰着される。結果、 p=(1+√5)/2、q=(1-√5)/2 とおくと a[n] = 2n + {(2p-a)p^2(1-p^n) - (2q-a)q^2(1-q^n)}/√5 となり、確かに>>686のような形になったものの、やはりa[1]の 値が（定数部分にも）入ってきているため、a[1]の値なしには a[3]を確定できそうにない。 708 名前：697 mailto:sage [2008/10/02(木) 01:32:24 ] a[n]のオーダーがO(n)になる理由がわからん。 確かにそれを仮定すれば、p^nの項を潰すようにaを決められるな。 709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/02(木) 03:56:21 ] >>708 a[n]ってのは、言い換えると、原点から出発して最初にn以上の地点に到達するまでの 回数の期待値だから、たとえばa[100ぐらい]=xぐらいならば、 a[200ぐらい]は、100ぐらいに最初に到達した時点を一区切りとみなすと、 100ぐらいに最初に到達したら終わりという試行を２回繰り返すことを考えればいいので a[200ぐらい]=2xぐらいと言える。 だから、a[n]のオーダーがO(n)という予想は悪くない。 （a[n]がnにかかわらず無限大に発散するのでないかぎり。） ただ、オーダーってどうやって証明すればいいんだろう。 ちなみに、1回で+2移動なんてのがなければ（例えばその代わりにプラス方向の確率の方が大きいとかなら） 上記の「ぐらい」は全部消せるのだが。 710 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/02(木) 11:59:43 ] 俺には>>702が成り立つ理由も分からんぜ 711 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/10/02(木) 19:28:42 ] 一応出来たっぽい。 B ≠ 0 のとき a(n+1) - a(n) は指数函数的に増加。 B = 0 のとき a(n + 1) - a(n) → 2 (n → ∞)。 従ってこれを大雑把に評価すれば良い。 （初期位置の座標 3-n から） 確率 1/2 で -1 進み、確率 1/2 で +2 進むという試行を繰り返す。 k 回の試行のうち、 t 回目の試行までに -1 が x(t) 回、 +2 が y(t) 回出たとして 試行中常に 2y - x ≦ n-1 となる確率を p(n,k) と置く。 p(n,k)は k に関して単調減少、 n に関して単調増加。 　a(n) 　= �農{k=1}^{k=∞} k(p(n,k+1) - p(n,k)) 　= �農{k=1}^{k=∞} p(n,k)。 従って 　a(n+1) - a(n) 　 �農{k=1}^{k=∞} p(n+1,k) - p(n,k)。 2y(t) - 2x(t) ≦ 2k だから 2k ≦ n-1 つまり k ≦ (n-1)/2 のとき n が充分でかいから p(n,k) = 1。このとき p(n+1,k) も常に 1 となる。 従って 　a(n+1) - a(n) 　= �農{k=1}^{k=∞} p(n+1,k) - p(n,k) 　= �農{k=1}^{k=[(n+1)/2]} p(n+1) - p(n,k) 　< �農{k=1}^{k=[(n+1)/2]} p(n+1) < [(n+1)/2] < (n+1)/2 ここで 0 ≦ p(n+1) ≦ 1 、[ ]は整数部分。 つまり a(n+1) - a(n) は高々 n の一次の速さでしか増大しないので B = 0。 従って実際は a(n) 〜 2n、a(n+1) - a(n) → 2。　　　□ Catalan数使ってどうにか出来ないか試したりして 結局帰宅後すぐ取り掛かって今になるまで掛かった。長かったー、、 712 名前：711 mailto:sage [2008/10/02(木) 19:36:31 ] 「n に関して単調増加」の直ぐ下を 　a(n) 　= �農{k=1}^{k=∞} k(p(n,k-1) - p(n,k)) 　　　　　　　　　　　 　 ~~~~~~~~~ に訂正。 713 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 02:23:35 ] >>711 >　= �農{k=1}^{k=∞} p(n+1,k) - p(n,k) >　= �農{k=1}^{k=[(n+1)/2]} p(n+1) - p(n,k) のところ 　= �農{k=1}^{k=∞} p(n+1,k) - p(n,k) 　= �農{k=[(n+1)/2]}^{k=∞} p(n+1,k) - p(n,k) じゃないのか？ 714 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 03:16:40 BE:164279849-2BP(10)] あ、そうかも、、 715 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 19:22:32 ] 高３だけど、問題自作してみた。 Oを原点とする座標平面上に、どちらも原点Oではない、 相異なる2点A,Bがある。 線形変換（１次変換）f は、 f (OA↑) ＝ 2*OB↑， f (OB↑) ＝ 3*OA↑を満たすという。 線分ABを直径とする円上の動点Pをf によって写した点をQとすると、 動点Qはどのような軌跡を描くか。 OA↑，OB↑を用いて答えよ。 716 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/04(土) 21:57:16 ] 【例題】sinθ＋cosθ＝1.5の時､sinθcosθはいくらか？ 解答(1) (sinθ−0.5)の2乗＋(cosθ−0.5)の2乗＝1.5−(sinθ＋cosθ) sinθ＋cosθ＝1.5を代入して (sinθ−0.5)の2乗＋(cosθ−0.5)の2乗＝0 sinθ＝cosθ＝0.5 ∴sinθcosθ＝0.25 解答(2) (sinθ＋cosθ)の2乗＝1＋2sinθcosθ sinθ＋cosθ＝1.5を代入して 1.5の2乗＝1＋2sinθcosθ ∴sinθcosθ＝0.625 解答(1)､解答(2)より0.25＝0.625 どこに矛盾があるのか？ 717 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 22:00:46 ] 仮定 718 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 22:09:01 ] 仮定を認めるなら解答(1)の3,4行目 719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 22:26:29 ] なるほど。sinθ=cosθ=1/2は (sinθ)^2+(cosθ)^2=1満たさないのか・・・・ 勉強になりました 720 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 22:29:35 ] 違うだろ sinθ、cosθが実数とは限らないから解答(1)の三行目からは四行目が得られないんだろ 721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 22:52:16 ] >>720 同じことだと思うが 722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 22:53:43 ] >>720-721 単に間違ってるという事にそれ以上の説明が必要なのか。 723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/04(土) 22:56:03 ] どこがクリティカルなミスかを正しく理解することは大切だと思います 724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 14:38:10 ] 通りすがりの者ですが>>716の解答(1)で 一行目がさっぱりわかりません どっからこういう風になるんでしょうか それとも何か、これは何かの冗談でしょうか それと関係ないけど2乗や小数表記が気持ち悪いです そこは別にどうでもいいんですが 725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 14:56:12 ] カスが口をはさむな 726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 15:00:56 ] 今の言葉取り消してください カスではなくクズです 727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 15:01:34 ] いいえ、カスであり、かつクズである。が真。 728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 15:08:06 ] いずれにせよ、式中に「の2乗」なんて書く奴の書き込みは読む気がしない。 729 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 15:18:06 ] >>724 左辺を展開したまえ。さすれば(sinθ)^2+(cosθ)^2=1を使って整理すれば右辺になる。 わざわざ優しすぎたかな・・・・ 730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 15:26:34 ] >>729 すごく・・・優しいです・・・ 731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 15:47:02 ] >>715 何処が面白いんだ？ 732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 16:18:17 ] 多分自分で作った問題を自慢したいだけだと思うよ 733 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 17:48:06 ] 俺はむしろ自作の問題を 「それを解けなくて困っている」フリをして質問スレに書いたことがあるぞ この方がはっきりいって面白い 自分の作問能力の程度が測れるし 他人がどんな解法で攻めてくるのかも楽しみだ 734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 18:02:11 ] それいいなｗｗｗｗ さっそく試してみるｗｗｗｗ 735 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 18:32:45 ] じゃあ本当に解けなくて困ってる問題を。 x, y平面状の格子点(n, m) （但しn, m は 0 または自然数）を考える。 原点から右または上のみに 1 ずつ進んで (n, m) まで 到達する方法は (n + m)Cn 通りである。 ここで傾き a が正、y 切片 b も正の直線 y = ax + b を考え、 y = ax + b より下にある点のみを通り、 原点から右または上のみに 1 ずつ進んで (n, m) まで 到達する方法を f(n, m) 通りとする。 このとき、n, m が充分に大きければ f(n, m)/(n + m)Cn は充分小さくなることを示せ。 （つまり、任意の正の実数εに対してある正整数 N が存在して以下を満たす： n ＞ N かつ m ＞ N ならば f(n, m)/(n + m)Cn ＜ ε） 736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/05(日) 18:36:37 ] あ、遅レスだけど >>584の「フィボナッチ数展開」は普通 Zeckendorf representationと呼ぶね。 まあ584は知ってそうだけど。 737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/06(月) 00:26:54 ] >>735 反例があった。a=b=1, m≦nのときf(n,m) / (n+m)Cn = 1-m/(n+1)だからn=m^2としてみる。 738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/06(月) 09:34:40 ] 正方形を､どの2つも合同でない3つの相似な図形に分割して下さい ただし切り分ける線の長さはできるだけ短くして下さい 739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/06(月) 12:21:40 ] >>738 最短かどうかは知らんが、 正方形の１辺を１とし、x^3-x^2+2x-1=0の実数解をaとすると、 (長辺，短辺）＝(1,a)，((1-a)/a，1-a)，(1-a，a(1-a)) の３つの長方形に分割できる。切断線の合計長は2-a。 ちなみにaは約0.56984 (by Mathematica) 740 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/07(火) 00:47:38 ] >>733 そういう目で見てしまうじゃねーかｗｗｗｗｗｗ 741 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/07(火) 22:22:46 ] 1/A+1/B+1/C+1/D+1/E+1/F+1/G+1/H+1/I+1/2007=1 0<A<B<C<D<E<F<G<H<I<2007 A〜Iはすべて自然数。A〜Iはいくらか 742 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/08(水) 02:36:30 ] >>741 (7,72,168,223,252,446,669,1561,1784) ふぅ、疲れた。 2007=223*9なので、分母が223の倍数となるものだけを拾うと 1から8までの整数からいくつかを選んだ組{a_n} (n=1,…,k)を使って Σ[n=1,k](1/(223a_n)) + 1/(223*9) = (1/(2520*223))(Σ[n=1,k](2520/a_n)+280) となり、このΣ[n=1,k](2520/a_n)+280の部分を223の倍数にする必要があるので、 {2520,1260,840,630,504,420,360,315}のうちのいくつかと280を足して 合計が223の倍数になるパターンを探したら、 2520+1260+840+360+315+280=5575=223*25となり、 {a_n}={1,2,3,7,8}とすると Σ[n=1,5](1/(223a_n)) + 1/(223*9) = 5/504となった。 あとは、499/504をなんとかすればいいので 499=252+168+72+7ということで。 743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/08(水) 02:39:05 ] >>741 >>742の肝心の答えの部分が全然違った。 (2,3,7,72,223,446,669,1561,1784) が正解。何をやってるんだ、オレ。 744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/10(金) 10:15:07 ] >>581 のゲームで「二倍以下」のところを「3倍以下」にしたとき、 後手必勝となるのは最初の石数がどのようなときか？ 745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/11(土) 10:00:15 ] >この文章内には1が( )個ある >この文章内には2が( )個ある >この文章内には3が( )個ある >この文章内には4が( )個ある に >この文章内には1が(3)個ある >この文章内には2が(1)個ある >この文章内には3が(3)個ある >この文章内には4が(1)個ある みたいに数字を入れてく問題がいつかあった気がするけど 何スレ目で出てたっけ 746 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/13(月) 18:39:48 ] >>745 知らぬ それより問題を出せ 747 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/13(月) 22:24:38 ] だれかベクトルの問題で難しい奴知ってる？ できれば、高卒〜大学新入生レベルで。 748 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/13(月) 22:57:40 ] >>747 超有名問題でよければ 一辺の長さが1の正四面体をある平面に正射影したとき、その正射影の面積の範囲を求めよ 749 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/13(月) 23:01:18 ] >>747 >>715とか 750 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/13(月) 23:10:22 ] >>715 の問題は、O,A,Bが一直線上にあるときは変換が存在しないな。 おそらく出題者はそういう状況に気づいていないのだろう。 （オレも今気づいたが） 751 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/14(火) 02:03:39 ] ６×６のマスで、対角線上のマスが２つ欠けたマスがある。 このマスを、隣り合う２マスを塗りつぶしていって ３４個のマス全てが塗りつぶせない事を証明せよ。 752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/14(火) 02:11:25 ] >>751 ６×６のマス目をチェス盤のように塗りつぶす。対角線上のマスは同色になるから、以下略。 753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/14(火) 02:53:37 ] 鳩ノ巣原理のだろ。有名すぎだな。 754 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/14(火) 03:19:17 ] 鳩ノ巣原理なのか？ 755 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/14(火) 07:48:06 ] 一応>>752の以下略の部分を突き詰めると鳩ノ巣原理だな。 でもこの問題のキモは>>752の前半部分だ。 756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/14(火) 08:29:15 ] ＞突き詰めると鳩ノ巣原理だな ほぅ なんか突き詰めるとほとんどの不等式が鳩ノ巣原理になりそうだな 757 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/14(火) 08:35:39 ] >>748 それって、[√2/4, 1/2]だったりするのか？ 758 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/14(火) 19:27:16 ] >>752の以下略にはどんな文章がはいるのですか？ 759 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/14(火) 19:53:55 ] ０÷０＝？と言うもんだいの解に関して考察してます よかったら見てください。 www.nob13.com/game/iappli/BlogTool/m/view.php?username=marques006&year=2008&month=10&day=14 760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/14(火) 22:31:00 ] >>759 スレちがい。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1203116217/ へどうぞ。 761 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/14(火) 22:45:53 ] >>751 塗りつぶせる 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/14(火) 23:10:42 ] >>750 Ａ、Ｂ、ｆ、Ｏが条件を満たす場合を考えてるから Ａ、Ｂ、Ｏを決めたとき条件を満たすｆが存在しなくても Ｂ、ｆ、Ｏを決めたとき条件を満たすＡが存在しなくても この問題に関係ない 763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/15(水) 06:28:58 ] >>739 　a = (1/3){1 + [(√{11^2 + 4*5^3} + 11)/2]^(1/3) - [(√{11^2 + 4*5^3} - 11)/2]^(1/3)} 　　= 0.56984029099805326591139995811957････ 764 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/15(水) 09:16:49 ] ある国では人々は生まれてくる子には男の子だけを欲しがりました。 そのため、どの家族も男の子を産むまで子供を作り続けました。 この国では男の子と女の子の人口比率はどうなりますか? 765 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/15(水) 11:32:48 ] >>764 中絶は一切認めず、男の子を授かる確率と女の子を授かる確率が等しい という前提ならば、直感的予想に反し、男女比は１：１で変わらない。 数学の問題ではないが、次のようなものもある。 １）中絶を認めず、男の子を授かる確率と女の子を授かる確率は等しく、 ある夫婦が次に子供を作るかどうかの判断は、それまでに生まれた 子供の性別とは独立であるという仮定で考えるとき、 ちょうど２人子供がいる夫婦全体の中から無作為に１組の夫婦を選ぶと その夫婦の２人の子供の性別が同じである確率は1/2より高いか低いか？ 理由も合わせて答えよ。 ２）結婚直前のアンケート調査で、 「子供は男女どちらが欲しいですか」という質問と 「男の子」「女の子」「どちらでもない」という選択肢が用意された 項目において、「男の子」と回答した夫婦を集めたグループをＡ、 「女の子」と回答した夫婦を集めたグループをＢとする。 これらの夫婦の10年後を追跡調査し、 各夫婦の子供に女の子が２人以上いるかどうかを調べたところ、 グループＡにおいては女の子供が２人以上いる割合はａ％、 グループＢにおいては女の子供が２人以上いる割合はｂ％であった。 ａとｂはどちらが大きいと考えられるか？理由も合わせて答えよ。 766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/15(水) 15:28:45 ] >>765 それらが数学の問題でないならなんなの？ 767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/15(水) 15:31:23 ] 算数かな 768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/15(水) 15:38:31 ] >>765 > 中絶は一切認めず、男の子を授かる確率と女の子を授かる確率が等しい  > という前提ならば、直感的予想に反し、男女比は１：１で変わらない。  何人目の子供でも生まれる男女の比率が同じいう前提でも 男女比は元と変わらない。 769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/15(水) 16:04:40 ] >>766 少なくとも２）は数学じゃないと思うけど。 アンケートの回答（各夫婦の嗜好）による 女児の数の偏りなんて数学の問題じゃないと思うんだけど。 少なくとも与えられたデータから数学的に出て来るようなものじゃないと思う。 770 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/15(水) 16:41:53 ] 生まれたり、内診でわかってしまった性別について中絶や殺すなどの操作しない限りは 男女比は変化しないんじゃないか？ 771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/15(水) 16:44:51 ] >>769 いや、そういう意味でなく（それは数学の問題だろ？という意味ではなく） 「できの悪い数学の問題」でなければ、そんなことをマジに考えてる学問てのは いったいなんなのかに興味があったんだ。すまん。 772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/15(水) 17:18:20 ] １）は、一卵性双生児が生まれる可能性があるので、２人の性別が同じ確率の方が高い。 ２）は、男の子が欲しいという夫婦が、男の子が生まれるまでは子供を作ろうとし、 女の子が欲しいという夫婦が、女の子が生まれるまでは子供を作ろうとすると仮定すると、 前者は、女の子しかいないならばまだ子供を作ろうとするので女の子が複数生まれる可能性があるが、 後者は、女の子が１人生まれたら満足するので、女の子は１人で終わる可能性が高い。 もちろん、２人生まれるまでは作り続けるという行動をとる可能性もあるので、一概には言えないが、 実際世の中で、経済的にそんなに楽ではないのに女の子ばかり３人とか作っている夫婦を見ると 「ああ、男の子が欲しかったんだな」と思う。 というわけで、ａの方が大きいであろうと予測できる。 １）も２）も、男女構成比が１：１という事実とは矛盾しない。 というわけで、数学ではないでそ。 773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/15(水) 17:20:56 ] >>771 すまん、別の何かの学問というわけではなく、 「数学ではない」の真意は、「多湖輝的パズル」って意味だったので．．． 774 名前：１３２人目の素数さん [2008/10/15(水) 17:32:34 ] あげとけ 775 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/15(水) 22:05:15 ] 模範解答見つけた 模範解答 自然体で女の子が産まれる可能性をp（0＜p＜1）とすると、 1人目で男の子が産まれる可能性は1−p 1人女の子が産まれた後に2人目で男の子が産まれて男の子1人・女の子1人となる可能性はp×(1−p） 2人女の子が産まれた後に3人目で男の子が産まれて男の子1人・女の子2人となる可能性はp＾2×（1−p） n−1人女の子が産まれた後にn人目で男の子が産まれて男の子1人・女の子n−1人となる可能性はp＾（n−1）×（1−p） これを言い換えれば、 子どもが1人だけの場合、男の子1人で、その確率は1−p 子どもが2人だけの場合、男の子1人・女の子1人で、その確率はp×（1−p） 子どもが3人だけの場合、男の子1人・女の子2人で、その確率はp＾2×（1−p） 子どもがn人だけの場合、男の子1人・女の子n−1人で、その確率はp＾（n−1）×（1−p） 776 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/15(水) 22:06:26 ] 以後同様に考え、この国での男女比は、 男の子の出生数/女の子の出生数＝（1−p）＋p×（1−p）＋p＾2×（1−p）＋・・・＋p＾（n−1）×（1−p）＋・・・/p×（1−p）＋2×{p＾2×（1−p）}＋・・・＋（n−1）×{p＾（n−1）×（1−p）}＋・・・ 分子を（1−p）で、分母をpくくると、 男の子の出生数/女の子の出生数＝（1−p）×{1＋p＋p＾2＋・・・＋p＾（n−1）＋・・・}/p×[1−p＋2×p×（1−p）＋・・・＋（n−1）×{p＾（n−2）×（1−p）}＋・・・] ここで、分母中の大括弧の中身を考え、子どもの数がn人の場合について展開し、 n×p＾（n−2）−n×p×p＾（n−2）−p＾（n−2）＋p×p＾（n−2） ＝n×p＾（n−2）−n×p＾（n−1）−p＾（n−2）＋p＾（n−1） ＝p＾（n−2）×（n−1）−p＾（n−1）×（n−1） となり、これにn−1人の場合の、 p＾（n−3）×（n−2）−p＾（n−2）×（n−2） とn＋1人の場合の、 p＾（n−1）×n−p＾n×n を加えたとき、n人の場合の p＾（n−2）についてはn−1人のそれとの合算でp＾（n−2）だけが残り （p＾（n−2）×（n−1）−p＾（n−2）×（n−2）＝p＾（n−2））、p＾（n−1）についてはn＋1人との合算でp＾（n−1）だけが残り （p＾（n−1）×n−p＾（n−1）×（n−1）＝p＾（n−1））、 これをすべてのnについて行えば、結局のところ分子の中括弧の中身と同様に、1＋p＋p＾2＋・・・＋p＾（n−1）＋・・・といった数列となるので、約分可能。したがって、 男の子の出生数/女の子の出生数＝（1−p）/p であり、自然体と変わらない男の子と女の子の人口比率となる。 777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/15(水) 22:28:08 ] まあ、その国で新たに子供が生まれたら必ず「人口管理局」に連絡が入るとして、 その管理局の職員の目線で見れば， 「報告！新生児が誕生しました！」「性別は？」「＊であります！」の ＊に入るのが男であるか女であるかは、親がどういう経緯で子供をこさえようと思ったかとは 関係のない事象なわけで、>>775、>>776の結果になるのは当然ではあるのだけど。 778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/15(水) 22:42:45 ] >>763 どうやって線を引けばいいのですか？ 779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/16(木) 00:12:02 ] >>777 激しくｶﾞｲｼｭﾂ 780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/16(木) 01:23:08 ] >>764 短期的にはその国本来の性比(人種や環境に依存する)、例えば105:100になる。 長期的には女の子が生まれやすい遺伝子が次の世代に多く受け継がれるため性比は低下する。 781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/16(木) 03:06:51 ] >>780 ＞ 長期的には女の子が生まれやすい遺伝子が次の世代に多く受け継がれるため性比は低下する。  ここがわからん kwsk 782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/16(木) 21:44:18 ] 女の子を産みやすい夫婦ほど子供をたくさん作ることになるから。 783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/17(金) 03:00:36 ] 性を決めるのは両親のうち男の側の遺伝子。 この世界の男の子はどの両親からも一人しか生まれない。 男を産みやすい両親からも、女を産みやすい両親からも。 これで本当に女の子を生みやすい遺伝子は後世に強く残るのだろうか？ 男の子が生まれるまで頑張れなかった、両親もいるかもしれないことを考えると 減るかもしれない。 もっとも性を決めるのは男親の遺伝子ではあるが、どちらを受け入れるかは 女親が決めているという考え方はできる。 784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/10/17(金) 03:02:07 ] > 性比は低下する。 比が低下するってのは 比が小さくなる（１：１に近くなる）という意味だと思っていたら 比が大きくなるって意味だったのね。

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