不等式への招待 第３章

1 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/13(日) 05:00:00 ] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ… 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ 過去スレ ・不等式スレッド （Part1）　 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ 過去スレのミラー置き場：briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 姉妹サイト（？） Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000 798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 01:59:18 ] >>796 3乗の因数分解の公式そのもの。 レベル０ 高校入学時の始業式の翌日にやる試験レベル 799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 02:00:00 ] ｃ＝０。 ｄ＝０。 ｂ＝０。 ｄ＝０。 800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 02:55:19 ] >>796 これはひどい こんなのが出るのが今の入試は 801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 02:57:01 ] もしかして文系学部の問題？ 802 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/16(月) 03:12:29 ] 理系だね、（１）もあったね www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/tohoku/zenki/sugaku_ri/mon1.html 803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 03:33:06 ] >>802 ガセネタかと思ったら、マジかよ！ オ�hル 804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:01:21 ] おまえら不等式には厳しいなｗ 805 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/16(月) 04:02:27 ] >>797 >>798 >>800 >>801 >>803 勘違いしてないか？そこまで簡単じゃないよ。 806 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:08:35 ] >>805 アー、アー、キコエマスカー？ どの辺が難しいのかな？ 因数分解の公式かな？ それともその後の平方完成の仕方かな？ 807 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/16(月) 04:10:09 ] >>796 ウソだろ・・・高1の1学期の中間レベルだと・・・？ 808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:10:12 ] >>805 Ｆランのお前には難しいのだろう 国立行けるレベルの理系には簡単すぎるよ 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:14:48 ] 講評では難易度は標準って書かれてるんだけどな 810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:16:33 ] ゆとり的には標準なんじゃないか 811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:20:19 ] >>809 そのとおり。 言うほど簡単じゃない。模範解答見ればやさしいけどね。 問い１としての難易度は適切だと思う。 良問かどうかはわかりかねるが、東北大の入試の倍率が３倍だとすると、 この問い１で受験生のうち下３分の１くらいは落とせるんじゃないかな。 812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:25:08 ] >>811 どこが難しいのかｋｗｓｋ 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:25:12 ] まず、下１０％くらいは、 a+b>=c　＜＝＞　a^3+b^3+3ab(a+b)>=c^3 として、a+bをｃで置き換えて証明終わり とする（東北大入試の）受験生はでてくる。 　そういった論理性の欠ける人を落とすのがひとつの目的だと推測 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:27:21 ] >>813 え？ 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:30:04 ] （１）は=だから、>>813のとおりにやって良いんだけど、 （２）は不等号だから、だめ。 講評では（１）がヒントになる、と書いてあるけれど、かえって（１）の おかげで間違える人も１０％（いいすぎか５％）はいると思う。 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:32:04 ] だからいくらなんでも >>798 >3乗の因数分解の公式そのもの。 >レベル０ >高校入学時の始業式の翌日にやる試験レベル は言いすぎだろ。 817 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:34:27 ] >>816 え？高1はじめの中間に出るレベルだけど？ 818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:40:21 ] その入試問題１−６全部みるとわかるけど、問題１以外は証明問題は 問題５（１）だけで、あとは、値を求めさせる問題。 問題１は、証明がちゃんと書けるか、を見るのがねらいなんじゃないの？ 問題１がなかったら、論証がいいかげんで答えを見つけるのが得意な 人だけが入ってきちゃう。 　それに、数学科志望生だけが受けるレベルじゃないからね。 >>817 でも、中間テストでみんなが満点なわけじゃないと思うよ。 しかも公式を習った直後で範囲が狭まっている時に出題すれば 得点率上がるのは当たり前。 君は高１か？予備校の模試受けたら（できれば東北大限定模試）、 各問題の平均点見てみ。 そんなに高くないよ。制限時間内ではね。 問題１としては適当。（６題全部がこれだったらやさしいけどね。） 819 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:42:16 ] >>817 君の学校は、始業式の翌日に中間テストをやるのか？ 820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:48:50 ] >>818 そうだね ごめん 821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 04:54:54 ] 今年東北落ちた人か？ 河合は標準、駿台はやや易だった 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 05:01:08 ] >>821 ＞今年東北落ちた人か？ 落ちてない。落ちるほどの学力なら、あぁ、俺には難しいけど、 受かった人にとっては簡単なのかも、、と思って難易度は断定できない。 ＞河合は標準、駿台はやや易だった そうだろ、標準か、やや易、だろ。そんなもんだ。 びっくりするほど易しすぎはしない。入試問題として。 823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 07:56:31 ] >>819 >>817のどこに始業式の翌日にやるってかいてあるんだよ 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 07:59:47 ] >>811 真剣な話、どこが難しいのかな？ >>819 入学式の翌日に実力テストをやりましたが何か？ 範囲は２次関数の終わりまで。 825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 08:06:16 ] そろそろどこか他のところでやってくれ。 826 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 08:40:09 ] >>811は解けなかっただけだろ 827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 09:17:11 ] 件の人はa^3 + b^3 + c^3 - 3abcの因数分解の公式知らんのかね。 つうかこのスレは大学入試問題レベルの簡単な問題を 扱うような感じじゃないと思うけど。 828 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 09:21:55 ] 少なくともこのスレ的には対称式に対する標準的な処方箋で解ける問題． 因数分解の公式なんて忘れても，基本対称式で書こうとするだけでいい． 829 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 19:32:17 ] >>749の正しい問題文は何だろう 830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 22:31:37 ] >>795 　G-H ≦ Q-A　を示そう。 　(A-H) = (A^2 -G^2)/A = (Q^2 -G^2)/(2A) = (Q-G){(Q+G)/(2A)}, 　(Q-A) - (G-H) = (Q-G) - (A-H) = (Q-G){1-(Q+G)/(2A)} = {(Q-G)/(2A)}{(A-G)-(Q-A)}　･･････ (**) ∴　Q-A は G-H と A-G の間にある(G-H寄り)。 **)　右辺の係数は 0 < (Q-G)/(2A) ≦ (Q+G)/(2A) < 1, よって (3)　(Q-A)-(G-H) ≦ (A-G)-(Q-A), 〔問題〕 　3変数(x,y,z) のときは (1) のみが成り立つことを示せ。 831 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/16(月) 23:39:12 ] 東大入試数学過去問 hwm5.gyao.ne.jp/yonemura/t_archives.html 京大入試数学過去問 hwm5.gyao.ne.jp/yonemura/archives.html 大学入試数学過去問 www.densu.jp/ いくつかは不等式の問題拾えるんじゃない？ 832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/16(月) 23:49:27 ] そんなもん見るよりジャーナル見るほうが有意義だ 833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/17(火) 00:00:13 ] >>830 (1) 　H = 3/(1/x + 1/y + 1/z),　G = (xyz)^(1/3),　A = (x+y+z)/3,　Q = √{(x^2 + y^2 + z^2)/3}, 　 　Q^2 - A^2 = (x^2 +y^2 +z^2)/3 - (1/9)(x+y+z)^2 = (1/9){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2} ≧ 0, 　A^3 - G^3 = {(x+y+z)/3}^3 -xyz = {(x+y+7z)/2}(x-y)^2 + {(7x+y+z)/2}(y-z)^2 + {(x+7y+z)/2}(z-x)^2 ≧ 0, 　(1/H)^3 - (1/G)^3 = {[(1/x)+(1/y)+(1/z)]/3}^3 - 1/(xyz) = {(x'+y'+z')/3}^3 - x'y'z' ≧ 0, ∴　H ≦ G ≦ A ≦ Q, (2) y=z=1 の場合を考えると 　H = 3x/(1+2x),　G = x^(1/3),　A = (2+x)/3,　Q = √{(2+x^2)/3}, 　x<1 のとき　G-H > A-G > Q-A, 　x>1 のとき　G-H < A-G < Q-A, 834 名前：830 mailto:sage [2009/03/17(火) 00:05:05 ] >>833 GJ!! されど、3変数のときはQよりも 　T = {(x^3+y^3+z^3)/3}^(1/3), 使った方が良くね？ 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/17(火) 23:05:37 ] >>830, 833 (2) y=z=1 の場合は････ 　0 < x < 0.00415949095310635… のとき、　　　　　　G-H < Q-A < A-G, 　0.00415949095310635… < x < 0.15064425… のとき,　Q-A < G-H < A-G, 　0.15064425… < x < 1 のとき,　　　　　　　　　　　Q-A < A-G < G-H, 　1 < x < 9.33372455･･･ のとき、　　　　　　　　　　G-H < Q-A < A-G, 　9.33372455･･･ < x のとき、　　　　　　　　　　　　G-H < A-G < Q-A, と成増とんねるず。 但し、区間の端点は 0.15064425142615432931841204604911････ = 1/{2cos(π/9)}^3,　x + 3･x^(2/3) -1 =0 の根。 9.3337245536744706772511885807731････ = {(2√3)cos([π-arccos(25/27)]/6) - 1}^3,　x + 3･x^(2/3) -6･x^(1/3) -10 =0 の根。 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/17(火) 23:15:33 ] a≧b≧0，c≧d≧0のとき √（a^2+ab+b^2）+√（c^2+cd+d^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2） 837 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/18(水) 03:27:30 ] a,b,cを実数とする a+b+c=0のとき （|a|+|b|+|c|)^2≧2（a^2+b^2+c^2) 838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/18(水) 16:53:54 ] 2(a^2+b^2+c^2) = (a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) =(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca) ≦(a^2+b^2+c^2)+2(|ab|+|bc|+|ca|) = (|a|+|b|+|c|)^2 839 名前：835 mailto:sage [2009/03/18(水) 22:01:22 ] >>830, >>833, 　0.00415949095310635… は x^3 +3x^(8/3) +3x^(7/3) +(9/2)x^2 +3x^(5/3) +3x^(4/3) +(39/8)x +(33/8)x^(2/3) + (3/4)x^(1/3) -(1/4) =0　の根。 840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/19(木) 16:04:37 ] >>836 チェビシェフの不等式 841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/19(木) 22:36:19 ] >>836 三角不等式 842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/19(木) 23:37:37 ] >>749>>799>>829>>836 a=1,b=1,c=0,d=0. √（3）≧2. 843 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/20(金) 00:22:31 ] a≧b≧0，c≧d≧0のとき √（a^2+ad+d^2）+√（b^2+bc+c^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2） じゃね？ 844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/20(金) 01:39:13 ] >>843 bingo! 845 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/22(日) 07:14:22 ] >>843 ∠UOV = 120ﾟ なる半直線 OU,OV を考える。 >>792 OU上に OA=a, OB=b なる点A,B をとる。 OV上に OC=c, OD=d なる点C,D をとる。 題意により、2つの線分AD, BC は交わるから、交点を X とする。2つの線分AC, BD は交わらない。 　(左辺) = AD + BC = (AX + XD) + （BX +XC) = (AX + XC) + (BX + XD) ≧ AC + BD = (右辺). [初代スレ.068, 071] の類題ぢゃね？ 846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/25(水) 01:42:40 ] (；´д｀) ﾊｧﾊｧできそうなネタ満載 www.math.ust.hk/excalibur/v13_n4.pdf www.math.ust.hk/excalibur/v13_n5.pdf 847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/28(土) 00:40:44 ] >>846 Problem 1. a,b,c は正の実数で、a+b+c=1 を満たすとき 　a^(1-a) * b^(1-b) * c^(1-c) ≦ 1/9, 　Austrian M.O. 2008, Final round (part 2) Problem 312. 　a,b,c を正の実数とするき (a+1)^4 /(b^2) + (b+1)^4 /(c^2) + (c+1)^4 /(a^2) ≧ 48, Problem 316. 　n>6 のとき, 凸ｎ角形Ａ0Ａ1……Ａn に対して適当な i≠j が存在して 　　|cos(∠Ａi) −cos(∠Ａj)| < 1/{2(n-6)}, 848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/28(土) 00:59:42 ] >>847 Solution 1. 　f(x) = (1-x)log(x),　とおくと 　f "(x) = -(1+x)/(x^2) < 0, ∴ y=f(x) は上に凸。 ∴　log(左辺) = f(a) + f(b) + f(c) ≦ 3f((a+b+c)/3) = 3f(1/3) = 2log(1/3) = log(1/9) = log(右辺), Solution 312. 相加相乗平均２回 　(a+1)^2 = (a-1)^2 + 4a ≧ 4a, etc. 　(左辺) ≧ 16{(a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2} 　　= 16{(aac)^2 + (bba)^2 + (ccb)^2}/(abc)^2 　　= 48 + {(aac)^2 + (bba)^2 + (ccb)^2 -3(abc)^2}/(abc)^2 　　= 48 + (X^3 + Y^3 + Z^3 -3XYZ)/(abc)^2 　　≧ 48 = (右辺). ここに X=(AAC)^(2/3), Y=(BBA)^(2/3), Z=(CCB)^(2/3), 　X^3 +Y^3 +Z^3 -3XYZ = (1/2)(X+Y+Z){(X-Y)^2 +(Y-Z)^2 +(Z-X)^2} ≧ 0, 849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/29(日) 01:26:28 ] >>847 Solution 316. 外角 π-A_i の和は2πである: 　(π-A_1) + (π-A_2) + …… + (π-A_n) = 2π, n>k とする。 π-A_i > 2π/k となる A_i は k-1 個以下。 残りの n-k+1 個以上については　0 <π-A_i ≦ 2π/k, 　-1 < cos(A_i) ≦ - cos(2π/k), ディリクレの引き出し論法（鳩ノ巣原理）により、 　| cos(A_i) - cos(A_j) | < {1 - cos(2π/k)}/(n-k), 本問では k=6. 〔蛇足〕 nを固定すると、k ≒ 2n/3 の辺りで最小になると･･･ 　(右辺) < (2π^2)/{(n-k)k^2} < (27/2)π^2 / n^3, 850 名前：849 mailto:sage [2009/04/05(日) 19:45:07 ] ↑は www.math.ust.hk/excalibur/v14_n1.pdf のp.3に出てた。orz しかたないので一題･･･ Problem 2. Let a_1 〜 a_5 be real numbers satisfying the following equations: 　a_1/(1+k^2) + a_2/(2+k^2) + a_3/(3+k^2) + a_4/(4+k^2) + a_5/(5+k^2), for k=1〜5.　Find the value of 　a_1/37 + a_2/38 + a_3/39 + a_4/40 + a_5/41, 　(Express the value in a single fraction.) 851 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/05(日) 19:51:15 ] >>850 結果だけ並べると･･･ 　a_1 =　1105/72, 　a_2 = -2673/40, 　a_3 =　1862/15, 　a_4 = -1885/18, 　a_5 =　1323/40, より 　b_6 =　187465/(3*37*38*39*41)　　　　≒ 1.00061649483987･･･ / 36, 　b_7 =　　1197/(5*13*17*53) 　　　　　≒ 1.00150260394436･･･ / 49, 　b_8 =　 85345/(16*13*17*23*67) 　　　≒ 1.00240485551780･･･ / 64, 　b_9 =　277289/(9*17*41*43*83)　　　　≒ 1.00321917612728･･･ / 81, 　b_10=12117378/(3*25*7*13*17*101*103) ≒ 1.00391855290609･･･ / 100, 　b_0 = 13489 / 3600 ≒ 3.74694444444444･･･ ここに b_k =　a_1/(1+k^2) + a_2/(2+k^2) + a_3/(3+k^2) + a_4/84+k^2) + a_5/(5+k^2), 852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/05(日) 23:12:36 ] 不等式ﾊﾞﾝｼﾞｬｲ！ 853 名前：850 mailto:sage [2009/04/07(火) 21:04:51 ] スレ違いだったか･････　　---> 線形代数/線型代数スレ ぢゃあ もう一題 〔問題322'〕 Let a,b,c be positive real numbers satisfying the condition a+b+c=s.　 Prove that 　(a^2)(3b+s)/(as+bs+3ab) + (b^2)(3c+s)/(bs+cs+3bc) + (c^2)(3a+s)/(cs+as+3ca) ≧ 2, 854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/07(火) 23:31:17 ] >>853 忙しいので、とりあえずﾊｧﾊｧしておく！ (；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ… 855 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [2009/04/08(水) 00:00:00 ] 　ａ（１）／（ｘ＋１）＋ａ（２）／（ｘ＋２）＋ａ（３）／（ｘ＋３）＋ａ（４）／（ｘ＋４）＋ａ（５）／（ｘ＋５）−１／ｘ ＝（ｘ−１）（ｘ−４）（ｘ−９）（ｘ−１６）（ｘ−２５）／１２０ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）（ｘ＋５）。 856 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/08(水) 00:09:21 ] >>855 ？ 857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/08(水) 01:16:17 ] >>853 a=b=c=1/2とかで不等式が成立しない気が 858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/08(水) 23:41:08 ] >>857 　スマン。↓に訂正。 　(a^2)(3b+s)/(as+bs+3ab) + (b^2)(3c+s)/(bs+cs+3bc) + (c^2)(3a+s)/(cs+as+3ca) ≧ (2/3)ｓ, 859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/09(木) 19:57:31 ] >>686 2) 　(pa-qb)/(a-b) =X,　(pb-qc)/(b-c) =Y,　(pc-qa)/(c-a) =Z, とおくと、 　X^2 + Y^2 + Z^2 = p^2 + q^2 + (X+Y+Z-p-q)^2 ≧ p^2 + q^2, 本問では p=4, q=3, 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/09(木) 21:05:57 ] >>858 (左辺)={a-abs/(as+bs+3ab)}+{b-bcs/(bs+cs+3bc)}+{c-cas/(cs+as+3ca)} 　　　 ≧{a-(b+a+s/3)/9}+{b-(c+b+s/3)/9}+{c-(a+c+s/3)/9}　　(-調和≧-相加) 　　　　=(2/3)s 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/10(金) 16:55:30 ] >>686 1) a≧b≧c,x≧y≧z,X≧Y≧Zのとき a/(y+Z)+b/(z+X)+c/(x+Y)≧a/(x+X)+b/(y+Y)+c/(z+Z) が成り立てば示せるが… 成り立つ？ 862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/11(土) 16:35:09 ] >>686 2), >>859 の略証･･･ 　X = {p+q+(p-q)x}/2,　Y = {p+q+(p-q)y}/2,　Z = {p+q+(p-q)z}/2, とおくと 　X^2 + Y^2 + Z^2 = (X+Y+Z)^2 -2(XY+YZ+ZX) 　　= (X+Y+Z-p-q)^2 -(p+q)^2 +2(p+q)(X+Y+Z) -2(XY+YZ+ZX) 　　= (X+Y+Z-p-q)^2 -(p+q)^2 +3(p+q)^2 -(3/2)(p+q)^2 -(1/2)(p-q)^2･(xy+yz+zx) 　　= p^2 + q^2 + (X+Y+Z-p-q)^2 -(1/2)(p-q)^2･(xy+yz+zx+1), ところで、題意から 　x = (a+b)(a-b),　y = (b+c)/(b-c),　z = (c+a)/(c-a), ∴　xy + yz + zx + 1 = 0, 863 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/16(木) 01:49:31 ] 問題投下 ３辺がa,b,cの三角形の面積と３辺が1/a,1/b,1/cの三角形の面積の積が3/16を超えないことを示せ ヘロンでどぞー 864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/16(木) 02:05:16 ] キタコレ！ 865 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/18(土) 10:54:55 ] >>863 　�� = (1/2)ab･sin(C) = (1/2)bc･sin(A) = (1/2)ca･sin(B), でも解けるお。 　�� = (1/2)(abc)^(2/3)･{sin(A)sin(B)sin(C)}^(1/3) 　　　≦ (1/2)(abc)^(2/3)･{sin(A)+sin(B)+sin(C)}/3　 　(相加･相乗平均) 　　　≦ (1/2)(abc)^(2/3)･sin((A+B+C)/3)　　　　　　　(0〜πで上に凸) 　　　=　(1/2)(abc)^(2/3)･sin(π/3) 　　　=　(√3)/4･(abc)^(2/3), 　　　　(等号成立はA=B=C(正三角形)のとき.) 　�� '≦ (√3)/4･(1/abc)^(2/3), 辺々掛ける。 866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/18(土) 11:52:00 ] >>863 せっかくのヒントなのでヘロンで･････ 本問では、 (a+b+c)/2 =s とおく。 　(s-a) + (s-b) + (s-c) = s, 　�� = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} 　　≦ √{s(s/3)^3} 　　　　　　(相加･相乗平均) 　　= (1/√27)s^2 　　= (√3)/4･{(a+b+c)/3}^2 　　≦ (√3)/4･(abc)^(2/3),　　　(相加･相乗平均) 　�� '≦ (√3)/4･(1/abc)^(2/3), 辺々掛ける。 867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/18(土) 11:54:39 ] >>866 はまちがい。 　無視してください。 868 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/18(土) 11:55:55 ] 無視しません！ 869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/18(土) 13:48:39 ] 黙殺する 870 名前：866 mailto:sage [2009/04/18(土) 23:39:33 ] >>863 せっかくのヒントなのでヘロンで･････ 本問では、 (a+b+c)/2 =s とおく。また 　(s-a) + (s-b) + (s-c) = s, 　(s-a)(s-b) + (s-b)(s-c) + (s-c)(s-a) = t, 　(s-a)(s-b)(s-c) = u, とおく。 　�� = √(su) 　　= {s･(√su)･u}^(1/3) 　　≦ {(1/√3)st･u}^(1/3)　　　　　　　(3su≦t^2) 　　≦ (√3)/4･(st-u)^(2/3)　　　　　　(*) 　　= (√3)/4･(abc)^(2/3), ※ st-u ≧ (8/9)st ≧ 8u　より 　st≦(9/8)(st-u),　u≦(1/8)(st-u), 871 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/22(水) 19:51:53 ] n：自然数とする。 (1) 2数 x、y の和、積を考え 　x+y=p、xy=q この p、q が共に整数ならば 　x^n + y^n は整数であることを証明せよ。 (2) x>0、y>0 のとき 　( (x+y)/2 )^n ≦ (x^n + y^n )/2 であることを証明せよ。　 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/22(水) 20:57:26 ] >>871 馬鹿か？ 873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/22(水) 22:15:48 ] >>861 〔命題〕 a,b,c >0, x,y,z >0 のとき 　f(x,y,z) = a/(b+cx) + b/(c+ay) + c/(a+bz) - 9/(x+y+z+3) ≧0, が成り立てば示せるが… 成り立つ？ 　f(0,0,0) = (a/b) + (b/c) + (c/a) -3 ≧0, 　x,y,z のいずれかが∞となるとき、(右辺) → 0 で成立。 f(,,)に極値があるとすれば 　∂f/∂x = -ca/(b+cx)^2 + 9/(x+y+z+3)^2 =0, 　∂f/∂y = -ab/(c+ay)^2 + 9/(x+y+z+3)^2 =0, 　∂f/∂z = -bc/(a+bz)^2 + 9/(x+y+z+3)^2 =0, b+cx >0, c+ay >0, a+bz >0, x+y+z+3 >0 から 　a/(b+cx) = 3{√(a/c)}／(x+y+z+3), 　b/(c+ay) = 3{√(b/a)}／(x+y+z+3), 　c/(a+bz) = 3{√(c/b)}／(x+y+z+3), に限る。この点でf(,,)が極大なら　　　　　　　　　(←これが問題だが････) 　f(x,y,z) ≧ 3{√(a/c) + √(b/a) + √(c/b) -3}／(x+y+z+3) ≧0, 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/22(水) 23:47:37 ] >>872 馬鹿か？ 875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/23(木) 08:55:27 ] ( ﾟ∀ﾟ)＜荒らしイクナイ！ 876 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/23(木) 09:10:06 ] こんなスレがあったとは！！最近不等式に興味持ち出していろいろやってます。 ところSOS不等式って何ですか？ 877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/23(木) 10:24:04 ] >>876 sum of squares inequality: Σa_k^2 ≧ 0 「任意の非負有理式は有理式の自乗和で書ける」というArtinの結果があるので， 有理式≧0 は，左辺を記述する有理式の自乗和を構成する方法で必ず証明できる． （もちろん，それを見つけるのが簡単とか難しいとかはあるけれど） 878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/23(木) 13:53:03 ] マジ？ SOS不等式ってもは初めて聞いたし、877の解説が面白くて、ネタに見えて仕方がないんだけど… 879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/23(木) 15:32:04 ] >>878 SOS不等式と呼ばれている不等式が何種類かあって紛らわしいから， 普通は前後の脈絡無しに「SOS不等式」って言うことはないんだけど， 最近最適化の専門家の間で >>877 の「SOS不等式」が盛んに研究されてて， 個人的にも今その辺がホットだから，勢いで書いちゃった． 数学的な内容としては >>877 の結果は正しくて， 特にここ10年くらいで，この方法を使った多項式の最小値を計算する アルゴリズムが実用的になってきてる． 興味があるなら，古典的な話題はHilbertの第17問題で調べるとよくて， 最近は Pablo A. Parrilo って人が活発にやってる． 880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/24(金) 00:09:49 ] >>879 勉強になりますた！ 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/07(木) 21:53:59 ] 〔問題857〕 xが自然数 のとき 　3^(x-1) ≧ LCM(1,2,3,････,x) ≧ 2^(x-1), science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/857 東大入試作問者スレ１６ 882 名前：１３２人目の素数さん [2009/05/08(金) 03:29:09 ] 質問です。 一応、有名不等式(Weighted AM-GM,Cauchy-schwartz,Holder,Rearrangement, Jensen,Muirhead,Schur,etc...)などについての知識やその証明は理解したのですが 実際に問題に取り組む時に「どんな場合にどの有名不等式を用いるべきか」が見えてきません。 不等式が得意な方々の解法などを眺めていても妙に突拍子なアイディアにしか見えないんです。 数多くの問題に当たってるうちにこういう直観的なものは磨かれどれをいつ適用するかなど 見えてくるものなんでしょうか？ 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/08(金) 03:44:16 ] >>882 そうです！ 甘ったれないで下さい！ 884 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/09(土) 19:20:05 ] >>882 職人芸修行　　文献を大量に勉強してどの方法はどこで使うか博覧強記 イメージ戦略　解きたい問題が解けると信じる直観的理由と同じ意味の不等式を利用 試行錯誤　　　各場面毎に片端から使って出てくる不等式をノートに蓄積 他にもあるが時間が無くなったので 885 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/09(土) 23:26:18 ] >>882 とりあえず、片っ端から不等式とその証明（別解も全て）をコレクションし、Texでまとめるんだ！ 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/09(土) 23:31:21 ] >>881 休憩が終わったら、他スレの不等式をここに貼る作業に戻るんだ！ >>882 休憩が終わったら、刺身の上にタンポポを乗せる仕事に戻るんだ！ >>884 休憩が終わったら、不等式を証明する作業に戻るんだ！ >>885 休憩が終わったら、不等式まとめサイトを更新する作業に戻るんだ！ >>886 休憩が終わったら、不等式を収集する作業に戻るんだ！ 887 名前：１３２人目の素数さん [2009/05/10(日) 03:49:35 ] >>876 SOS を具体的に用いて解いた解法は >>699 にありますよ。 簡単に言ってしまえば SOS ineq は それぞれ S[a], S[b], S[c] は a, b, c の関数とし, S = f(a, b, c) = S[a](b-c)^2 + S[b](c-a)^2 + S[c](a-b)^2 とおいたとき, S≧0 を証明するために使われる手法です。 >>887, >>889 で言われているものも SOS ineq ですが, >>876 さんが知りたいのはこういう類の方の ineq ですよね？ 888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/10(日) 21:46:04 ] 〔問題〕 　a,b,c,p,q >0, 1/2 ≦ p/q ≦ 2 のとき 　a/(pb+qc) + b/(pc+qa) + c/(pa+qb) ≧ (p+q)^2 (a+b+c)^3 /{9(pb+qc)(pc+qa)(pa+qb)} 　　　≧ (1/3)(a+b+c){1/(pb+qc) + 1/(pc+qa) + 1/(pa+qb)} 　　　≧ 3/(p+q), 　　　(Shapiro不等式の一拡張) 889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/10(日) 21:59:17 ] >>888 見かけほど難しくない(?) 左側: 　a/(pb+qc) + b/(pc+qa) + c/(pa+qb) - (p+q)^2 (a+b+c)^3 /{9(pb+qc)(pc+qa)(pa+qb)} 　= {(2p-q)(2q-p)F_1 + (p+q)(2p-q)G + (p+q)(2q-p)H}/{9(pb+qc)(pc+qa)(pa+qb)} ≧ 0, ここに 　F_1 = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = s^3 -4st +9u ≧ 0, 　G = F_1 + (st-9u+3��)/2 = a(a-b)^2 + b(b-c)^2 + c(c-a)^2 ≧ 0, 　H = F_1 + (st-9u-3��)/2 = a(a-c)^2 + b(b-a)^2 + c(c-b)^2 ≧ 0, ここに 　s = a+b+c,　t = ab+bc+ca,　u = abc,　基本対称式 　�� = (a-b)(b-c)(c-a),　差積 中央と右側: 　pb+qc = x,　pc+qa = y,　pa+qb = z,　とおく。 　a+b+c = (x+y+z)/(p+q), よって 相加･調和平均より 　(x+y+z)^3 /(9xyz) = (x+y+z){F_0 + 3(xy+yz+zx)}/(9xyz) ≧ (1/3)(x+y+z)(1/x + 1/y + 1/z) ≧ 3, これを (p+q) で割る。ここに 　F_0 = (x-y)(x-z) + (y-z)(y-x) + (z-x)(z-y) 　　= (x^2 + y^2 + z^2) - (xy+yz+zx) 　　= (1/2){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2} ≧ 0, 890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/11(月) 20:17:25 ] nを正の整数とする。 (n+2)角形A1A2……AnA(n+1)A(n+2)について、面積をS 正整数kに対して辺AkA(k+1)の長さをx(k)とする。 このとき �納k=1_n] {(k^2-k+1)*(x(k))^2} + n*x(n+1)^2 ≧4S を示せ。 891 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/11(月) 20:28:43 ] 〔問題895〕 正の実数a,b,cに対して不等式 　a／{(s/3)+2b} + b／{(s/3)+2c} + c／{(s/3)+2a} ≧ 1, が成立することを示せ。 ただし、s = a+b+c. science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/895 東大入試作問者スレ１６ 　a/{(s/3) +2b} = a/{s +2(b -s/3)} ≧ a{s -2(b -s/3)}/(s^2) = a(5s-6b)/(3s^2), 巡回的にたす。 　(左辺) ≧ {5s^2 -6(ab+bc+ca)}/(3s^2) = (3s^2 +2F_0)/(3s^2) ≧ 1, ここに 　F_0 = s^2 - 3(ab+bc+ca) = (a-b)(a-c) + (b-c)(b-a) + (c-a)(c-b) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0, 892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/11(月) 22:56:21 ] >>886 つ problem.322 ttp://www.math.ust.hk/excalibur/v14_n1.pdf 893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/12(火) 02:26:44 ] >>891 　ab+bc+ca ≦ (1/3)s^2, 　f(x) = 1/{(s/3)+2x} は単調減少かつ下に凸。 　(左辺) = a･f(b) + b･f(c) + c･f(a) ≧ s･f((ab+bc+ca)/s) ≧ s･f(s/3) = 1, 894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/12(火) 02:34:51 ] パネェっす 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/13(水) 03:26:07 ] nを正の整数とする。 (n+2)角形 A1A2……AnA(n+1)A(n+2) について、面積をS, 正整数kに対して、辺AkA(k+1) の長さをx(k)とする。(1≦k≦n+1) このとき 　(1/2)�納1≦i<j≦n+1] x_i･x_j ≧ S, を示せ。 896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/13(水) 05:00:00 ] 二年。 897 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/13(水) 23:27:15 ] >>895 180度より大きい内角が存在するような図形も考慮するの？ 898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/16(土) 15:02:41 ] >>892 Problem 322. 　a+b+c=3 のとき、 　a^2･(b+1)/(a+b+ab) + b^2･(c+1)/(b+c+bc) + c^2･(a+1)/(c+a+ca) ≧ 2, (略証) 　a+b+c=s とする。 　D = (a+b+ab)/(b+1) + (b+c+bc)/(c+1) + (c+a+ca)/(a+1) 　　= (a+1) -1/(b+1) + (b+1) -1/(c+1) + (c+1) -1/(a+1) 　　= s + 3 -1/(a+1) -1/(b+1) -1/(c+1), ところで、 　1/(x+1) = 1/{2 + (x-1)} ≧ (1/4){2 - (x-1)} = (3-x)/4, より 　1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) ≧ (9-s)/4, あるいは、y=1/(x+1) は下に凸だから、 　1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) ≧ 3/(s/3 +1) = 9/(s+3), よって 　D ≦ s+3 - (9-s)/4 = (5s+3)/4 = 9/2,　あるいは 　D ≦ s+3 - 9/(s+3) = 9/2, コーシー不等式より 　(左辺) ≧ s^2 /D ≧ s^2 /{(5s+3)/4} = 2, あるいは 　(左辺) ≧ s^2 /D ≧ s^2 /{(s+3) -9/(s+3)} = 2,

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