不等式への招待 第３章

1 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/13(日) 05:00:00 ] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ… 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ 過去スレ ・不等式スレッド （Part1）　 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ 過去スレのミラー置き場：briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 姉妹サイト（？） Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000 53 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/06(水) 01:32:46 ] >52 　A,B,C は同時に鋭角、直角または鈍角。 　3つとも鈍角、直角は不合理なので、鋭角3角形。 　A=arctan(1)=45ﾟ, B=arctan(2),　C=arctan(3). 54 名前：１３２人目の素数さん [2007/06/06(水) 13:40:18 ] 何所が不等式や 55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/06(水) 16:42:24 ] >54 ﾊｧﾊｧできればいいのさ >53 過程がよくワカリマセン 56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/07(木) 01:28:47 ] >>15　 [C.854]　別法 　S_n = (n!)Σ[k=1,∞) (H_k)/[k(k+1)……(k+n)]　とおき、 　S_1 = (π^2)/6 と S_n - S_(n+1) = 1/(n^2)　から 　S_n = (π^2)/6 -1 -1/(2^2) - … - 1/{(n-1)^2} を示す。 S_1 = Σ[k=1,∞) (H_k)/[k(k+1)] 　　= Σ[k=1,∞) (H_k){1/k - 1/(k+1)} 　　= Σ[k=1,∞) {(H_k)/k - H_(k-1)/k}　　　　　　　　(← H_0 = 0 ) 　　= Σ[k=1,∞) 1/(k^2) 　　= ζ(2) 　　= (π^2)/6. S_n - S_(n+1) = Σ[k=1,∞) (H_k){ (n!)/[k(k+1)…(k+n)] - (n+1)!/[k(k+1)…(k+n+1)] } 　　= (n!)Σ[k=1,∞) (H_k)/[(k+1)……(k+n+1)] 　　= (n-1)!Σ[k=1,∞) (H_k){1/[(k+1)…(k+n)] - 1/[(k+2)…(k+n+1)] } 　　= (n-1)!Σ[k=1,∞) { (H_k)/[(k+1)…(k+n)] - H_(k-1)/[(k+1)…(k+n)] }　　(← H_0 =0) 　　= (n-1)!Σ[k=1,∞) 1/[k(k+1)…(k+n)] 　　= (n-1)!Σ[k=1,∞) (1/n){ 1/[k(k+1)…(k+n-1)] - 1/[(k+1)…(k+n)] } 　　= (n-1)!(1/n)(1/n!) 　　= 1/(n^2). 57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/07(木) 21:52:14 ] >51 上 [A.422] Let x_1,x_2,…,x_n,x_(n+1) be positive real numbers with x_1+x_2+…+x_n = x_(n+1). Prove that 　Σ[i=1,n] √{x_i[x_(n+1) - x_i]} ≦ √{ Σ[i=1,n] x_(n+1)[x_(n+1) - x_i]}, (略解) (左辺) ≦ (1/n){Σ[i=1,n] √x_i)}{Σ[j=1,n] √(x_{n+1} - x_j)}　　(← 逆順序積 ≦ 乱順序積) 　　≦ √{Σ[i=1,n] x_i}･√{Σ[j=1,n] (x_{n+1} - x_j)}　　　　　　　(← コーシー) 　　= √(x_{n+1})･√{Σ[j=1,n] (x_{n+1} - x_j)} 　　= √{Σ[j=1,n] x_{n+1}[x_{n+1} - x_j]} 　　= (右辺). [B.3989] 　a,b,c are positive real numbers, such that a^2 +b^2 +c^2 +abc = 4. 　Prove that a+b+c ≦ 3. (略解) 　1-a,1-b,1-c のうち2つは同符号、よって (1-b)(1-c) ≧0 としてもよい。 　3(3-a-b-c) + (a^2 +b^2 +c^2 +abc -4) 　= (1/2)(2-a-b)^2 + (1/2)(2-b-c)^2 + (1/2)(2-c-a)^2 -(1-a)(1-b)(1-c) 　= (1/4)(3-2c-a)^2 + (1/4)(3-2b-a)^2 + (1/2)(1-a)^2 + a(1-b)(1-c) 　≧ a(1-b)(1-c). [C.892] Prove that if x,y,z are positive real numbers and xyz=1, the values of the expressions 　 1/(1+x+xy),　y/(1+y+yz),　xz/(1+z+xz) cannot all be greater than 1/3. (略解) 　 1/(1+x+xy) = yz/(1+y+yz) =　z/(1+z+xz), 　xy/(1+x+xy) =　y/(1+y+yz) =　1/(1+z+xz), 　 x/(1+x+xy) =　1/(1+y+yz) = xz/(1+z+xz), 辺々たす. 58 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/07(木) 21:58:46 ] >51 下 [B.3997] 　x,y,z are real numbers.　Prove that if xyz=u, then 　x^4 + y^4 + z^4 + x^2･y^2 + y^2･z^2 + z^2･x^2 ≧ 2u(x+y+z). (略解) 　(左辺) - (右辺) = (1/2)(x^2 -y^2)^2 + (1/2)(y^2 -z^2)^2 + (1/2)(z^2 -x^2)^2 　　　　　　　　　+ (x^2)(y-z)^2 + (y^2)(z-x)^2 + (z^2)(x-y)^2. ハァハァ 59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/07(木) 22:47:53 ] >>57 [C.892]の解答みて思い出した。 俺は この問題を解いて（いや解けずに答えを見て）、 不等式の世界に入ったんだ（いや囚われの身になったんだ）！ ﾊｧﾊｧ・・・ 60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/08(金) 15:06:36 ] 以前あった問題 a,b,c>0 ab+bc+ca=1で (1+a^2+b^2)/(a+b)^2+(1+b^2+c^2)/(b+c)^2+(1+c^2a^2)/(c+a)^2≧5/2 を誰か解決してくれ。もうノート２冊分くらいぐるぐるしてる。 ちなみにいじってるうちに (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≧(a-b)^2/(a+b)^2+(b-c)^2/(b+c)^2+(c-a)^2/(c+a)^2 と同値とか、わきにそれてばかりいる。 大体、２文字対称不等式だと、大抵そんなむずかしくはないし、使う式も大体 決まってるんだが、どうも、３文字対称不等式はめんどくさい。誰か解いてくれ。 それから、不等式もそろそろ分類してもいい頃あいだと思うんだが、、、。 むずかしそうで、ルーチンで解ける物、それ以外（これが多いから収集したりする 訳だが、、、）。 結局、相加相乗平均を使うだけの問題も多いと思う。 61 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/08(金) 16:44:59 ] 対称不等式だから (1+a^2+b^2)/(a+b)^2+(1+b^2+c^2)/(b+c)^2+(1+c^2　＋　a^2)/(c+a)^2≧5/2 でいいんだよな a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=uとおいて (t^2+a^2+b^2)/(a+b)^2+(t^2+b^2+c^2)/(b+c)^2+(t^2+c^2+a^2)/(c+a)^2≧15/4 を示す t^2+a^2+b^2=t^2-2ab+(a+b)^2等を使えば (t^2-2ab)/(a+b)^2+(t^2-2bc)/(b+c)^2+(t^2-2ca)/(c+a)^2≧3/4と同値 左辺=f/(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2とすれば、根性で対称式で書いて 4f-3(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 =4s(st-u)(s^2-3t)+(18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4su) st-u≧0は容易、 18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4su≧0は ３次方程式x^3-sx^2+tx-u=0が実数解のみを持つ条件 s^2-3t≧0はその解がすべて０以上の条件で、終り 間違ってるかもしれん。正しい／いい解法は実力者を待て 62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/08(金) 16:55:22 ] 18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4su≧0と s^2-3t≧0 合わせて実数解条件だったかもしれん 正の解の条件ではないな、 まあなんか本を見ておくれ 63 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/08(金) 17:07:40 ] 手許にあった論文 a new look at newton's inequalities (結構面白い、webで拾えると思う） によると 18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4su≧0は実数解条件でwell-knownだそうだ s^2-3t=(1/2){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2} は理くつ不要だった スレ汚しすまん 64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/08(金) 17:13:51 ] 18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4s　＾３　u なんかボロボロorz 65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/08(金) 19:30:22 ] またt^2とか間違いを見つけたので直したの貼り直しときます a,b,c>0に対し、a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=uとおいて (t+a^2+b^2)/(a+b)^2+(t+b^2+c^2)/(b+c)^2+(t+c^2+a^2)/(c+a)^2≧15/4 を示す。これはt+a^2+b^2=t-2ab+(a+b)^2等を使えば (t-2ab)/(a+b)^2+(t-2bc)/(b+c)^2+(t-2ca)/(c+a)^2≧3/4と同値。 左辺=f/((a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2)とすれば、 4f-3(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 =4s(st-u)(s^2-3t)+(18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4s^3u) と基本対称式で書ける。（一応乱数入れてチェックしてみた） ここで、s^2-3t=(1/2)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)≧0...(*)、 st-u=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc ≧3(abc)^(1/3)・3(ab・bc・ca)^(1/3)-abc=8abc>0であり、 D_3=18stu+s^2t^2-27u^2-4t^3-4s^3u≧0は ３次方程式x^3-sx^2+tx-u=0が実数解のみを持つ条件で a,b,cがこの方程式の３解だから満たされている 等号条件は(*)よりa=b=cが必要で、このとき実際成立する。 66 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/08(金) 21:44:08 ] >>60 あまり考えてないけど、x=b+c, y=c+a, z=a+b と置き換えて (ab+bc+ca+a^2+b^2)/(a+b)^2 をx,y,zで表したらどうなる？ 67 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/08(金) 22:49:39 ] >>63 これでおじゃるかな？ ( ﾟ∀ﾟ)つ www.emis.de/journals/JIPAM/article111.html?sid=111 68 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/09(土) 04:33:02 ] >>67 そうです、ありがと やってみたらたまたまできた？だけなんで 素人の力づく解法でみっともないかもしれない このスレすごい人がいるから期待してる 69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/09(土) 06:09:48 ] >>66 それでうまく行きますね、俺何やってんだか・・・やっぱりみっともなかったｗ 70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/09(土) 14:26:36 ] >15 [M.1769] Determine a formula for the coefficient of x^i･y^j in P_n(x,y) = Σ[k=0,n] C[2n+1,2k+1] x^(n-k)･(x+y)^k. (略解) 　{(1+u)^(2n+1) - (1-u)^(2n+1)}/(2u) = Σ[k=0,n] C[2n+1,2k+1] (u^2)^k = Q(u^2) とおくと, 　P_n(x,y) = (x^n)Q({x+y}/x) = Σ[i=0,n] C[n+i,n-i] (4x)^i･y^(n-i) = Σ[j=0,n] C[2n-j,j] (4x)^(n-j)･(y^j). ﾃﾍｯ 71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/09(土) 19:52:22 ] >>70 ｷﾀｯ！ｗﾍ√ﾚｖ-(ﾟ∀ﾟ)-ﾍ√ﾚ- !! ｽﾝﾊﾞﾗｽｨ！ 72 名前：訂正>>60 mailto:sage [2007/06/10(日) 16:03:35 ] (1+a^2*b^2)/(a+b)^2+(1+b^2*c^2)/(b+c)^2+(1+c^2*a^2)/(c+a)^2≧5/2 ごめんなさい。 73 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/10(日) 19:28:51 ] >>72 ( ﾟдﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ 74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/10(日) 20:28:38 ] >>51 下 [A.425] 　Let n≧2 and let a_1,a_2,…,a_n, x_1,x_2,…,x_n be positive real numbers such that a_1+a_2+ … +a_n =A,　x_1+x_2+ … + x_n =X. Prove that 　2Σ[1≦i<j≦n] x_i･x_j ≦ {(n-2)/(n-1)}X^2 + Σ[i=1,n] {a_i/(A-a_i)}(x_i)^2. (略解) コーシーより 　Σ[i=1,n] {A/(A-a_i)} (x_i)^2　≧{Σ[k=1,n] x_k}^2 /{Σ[j=1,n] (A-a_j)/A } = {1/(n-1)}X^2, よって 　(右辺) = {(n-2)/(n-1)}X^2 + Σ[i=1,n] {A/(A-a_i)}(x_i)^2 - Σ[i=1,n] (x_i)^2 　　≧ {(n-2)/(n-1)}X^2 + {1/(n-1)}X^2 - Σ[i=1,n] (x_i)^2 　　= X^2 - Σ[i=1,n] (x_i)^2 　　= 2Σ[1≦i<j≦n] x_i･x_j 　　= (左辺). [B.3997]　>>58 [B.4000] 　Find the smallest possible value of x^2 +y^2, given that x and y are real numbers, x≠0 and xy(x^2 -y^2) = x^2 +y^2. (略解) 　(1/4)(x^2 +y^2)^2 = (1/4){(2xy)^2 + (x^2 -y^2)^2} ≧ (1/2)(2xy)(x^2 -y^2) = xy(x^2 -y^2) と与式から 　x^2 +y^2 ≧ 4, 等号成立は　2xy = x^2 -y^2, 　(x,y) = (±√(2+√2), ±√(2-√2)),　(±√(2-√2), 干√(2+√2))　〔複号同順〕 ハｧハｧ 75 名前：１３２人目の素数さん [2007/06/15(金) 09:35:26 ] △ABCが鋭角三角形のとき， tanA tanB tanC ≧ 3√3 を示せ。 76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/15(金) 10:23:38 ] >>75 tanA=x　tanB=y　tanC=zとおく。 △ABCが鋭角三角形な事からx,y,zは全て正の数。 また z=tan(π-(A+B))=-tan(A+B)=-(x+y)/(1-xy)　ゆえ z-xyz=-x-y　すなわちx+y+z=xyzが成り立つ。 x/(xyz)^(1/3)>0 ,y/(xyz)^(1/3)>0, z/(xyz)^(1/3)>0 について、相加相乗平均から (x+y+z)/(xyz)^(1/3)≧3{xyz/(xyz)}^(1/3)=3 x+y+z=xyzから　(xyz)^(2/3)≧3　ゆえxyz≧3√3 等号成立はx=y=zのとき、それは 0<θ<π/2でのtanθの狭義単調増加性から A=B=Cのときなので△ABCが正三角形のとき。 77 名前：１３２人目の素数さん [2007/06/15(金) 11:19:19 ] >>75 tanA=x　tanB=y　tanC=zとおく。 △ABCが鋭角三角形な事からx,y,zは全て正の数。 また z=tan(π-(A+B))=-tan(A+B)=-(x+y)/(1-xy)　ゆえ z-xyz=-x-y　すなわちx+y+z=xyzが成り立つ。 …までは>>76と同じで，ここからはtan xの凸不等式でおしまい。 78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/15(金) 11:51:32 ] >>77 コピペの上に「〜でおしまい。」って。 人の事馬鹿にしてるのじゃなければ もう少し書き様って物があるんじゃないですか? 79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/15(金) 12:28:50 ] >>75 解析的な証明。 tanA=x　tanB=yとおく。 まず，A,B<π/2よりx,yは正の数。 また，C<π/2 なので，tan(π-(A+B))=-(x+y)/(1-xy)>0 だから xy>1 つまり，x,y>0, xy>1 の条件下において，xy(x+y)/(xy-1)≧3√3 を示すことになる。 s=x+y, t=xy とおくと，s,t の変域は s>0，t>1，s^2-4t≧0. この条件下で，st/(t-1)≧3√3 を示せばよい。 言い換えれば，t>1, s≧2√t ⇒ s≧3√3 (1-1/t) を示せばよい。 つまり，t>1 ⇒ 2√t≧3√3 (1-1/t) を示せばよい。 f(t)=2√t - 3√3 (1-1/t) とおけば，f'(t)=0 となるのは t=3 のときで，このとき最小値をとる。 よって f(t)≧f(3)=0 なので示された。 80 名前：１３２人目の素数さん [2007/06/15(金) 12:39:16 ] ごめん，怒られてる理由がいまいちわかんない。 だってほんとにtan xの凸不等式でおしまいじゃん。ｗ 81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/15(金) 12:49:29 ] >>78 凸不等式を知っているかね？ オービーくんッ！ 82 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/15(金) 18:07:05 ] >>80 見通しの悪い駄解答を書き込んですまんかったな。 わざわざコピペ引用までして晒し上げたうえに あてつけの一言まで頂いたけるとは思わなかったよ。 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/15(金) 23:55:34 ] 仲良くしようぜ ('A`) 84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/16(土) 07:16:19 ] 　　　　　　　★★小泉純一郎と安部は朝鮮人★★ コピペして各板に貼り付けよう　知人にも話そう 政治板もたまには覗こう 小泉純一郎　 ・戦前大臣を務めた祖父小泉又次郎は純粋な日本人とされる。だが、純一郎の帰化朝鮮人である父が鮫島姓を買い取り 　又次郎の娘をたぶらかして婿として小泉家に入る　そこで小泉家は帰化朝鮮人である純一郎の父に乗っ取られた 　参照ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8F%E6%B3%89%E7%B4%94%E4%B9%9F ・父親の純也は、鹿児島加世田の朝鮮部落の出身者といわれる　日大卒業名簿には、純也の日本名はなく、 　見知らぬ朝鮮名が書かれているという 　 　純也は朝鮮人の帰国事業、地上の楽園計画の初代会長であった ・結婚後、子供をもうけ即離婚した宮本佳代子は在日企業エスエス製薬創業者の孫 ・小泉の元秘書官の名前は飯島勲←注目　帰化朝鮮人 ・派閥のドン森喜朗も生粋の朝鮮人 ←森も帰化人がよく使う通名 ・小泉は、横須賀のヤクザ、稲川会と関係が深い 安倍晋三 ・岸家 毛利元就が陶晴賢と厳島沖で戦い大勝を収めた際、寝返って毛利方についた船の 　調達人が「ガン」と称する帰化人であったという　毛利はその功績によって「ガン」を 　田布施周辺の代官に召したてた　このガンを岸家の先祖とする説がある ・祖父岸信介が文鮮明と共に 反共団体　国際勝共連合（統一教会）を設立 ・官房長官時代統一教会「合同結婚式」に祝電を送り、話題に ・安倍のスポンサーは、下関の朝鮮人パチンコ業者である ・グリコ森永事件時、明らかになった帰化朝鮮人企業森永のご令嬢と結婚 ・そのわが国のファーストレディーは電通（会長成田豊、半島生まれの帰化人）勤務という分かりやすい 　経歴の持ち主の朝鮮の血筋 ・韓国、中国の留学生に日本の企業に入ってもらうために住居費分、学費免除分、生活費など月計２０万〜３０万円相当の支給 　日本人のワーキングプア層を全く省みない　また帰化系在日系朝鮮人が日本の企業で技術を盗み、半島の現代などの企業に 　伝授していることが深刻な問題になっている　 ・多くの朝鮮人が差別を主張し、警察、原発、自衛隊で職を得ている 85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/18(月) 00:26:37 ] >15 [C.847] 　面積を �� とおくと、 　r=��/s, 4R = 2a/sin(A) =abc/��,　 　(�竸2)/s = (s-a)(s-b)(s-c)　　　(← ヘロン) より 　(左辺) = (r^2･s)^(1/3) = {(�竸2)/s}^(1/3) = {(s-a)(s-b)(s-c)}^(1/3), 　(中辺) = √{(4R+r)r /3} = √{[abc + (�竸2)/s] /(3s)} = √{[(s-a)(s-b)+(s-b)(s-c)+(s-c)(s-a)] /3}, 　(右辺) = s /3 = {(s-a) + (s-b) + (s-c)} /3. 以下ry) まとめ 　[C.844] >>41 [C.846] >>48 [C.847] ↑ [C.851] >>41 [C.854] >>50, >>56 [M.1769] >>70 ﾊｧﾊｧ 86 名前：57 mailto:sage [2007/06/18(月) 00:46:37 ] >51 上 [B.3987] 　Let n≧4 be an integer, and let a_1,a_2,…,a_n denote non-negative real numbers. Prove that 　Π[k=1,n] (a_k + a_{k+1} + a_{k+2})^2 ≧ (2^n)Π[k=1,n] (a_k + a_{k+1})^2, where a_{n+1}=a_1, a_{n+2}=a_2. ｛略解(in Hungarian)｝ (a+t)(t+d) = t(a+t+d) + ad ≧ t(a+t+d), に t=b+c を入れて (a+b+c)(b+c+d) ≧ (b+c){(a+b)+(c+d)} ≧ (b+c)・2√{(a+b)(c+d)}.　　(←相加･相乗平均) 循環的に掛ける。 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=feladat&f=B3987&l=en ｺﾞﾎｺﾞﾎ 87 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/21(木) 01:36:20 ] ( ﾟ∀ﾟ)つ問題投下 a,b,c>0 のとき， 　(2/3)(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)) ≧ √((a^2+b^2+c^2)/3) が成立することを示せ。 88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/21(木) 14:06:45 ] まず(b+c)/2≦√((b^2+c^2)/2)等だから、 (2/3)(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)) ≧(√2/3)(a^2/√(b^2+c^2)+...) よってa^2=x等とおいて、 (√2/3)(x/√(y+z)+y/√(z+x)+z/√(x+y))≧√((x+y+z)/3) を示せばよい。 k>0に対し、f(x)=x/√(k-x)は0<x<kで凸であるから、k=x+y+zとしておけば、 (√2/3)(x/√(y+z)+y/√(z+x)+z/√(x+y))=√2・(f(x)+f(y)+f(z))/3 ≧√2f((x+y+z)/3)=√((x+y+z)/3) 89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/22(金) 00:19:04 ] >87 　(2/3){a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)} ≧ (a^2 +b^2 +c^2)/(a+b+c) ≧ √{(a^2 +b^2 +c^2)/3}. (略証) 左側 　(左辺)*{(b+c)a^2 + (c+a)b^2 + (a+b)c^2} ≧ (2/3)(a^2 +b^2 +c^2)^2,　　(←コーシー) 　(b+c)a^2 + (c+a)b^2 + (a+b)c^2 ≦ (2/3)(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2),　　(← 逆順序積 ≦ 乱順序積) 　辺々割る。 右側 　(a+b+c)^2 = 3(a^2 +b^2 +c^2) -(a-b)^2 -(b-c)^2 -(c-a)^2 ≦ 3(a^2 +b^3 +c^2), 　∴ 1/(a+b+c) ≧ 1/√{3(a^2 +b^2 +c^2)}. ﾊｧﾊｧ 90 名前：88 mailto:sage [2007/06/22(金) 00:25:00 ] >>89 すげーな、プロの味がするｗ 91 名前：89 mailto:sage [2007/06/22(金) 00:39:29 ] >89 の左側の別解 　(左辺) ≧ (2/9)(a^2 +b^2 +c^2){1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)}　(← 同順序積 ≧ 乱順序積) 　　　　 ≧ 2(a^2 +b^2 +c^2) / {(b+c) + (c+a) + (a+b)}　　　　　(← 相加･調和平均) 　　　　 = (a^2 +b^2 +c^2) / (a+b+c). 92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/24(日) 01:39:02 ] >87 〔系〕 a,b,c>0 のとき 　(2/3){a^2/(b+c) +b^2/(c+a) +c^2/(a+b)} ≧ (a^2 +b^2 +c^2)/(a+b+c) ≧ √{(a^2 +b^2 +c^2)/3} ≧ (a+b+c)/3 ≧ (abc)^(1/3). 2. (IMO 1995 Canada) 　Let a,b,c be positive real numbers such that abc=u.　Prove that 　1/{a^3･(b+c)} + 1/{b^3･(c+a)} + 1/{c^3･(a+b)} ≧ (3/2)u^(-4/3). (略証)　上式の a→1/a,　b→1/b,　c→1/c,　u→1/u とおく。 93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/25(月) 00:14:52 ] 並べ替えの不等式について質問です。 ｎ！個の式のうち一番大きくなるは正順で、一番小さくなるのが逆順ですが 残りの中間の不等式で大小関係がはっきりつくグループは何個なんでしょうか？ ｎ＝３　のときは中間の３！−２＝４個の式が２個のグループに分けられるみたいですが。 94 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/01(日) 13:14:08 ] >>93 面白いね、これって論文１本書ける問題じゃないのかな 専門家のコメント希望 95 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/01(日) 13:31:10 ] >>93 n=4　のときにやってみたらハッセ図？みたいのが出来たけど、、 96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/01(日) 13:56:25 ] (*ﾟ∀ﾟ)=3 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/01(日) 14:54:06 ] 〔問題〕 a>0 とする。 関数f(x)は上に凸な連続関数で、f(0)=a, f(a)=0 を満たすとする。 また、関数g(x)は、0≦g(x)≦a を満たす連続関数とする。 このとき次の不等式が成り立つことを示せ（下記不等式中にある積分は全て区間[0,a]の定積分とする)。 　∫f(g(x))dx + ∫g(x)dx + a^2 ≦ 2∫f(x)dx. * f(x)の微分可能性は保証されていません。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/58-61 東大入試作問者スレ９ 98 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/01(日) 15:02:42 ] >97 　∫f(g(x))dx + ∫g(x)dx ≦ 2∫f(x)dx. (略解) max_[0≦y≦a] {f(y)+y} = M とおくと 　(右辺) ≦ ∫_[0,a] M dx = Ma, 題意により、f(x)+x は上に凸な連続関数。よって、折れ線 (0,f(0))−(h,M)−(a,0) より上側にある。 　(左辺) = 2∫_[0,h] {f(x)+x}dx + 2∫_[h,a] {f(x)+x}dx - 2∫_[0,a] xdx ≧ {f(0)+M}h + (M+a)(a-h) -a^2 = Ma. 99 名前：98 mailto:sage [2007/07/01(日) 15:13:30 ] >98の訂正, ｽﾏｿ >97 (略解) max_[0≦y≦a] {f(y)+y} = M とおくと 　(左辺) ≦ ∫_[0,a] M dx = Ma, 題意により、f(x)+x は上に凸な連続関数。よって、y=f(x)+x のグラフは 折れ線 (0,f(0))−(h,M)−(a,a) より上側にある。 　(右辺) = 2∫_[0,h] {f(x)+x}dx + 2∫_[h,a] {f(x)+x}dx - 2∫_[0,a] xdx ≧ {f(0)+M}h + (M+a)(a-h) -a^2 = Ma. 100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/07(土) 00:26:28 ] messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=744 より。 n≧1, m≧2とするとき、 Σ{k=1,n}( (1/k)^((m-1)/m) ) ＜ m n^(1/m) 101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/07(土) 04:27:54 ] >100 左辺に 　(1/k)^{(m-1)/m} < ∫[k-1,k] (1/x)^{(m-1)/m} dx を代入するらしいお… 102 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/12(木) 11:14:54 ] x,y,z is possible. Prove {(xy^2+1)^(1/3)+(yz^2+1)^(1/3)+(zx^2+1)^(1/3)}^3≧xyz+1 103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/13(金) 03:23:30 ] >>102 wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%b8%c4%ca%cc%a4%ce%cc%e4%c2%ea%b2%f2%c5%fa#content_4 に３通りの解答を載せておきました。 104 名前：102 mailto:sage [2007/07/13(金) 04:23:56 ] >>103 ありがとう！ 105 名前：102 mailto:sage [2007/07/13(金) 09:35:05 ] >>104 どちらさま？ >>103ありがとうございますっ っってどうみても>>102には右辺の定数倍が欠けてるっっorz 右辺を３倍いやむしろ２７倍してもたぶん成立するという事実 102自体も問題としてはなりたっているが… 103様、もしよろしければ解き直して、wikiのほうも追加してもらえませんか？ 申し訳ない 106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/13(金) 10:45:35 ] |　 |　　　　　　　　　　　　　 |　‖　　　　　 　　　　　ﾉﾉﾉﾉ　-＿_ 　勘違いするなよ！ |>>102　　　 　　　　　(ﾟ∈ﾟ　)　　─_＿___　___ |∧ 从ﾉ　　　　　 (ミ_　(⌒＼ヽ　_　__＿ （ (≡￣￣￣￣三＼⌒ノ　ノ ) |(つWつ ￣￣＼ 　⌒彡) 　 ﾉ　　＝＿ | ＼つ　つ　　　　＼,_＿_,ノノ |　 |　 )　　　　　　　　/　／　≡＝ |　 |　　　　　　　　　 / ノ　　　　　　__________ |　 |　　　　　　　　 /ノ　＿─ (´⌒(´ |　 |　　　　　　　ﾐ/＝　(´⌒(´⌒;; |　''''""'''"'''"""''"""'''''"'"''''""''"''''"""''"'''""''"''"'''"'' 107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/14(土) 05:35:41 ] >102 　(xy^2)^(1/3) =Z, (yz^2)^(1/3) =X,　(zx^2)^(1/3) =Y とおくと 　(X+Y+Z)/3 ≧ XYZ = xyz, 　g(t) = (t^n +1)^(1/n)　とおくと 　g'(t) = t^(n-1) /（t^n +1)^(1 -1/n)　>0, 　　　(単調増加) 　g"(t) = (n-1)t^(n-2) / (t^n +1)^(2 -1/n) >0,　　(下に凸) 　(左辺)^3 = {g(X) + g(Y) + g(Z)}/3 ≧ g((X+Y+Z)/3) ≧ g((XYZ)^(1/3)) = g((xyz)^(1/3)) = (右辺)^3, 108 名前：107 mailto:sage [2007/07/14(土) 08:01:35 ] >102 いつもの事だが訂正 　(X+Y+Z)/3 ≧ (XYZ)^(1/3) = (xyz)^(1/3), 　n>1 　(左辺)^(1/3) = …… = (右辺)^(1/3). 109 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/14(土) 12:41:49 ] 102は、f(e^x)がｘについて凸な関数のときに、（ｘ＞０） Jensen不等式の相乗平均verが成り立つことを 問題にしたかっただけなんだ。 迷惑かけて申し訳ない。お詫びとして a,b,cは正の実数。このとき常に次の式が成り立つような最大のαを求めよ a^b+b^c+c^a>α 110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/14(土) 23:23:13 ] >109 c=a^(1/a) のとき、 　(左辺) = a^b + b^c + a, a→0 のとき c⇒0 なので, 　lim[a→0] (左辺) = 0^b + b^0 + 0 = 1, 　α = 1. 111 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/16(月) 13:40:04 ] >110 Q. ほんとに1以下にならない?? A. (1) a,b,c の1つでも1以上なら おk, (2) 0<a,b,c<1 のとき 　f(x) = (1/a)^x は下に凸だから、 　(1/a)^b < (1-b) + b/a = (a+b-ab)/a　　… ベルヌーイの不等式 　a^b > a/(a+b-ab) > a/(a+b+c), 辺々たす。 www.nikonet.or.jp/spring/zettaiti/zettaiti.htm 112 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/07/21(土) 08:13:14 ] ( ﾟ∀ﾟ)つ>>87の改良版 a,b,c>0 のとき， 　(2/3)(a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)) ≧ ((a^3+b^3+c^3)/3)^(1/3) が成立することを示せ。 113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/02(木) 11:33:35 ] Polyaの不等式のH.Alzerによる拡張 f,g,h は [a,b] 上の実数値関数で，f は単調増加，g,h はC^1級で， g(a)=h(a)，g(b)=h(b) を満たすものとするとき， (∫_[a,b] f(x)g'(x)dx) (∫_[a,b] f(x)h'(x)dx)≦(∫_[a,b] f(x)√[(g(x)h(x))']dx)^2 114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/16(木) 02:18:39 ] 〔問題〕 　x+y+z=1,　x,y,z ≧0 のとき　f(x,y,z) = (x-y)(y-z)(z-x) ≦ 1/(6√3) を示せ。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1186908806/56 分かスレ２７９ 115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/16(木) 02:32:44 ] >114 f(x,y,z)>0 となるのは 0≦x<y<z またはその cyclic の場合。 そこで、x<y<z の場合を考える。（他の場合も同様） 　f(x,y,z) = (y-x)(z-y)(z-x) は zについて単調増加、xについて単調減少。 　f(x,y,z) ≦ f(0,y,z+x) = f(0,y,1-y) = y(1-y)(1-2y) 　= 1/(6√3) - 2{y -(1/2) +(1/2√3)}^2･{y +(1/2) +(1/√3)} ≦ 1/(6√3), 等号成立は x=0, y=(1/2)-1/(2√3), z=(1/2)+1/(2√3) のとき。 116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/16(木) 08:23:31 ] 数蝉の最新号に、不等式が載っていたなはぁはぁ…せｄｆｒｔｇｙふじこｌｐ 117 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/16(木) 22:37:32 ] ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/634- 【問題】 3辺の長さがa，b，cである三角形の内接円の半径をrとする． このとき，不等式 　　(a + b + c)/r ≧6√3 が成り立つことを示せ． 118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/16(木) 23:54:59 ] >117 　a/r = cot(B/2) + cot(C/2), …, … を左辺に代入し、cotθは下に凸, A+B+C=π を使う。 119 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/17(金) 22:37:24 ] 【問題】 3辺の長さがa，b，cである三角形の外接円の半径をRとする． このとき，不等式 　　 (a + b + c)/R ≦ 3√3 が成り立つことを示せ． 120 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/17(金) 22:43:31 ] >119 だから 　a/R = 2sin(A), …, … を左辺に代入し、sinθ は上に凸, A+B+C=π を使うだお。 〔系〕R ≧ 2r. science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/638-639 121 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/17(金) 23:10:15 ] 〔系〕R ≧ 2r. これは、球殻不等式というんだお。 （・3・） 122 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/18(土) 18:00:49 ] >121 �dクス. △の3辺の中点を通る円の半径 = R/2. この円は△の3辺を切るから、半径 ≧r. (清水多門氏) [前スレ.496-499,660,974] 文献[3] p.8 (絶版) 123 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/18(土) 20:10:08 ] 【問題】 3辺の長さがa,b,cである三角形の内接円の半径をr, 外接円の半径をR とする. このとき, 不等式 　(a + b + c - 4R) /r ≦ 6√3 -8 = 2.39230484…, が成り立つことを示せ. 等号は正3角形のとき, 直角3角形のとき 左辺は2. science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/674 東大入試作問者スレ９ 124 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/21(火) 00:06:01 ] >123 このスレの解答は↓になるだろうな。ちっともエレガントぢゃねぇが… a,b,cが3角形の辺をなすとき、次の附帯条件（3角不等式）がある。 　s-a >0,　s-b >0,　s-c >0, s=(a+b+c)/2 そこで s-a, s-b, s-c を独立変数と見れば、附帯条件は無くなる。基本対称式を 　(s-a) + (s-b) + (s-c) = s, 　(s-a)(s-b) + (s-b)(s-c) + (s-c)(s-a) = t, 　(s-a)(s-b)(s-c) = u, とおくと abc = st-u, 　�� = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} = √(su), 　r = ��/s = √(u/s), 　R = abc/(4��) = (st-u) / {4√(su)}, 　(左辺) = {2s - (st-u)/√(su)} / √(u/s) = 2(s^1.5)/√u - (st/u) +1, 示すべき式は 　{(st/u) +(右辺-1)}^2 - 4(s^3)/u = (1/t^2)H(s,t,u) ≧0, 　H(s,t,u) = {st + 2(右辺-1)u}sF_(-2) + 27(7-4√3)uF_(-1) + 3(16√3 -27)sG , ここに F_n はSchurの不等式のF_nで, 　F_(-2) = (t^3 -4stu +9u^2)/(u^2) ≧0, 　F_(-1) = (t^2 -3su)/u ≧0, 　F_0 = s^2 -3t ≧0, 　G(s,t,u) = st-9u ≧0, これより、 　H(s,t,u) ≧0, ぬるぽ 125 名前：124 mailto:sage [2007/08/21(火) 00:22:21 ] （補足） 3角形の面積を�凾ﾆおくと、 　�� = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} = √(su),　　　…… ヘロンの公式 126 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/21(火) 11:18:25 ] グッジョブ！ (*ﾟ∀ﾟ) 127 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/23(木) 05:27:52 ] 【類題】 3辺の長さがa,b,cである鈍角*三角形の内接円の半径をr, 外接円の半径をR とする. このとき, 不等式 　(a + b + c - 4R) /r ≦ 2, が成り立つことを示せ。　(*直角3角形も含める) 等号は直角3角形のとき. 128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/25(土) 10:43:13 ] >127 　r=��/s, R=abc/(4��)　より, 　(4R+r)r = {(�竸2)/s + abc}/s = s^2 + (ab+bc+ca) = (2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2)/4 (=t), 　(4R+2r)^2 - (a+b+c)^2 = 16R^2 +4(4R+r)r - (a+b+c)^2 　　= 16R^2 + (2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2) - (a+b+c)^2 　　= 2(8R^2 -a^2 -b^2 -c^2), 　　= -16R^2 cos(A)cos(B)cos(C),　　　　　　　　(← 補題) 〔補題〕 　(a^2 +b^2 +c^2) -8R^2 = (a^2 +b^2 -c^2) - 2(4R^2 -c^2) 　= 2abcos(C) - 2(4R^2 -c^2)　　　　　　　 (← 第2余弦定理) 　= 8R^2 {sin(A)sin(B)-cos(C)}cos(C)　　　　(← 正弦定理) 　= 8R^2 {sin(A)sin(B)+cos(A+B)}cos(C)　　　(← A+B+C=π) 　= 8R^2 cos(A)cos(B)cos(C), これは、鋭角・直角・鈍角に従って 正･0･負。(終) (数セミ, 2007/09) ぬるぽ 129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/26(日) 13:25:45 ] 〔問題〕 a,b,c は abc=G^3 を満たす正の実数である. 0≦p≦q のとき次の不等式が成り立つことを示せ. 　{a^p + b^p + c^p}*G^(q-p) ≦ a^q + b^q + c^q. science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/753-754 を改作 東大入試作問者スレ９ 130 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/26(日) 14:54:55 ] >>129 wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%b8%c4%ca%cc%a4%ce%cc%e4%c2%ea%b2%f2%c5%fa?wiki_id=54872#content_5 131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/26(日) 15:37:41 ] >129 相加･相乗平均 と 乱順序積≦同順序積 より 左辺 ≦ (a^p+b^p+c^p)*{a^(q-p)+b^(q-p)+c^(q-p)}/3 ≦ 右辺. science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/766,771 132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/26(日) 16:54:33 ] >129 は q≦p≦0 のときも成立. q-p = d とおくと >131 より 　(左辺) ≦ (a^p + b^p + c^p)(a^d + b^d + c^d)/3 = (右辺) + {(a^p -b^p)(a^d -b^d) + (b^p -c^p)(b^d -c^d) + (c^p -a^p)(c^d -a^d)}/3 ≧ (右辺). 133 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/08/27(月) 11:14:33 ] >>132 確かに>>130の証明も，q≦p≦0のときにも成り立っていますね。 >>130の証明を追記しておきました。 134 名前：１３２人目の素数さん [2007/09/10(月) 22:34:38 ] IMO longlisted problem 1987 θ[1],θ[2],θ[3]・・・,θ[n]を実数とし、sinθ[1]+sinθ[2]+・・・sinθ[n]=0とするとき次の不等式を示せ。 |sinθ[1]+2sinθ[2]+・・・+nsinθ[n]|≦[n^2/4 ] The IMO compendium P209 より この本って問題は豊富なんだけど解答がその半分もないんですね 135 名前：１３２人目の素数さん [2007/09/11(火) 00:01:21 ] あっさりオイラー使えよ 136 名前：１３２人目の素数さん [2007/09/11(火) 06:43:58 ] nt-t+(n-1)t-2t...=tn(n+1)/2-2t(n/2)(n-2+1)/2= 137 名前：１３２人目の素数さん [2007/09/11(火) 06:48:20 ] tn(n+1)/2-2t(n/2)(n/2+1)/2= f df/dt=n(n+1)/2-n(n+2)/4=0 nn/4=0 t=1->n^2/4 138 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/11(火) 06:55:08 ] >134 a[k] = sinθ[k+1] + sinθ[k+2] + …… + sinθ[n], とおく。題意より 　a[0] = a[n] = 0, また 　|a[k-1] - a[k]| = |sinθ[k]| ≦ 1, よって 　|a[k]| ≦ k　　　(k=0,1,2,…,[n/2]) 　|a[k]| ≦ n-k　　(k=[n/2]+1,･･･,n-1,n) 与式 = | Σ[k=1,n-1] a[k] | ≦ Σ[k=1,n-1] |a[k]| ≦ ･･･ あっさり。 139 名前：１３２人目の素数さん [2007/09/12(水) 16:23:24 ] >>138　あっさりでしたか。 問題仕入れてきました。1988年/大学への数学「宿題」らしいです。 実数x[1],,x[2],・・・,x[n]が x[1]+x[2]+・・・+x[n]=0 (x[1])^2+(x[2])^2+・・+(x[n])^2=1 を満たしながら動くとき次の不等式を示せ。ただしnは3以上の整数とする。 (x[1])^3+(x[2])^3+・・・+(x[n])^3≦(n-2)/√(n^2-n) 140 名前：１３２人目の素数さん [2007/09/12(水) 20:02:15 ] xk=-xn-k+1=t nt^2=1 t^3=n^-3/2 nt^3=n^-1/2 141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/14(金) 12:07:31 ] >>139 [略解] ラグランジュ乗数法で停留点条件を調べると， x[1],x[2],……,x[n] たちは2種類の値のみをとることが必要と分かる。 そこで x[1] から x[n] のうちで p 個が a という値をとり，(n-p)個が b という値をとるとする。 ただし x[1]=……=x[n] とはなりえないので a<b，1≦p≦n-1 としてよい。 2本の束縛条件の式に代入して解くと， a, b を p の式で表せる。 すると (x[1])^3 + …… + (x[n])^3 が p の関数として表せる。 この関数は p について単調増加なので，p=n-1 のときが最大値。 その最大値は (n-2)/√(n^2-n) となる。 142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/19(水) 12:38:04 ] ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十問 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1188545067/622- より転載。 622 ：１３２人目の素数さん：2007/09/19(水) 11:28:28 0<x<eのとき， 　(e+x)^(e-x)>(e-x)^(e+x) が成り立つことを示せ。ただし e は自然対数の底である。 ちなみにこれに続く>>624の解答は間違い。 143 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/09/23(日) 08:22:51 ] >142 f(x) = (e-x)log(e+x) - (e+x)log(e-x)　とおく。 　f(0) =0, 　f '(x) = (e-x)/(e+x) + (e+x)/(e-x) -log(e+x) -log(e-x) 　　　　= 4(x^2)/(e^2 -x^2) +2 -log(e^2 -x^2) 　　　　= 4(x^2)/(e^2 -x^2) - log{1-(x/e)^2} >0, ∴ 0<x<e　⇒　f(x) >0. 144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/03(水) 21:44:32 ] 〔問題〕 nは自然数、x>0として、(1+x)(1-x)x^n の最大値を、 「微分積分も 相加相乗平均も コーシーの不等式も 因数定理も 判別式も 平方完成も 使わずに」求めよ。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/272, 293 東大入試作問者スレ１１ 145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/03(水) 21:52:36 ] >144 最大値は M = {2/(n+2)}{n/(n+2)}^(n/2) の辺りなので、差をとってみよう。 x･√{(n+2)/n} ≡ y とおくと、 　M - (1+x)(1-x)x^n = M - {1-(n/(n+2))y^2}･{n/(n+2)}^(n/2)･y^n 　= M{1 -(1/2)(n+2)y^n +(n/2)y^(n+2)} 　= M(1-y){1 +y +y^2 +･･･+y^(n-1) -(n/2)(1+y)y^n} 　= M(1-y)^2･{1 +2y +3y^2 +･･･+ny^(n-1) +(n/2)y^n} ≧ 0, 等号成立は y=1 のとき。 もっとも、x≧1 のときは (左辺)≦0 から明らかだが･･･ 146 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/03(水) 22:23:52 ] さすがに後付けにもほどがあるな 147 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/03(水) 22:51:55 ] これは、「最大値を求めた」のではなく、最大値を取る付近で適当な変数を取って関数を展開しただけのこと。 微分方程式等、動きが判らない関数の性質を調べるときなど、よく使われる手法。お疲れ様 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/06(土) 01:13:14 ] 任意の三角形の三辺a,b,cに対して常に a^(2n)+b^(2n)+c^(2n)＜2(a^nb^n+b^nc^n+c^na^n) が成り立つような正の整数nを全て求めよ。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/352 まず必要条件を求めるため，xを0<x<1なる実数として， a=2，b=1，c=1+x という三角形を考える。 このとき，題意を満たす n が存在するとすると， 　　2^(n+1) + 2(1+x)^n + 2^(n+1)(1+x)^n ＞ 2^(2n) + 1 + (1+x)^(2n) が成り立つ。 これが0<x<1なる任意のxに対して成立するので，両辺 x→+0 として， 　　2^(n+2) ≧ 2^(2n) 　　∴ 4≧2^n 　　∴ n≦2 よって n≦2 が必要。 n=1のとき， 　2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)＝(b+c-a)(c+a-b)+(c+a-b)(a+b-c)+(a+b-c)(b+c-a) ＞ 0 より成立。 n=2のとき， 　2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4) 　＝(a+b-c)^2(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)(b+c-a)^2(c+a-b)+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)^2 ＞ 0 より成立。 以上より n=1,2 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/13(土) 22:17:13 ] 〔問題〕 n を自然数として定積分 I(n) を 　　I(n) = ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^n dx で定める。このとき、すべての自然数n に対して　I(n+1) > I(n) が成り立つことを示せ。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/174 東大入試作問者スレ１１ 150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/13(土) 22:21:20 ] >149 (略解) ・n = 1 のとき 　I(1) = ∫[0,π/2] x･sin(x) dx = [ sin(x) - x･cos(x) ](x=0,π/2) = 1, 　I(2) = ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^2 dx = π/8 + (π^3)/48 = 1.038663･･･, ゆえ n=1 のとき成立。 ・n> 1 のとき u = ∫[0,x] x'･sin(x') dx' = sin(x) - x･cos(x) はxについて狭義の単調増加。 xの替わりにuを独立変数と考え、x･sin(x) = s(u) とおく。x･sin(x)dx = du から 　I(n) ≡ ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^n dx = ∫[0,1] s(u)^(n-1) du, ここで ヘルダーの不等式 により 　{∫[0,1] s(u)^n du}^((n-1)/n)・{∫[0,1] 1^n du}^(1/n) ≧ ∫[0,1] s(u)^(n-1) du, 　I(n+1)^(1/n) > I(n)^(1/(n-1)), 　I(n) > I(2)^(n-1) > 1, から 　I(n+1) > I(n), n> 1 のときも成立。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/637 東大入試作問者スレ１１ 151 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/15(月) 15:39:52 ] 〔問題〕 α、β、γ は 0 < α,β,γ< π/2 、(sinα)^3 + (sinβ)^3 +(sinγ)^3 =1 を満たす。このとき、以下の不等式が成り立つことを証明せよ。 　　(tanα)^2 + (tanβ)^2 + (tanγ)^2 ≧ (3√3)/2 〔略解〕 (sinθ)^3 / (tanθ)^2 = (sinθ)(cosθ)^2 = (sinθ){1-(sinθ)^2} = 2/(3√3) - {(2/√3) + sinθ}{(1/√3) - sinθ}^2 ≦ 2/(3√3), ∴(tanθ)^2 ≧ {(3√3)/2}(sinθ)^3 θ=α,β,γを代入して辺々足せば得られる。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/438-462 東大入試作問者スレ１１ 152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/15(月) 15:43:15 ] 任意の実数 x[1],……,x[n] に対して 　�納k=1,n](x[k])^2･cosπ/n ≧ �納k=1,n-1]x[k]x[k+1]-x[n]x[1] が成り立つことを示せ。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/656 東大作問者スレ１１ 153 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/18(木) 03:27:58 ] >152 　2次形式なので行列で表す。半正値であることを使う。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1181970000/196-202 線形代数/線型代数４

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