- 76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/06/15(金) 10:23:38 ]
- >>75
tanA=x tanB=y tanC=zとおく。
△ABCが鋭角三角形な事からx,y,zは全て正の数。
また z=tan(π-(A+B))=-tan(A+B)=-(x+y)/(1-xy) ゆえ
z-xyz=-x-y すなわちx+y+z=xyzが成り立つ。
x/(xyz)^(1/3)>0 ,y/(xyz)^(1/3)>0, z/(xyz)^(1/3)>0
について、相加相乗平均から
(x+y+z)/(xyz)^(1/3)≧3{xyz/(xyz)}^(1/3)=3
x+y+z=xyzから (xyz)^(2/3)≧3 ゆえxyz≧3√3
等号成立はx=y=zのとき、それは
0<θ<π/2でのtanθの狭義単調増加性から
A=B=Cのときなので△ABCが正三角形のとき。
