不等式への招待 第３章

1 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/13(日) 05:00:00 ] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ… 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ 過去スレ ・不等式スレッド （Part1）　 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ 過去スレのミラー置き場：briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 姉妹サイト（？） Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/04(月) 12:22:50 ] >245 右側は　>244 左側も同様に log(1-d) = -d -(1/2)d^2 -(1/3)d^3 -(1/4)d^4 - …… 　　　≧ -d -(1/2)d^2 -(1/2)d^3 -(1/2)d^4 - ……　(等比級数) 　　　= -d -(d^2)/(2(1-d)) 　　　= -d(2-d)/(2(1-d)), これに d = 1/(n+1) を代入すると 　-log(1 +1/n) = log(n/(n+1)) > -(2n+1)/(n(2n+2)), 　n･log(1 +1/n) < (2n+1)/(2n+2) = 1 -1/(2n+2), あとは exp( ) するだけ。 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 11:50:54 ] 〔235の拡張〕 nを自然数とするとき 　e/(2n+2) < e - (1+1/n)^n < e/(2n+1), が成り立つことを示せ。 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 12:20:13 ] >247 右側は >244 左側も同様に log(1-d) = -d -(1/2)d^2 -(1/3)d^3 -(1/4)d^4 -(1/5)d^5 - …… 　　　> -d -(1/2)d^2 -(1/3)(d^3 +d^4 +d^5 + …… )　　　(等比級数) 　　　= -d -(1/2)d^2 -(d^3)/(3(1-d)), これに d = 1/(n+1) を代入すると 　-log(1 +1/n) = log(1 -1/(n+1)) 　　> -1/(n+1) -1/(2(n+1)^2) -1/(3n(n+1)^2), 　　= -(1/n){1 -1/(2(n+1)) -1/(6(n+1)^2)}, 　n･log(1 +1/n) < 1 -1/(2n+2) -2/(3(2n+2)^2) 　　≦ 1 -1/(2n+2) -1/(2(2n+2)(2n+1))　　　　　　(← 3(2n+2) ≦ 4(2n+1) ) 　　< 1 + log(1 -1/(2n+2)),　　　　　　　　　　　( >246 の公式に d=1/(2n+2) を代入) あとは exp( ) するだけ。 　(1 +1/n)^n < e{1 -1/(2n+2)}, 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 18:15:11 ] >>245>>247 同じ問題はいいよ。つまんねえ 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 03:28:54 ] つまんなくて申し訳ねぇ… nが大きいとき、マクローリン展開して 　n*log(1 +1/n) = n*{1/n -1/(2n^2) +1/(3n^3) -1/(4n^4) + …} 　　= 1 -1/(2n) +1/(3n^2) -1/(4n^3) +1/(5n^4) - …, 　(1 +1/n)^n = e{1 -1/(2n) +11/(24n^2) -21/(48n^3) +2447/(5760n^4) - …}, 　{e - (1 +1/n)^n}/e = 1/(2n) -11/(24n^2) +21/(48n^3) -2447/(5760n^4) + …, 　e/{e - (1+1/n)^n} -2n = 2n/{1 -11/(12n) + 21/(24n^2) -2447/(2880n^3) + …} -2n 　　　= 2n{1 +11/(12n) -5/(144n^2) +17/(1080n^3) -… } -2n 　　　= 11/6 -5/(72n) + 17/(540n^2) - … → 11/6,　(n→∞) 　e - (1+1/n)^n ≒ e/(2n +11/6).　　　(n>> 1) 251 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/06(水) 09:31:57 ] 数学科の微積分での証明だったら、これらは全部不合格だよ。 まず、e の存在を証明して（有界単調数列は収束する）から物事が始まる。 指数関数の定義やその逆関数として log x を定め、さらに、それらが解析的 であること、つまりTaylor展開できることという順番だからな。 ここの「証明」は全部循環論法。 e の不等式の証明にTaylor展開を使うのは、数学科だとアウト。 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 12:27:04 ] 最初からTaylor展開でe^xを定義する事だってよくあるけど。 君が知らないだけで。定義も書かないで251みたいな事を書くのはナンセンス。 まあ>>249には大体同意。 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 23:24:48 ] >>251 それ、数学科の微積分じゃなくて、高校の微積分って言った方が正しいと思うよｗ 254 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/08(金) 17:59:08 ] 【問題】 f を開区間 (a,b) の C^2 級関数とするとき，次の不等式を示せ． ∫^b_a |f ' (x)|^2 dx ≦ 54 [ 1/(b-a)^2 ∫^b_a |f(x)|^2 dx + (b-a)^2 ∫^b_a |f ' ' (x)|^2 dx ] 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/02/08(金) 20:12:14 ] >251 小平の解析入門なんかでは 無限級数の極限で定義してる。 いろんな定義が可能なことを知らないなんて 数学科ではないなｗ 256 名前：251 mailto:sage [2008/02/09(土) 11:19:43 ] 数学科の微積分をナメるなよ！！！！！！！！１１１１１ 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 11:40:03 ] ってか、king氏にも分からないことがあるんだと かつ、このスレの優秀さを改めて見直した 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 11:42:33 ] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　_,.-‐"':"￣~ﾞ'ヽ、　　　　　　　＿＿ 　　　　　 _,---‐"￣＼　　 　　　　　　／　　　　 　　 　　｀`ｰ‐-、　　 ノ　　 ＼ 　　　　／　　　　　　 　ヽ　　　　　　;"　　　　　 　　　　 　　　　　）　/　　 　 　＼ 　　　/　　　ぐ　わ　　　｜ 　 　 　/　　　　　　　　　　　　　　　　|ﾉ/　　 　　 　　＼ 　　/　　　　ら　か　 　 　|　　　 　|　　　　　　　　　　 　　　　　 )/.| 　 ・　　オ　　 | 　　|　　　　.い　ら　　　　| 　　　　|　　　　　　　　　 ,;';;,,　　　　/ﾉ | 　 ・ 　　レ 　　| 　　|　　　 　・　 な　　　　|　　　　|::::.................:::::::::;;,'^;､::::::'''..,,_;､丿 | 　 ・ 　　に　 　| 　　|　　　 　・　 い　　　　|　　 　/:::::::::::::::::::::::::::;"ﾞ, /ﾞ~ﾞ`''::;'ﾞ; 　 　 |　　・　 　だ.　　| 　　|　　　　あ 　こ　 　　｜　 　 `､;;::::::::::::::::;／　),;'　　　:.'.,、 　　｜ 　・ 　　っ　　｜ 　　|　　　　る 　と　　　　|　 ,へﾉ 　 `'''''"´　 　.:;　　　　 .:::_ヽ　　｜　 ・ 　　て　 　| 　　|　　　　・　　　　　　　 Ｙ　　 ＼　　　　 　　.::;　 　　 ::::ゝ　　 　.|　　・ 　 　 　 　 | 　　|　　　　・　　　　　　　∧　　　　＼　　　 　::::::､　　 .:;`　　　　 ｜　　　　　　　　 | 　　|　　　　・　　　　　　　|ヽ丶　　　　＼;;　　:::;;;;::..,,､. ::i　 　　　 　|　　　 　 　　　　| 　　|　　　　・　　　　　　　|　`　　　　　 　＼;;;;/　 　 `ﾞ"　　　　　 　＼ 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 18:24:21 ] >>255 ふ〜ん じゃあその e^x をTaylor展開で定義する方法で、指数法則 e^{x+y} = e^x e^y や、三角関数の加法定理 sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y を証明してみせてよ。 数学科なんだからこのくらいは出来るよね。 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 18:32:33 ] >>259 どの定義からも他の定義のものが得られることが知られている その証明はいい練習になるだろうが、本質的でない 本質でないことに拘ることの意味が分からないのですが 261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 18:38:52 ] >>260 へ〜、どの定義から始めるかは大事なことだと思うけどね。 それは個人のスタイルだから、義務ではないけど、その時々に都合良く定義 を変えることは、何も証明をしていないことだね。 どの定義から始めても同等であることの事実は非常に重要なことですけど。 それは、実数の完備性をどの公理を採用するかの問題と似ていますね。 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 18:39:29 ] >>255 ふ〜ん じゃあその e^x をTaylor展開で定義する方法で、指数法則 e^{x+y} = e^x e^y や、三角関数の加法定理 sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y を証明してみせてよ。 数学科なんだからこのくらいは出来るよね。 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 18:42:47 ] e^xをどの定義で始めるかは一長一短がある。 お前はそれを知っていて、>>259のようなことを書きやがったな。 その通りだよ、この証明はベキ級数の収束の議論が入るから、非常に面倒だよ。 微分を使ってもいいけど、それには項別微分の可能性を示さなくてはならない。 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 18:51:59 ] 指数法則はe^xが絶対収束することと二項定理から得られる 加法定理はcosとsinがそれぞれe^xを用いて表現できることから得られる で、こんなの常識でしかないのだが 265 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/09(土) 19:16:06 ] > 加法定理はcosとsinがそれぞれe^xを用いて表現できることから得られる それは複素変数の場合 一応大学１年のレベルなんだから、複素数を使わないで証明してもらいたいね 266 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/09(土) 23:45:00 ] 何言ってるの？ 基地外？ 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 00:21:54 ] exp(x)と同じようにやればいいだけなのもわからんのか 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 01:07:41 ] 弧長とか使って厳密にsinとかcosとか定義するのも それはそれで面倒だと思うけどな。 e^{x+y} = e^x e^y は実際にTaylor展開で証明してる本が 結構あると思うけど。三角函数もちょっと面倒になるだけで基本的には同じ。 （本質的には複素変数にしただけなんだから当然といえば当然） 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 08:46:25 ] >>268 >>三角函数 か・・・漢字が読めねぇ・・・orz 270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 10:12:25 ] 歴史的名著は大抵函数表記だった気がするが 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 14:04:52 ] >>269 ゆとり世代乙 >>270 収束のことを収斂とか書いていたが、流石に今は直されているだろう だけど、函数は時々見かける。 あと、個人的には線形代数という表記が気に入らない。 線型代数だろうよと，，， 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 15:07:04 ] 函はハコと読みます。 サンカクハコカズです。 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 15:30:28 ] >>271 >>収斂 俺も読めない・・・orz 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 15:32:59 ] >>269 北海道の函館（はこだて）って知らないのか？ 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 15:34:01 ] ゆとり・・・ 276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 21:42:47 ] >>273 釣りかも知れんが「しゅうれん」だ。 覚えておけ！ 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/11(月) 15:28:17 ] 〔問題〕 絶対値が1より小さい任意の実数の組(x,y,z)に対して (a,b,c) を 　a = x+y+z 　b = x^2 +y^2 +z^2 　c = x^3 +y^3 +z^3 と定める。下記の不等式が成り立つことを示せ。(MASUDA) 　|a^3 +6a -3ab +2c| ＜ 3|a^2 -b+2|, science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199706844/350 ,359 東大入試作問者スレ１３ 278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/11(月) 15:43:06 ] >277 示すべき不等式を整理すると 　| (xyz + x+y+z)/(xy+yz+zx + 1) | < 1, を示せばよいことがわかる。 問題文に (x,y,z) の絶対値は1より小さい, とある。そこで >>222 に習って x=tanhξ, y=tanhη, z=tanhζ とおこう。tanh の加法公式より 　(xyz + x+y+z)/(xy+yz+zx + 1) = tanh(ξ+η+ζ), 　| tanh(……) | < 1, よって、問題の不等式も示される。 279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/11(月) 17:24:24 ] >278 の補足 　(coshθ)^2 - (sinhθ)^2 = {[e^θ + e^(-θ)]/2}^2 - {[e^θ - e^(-θ)]/2}^2 = 1, より 　1 - (tanhθ)^2 = 1/(coshθ)^2 >0, よって 　|tanhθ| < 1, 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/11(月) 22:53:50 ] >>269-276 読めない漢字＠数学板 三角函数（さんかく・かんすう）→三角関数 収斂（しゅうれん）→数学の用語で収束のこと 帰謬法（きびゅうほう）→背理法ともいう 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/11(月) 23:01:39 ] 数学板、誤変換 ○確率 ×確立 ○置換 ×痴漢 ○偏微分 ×変微分 ○整式 ×正式 ○小数 ×少数 ○対数 ×大数 （ただし『大学への数学』または"大数の法則"の意の場合も・・・） ○シミュレーション ×シュミレーション （日本語にない発音のため。ただし方言には近い発音があるらしい） ○キチ（既知） ×ガイチ （またちなみに、既出（きしゅつ）と読む。"がいしゅつ"ではない。） 既知の既の字に「木」へんが付くと 高木貞治の『解析概論』"かいせき・がいろん"の概の字になる。 282 名前：パトリシア=マーティン （らき☆すた） mailto:sage [2008/02/11(月) 23:07:30 ] 　　　　　　　､＿＿__,,　-―――- ､ヽ 、 　　　　　　　_＞　　　　　　　　　　　ヽ} ） 　　　　　 ／　 ／　　 '　/　　　　　　　 ⌒ヽ 　　　　∠（ 　/　　^ﾒ､ //　 　 }　　 　 　 　 ', 　　　　 　 ヽ/　　　{　/ {{　　　ﾊ　　}　ヽ.　　| .　　 　 　 ／　 　 ,ﾉx=ﾐ从　　/ |⌒/　　 Ｖ　| 　　　　∠ -ｧフ ,ｲ〃うﾊハ／ _ | ∧　 　 {　ﾘ 　　　　　　厶‐'´! } V辷j　　　≠弌 〉､ 　 ∨ 　　　　　　　V{. ヽゝ　 　 '＿_　 　 /　 ＼　＼ 　　　　　 　 　 ＼个　.　 V　_）　_厶　人ﾉ￣ 　　　　　　　　　　＾ j人＞rー/＾}_ ,イﾉ´ 　　ニホンゴのカンジってムズカシイネ 　　　　　　　　　　xr＜了　 （｀ヽ{　/｀ヽ 　　　　　　 　 　 / ｛.　 {YY´￣　}７　　 } 　 　 　 　 　 　 /〃} 　 } 人_, 　 j　 　 / 　　　　　　　　/　{{ { 　 {{　　ヽ.　＼　/ 283 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/02/11(月) 23:33:13 ] 1stVirtue教では応用数学の習得もする。 284 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/12(火) 00:49:18 ] >>283 お前誰だ？　馬鹿じゃねーの？ 285 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/02/12(火) 07:26:02 ] Reply:>>284 日本人の心を持つことをお前様はわかるのだろうか。 286 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/12(火) 16:30:11 ] >>285 は気違いだから相手にするな。 「1stVirtue教」だとさｗｗｗ 287 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/02/12(火) 16:56:38 ] Reply:>>286 不心得者は早く日本から去りてくださいませ。 288 名前：1stVirtue mailto:sage [2008/02/12(火) 19:01:31 ] >>287 お前が出て行け！偽者。 289 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/02/12(火) 19:32:57 ] Reply:>>288 誰が本物であるかの議論をしなくてはならぬのか。 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/13(水) 21:21:30 ] >>289 当たり前だろ それより俺の心を読むのをやめてくれないか 291 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/02/13(水) 23:38:37 ] Reply:>>290 どうしろという。 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/14(木) 01:19:01 ] 数学の命題にはそれ自体真か偽かが証明不可能な命題が存在する（ゲーデル） 293 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/14(木) 11:34:35 ] 1stVirtue ◆.NHnubyYck お前邪魔やからさっさと消えろや！ 294 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/02/14(木) 11:48:43 ] Reply:>>293 自分または自分の親戚がよそ者かどうか考えてみよ。 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 22:15:57 ] >>277 示すべき不等式を整理すると 　| N | < D, を示せばよいことがわかる。ここに N = xyz + (x+y+z),　D = (xy+yz+zx) +1, 問題文に (x,y,z) の絶対値は1より小さい, とある。よって 　D + N = (1+x)(1+y)(1+z) >0, 　D - N = (1-x)(1-y)(1-z) >0, 辺々掛けて 　D^2 - N^2 = (1-x^2)(1-y^2)(1-z^2) >0, 　| N | < D, 296 名前：KBumDUXdQj mailto:zpwgbs@osgcqr.com [2008/02/28(木) 11:50:58 ] pUNSrO <a href="khiyeukbkpro.com/">khiyeukbkpro</a>, [url=tozwceqtvhzs.com/]tozwceqtvhzs[/url], [link=sisigqwdtxhd.com/]sisigqwdtxhd[/link], yllgcklstqui.com/ 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/08(土) 20:45:38 ] 自然数 n に対し、 a[n] = (1 + 1/n)^n とする。 a[n+1] - a[n] < a[n] / {2 * (n+1)^2} を示せ。 ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十四問 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/69 （補注） n=1 だと左辺＝右辺だから n≧2 の誤りだと思われる。 298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/12(水) 00:29:56 ] 同スレからもう一題。 82 ：69：2008/03/09(日) 18:11:30 【補題】 x,y>0 のとき 　x^(n+1) - (n+1)x･y^n + n･y^(n+1) ≧0, 　等号成立は x=y のとき。 (略証) 　(左辺) = (x-y)^2･Σ[k=０,n-1] (k+1)･x^(n-k-1)･y^k,　より明らか。 　{S_n = 1 + 2r + 3r^2 + … + n･r^(n-1) を求める頻出問題より} science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/82 ------------------------------------------------------- (別証) 　(左辺) = (x-y)S, ここに 　S = x^n + x^(n-1)･y + …… + x･y^(n-1) - n･y^n = Σ[k=0,n-1] {x^(n-k) - y^(n-k)}･y^k, とおいた。 x>y>0 のとき S >0, 　(左辺) = (x-y)S >0. y>x>0 のとき S <0, 　(左辺) = (x-y)S >0.　(終) 299 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/12(水) 04:31:35 ] 入試レベルの不等式キボンヌ 300 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/12(水) 04:34:48 ] ヘルダーの不等式を証明汁 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/12(水) 08:50:42 ] >>300 wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%a5%d8%a5%eb%a5%c0%a1%bc%a4%ce%c9%d4%c5%f9%bc%b0%a4%ce%be%da%cc%c0 302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/16(日) 22:15:52 ] 同スレからもう一題。 【問題】(改作) n≧2 とし、n次元Euclid空間を考える。 半径rの超球面（中心は原点にある）と座標軸の交点は2n個ある。 半径r'の超球の内部（超球面を含む）にある点Pから2n個の交点までの距離の積の最大値をもとめよ。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/162, 165 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/16(日) 22:23:59 ] >302 (略解) 各点の座標を 　O = (0,0,…,0),　　原点 　A_1 = ( r,0,…,0),　A_2 = (0, r,0,…,0), ……, A_n = (0,…,0, r), 　B_1 = (-r,0,…,0),　B_2 = (0,-r,0,…,0), ……, B_n = (0,…,0,-r), 　P = (x_1,x_2,…,x_n) とおく。題意より 　OP = √｛(x_1)^2 + (x_2)^2 + … + (x_n)^2｝ ≦ r'. Π[i=1,n] A_iP・B_iP の最大値をもとめる。 　(A_iP・B_iP)^2 = {(x_1)^2 + … + (x_(i-1))^2 +(x_i -r)^2 + (x_(i+1))^2 + … + (x_n)^2} 　　　　　　　　 * {(x_1)^2 + … + (x_(i-1))^2 +(x_i +r)^2 + (x_(i+1))^2 + … + (x_n)^2} 　　　　　　　　 = (OP^2 + r^2 - 2r･x_i)(OP^2 + r^2 + 2r･x_i) 　　　　　　　　 = (OP^2 + r^2)^2 - (2r･x_i)^2, i=1,2,…,n について相加・相乗平均をとる。 　(Π[i=1,n] A_iP・B_iP)^(2/n) ≦ (OP^2 + r^2)^2 - (1/n)(2r･OP)^2 = OP^4 + (2- 4/n)(r･OP)^2 + r^4, 等号成立は |x_1| = |x_2| = … = |x_n| = OP/√n のとき。 題意より OP≦r', n≧2 だから、 　Π[i=1,n] A_iP・B_iP ≦ {(r')^4 + (2- 4/n)(r･r')^2 + r^4}^(n/2), とくに r'=r のとき 　Π[i=1,n] A_iP・B_iP ≦ {4(1 -1/n)}^(n/2) r^(2n), (例) 　n=2, r'=r のとき 2r^4, 　n=3, r'=r のとき (8/3)^(3/2) r^6. 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/16(日) 23:25:16 ] 半径１として考える。超球体の点x=(x1,...,x_n)を 単位ベクトルt=(t1,..,tn)を使ってx=rt (0≦r≦1)と書く。 (距離の積の２乗) =Π{(r^2+1)^2-4r^2(t_i)^2} ≦{(1/n)Σ((r^2+1)^2-4r^2(t_i)^2)}^n （相加相乗） ={(r^2+1)^2-(4/n)r^2}^n ={(r^2+(1-2/n))^2+1-(1-2/n)^2}^n よって右辺はr=1で最大となるから 距離の積はr=1, |t1|=...=|tn|(=1/√n) のとき最大値(4-4/n)^(n/2) 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/16(日) 23:26:15 ] ﾘﾛｰﾄﾞしてなかったorz 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/28(金) 01:59:51 ] 同スレからもう一題… 〔問題244〕(改作) 三角形の三辺をa,b,cとし、外接円の半径をRとおく。このとき次を示せ。 　R ≧ {√(a^2 +b^2 +c^2)}/3,　等号成立は R√3 =a=b=c のとき。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/244 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/29(土) 00:24:53 ] >306 (略解) 　a,b,cに対する頂角をA,B,C とする。 　a^2 + b^2 + c^2 = (-a^2+b^2+c^2) + (a^2-b^2+c^2) + (a^2+b^2-c^2) 　　　= 2bc･cosA) + 2ca･cos(B) + 2ab･cos(C) 　　　(←第2余弦定理) 　　　= (8R^2){cos(A)sin(B)sin(C) + sin(A)cos(B)sin(C) + sin(A)sin(B)cos(C)} 　　　= (8R^2){ -cos(A+B+C) + cos(A)cos(B)cos(C)}　　　　　　　　(*) 　　　= (8R^2){ 1 + cos(A)cos(B)cos(C)}　　　　　　　　　(← A+B+C=180ﾟ) 　　　≦(9R^2). (*)　exp(iA)exp(iB)exp(iC) = exp(i(A+B+C)) の実部をとる。 〔補題〕 　三角形の三頂角をA,B,Cとするとき、cos(A)cos(B)cos(C)≦ 1/8,　等号成立は A=B=C=60ﾟ のとき。 (略証) 　・鈍角3角形のときは、残りの2角は90ﾟ未満だから cos(A)cos(B)cos(C) <0, 　・鋭角3角形のときは、子s(A),cos(B),cos(C)≧0, 　　相乗・相加平均と cos(x) が上に凸であることから｛または log(cos(x))が上に凸であることから｝ 　　cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^(1/3) ≦ cos((A+B+C)/3)^3 　　　　= (1/2)^3 = 1/8,　　　　　　　　　　　(← A+B+C=180ﾟ)　　　(終) 308 名前：307 mailto:sage [2008/03/29(土) 03:10:13 ] 訂正。スマソ。 　　cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^3 ≦ cos((A+B+C)/3)^3 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/30(日) 16:20:16 ] 相加相乗の不等式をできるだけ多くの方法で証明せよ 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/30(日) 23:25:44 ] >>309 君がしたまえ！ 311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/31(月) 23:11:01 ] >>306 [同スレ262] 既に解かれているが別解。 a ≦ b ≦ c として考えてよい。 R = abc/4S　　（S は三角形の面積） 　= abc/√{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}　　（∵ヘロンの公式） 　= {√(a^2 + b^2 + c^2)}/3 ∴ 9 a^2 b^2 c^2 = (a^2 + b^2 + c^2)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) 0 = 左辺 - 右辺 　= a^6 + b^6 + c^6 + 3 a^2 b^2 c^2 - a^4 b^2 - a^4 c^2 - b^4 a^2 - b^4 c^2 - c^4 a^2 - c^4 b^2 　= a^2 (b^2 - a^2) (c^2 - a^2) + (c^2 - b^2)^2 (c^2 + b^2 - a^2) 　≧ 0　　（∵ a ≦ b ≦ c） だから等号は成り立っていなければならない。 等号の成立条件は {a = b または a = c} かつ b = c すなわち a = b = c。 このとき R = a/√3。 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/05(月) 23:07:28 ] 801 313 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/06(火) 00:59:34 ] age 314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/06(火) 17:50:09 ] >>309 n個の正の数 {a,b,c,…} の相乗平均をGとする。 すべての要素がGに等しい場合を除いて、 a < G < b となるような要素a,bがある。ここで 　a' = G, b' = a･b/G, と変更しても相乗平均はGのまま。一方、相加平均は 　(G + a･b/G)/2 - (a+b)/2= -(G-a)(b-G)/G <0 より減少する。 この変更操作を繰り返すと、(n-1)回以内にすべての要素がGに等しくなり、相加平均もGになる。 しかし相加平均は減り続けた筈だから、元々の相加平均Aは Gより大きかった。(終) 参考文献[3] の p.71-72 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/07(水) 00:27:35 ] 0≦x≦1,0≦y≦1,0≦z≦1の範囲で {(x+y+z)/3}+√{x(1-x)+y(1-y)+z(1-z)} のとりえる値の最大値を求めよ。 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/05/08(木) 09:06:26 ] 半径rの球面上を4点A，B，C，Dが動く．このとき， 　　AB↑･AC↑+AC↑･AD↑+AD↑･AB↑ の最小値をrで表せ． 317 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/08(木) 11:22:51 ] >>316 0 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/10(土) 19:26:12 ] >>315 (x+y+z)/3 =A の断面で考える。　Σ逆順序積 ≦ Σ乱順序積 より 　x(1-x) + y(1-y) + z(1-z) ≦ (x+y+z)(3-x-y-z)/3 = 3A(1-A), よって 　(与式) ≦ A + √[3A(1-A)] 　= (3/2) - {(3/2 -A) - √[3A(1-A)] } 　= (3/2) - 4(A -3/4)^2／{(3/2 -A) + √[3A(1-A)]} ≦ 3/2, 等号成立は A=3/4, x=y=z=3/4 のとき。 >>316 球の中心をOとし、OA↑=ａ↑, OB↑=ｂ↑, OC↑=ｃ↑, OD↑=ｄ↑ とおく。 　(与式) = (ｂ-ａ)(ｃ-ａ) + (ｃ-ａ)(ｄ-ａ) + (ｄ-ａ)(ｂ-ａ) 　　= ｂ･ｃ + ｃ･ｄ + ｄ･ｂ -2(ａ･(ｂ+ｃ+ｄ)) + 3(ａ･ａ) 　　= (Ｓ^2 -ｂ^2 -ｃ^2 -ｄ^2)/2 -2(ａ･Ｓ) + 3(ａ･ａ)　　　(← Ｓ=ｂ+ｃ+ｄ) 　　= (1/2)(Ｓ-2ａ)^2 + ａ^2 - (1/2)(ｂ^2 +ｃ^2 +ｄ^2)　　　(← 平方完成) 　　≧ a^2 - (1/2)(ｂ^2+ｃ^2+ｄ^2) 　　= -(1/2)r^2, 等号成立は Ｓ = ｂ+ｃ+ｄ = 2ａ のとき。 　(例えば、 △BCDが正3角形、その重心の方向にAがあり、∠AOB=∠AOC=∠AOD=arccos(2/3).) 319 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/14(水) 03:01:17 ] (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! 320 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/14(水) 03:01:34 ] (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! 321 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/14(水) 03:01:49 ] (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! 322 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/14(水) 03:02:03 ] (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/14(水) 03:46:36 ] ん？タン虫は４連で終わり？ つまらん！ １０００までやりゃいいのに 324 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/14(水) 21:44:03 ] 宿題ですが。。解き方が、わかりませんので、教えてください。 不等式2a-1/3<xを満たすxの最小の整数値が4であるとき、整数aの値をすべて求めなさい。 っていう問題です。 3≦2a-1/3＜4　を満たす　a　 を求めればよい。となっていますが、 5/3≦a＜13/6 となり a＝２　と答はなりますが。。 解き方として 2a-1/3＜4　は、xに４を代入（最小の整数値は４のため）分かりますが 2a-1/3≧3　がどうして３がでてくるのか分かりません。 機械的に、不等式で最小の整数値と出てきた問題は 　　　整数値をBとした場合 　　　　B-1≦式＜B 　と機械式に覚えるのでしょうか。 また、不等式で最大の整数値と出てきた問題は 　　　　整数値をCとした場合 　　　　C＜式≦C+1　　と機械式に覚えるのでしょうか。 　　　　 325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/14(水) 22:20:06 ] >>324 2a-1/3＜4　は成り立つが 2a-1/3＜3　は成立たない。（← 4は最小値） 326 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/20(火) 20:20:39 ] a[1],・・・,a[n]>0 に対し, 不等式 　(a[1]/a[2])+(a[2]/a[3])+・・・+(a[n]/a[1]) 　≧{(a[1]+a[2])/(a[2]+a[3])}+{(a[2]+a[3])/(a[3]+a[4])} 　　+・・・+{(a[n]+a[1])/(a[1]+a[2])} が成立することを証明せよ. （出典；数学セミナー） 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/21(水) 00:48:10 ] ベクトルで…と思ったが、分けわかめ ('A`) 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/23(金) 15:21:27 ] >>327 低脳は書き込まないように。 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/24(土) 00:15:18 ] >>328 330 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/24(土) 14:15:32 ] >>328 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/24(土) 14:16:56 ] >>328 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/24(土) 21:01:37 ] >>314 蛇足だが… その変更操作によって調和平均は 　2ab/(G + ab/G) = 2ab/(a+b-��) > 2ab/(a+b), により増加する。 　…… しかし調和平均は増え続けた筈だから、元々の調和平均HはGより小さかった。(終) 333 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/28(水) 17:29:13 ] science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/79 から転載 nPk < (k! 2^n)/√n が成り立つことを示せ ただしnPkは順列の個数を意味する 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/31(土) 20:35:13 ] >>333 nＰk /k! = C(n,k) とおくと、問題の式は C(n,k) < (2^n)/√n, 　 C(n,k) = C(n,k-1)*((n+1-k)/k), より、左辺は k=[n/2] に向かって単調に増加する。 ∴ C(n,k) ≦ C(n,[n/2]), 〔補題〕 　C(n,[n/2]) ≦ (2^n)/√(n+2), 　等号成立は n=2 のとき。 (略証) nについての帰納法による。 n=1,2 のとき成立。 nが偶数のとき、n=2m, 　C(2m,m) = 4{(m -1/2)/m}･C(2m-2,m-1) < 4√{2m/(2m+2)}･C(2m-2,m-1), 　C(2m,m){1/[2^(2m)]}√(2m+2) は単調減少。 　C(2m,m) ≦ {2^(2m)}/√(2m+2), nが奇数のとき、 　C(2m-1,m) = (1/2)C(2m,m) < {2^(2m-1)}/√(2m+2),　　　(終) ※ 分母を √(n+2) にすると、間単に出る所がミソ。 335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/04(水) 02:51:52 ] >>334 の補足 　C(n,k) = n!/{k!(n-k)!} = n!/{(k-1)!(n+1-k)!}*((n+1-k)/k) = C(n,k-1)*((n+1-k)/k), 　(m -1/2) /m < √{2m/(2m+2)}, (略証) 　2m(m^2) - (2m+2)(m -1/2)^2 = 2m^3 -2(m+1)(m^2 -m +1/4) = (3m-1)/2 >0, 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/08(日) 22:07:04 ] 〔問題83〕(改作) a,b,c>0 とする. 　a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ca)^2 + (ab)^2 + (bc)^2 ≧ abc(a+b+c) ≧ abc{√(bc) + √(ca) + √(ab)} ≧ 3(abc)^(4/3), を示せ。 東大入試作問者スレ１５ science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/83 --------------------------------------------------------- (略証) 左端 　(1/2)(a^4 + b^4) ≧ (ab)^2, 　巡回的にたす。 中央左 　(1/2){(ca)^2 + (ab)^2} = (1/2)(a^2)(c^2 + b^2) ≧ (a^2)bc, 　巡回的にたす。 中央右 　(1/2)(b+c) ≧ √(bc), 　巡回的にたす。 右端 　√(bc) + √(ca) + √(ab) ≧ 3{√(bc)√(ca)√(ab)}^(1/3) = 3(abc)^(1/3), 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/08(日) 23:13:45 ] ﾊｧﾊｧ… 338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/14(土) 19:02:42 ] >>326 a[k]/a[k+1] = b[k] とおく。 　(右辺) = Σ_{k=1,n} (a[k] + a[k+1]) / (a[k+1] + a[k+2]) 　　= Σ_{k=1,n} (b[k] +1) / (1 + 1/b[k+1]) 　　= Σ_{k=1,n} (b[k] +1) * b[k+1]/(b[k+1] +1) ここで x/(x+1) = 1 - 1/(x+1) は単調増加ゆえ、チェビシェフ和の不等式から 　　≦Σ_{k=1,n} (b[k] +1) * b[k]/(b[k] +1) 　　= Σ_{k=1,n} b[k] 　　= (左辺). ただし、a[n+1]=a[1], a[n+2]=a[2] 等とした。 ぬるぽ mathworld.wolfram.com/ChebyshevSumInequality.html 339 名前：１３２人目の素数さん [2008/06/23(月) 23:58:44 ] a,b,c を実数，ｎを自然数としたとき，次の不等式を示せ． |a+b+c|^{2n/n+1} ≦ 3^{2n/n+1} { |a|^{2n/n+1} + |b|^{2n/n+1} + |c|^{2n/n+1} } 340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/24(火) 01:01:32 ] >>339　|a+b+c|≦3*max{|a|, |b|, |c|}　から明らか。 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/26(木) 05:30:00 ] 543 www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2008/prob_apr.pdf B4101 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200805&t=mat&l=en A.447 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200802&t=mat&l=en B.4043 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200712&t=mat&l=en B.4049 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200712&t=mat&l=en A.439、B.4040 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200711&t=mat&l=en A.435、A436、B.4029 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200710&t=mat&l=en A.433、B4019、B4021 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200709&t=mat&l=en B.4101（懐かしい） www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200805&t=mat&l=en 342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/26(木) 05:31:02 ] 【f(x)】 A.450 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200803&t=mat&l=en B.4060 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200801&t=mat&l=en 【nCr】 B.4091 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200804&t=mat&l=en 【other】 B.4046 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200712&t=mat&l=en B.4035 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200711&t=mat&l=en B.4031 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200710&t=mat&l=en B.4097 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200805&t=mat&l=en 雑事が多くて、ﾊｧﾊｧする時間が取れな… ｹﾞﾌﾝｹﾞﾌﾝ 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/28(土) 14:55:09 ] 【問題148】(改作) 　sin(cosθ)、cos(sinθ) の大小を比較せよ。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/148 --------------------------------------------------- (略解) ・|θ| < π/2 のとき, |sin(x)| ≦ |x| より 　|sin(cosθ)| < |cosθ| = cosθ ≦ cos(sinθ), ・cosθ ≦0 のとき 　-1 ≦ cosθ ≦0, 　sin(cosθ) ≦ 0 < cos(1) ≦ cos(sinθ), 344 名前：１３２人目の素数さん [2008/06/28(土) 21:48:06 ] >>341 A.435ムズイな… 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/28(土) 21:58:18 ] >>341 やさしいのは･･･ B.4019. 　　1/(2k+1)^2 < 1/{4k(k+1)} = 1/(4k) - 1/(4(k+1)), 　より 　　(左辺) < 1/4 - 1/(4(n+1)) < 1/4. 　なお、真の極限値は (3/4)ζ(2) -1 = (3/4)(π^2)/6 -1 = (π^2)/8 -1 = 0.23370055013617･･･ B.4035. 積和公式 　2cos(kx)sin(x/2) = sin((k+1/2)x) - sin((k-1/2)x), を使うと 　(左辺) = sin((11/2)x) / sin(x/2), 　x=(2/11)nπ, 　　(nは整数, 但し11の倍数を除く.) B.4043. 　(a,b,c,d) = (1,3,5,11)　(1,2,8,17) B.4046. 　(a,b) = (169/9, 196/9)　　順不同 　|a-b|=3, 346 名前：345 mailto:sage [2008/06/28(土) 22:07:34 ] 〔問題〕は↓でつ･･･ B.4019. Prove that 　　　1/(3^2) + 1/(5^2) + ･･･ + 1/(2n+1)^2 < 1/4, 　for every positive integer n. B.4035. Solve the following equation: 　　　2cos(5x) + 2cos(4x) + 2cos(3x) + 2cos(2x) + 2cos(x) + 1 = 0. B.4043. For what pairwise-different positive integers is the value of 　　　a/(a+1) + b/(b+1) + c/(c+1) + d/(d+1) = 3, or 　　　1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) + 1/(d+1) = 1 ? B.4046. Solve the following simultaneous equations: 　　　a√a + b√b = 183, 　　　a√b + b√a = 182,

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