不等式への招待 第３章

1 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/13(日) 05:00:00 ] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ… 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ 過去スレ ・不等式スレッド （Part1）　 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ 過去スレのミラー置き場：briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 姉妹サイト（？） Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/06(土) 01:13:14 ] 任意の三角形の三辺a,b,cに対して常に a^(2n)+b^(2n)+c^(2n)＜2(a^nb^n+b^nc^n+c^na^n) が成り立つような正の整数nを全て求めよ。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/352 まず必要条件を求めるため，xを0<x<1なる実数として， a=2，b=1，c=1+x という三角形を考える。 このとき，題意を満たす n が存在するとすると， 　　2^(n+1) + 2(1+x)^n + 2^(n+1)(1+x)^n ＞ 2^(2n) + 1 + (1+x)^(2n) が成り立つ。 これが0<x<1なる任意のxに対して成立するので，両辺 x→+0 として， 　　2^(n+2) ≧ 2^(2n) 　　∴ 4≧2^n 　　∴ n≦2 よって n≦2 が必要。 n=1のとき， 　2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)＝(b+c-a)(c+a-b)+(c+a-b)(a+b-c)+(a+b-c)(b+c-a) ＞ 0 より成立。 n=2のとき， 　2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4) 　＝(a+b-c)^2(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)(b+c-a)^2(c+a-b)+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)^2 ＞ 0 より成立。 以上より n=1,2 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/13(土) 22:17:13 ] 〔問題〕 n を自然数として定積分 I(n) を 　　I(n) = ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^n dx で定める。このとき、すべての自然数n に対して　I(n+1) > I(n) が成り立つことを示せ。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/174 東大入試作問者スレ１１ 150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/13(土) 22:21:20 ] >149 (略解) ・n = 1 のとき 　I(1) = ∫[0,π/2] x･sin(x) dx = [ sin(x) - x･cos(x) ](x=0,π/2) = 1, 　I(2) = ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^2 dx = π/8 + (π^3)/48 = 1.038663･･･, ゆえ n=1 のとき成立。 ・n> 1 のとき u = ∫[0,x] x'･sin(x') dx' = sin(x) - x･cos(x) はxについて狭義の単調増加。 xの替わりにuを独立変数と考え、x･sin(x) = s(u) とおく。x･sin(x)dx = du から 　I(n) ≡ ∫[0,π/2] {x･sin(x)}^n dx = ∫[0,1] s(u)^(n-1) du, ここで ヘルダーの不等式 により 　{∫[0,1] s(u)^n du}^((n-1)/n)・{∫[0,1] 1^n du}^(1/n) ≧ ∫[0,1] s(u)^(n-1) du, 　I(n+1)^(1/n) > I(n)^(1/(n-1)), 　I(n) > I(2)^(n-1) > 1, から 　I(n+1) > I(n), n> 1 のときも成立。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/637 東大入試作問者スレ１１ 151 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/15(月) 15:39:52 ] 〔問題〕 α、β、γ は 0 < α,β,γ< π/2 、(sinα)^3 + (sinβ)^3 +(sinγ)^3 =1 を満たす。このとき、以下の不等式が成り立つことを証明せよ。 　　(tanα)^2 + (tanβ)^2 + (tanγ)^2 ≧ (3√3)/2 〔略解〕 (sinθ)^3 / (tanθ)^2 = (sinθ)(cosθ)^2 = (sinθ){1-(sinθ)^2} = 2/(3√3) - {(2/√3) + sinθ}{(1/√3) - sinθ}^2 ≦ 2/(3√3), ∴(tanθ)^2 ≧ {(3√3)/2}(sinθ)^3 θ=α,β,γを代入して辺々足せば得られる。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/438-462 東大入試作問者スレ１１ 152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/15(月) 15:43:15 ] 任意の実数 x[1],……,x[n] に対して 　�納k=1,n](x[k])^2･cosπ/n ≧ �納k=1,n-1]x[k]x[k+1]-x[n]x[1] が成り立つことを示せ。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/656 東大作問者スレ１１ 153 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/18(木) 03:27:58 ] >152 　2次形式なので行列で表す。半正値であることを使う。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1181970000/196-202 線形代数/線型代数４ 154 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/26(金) 21:18:01 ] [問題] f:[0,1] → R は f(0)=f(1)=0を満たす滑らかな関数とするとき、次を示せ． ∫^1_0 |f'(x) x|^2 dx < 2 ∫^1_0 |f(x)|^2 dx 155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/27(土) 07:39:25 ] >>154 f(x)=sin(2πx) のとき，f(0)=f(1)=0 で， 2∫_[0,1] |f(x)|^2 dx = 1 ∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx = (2π^2)/3 + 1/4 = 6.82…… よって不成立。 156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/27(土) 09:27:36 ] >>154 f(x)=sin(nπx)のとき， ∫_[0,1] |f(x)|^2 dx = 1/2 ∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx = (n^2π^2)/6 + 1/4 なので，>>154の命題は係数２をいかに大きくしても不成立。 157 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/28(日) 11:31:45 ] >>154 成り立たないのですか！ [3]　不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版） の本の最後のページにこの手の不等式があって、幾つか自分でやったんですけど、 これだけはどうしても出来なかったが、間違っていたとは思わなかった orz お騒がせしました。 しかし、直ぐに成り立たないと反例を挙げるその才能に驚きました。 158 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/28(日) 18:57:34 ] 〔問題〕 こんな問題が流れてきた。カッコ良く解いて呉れってよ。 x+y+z =s, x≧0, y≧0, z≧0 のとき、 　w(x,y,z) = (y^2+yz+z^2)(z^2+zx+x^2)(x^2+xy+y^2) の最大値は? science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1193029141/59 分かスレ２８０ 159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/28(日) 19:03:47 ] >158 いつものように 基本対称式を x+y+z =s, yz+zx+xy =t, xyz =u とおく。 　y^2 +yz +z^2 = s^2 -t -sx, 　z^2 +zx +x^2 = s^2 -t -sy, 　x^2 +xy +y^2 = s^2 -t -sz, よって 　w(x,y,z) = (s^2 -t -sx)(s^2 -t -sy)(s^2 -t -sz) 　= (s^2 -t)^3 -(s^2 -t)^2･s^2 +(s^2 -t)ts^2 -us^3 　= (s^2 -t)t^2 -us^3 　≦ (s^2 -t)t^2 + min{0, -(s^3)(4st-s^3)/9},　(← s^3 -4st ≧ -9u) ここで t/s^2 =τ, w/s^6 =ω とおくと 0≦τ≦1/3, 　ω ≦ τ^2 - τ^3 + min{0, -(4τ-1)/9}, ω(τ) の増減表から、ωは 0≦τ<1/4 で増加し、1/4<τ≦1/3 では減少する。 ゆえに τ=1/4 で最大値 3/64 をとる。 等号成立は τ =t/s^2 =1/4, u=0 のとき、すなわち 　(x,y,z) = (a,a,0), (0,b,b), (c,0,c). ぬるぽ 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/28(日) 20:46:19 ] 問題を投下した者です。ちょっとこのスレ的ではない解ですが… ω=exp(2πi/3) を用いて問題の関数は w(x,y,z)=|(yω-z)(zω-x)(xω-y)|^2 と表せる。そこで p=x+yω+zω^2 という変数を考えるとpは複素平面上で 1,ω,ω^2 を頂点とする三角形の内部または周上 (Tとする) を動く。ここで p-1=(x+yω+zω^2)-(x+y+z)=(1-ω^2)(yω-z) p-ω=(x+yω+zω^2)-(x+y+z)ω=(ω-1)(zω-x) p-ω^2=(x+yω+zω^2)-(x+y+z)ω^2=(ω^2-ω)(xω-y) であるから w=(1/27)|p^3-1|^2 である。この式の形とTの形状から、pの動く範囲はTのうちの 2π/3≦arg(p)≦4π/3 に制限してもよいことがわかる。このとき p^3の動く範囲(Dとする)を描いてみればわかるように、max(w) を与えるpはTの周上のどこかになる。そこで p = (-1+it√3)/2 (-1≦t≦1)と置いてwを計算してみると p^3-1 = (3√3/8)(t^2-1)(√3+it) |p^3-1|^2 = (27/64)(t^2-1)^2(3+t^2) w = (1/64)(t^2-1)^2(3+t^2) あとは u=t^2 (0≦u≦1) の3次関数の問題で、u=0で最大となる ことがわかり、max(w)=3/64 である。最大を与えるpは p=-1/2 のときと p^3の位置が同じp、すなわち p=-1/2,-ω/2,-ω^2/2 である。 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/28(日) 22:11:57 ] >>160 は >>158 の解でございます。 162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/28(日) 22:17:41 ] おっと >>158 は x+y+z=s になってますね。元の問題は x+y+z=1 です。 163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/10/29(月) 00:47:04 ] ｲﾊﾟｰﾝ化してしまうのが不等式ヲタのSA・GA 164 名前：156 mailto:sage [2007/10/29(月) 13:38:52 ] >>157 >>157 確かにその本にはそう書いてありますね。 しかし，前後の文脈を読むと，おそらく著者が言いたかったのは 「f:[0,1] → R は f(0)=f(1)=0 を満たす C^1級の関数で，かつ恒等的に0でないものとする。 このとき， ∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx ＞ (1/4) ∫_[0,1] |f(x)|^2 dx が成立する。」 ではないかと思われます。 おそらく著者は， links.jstor.org/sici?sici=0002-9890%28197108%2F09%2978%3A7%3C705%3AIIIAFA%3E2.0.CO%3B2-2&size=LARGE&origin=JSTOR-enlargePage から引用したものだと思われますが，引用元のこの論文において既に同じミスをしています。 この修正版の不等式は，次のようにして示せます。 g(x) = √(x) f(x)$ とおくと，g(0)=g(1)=0 を満たし，かつg'(x)は[0,1]上で恒等的に0ではない。 また，f(x)=x^(-1/2)g(x)なので {xf'(x)}^2＝(1/4)x^(-1){g(x)}^2 - g'(x)g(x) + x{g'(x)}^2 ＝ (1/4){f(x)}^2 - g'(x)g(x) + x{g'(x)}^2 よって， ∫_[0,1] {xf'(x)}^2 dx ＝(1/4)∫_[0,1] \{f(x)\}^2dx - (1/2)[{g(x)}^2]_0^1 + ∫_[0,1] x\{g'(x)\}^2 dx ＞ (1/4)∫_[0,1] {f(x)}^2dx (∵g(0)=g(1)=0, x\{g'(x)\}^2≧0で恒等的に0でない) この係数1/4の最良性は言えそうで言えない…… 165 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/29(月) 14:40:59 ] >>164 ご丁寧な解答ありがとうございます。 逆向きの不等号ならば、本に書いてある方法でできますね。 ちなみに、積分区間は [0,1] となっていますが、これは任意の区間 [a,b] （ただし，0<a, b< ∞）でも大丈夫ですね。 私も少し調べたのですが、大体関数 f の積分を f やそれらの微分を 使って上から押さえるタイプのが多いようです。 しかし、逆タイプ、つまり、f の微分を f で押さえるというタイプの 式が見つからなかったので、案の定、間違っていたのですね。 そもそも、一般にこの逆向きの不等式は無理なのでしょうかね？ 166 名前：156 mailto:sage [2007/10/29(月) 15:55:37 ] >>165 おっと， links.jstor.org/sici?sici=0002-9890%28197108%2F09%2978%3A7%3C705%3AIIIAFA%3E2.0.CO%3B2-2&size=LARGE&origin=JSTOR-enlargePage をよく読むと， 　∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx ＜ 2∫_[0,1] |f(x)|^2 dx については，「そういうf(x)が存在する」と主張しているだけでした。 存在を示すだけなら折れ線だけで大丈夫です。 つまり，この論文は間違っておらず，この論文を「不等式への招待」に転載したときに 著者が「存在」を「任意」だと取り違えてしまった，というのが実情でしょう。 ＞そもそも、一般にこの逆向きの不等式は無理なのでしょうかね？ 難しいと思いますね。 直観的に言うと，|f(x)|がいかに小さく抑えられていたとしても， その小さな幅の中で激しく振動しまくれば，|f'(x)|はいくらでも大きくすることができてしまいます。 逆に，|f'(x)|がある程度小さく抑えられていれば，f(x)の変動が小さいわけですから， |f(x)|もある程度の幅しか動けなくなります。 また，[0,1]上の関数f(x)を周期１の周期関数と見てexp(2πinx)によって フーリエ級数展開したときのフーリエ係数をc_nとすると，パーセバルの等式から 　∫_[0,1] |f(x)|^2 dx ＝ Σ_[n=-∞,∞] |c_n|^2 　∫_[0,1] |f'(x)|^2 dx ＝ (2π)^2Σ_[n=-∞,∞] n^2|c_n|^2 です。Σ|c_n|^2 と Σn^2|c_n|^2 の収束性の善し悪しを比較しても， |f'(x)|を|f(x)|で評価することの困難さが分かると思います。 167 名前：１３２人目の素数さん [2007/10/30(火) 22:30:48 ] >>166 >∫_[0,1] |x f'(x)|^2 dx ＜ 2∫_[0,1] |f(x)|^2 dx >については，「そういうf(x)が存在する」と主張しているだけでした。 >存在を示すだけなら折れ線だけで大丈夫です。 ご丁寧にありがとうございます。それなら、納得です。 （ところで、JSTORってフリーじゃないですね。） このタイプの不等式、つまり、微分を評価するのは、偏微分方程式の解の 評価とかで非常に重要で、また、いろいろと応用が多いのですが、 さすがにこれだけの条件では無理ですね。 ただ、不等式の形が特殊なのでいけるのかな？と思ったんですけど、おっしゃる ように関数が激しく振動してしまうと無理ですよね。 積分型の不等式で何か良い本がございましたら、教えてください。 （洋書でも構いません） 168 名前：156 mailto:sage [2007/10/31(水) 01:14:28 ] >>167 今手元にあるわけではなく，以前図書館でパラパラ見たときの記憶ですが， amazon.com/o/ASIN/0444517952 には積分型の不等式が大量に載っていたように思います。 お探しのタイプの不等式が載っているかどうかは分かりませんが。 169 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/12(月) 06:25:55 ] 多変数が良いな。L^p, p\neq 2 に関する不等式はないか？ 小平-Spencer-NirenbergのL^4 ぐらいで。 170 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/12(月) 18:01:36 ] >>169 お前の負けだな。 171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 18:04:38 ] リクエスト ｢二次式｣だけで、ごっつい不等式 172 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/12(月) 21:02:13 ] >>171 [問題（激難）] 実数 a_i > 0 (i=1,,,n) のとき、 a_1/(a_2 + a_3) + a_2/(a_3 + a_4) + … + a_{n-1}/(a_{n} + a_1) + a_n /(a_1 + a_2) >= n/2 が成り立つような、n の範囲を求めよ。 173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 22:45:09 ] >172 n≦13 および n(奇数)≦23 については成り立つらしいお。 　mathworld.wolfram.com/ShapirosCyclicSumConstant.html 　大関, ｢不等式への招待」 近代科学社 (1987) 絶版 n=3〜6 については 　過去スレのミイラ置場の 不等式スレ2.html の >889 n≦13 については 　H.S.Shapiro: "Problem 4603." Amer. Math. Monthly, ６１, p.571 (1954). 〔余談〕 (左辺) > n/3 ならば、3以上の自然数について成り立つらしい。 　過去スレのミイラ置場の 不等式スレ1.html の >501 174 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/12(月) 23:25:12 ] >>173 >>171 激難というか、未解決問題じゃねえかよ！ Shapiro の巡回不等式だな。 まあ、答えが直ぐに出る問題もいいが、こんな不等式でも未解決である ということは不思議だよな。（n によって真偽が異なるし） これを解いたら、かなりいい雑誌に論文として載るだろうから、挑戦 する価値は十分にあるだろう。 175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 23:40:49 ] 不等式に未解決問題があるとは驚いた。 176 名前：171 mailto:sage [2007/11/12(月) 23:50:29 ] >>172　どうもです。 >>173　なるほど。 干からびるにはもっていこいということですね。 177 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/13(火) 03:22:28 ] Shapiro's Cyclic Inequality (google) www.google.co.jp/search?hl=ja&q=Shapiro+Cyclic+Inequality&lr= J. Ineq. Appl. Shapiro’s cyclic inequality for even n (by P. J. Bushell and J. B. Mcleod) www.hindawi.com/GetArticle.aspx?doi=10.1155/S1025583402000164 In 1954 H. S. Shapiro proposed an inequality for a cyclic sum in n variables. All the numerical evidence indicates that the inequality is true for even n≤12 and for odd n≤23. We give an analytic proof for the case n=12, which implies the former result. The remaining case n=23 remains an open problem. 2002年の時点ではまだ未解決。 178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/14(水) 00:46:05 ] >177 ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ! Full-text PDF もDLして読んでまつ････ 179 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/14(水) 03:11:28 ] >>178 他にも Shapiroの巡回不等式関係の論文は山ほどあるから、最新のを探して から読んだほうがいいよ。 漏れも今どこまで分かっているのか知らないから、もし分かったら教えてちょ。 しかし、Journal of Inequality なんて雑誌があるんだ。 不等式は奥が深いぞ！ やべ〜、はまりそうだ 180 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/14(水) 04:48:46 ] 『古田の不等式』は既出？ 181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/14(水) 07:30:27 ] >>180 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1045388265/95 182 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/14(水) 08:55:34 ] 古田って前に新聞に出ていたけど、この不等式がよほどいい仕事だと 勘違いしているようだねｗ かなり痛い男だｗ 183 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/14(水) 08:57:15 ] 95 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 11:18 古田の不等式。 作った本人に聞けばそれが載ってる数学辞典やら他 様々な文献を見せ付けられることでしょう。 96 ：１３２人目の素数さん：03/02/19 11:28 ﾜﾛﾀ 184 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/14(水) 20:47:18 ] 問題　次の不等式を証明せよ。ただし0<=ｘ<=1とする。 　　　　1/2 <= 1/1+√x <=　1/1+x二乗 どうしても分かりません;;;誰か解いてください!!;;;; 185 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/14(水) 20:51:44 ] 858 名前：１３２人目の素数さん ：2007/11/14(水) 20:41:47 藤川英華っておばはん顔じゃんｗ ブスだな 186 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/14(水) 21:11:15 ] >>182 いや、ホンマに凄いことなんやで！ 世界的数学者 古田の不等式 www.zaikai21.co.jp/zaifuku/back/0310.html 187 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/14(水) 21:14:59 ] 国際的に権威のある「数学百科全書」に名前が掲載されている日本人数学者はわずかしか存在しない。 数学百科全書ってなに？ Springerからでている　Encyclopaedia of Mathematical Science？ 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/14(水) 21:29:28 ] ディドロ＆ダランベール 189 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/15(木) 00:23:04 ] >>183 すごいな 四年も粘着してるのか どんな私怨があるんだろ？ 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/15(木) 00:41:41 ] >>189 どこにいる？ 191 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/15(木) 10:00:55 ] おまえのこと？ 192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/15(木) 11:14:35 ] Shapiroの巡回不等式って、 本当に>>172のような単純な形をしているのか？ 元の原型はもっと複雑な形をしているんじゃないのか？ 不等式の未解決問題にしては妙に単純な形だ。 「不等式への招待」に現れる不等式の中には 何らかの理論の中に現れるものが結構あるのだが。 193 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/17(土) 10:15:46 ] 【問題】 f: [0,1] ---> R を C^2 級関数で f(0)=f(1)=0 をみたせば， 次の不等式が常に成立することを示せ： max_{x ∈ [0,1]} |f(x)| ≦ 1/8 max_{x ∈ [0,1]} |f^{(2)}(x)|． 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/17(土) 15:15:42 ] >193 (左辺) = |f(ξ)| とする。(ξ∈[a,b]) X>ξ でも X<ξ でも f(X)≦f(ξ) だから f'(ξ)≧0 かつ f'(ξ)≦0, ∴ f'(ξ) = 0, 　|f'(X)−f'(ξ)| = |(X-ξ)f"(η)| ≦ |X-ξ|･max{|f"(x)|;x∈[a,b]|}, 　|f (X)−f (ξ)| ≦ (1/2)(X−ξ)^2･max{|f"(x)|;x∈[a,b]}, 題意より f(a)=f(b)=0 だから, 　(左辺) = |f(ξ)| ≦ (1/2){min(ξ-a,b-ξ)}^2･max{|f"|} ≦ (1/8)(b-a)^2･max{|f"|} = (右辺), 注)　ξ∈[a,b] ⇒　min{ξ-a,b-ξ} ≦ |b-a|/2 を使った。 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/18(日) 03:42:56 ] >180-189 「ある作用素不等式のやさしい証明」 数学(岩波), Vol.40, p.354 (1988) wwwsoc.nii.ac.jp/msj6/sugaku/s-index.html 「それはスペルミスの手紙から始まった／フルタの不等式の成立をめぐって」 数セミ, Vol.32, No.10, 通巻385, p.68-71 (1993.10) www.nippyo.co.jp/maga_susemi/ss9310.htm 196 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/18(日) 14:41:48 ] >>192 そうだよ。 どうしてこの不等式が出てきたのかは知らないが、まだ未解決らしい。 もっとも、問題が簡単な形をしているから易しい、というのは完全な誤解。 それは、フェルマー予想やポアンカレ予想のことを思えば納得行くだろう。 しかし、Shapiro の巡回不等式の場合、n=14, 20 で反例があることは分かっている。 16≦n の場合を大型計算機ででチェックぐらいはすれば、ある程度は分かると思う。 なお、n が十分大きければ、不成立であることも分かっている。 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/19(月) 20:00:37 ] Shapiro の巡回不等式は本当にあの形をしているのか！ むしろ、今まで多くの人に知られずにいたのが不思議なくらいだ。 フェルマー予想のように有名な問題であってよかった筈だが。 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/23(金) 04:38:52 ] 92 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [] 投稿日：2007/11/22(木) 21:22:50 a,bは正の実数，tは正の実数とする．このとき，いかなるa,bに対しても以下の不等式が成り立つようなtの最小値を求めよ． log√(ab)≦{(a+b)/2}^t 93 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2007/11/22(木) 22:15:42 >>92 a=b=e^eとすれば、(左辺)=e,(右辺)=e^(et)　となるので、与不等式が成立するためには et≧1、すなわちt≧1/eでなければならない。 次に、t=1/eで不等式が成立することを示す。 y=logx上の点(e,1)での接線がy=x/eであり、y=logxのグラフが上に凸なので x/e≧logxが言え、この式からx≧log(x^e)が導かれる。 このときx^e=zとすることでz^(1/e)≧logzとなる……�@ また相加相乗平均の不等式から{(a+b)/2}^(1/e)≧(√ab)^(1/e)となる……�A �@でz=√abとして�Aと組み合わせることで{(a+b)/2}^(1/e)≧log√abが示される。 以上から、求めるtの最小値は1/e。 問題文の左辺をloga+logbとした方が解きづらい問題になりそう。 94 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2007/11/22(木) 22:46:51 >92 相加相乗平均より、(左辺) ≦ log((a+b)/2) = log(A), 　>84 の式で y=(1/e)A^t とおく。 　t*log(A) ≦ (1/e)A^t, 与式成立条件は、t≧1/e, 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/28(水) 05:10:35 ] 高校質問スレで質問したところ、こちらを勧められたので質問させて頂きます。 |a|,|b|,|c|<1のとき、(1)ab+1>a+b(2)abc+2>a+b+cを証明せよ。 という問題があり、この2つはゴリ押しで何とか解けたのですが 4文字以上の場合に繋がるような証明法がどうしても思いつきません。 |a1|,|a2|,・・・,|an|<1のとき、a1・a2・・・an+(n-1)>a1+a2+・・・+an 成り立つかどうかもわからないのですが、わかる方いましたらよろしくお願いします。 200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/28(水) 10:00:00 ] a(bc)+2>a+bc+1>a+b+c. 201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/28(水) 23:07:42 ] ありがとうございました。 202 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/31(月) 21:24:01 ] あげ 203 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/31(月) 21:40:16 ] >177 Shapiro’s cyclic inequality for even n を保存しようとした時、何か変なメッセージ (Acrobat 8 がどうのこうのと言う） が出た。そんな物持ってないのに普通に保存出来たが、問題あったかな？ 204 名前： 【吉】 【371円】 [2008/01/01(火) 17:31:46 ] 今年こそは Shapiroの巡回不等式予想を解くぞ！ って、まだ本当に未解決なのか？ 205 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/01(火) 18:16:28 ] ふふ… 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 17:26:12 ] ただの 乱順序積 ≦ 同順序積 （積分版）だが… 〔FKG不等式〕 　f(x),g(x) を[a,b]上の単調増加（減少）な関数とすると 　∫[a,b] f(x)dx・∫[a,b] g(y)dy ≦ (b-a)∫[a,b] f(x)g(x)dx, FKG は C.Fortuin, P.Kasteleyn, J.Ginibre の頭文字らしい… elis.sigmath.es.osaka-u.ac.jp/~aida/lecture/18/double-integral2.pdf 207 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/01/05(土) 19:20:50 ] (∬_D f (x, y) dxdy)*(∬_D h (x, y) dxdy) ≦ ∬_D f (x, y)*g (x, y) dxdy 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 20:13:19 ] 官軍の同志諸君、ならびに賊軍のあほんだれｗに告ぐ：− 御大は、無事、日本に帰られた。飛行機を使われなかったことは確かだ。 ハイテク筏かどうかは不明！ 決戦の場は、sci.logic や sci.math だ！！！！ 語学力（英語で充分）を磨こう！ 目標は、７万語の語彙だ。 "Word Power Made Easy"www.amazon.co.jp/s/ref=nb_ss_fb?__mk_ja_JP=%83J%83%5E%83J%83i&url=search-alias%3Denglish-books&field-keywords=Word%81%40Power%81%40Made%81%40Easy&Go.x=17&Go.y=15&Go=Go などを読んでおけ！ 尚、同書がきつい者（読みこなせない）者は「試験に出る英単語」を もう一度とりだして、「完全に」マスターすることから始めよ！ 某スレで恩大は、こうおっしゃっているので引用しる：− Yo(余) ni dekita koto ga soch-tachi ni dekinai wake ga arouka?!!!! Onaji mana kutte doko tsugau(違う)！！！！ 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 10:32:49 ] 任意の実数x,y,z,nに対して不等式 (x-y)(x-z)x^n + (y-z)(y-x)y^n + (z-x)(z-y)z^n ≧ 0 を証明せよ これがわかりません 210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 10:50:21 ] あきらか 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 14:07:38 ] >>209 問題設定おかしくね？ 212 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 18:44:40 ] >>206　ただの 乱順序積 ≦ 同順序積 （積分版）だが… それを、普通はチェビシェフの不等式と言う。 積分版も同じ。 FKGかなんかしらんが、チェビシェフの不等式のパクリ。 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 19:11:46 ] 数学の世界で「パクリ」という言葉を初めて聞いた気がする 214 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 19:40:39 ] 或る人が書いた数学本の中には、 不等式の本といってよいものが存在する。 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 19:49:52 ] どこの存在定理ですか？ 216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 20:01:48 ] >>213 でも定理の系や簡単な応用なのに名前をつけるのは、どうかと思う。 最初にやった人の功績は重要だが、それを統一化された現在では、 変てこな名前を言われるより、「チェビシェフの不等式」と言って くれた方が十分通じるし、理解も早い。 217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 21:47:55 ] 同時期に独立に出したのなら、パクリではないが、 最近は論文数を増やす為のパクリも多い。 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/16(水) 16:41:27 ] Shapiro's Cyclic Sum Constant mathworld.wolfram.com/ShapirosCyclicSumConstant.html Shapiro's Cyclic Inequality is ture for all even n ≦ 12 and odd n ≦ 23 (Mitrinovic et al. 1993). 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/16(水) 16:46:14 ] Journal of Inequalities and Applications www.hindawi.com/journals/jia/contents.html 220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/16(水) 16:53:26 ] P. J. Bushell and J. B. Mcleod "Shapiro’s cyclic inequality for even n", Journal of Inequalities and Applications Volume 7 (2002), Issue 3, Pages 331-348 www.hindawi.com/GetArticle.aspx?doi=10.1155/S1025583402000164 Abstract In 1954 H. S. Shapiro proposed an inequality for a cyclic sum in n variables. All the numerical evidence indicates that the inequality is true for even n≤12 and for odd n≤23. We give an analytic proof for the case n=12, which implies the former result. The remaining case n=23 remains an open problem. 221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/26(土) 23:22:02 ] 〔問題〕 a,b,c は 0≦a,b,c<1 をみたす実数とする．また， 　S = 3(a+b+c+abc)/(1+ab+bc+ca), 　A = (3+a^2)a/(1+3a^2), 　B = (3+b^2)b/(1+3b^2), 　C = (3+c^2)c/(1+3c^2), と定める。このとき， 　A+B+C ≦ S < 3, を示せ．(MASDA) science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199706844/155 ,168 東大入試作問者スレ１３ 222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/26(土) 23:27:05 ] >221 右側は 　1 - S/3 = 3(1-a)(1-b)(1-c)/(1+ab+bc+ca) >0 より。 左側は 　a = tanhα,　b = tanhβ,　c = tanhγ とおくと、tanhの加法公式より 　S = 3tanh(α+β+γ), 　A = tanh(3α), 　B = tanh(3β), 　C = tanh(3γ), ∴ tanhθy は θ≧0で上に凸だから、 A+B+C ≦ S. ここに tanhθ = {e^θ -e^(-θ)}/{e^θ +e^(-θ)}, 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/27(日) 03:00:31 ] (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ… 224 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/28(月) 09:32:39 ] A(x) = ( a(x)_{ij} ) をn次対称行列で、各成分 a_{ij}(x) は [0,1] 上の連続関数とする。 このとき、次をしめせ。 　det { ∫_[0→1] A(x) dx }^{-1} ≦ ∫_[0→1] { det A(x) }^{-1} dx． ただし，∫_[0→1] A(x) dx = ( ∫_[0→1] a_{ij}(x) dx ) であり、det は行列式を表す。 225 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/28(月) 09:43:25 ] >>224 訂正：A(x) はｎ次の「正定値」実対称行列です。 「正定値」がぬけていました。 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/28(月) 22:54:23 ] x > 2、y > 2、1/x + 1/y ≦ 1/2 のとき、2x+yの最小値を求めよ。 簡単だからエレガントに頼むぜ、ブラザー！ 227 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/29(火) 01:19:46 ] >>226 レポート問題を人にやらせるなよｗ 228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 11:43:38 ] レポートって…（笑） 高校の問題をレポートに出す大学って、教育学部？ 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/30(水) 14:23:51 ] >>228 私立の文系（受験科目に数学なし）の選択必修など沢山ある。 文系は高校の微積分も知らないし、私大だと中学の数学（今はゆとり教育で、 以前は中学の数学が今は高校でやるようになった）が怪しい奴が大勢いる。 不等式の両辺に負の数を掛けると、不等号の向きが変るのが分からない奴が いるから。ゆとり教育はマジでやばい。 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/30(水) 14:55:30 ] >>229 分数の計算すらまともにできない大学生が蔓延っている今の日本 不等号の向きがナンチャラカンチャラなんぞ知らない人がいることなんて 別に驚くにあたらないし、今に始まったことでもない これが今の日本の現状 事実だ！これが現状だ！ 目を背けるな！ そして、じゃあはたして僕らはどうしたらいいのだろうと・・・ 日々自問自答を繰り返している 231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/30(水) 16:02:14 ] そんな大学生が居ない大学に行けばいいだけの話だろ 232 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/01/30(水) 16:47:14 ] そこで 1stVirtue 王国の創設だ。 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/31(木) 01:23:20 ] じゃぁ数ヲタ達はエリートだな 234 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/31(木) 02:39:38 ] >>231 私立大の文系ではほとんど入試科目に数学が無いから（最近は推薦やAO入試があるから 理系でもやばいけど）、一部の学生を除いて全然数学を勉強してきていない。 そういう奴らに数学を教えると、まあ易しいのをやれば大丈夫なのだが、そこで必ず 単位を落とすような奴が出てくる。よくよく問い詰めるとそういう奴は>>229や>>230 のように中学レベルの数学で落ちこぼれているんだから、救いようが無い。 私立のトップといわれるW大やKOでもそういう奴がいるそうだから、きついよ。 それにこれからもっとゆとり世代が入ってくるから、ｶﾞｸｶﾞｸﾌﾞﾙﾌﾞﾙ。 手っ取り早い改善策は、とにかく入試問題に数学を課すことだ。 センターの数学でもいいからさ。 235 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/31(木) 08:53:16 ] nを自然数とするとき e-(1+1/n)^n＜e/(2n+1) が成り立つことを示せ。 236 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/31(木) 11:44:55 ] 平成の時代に不平等は許されません よって与式は成り立たない 237 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/01/31(木) 18:07:50 ] 不平等を許さないという奴が平成の時代にも居たのか。 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/31(木) 18:49:06 ] >>235 見かけによらず意外に難しい… 239 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/01/31(木) 19:03:27 ] 不平等を許さないというやつは、すべての悪人に対しても平等を強いておけ。 Reply:>>235 e*(2*n)/(2*n+1)<(1+1/n)^n. 240 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/01/31(木) 19:17:06 ] なんとなくレスをつけてみたが、e<(1+1/n)^n*(1+1/(2*n)) をどうやって証明しよう。 241 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/31(木) 21:01:57 ] >>239 人の脳を読む能力を悪用する奴でも？ 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/31(木) 21:52:20 ] 自作問題。 nとMは自然数で、1≦n＜Mを満たすとする。Q(n)を次のように定義する。 Q(n)＝Π[k＝0〜n−1](1−k/M)＝(1−0/M)*(1−1/M)*(1−2/M)*…*(1−(n−1)/M) また、非負の実数cに対して、 a＝{−(2c−1)＋√{(2c−1)^2＋8Mc}}/2 , b＝{1＋√{1＋8Mc}}/2 とおく。 (1)次を示せ。 ・n≧bならばQ(n)≦e^(−c)である ・n≦aならばQ(n)≧e^(−c)である ・0≦b−a≦2cである (2)nは自然数で、1≦n＜365とする。n人の人間のうち、誕生日が一致する 2人がいる確率をP(n)とおく。次を示せ。 ・n≧42ならばPn≧1−e^(−2.3) (≒0.9) ・n≦39ならばPn≦1−e^(−2.3) 243 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/02/02(土) 08:21:34 ] Reply:>>241 思考盗聴で個人の生活に介入する奴を排除するかすべての人が思考盗聴できるようにならないと、平等にはならない。 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/03(日) 05:05:28 ] >>235 0 ≦ d < 1 とする。 log(1-d) = -d -(1/2)d^2 -(1/3)d^3 -(1/4)d^4 - …… 　　　　 ≦ -d -(1/2)d^2 -(1/4)d^3 -(1/8)d^4 - ……　(等比級数) 　　　　= -2d/(2-d), これに d = 1/(n+1) を代入すると 　-log(1 +1/n) = log(n/(n+1)) ≦ -2/(2n+1), 　n･log(1 +1/n) ≧ 2n/(2n+1) = 1 - 1/(2n+1), あとは exp( ) するだけ。 　(1 +1/n)^n ≧ e･exp(-1/(2n+1)) ≧ e{1 - 1/(2n+1)}, 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/04(月) 12:15:20 ] 〔235の類題〕 nを自然数とするとき 　e･exp(-1/(2n+2)) > (1+1/n)^n > e･exp(-1/(2n+1)), が成り立つことを示せ。 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/04(月) 12:22:50 ] >245 右側は　>244 左側も同様に log(1-d) = -d -(1/2)d^2 -(1/3)d^3 -(1/4)d^4 - …… 　　　≧ -d -(1/2)d^2 -(1/2)d^3 -(1/2)d^4 - ……　(等比級数) 　　　= -d -(d^2)/(2(1-d)) 　　　= -d(2-d)/(2(1-d)), これに d = 1/(n+1) を代入すると 　-log(1 +1/n) = log(n/(n+1)) > -(2n+1)/(n(2n+2)), 　n･log(1 +1/n) < (2n+1)/(2n+2) = 1 -1/(2n+2), あとは exp( ) するだけ。 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 11:50:54 ] 〔235の拡張〕 nを自然数とするとき 　e/(2n+2) < e - (1+1/n)^n < e/(2n+1), が成り立つことを示せ。 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 12:20:13 ] >247 右側は >244 左側も同様に log(1-d) = -d -(1/2)d^2 -(1/3)d^3 -(1/4)d^4 -(1/5)d^5 - …… 　　　> -d -(1/2)d^2 -(1/3)(d^3 +d^4 +d^5 + …… )　　　(等比級数) 　　　= -d -(1/2)d^2 -(d^3)/(3(1-d)), これに d = 1/(n+1) を代入すると 　-log(1 +1/n) = log(1 -1/(n+1)) 　　> -1/(n+1) -1/(2(n+1)^2) -1/(3n(n+1)^2), 　　= -(1/n){1 -1/(2(n+1)) -1/(6(n+1)^2)}, 　n･log(1 +1/n) < 1 -1/(2n+2) -2/(3(2n+2)^2) 　　≦ 1 -1/(2n+2) -1/(2(2n+2)(2n+1))　　　　　　(← 3(2n+2) ≦ 4(2n+1) ) 　　< 1 + log(1 -1/(2n+2)),　　　　　　　　　　　( >246 の公式に d=1/(2n+2) を代入) あとは exp( ) するだけ。 　(1 +1/n)^n < e{1 -1/(2n+2)},

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