数学基礎論の質問スレッド

1 名前：1 [04/10/13 18:26:50] 数学基礎論の質問スレッドが、今、無いようなので、新しくたてました。 ほかに質問のある方、どしどしと、質問してみてください。誰かが、教えてくれることもあるでしょう。 さて、私の質問ですが、 『論理学をつくる』という本の、一階述語論理の公理系の例のところに、 公理として、　∀ξ（ξ=ζ）　　　ξ、ζは個体変項をあらわす図式文字 というものがあがっていました。 公理ということは、恒真式なはずなんだけど、それが、なぜ、恒真式なのかが、わからなくて、疑問におもっています。 どなたか、わかる方、お教えください。 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/22(木) 17:40:55 ] 2.4 から後の証明で、「仮定 … のもとで」と書いてあったら、 A -- は B 「仮定 … のもとで A が証明可能」ならば「仮定 … のもとで B が証明可能」 と読む。 803 名前：788 [2005/12/22(木) 19:12:26 ] >>802 それは、2.2 と 2.3 に、演繹定理に相当する内容が書かれているからでしょうか？ 2.1には、「(*) Aが証明できればBも証明できる」ということを 　A 　-- 　B と表す、と書いてあるんですが、それはあくまでもインフォーマルな説明であって、 　A 　-- 　B は、実際は A |- B を表しているということですか？ 804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/22(木) 22:00:57 ] 「仮定 C_1, C_2, ... C_n のもとで」と書いてあったら、 A -- は B |- C_1 ->( C_2 -> ... -> (C_n -> A)...) ならば、 |- C_1 ->( C_2 -> ... -> (C_n -> B)...) という意味。 805 名前：793 mailto:sage [2005/12/22(木) 22:17:58 ] 研究室に問題の本があったんで眺めてみた。 確かに用語の使い方がよくわかんない。 とりあえず A├B って記号は使われてないので>>793の > (*) はインフォーマルな表現で、これを形式的に書くと A├B になる、 は撤回しときます。 著者の頭に (*) の数学的定義があるとすれば (*1) なんだろうけど。 >>797 > ちなみに普通は > 　A > 　-- > 　B > という記号はA├Bと同じ意味で使うんでしょうか？ A├B を表す記号としては 　[A] 　 B みたいなのをよく見るような気がする。 普通 -- を使うのは immediate consequence をあらわすときだと思う。 806 名前：788 [2005/12/22(木) 22:52:42 ] >>804 おー、わかりました！ ありがとうございます！！！ やっぱ、2.2 と 2.3 をよく理解してなかったようです。 2.3の最後（p. 20）のに書いてある 「2.1 に述べた推論法則 2.1 - 2.5 も、任意の仮定のもとで成立する」 ってのがキーですね。 たとえば、公式2.3「¬A → (A→B)」の証明に書かれている推論図 　¬A 　----- 　¬B→¬A 　---------- 　A→B は、格段に「仮定」の「¬A→」を付けた 　¬A → ¬A 　---------- 　¬A → (¬B→¬A) 　---------- 　¬A → (A→B) を意味してるってことですね。 807 名前：788 [2005/12/22(木) 23:05:41 ] で、結局、 (1) この本で使われている 　A 　-- 　B という記号の意味は、p.13の定義の言葉どおり 　|- A ならば|- B を意味している。 さらに「仮定 C_1, C_2, ... C_n のもとで」と書いてあったら、 　|- C_1 ->( C_2 -> ... -> (C_n -> A)...) 　ならば、 　|- C_1 ->( C_2 -> ... -> (C_n -> B)...) を意味している。 (2) 　(*) Aが証明できればBも証明できる（├ A ならば├ B） と 　(*') Aを公理に追加すればBも証明できる（A |- B） は同じではなく、「(*') ならば(*)」は簡単に示せるが、 「(*) ならば(*')」は示せるとは限らない。 だが、この本を読む上では「(*) ならば(*')」はとりあえず気にしなくてよい。 ということでおｋでしょうか？ 808 名前：800 mailto:sage [2005/12/23(金) 06:23:27 ] ＞(*')の方の意味にしか解釈できない じゃなくて ＞(*)の方の意味にしか解釈できない でした 書き間違い失礼 809 名前：788 mailto:sage [2005/12/24(土) 06:01:10 ] その後よく考えたら、 　(*) Aが証明できればBも証明できる（├A ならば ├B） と 　(*'') A→B が証明できる（├ A→B） が同値なわけがないこと（「(*) ならば (*'')」が一般には言えな いこと）がわかりました。お騒がせしてすみませんでした。 「(*) ならば (*'')」が一般には言えないことは、たとえば A が自由変数を含む場合なら、>>795 さんが書いているように 　├A　ならば├∀xA だけど、├A→∀xA　とは限らない ことが反例になっているし、 A が自由変数を含まないとした場合でも、不完全性定理から反例を 作れることがわかりました。具体的には、C も ¬C も証明できないような（自由変数を含まない）論理式 C をとって、 A = C、B = ¬C とすれば、A は証明できないから (*) は自明に 成立するにもかかわらず、A → B ≡ ¬C も証明できないから (*'') が成立しません。 レスしてくれたみなさんありがとうございました。勉強になりました。 810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/24(土) 06:10:45 ] ＞A は証明できないから (*) は自明に ＞成立するにもかかわらず 日常言語で矛盾律使うのかあ アクロバティックだなあｗ 811 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/29(木) 08:53:56 ] >810 　そうでもない。 　実際の不完全性定理の証明をよく見ると、「自然数論が展開できる ような理論では、Ｃ が証明されても反証されてもその理論が矛盾する、 という性質を持つような自由変数を含まない命題Ｃが構成できる」と いう形で証明されているから。 812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/02(月) 04:47:36 ] 152 813 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/29(日) 06:48:43 ] age 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/05(日) 07:27:48 ] 836 815 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/13(月) 23:54:54 ] すみません。流れ流れてここへ来ました。 １＋１＝２　を証明できるって聞きましたが、 なかなか理解できずに苦しんでます。 ノート１冊使うって聞いたんですが。。。 記号論理のルール　（一階述語論理）　と　集合に関する数個の公理 を使うってことは理解してやっているのですが。。。。 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/14(火) 00:04:04 ] ZF かなんかでやるってこと？ それなら大変なのは証明よりも自然数とか足し算とかの定義だね。 817 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/14(火) 00:10:09 ] ZFでの自然数の定義は真面目に書き下すなら大変だろうなあｗ Peanoの公理系で証明するんだったらノート一枚くらいだよ 誰がノート1冊使うなんて言ったんだろ そりゃ述語論理の勉強とかで使う分含めるなら確かに1枚くらい 使っても全然おかしくないけどさ 818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/14(火) 12:41:30 ] >>816 >>817 Principia Mathematica についての有名な話なんだけど。 819 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/14(火) 15:28:36 ] 有名な話って何が？ >>815だけでPMの話だとは判らなかったんだが 820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/14(火) 22:59:01 ] ＰＭは一階じゃないわな 821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/18(土) 14:06:17 ] 前原昭二先生の「記号論理入門」買ってきました． 822 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/19(日) 21:25:47 ] age 823 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/23(木) 12:59:14 ] ∃導入則の説明に、 導出される∃ｘAxはAtという式の中にあらわれるｔの１つないしそれ以上をｘで置き換え、その上で∃ｘを頭につけてできる式である ということが書いてあったのですが、 例えば、 Ha∧Raが導出できるときに、∃ｘ（Hｘ∧Ra）が導出できるということですか？ 824 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/23(木) 13:02:09 ] >>823 ｗ 825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/23(木) 14:09:30 ] >>823 そういうことです。 826 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/23(木) 18:36:39 ] ∃除去則 ∃ｘAxとAt→Cが導出できるとき、Cを導出できる、 とあるのですが、 ∃除去則で、 ∃ｘAxとAtと書いているとき、Atというのは、Aｘにあらわれるすべてのｘをｔで置き換えたものということですか？ 例えば、 ∃ｘ（Hｘ∧Rx）と（Ha∧Ra）→Cが導出できるとき、Cを導出できる、というような 827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/23(木) 18:44:45 ] >>826 全て 828 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/23(木) 18:49:00 ] > ∃除去則 > ∃ｘAxとAt→Cが導出できるとき、 At とは書いてないと思うけど。 829 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/23(木) 19:12:10 ] A[x/t]とかいうのも同じ意味だよね >>828 ？ 830 名前：828 mailto:sage [2006/02/23(木) 19:34:32 ] t と書いたら変数とは限らないというのが普通だけど。 831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/23(木) 19:36:22 ] ？termで良いんじゃない？ termのときもAtとか書かないかな 832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/23(木) 19:41:28 ] eigenvariable condition 833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/23(木) 20:29:35 ] > ∃ｘAxとAt→Cが導出できるとき、Cを導出できる、 は 「∃xAx が導出可能、かつある項 t に対して At→C が導出可能   ならば C が導出可能」 と読めるけど、これに従えば ∃x.x=0 と 1=0⊃1=0 は導出可能だから 1=0 が導出可能 ということになっておかしいんでは？ 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/23(木) 20:36:38 ] >>826 >∃ｘAx と At→C が導出できるとき、Cを導出できる、 と書いてあるはずがない。t = 1 で Ax が x は 2 で割り切れる C は 1 = 0 を整数の範囲で考える。 A1 は否定が証明できるから、∃ｘAx と At→C は証明できる。 これで、おかしいことがわからなければ、もう止めたほうがよい。 これがわかれば、 「∃ｘAx と Aa → Cが 導出できて、C に a が現れないとき C を導出できる」 ということを理解する努力をする。 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/23(木) 20:47:11 ] 変数の使い方が慣用に反するってことですね ただレスした人が変えたか そもそも著者がそういう文字を使ってるかは不明ですが 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/23(木) 21:05:06 ] Atというのは、項（定項、自由変項）ｔを含む論理式でしょ、 それがだめ、という話をしてるんですか？〜→Cの〜の式に変項が含まれちゃだめ、とか ところで、Aaというのはなんですか？ 837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/23(木) 21:15:56 ] a は自由変数記号。 ∃ｘAx という記号の使いかたをしてるから、それを流用しただけ。 つまり ∃ｘAx は Aa に現れる自由変数 a すべてを x で置き換え前に ∃ｘ をつけたって意味。 もっとも ∃ｘAx をどういう意味で書いているか訊いてから答えた方が いいがもう面倒なので、これで終わり。あとは勉強してください。 838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/23(木) 22:20:41 ] （モデルによる）意味論やった方がいいんでない？ 839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/24(金) 17:09:37 ] 命題論理とか述語論理の説明で、集合論のタームが出てきますよね。 たとえば真理値は「真」と「偽」を元に持つ集合だ、とか真理関数はその集合からの 一価関数だ、とか。 で、公理的集合論の方を見るともちろん述語論理で形式化している。 これって循環してないですか？記号論理って集合論を用いないと語れないんでしょうか？ それとも単に便宜上関数とか集合って言葉を使ってるだけなんでしょうか。 840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/24(金) 21:12:53 ] 上のは命題論理を形式化するときの話です。 せっかく集合論やら自然数論を形式化しようとしてるのに、 形式化の意味論?で(素朴な)集合論を持ってきたら意味ない気がするんですが。 841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/24(金) 21:14:30 ] x 上のは命題論理を形式化するときの話です。 ○ 上のは命題論理を形式化するときの話でも、です。 842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/24(金) 21:27:05 ] >>839 通常、論理の意味論は集合論を前提して書かれる。 でも論理のシンタクスを論じるときは集合論は使ってないから循環はない。 公理的集合論に必要なのはシンタクスだけで意味論は必要ない。 843 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/24(金) 22:16:47 ] どっちも厳密化するために形式的に書かれているとするならまあ矛盾してるよね だから無矛盾性を（本当にテツガク的に厳密な意味で） 示したい場合には確かに問題になると思う モデル論とか選択公理とか基数とか使ったりするしね 逆に言うとそういう無矛盾性とかではなくて、 数学の理論の構造を明らかにしたい、という問題意識的には全く問題ないとも言えると思うけどね 片方は研究対象としての「理論」乃至モデル、 片方はそれを研究するための普通の数学の理論と思えば良いんじゃないかな >>842 でも証明論でも大きな基数使うことあるんじゃないのかな ＞公理的集合論に必要なのはシンタクスだけで意味論は必要ない。 これそうなのかな 844 名前：838 mailto:sage [2006/02/24(金) 22:36:24 ] というかさ、どうせ最初に使う形式（推論規則やらなんやら）は無条件で受け入れる以外に 手はないよね。その受け入れる時に、「誰か他人から手取り足取り教えてもらって」 受け入れるのか、それとも．．． ということが言いたかったのだ。 845 名前：839 mailto:sage [2006/02/25(土) 08:43:55 ] なるほど、確かに命題論理の意味論で素朴集合論の用語を使っても別に問題ないわけですね。 >でも論理のシンタクスを論じるときは集合論は使ってないから循環はない。 それがはっきりしてない本や文章があって、たとえば ttp://www.math.h.kyoto-u.ac.jp/〜takasaki/edu/logic/logic6.html でも「論理の形式的体系は公理系（axioms）と呼ばれる論理式の集合 （空の場合もある）と」 というような記述があって、これが混乱してしまうんです。 しかし「論理の形式化」自身は所詮意味論でしか基礎付けがないのだから、ここの用語(空とか)を 公理的集合論のシンタクスではなく、素朴集合論の意味論だと捉えれば問題ないのかな、 という気がしてきました。 846 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/26(日) 15:50:03 ] この手の話はミネルヴァの内井の本辺りには丁寧に書かれてそうだな。 哲だが工学部卒だしlogicはかなりまともにやってるから、数学部分も 一部氣にはなるがまとも。でも、哲だけあって、説明は細かい。前に、 ＮＫや完全性定理の説明とか、ヒルベルトプログラムにおける無矛盾 性の意味（無矛盾を示したいのではなく、理念的命題が悪さをしない ことを保証したい）を正確に捉えているところとか、下手な数学科の 学生より理解していると感心したことがある。良かったら参考にして みてくれ。本のタイトルは忘れた。著者は哲は哲なんで、違う本だと 何の参考にもならないから（笑）、くれぐれも中身を見てからにして くれ。それと、説明は細かいが、技術屋が得るものはないレベルの本 ではあるから、そこは承知しておくように。もともと入門書（啓蒙書 ？）だし、それはそういうものだしな。 847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/27(月) 03:43:20 ] >>845 メタレベルの問題、つまり議論の中でのことと外でのことかの違い。 この区別がこの後もいろいろなかたちで使われます。 リンク先のコンピューター関連は、 「はじめてのＣ」を参考書として選び（もっといいほんがあるのに）、 「Ｃシェルプログラミング」を教える（shでのならわかるが）、なんだかセンス悪い。 848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/01(水) 11:56:15 ] ｘ＾ｙでｘのｙ乗を表すとして、 「（無理数）＾（無理数）＝（有理数）」 が成立するようなことがあるか、って問題の解答として、 「（ルート２）＾（ルート２）が有理数であればよし、そうでなければ無理数なので （（ルート２）＾（ルート２））＾（ルート２）を考えれば （（ルート２）＾（ルート２））＾（ルート２）＝（ルート２）＾２＝２ で、これが（無理数）＾（無理数）＝（有理数）の例となる。」 ってのは、やっぱり直観主義の人は証明になってないと思うわけ？ だとしたら、やっぱ直観主義ってついていけんな。 849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/01(水) 12:26:21 ] >>848 もちろんなってない。 実数が与えられたとき、それが有理数かどうかなんて一般には決定できない。 850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/01(水) 13:17:04 ] >>848 > 「(無理数)＾(無理数)＝(有理数)」 を「(無理数)＾(無理数)＝(整数)」に変更したらこの証明では手も足も出ない。 へぼい証明だということ。 851 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/03/01(水) 13:21:50 ] ln(2)が無理数かどうかを判定せよ。 ちなみに、e^ln(2)=2. 852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/01(水) 13:25:37 ] >>849 やっぱそうなんだ。直観主義の人ってまだいるんだろうけど、排中律がそんなに嫌いなのかね？ 嫌いだから直観主義やるのか（少しナットク）。でもじゃあ 「（ルート２）＾（ルート２）は有理数であるかそうでないかのどちらかである。」 を本気で疑ってんのかなあ？それはそれで信じられんなあ？ 853 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/01(水) 13:30:24 ] 直観主義でも相当いけるらしいぞ。 背理法以外に証明法ないのか？ 854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/01(水) 13:37:56 ] > 背理法以外に証明法ないのか？ 世が世ならそれでフィールズ賞。 855 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/01(水) 14:08:06 ] >>848 のなら対数使えばたぶん直観主義でもいけるぞ 856 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/01(水) 14:09:36 ] >>852 > やっぱそうなんだ。直観主義の人ってまだいるんだろうけど、排中律がそんなに嫌いなのかね？ じゃなくて、「正しい」という言葉の意味を普通の数学者とは違う意味に捉えてる。 857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/01(水) 14:48:40 ] >>855 「(無理数)＾(ルート２)＝(有理数)」だったら？ 858 名前：848 mailto:sage [2006/03/01(水) 17:25:49 ] >>856 ＞じゃなくて、「正しい」という言葉の意味を普通の数学者とは違う意味に捉えてる。 ああ、なるほどねぇ。でもじゃあ、直観主義者の「正しさ」の概念って時間の関数 なのかな？あ、クリプキとかいうヤツがなんかうまいセマンティクス考えたんだっけか？ 漏れそれしらないや。そこんとこどうなんだろ？ 　普通に数学やっている人（古典論理主義者って言うのも変だからこう呼んでおく）は 「正しさ」が時間の関数だとは思ってないよね。例えば、今未解決の問題があったとして、 決定不能命題である場合は別にして、そうでない場合はそれが成り立つかそうでないか は今知らないだけで決まってると思ってるよね？ 859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/01(水) 17:39:37 ] > 決定不能命題である場合は別にして 決定不能命題であるかどうかも決定不能なので、 そのような場合分けは無意味なのでは？ 860 名前：849=855=856 mailto:sage [2006/03/01(水) 18:42:06 ] >>857 どうだろうね。 x^{√2} が連続関数であることからいえたりするんだろうか。 でも中間値の定理が一般には成り立たないから無理かもしれん。 >>858 直観主義ってのはそもそも数学的な真実は超越的なものではなくて 人間の内にあるものだって考え方じゃなかったっけ。 だからまあ時間にも依存するだろうけど、どっちかというと数学をやってる主体に 依存するというほうが正しいのかなと思う。 今の直観主義者がどう考えるかは知らないけど、もともとの意味からすると。 後半に関しては、まあ >>859 みたいな突っ込みはいろいろできるだろうけど 厳密な話を抜きにすればだいたいそうだろうね。 > 今知らないだけで決まってると思ってる というのが、まさに数学的な真実は人間を超越しているって考えかたなわけだ。 ちなみにこの辺の話あんまり詳しいわけじゃないんで話半分に聞いといて。 構成主義者ではあるけど哲学屋でも直観主義者でもないので。 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/01(水) 19:00:21 ] >>848 本にそう書いてあったろ >>850 それは今の話の流れとは関係ないのでは。。 普通は対数とるなりして証明するけど (√2^√2)^√2はよく直観主義の説明で出てくる例 862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/01(水) 19:07:14 ] 排中律云々は飽くまで結果であってそれが最初にあるわけではないでしょ 直観主義でまず大事なのはなぜ彼らが直観主義の立場を取るかだと 思うんだけど、そこらへんの事が書かれてる本ってどういうわけだか非常に少ないんだよね だから普通に論理学の本で直観主義を勉強すると 「なんか世の中には奇特な人が居て排中律を認めないらしいぞ」 とかそういう感想になる そこいらのことがもっと知りたかったから勁草書房かどっかから出てる 数学の哲学の高い本買ったんだけど、まだほとんど読んでないやｗ >>858 直観主義者だって時間の函数だとは思ってないんじゃないかな まあAxiom of Choiceが「正しい」公理だと見做されるかどうかは結構 時代によって違ったりしてると思うけどね 863 名前：848 mailto:sage [2006/03/01(水) 23:24:45 ] 自分のとこ読むと少し挑戦的な口調も入ってるのに、冷静にレス返されたらこっちも冷静になっち まったい。（つーか漏れのガキさ加減が浮き上がっちまった。） ＞> 今知らないだけで決まってると思ってる ＞というのが、まさに数学的な真実は人間を超越しているって考えかたなわけだ。 フムフム、前よりはなんか許容できそうな気持ちになってきたなあ。なるほど、そういう考えかたねぇ。 まあ、そういわれても漏れはやはり排中律ビシバシを変える気はないけど、でもそういう人もいても おかしくはないか、って感じね。 >>862 ＞そこいらのことがもっと知りたかったから勁草書房かどっかから出てる 漏れもそこいら辺知りたいなあ。ここら辺詳しい人２ちゃんにいないのかなあ。天下の２ちゃん！ そういう人いてくれ！ スマソ ＞>>858 ＞直観主義者だって時間の函数だとは思ってないんじゃないかな 言われてみりゃあそうか。つまり 「（ルート２）＾（ルート２）は有理数であるかそうでないかのどちらかである。」 が正しいかどうかは今は知らないが決まってはいるはずだ、と思ってるかもしれないって事か。 （例が悪いから（ルート２）＾（ルート２）が有理数かどうか周知の事かもしれないけど言いたい 事わかるよね。） 864 名前：850 mailto:sage [2006/03/01(水) 23:30:35 ] >>861 排中律に基づく証明が非構成的であることを反映しているのだと思うが。 865 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/01(水) 23:38:02 ] wikiに以前直観主義の項目があったと思ったんだが なくなってるね 何でだろ 866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/01(水) 23:40:09 ] >>864 「へぼい」と「非構成的」は同義じゃないでしょう 方法の汎用性と構成的かどうかは寧ろ片方を立てれば もう一方が立たない関係になってる場合の方が多いと思いますよ 867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 07:54:56 ] >>866 同義とはどこにも書いていないけど。 この証明を構成的にしようとする方向に、 汎用的な定理(Gelfond-Schneider)がありませんか？ 868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 16:15:25 ] >>867 866とは違う者だけど、>>848の証明が非構成的である理由としては >>850はずれてる、って事を言いたいんじゃないのかな866は。 「>>850は理由になってるの？」っていう。 それに(無理数)^(無理数)=(有理数)の例を挙げるだけだったら、 (√2)^(log_{2}(9))=3で構成主義的に問題無い訳だし。 でも今問題になってるのはあくまで>>848の証明でしょ。 別証は取りあえず置いといて。 869 名前：１３２人目の素数さん [2006/03/02(木) 18:52:50 ] 　　　　　　　　　　　　　　　　　＿＿＿ 　　　　　　　180　　　　　　　ノ7.5-6　　 　　X　＝　----　　　×　　　-----　　　　　　 　　　　　　　　2　　　　　　　　7.5-6 解き方と答え教えて 870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 21:54:59 ] いつまでもこういうのが絶えないのう..... >>869 ネタじゃなかったら勘違いなのです。 スレタイとは裏腹に基礎数学のスレッドではないのですよ。 質問スレにでも逝かれるがよろしいかと思います。 次は【数理論理】 とか 【Logic】とかつけた方がいいかも 871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 22:34:36 ] >>865 「数学的直観主義」だね。 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E7%9B%B4%E8%A6%B3%E4%B8%BB%E7%BE%A9 ↓ぐぐって見つけた文章 www.ritsumei.ac.jp/se/~tjst/doc/announce/am96.html ＞トポス理論の構築を通して 構成的議論の本当の意味は、 ＞種々の数学的定式化に依存しない数学的真理を与えるという点にある、 ＞ということを明らかになったのである。 なんかすごい事言ってるような気がするけど、全然分からない… もうちょっと具体的にはどういう事なの？ 872 名前：856 mailto:sage [2006/03/02(木) 23:19:11 ] >>871 なんとなく「いろんな概念が人間の直感に合った形で素直に書けるんですよ」 みたいなことを言いたいんじゃないかなという感じがする。 具体的にどんなものを意識してるのか、それがトポスとどう関係するのかはよ くわからない。というか知らないといったほうが正しいか。 あとそれとは直接関係ないんだけど、 その文章読んでると直観主義・構成主義・排中律の否定の三つを 全部一緒にしてるような印象で気になった。 個人的にはどれも別物だと思ってるので。 873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/02(木) 23:46:25 ] 直観主義が赤のリンクになってるから 無くなっちゃったのかと思った 本来は転送されるべきですね >>871 あれだ、所謂辻下さんのページだ 874 名前：１３２人目の素数さん [2006/03/03(金) 04:42:39 ] 集合論の質問はここでいいのでしょうか？簡単すぎる質問で恐縮ですが、べき集合とは何か、と{φ}と{{φ}}の違いは何か、一応本で読んで知ってるのですが、感覚的に掴めず、ぴんときません。どなたか分かるまで根気よく説明して下さる方はいませんか？ 875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/03(金) 05:33:09 ] あれ、集合論スレ落ちちゃったんですね うーむ ＞感覚的に掴めず、ぴんときません。 冪集合は兎も角、{φ}と{{φ}}の違いなんて形式的なものであって 感覚的にそうピンとくるようなものでもないと思いますよ 冪集合に関しては、他の数学の分野を勉強するときに 必然的に使うことになるので、そのときに慣れていけばいいんじゃないでしょうか 集合論的には、ある濃度の集合から、さらに濃度の高い集合を作るための 一般的な規則、とか言うことになるんでしょうけどそういう説明するのも何か違う気がしますし 876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/03(金) 05:44:19 ] >>874 ものごとをすべて感覚的に掴めるという錯覚にある人の質問。 100までの数に関することでも、感覚的にわからないことはいくらでも ある。論理的に追えるかどうかが、感覚ができる決め手。 大体、{φ}と{{φ}} が異なる集合であることの証明ができないのでは ないかと推測するが、、、。 877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/03(金) 06:02:08 ] ＞大体、{φ}と{{φ}} が異なる集合であることの証明ができないのでは ＞ないかと推測するが、、、。 証明が出来ないってのは、感覚的に分かってない人には証明出来ない、ということ？ 878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/03(金) 10:17:24 ] 説明できるような感覚なんてちょっとしかないよたぶん。ある程度経験つまなきゃ感覚もつかめない ってところもあるよ。少ない経験や知識だけで感覚を持とうとしても、無理が出るだけだよ。 もちろん何か説明してくれる人がいる時は聞けばいいだろうけど、自分でも先へ進んでみないと。 879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/03(金) 14:41:20 ] 集合論なぜなにスレッド science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1064299337/ 昨日の圧縮の時点でレス数985だったからdat落ちさせられたみたい。 880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/03(金) 23:16:58 ] >>872-873 871だけど、う〜ん…あんまり本気にしない方がいいのかな。 本気にしたところで層意味論なんて俺には無理だけど。 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/03(金) 23:21:05 ] 980過ぎたら埋め立てるのがマナーですぜ 882 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/03(金) 23:28:55 ] ＞sheaf semantics ちょっとびびったｗ なんかカッコいいなｗ 883 名前：874 [2006/03/04(土) 07:52:05 ] >>875->>879 皆様、レスありがとうございます。 ＞{φ}と{{φ}}の違いなんて形式的なもの そうですか。ではこれはこのまま意味など追求せず、ざっくり覚えれば良いってことですね。 ＞冪集合に関しては、他の数学の分野を勉強するときに必然的に使うことになるので、そのときに慣れていけばいいんじゃないでしょうか 実は数学専攻ではないのです。冪集合って何故必要なんでしょう？ってところから分からないのです、、、。 ＞集合論なぜなにスレッド どなたか集合論に詳しい方が第二弾を立てて下されば良いのですが、、、。 884 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/04(土) 08:16:27 ] >>883 感覚的には φ：箱がない、　{φ}：空箱、　{{φ}}：箱の中に空箱 まあ、イメージは個人の好き好きだから、ご自由に 冪集合(公理)がないと、集合の部分集合を集めて新しく集合を作ることが 一般にはできなくなって、すごく困ります 885 名前：１３２人目の素数さん [2006/03/04(土) 08:26:14 ] ＞実は数学専攻ではないのです。冪集合って何故必要なんでしょう？ってところから分からないのです、、、。 冪集合を考えることが本質的に必要になるのと自覚するのは位相とか測度論とかを勉強するときだろう。 ある集合 Ｘ が与えられたとき、Ｘ の元に関する性質だけを議論しているときは冪集合という概念は自覚する必要が無いが、Ｘ の部分集合に関する性質を議論するようになると、冪集合という概念をどうしても意識する必要が出てくる。 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/04(土) 08:44:29 ] 「三角形の集合」と言ったら R^2 の冪集合の部分集合だし 平面図形を回転させてできる回転体は R^3 の冪集合の部分集合の和集合なわけだから、 冪集合ってのは普段から使われてる。 簡単すぎるから無自覚に使ってるだけで。 887 名前：886 mailto:sage [2006/03/04(土) 08:47:55 ] もちろん、無自覚に使うのと、意識して使うのとは全然違うから、 >>885 に反論してるわけではないです。 888 名前：874 [2006/03/04(土) 08:54:40 ] >>884 空集合での例ですね？非常に分かりやすい説明ですね。では空集合でないものは、 a：箱に入ってないa {a}：箱に入ったa {{a}}：箱に入った箱に入ったa っていう感じでいいのかな？ ＞集合の部分集合を集めて新しく集合を作ることが 一般にはできなくなって、すごく困ります 集合の部分集合を集めて新しく集合を作るのは何のためですか？ >>885 以前は、元は単数の要素で、元が複数に集まったものが部分集合なのだと思い込んでました。 でも部分集合のなかに要素がひとつしかなくても、{}の中に入ってればそれは元でなくて部分集合なんですよね。 ひとつきりの要素が元になれたり集合になれたりするのは何故ですか？操作する人が勝手にどちらかに決めているだけの話なのですか？ 889 名前：874 [2006/03/04(土) 09:00:57 ] >>886 ＞「三角形の集合」と言ったら R^2 の冪集合の部分集合だし ＞平面図形を回転させてできる回転体は R^3 の冪集合の部分集合の和集合 そうなのですか？何故そうなるのかもっと詳しく教えて下されば嬉しいです。 890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/04(土) 09:35:19 ] φ={ } だから φ：空箱、　{φ}={{ }}：箱の中に空箱、　{{φ}}={{{ }}}：箱の中の箱の中の空箱 とするべきだった >>889 三角形は R^2 の部分集合、R^2 の冪集合は R^2 の部分集合を全部集めた集合 だから、三角形の集合は R^2 の冪集合の部分集合 しばらく自分で考えてみてください 891 名前：874 [2006/03/04(土) 09:51:44 ] >>890 ＞φ={ } そうか！空集合だけが集合と言いながら{ }がついていないのはそのせいなのですね。 ＞しばらく自分で考えてみてください お陰で良く分かりました。Ｒってのが何なのか分からなかった(今も分かりませんが）ので、何のことかさっぱりでした。 892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/04(土) 19:08:37 ] Rは実数全体の集合のことですよ >>888 数学全体の中で考えたときに、集合論が何のためにあるのか、 というと代数なり解析なり他の分野の数学を展開するのに充分な基礎を与える、 という役割が一番大事だと思います で、冪集合を認めないと実数や複素数全体（と基数が同じ）集合の存在が 一般に言えず、したがって例えばRからRへの函数全体、などの概念が 実は矛盾概念かもしれない、と言った不安があるわけです 893 名前：874 [2006/03/04(土) 20:23:38 ] >>892 Ｒは実数全体の集合なのかなとも思ったのですが、何故三角形がそれの^2で回転体が^3なのか分からなかったので確信が持てませんでした。 しかし、三角形は平面だからＲのｘ軸*Ｒのｙ軸で^2、 回転体は立体だからＲのｘ軸*Ｒのｙ軸*Ｒのｚ軸で^3、 ということなのですね？ そうすると、平面体の全集合は^2の冪集合を構成し、立体の全集合は^3の冪集合を構成する、 ということなのですね？ 894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/04(土) 22:45:57 ] A^2というのは(a1,a2)といったAの要素の二つの組です A^3とかA^nとかも同様です（集合論の教科書に書いてありますが） だから大体そのとおりです ＞そうすると、平面体の全集合は^2の冪集合を構成し、立体の全集合は^3の冪集合を構成する、 ＞ということなのですね？ ここら辺がよくはっきりしないですが、多分「平面体の全集合」で平面R^2の部分集合の全体のことを 「立体の全集合」でR^3の部分集合の全体のことを指しておられるのかな、と 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/04(土) 22:48:37 ] つーか素朴集合論なんてのは拘泥しないで本を読み進んで 後から読み直す方が早いし理解も深いと思うんだ 896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/05(日) 00:15:45 ] >>895 俺もその意見にかなり賛成だが、まあべき集合は重要な概念だし、 一度じっくり考えてみることもそれなりに意味はあるんじゃないの。 説明に対する>>874の理解具合を見るに、べき集合は>>874にとって ほどよい課題だったと思う。ただ素朴集合論の一つ一つの細かいテクニックに こだわりすぎるのははっきり無駄だろうね。 897 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/05(日) 00:30:42 ] 正直なところなぜ必要なのでしょうかと言われても 数学やらない人には必要ない気もするけどねｗ 898 名前：874 [2006/03/05(日) 04:35:22 ] >>894 よく分かりました。どうもありがとうございました。 皆様のお陰で冪集合に関してはこれですっきりしたような気がします。 次の質問は、カントールの対角線論法なのですが、 あの論法の素晴らしさがどうも分かりません。 なんだかトリックのような狐に摘まれたような気分を味わってしまうのです。 なにかとんでもなく勘違いしているのか、単に理解不足なのか、、、？ 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/03/05(日) 09:23:00 ] 狐に抓まれた感じがして正常だと思いますよ 900 名前：１３２人目の素数さん [2006/03/05(日) 15:09:57 ] 　{ a_1 , a_2 , a_3 , … } という数列を与えると、その数列を“使って”、その数列に現れるどの値とも異なる値を構成してみせる、という論法が、いかにも「後だしジャンケン」だからでしょう。 　もし、あらかじめ用意していたストックの中からどの a_n とも違う値を「ほらよ」といって出して見せるならズルくない、というわけでしょうが、 これだって、「ほらよ」と見せる値というのは実際に数列を見せてもらってからでないと指定することができないのだから、結局はズルイ・ズルくない、というのは所詮先入観に過ぎないわけだ。 　とここまで書いて、反論を待つことにしよう。 901 名前：874 [2006/03/05(日) 19:55:26 ] >>899 正常だと言っていただけて嬉しいような、さてではどうしよう、といった不安のような。 >>900 後だしジャンケンというか、あれだと斜めであろうが一つ飛ばしだろうが、 いくらでも簡単に違う値を作れるわけじゃないですか。 でそれを出して見せてるだけなのに、"強力な論法"と絶賛されているのは いったい何故？、と思うのです。 902 名前：１３２人目の素数さん [2006/03/06(月) 16:53:51 ] なんだ結局単発質問スレか

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