★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問

1 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 01:07] 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で 解ける問題を考えてうぷするスレ。 これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。 関連スレへどうぞ 　過去ログ ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第一問) science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/l50 ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第二問) science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/l50 　関連スレ 面白い問題おしえて〜な 七問目 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/l50 恐ろしく難解な問題をだせ！ science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049652059/l50 853 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 19:28:44] >>836 答えおながいします 854 名前：挑発筋肉 ◆POWERPUfXE mailto:sage http://mathblog.exblog.jp/ [04/10/26 19:35:40] >>836の問題は1999日本数学オリンピック本選第4問 855 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 19:58:27] >>854 答えおながいします 856 名前：挑発筋肉 ◆POWERPUfXE mailto:sage http://mathblog.exblog.jp/ [04/10/26 20:01:09] >>855 タイピングするの大変・・・ググったらどこかにないかな？ 857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 20:05:56] >>855 もう少しは考えろよ 本に書いて無い別海を見つけてこそ 本望だろ 858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 20:10:02] >>857 結構考えた。もう疲れた。 >>856 すくなくとも数オリの公式ＨＰっぽいとこには2000以降しかなかった。 859 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 21:04:38] >>836>>855 略解 ｆ（ｘ）＝（x^2+1^2）(x^2+2^2)(x^2+3^2)・・・・・（x^2+n^2）+ 1 = g*h, 4n ＞ deg g ≧ deg h ＞ 0 とすると、 g - h に 2n 個の値 ±i ±2i, ... , ±niを代入すれば g - h = 0 ところが f の定数項は平方数で無い。 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 21:13:04] >>859 ＞g - h に 2n 個の値 ±i ±2i, ... , ±niを代入すれば g - h = 0 　 なるほど 　 ＞ところが f の定数項は平方数で無い。 　 gとhの定数項が等しくなるのはなぜ？ 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 21:18:51] わかった。なるほど。g,hの次数が2n以下だからか。なるほど。すばらしい。 862 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 21:21:36] まだわかって無いような文章の書き方だな。 863 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 21:25:52] f(ki)=i g(ki)=-i になることはないのかな？ 864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 21:39:33] >>863 ほんとだ。その可能性あるじゃん。どうやって否定するんだろ？ 否定してください。＞>>859 865 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 21:45:20] >>863 f = g*h で、f は偶関数だから g が奇関数とすると h も奇関数となって、 f の定数項が無くなる。よって g, h は偶数次の項を持つ。 g(ki) が虚数とすると、 |g(ki)| ＞ 1 となる。 h についても同様。 よって、f = g*h に矛盾。 866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 21:50:53] >>865 すばらしい。完全に解決。 g(ai)h(ai)=1からg(ai)、h(ai)ともにZ[i]の単元かつ互いに逆元、 さらに共に(偶数次の項しかないので)実数なので (g(ai),h(ai))=(1,1) or (-1,-1)しかゆるされないんだね。 867 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 21:58:10] だから >>859 で略解と断った上に >>862 でも警告したのに。 まだ分かっていないようだな。偶数次の項も奇数次の項もありうる。 868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 22:01:55] >>867 ああ、そうか。奇関数じゃないっていってるだけで偶関数っていってるわけじゃないのか。 でももういいや。後は自分でできそうだから。 869 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 22:06:03] >>851 申し訳ない。三角形ＡＢＣ→三角形ＯＡＢ　 Ｏを原点とするxy平面に　Ａ（0,3^(n+1)） B(3^(n+1),3^n) （ｎは正の整数）がある。ただし、 ｘ座標　ｙ座標がともに整数である点を格子点という。 （１）　辺ＡＢ上の端点以外の格子点をＰとする。任意のＰに対して、線分ＯＰ上の端点以外 の格子点の個数ｋは　ｋ＝3^m-1 (ｍは非負整数)　とあらわされることを示せ。 （２）三角形ＯＡＢの内部の格子点Ｑのうち、次の条件をみたすものの個数を求めよ。 （条件）　直線ＯＱとＡＢの交点は格子点である。 870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 22:33:34] >>869 とりあえずv(n)をv(n)=max{e | 3^e|n}で定義するとき AB上の格子点をP(3p,3^(n+1)-2p)、p=3^e･q (3,q)=1とするとき (3p、3^(n+1)-2p)=(3^(e+1)･q、3^e(3^(n+1-e)-2q))=3^eであるから 線分OP上の両端を除く格子点でOに一番ちかい格子点は (3q、3^(n+1-e)-2q)でありよって両端以外の格子点は (3qr、(3^(n+1-e)-2q)r) (1≦r≦3^e-1) よってその数は3^e-1=3^v(p)-1個になった。 で結局その総和は �納p=1,3^n-1](3^v(p)-1)=�納p=1,3^n-1]3^v(p)-3^n+1 で �納p=1,3^n-1]3^v(p) =3の倍数の数×3 +(9の倍数の数-3の倍数の数)×9 +(27の倍数の数-27の倍数の数)×27 ･･･ +(3^(n-1)の倍数の数-3^(n-2)の倍数の数)×3^(n-1) を計算すればいいと思うんだけど。あってる？ 871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 22:45:09] 馬鹿ばっか 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 23:51:49] >>869 難しすぎ。こんなの東大入試でねーよ 873 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 23:53:27] 後期は結構な難問出るぜ 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 00:08:49] とっくに東大入試のレベルなんか無視されてるとおもうが。 875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 00:33:02] んじゃ、俺が少し簡単目の問題を出してやる。 各項が1,2,3によって構成される数列がある。この数列に対し次の二つの操作を行う。 操作1 　数列の項のうち、全ての1と2を置き換える。すなわち、数列が１，３，２，１，２であれば 　２，３，１，２，１と置き換えられる。 操作２ 　数列の項のうち、全ての2と3を置き換える。すなわち、数列が１，２，１，３，２，１であれば 　１，３，１，２，３，１と置き換えられる。 この二つの操作を用いて、数列{a(1),a(2),…,a(n)}を次のように変換していくことを考える。 数列aに操作1を施して得られる数列をb、操作2を施して得られる数列をcとし、新たな数列を b(1),b(2),…,b(n),a(1),a(2),…,a(n),c(1),c(2),…,c(n) とする。最初に数列を{1,2,3}からスタートさせ 1,2,3 2,1,3,1,2,3,1,3,2 1,2,3,2,1,3,2,3,1,2,1,3,1,2,3,1,3,2,3,1,2,1,3,2,1,2,3 と上の規則に従ってのばしていく。 k回規則を適用した結果の数列をd_k(n)とおく。 　　以下、問題文は続く 876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 00:35:43] 数列d_k(n)は任意の自然数kに対し、次の条件を満たすことを示せ。 1) どのような自然数m,nに対しても、d_k(m+i)=d_k(m+n+i) 0≦i＜n が成立しない。 　すなわち、途中で数列の繰り返しが生じない。 　1,2,3,2,3 ( 2,3の繰り返し )などのようなものが生じない。 2) 上のように、数列が途中で繰り返しを持たないように、各項が1,2,3のみで構成される 　無限列を作成せよ。 877 名前：１３２人目の素数さん [04/10/27 00:39:49] xの方程式x^2+(e^x+(e^(-x))-a)^2=bの実数解の個数が任意の実数aに対して 2個以下であるような実数bの条件を求めよ。ただしeは自然対数の底である。 878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 00:59:33] f(x)=x^2-b,g(x)={(e^x+1/e^x)-a}^2=(coshx-a)^2 879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:04:49] ふむ、それで？ 880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:15:44] >>877 b≦0になるような気がする。あってるかどうかだけでもキボン。 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:19:32] f´(x)=2x,g´(x)=2(coshx-a)sinhx 882 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:21:47] 返事ないな〜。オイラの解法があってればb≦0みたいなんだけど。 しかしがんばって書いて穴あったらハズかしいし。 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:25:48] >>880 違うよf(x)=x^2-b, g(x)=-(2coshx-a)^2 の間違いじゃない？ 884 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:28:03] >>883 オレ=>>880=>>882だけど>>878や>>881じゃないよ。b≦0じゃないの？ 885 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:36:55] 違うよ。b≦0で成立するのは明らかだけどbが割と小さな正の値でも成り立つよ 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:37:46] f(x)=x^2-b,g(x)=-{(e^x+1/e^x)-a}^2=-(coshx-a)^2 とおいて、グラフを調べる。 共に隅関数なので正だけで可。 大切なのは相対的位置だけでbとa^2の大小関係、 b^0.5とcoshx=aなるxとの大小にも注意が必要。 範囲を場合分けすれば共に凸や凹関数なのでイメージはつかみ易い。 くれぐれも交点は念入りに注意深く調べる必要がありそう。 887 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:44:00] 相対的位置だけではありませんでした。 g(x)の形状はaに依存するので絶対的位置も要考慮。 888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:46:35] ちがうのか･･･どこまちがってんだろ？答えだけでも教えて。ほんとにその範囲で 解一個しかないか計算機でたしかめてみたい。 889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:50:38] b≦1/4で試して 890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:52:44] 間違いが見つからん･･･どこおかしいんだろ？オイラこうやったんだけど↓まちがってる？ 　 x^2+(e^x+(e^(-x))-a)^2=bの実数解の個数が任意の実数aに対して2個以下 ⇔t+(cosh(√t)-a)^2=b (t≧0)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下 が多少の議論のもとでわかる。つぎにu=cosh(√t) (t≧0)の逆関数をt=g(u) (u≧1)とすると t+(cosh(√t)-a)^2=b (t≧0)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下 ⇔g(u)+(u-a)^2=b (u≧1)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下 ⇔g(u)=-(u-a)^2+b (u≧1)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下 だけどb>0ならg(u)のグラフと上に凸な放物線-(u-a)^2+bはaをうまくとると2点でぶつかる。 　 こうやったんだけど･･･おかしいのかな？ 891 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:55:23] 訂正 　 x^2+(e^x+(e^(-x))-a)^2=bの実数解の個数が任意の実数aに対して2個以下 ⇔t+(2cosh(√t)-a)^2=b (t≧0)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下 が多少の議論のもとでわかる。つぎにu=2cosh(√t) (t≧0)の逆関数をt=g(u) (u≧1)とすると t+(2cosh(√t)-a)^2=b (t≧0)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下 ⇔g(u)+(u-a)^2=b (u≧1)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下 ⇔g(u)=-(u-a)^2+b (u≧1)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下 だけどb>0ならg(u)のグラフと上に凸な放物線-(u-a)^2+bはaをうまくとると2点でぶつかる。 892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:57:09] >>889 b≦1/4だとぶつからないの？今日はねむいから明日計算してみよ。おやすみなさいませでごじゃる。 893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 03:41:23] >>889 わかった。最後の ＞だけどb>0ならg(u)のグラフと上に凸な放物線-(u-a)^2+bはaをうまくとると2点でぶつかる。 ここがまちがってるや。b≦1/4なら確かに一回しかぶつかんないや。 894 名前：１３２人目の素数さん [04/10/27 12:56:05] f(t)をtについての連続な関数とし、 0≦t≦1の範囲の最小値を0、最大値を1とする。 二点 ( -t,t^2 ) ( f(t) , ( f(t) )^2 ) によって作られる線分が0≦t≦1の範囲で通過する領域の面積の範囲を求めよ。 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 16:01:29] 1/6＜S≦4/3かな 896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 16:53:58] 思いっきり間違えた。ちと簡単すぎたよ f(t)をtについての連続な関数とする。 二点 ( -t,t^2 ) ( f(t) + 1 , ( f(t) )^2 ) によって作られる線分が0≦t≦1の範囲で通過する領域の面積の範囲を求めよ。 897 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 17:00:00] （１／３，４／３］。 898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 18:50:45] [13/24,∞) 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 20:55:31] >>898 んな、単純になるか？ 900 名前：挑発筋肉 ◆POWERPUfXE mailto:sage http://mathblog.exblog.jp/ [04/10/27 21:31:20] 俺からも1問　単発問題だけど、 eは自然対数の底として， 　(ax/(2x+1))*e＜(1+(1/x))^x (0＜x) が成り立つような定数ａの最大値を求めよ． 901 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 21:35:24] >>899 f(t)≡-1/2で最小じゃない？　最大値はいくらでも大きくできるし 902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 21:39:37] a*eを1つの文字にしてないのはヒントなのかなあ 903 名前：１３２人目の素数さん [04/10/27 21:46:29] >>901 いや、証明を聞いているのだが 普通に考えれば、 x-y座標に置いて A( 0,0 ) B(-1,1) C( a+1, a^2 ) D(b+1,b^2) と置いて、線分ACとBDが 1) 交点を持たない、または、D(C)のみを共有する場合 2) D以外の交点を持つ場合 の二つに分け、１）の場合、放物線y=(x-1)^2上、C,Dの間に１点をとりそれをEと置けば、 線分AE、BE、放物線AB( これで言いたいことは分かるよね？ )で囲まれる部分の面積 は線分AC,BD、放物線AB,CDで囲まれる部分の面積より小さい。 従って、S≧m またはS＞mを満たす最良のmを検討するためには、1)の場合関数ｆが定数関数のみの 場合を検討すればよい。 この場合、この部分の面積は 線分AE、BE、ABによって囲まれる三角形の面積、と線分AB、放物線ABで囲まれる 面積の二つの和になる。　後者の面積は一定なので、△ABEの面積を最小にする場合を検討すればよい。 このような、場合はABに平行な直線が放物線y=(x-1)^2に接するところを求めればよく、その場合の面積は…… 2)の場合、線分AC,BDの交点をEとおく。 明らかに求める部分の面積は、 (放物線AB、線分AE,BEで囲まれる部分の面積) ＋ (放物線CD、線分CE,DEで囲まれる部分の面積) 以下であるため、このような部分の面積に注目すればよい。 また、線分ACが放物線y=(x-1)^2と交点を持てば、それを新たにCと置き直して、面積を小さくすることができるため ACとこの放物線は交点を持たないと考えて良い。　同様にBDとこの放物線も交点を持たない。 このような場合……で計算がめんどくさくて、やってないのだが、どーなのよ？ そんな単純になるんかね？ 904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 22:24:02] >>903 あー、確かに。 はみ出し削りで考えると四角形ABCDが平行四辺形のとき最小になりそうだが、このときは線分ACが 放物線y=(x-1)^2と2点で交わり無駄があるので、ACがy=(x-1)^2の接線かつBE=EDで最小になると思う。 905 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 22:25:24] 接点は頂点寄りで 906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 23:04:58] スマソ。はみ出し削りならAE/AC=BD/BE=1/√2か 907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 23:08:06] 訂正AE/AC=BE/BD=1/√2 書き間違いorz 908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 00:33:11] >>875-876 できた。しかし･･･すげーながい。も少しがんばって短くなるようなら解答うｐしてみる。 結局ポイントは条件をみたすm,nがあるとすればmもnも3の倍数であるものが 存在するってことしめすとこみたいだけど。 909 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 19:25:18] >>875-876 がんばったけどこれより簡単にならん。 まず記号の整理。 w0,w1,w2,･･･ を有限列の列でw0=2,w1=123,w3=213123132,･･･とする。 定義はw0=2、w(i+1)=(12)wi+wi+(23)wi。ただし+は列の連結、 (12)wiはwiの1と2を入れ替えた列、(23)wiはwiの2と3を入れ替えた列。 以下w[k]でwの第k項をあらわすとする。ただし添え字は0からかぞえる。 また|w|はwの長さを表すとする。 たとえばw1=123に対しw1[0]=1、w1[1]=2、w1[2]=3、|w1|=3。 でまずは簡単な補題から。 (補題) w=wp、l=|wp|、w'=w(p-1)とおく。 (1)mが3の倍数のとき{w[m],w[m+1],w[m+2]}={1,2,3} 　とくにm<nが共に3の倍数のとき第m項から第n-1項までの総和は2(n-m)。 (2)w[3i+1]=w[i+l/3]=w'[i] (3)wの先頭2文字と最後の2文字は(1,2,2,3)か(2,1,3,2)。(この繰り返し。) (証明) 簡単な帰納法で定義から容易にでる。以下略。 (命題) 各w=wpと非負整数mと正の整数n>0にたいしてwの第m項から第m+n-1項からなる 部分列uと第m+n項から第m+2n-1項からなる部分列vが共に定義可能であるとき それらはひとしくない。 (続く) 910 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 19:26:18] (続き) (証明) l=|w|とおく。 p=0,1ならあきらか。p=1〜P-1までは成立するとしてp=P≧2と仮定する。 n=1のとき。m=l/3-1かm=2l/3-1でなければu+vは (12)w(p-1)かw(p-1)か(23)w(p-1)のいづれかの部分列なので帰納法の仮定よりありえない。 ゆえにm=l/3-1かm=2l/3-1であるが w(p-1)の先頭,末尾が(2,2)のときは第l/3-1項、第l/3項は(1,2)、第2l/3-1項、第2l/3項は(2,3)、 w(p-1)の先頭,末尾が(1,3)のときは第l/3-1項、第l/3項は(3,1)、第2l/3-1項、第2l/3項は(3,1)、 なのでありえない。 n=2のとき。l/3-3≦m≦l/3-1か2l/3-3≦m≦2l/3-1でなければu+vは (12)w(p-1)かw(p-1)か(23)w(p-1)のいづれかの部分列なので帰納法の仮定よりありえない。 またm≡1(mod3)でなければu+vの要素には補題1より{1,2,3}のすべてをふくむので ababの形になりえない。よってm=l/3-2、2l/3-2のいづれかしかありえない。 しかしそれも補題(3)よりn=1の場合同様ありえない。 （続く） 911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 19:27:22] (続き) 一般のとき。まずn≡0 (mod3)をしめす。 (I)m+n≡1(mod3)のとき。まずn≡1(mod3)と仮定する。このときm≡0(mod3)。 w[m+n-1]=u[n-1]=a、w[m+n]=v[0]=b、w[m+n+1]=v[1]=c、w[m+2n-2]=v[n-2]=dとおく。 このときw[m+2n-1]=v[n-1]=a。補題(1)より wの第m項から第m+n-2項の和=wの第m+n+2項から第m+2n-3項の和+6 よってa+6=a+b+c+d。一方{a,b,c}={1,2,3}よりa+b+c=6。∴a=d。 ∴w[m+2n-2]=w[m+2n-1]であるがこれはn=1の場合の結論に反する。 次にn≡2(mod3)と仮定する。このときm≡2(mod3)。 w[m]=u[0]=a、w[m+n-1]=u[n-1]=b、w[m+n+1]=v[1]=cとおく。 このときw[m+n]=v[0]=a。補題(1)より wの第m+1項から第m+n-2項の和=第m+n+2項から第m+2n-1項の和 よってa+b=a+c。∴b=c。これは{a,b,c}={1,2,3}に反する。 (II)m+n≡2(mod3)のとき。この場合は(I)と同様。 (III)m+n≡0(mod3)のとき。まずn≡1(mod3)と仮定する。このときm≡2(mod3)。 w[m]=u[0]=a、w[m+2n-1]=v[n-1]=bとおくと(I)同様にしてa=b。 するとw[m+n-1]=u[n-1]=a、w[m+n]=v[0]=aとなるがこれはn=1の場合の結論に反する。 次にn≡1(mod3)と仮定する。このときm≡1(mod3)。 w[m]=u[0]=a、w[m+1]=u[1]=b、w[m+2n-2]=v[n-2]=c、w[m+2n-1]=v[n-2]=d、 とおくと(I)同様にしてa+b=c+d。よって(a,b)=(c,d) or (d,c)。すると w[m+n-2]=u[n-2]=c、w[m+n-1]=u[n-1]=d、w[m+n]=v[0]=a、w[m+n+1]=v[1]=b、 となるが(a,b)=(c,d)でも(d,c)でもn=1の場合かn=2の結論に反する。 (I)〜(III)よりn≡0(mod3)がいえた。 すると m≡0(mod3)のときはw'[m/3+i]=w[m+3i+1]=w[m+3i+n+1]=w'[m/3+i+n/3] (0≦i＜n/3)、 m≡1(mod3)のときはw'[(m-1)/3+i]=w[m+3i]=w[m+3i+n]=w'[(m-1)/3+i] (0≦i＜n/3)、 m≡2(mod3)のときはw'[(m+1)/3+i]=w[m+3i+2]=w[m+3i+n+1]=w'[(m+1)/3+i+n/3] (0≦i＜n/3)、 となりいづれにせよ帰納法の仮定に反する。 912 名前：１３２人目の素数さん [04/10/28 19:29:15] いづれ 913 名前：１３２人目の素数さん [04/10/28 19:42:12] >>911 乙。　だが、この問題の一番の売りは（２）にあるつもりなんだが、 （２）はできた？ 914 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 19:55:51] >>913 (2)は(1)でつくった列を真ん中からきったものでいいんじゃないの？ 2 123 213123132 123213231213123132312132123 ･･･ だから真ん中以降は 2 23 23132 23132312132123 となっていく。つまり前の列の拡張になっていく。このなかにはもちろん繰り返しがない。 915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 20:40:01] 単にくりかしのない数列って事なら、 １０進法で言うと自然数をただ並べただけの数列 1234567891011121314151617181920,,,,,にはくりかえしはない。 (これで無理数が作れる。) 3進法にすれば同様な数列が構成されるだろう。 この数列において置換してもやっぱりくりかえしはないはずだ。 916 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 20:55:08] >>914 正解 出題者のねらいとしては 2 123 213123132 123213231213123132312132123 ･･･ これを持ち出して、無限列っていうアフォを引っかけるつもりだったんだが、 甘すぎたな。 917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 21:51:41] >>914 それじゃどんな有限列wをとってきてもwwがでてきてしまう。 918 名前：917 mailto:sage [04/10/28 21:55:00] まちがった。>>915だ。その構成だとどんな0,1,2からなる有限列wをとってきてもwがその列の なかにでてくる。くりかえしのある列012012とか11111111だってもちろんでてくる。 919 名前：１３２人目の素数さん [04/10/28 21:58:54] >>915 ＞1234567891011121314151617181920,,,,,にはくりかえしはない。 　　　　　　　　　　↑　ココらへｎ いや、あるように見えるが…… 920 名前：915 mailto:sage [04/10/28 23:22:05] 有るな。わりこみsory。続けてください。 921 名前：１３２人目の素数さん [04/10/29 00:46:15] >>894 解答マダ−−−−−？ 922 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/29 14:38:16] 回答のないものの方が多い。 気長に待ちなさい。 923 名前：１３２人目の素数さん [04/10/29 20:53:51] 非負整数 n に対して、次式の値を求めよ。 Σ[k=0 to ∞] Σ[j=0 to k] C[2k,k] C[2k+1,k+1+j] (-1)^j (2j+1)^(2n+1) / {(2k+1) 16^k} 924 名前：１３２人目の素数さん [04/10/29 23:31:32] xyz空間内に底面がxy平面上の円x^2+y^2=a^2,(a＞0)頂点が(0,0,2b),(b＞0)の直円錐がある。 円錐内部は光を通さないものとして以下の問いに答えよ。 (1)点A(a,0,b)に点光源を置き円錐を照らしたとき、円錐の側面のうち光のあたる部分の面積を求めよ。 (2)光のあたる円錐の側面(底面は除く)の面積が(1)で求めた値と等しくなるような点光源の位置(x,y,z)全体の集合Zを求めよ。 (3)a,bが互いに素な自然数のとき、Zの要素のうち原点に最も近い格子点の1つが点Aであるようなa,bの条件を求めよ。 925 名前：１３２人目の素数さん [04/11/02 00:01:08] サイコロを振ってk回目に出てきた目をa(k)とする。どの目が出てくる確率も1/6である。 このとき Σ[k=1,∞] (a(k)-1)/6^k　　の期待値と Σ[k=1,∞] (a(k))/7^k　 　　の期待値を求めよ。 926 名前：１３２人目の素数さん [04/11/02 00:03:06] 　　　　　　　　　　　　／⌒ヽ,　　,／⌒丶､　　　　　　　,- 　　　　　　　`,ヾ　　 ／　 　　,;;iiiiiiiiiii;､　　　＼　　　_ノｿ´ 　　　　　　　　iｶ ／　　 　,;;´ 　;lllllllllllllii､　　　 ＼　ｉｶ 　　　　　　　　iｻ'　 　 　,;´　 ,;;llllllllllllllllllllii､　　　　ｆｻ 　　　　　　　　 !ｶ､._　 ,=ゞiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii!!　＿_ｆｶﾍ. 　　　　　　　/ 　`ヾｻ;三ミミミミﾐご彡彡彡ミヾｻ`´　'i､ 　　　　　　 i' 　　,.＿Ξミミミミミミき彡/////ii＿　　　| 　　　　　　 |　　;ｶ≡|ヾヾヾミミミミミぶ､//巛iﾘ≡ｶi　　| 　　　 　 　 |　　iｻ　 |l lヾヾｼヾミミﾐﾐり|iｉ//三iﾘ　`ｻi　 | 　　　　 　 |　　,ｶ ,ｶll|l l lヾリﾘﾘﾘﾘ川川|爪ミミiﾘllｶ､ｶi　 | 　 　 　 　 |　　;iｻ,ｻ |l l l リﾘ川川川川|爪ミﾐiiﾘ ｻi ｻi　 | 　 　 　 　 | 　 iｶ ;ｶ, |l l ﾘﾘﾘﾘ川川川川l爪ﾐﾐilﾘ ,ｶi ｶi　　| 　　　　 　 | 　iｻ ;ｻ, |ﾘ ﾘﾘ川川川川川l爪ミﾐiﾘ ,ｻi ｻi　　| 　　　　 　 |　 iｻ ;iｶ, | ﾘ彡彡川川川川|爪ﾐﾐｉﾘ　,ｶi :ｻ、　| 　　 　　　　,i厂　ｉｻ, |彡彡彡彡ﾉ|川川|爪ﾐミﾘ　,ｻi　`ヘ､ 　　　　　 ,√　　,:ｶ,　|彡彡彡彡ﾉ川川|ゞﾐﾐﾐﾘ 　,ｶi　　 `ヾ 　　　　　´　　 　;ｻ, 　|彡彡彡彡川川ﾘゞﾐミﾘ　　,ｻi 　　　　　　　　　;ｶ,　　|彡彡彡彡リﾘﾘミミミｼ　 　,ｶi 　　　　　　　 　,;ｻ,　 　|彡彡ノリリﾘﾘミミミｼ　　　 ,ｻi 　　　　　　　 ;ﾒ'´　　　　i彡ノリﾘﾘﾘリゞﾐミｼ　　　　　`ﾍ､ 　　　　　　　;ﾒ　　　　　　ヾリリﾘﾘノ巛ゞシ　　　　　　 `ﾍ､ 　　　　　　;ﾒ　　　　　　　　｀`十≡=十´　　　　　　　　　`ﾍ､ 　　　　　　　　　　　　　　　　 ┃ 　 ┃ 　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜　　｜ 　　　　　　　　　　　　　　　 ／　　　　 ＼ 　　　　　　 　　　　　　　／　　　　　　 　 ＼ 　　　　　　　　　　 　 ／ 　　　　　　　　 　　＼ 927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:18:42] >>925 1/2, 7/12 928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:23:03] >>925 k回目に出てきた目をa(k)としているだけで、それはただの記号じゃん。 「k回目に出る目の期待値をa(k)」とするとかならわかるけど。 929 名前：１３２人目の素数さん [04/11/02 00:24:53] >>928 いや、期待値じゃなくて値っていうなら、お前の突っ込みも分かるけど Σ[k=1,∞] ×× 全体で確率変数なんだろ。んで、その期待値を求めろっていうんだろ？ 普通に積分すればいいじゃん。 930 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:28:56] あれだべさ、 >>926の前半の概略はこうなるべ αを0＜α＜1の6進数、小数点以下第n位までの有理数とする。 α = Σ[k=1,n] ( a(k)-1 )/6^k となる確率は1/6^n　従って、α≦β＜α＋1/6^nなる実数βの集合を考えると Σ[k=1,∞] (a(k)-1)/6^k がこの集合に含まれる確率は1/6^n　とかってやるんじゃないの？ 931 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:32:36] >>929 あああ、言いたいことわかる！！わかるけどパッっとしないなあ。 何が引っかかってんだろ・・・優しく語ってくれないか？ 確率めっちゃ苦手だ 932 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:33:52] >>931 連続確率の問題だからなぁ、間違いなく高校レベル超えてるだろこれｗ 933 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:35:43] >>931 とりあえず、ルベーグ積分を覚えてみ。 そうすれば、理解できるようになると思われ 934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:36:59] >>932 >>933 サンクス、最初っから高校レベルじゃないんだな。安心したよ 935 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:39:13] >>934　つーても、それほど逸脱しすぎてるわけでもないと思うから出題してみたのだが 普通に Σ[k=1,∞] (a(k)-1)/6^k を有限で止めて、>>930みたいにやっていくわけだが、 高校生でもできるんでないかい？ 936 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:39:26] >>931 たぶんA={1,2,3,4,5,6}をμ({1})=μ({2})=μ({3})=μ({4})=μ({5})=μ({6})=1/6 なる測度で(A,μ)を測度空間とみなしてそのコピーを可算個容易して (An,μn)としたときX=(ΠAn,Πμn)を積測度としてそれが確率測度になるからその 測度空間上で関数a(n)=(第n成分を取り出す関数)をとるとき 関数Σ[k=1,∞] (a(k)-1)/6^kが可測関数であることを示して その期待値をもとめろってんじゃないのかな？なんとなくa(k)/6^kが可測で Σ[k=1,K] (a(k)-1)/6^kが一様に可積分だからなんとなく当たり前のような気もするけど。 937 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:41:04] >>935 測度空間が無限集合になるのは受験数学の範囲を逸脱してると思う。 938 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:43:10] >>930>>936 なるほどね・・・受験数学ヲタだから、あまり大学数学は知らないんだよな。 ルベーグ積分はかじった程度。>>936の説明ならわかった希ガス 939 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:43:26] E[a(k)]=7/2なんだから、 E[Σ[k=1,∞] ( a(k)-1 )/6^k]=Σ[k=1,∞]E[( a(k)-1 )/6^k]=Σ[k=1,∞](5/2)/6^k 答えを出すのは簡単。 Σ[k=1,∞] ( a(k)-1 )/6^kが実際に確率変数になる（可測性）とか、limとΣの交換可能性とか細かいことを言わないなら高校生でも解けるだろ。 940 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:46:31] いや、工房でもlimとΣの入れ替えぐらいはうるさく言うだろ 941 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:52:57] >>939 高校生に解答はかけないだろう。 予想はできても。 ま、マーク式問題なら勘のいいヤツなら正解できるな 942 名前：１３２人目の素数さん [04/11/02 08:15:06] e をネイピアの数とする． S_ｎ＝Σ(ｋ=1→ｎ)(1/ｋ!) とすると，任煮の自然数 ｎ に対して S_ｎ ＜ e ＜ S_ｎ + e/(ｎ+1)! が成り立つ事を示せ． ただし高校の範囲までで，マクローリン展開等は使えません． 943 名前：942 [04/11/02 08:16:15] × S_ｎ＝Σ(ｋ=1→ｎ)(1/ｋ!) ○ S_ｎ＝Σ(ｋ=0→ｎ)(1/ｋ!) 944 名前：942 [04/11/02 08:18:15] × S_ｎ ＜ e ＜ S_ｎ + e/(ｎ+1)! ○ S_(ｎ+1) ＜ e ＜ S_ｎ + e/(ｎ+1)! 945 名前：１３２人目の素数さん [04/11/02 14:12:58] (1) 女体の特異点を求めよ。 (2) 女体を亀甲縛りにしたときの縄の長さの最小値を求めよ。 946 名前：king233 [04/11/02 15:50:08] 得意な問題だけど結構難しい 947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 18:45:51] 特異点 948 名前：924 [04/11/02 22:09:31] 誰も解いてくれないのでヒント (1)平面z=b上での光の当たる境界となる点は？ さらにその点と点Aと円錐の頂点を含む平面はどうなる？ (2)交線に着目。 (3)最小候補となる距離は2種類 949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 22:17:14] >>948 誰も解いていない問題はいっぱいある。気長に待て 950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 22:21:10] ここは問題を吊るすｵﾅﾇｰｽﾚだから、回答は期待しない方が良い。 951 名前：ChaosicSoul ◆/yaJbvarMY [04/11/02 23:17:24] Re:>945 (1) 胸の先と、後は知らん。 (2) 甲羅の数をいくつ作るかによってだいぶ変わってくる。 952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 23:20:15] 待て、然して希望せよ！ 953 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 08:30:43] 正八面体を1つの平面で切断するとき、 切断面に7角形が生じることはないことを示せ。

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