★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問

1 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 01:07] 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で 解ける問題を考えてうぷするスレ。 これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。 関連スレへどうぞ 　過去ログ ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第一問) science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/l50 ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第二問) science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/l50 　関連スレ 面白い問題おしえて〜な 七問目 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/l50 恐ろしく難解な問題をだせ！ science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049652059/l50 520 名前：１３２人目の素数さん [04/09/12 22:27:52] >>518 ヒントおながいしまつ 521 名前：１３２人目の素数さん [04/09/12 22:37:36] こう言う問題は不可能だと相場が決まっている。 鳩の巣原理に一票。 522 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/09/12 22:56:50] Re:>521 私も最初はそう思ったけどね。 523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 23:00:30] Kingはストーカー原理主義者。 524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 23:20:33] >>518 円に内接する四角形ダメで対角線が垂直に交わる四角形もダメ。 どーも無理っぽい 525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 23:57:06] >>515 とりあえず試験にもかけそうな解答ではこんな感じでどうだろう。 Vnを最初にn回連続表がでた時点をあたえる確率変数、 Xnを最初にn回連続表がでた直後の試行が裏であった場合という事象 としてE(Vn)=anとおくとき a(n+1) =E(V(n+1)) =(1/2)E(Xn|V(n+1))+(1/2)E(notXn|V(n+1)) =(1/2)E(Xn|V(n+1))+(1/2)(E(notXn|V(n))+1) =(1/2)(E(Vn)+1+E(V(n+1)))+(1/2)(E(V(n))+1) =(1/2)(an+1+a(n+1))+(1/2)(an+1) ∴a(n+1)=2an+2。 E(Vn)がちゃんと収束することも上の議論をすこし丁寧にやればでるね。 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/13 00:23:52] ttp://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1094542985/579 　　　　　■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■ 　　　　■■■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■■ 　　　　　■■■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■■ 　　　　　　　■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■■ 　　　　　　　　■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■■ 　　　　　　　　　　■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■■ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■ 　　　　　　　■　　　　　　　　　■　　　　　　　　　　　　　　　■■ 　　　　　　■■　　　　　　　　　■■■■■■■■■　　■■ 　　　　　■■■　　　　　　　　　■■■■■■■■　　■■ 　　　　■■■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■ 　　　　　　■■■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■ 　　　　　　　■■■■　　　　　　　　　　　　　　　　　■■　　　　　 ■ 　　　　　　　　　■■■　　　　■　　　　　　　　　　■■　　　　　■■ 　■■　　　　　　　■■■　　　■■　　　　　　　■■　　　　■■■ ■■　　　　　　　　 ■■■■　　■■　　　　　　■■■　 ■■■■■■　　　　　　■ ■■　　　　　　　　　　■■■　　　　■　　　　　■■■■■■■　 ■■　　　　　　■ ■■　　　　　　　　　■■■■　　　■■　　　　■■■■■■　　　■■■　　　■■ ■■　　　　　　　　■■■■　　　　■■　　　　■■■■■　　　　　■■■■■■ 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Σ_[n=1,∞]{np_n} が存在することがわかる。 2) A_{n+4} に属する列の最後の 4 回は 裏表表表 になっている。 この列の最後の 4 回を 裏裏表表表 または 表裏表表表 で置き換えた列を考える。 裏裏表表表 に置き換えたものは、すべて A_{n+5} の元である。 表裏表表表 で置き換えたものは、A_{n+5} の元であるかまたは A_{n+1} に属する列に 裏表表表 を付け足した列になる。 逆に、A_{n+4} の元は、A_{n+5} に属する列から n+1 番目を取り除いた列か、 A_{n+1} に属する列の最後の 表 を 裏表表表 で置き換えた列になっている。 したがって、2 |A_{n+4}| = |A_{n+5}| + |A_{n+1}| が成立する。 両辺を 2^{n+5} で割ることで、p_{n+5}=p_{n+4}-p_{n+1}/16 (n≧0) が得られる。 3) p_{n+5}=p_{n+4}-p_{n+1}/16 (n≧0) を辺々加えることで、 Σ_[n=1,∞]p_n = p_4 + Σ_[n=1,∞]p_n - 1/16Σ_[n=1,∞]p_n p_4=1/16 より Σ_[n=1,∞]p_n=1 となる。 4) また、n+5 倍してから辺々加えることで、 Σ_[n=1,∞]{np_n} = -p_3 + 4p_4 + Σ_[n=1,∞]{(n+1)p_n} - 1/16Σ_[n=1,∞]{(n+4)p_n} Σ_[n=1,∞]p_n=1, p_3=1/8, p_4=1/16 より Σ_[n=1,∞]{np_n}=14 となる。 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/15 00:22:52] www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/234_sankaku.htm ＞また，４辺の長さがａ，ｂ，ｃで与えられた三角形，６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで与えられた四面体の場合は ・・・ の結果を利用するとすぐに>>518の答えが分かるけど高校レベルの解答は分からん。 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/15 00:35:20] >>532 どうつかうの？べつにa,b,c,d,e,fが全部奇数で左辺が0でも矛盾しないような。 534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/15 00:39:44] わかった。これつかうのか↓。なるほど。 　 　　（１２Δ）^2＝ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2） 　　　　　　　　　＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2） 　　　　　　　　　＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2） 　　　　　　　−ａ^2ｂ^2ｃ^2−ａ^2ｅ^2ｆ^2−ｄ^2ｂ^2ｆ^2−ｄ^2ｅ^2ｃ^2 　 a,b,c,d,e,fが全部奇数なら右辺≡2(mod4)だ。 535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/15 00:51:09] >>518難しかった。こんな簡単にとけちゃうもんなんだな。またあたらしいのんキボン。 536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/15 01:23:37] >>395ではないが、>>395を誘導方式に変更してみた。 （１）、（２）はそれぞれ単独でもまずまず面白い問題かと。 （２）は漏れの頭の柔らかさでは高校範囲を逸脱する解等しか用意してないんだが…。 （１） 2n個の数値　x_1,x_2,…x_(2n)は次を満たすとする。 ・x_1+x_2+…+x_2n=0 ・任意のi=1,…,2nに対し、x_i=1 or x_i=-1 （すなわち、x_iは1がn個で-1がn個ってこと） 今、y_i（i=1,…,2n）を、 　(x_i)×(x_i+x_(i+1)+…+x_(2n))>0のとき、y_i=1 　それ以外の場合、y_i=0 と定義する。 このとき、y_1+y_2+…+y_n=nであることを示せ。 （２） Σ[k=1〜n]C(2k,k)・C(2(n-k),n-k))=2^(2n)-C(2n,n)を示せ。 （CはCombination。C(n,m)=n!/(m!・(n-m)!)です。） （３） >>395の解が、>>432の結論の式となることを示せ。 537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/15 14:17:42] >>532 座標を入れてごりごり計算してみたが、それほど面倒ではなかった。 ポイントは a,b,c が奇数のとき、(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) が 16n-1 の形の整数になるということのようだ。 538 名前：１３２人目の素数さん [04/09/16 20:35:48] >>532のサイトみてからずっときになってんだけどもしかしてこんなこと成立する？ ---- n次元ユークリッド空間のn+1個の点P1･･･P(n+1)をとる。行列Aを Aij= 0 (i=j) 1 (i≠j ＆ (i=n+2 or j=n+2)) (PiとPiの距離)^2 (それ以外のとき) で定義するときP1･･･P(n+1)の凸包の体積をVとするとき V^2･(nだけで決まる関数)=|A| ---- n=2,3でそうなってるってのが>>532のサイトに紹介されてるんだけど。 539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/17 23:49:54] >>518って>>532のヒントがあるととたんにそりゃそうだって思えるようになるな。 たとえばOABCがOA、OB、OC、AB、BC、CAが全部奇数と仮定して ↑OA=a、↑OB=b、↑OC=cとおく。仮定から|a|、|b|、|c|は全部奇数で 2a･b、2b･c、2c･aは全部奇数でmod8で1。ところでOABCを端点とする四面体の体積は det|[[(a,a),(a,b),(a,c)],[(b,a),(b,b),(b,c)],[(c,a),(c,b),(c,c)]]であるがそれは０。 よってとくにdet|[[2(a,a),2(a,b),2(a,c)],[2(b,a),2(b,b),2(b,c)],[2(c,a),2(c,b),2(c,c)]] は０でなければならない。しかし一方これは全成分が整数で対角成分がmod8で2、 その他の成分がmod8で1。よってとくに det|[[2(a,a),2(a,b),2(a,c)],[2(b,a),2(b,b),2(b,c)],[2(c,a),2(c,b),2(c,c)]]はmod8で4。矛盾。 540 名前：１３２人目の素数さん [04/09/23 14:35:51] 952 541 名前：１３２人目の素数さん [04/09/28 08:13:11] 757 542 名前：１３２人目の素数さん [04/09/29 22:39:41] 面積Sの四角形ABCDについて、2S=AB・CD+BC・DAが成り立つとき 四角形ABCDはどんな四角形か。 543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/29 23:17:20] AB・CD+BC・DA=AC・BDって円に内接するときしかだめなんだっけ？ これ誰の定理だっけ？ 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/30 00:40:17] >>542 円に内接しかつ対角線が直交するときかな？ まず平面に軸xyと正の実数0＜r＜1をy軸方向にr倍してABCDが円に内接するようにとる。 それが可能なのはまずABCの外接円をとってDがその外側にあるときACをx軸にとって rを1から0へ増大させながらy軸方向へr倍するアフィン変換を作用させていくと Dはどこかでちょうど円上にのる。そのときのrをとればよい。 Dが外側にあればrを1から∞まで変化させて同様にするとr＞1でDが円上にのるようにできるか x軸とy軸をいれかえてrを1/rにすればもとめる条件をみたす。 いまy軸方向にr倍する変換でのABCDの移り先をA'B'C'D'、四角形A'B'C'D'の面積をS'と すればS'=rS、A'B'≧rAB、B'C'≧rBC、C'D'≧rCD、D'A'≧rDA、ですべて等号になるのはr=1のとき。 よって2S'≧A'B'・C'D'+B'C'・D'A'であり等号成立はr=1のときのみ。 このときトレミーの定理からA'B'・C'D'+B'C'・D'A'=A'C'・B'D'であるから 2S'≧A'B'・C'D'+B'C'・D'A'=A'C'・B'D'=2S/sinθ (θはA'B'C'D'の対角線のなす角) ∴sinθ=1かつ2S'=A'B'・C'D'+B'C'・D'A'。 よってr=1かつA'B'C'D'の対角線が直交する。 545 名前：１３２人目の素数さん [04/09/30 23:15:58] >>543 AB・CD+BC・DA≧AC・BD が常に成り立ち、等号は四角形ABCDが円に内接するとき成立。 これを使えば>>544はもっと簡単になる。 546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/01 00:54:49] ｜z｜=｜z-α｜を満たす複素数z,αがある。 (1) z+(1/z)が実数となるzがちょうど2つであるようなαの条件を求めよ。 (2) z+(1/z)がとりうる実数値がちょうど2であるようなαの条件を求めよ。 547 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/01 00:56:54] 訂正っす (2) z+(1/z)がとりうる実数値がちょうど2つであるようなαの条件を求めよ。　 548 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/01 02:47:52] x-y平面上の点のうち、x,y座標両方の値が整数値であるものを格子点と呼ぶ。 四つの格子点(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)をそれぞれ、白、黒、赤、青の色で塗る。 次の操作を行い、各格子点をこれら四色のうち、どれか一つで塗ることを考える。 操作　n,mを整数として 単位正方形(n,m),(n+1,m),(n,m+1),(n+1,m+1)を考える。 この正方形の頂点に対し、反時計回りにA,B,C,Dと名前を付け、(どこをAととっても良い。) 点A,Bの辺CDに対する線対象な点をA'、B'とする。 点AとA'、点BとB'を同じ色で塗る。 この操作を、有限回繰り返し、最初白で塗られていた原点(0,0)を 別の色で塗り直せ。　不可能であるならば、その事を示せ。 549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/01 08:29:50] >>548 操作によって新しく塗られる点ともとの点のx座標、y座標の偶奇は変化しないので不可能。 550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/01 23:51:23] n×nマスの部屋を1×3マスのタイルと1×4マスのタイルで 隙間なく重なりなく敷きつめられることを示せ。 ただしnは3以上の整数で、使わない種類のタイルがあってもよいものとする。 551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/02 02:44:10] >>550 まず，n×nで敷き詰めが出来ているときに(n+2)×(n+2)を作る事を考える． ■■■■■■ ■□□□□■ ■□□□□■ ■□□□□■ ■□□□□■ ■■■■■■ 上図より，1×(n+1)が作れればこれは可能であり， n+1=3l+4m(l≧0，m≧0)なる整数l，mが存在すればよい事になる． そこで，3l+4m(l≧0，m≧0)の形で表せる自然数の条件を4の剰余類毎に考えると， 4m　　全て可能 4m+3　全て可能 4m+2　≧6なら可能 4m+1　≧9なら可能 となるから，n+2=7(即ちn+1=6)以上の敷き詰めは，6×6以下の敷き詰めが可能なら 全て可能である事が分かる． 後は3≦n≦6の場合を具体的に構成して終わり．尚，5×5は3×3から出来る． q.e.d. 552 名前：551 mailto:sage [04/10/02 02:48:55] 受験モニター的報告 解答作成所要時間15分，実際の試験ならもうちょっと丁寧に書いて 推敲含め20〜25分程度か． 因みに当方は数学科4年生（専攻：整数論）． 個人的には，受験生なら「やや難：30分以上」になると思うがどうだろう？ 良問提供多謝． 553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/02 09:50:49] >>551-552 解答＆感想サンクス。 俺の場合数学は趣味だけど、整数問題なら自信の一作が。 入試問題としては誘導なしだと相当な難問かもしれないけど。 (問)BC=a,CA=b,AB=cの三角形ABCの辺BC上(両端を除く)に点Dをとると AB=AD=DCとなった。aは素数、b,cは整数のときa,b,cを求めよ。 答えは綺麗に一組に定まるので自作問題のなかでは一番のお気に入り。 554 名前：１３２人目の素数さん [04/10/02 17:00:00] ３以上で５でない整数で３と４の和で表せるので ｎ×３とｎ×４を並べてｎ×ｎができる。 555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/02 17:44:23] >>553 できた。(a,b,c)=(5,6,4)。あってる？ 556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/02 19:04:57] aだけ素数ってのが惜しいな。 557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/02 19:05:59] UdoWOLrsDMは素数。 558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/02 21:43:17] >>555 さすが数学板っすね。解き方も書いてくれると嬉しいです。 559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/02 23:47:00] >>553>>558 ∠ADC=θとおく。-cosθ=cos(π-θ)=(d/2)/c=d/(2c)。 余弦定理からb^2=2c^2-2c^2cosθ=2c^2(1-cosθ)。 ∴2c^2(1+d/(2c))=b^2。∴2c^2+cd=b^2。∴ca=c(c+d)=(b-c)(b+c)。 ここでb=gb'、c=gc'、(b',c')=1とおけば c'a=g(b'-c')(b'+c')。(c',b'+c')=(c',b'-c')=(b',c')=1よりc'|g。 ∴a=(g/c')(b'-c')(b'+c')であるがaが素数であるからどれかがaでのこりは1。 b'+c'>b'-c'からb'+c'が1にはなれないのでg/c'=b'-c'=1、b'+c'=a。 b'=c'+1であるが３辺が(b,c,c)は頂角が鈍角である2等辺三角形の３辺であるので (b',c',c')=(c'+1,c',c')も頂角が鈍角である2等辺三角形の３辺であるが (2,1,1)は3角不等式をみたさす(4,3,3),(5,4,4),･･･は頂角が鈍角にならない。 よって(b',c')=(3,2)。これからすでに得た等式にどんどん代入していけば(a,b,c)=(5,6,4) であることが必要。一方B(0,0)、D(1,0)、C(5,0)、A(1/2,(3√7)/2)は条件満たすので これが答え。 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/03 00:13:41] >>559 お見事です。 cが平方数であることを示す誘導問題を考えてたけど>>559のほうが自然すね。 三角形ADCが鈍角三角形に着目すれば評価が楽なのも気づいてなかったし・・・(´･ω･`) 561 名前：数学科布施 ◆FUSEz5Eqyo mailto:http://blog.livedoor.jp/fuse3/ [04/10/03 00:22:33] 去年の学コンにも似た問題出てたね。 562 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/03 00:38:13] >>561 どんな問題？ 俺去年の5月に代ゼミの作問スタッフに応募して採用されたんだけど、それからさっぱり音沙汰なし。 まあいいかと思ってたけど、もし問題横流しされてたら嫌だなあ。どうせ被害妄想だけど。 代ゼミに送った問題サンプル ttp://www2.spline.tv/bbs/marujyuu/grpview.php/51.jpg ttp://www2.spline.tv/bbs/marujyuu/grpview.php/52.jpg 563 名前：数学科布施 ◆FUSEz5Eqyo mailto:http://blog.livedoor.jp/fuse3/ [04/10/03 00:42:32] >>562 ちょっと何月号か忘れたけど、たしか、 同じように三角形の三辺が整数であるとか互いの素であるとかという条件をおいていた問題だった気がする。 似てるというか、辺の長さに整数問題を組み合わせただけかな 564 名前：数学科布施 ◆FUSEz5Eqyo mailto:http://blog.livedoor.jp/fuse3/ [04/10/03 00:43:40] >>562 作問スタッフなんて募集してるのか・・・！ 問題解く能力と作る能力って全然違うよなぁ。 難問かつ良問作れる人は尊敬する 565 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/03 00:52:06] >>564 今は募集してないみたい。特に数学と化学は募集打ち切りが早かった気がする。 566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/03 22:27:48] 作問スタッフってギャラいいのですか？ 一問いくらとか？ 567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/03 22:42:58] 普通 568 名前：１３２人目の素数さん [04/10/04 21:15:23] 集合S={1,2,…,n}と全単射の写像fを考える。ｆ：S→Sであり、かつ Σ[k=1,n] | f(k)-k | = (n^2-1)/2 を満たすとき、写像fとして考えられるものの総数を答えよ。 あと、関係ないけど前スレのログ持ってる人いない？ 569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/05 03:45:24] nが偶数のとき0通り nが奇数のとき3・{(n-1)/2}!通り、かな 570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/05 14:20:20] いや、 nが偶数のとき0通り nが奇数のとき3・[{(n-1)/2}!]^2通り、か 571 名前：１３２人目の素数さん [04/10/06 14:15:44] 数列a_n=2n^2+3n+1 (n=1,2,3・・・)の項のうち平方数のみすべて取り出し 小さい順にb_1,b_2,b_3・・・と並べた数列b_nの一般項を求めよ。 572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/06 18:19:13] >>571 2n^2+3n+1=m^2 ⇔(4n+3)^2-2m^2=1 である。x^2-2y^2=1の整数解はβ=3+2√2、α=3-2√2とおいて x=(1/2)(β^k+α^k)、y=(1/2(√2))(α^k-β^k)(kは整数)と書けるから (1/2)(β^k+α^k)が4でわって3あまる4以上の整数になるkをもとめる。 それはkが3以上の奇数のとき。つまりk=2l+1 (lは自然数)と書けるときなので 結局b_l=m=(1/2(√2))(α^(2l+1)-β^(2l+1)) 573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/06 18:40:23] まちごうた。 2n^2+3n+1=m^2 ⇔(4n+3)^2-2(2m)^2=1 だ。あとx^2-2y^2=1の正の整数解は x=(1/2)(β^k+α^k)、y=(1/(2√2))(α^k-β^k)(kは正の整数) よってもとめるのは (1/2)(β^k+α^k)が4でわって3あまる4以上の整数かつ (1/(2√2))(β^k-α^k)が偶数になるとき やはりkが3以上の整数。以下同じ。 ･･･ 正直Pell方程式の一般解に関する知識がなきゃ解けん。 574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 15:35:00] 反応がないと自演か．．． 575 名前：１３２人目の素数さん [04/10/07 15:40:23] >>574 誤爆？ 576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 16:57:14] おれ=>>572-573だけど自演じゃないぞ。 577 名前：１３２人目の素数さん [04/10/07 17:07:47] ┏━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ┃ ┃　　　　　　　　- 自作自演厨の鉄の掟 - ┃　　　　　　　 　　1. 質問者には自作自演でも優しくしよう ┃　　　　　　　 　　2. 自作自演邪魔する香具師はむっしっし ┃　　　　　　　 　　3. 自作自演は目標全レス ┃　　　　　　　 ∧＿∧　 　。　　　　　　　　　　　　　Ｅ[]ヨ ┗━━━━　（ 　 ・３・） ／━━━━━━━━━━━━ 　　　　　　　　（つ　　つ 　　　　　　　|￣￣￣￣￣| 　　　　　　　| 　　 　 　 　 | 　　　　　　　| 　　 　 　 　 | 　　|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣| 578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 17:13:49] たぶん>>574=>>577にとっては “自演でないかぎり解けっこない” と思えるほどの 難問だったんだろうな･･･ 579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 17:50:54] 箱の中に赤玉a個、白玉b個、黒玉c個が入っている。 この箱の中から1個ずつ玉を取りだしていき、最初にすべて取り出された玉が赤玉ならA君、 白玉ならB君、黒玉ならC君の勝ちとする。A君の勝つ確率を求めよ。 580 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 19:51:22] >>579 計算まちがってるかもしれないけど。 ボール全部とりだすとして全事象は(a+b+c)!/(a!b!c!)。最期にとりだしたボールが黒(C)である事象の数を かぞえる。最期が〜〜白黒黒･･･黒(最期黒を連続してc-i個ひく)事象の数をもとめる。 これは赤a個、白b-1個、黒i個をならべる組み合わせの数なので(a+b-1+i)!/(a!(b-1)!i!) 結局最期に黒ひく事象の数は�納i=0,c-1](a+b-1+i)!/(a!(b-1)!i!)=C[a+b-1,a]�納i=0,c-1]C[a+b-1+i,i]。 で公式�納i=0,∞]C[k+i,i]t^i=1/(1-t)^(k+1)をつかえば�納i=0,c-1]C[a+b-1+i,i]は(1/(1-t)^(a+b))･(1/(1-t))=1/(1-t)^(a+b+1) のc-1次の係数。つまりP[a+b+1+c-2,c-1]/(c-1)!。よってもとめる事象の数はC[a+b-1,a]P[a+b+1+c-2,c-1]/(c-1)!。 同様にして最期ひくボールが白も考えてたして･･･まんどくせ―――――― 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 21:03:52] >>579 bc(b+c)(2a+b+c)/((a+b+c)(b+c)(c+a)(a+b)) になった。 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 23:21:47] >>579 全部取り出された順に順位をつけて、A1位、B2位、C3位という事象をA_123とする。他も同様。 Pr(A_123∪A_132∪A_231)=aがbに勝つ確率=C[a+b-1,b]/C[a+b,b]=b/(a+b) Pr(A_123∪A_132∪A_213)=aがcに勝つ確率=c/(a+b) Pr(A_123∪A_132∪A_213∪A_213)=aが少なくともどちらかに勝つ確率=(b+c)/(a+b+c) よって、 Pr(A_123∪A_132)=b/(a+b)+c/(a+b)-(b+c)/(a+b+c) =>>581　（でも約分汁） 583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 23:24:12] >>582 途中式、C[a+b-1,a]/C[a+b,a]に訂正。 584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 07:30:25] >>582 2つめはc/(a+c)だな。答えの真ん中の項も。 585 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 08:09:03] xの三次方程式x^3+ax^2+bx-a+b=0 (a,bは整数) が整数解を持つなら、その整数解は-2か0であることを示せ。 586 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 09:46:29] >>585 ｘ＾2-ｘ+1-1/（ｘ+1）+ａ（ｘ-1）+ｂ＝0 簡単すぎないか？ 587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 09:59:15] 宿題を質問スレに書いたからね、585は。 588 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 11:45:12] クズばっか 589 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 13:24:09] f_1(x)=a^x, f_n(x)=a^f_(n-1)(x) (a>1,n=2,3,4,・・・)で定義される関数f_n(x)について f_n(x)=xを満たす整数xがちょうど2つであるようなaを求めよ。 590 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 15:06:30] これできるか？ って そんな頭いい奴いるわけねーかorz 問題：定規とコンパスのみを用いて正１７角形を作図せよ。 591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 15:13:16] 中心 O の円を描き, 直交する二つの直径 AB, CD を描く。 AE : EO = 3:1 になるような 内分点 E を採る。 直線 AB 上に CE = EF = EG, CF = FH, CG = GI となる点 G, H, I を採る。 又, AI の中点 J を中心とし, 半径 JI の円を描き, OC との交点を K, KL = OH/2 となる点 L を AO 上に採る。 LK を半径として, OA の延長上に点 M を, ON = OM/2 なる点 N を AO 上に採る。 そして, ON ⊥ PQ となる点 P, Q を円周上に採ると, これらが正 17 角形の一辺となる。 592 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 15:58:46] え？ これはガロワが解いた問題なんだけど、 定規ってのは直線を描くためだけに使うんであって、 長さは測っちゃだめだよ、確か。 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 16:11:24] どこで長さを測る必要がある？ 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 16:11:36] ガウスの間違いだと思われ 595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 16:27:04] てゆーか自作問題うぷしろよ 596 名前：自作くん [04/10/08 21:32:18] 【問】 xについての方程式 A: x^3+lx^2+mx+n=0 について考える．但し、l,m,nは (a:方程式Aの自然数解の個数) (b:方程式Aの整数解の個数) (c:方程式Aの実数解の個数) のいずれかであるとする． (1) l,m,nがa,b,cとある対応をしたときl,m,nの値がそれぞれ確定した． このときのl,m,nとa,b,cとの対応及びl,m,nの値及び方程式Aの解を求めよ． (2) l,m,nがそれぞれある値だったとき、l,m,nとa,b,cの対応が確定した． このときのl,m,nとa,b,cとの対応及びl,m,nの値及び方程式Aの解を求めよ． 597 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 21:38:19] >>596 問題の日本語に不備ありすぎ 598 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 22:09:55] >>597 そうか？ 599 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 23:28:35] >>596 対応と確定を使わず表現してくれ 600 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 23:55:31] CE = EF = EG, CF = FH, CG = GI とか AE : EO = 3:1 とかって 長さをはからずに コンパスと定規で可能？ 601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 23:58:09] >>600 おまえ馬鹿だろ？ 602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 23:58:26] 長さを測る必用がないなら、コンパスは不要では？ 603 名前：１３２人目の素数さん [04/10/10 20:15:29] 次の命題を証明せよ。 「関数 f(x)＝1/｛1+(sin x)^2｝ は任意の閉区間 [a，b] で x の多項式で表す事ができない。」 604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 20:20:13] >>603 ｘの多項式ｆ(x)は、ｘで何度か微分を繰り返すことで、恒等的に0となるが、 1/(1+(sinx)^2)は何度微分繰り返してもならない。・・でいいんじゃないのか？ 605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 20:28:23] 「1/(1+(sinx)^2)は何度微分繰り返しても０にならない」の証明は？ 606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 20:30:04] >>605 実際ｎ次導関数求めればいいんじゃない？大変だろうか 607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 20:38:47] ｎで簡単に表されるとは思えないが。 608 名前：１３２人目の素数さん [04/10/10 21:15:17] >>603 “任意の閉区間 [a，b]”じゃなくて“実数全体”なら瞬殺なんだけどな。 609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 21:17:52] >>608 その条件だったら出題するまでもなかろう・・・ 610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 21:24:53] {f(x)-1}の零点が無限に存在する（x=kπ）から、なんてのは駄目？ 611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 21:27:00] >>610 >>608-609 612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 21:28:02] 任意の閉区間 [a，b]だから駄目だね。 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 21:28:59] >>610 有界閉区間には{f(x)-1}の零点は有限個しか含まれない 614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 21:32:01] 全然駄目ですね思慮不足でした 615 名前：１３２人目の素数さん [04/10/10 21:49:25] 大体できたかな。 多項式をf(x)とおくと cos(2x)＝3-2/{f(x)}^2 これを2回微分して f(x)の微分方程式をつくる。 あとは簡単。 616 名前：615 [04/10/10 21:53:27] × cos(2x)＝3-2/{f(x)}^2 ○ cos(2x)＝3-{2/f(x)} 617 名前：１３２人目の素数さん [04/10/10 21:56:23] 今日エナ行きました。奥田先生は東大の教官は教科書を横に置いて問題を作るといってました。 ホエールバックの定理が東大頻出、とかいっていたんですが、 検索しても出てきません。名称からアソシエートして正しい定理を教えて下さい。 618 名前：１３２人目の素数さん [04/10/10 22:02:01] それからわがままですみませんが、１度問題を編纂して 直前期に繰り返せば８０点はカタイ（エナ生に通える高所得の家庭の子供はそういう） という問題集を作ってはくれませんか？とりあえず黒大数の東大の過去問やりますけど。 明日あたりにまた来ます。 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 22:03:36] >>618 氏ね 620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 22:03:42] >>618 マジレスすると、このスレの人間は自分のペースで ゆっくり問題を作ったりといたりしているから 人に何かをやってくれとか言われても、絶対にやらないと思われ。

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