代数学総合スレッド Part2

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/02/21 07:18] 代数に関する話題全般のスレッドです。 宿題の丸投げは止めましょう。 前スレ 代数学総合スレッド science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/l50 666 名前：１３２人目の素数さん [04/05/01 23:15] 俺は、極端に言うと天才的なのと頑丈な基礎を作る、という２種類がいるとおもう。 ヒルベルトとポアンカレとか。グロタンディークとヴェイユとか。 667 名前：665 mailto:sage [04/05/01 23:21] あ、勘違い。失礼、ごめん。 668 名前：１３２人目の素数さん [04/05/02 05:07] age 669 名前：１３２人目の素数さん [04/05/02 08:58] >>666 >ヒルベルトとポアンカレとか。グロタンディークとヴェイユとか。 ヒルベルトが天才でポアンカレが頑丈な基礎を作った人なのか？ グロタンディークが天才でヴェイユが頑丈な基礎を作った人なのか？ それとも逆なのか？ 670 名前：１３２人目の素数さん [04/05/02 17:14] ガウディ 671 名前：１３２人目の素数さん [04/05/02 17:37] >>669 その逆。あと俺の勝手なイメージだけど、ガウス、アーベルは頑丈型、ガロアは天才型か。 672 名前：１３２人目の素数さん [04/05/02 17:46] >>671 WeilがGrothendieckの上をいく天才ってことはないだろ。 673 名前：１３２人目の素数さん [04/05/02 17:54] >>671 アーベルがどんな頑丈な基礎を作ったの？ 674 名前：１３２人目の素数さん [04/05/02 18:25] >>672 Weil予想を目指してGrothendieckが基礎固めしたんだからもともとの ネタはWeilのものだし、鋭さ、冴えはWeilのほうが上だと思う。 それにGrothendieck自身、自伝でのろまなカメのようだったというようなことを書いてた。 >>673 長生きしてたら頑丈な基礎をつくったと俺はおもう。 675 名前：１３２人目の素数さん [04/05/02 18:43] >>674 予想は１次元の場合はArtinが知っていたし、ｎ次元の 場合を予想するのは難しくない。Weilがいなくても誰かが それ程遅れずに発見していたと想像するのも自然。 Weilは天才というより超秀才。Weilを尊敬していた谷山でさえ Siegelのほうが独創性において上と書いている。 ＞それにGrothendieck自身、自伝でのろまなカメのようだった というようなことを書いてた。 謙遜を真に受けなさんな。 ＞長生きしてたら頑丈な基礎をつくったと俺はおもう。 その根拠は？ Galoisはどうなの？ 676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/02 21:41] ２ちゃんねら数学者たちよ、自らの言葉で語るんだ！ 677 名前：675 [04/05/03 06:07] Weilの仕事の特徴は過去の偉大な数学者の仕事のアイデアを借りて それを現代数学に応用することだ。例えばフェルマ、ガウス、 リーマン、エンリケス、カステルヌオーボなど。 Weilの代数幾何の基礎付けは、エンリケスなどイタリアの 代数幾何学者の仕事とファン・デル・ヴェルデンの仕事を結びつけた ものだ。Weil予想はGaussからヒントを得ている。 678 名前：１３２人目の素数さん [04/05/03 07:59] >>674 Grothendieck は別の味で神がかりな特異な天才と思う 679 名前：１３２人目の素数さん [04/05/03 08:04] 階乗ってなんていう？ たとえば『２！』って授業中なんていってる？ うちの教授は 『にびっくり』 だけど、いいのかなぁ 680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/03 09:18] バカか？ んなこと、どーでもいいだろ 681 名前：１３２人目の素数さん [04/05/03 09:52] >>680 おめーがだよ 682 名前：１３２人目の素数さん [04/05/03 11:04] まじレス ２サプライズ 683 名前：１３２人目の素数さん [04/05/03 11:06] ちきしょー コピペだったか マジレスして損した 684 名前：チポタン ◆gqRrL0OhYE [04/05/04 21:24] 可換環論やってた人いる？ それと、永田先生の本、きちんと証明までおさえて、 読んだ人いるかな？ ぼくちん、わからん証明がたくさんあって、 辞書になってました。 685 名前：１３２人目の素数さん [04/05/05 00:07] >>684 「永田先生の本」ってどの本よ？ 可換体論？ Local Rings? 686 名前：チポタン ◆gqRrL0OhYE [04/05/05 00:44] >>685 紀伊国屋からでてた「可換環論」です。 687 名前：１３２人目の素数さん [04/05/05 00:47] むずい 688 名前：１３２人目の素数さん [04/05/05 00:53] 確かにタイトルは１字違いでも大違いだな 689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/05 08:30] science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1039581014/852 Ｋ⊂Ｍ⊂Ｌが夫々体で、Ｌ：Ｋが冪根による拡大だが、Ｍ：Ｋは冪根による拡大でない例を教えて下さい。 690 名前：１32人目の素数さん [04/05/22 09:31] 有名なwaerdenの現代代数学ってどれのことですか？ AMAZONで検索してもたくさんあって、どれのことやら・・・ 691 名前：１３２人目の素数さん [04/05/22 17:48] >>690 たくさんある？ 独語版（オリジナル）、英語版、日本語訳のどれかから選べばいいだけだが。 692 名前：１３２人目の素数さん [04/05/22 17:52] >>690 ちなみに日本語訳は現在絶版。だけど大学の図書館には大抵あるはず。 693 名前：１32人目の素数さん [04/05/22 19:47] １と2があるんですよね？ 694 名前：１３２人目の素数さん [04/05/23 17:39] >>693 独語版、英語訳はIとIIに分かれてる。日本語訳はIが1と2、IIが3に対応している。 II は多元環論とかが中心で内容もさすがに古くなってるから、I（日本語訳の1、2） を読めばいいんじゃないかな。 695 名前：１３２人目の素数さん [04/05/23 21:01] 位数最小の非可換有限環（単位元付き）ってどんなのですか？ Z/2Z 上の2次上三角行列全体？ 696 名前：１３２人目の素数さん [04/05/24 02:46] age 697 名前：１３２人目の素数さん [04/05/24 14:43] 次の問題の証明をどなたか教えてください (出典は「代数系入門」（松坂和夫著）p81の問題14）。 「Gは有限群，NはGの正規部分群とする。Nの位数ｍと（G:N）は互いに素とする。 ここで，（G:N）はGのNに関する剰余類の個数を表す。 このとき，N={x\in G | x^m=e}．」 698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/24 22:14] >>697 (G:N) は剰余群 G/N の位数でもあることに注意。定義みたいなものだけど。 さて、x^m = e のとき、 x^m N = (xN)^m = N より、 G/N の元として、 xN の位数は m の約数。 一方、xN の約数は当然 n = #(G/N) の約数で無いといけない。 n, m は互いに素だから xN の約数は 1, すなわち xN = N 逆に x \in N とすると、N の位数が m なのだから、x^m = e となる。 699 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/24 22:21] > G/N の元として、 xN の位数 xN は一応 G の部分集合になってるので集合 xN の元の個数と 勘違いしないように強調したのだが、しかし普通はそういうのは 位数といわないので誤解の余地は無かった。単に『xN の位数』でいい。 ↑何のこと？　って感じなら読み飛ばしてください。 まあ元の位数とか何とかは慣れです。 700 名前：１３２人目の素数さん [04/05/25 00:32] >>697 「正規部分群」のところをただの「部分群」に置き換えると命題は成り立たなくなる。 反例を挙げよ（カンタン杉？） 701 名前：697 [04/05/27 11:23] >>698 なるほど，納得です。 (G/Nの元としての）xNの位数を計算するわけですか。 あー，こんな証明はいくら考えても自分では思いつかなかっただろうなぁ。 修行を続けます。ありがとうございます。 702 名前：１３２人目の素数さん [04/05/27 14:54] >>695 位数7以下はｼｺｼｺやれば無いこと示せるね。 703 名前：１３２人目の素数さん [04/05/27 15:12] >>702 サンクスです。 やっぱｼｺｼｺやるしかないのかな? 704 名前：１３２人目の素数さん [04/05/27 18:04] >>701 修行したいなら、とりあえず>>700に答えてみて。 705 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/05/27 18:13] 単純群は「単純」とはほど遠い。(by ウィキ　(現在も残っているかな？) 単純群はどうして単純という名が付いているのでしょう。 706 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/27 18:17] >>705 単純じゃない群はさらに「単純」とは程遠いだろ。 「正規部分群を持たない群」という単純な概念に 「単純」って名前を付けるのはごく自然なことだと思うが。 707 名前：１３２人目の素数さん [04/05/27 19:24] haiiro.info/etc/zukeiquiz.gif どう考えてもわからない・・ 708 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/27 21:11] >>707 比を考えましょう 709 名前：697 mailto:sage [04/05/31 13:36] >>700 >「正規部分群」のところをただの「部分群」に置き換えると命題は成り立たなくなる。 > 反例を挙げよ（カンタン杉？） 3次対称群S3の部分群N={σ\in S3| σ(3)=3｝はS3の部分群であるが，正規部分群 ではない。また，（S3:N)=3, Nの位数=(3-1)!=2だから，それらは互いに素。 そして，N={(1 2 3 ->1 2 3), (1 2 3 -> 2 1 3)｝であり， (1 2 3 -> 1 3 2)\in V={σ\in S3 | σ^2=e} であるから，N⊂Vではあるが， N=Vではない。 これでどうですか？（３０分かかりました） 710 名前：１３２人目の素数さん [04/05/31 23:52] 証明の方針だけでも教えていただけないでしょうか。 Algebraic Number Theory §2のExercise4なのですが。 Ｄ≠０，１かつ平方因子を持たないＺの元とする。二次体Ｑ（\sqrt{D}）における 判別式d、ＫにおけるＺの整閉包Ｏ_{K}のＺ上の整基底は d=D　，｛１，\frac{ 1 + \sqrt{D} }{ 2 } ｝　if　Ｄ≡１（mod4） d=4Ｄ　，｛１，\sqrt{ D } ｝　if　Ｄ≡２，３(mod4) で表される。 711 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/31 23:59] >>710 ax^2+bx+c=0(a,b,c∈Z)がmonicになるための条件を考えてみそ。 712 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/01 00:29] >>709 OK 713 名前：710 mailto:sage [04/06/01 00:32] う〜、考え直します。 レスありがとうございます。 714 名前：711 mailto:sage [04/06/01 00:48] >>713 よっぱらってたら変なレスになってしまーた。スマソ。 二次体の元をa/b + c/d√Dとしたとき、これを解に持つ 二次方程式がモニックになるため条件ということね。 715 名前：697 mailto:sage [04/06/01 13:05] >>712 Thanks a lot. ためになりました。 716 名前：710 mailto:sage [04/06/02 09:30] やっぱり証明していただけるとありがたいです･･･ バカでｽﾐﾏｾﾝ 717 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/02 13:51] >>716 (b+c√D)/aをZ上整な元とする。これの最小多項式x^2-(2b/a)x+(b/a)^2-(c/a)^2D がZ上のmonicな多項式になればいいので、2b/a, (b/a)^2-(c/a)^2D∈Z b/a∈Zとすると、Dは平方因子を持たないのでc/a∈Z a=±2のとき、(b^2-c^2D)/4∈Z。このとき、b,cはともにevenかodd b=2b'+1, c=2c'+1とすると(b^2-c^2D)/4=b'^2+b'+c'^2+c'+(1-D)/4なので D≡1(mod4)のときのみ∈Z って感じかな。判別式は自分で計算してね♥ 718 名前：710 mailto:sage [04/06/02 23:41] >>717 ありがとうございます。 結局自分何もできてないし... 聞く前にもうちょっと努力してみようと思います･･･ 719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/09 18:13] 局所環であって、体上の分離的代数であるものは 体になりますかねぇ？ 720 名前：１３２人目の素数さん [04/06/11 23:55] だったと思う。 721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/15 14:58] test 722 名前：１３２人目の素数さん [04/06/19 04:19] testったらageろ！ 723 名前：１３２人目の素数さん [04/06/28 21:24] 教えて 1/2*3/4*5/6*・・・*79/80＜1/9の証明 724 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/06/28 21:50] Re:>723 ここで訊くな。 725 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [04/06/29 15:46] >>722 age sage の違いをおせぇて。とまず、これはあげておこう。 726 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/06/29 16:27] Re:>725 ageと書き込むのはあまり意味がない。 sageと書いても下がらないが、同時に上がりもしない。 727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/29 16:39] >>726 れすサンクス。 専用ブラウザか、何かの動作に影響するのか？ 或は２ch側の表示にでも影響するのかと思っていたが？ 少なくともメール欄を開けとけば ID が表示されることには気付いたが。 728 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/06/29 16:42] Re:>727 2chのガイドラインでも見ておけ。 729 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/30 00:30] 　（１／２×３／４×．．．×７９／８０）＾２ ＜（１／２×３／４×．．．×７９／８０）×（２／３×４／５×．．．×８０／８１） ＝１／８１。 730 名前：１３２人目の素数さん [04/07/01 18:17] 代数的整数論の本というと、通常代数体の全整数環しか扱わない物が多いが、 ザギヤの整数論入門はその部分環(整閉でない)も扱っている。 これについて、もっと詳しく書いた本など知らないか？ 731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 20:01] >>730 東大数学教室セミナリーノートの多元環論だか ゼータ関数だかの本に割と詳しく載ってるよ。 732 名前：１３２人目の素数さん [04/07/01 20:46] >>731 ＞東大数学教室セミナリーノートの多元環論 って、あの印刷の薄いヤツか？ ゼータ関数の本では知らない。 733 名前：１３２人目の素数さん [04/07/01 21:11] このスレッドどんなスレッド？ 非可換環の話題がないし、 ホップ代数・量子群・無限群・微分ガロア理論等々の話題もない。DGA も。 整数論と代数幾何のスレみたい。 734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 21:17] 少なくとも、代数に関する全ての話題を必死になって網羅するのが 目的のスレッドではないはずだ。 735 名前：１３２人目の素数さん [04/07/03 18:34] 必死になって網羅したい 736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/03 19:57] スレ立てるまでもない○○の話題を扱うのが○○総合スレという奴ですよ 737 名前：１３２人目の素数さん [04/07/04 03:17] >>736 では。 マイケル・アルチンの奥さんの名前がナイチンゲール 738 名前：１３２人目の素数さん [04/07/04 20:12] 環Ｒが部分環Ｓ上整であるときＰがＳの素イデアル⇒Ｐの上にあるようなＲの素イデアルは必ず存在する。 の証明がわかりません。できれば詳しく教えてください。 739 名前：１３２人目の素数さん [04/07/04 20:45] >>738 どこがわからないの？ 740 名前：１３２人目の素数さん [04/07/05 10:44] >>738 証明が分らないのか。真偽が分らないのか？ 741 名前：１３２人目の素数さん [04/07/05 12:14] >>738 DS 1737．代数学の定理の証明について 名前：ゆう 日付：2004年7月4日(日) 16時53分 環Ｒが部分環Ｓ上整であるときＰがＳの素イデアル⇒Ｐの上にあるようなＲの素イデアルは必ず存在する。 の証明がわかりません。できれば詳しく教えてください。 (大学２年) 742 名前：１３２人目の素数さん [04/07/05 12:18] test 743 名前：１３２人目の素数さん [04/07/05 19:16] >>582 ＞集合の濃度なんて数学にはあまり役にたたない。 ＞深く考える必要ないよ。スルーしたほうがいい。 大いに関係がある。高々可算な可換環上の加群の圏の導来圏では 表現定理が成立するが、可算条件をはずすと成立しない。 Brown-Adams 型の表現定理は最近の代数幾何に有効に用いられている。 744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/05 19:29] >>743 ふ〜む、なるほど。面白そうな結果だね。 Mordell-Lang予想がmodel theoryから証明されたようなことも あったし、先入観はイクナイね。 745 名前：582 [04/07/05 19:41] >>743 そりゃ可算で成り立つが非可算で成り立たない現象なんて いくらでもあるだろう。俺(>>582)はそういうことを問題に しているわけではない。集合論における濃度の理論に 深入りしても得るところが少ないと言ってるだけ。 得るところが皆無とは言ってない。 746 名前：１３２人目の素数さん [04/07/05 19:56] >>754 深入りする必要はないが常識ぐらい知っとけ。 747 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/05 19:56] ＞結局、基礎論に行くことになって、 ＞本来の数学とはあまり縁がなくなるんだ って>>585で言ってるけど、>>744でも言ったようにMordell-Lang予想 っていう、純粋な代数幾何の問題がmodel theoryという基礎論の テクニックを使って証明されるというセンセーショナルな出来事があった。 人によっていろいろな考え方があると思うが、おれは細かいことでも 気になることがあったら徹底的に考え、調べるべきだと思う。 集合論だから、基礎論だから深入りせずにスルーしようという態度では 限られたものの見方しかできない。 748 名前：１３２人目の素数さん [04/07/05 19:59] Ax-Kochen の結果もモデル理論を使っている。 749 名前：747 mailto:sage [04/07/05 20:09] せっかくだから文献挙げとくね。 LNM1696, Bouscaren(Ed.), Model Theory and Algebraic Geometry, Springer 750 名前：１３２人目の素数さん [04/07/05 20:21] >>748 ついでに Ax - Kochen の定理も。 これは p 進整数環の m 元 n 次同時形式は、m ＞ n^2 の時、必ず自明でない零点を有するだろうという予想を否定的に解いた物(ここまでは他の人がやった)。しかも例外的な素数 p は有限個なる事までいった。 Serre の数論講義に書いてある。 751 名前：１３２人目の素数さん [04/07/05 20:23] >>745 自分が興味がない物は知ろうともしないし知りたくもないという典型。 752 名前：１３２人目の素数さん [04/07/05 21:10] >>747-748 そこらへんの結果にモデル理論はどの位本質的に働いてるの？ また、Mordell-Lang予想の方は、（モデル理論的でない）代数体上の証明が、 「関数体上の証明＋モデル理論」 という形に簡略化されたと聞いているけど、それは本当に「簡略化」なの？ 質問のニュアンス、分かってくれるかな？ 753 名前：582 [04/07/05 21:23] >>746 誰も常識を知らなくていいなんて言ってないだろ。 754 名前：582 [04/07/05 21:31] model theoryは基礎論というより圏論に近いんじゃないか？ それはともかく、濃度の理論を突き詰めたいなら そうすればいい。別に止めはしない。俺は真っ平御免だがｗ 755 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/05 21:34] >>752 ＞そこらへんの結果にモデル理論はどの位本質的に働いてるの？ 難しい質問だなー(；´Д`) 同じような数学的枠組みで働いているって感じかな？ ただ体裁をととのえただけってのとは違うよ。 756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/05 21:37] >>754 ＞model theoryは基礎論というより圏論に近いんじゃないか？ ああそうだね。確かに感覚的にはそんな印象がある。 それだけの見識を持ってるのに・・・ まー人それぞれだね。みんなが同じことをやるのは不毛だからね。 757 名前：１３２人目の素数さん [04/07/05 21:39] >>751 それがまずいか？ 758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/05 23:38] >>754 > model theoryは基礎論というより圏論に近いんじゃないか？ model theory を代数に応用するときに、無限個のものを有限個に落とす議論が 頻繁に出てくるけれど、それは logic の基本定理である完全性定理。 Mordell-Lang 予想への応用が可能になった背景には、与えられた理論のモデルの 分類にかかわる膨大な仕事があるわけで、その端緒となったのが「与えられた理論 が、ある非可算濃度においてモデルが一個しかないならば、任意の非可算濃度にお いてモデルが一個しかない」という Morley の定理。 759 名前：１３２人目の素数さん [04/07/06 07:42] model theoryは基礎論から出てきたものなのか？ 760 名前：582 [04/07/06 07:52] 仮に基礎論のある理論が代数幾何に応用されたとしても、 代数幾何の研究をする前に基礎論を勉強をしたほうがいいと いうことにはならない。それは迂遠すぎる。 俺は基礎論を否定しているわけではない。基礎論には 価値があるだろうし、やりたい人はやればいい。 ただ、ここは代数のスレだということを忘れないように。 761 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/06 09:36] >>582は例のｵｻｰﾝなのか？ 762 名前：１３２人目の素数さん [04/07/06 19:19] 小平邦彦は forcing を勉強したが良く理解出来なかったと本に書いていた。 しかし、 infinite forcing は多くの場面で重要。 763 名前：１３２人目の素数さん [04/07/06 19:44] 広辞苑の第五版をもっている人は「小平邦彦」を引いてみてください。 「戦後の頭脳流出第一号」なんていうチョット否定的な（？）記述があります。 764 名前：１３２人目の素数さん [04/07/06 21:58] >>761 通りすがりだけど、２ｃｈで誰が誰かなんてどうでもいいだろ。 くだらねえ。 765 名前：１３２人目の素数さん [04/07/06 22:02] >>764 お前のレスが寒すぎ・・・ 766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/06 22:30] ＞763 勿体ない流出と騒がれたほど優秀だった、と云うことなんだけど。 その騒ぎの裏には学者の待遇改善要求が在った。 当時の学界環境は、才能に活力を与えるものが不十分だったから流出したんでしょう。 一時的に招かれて行ってみたら、愉快な仲間がいっぱいできて帰るのが遅くなった。

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