- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/02/21 07:18]
- 代数に関する話題全般のスレッドです。
宿題の丸投げは止めましょう。
前スレ
代数学総合スレッド
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/l50
- 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 15:24]
- いや、成り立たない・・・
- 358 名前：355 mailto:sage [03/07/28 15:57]
- >>356
証明を教えてくださいませ。
>>357
反例をお願いします。
- 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 20:28]
- まずaHの定義は大丈夫かい？
- 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 20:30]
- aHbH=cHとする。
c∈cH だから∃h, k∈H s.t. ahbk=c.
するとaHbH=cH=ahbkH=ahbH.
両辺に(ah)^(-1)をかけると HbH=bkH=bH.
よってaHbH=abH.
これでできてるかな。なんか自分でもすっきりしないんだけど･･･
- 361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 20:38]
- >>360
きみは根本的にヤヴァイ
- 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 20:45]
- 確かにヤヴァイな・・・
- 363 名前：360 mailto:sage [03/07/28 21:05]
- やっぱり？
でも何がヤヴァイのかわかんない。
冷静にもう一回見直してみます。
- 364 名前：剋目せよ mailto:sage [03/07/28 22:31]
- ＞aHbH=cHとする。
- 365 名前：360 mailto:sage [03/07/28 22:34]
- >>364
それはない
>>353には
>Ｈを法とするある左剰余類となると仮定する。
とある。
- 366 名前：360 mailto:sage [03/07/28 22:41]
- ちゃんと証明書こうかと思ったんだけど・・・
それ以外に変なところがないならやめる
何かまだ問題ある？
- 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 22:59]
- >>366
ちょっとまづいとおもう。
＞両辺に(ah)^(-1)をかけると HbH=bkH=bH.
ここ。それよりこうやったほうがいいとおもう。
aHbH=cHとする。 ab∈aHbH=cHだからab=chとなるh∈Hがとれる。
∴abH=chH=cH。
- 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:01]
- >>353も当然おかしいのだけど、そのおかしさにそのまま乗ってしまっている。
というか>>354で終わりだと思うけど。（具体的には定義通り計算してwell defを確認するだけ）
- 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:02]
- >>367
うわぁ・・・
- 370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:04]
- >>367
＞ちょっとまづいとおもう。
＞両辺に(ah)^(-1)をかけると HbH=bkH=bH.
どこがまずいの？
- 371 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:06]
- >>368
353のどこがおかしい？
- 372 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:07]
- >>367
どうまずいのかよくわかんないけど･･･
確かにそのほうが簡潔でいいね
- 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:09]
- 何を出発点にして何を示す必要があるのか
もう一度じっくり考えたほうがいいよ
出発点は独自性０でいいっていうか
むしろ０じゃなきゃ駄目なわけで
つまり教科書を読め、と
- 374 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:16]
- やっぱりちゃんと確認しながらいきますか
方針は>>367を拝借することにした。
以下Gは群、eをその単位元とする。
定義：
一般にH,K⊂Gとg∈Gに対して
HK:={hk | h∈H, k∈K}
gH:={gh | h∈H}
命題
1 h∈H、H<Gのとき、hH=H.
2 x, y∈G、H<G のとき、x(yH)=(xy)H.
主張(>>353はこれから従う)：
a,b∈G, H<Gとするとき、
あるcがあって(aH)(bH)=cHとなるならば(aH)(bH)=abHである。
証明
まずHは部分群だからe∈Hなので、ab=(ae)(be)∈(aH)(bH).
(aH)(bH)=cH の仮定により、ab∈cH.
cHの定義から
∃h∈H s.t. ab=ch. (以下h はこれを満たすものとする)
再び(aH)(bH)=cH の仮定を使うと
(aH)(bH)=(abh^(-1))H=(ab)((h^(-1))H)=(ab)H. //
- 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:27]
- 釣りじゃなさそうなんでレスするか・・
>>353
>「Ｈを群Ｇの部分群とする。Ｈを法とする任意の２つの左剰余類
>の積が，Ｈを法とするある左剰余類となると仮定する。このとき，任意の
>a,b\in Gに対して，(aH)(bH)=abHであることを示せ。」
↑この文章を素直に上から読んでいくと
>Ｈを法とする任意の２つの左剰余類の積が
と、ここですでに「集合」G/Hに積が入っていることを前提としている
ところがそもそもその積の定義というのは
>(aH)(bH)=abH （←この式を☆とする）
であって
これ自身は証明すべき対象ではない
問題というか確認すべきことは☆が定義となっているか否か（well defined）
つまり剰余類の積が類の代表元によらずに定まるかどうかを見る必要がある
それにはc,dをそれぞれa,bと同値なGの元（すなわちaH=cH,bH=dH）として
(aH)(bH)=abH ならば (cH)(dH)=abH となることを確認すればよい。
（この確認作業のときにHが正規であることが生きてくる）
つまり>>353は主張になってないわけです
- 376 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:32]
- >>375
374の定義のところに書いたのを左剰余類の定義としたのだが・・・
- 377 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:33]
- 間違い
正しくは左剰余類の積の定義
- 378 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:35]
- いや、それも違った
部分集合同士の積の定義だ
それで、二つの左剰余類を部分集合としてかけたとき
たまたまその結果がまた左剰余類になっていた、という仮定でしょ？
- 379 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:38]
- 連続でｽﾏｿ
374の命題2でHは部分群ではなくて部分集合だった
- 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:40]
- ＨＫってのはただの集合の話（演算ではない）
aH・bHってのは集合G/Hに新たに導入した積「・」の話
cがあるもないも、(aH)(bH)と表記した時点で
新しい演算を用いてるんだよ。で、その新しい演算の定義が
(aH)(bH)=abHそのものなの。
(aH)(bH)=何々=abHなんてイコールの間に何かあっちゃダメなの
- 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:44]
- あーだから見た目の親しみ易さから離れて
写像Fを
F：G/H × G/H → G/H
F(aH , bH)：=abH
と定義するって書けばいいのかな
このときFがG/H × G/H上の写像として定義されるためには
a,bによらないことを示せば良い
ってこう書いたほうがいいか
- 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:45]
- 後は他の人に任せる
- 383 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:47]
- でも、G/HはGの部分集合族でしょ？
だからaHとbHの部分集合としての積が考えられる。
その積はまたGの部分集合になるが、
それがある左剰余類に一致していたと仮定している。
だからそれをcHとおいた。
それで何がまずいのかよく分からない。
そもそもG/Hの演算なんて始めから考えていない。
- 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:50]
- 群論というより、同値類や商集合のお勉強からしたほうがよいのでは？
- 385 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:52]
- わかった
>>375の
>>Ｈを法とする任意の２つの左剰余類の積が
>と、ここですでに「集合」G/Hに積が入っていることを前提としている
ここが間違い。
- 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:53]
- そもそも、どういう文脈で出てきたの？
教科書名は？
- 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:53]
- >>383
他の人に任せると言ったが、こんなレスを見ては・・・
嫌味じゃなく本当に勉強し直したほうがいい
ルールを知らず参加してもしょうがない
能力の問題ではなく参加する姿勢の問題
- 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/28 23:55]
- あのね、集合が二つあったときに自然に積が考えられるなんて
どの数学の本にも載ってないと思うよ
- 389 名前：360 mailto:sage [03/07/28 23:59]
- >>375
あと
>ところがそもそもその積の定義というのは
>>(aH)(bH)=abH （←この式を☆とする）
>であって
ここもたぶん違う
>>388
Euclid空間では普通に部分集合の和を考るし
一般の群でも正規部分群の積なら考えられる。
そのアナロジーで>>374のように定義するのは自然だと思ったんだけど･･･
自然かどうかは感覚の問題だからあまり拘ることじゃないかもしれないが
- 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 00:01]
- >>388は>>383に対するレスね
- 391 名前：360 mailto:sage [03/07/29 00:08]
- まあ、一般の部分集合の積を考えることを否定するというのなら
>>353の質問が意味をなさないという主張は当然だと思うけど、
そういう考え方は全く思いつかなかったもので。
あとはもう質問者本人が登場してくれないとしょうがないですな。
- 392 名前：360 mailto:sage [03/07/29 00:16]
- 今線形代数のプリント見たら
群Gの部分集合S, Tが与えられたとき、Gの部分集合STを
ST={st; s∈S, t∈T}
と定義する。
と書いてあった。
これが頭のどこかにあったのかな。
- 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 00:17]
- >>388
群の場合は？Ｇを群としてＨ，Ｋをその部分群としたら
ＨＫは自然に積を考えるでしょ。
- 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 04:01]
- 非常にどうでも良い事で盛り上がってるな・・・
- 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 08:24]
- 4次の対称群 S_4 を考えたときに、その位数は 4! = 24 あると思うのですが、
4 はその対称群にとって、何という名前の数ですか？
次元?次数?
英語では何というのでしょうか？
- 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 08:57]
- >>395
たぶん次数でいいと思う
英語ではdegree
- 397 名前：360 mailto:sage [03/07/29 11:47]
- レス読み返して勝手に纏めてみる
群Gのべき集合P(G)には元同士の積全体のなす集合として積が入る。
これによりP(G)は半群となる。
このとき>>353の問題は、G/HがP(G)の部分半群ならばその積は
通常の剰余類群の積(aH)(bH)=abHとなることを示せ、と読める。
漏れはここまでは暗黙の了解とみなして言及せず、>>360を書いた。
>>361以降でそれはおかしいという人が出てきた。
彼（等？）の主張はそもそもP(G)に演算など自然には入らず
>>353は問題として成立してしないというものだったようだが
漏れは彼等も上記の読みを了解していると思い込んでいたので
話がまったくかみ合わなかった。
こんなところか。
しかし>>383とか>>389とか、かなり必死だなｗ
- 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 13:10]
- で、結論は？
- 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 15:03]
- >>396
どうも。
degree っぽいですね。
- 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 22:32]
- >>397
Hがnormalじゃないときの
(aH)(bH)∈G/H の証明をおながいします
- 401 名前：３６７ mailto:sage [03/07/29 22:34]
- なんかすごいことになってるね。
「Ｈを群Ｇの部分群とする。Ｈを法とする任意の２つの左剰余類
の積が，Ｈを法とするある左剰余類となると仮定する。このとき，任意の
a,b\in Gに対して，(aH)(bH)=abHであることを示せ。」
ともかくさ。この文章が要求してることは
∃c (aH)(bH)={xy|x∈aH,y∈bH}=cH⇒cH=abH
を示せっていってるとしか思えないけどね。つまりまあ、>>397さんのいうとおりなんだが。
“問題文中に(aH)(bH)の定義がない！”とかいえないこともないけどこれはさすがに
{xy|x∈aH,y∈bH}以外かんがえられないし左剰余類といえばcHの形にかけるGの部分集合と
いうのが一般的解釈だろう。たとえばこれが定期試験ででてできなかったとき
さっきみたいないちゃもんつけてもふつうとりあってもらえんだろな。
- 402 名前：360 mailto:sage [03/07/29 22:34]
- >>400
？？？
それは一般には成り立たないでしょ
- 403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/29 23:48]
- >>401
＞＞両辺に(ah)^(-1)をかけると HbH=bkH=bH.
ここのどこがまづいの？
- 404 名前：３６７ mailto:sage [03/07/30 00:01]
- >>403
いや、いま読みなおしたら問題なかった。へんないちゃもんつけてｺﾞﾒｿ。
- 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 00:13]
- そろそろその話は止めない？簡単な問題だけど、口直しになる事を期待。
（問）Gを有限群、Hを部分群とし、a,b,c∈Gを固定する。
double cosetsをHaH=∪_iHa_i, HbH=∪_jHb_j, HcH=∪_kHc_kと表す時、
#{(i,j)|Ha_ib_j=Hc_k}はa,b,cに依存する事を示せ。
- 406 名前：訂正 mailto:sage [03/07/30 00:14]
- a,b,cに「のみ」依存する
- 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 02:09]
- >>402
ではもう一つ
集合Ａが半群であることの定義は？
- 408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 02:14]
- ３６０と３６７は本当にもう一度勉強したほうがいいよ
数学の方法論がわかってないから
- 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 02:29]
- まだわかってないのがひとりいるね。
- 410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 02:58]
- >>408
オマエガナー
- 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 08:48]
- >>360 >>367のほうがまともだね。彼らがおかしいと言ってるやつらは
「剰余群の定義」の話と混同してるんだろ。それで「漏れはちゃんと定義しって
るもんねー」見たいな感じでいい気になってるんだろ。
>>408がその口の代表！
最初の問題（>>353）よく読め！
- 412 名前：１３２人目の素数さん [03/07/30 11:01]
- >>353
貴方の主張は、NがGの正規部分群のときのみ成立します。
『Gを群、Hをその部分群、{a,b,…}をHを法とする左完全代表系とする。
このとき、代表系の任意の元a,b に対して aH・bH = abH が成り立つならば、
H はG の正規部分群である。』
証明） 上の関係式より (b~Hb)H ＝ H を得る。（但し、b~はｂの逆元を表す)
H は G の部分群より、b~Hb は H に含まれる。これより、代表系の元は
Hの正規化群の元であることがわかる。
次に、Gの任意の元ｇを取ってきて、ｇ＝ah とする。（すなわち、
ｇはHを法とするaのcoset の元とする） このとき、
g~Hg = (ah)~ H(ah) = h~a~Hah = h~Hh = H .
よって、ｇもHの正規化群N(H)の元となり、G=N(H) といえる。これは、
H は G の正規部分群であることを示している。
メデタシ、メデタシ！！ (完）
- 413 名前：360 mailto:sage [03/07/30 11:11]
- >>407
写像f:A×A -> A で任意のa,b,c∈Aに対して
f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))
を満たすものが与えられていること
まさかP(G)にそんな写像が与えられてないなんて言うんじゃなかろうな
- 414 名前：360 mailto:sage [03/07/30 11:15]
- >>412
>貴方の主張は、NがGの正規部分群のときのみ成立します。
その言い方は変では？むしろ
「G/HがP(G)の部分半群となることとHが正規であることが同値」
とか
｢主張が成り立つならばHは正規である｣
とでも言うべきだと思うのだけど。
- 415 名前：１３２人目の素数さん [03/07/30 11:16]
- >>353
明らか。
aH・bH ∋ab
仮定および上記より、aH・bH はabを含む左剰余系になる。
∴ aH・bH = abH
- 416 名前：360 mailto:sage [03/07/30 11:22]
- >>415
あ、ほんとに明らかだ
すっきりしますた
- 417 名前：４１２ [03/07/30 11:24]
- 訂正：１行目のNは、H の間違えです。どうもすみません。
- 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 11:39]
- お馬鹿な人達も増えてきたんでそろそろちゃんとした話を書きましょうか
G/H は一般にただの集合で、この集合の元 (aH)(bH) の積が G/H において閉じている
ためには H が正規部分群であることが必要十分。奇しくも >>402 において自分自身で
それを示しているのだが。ところで >>397 や >>374 などでは G/H を半群と仮定しているので、
実はその時点で H を正規部分群としているわけである。
ここで「 H が正規部分群である＝任意の a∈G に対して aH=Ha （※）」に注意
集合 G/H は H が正規部分群のときに限って、積 (aH)(bH) が再び G/H に属する
（積が閉じている）ので、このとき G/H に群構造を入れることができる。その積の定義が
(aH)(bH)=abH である。
ここで問題なのは積が well defind かどうかということのみ。 Hが正規部分群なので、集合と
して aHbH=abH なのは当たり前。実際 ahbh'∈aHbH とすれば、（※）よりある h''∈H があって
hb=bh'' となるから ahbh'=abh''h'∈abH 。逆も同様で abh∈abH に対して bh=h'b となる h'∈H
があるから abh=ah'b∈aHbH 。
（３６０派は一生懸命 aHbH=abH を計算していたが、Hの正規性を認識できていれば
こんなのは当然のこととすぐわかったはず）
また積が G/H 上で well defind であることを見るには、aH=cH , bH=dH である c , d に対して
c'HdH=abH となることを確かめれば良いが、これも H の正規性を用いればすぐわかる。
結局問題だったのは G/H の積が閉じているとはどういったことなのか
また G/H に群構造を入れるときには何を見ることが大事なのか
という非常に基本的な事柄である。
これがわかってないから >>353 を変に解釈して元々当たり前のことを
問題として設定してしまい、必要のない計算までしてしまう。
夏休みなので教科書を初めから読むなりして下さい。
- 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 11:46]
- >>397
＞このとき>>353の問題は、G/HがP(G)の部分半群ならばその積は
＞通常の剰余類群の積(aH)(bH)=abHとなることを示せ、と読める。
G/Hが半群＝積について閉じてる＝Hが正規＝剰余集合は剰余群
となるのだから↑の２行目は同じことを言ってるっていうか、すでに１行目に答えを含んでる
- 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 11:47]
- この場合は半群であることはイコール群ね
- 421 名前：360 mailto:sage [03/07/30 11:47]
- >>419
だからそれを証明しろという問題でしょ
- 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 11:48]
- >>418
＞ G/H において閉じているためには H が正規部分群であることが必要十分。
を示す問題が>>353だと気付かないなんて、救えない。
- 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 11:50]
- >>418の
c'HdH はミスです。
c' じゃなくて c でした。
- 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 11:52]
- 群の演算から群のある部分群による剰余類の空間に演算が「誘導」されるのは
部分群が正規なときだが、元の群とは関係のない演算が剰余類に入るときは
どうするつもり？>>418
- 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 11:54]
- >>422
違うじゃん。>>353では「Ｈを法とする任意の２つの左剰余類
の積が，Ｈを法とするある左剰余類となると仮定する」ってしてるんだから
ここでHが正規だと仮定してるでしょ
- 426 名前：360 mailto:sage [03/07/30 11:55]
- 正規でなければそもそも演算など入らないと言うつもり？
- 427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 11:56]
- >>425
その仮定が、H が正規と仮定するのと同値 というのを示す問題。
頭大丈夫？
- 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 11:56]
- >>424
＞元の群とは関係のない演算が剰余類に入るときは
＞どうするつもり？
何を言ってるのかよくわからない。
元の群とは G のこと？
そして元の群とは関係のない演算とは？
またその演算は何と何を処理するもの？
- 429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 12:00]
- >>426
G/H上には入らないよ。正規じゃなくても
たんなる集合としてaHbHは考えられるけど
それがG/Hに入るかは別問題
- 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 12:00]
- >>428
ぷ。君は一つの集合に入る群演算は天賦のもので唯一つとでも言うんだね？
- 431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 12:01]
- >>429
香具師は P(G) 上に入るっていってるんだと思うが・・・？
んでそれが G/H に入る条件が正規ということであり>>353という問題になる。
- 432 名前：360 mailto:sage [03/07/30 12:02]
- >>428
たとえば
H<Gが正規でないとしてG'を別の群とする時
全単射G/H -> G'
によってG/HにGと無関係な演算を入れたらどうか、
というように読んだ。
でもそれってここでの話とは関係ないよ･･･
Gから誘導される演算しか考えないのが前提でしょう
>>429
あ、そうか。失礼
でもP(G)には入るよね
それで部分半群云々と言う話になる
- 433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 12:03]
- >>427
>>353をそう読むとしたら日本語を独自に解釈し過ぎてる
大学の教官にでも同じこと聞いてみな
- 434 名前：424 mailto:sage [03/07/30 12:04]
- >>432
いや、>>418のあまりにも狭量な見解にどうしても言いたかったので。
- 435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 12:05]
- >>431
G/Hが半群（G/H内で積が閉じている）ならば
ってはっきり書いてあるけど
- 436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 12:06]
- >>434
関係ない話をすることが狭量じゃないことなのか？
- 437 名前：424=427 mailto:sage [03/07/30 12:06]
- >>433
おいおい；
- 438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 12:07]
- G/Hが半群って書いたらもうHは正規だって言ってることになりますよ
- 439 名前：424=427 mailto:sage [03/07/30 12:08]
- >>436
関係なくは無いだろう？>>418には
＞結局問題だったのは G/H の積が閉じているとはどういったことなのか
＞また G/H に群構造を入れるときには何を見ることが大事なのか
＞という非常に基本的な事柄である。
なんてことが書いてある。
- 440 名前：360 mailto:sage [03/07/30 12:08]
- >>435
どこで書いたか覚えてないけど
正しくはP(G)の部分半群ね
紛らわしい書き方をしてたなら悪かった
- 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 12:08]
- >>424の「どうするつもり？」が全く意味不明なんだけど
元の群とは関係のない演算が剰余類に入るときは
今回の場合に何がどうなっちゃうわけかね
- 442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 12:10]
- >>440
紛らわしいというか、今の場合それは決定的に状況が異なるよ
- 443 名前：１３２人目の素数さん [03/07/30 12:11]
- >>353が入れ食いっぷりに笑ってます
- 444 名前：424=427 mailto:sage [03/07/30 12:11]
- >>441
もともとの>>353を忘れたの？ 剰余類の積が剰余類になるってかいてる時点で
その「積」が何なのかって事から話がこじれたんだろうに。
- 445 名前：360 mailto:sage [03/07/30 12:12]
- >>442
もしかして>>419に書いてあるもののことを言ってる？
- 446 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 12:12]
- >>439
積が具体的に書かれてるのにか？ｗ
aHbHとまで書いてあって「どんな演算が入るかわかんねーぞ」
とか言うのなら降伏します
- 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 12:14]
- >>424
>元の群とは関係のない演算が剰余類に入るときは
>どうするつもり？>>418
どうもこうも積はaHbHだって初めから書いてあるじゃんよ
だから関係ない話だってのに・・・ はあ
- 448 名前：_ mailto:sage [03/07/30 12:16]
- homepage.mac.com/hiroyuki44/2ch.html
- 449 名前：360 mailto:sage [03/07/30 12:16]
- >G/H の積が閉じているとはどういったことなのか
ということはP(G)に演算が入っていることを仮定しているのではないかと思う
- 450 名前：424=427 mailto:sage [03/07/30 12:18]
- >>446
ちゃんと嫁。積が閉じているという仮定の後 (aH)(bH)=(abH) とは書いて
あるから、「積」は P(G) における自然な積のことだろう。
と考えるのが自然で, 漏れもそう思う。
で、そこで G/H における(G から誘導される)自然な積だと言い張ってるのが
>>418なわけだ。
漏れは、>>418に落ち着いて問題を把握しろと言いたいだけ。
- 451 名前：424=427 mailto:sage [03/07/30 12:20]
- >>447
あのな、剰余類の積と書いてあるのを G/H に入った積と思い込んでる
>>418 に「それしか積が入らないのか？」と訊くのが「関係ない」のか？
- 452 名前：424=427 mailto:sage [03/07/30 12:22]
- >>451訂正
「H の正規性を仮定して」G/H に入った積と思い込んでる
- 453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 12:28]
- >>450-451
ある集合に様々な積を入れられる可能性があることと
それらを考察する必要性は別の話だと思うけど
あなたは後者を言ってるわけだよね、「関係ない」ことを否定してるのだから
それならば今回の場合に様々な積の可能性を考察することが
どう関係してくるかを具体的に書けばいいと思う
- 454 名前：424=427 mailto:sage [03/07/30 12:29]
- 蛇足ながら漏れがいってる aH と bH の積は
P(G)における積：aHbH={ah_1bh_2 | h_i ∈ H}
G/H における積：aHbH=abH （こちらは H が正規でないと well-defined じゃない）
剰余類の積が剰余類ってだけなら、 aHbH=cH なる c ∈ G があるってだけで
「積」がどう定義されてるかというのは別に決まってない。
そのうえで、G/H が P(G) の積で群になるなら aHbH=abH 若しくは同じことだが
H が正規となることを言えと言う話が >>353 だろ。
というのが漏れの主張。
- 455 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 12:30]
- （ａＨ）（ｂＨ）＝ｃＨならば（ａＨ）（ｂＨ）＝ａｂＨを示せ。
- 456 名前：424=427 mailto:sage [03/07/30 12:33]
- ちなみに
＞剰余類の積が剰余類ってだけなら、 aHbH=cH なる c ∈ G があるってだけで
＞「積」がどう定義されてるかというのは別に決まってない。
ここでいう aHbH は P(G) における積という意味でいってるのでは無い。
aH・bH とでも書いておいたほうが良かった・・・。
- 457 名前：360 mailto:sage [03/07/30 12:37]
- >>418
>G/H は一般にただの集合で、この集合の元 (aH)(bH) の積が G/H において閉じている
>ためには H が正規部分群であることが必要十分。
ここは正規でなくてもG/Hより大きい集合、たとえばP(G)
の中では演算が考えられることを示唆している。
それは大方の見解と一致してるし異論はない。
たぶん>>418本人もP(G)における演算を考えていたと思う。
>集合 G/H は H が正規部分群のときに限って、積 (aH)(bH) が再び G/H に属する
>（積が閉じている）ので、このとき G/H に群構造を入れることができる。
つまり何度も出てきているように
G/HがP(G)の部分半群⇔Hが正規
である。ここも全くその通りだと思う。
それにも拘らずこれに続いて
>その積の定義が (aH)(bH)=abH である。
とある。
いきなりP(G)の演算がどこかへ消えてしまっている。
どういうことなのか説明してほしいのだが
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