- 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/30 11:39]
- お馬鹿な人達も増えてきたんでそろそろちゃんとした話を書きましょうか
G/H は一般にただの集合で、この集合の元 (aH)(bH) の積が G/H において閉じている
ためには H が正規部分群であることが必要十分。奇しくも >>402 において自分自身で
それを示しているのだが。ところで >>397 や >>374 などでは G/H を半群と仮定しているので、
実はその時点で H を正規部分群としているわけである。
ここで「 H が正規部分群である＝任意の a∈G に対して aH=Ha （※）」に注意
集合 G/H は H が正規部分群のときに限って、積 (aH)(bH) が再び G/H に属する
（積が閉じている）ので、このとき G/H に群構造を入れることができる。その積の定義が
(aH)(bH)=abH である。
ここで問題なのは積が well defind かどうかということのみ。 Hが正規部分群なので、集合と
して aHbH=abH なのは当たり前。実際 ahbh'∈aHbH とすれば、（※）よりある h''∈H があって
hb=bh'' となるから ahbh'=abh''h'∈abH 。逆も同様で abh∈abH に対して bh=h'b となる h'∈H
があるから abh=ah'b∈aHbH 。
（３６０派は一生懸命 aHbH=abH を計算していたが、Hの正規性を認識できていれば
こんなのは当然のこととすぐわかったはず）
また積が G/H 上で well defind であることを見るには、aH=cH , bH=dH である c , d に対して
c'HdH=abH となることを確かめれば良いが、これも H の正規性を用いればすぐわかる。
結局問題だったのは G/H の積が閉じているとはどういったことなのか
また G/H に群構造を入れるときには何を見ることが大事なのか
という非常に基本的な事柄である。
これがわかってないから >>353 を変に解釈して元々当たり前のことを
問題として設定してしまい、必要のない計算までしてしまう。
夏休みなので教科書を初めから読むなりして下さい。
|
 |
