関数解析＆ルベーグ積分

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:　 [03/01/25 00:45] について語りましょう。 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 02:45] 独語はわりとすんなり読めるけど 仏語はどうも苦手だ 英訳が無いか必ず探してしまふ 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 11:18] >>355 ＞もちろん両方の定理とも項別積分ができます。 ＞『有界収束』は項別積分が出来るための必要条件である。 ということは、『有界収束』は項別積分ができるための必要十分条件ということですか？ 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 11:30] 「数学セミナー」2002年1月号の「徹底入門 測度と積分」（梅田亨）には、Arzela の定理に関してこう記述しています： （p.71) …この定理に言及した日本語の本も幾つかあるが, 証明まで含んでいるのは, 古いほうから, 藤原松三郎『微分積分学』（内田老鶴圃）, 小松勇作『解析概論』（廣川書店）, 小平邦彦 『解析入門』（岩波書店）, などに限られる. しかもどれもArzela自身の証明ではなく, Hausdorff(1927)のものを紹介している.（中略）ようやく藤原の本だけがArzela自身の証 明と文献にごく僅かながら触れている.（中略）文献自体は『ブルバキ数学史』（東京図書） などで正確に知ることはできる（藤原ではページまで判らない）. しかし, 古いイタリアの 文献を探し出すのは意外と難しい. 私は学生時代から興味があり, 京大の書庫で探索は試み ていたが, 正しく文献に到達したのは数年前で, イタリア語に少し慣れたお陰である. 360 名前：359 mailto:sage [03/06/19 11:32] すみません 「数学セミナー」2003年1月号でした 361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 13:28] 連続性や微分可能性や積分可能性などの 注目している解析的性質は、 適当な収束条件を満たす場合に限り極限の函数に遺伝する。 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 13:52] >>342 イタリア女優ってきりっとした顔だね。 写真のあるページを集めてみた。 オルネラ・ムーティが一番綺麗かな？ ジーナ・ロロブリジーダ ttp://www.asahi-net.or.jp/~hj7h-tkhs/jap_actress_html/jap_actress_lollobrigida.htm シルバ・コシナ ttp://koscina.hp.infoseek.co.jp/ クラウディア・カルディナーレ ttp://www.asahi-net.or.jp/~hj7h-tkhs/jap_actress_html/jap_actress_cardinale.htm オルネラ・ムーティ ttp://www.fmstar.com/movie/o/o0015.html 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 15:33] >>355 ＞『有界収束』は項別積分が出来るための必要条件である。 というのは、やはりおかしくないでしょうか？ 例えば、いま定義域を（0，1）として、f_n＝n*χ_[0，1/n^2]、f＝0とします。 すると、f_nはfに各点収束しますが、一様有界ではないです。でも、 ∫_[0，1]　f_n＝1/n→0（n→∞）で、∫_[0，1] f＝0なので項別積分が可能です。 >>355とは関係ないですが、上のほうで Ascoli-Arzelaの定理⊃Arzelaの定理 という話がありましたが、普通、教科書に書いてあるAscoli-Arzelaの定理は 「有界閉集合上の連続関数のつくる関数列」が点列コンパクトであるための 必要十分条件を述べたものですよね？一方、Arzelaの定理は解析入門�Tによると 「有限体積確定集合上の可積分関数列が有界収束⇒項別積分可能」 となっています。 有界閉集合上の連続関数のつくる関数列⊂有限体積確定集合上の可積分関数列 ということを考えても上の包含関係はおかしいように思うのですが？ 364 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU mailto:sage [03/06/19 21:26] 下がってるなageよう 365 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU [03/06/19 21:26] あがってないしね 366 名前：１３２人目の素数さん [03/06/19 21:28] >>362 俺は>>342だが、俺もオルネラ・ムーティが一番好き。アメリカ映画フラッシュ・ゴードン に出てる。クラウディアもいいぞ。あとロッサナ・ポデスタという女優もいい。 スレ違いなので、このへんで。 367 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU [03/06/20 02:00] み、みんな！ 　お、落ち着けYO！ 　　　 　/∧＿/∧ 　　　　 /∧＿/∧ 　　　ｵﾛｵﾛ 　　　（(・・εε・・;;)） 　　　((;;・・３３・・)）　　　　ｵﾛｵﾛ 　　　//　　　 ＼＼　　　　 //　　　＼＼　ｵﾛｵﾛ 　 ⊂⊂((　　ヽﾉヽﾉつつ ⊂⊂ヽ//　)) つつ　　ｵﾛｵﾛ 　　　しし(（＿）)　　　　　　 (（＿）)ＪＪ 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/20 06:04] >>363 このスレに居着いてる勘違い野郎を相手にするなよ 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/20 06:29] そういう口出しは余計なお世話ですぞ。 370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/20 08:36] いや、でも同感だね。 有界収束しなくったって、項別積分可能な関数列なんていくらでもある。 釣りならうっとうしいし、真性ならちょっと寒すぎるよー。 371 名前：１３２人目の素数さん [03/06/21 10:32] 無線機設計を携わっている技術者ですが 関数についておたずねします。 グラフの形状から関数を求めるときに ぱっと見た目が反比例関数の場合の時。 反比例関数にｘ軸を対数にして、 傾きが直線になった時は マイナスの傾きの対数関数となるのでしょうか？ Aは任意の値で Y=10−AX　（−AＸは上付きと考えて下さい） 逆に対数にしても傾きが直線にならない形状の時 Y=Ａ/X として考えればいいのでしょうか？ 372 名前：Nanashi_et_al. mailto:sage [03/06/21 10:36] diary4.cgiboy.com/0/izuminoa/ 373 名前：１３２人目の素数さん [03/06/21 10:41] >>371 意味不明だし、スレ違いですよ。数学用語が不正確なのは別として、日本語として 意味が分からないのだよ。 374 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU mailto:sage [03/06/21 12:32] ﾃﾞﾑﾊﾟｷﾀｰｰｰｰ(ﾟ３ﾟ)ノwwﾍ√ﾚvv~(ﾟ３ﾟ)─wwﾍ√ﾚvv~─!!!!!ヽ(ﾟ３ﾟ) 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/21 16:51] K.Yosida "Functional Analysis" この本の特徴は関数解析という分野だけに限定したその網羅性にある。 他の本はルベーグ積分なり偏微分方程式なりとの関係を記述している。 この分野の本では、これほど目的がはっきりしている本は他に無いため、 各国語に翻訳されている様だ。 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/21 18:25] そもそも数学科の人は片対数グラフとか使うの？ 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/21 18:43] >>363 結局、Ascoli-Arzelaの定理とArzelaの定理を混同して書き込んでいたヤシがいて 混乱に拍車をかけてたってだけのことだろう。 >>261,>>264-266も、知ったかぶりのDQNだし。 ＞（LC）可測関数列→可測でない関数 ＞つまり「可測でない関数」についても可測関数列の極限として近似して計算できるというのが ＞ルベーグ積分の理論です。 など、本気で書いてるとしたら、「リーマン可積分でない」と「可測でない」を混同 したとしか思えん。（「非可測関数」は選択公理を使ってやっと作れるようなシロモノ） ＞（LC）与えられた可測「関数列あるいは関数族」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。 は何と混同したのかな。測度論で部分列が出てくるのは「測度的収束⇒部分列をとれば ほとんどいたるところ収束」くらいだったと思うが。 （どのみち積分論以外では可算性を排除したほうがいいので、Ascoli-Arzelaも現代的 定式化では「部分列」も「対角線論法」も必要ない。） もっとも、Ascoli-Arzelaと有界収束定理はまったく無関係ではないが。（森毅「位 相のこころ」第10章と、そのgay math版末尾に収録されている「積分論」に本質理解の ヒントがあるので参照を薦める。） 378 名前：377 mailto:sage [03/06/21 18:57] >>319に関連して漏れもそのへんを少し研究してみたのだが、Arzela流の証明法（原証 明は見てないので、「数学セミナー」の梅田氏流といったほうがいいか）を改良すると、 有界収束定理の別な一般化（測度的収束版？）に到達するので、通常の証明法（森毅流 にいうとディニの定理にもとづく方法）とはかなりズレがあるようにみえる。 （ところでHausdorffの証明法は、やはりディニ系に見えたりするんだが。関数束使うしさ） それと、L1の完備性（リース・フィッシャー）は有界収束定理と密接に関連しているが、 その本質がイマイチまだわからない（これは森氏も別の本で「よくわからない。ブルバキ もわかってないようだ」とか書いてた）。 「L1閉球が順序閉である」こととか、「測度的収束の位相が自動的に完備でL1位相よ り弱い」こととか、いろいろあるにはあるが。 379 名前：345 mailto:sage [03/06/22 18:46] F.Hausdorff "Beweis eines Satzes von Arzela" だけ入手しました。 別ルートで見つけた 637 ページからの論文と同じ雑誌だが、 違うページでした。Arzela の論文は、うちの大学にはないです。 380 名前：１３２人目の素数さん [03/06/23 19:13] ルベーグ積分つったらザックス流だろ。 ハルモス流は糞。 381 名前：１３２人目の素数さん [03/06/23 20:50] >>380 興味ある。詳細希望。 382 名前：１３２人目の素数さん [03/06/23 20:52] >377 >もっとも、Ascoli-Arzelaと有界収束定理はまったく無関係ではないが。 どのように関係しているのか、説明をしていただけると、有り難いです。 383 名前：377 mailto:sage [03/06/25 01:31] >>382 「全く無関係ではない」という程度の「関係」だから、「簡単な説明」は無理。 指定した文献を読んでくれ。 おおざっばにいうと、（完全正則）空間Ｅの全有界性（古典的にはコンパクト性）を、 Ｅの上の関数の作る双対空間の全有界性／（相対）コンパクト性でとらえるのがアス コリの定理。 Ｅのコンパクト性をＥの上の連続関数が作る関数束の性質でとらえるのがディニの定理。 どちらも、Ｅのコンパクト性を双対空間の性質で表現するという意味で、似ている。 （そして、有界収束定理（やルベーグの収束定理）は、ディニの定理の応用。） 384 名前：１３２人目の素数さん [03/06/25 16:57] >>380 ザックスって誰? 385 名前：１３２人目の素数さん [03/06/25 22:16] >>384 ルベーグ積分論の本を書いた人。スペルはSaks. 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/26 23:07] ディニの定理にもとづく方法ってのが重要っと　　ｶｷｶｷφ（°_°） 387 名前：１３２人目の素数さん [03/06/27 22:32] >>380 >>385 www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Saks.html この人か。その本ってのは Theory of the integral でしょうか。 ちょっと手に入りそうにないね。東大数理の図書室にはあるみたいだけど。 webcat.nii.ac.jp/cgi-bin/shsproc?id=BA16605241 つか、伊藤の文献のとこに Saks も Halmos も載ってたのね。 大まかに、どのへんの本が Halmos 流で、どのへんの本が Saks 流なんですか? Saks 流のが多いのかな? 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/27 23:37] ザックスはクラウドの親友ですよ。セフィロスに殺されました。 389 名前：１３２人目の素数さん [03/06/28 00:42] Arzela の定理の小平先生によるオリジナルの証明は どこかに紹介されていないでしょうか？ 「解析入門」では、ガイシュツの通り Hausdorff の証明に 変えられました。 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/28 06:35] >>389 Arzelaによる証明やHausdorffの証明の他に、小平の証明ってのがあるのか？ 391 名前：１３２人目の素数さん [03/06/28 10:04] ========================= Remarks: - Cesare Arzela published his theorem in 1885 (see [2]) by considering that (f_n), is a sequence of Riemann integrable functions. - It remained almost unnoticed until it was rediscovered independently in 1897 by W.F. Osgood [9], who stated it, however,only for continuous functions. In this special case it is customary to call it Osgood's Theorem. Therefore see ...[9], for OSGOOD THEOREM. For other questions regarding these two theorems (Arzela , Osgood), see the works listed below. REFERENCES : [1] ALEXANDROV P.S., ,, On quasi-uniform convergence" (Russian), Uspehi Mat.Nauk vol.1(23),(1948),213-215. [2] ARZELA C., ,,Sulla integrazione per serie", Rendinconti Accad.Lincei Roma , 1 (1885), 532-537 , 566-569 [3] ARZELA C., ,,Sulle serie di funzioni", (parte seconda), Memorie Accad.Sci. Bologna 8(1900) 701-744. (see pp.723-724). [4] BOREL E., ,,Lecons sur les fonctions de variables reeles", Paris , Gauthier-Villars,11905,(see p.41). [5] GAGAEFF B.,,, Sur les suites convergentes de fonctions mesurables B ", Fundamenta Mathematicae , vol. XVIII,(1932) , 182-188. [6] HOBSON E.W., ,, The theory of functions of a real variabel and the Theory of Fourier's series" , t.II, 2-end ed., 1926, 131-132. [7] LEBESGUE H., Sur l'integration des fonctions discontinues, Annales Ecole Norm.Sup.,(3) 1 , 1910, 361-450.(seee page 375) [8] LEVI Beppo , ,, Sopra l'integrazione delle serie ", Rend.Instituto Lombardo di Sci. e Lett., (2) 39 (1906), 775-780. [9] OSGOOD W.F., ,,Non-uniform convergence and the integration of series term by term ", Amer.J.Math., 19 (1897) ,155-190. 392 名前：１３２人目の素数さん [03/06/28 10:12] www.k-514.com/sample/sample.html 拾ったサンプルムービー集めたよ 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/28 11:37] ここまでの情報をまとめてみよう。 Arzelaの定理はこの論文。637 ページから始まる論文ではないらしいね。 >>345,>>391 ARZELA C., ,,Sulla integrazione per serie", Rendinconti Accad.Lincei Roma , 1 (1885), 532-537 , 566-569 Osgoodの再発見はこの論文。 >>356 OSGOOD W.F., ,,Non-uniform convergence and the integration of series term by term ", Amer.J.Math., 19 (1897) ,155-190 ハウスドルフの証明はこの論文。 >>347,>>350 F.Hausdorff "Beweis eines Satzes von Arzela", Math.Zeit.26(1927),pp.135-137 394 名前：１３２人目の素数さん [03/06/28 11:51] 上の英語のコメントによるとArzelaの論文は、リ−マン積分可能な函数列を扱っている。 Osgoodは連続函数列のみを扱っている。 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/28 12:50] ルベーグが28歳の時（1902）に記した学位論文はこれ。 "Integrale, Longueur, Aire"（積分、面積、長さ） 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/28 12:53] 『Cesare Arzela』って『チェザーレ・アルツェーラ』って読むらしい。 397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/28 14:51] 19世紀後半のアスコリ、ディニ、アルツェラの時代には、「函数列の収束」というのが大問題だったようです。そして収束の概念が一義的ではないことが明らかとなり、位相というものが意識される様になったそうです。 これを請けて1900年代のルベーグ、1910年代のウリゾーン、1920年代のハウスドルフ、1930年代のバナッハなどによってルベーグ積分論、位相空間論、函数解析などへと発展します。 そういう意味でも、19世紀後半のアスコリ、ディニ、アルツェラの時代の考察は面白いですね。 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/28 14:55] チホノフの定理についても誰かｶﾀﾚ! こういう流れの先頭にある定理だったかな？ チホノフの定理→マッキーの定理→ヘリーの定理 ↓ アスコリの定理 399 名前：１３２人目の素数さん [03/06/28 15:18] >>395 Grothendieckによると彼はルベーグ積分論を20歳ぐらいで再発見したらしい。 400 名前：１３２人目の素数さん [03/06/28 15:30] >>380 「積分論」には2^nとおりの体系があるといわれる。 たとえば、測度を先にするか積分を先にするか（「ブール束と加法的集合関数」か、「ベクトル束と連続線形汎 関数」か）。「関数と積分」でやると加法が使えるのが利点であり、「集合と測度」 でやると可測条件がわかりやすいのが利点。 次に、位相とからませるかどうか。カラテオドリの定式化によって、ひとまず測度と 位相は切り離せるようになっているが、少し込み入った話になるとどうしても位相が 必要になる。ここで完備距離空間を使うか、局所コンパクト空間を使うかでもかなり 違ってくる。前者は確率論系、後者はブルバキ系？ 第３に、有界測度から非有界へ拡張するか、最初から非有界を含めて論じるか。 第４に、積分（関数空間の完備化）を具体的に構成していくか、抽象的に完備化して おいて実質を調べるか。 積分の定義自体も（実質的に同値なルベーグ積分ですら）何種類もある。上積分・下 積分を使うとか、単関数を使うとか、階段関数を使うとか、可積分になるよう前もっ てうまく制限しておいてinfとかで定義するとか、グラフ空間の測度で定義するとか。 　そのほかにも細かい分類がいろいろあって、そのたびに場合分けが生じるので、 2^nとおりになると。 　しかもみな一長一短で、「決定版」がない。 401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/28 20:56] アルツェラの定理、ディニの定理、チホノフの定理など、 どの定理も有名ではないかも知れないけど、 続々と重要な定理が登場しますね。 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/28 22:18] まだ書かれていないけど、ルベーグのアイデアは、「ディニの定理→アルツェラの定理」というのが原型となって「ディニの定理→ルベーグの定理」とできるだろうというものだったのです。 もちろんルベーグは「ルベーグの定理⊃アルツェラの定理」という関係を意識していた。 もともとのアルツェラの定理の証明がルベーグの定理の証明に似たものに変形され、ハウスドルフの初等的証明にさらに変形されたという経緯があるそうです。 そうなると、もともとのアルツェラの定理の証明というものが益々気になってくるわけですし、ルベーグの定理の証明に似たものはルベーグの定理を勉強すれば十分とも言えるし、ハウスドルフの初等的証明はやはりディニ系と言うわけでもないらしいとも考えられます。 一度、ディニ系を経ているから尻尾が残っているという程度でしょう。 403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/29 00:05] >>383によると アスコリの定理、アスコリ‐アルツェラの定理、アルツェラの定理と３つも似たような名前の定理があるらしい。 アスコリ‐アルツェラの定理以外は聴いたこともない。 ルベーグの有界収束定理とバナッハ・スタインハウスの定理が似てると思ったことはある。 もしかしてこういうながれがあるのかなあ？ ベールのカテゴリー定理→バナッハ・スタインハウスの定理→ルベーグの有界収束定理→アスコリの定理 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/29 01:07] >>403 最後をまちがえた。アスコリじゃなくてアルツェラ。 ベールのカテゴリー定理→バナッハ・スタインハウスの定理→ルベーグの有界収束定理→アルツェラの定理 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/29 14:14] チホノフの定理ってナーヌ？ 406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/29 14:28] 「ベールのカテゴリー定理→一様有界性の原理→バナッハ・スタインハウスの定理」 という流れがあるので、 ベールのカテゴリー定理→一様有界性の原理→バナッハ・スタインハウスの定理→ ルベーグの有界収束定理→アルツェラの定理 となるのかな？でも「バナッハ・スタインハウスの定理→ルベーグの有界収束定理」といえるのかな？ 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/29 23:30] >>359 2002年1月号じゃねーだろ、ヴォケ！ 2003年1月号だ！ 数学セミナー　日本評論社 連載　徹底入門：測度と積分／有界収束定理をめぐって　梅田亨 2002.11 P.52 素朴な面積からの出発 2002.12 P.70 積分と一様収束 2003.01 P.68 有界収束と積分 2003.02 P.72 測度への序章 2003.03 P.76 可測集合と測度 2003.04 P.72 積分論への出発 408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/30 00:08] >>407 >>359の間違いは>>360で訂正していましたね。すまん^2 409 名前：１３２人目の素数さん [03/06/30 15:28] age 410 名前：１３２人目の素数さん [03/06/30 16:40] この板の連中は頭がいいと。　ｶｷｶｷφ（°_°） 411 名前：１３２人目の素数さん [03/06/30 16:41] ついでに、俺にはチンプンカンプンと。　ｶｷｶｷφ（°_°） 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/30 16:46] >>410-411 このあたりの教科書でも読んで参加しろよっと。　ｶｷｶｷφ（°_°） Kolmogorov-Fomin『関数解析の基礎』（岩波） 藤田宏他『関数解析』（岩波基礎数学選書） K. Yosida "Functional Analysis" Splinger H. Brezis『関数解析』(産業図書) Frigyes Riesz, Bela Sz.-Nagy "Functional Analysis" Dover Pubns 413 名前：１３２人目の素数さん [03/06/30 17:17] t.A.T.U.R.U.B.e 414 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU [03/06/30 19:31] >>>410-411 どこの板からきたんだＹＯ 415 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/01 00:18] >>405 チホノフの定理って、位相空間論やるとコンパクト空間のところで出てくるよ。 アルツェラの定理と一緒にやると勉強になるかもね。 416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/01 00:43] >>412 ルベーグ積分の教科書も挙げておこっと。ｶｷｶｷφ（°_°） 伊藤清三「ルベーグ積分」裳華房 吉田洋一「ルベグ積分」培風館 溝畑茂「ルベーグ積分」岩波全書 藤田宏、吉田耕作「現代解析入門」岩波基礎数学選書 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/01 09:12] チホノフ=チコノフ？ 418 名前：１３２人目の素数さん [03/07/01 20:06] 今、入手が容易な関数解析の本だと何が(･∀･)ｲｲ？ 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/01 20:35] 谷島先生のルベーグ積分の本はどうですか？朝倉のやつ。 420 名前：１３２人目の素数さん [03/07/01 20:49] ｺﾙﾓｺﾞﾛﾌは？ 421 名前：１３２人目の素数さん [03/07/01 21:06] Rieszの本とｺﾙﾓｺﾞﾛﾌの本、安い！ 422 名前：１３２人目の素数さん [03/07/02 17:36] ｺﾙﾓｺﾞﾛﾌの「ｴﾚﾒﾝﾂｵﾌﾞﾌｧﾝｸｼｮﾝｱﾝﾄﾞﾌｧﾝｸｼｮﾅﾙｱﾅﾘｼｽ」が「函数解析の基礎」？ 423 名前：_ mailto:sage [03/07/02 17:40] homepage.mac.com/hiroyuki44/ 424 名前：１３２人目の素数さん [03/07/02 21:51] 名前：名無しさん＠お腹いっぱい。 ：03/07/02 20:59 ID:8Ds2VGGx あ〜ん　がまん汁が・・・ ★★ココをクリックで思わずニンマリの無修正画像★★ 　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓ upbbs.s2.x-beat.com/linkvp/linkvp.html 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/02 22:51] いえーす 426 名前：１３２人目の素数さん [03/07/03 05:35] Feffermanがやっているような関数解析の専門書教えてください_●_ 427 名前：１３２人目の素数さん [03/07/05 12:26] 数学科→Lebesgue積分がわかる人が半数 応用数学科→Lebesgue積分がわかんない人が大多数 であってます？ 428 名前：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU mailto:sage [03/07/05 12:36] >>427 どこの大学かにもよると思う。 東大の数学科なら全員理解していると思うし、Ｆランクなら教授すら満足に理解していないだろう。 応用数学科のことは知らない。 429 名前：１３２人目の素数さん [03/07/05 18:35] ＞東大の数学科なら全員理解していると思う そんなことは絶対に無いから安心して！ 430 名前：１３２人目の素数さん [03/07/05 18:38] ＞そんなことは絶対に無いから安心して！ 東大をなめすぎです。 漏れの知っている限り、全員が理解しています。 431 名前：１３２人目の素数さん [03/07/05 18:39] >>428 知った気になってる奴は多い 432 名前：１３２人目の素数さん [03/07/05 19:56] 理解といっても程度の問題がある。 東大で知った気になっているﾔｼでも他大学の人間から見ればよく理解している。 などと持ち上げてみるテスト（ｗ 433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/05 23:03] こりゃいいことを聞いたな。 院試の口頭試問で何を聞いても 全員答えられると・・・（ぼそぼそ 434 名前：１３２人目の素数さん [03/07/05 23:42] > Ｆランクなら教授すら満足に理解していないだろう。 そんなに難しいことだろうか？　Lebesgue積分って。 それとも私がまだとばくちまでしか勉強してないせい？　先へ行くと難しいの？ 435 名前：１３２人目の素数さん [03/07/05 23:48] 東大生が全員理解しているとして、Ｆランクの教授が全員東大出身の場合、矛盾を生じる訳だが（ｗ 436 名前：１３２人目の素数さん [03/07/06 00:33] >>434 学部レベルなら、大雑把（Stielties 積分など細目は無視）に 　測度論、可測関数、収束定理、Fubiniの定理、Vitaliの定理と微分 で必要十分でしょう。以上までなら、さほど難しくありません。 ただ、積分論を集合論とどれだけ無関係にできるか、あるいは、 位相や群構造との関連とかを考察すると、わからなくなってきます。 不可測関数の構成に選択公理が必要なことからも、Lebesgue積分の 基礎の問題は、基礎論と関係してきます。 また、Lebesgue測度がR^n の位相や群構造と密接に関係しすぎている ために、本質的なものが逆に見えにくい。 多くの人は、そういうことに立ち入る必要はないと思います。 437 名前：１３２人目の素数さん [03/07/06 00:51] >>436 Radon・Nikodymの定理も入れてやって下さいな。 438 名前：１３２人目の素数さん [03/07/07 23:39] ルベーグ分解萌え〜 439 名前：１３２人目の素数さん [03/07/08 00:07] ちょうかわいい、われめちゃん１本筋〜ｗ ここの画像掲示板の管理人は神だとおもう。 www.hl-homes.com/ 440 名前：１３２人目の素数さん [03/07/08 05:06] 物理でルベーグ積分必要ですか？ science.2ch.net/test/read.cgi/sci/1038508938/ 意外と良スレ。 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/08 06:17] Ascoli-Arzelaの定理について science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057584586/l50 442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/09 02:48] >>437 ラドン・ニコディムの定理の証明には以下の三通りの証明が有名。 [1]測度論的証明（ニコディムによる） [2]L^2空間におけるリースの定理を使ったもの（フォンノイマンによる） [3]最大法を使ったもの（吉田耕作による） 三つとも載ってる本はあるのかな？ いろんな本を参照すると別な証明、つまり別な視点が得られる良い例ですね。 443 名前：１３２人目の素数さん [03/07/09 11:19] >>442 3の方法知らないや・・・。 調べてみよう。 444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/09 12:43] >>378の有界収束定理がL1の完備性に関係しているという話とか、 ＞それと、L1の完備性（リース・フィッシャー）は有界収束定理と密接に関連しているが、 ＞その本質がイマイチまだわからない（これは森氏も別の本で「よくわからない。ブルバキ ＞もわかってないようだ」とか書いてた）。 >>442のラドン・ニコディムの定理がL^2空間に関係しているという話とか ＞[2]L^2空間におけるリースの定理を使ったもの（フォンノイマンによる） この辺りのL^p空間の関係は興味深いな。調べてみるかな。 445 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/10 11:26] >>436が言っているのはこの辺かな？ リーマン積分を拡張するという視点ですね。 [1]ルベーグの測度論 [2]可測関数とカラテオドリの外測度 [3]ルベーグの有界収束定理と項別微分、項別積分 [4]ヴィタリの定理と微分の定義 [5]ラドン・ニコディムの定理と不定積分 [6]フビニの定理と重積分の積分の順序交換 >>444は函数解析へ繋がる道でヒルベルト空間やバナッハ空間の視点ですね。 446 名前：１３２人目の素数さん [03/07/10 19:47] >>445 どうでもいいけど、個人的には 有界収束定理と言うよりも優収束定理と呼んであげて（ ﾟдﾟ）ﾎｽｨ… 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/10 20:22] >>446 優収束定理って誰の本？ >>445 ＞[6]フビニの定理と重積分の積分の順序交換 これは偏微分方程式を解くときにお世話になりますね。そのために出来たのかな(笑) 448 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/10 20:48] 有界収束定理 一様有界な関数列の有限測度に関する積分と極限は交換可能 優収束定理 絶対一様に可積分関数でおさえられる関数列の積分と極限は交換可能 と習った記憶がある 449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/10 22:43] >>448 ありがとうございます。優収束定理の方はまだやってませんでした。 勉強になります。 450 名前：446 mailto:sage [03/07/10 23:01] >>447 誰の本かは忘れたけど、言いたいことは448氏が書いた通りです。 σ-有限無限測度上でも成り立たせたいな、ってことで。 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/10 23:53] >>446,>>448,>>450 伊藤「ルベーグ積分」P.90-94に書いてありました。 Lebesgueの収束定理から系２として有界収束の定理が導かれていました。 優収束定理→有界収束の定理 前に話題になっていたアルツェラの定理は有界収束の定理の方に対応してるんですね。 452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/11 02:51] >>405,>>415,>>417 チホノフの定理は以下の定理と同値であることが証明されています. 「チホノフの定理」＝「帰納的順序集合定理」 　　　　　　 　 　＝「整列可能定理」 　　　　　　 　 　＝「選択公理」 　　　　　　 　 　＝「（一般の無限次元ベクトル空間の）基底の存在定理」 453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/11 02:54] チホノフの定理には>>398のような流れもある。 454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/11 11:13] >>417 チホノフ=チコノフです。 [定理]コンパクト空間の直積空間はコンパクトである。(Tychonoff) 455 名前：１３２人目の素数さん [03/07/12 22:07] Fubiniの定理か・・・・・Tonelliさん可哀想だな、おい。 ちゃんとFubiniの定理とTonelliの定理を分けて呼ぶ！ヽ（｀Д´）ノ 456 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/13 03:26] Lebesgueの定理とFubiniの定理とFubini-Tonelliの定理を区別して記述してある本は少数派だと思われ。 伊藤のでも脚注で「Fubini-Tonelliの定理ともいう」と触れてるだけだし。 でも、応用上はFubini-Tonelliの定理が最も便利ですね。 457 名前：１３２人目の素数さん [03/07/13 14:26] >>451 たしか、 「σ-加法性」（＝「完全加法性」） ⇔ 「単調収束定理」（＝「ベッポ・ヘビの定理」） ／⇒「有界収束定理」 ⇔ 「優収束定理」（＝「ルベーグの収束定理」） 　　　　　　　　↓ ＼⇒「ファトゥーの補題」 ⇒↑ となってるので、最後の３つは実はみな同値。ついでに「Ｌpの完備性」（＝「リース・ フィッシャーの定理」もたぶん同値。 ＃ 優収束定理のほうが有界収束定理より一般的な主張にみえるが、関数を変形して 一般を特殊に帰着させられる。「ロルの定理」と「平均値の定理」の関係と同様。 （ただ、有限測度空間と無限測度空間で成り立つ事実にややズレがあるため、ちょっ と話がややこしくなってる。）

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