関数解析＆ルベーグ積分

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:　 [03/01/25 00:45] について語りましょう。 313 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 17:13] ええと、確かこうだったよな： f(x)が一様連続とは、∀ε>0, ∃δ>0, ∀x,y s.t. |x-y|<δ ⇒ |f(x)-f(y)|<ε {f_n(x)}がaで同等連続とは、∀ε>0, ∃δ>0, ∀n, |x-a|<δ ⇒ |f_n(x)-f_n(a)|<ε 要するに、|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε というεとδの関係が、区間の中の 点x,aに対して一様というのが「一様連続」で、{f_n(x)}の関数族に対して 一様というのが同等連続（等連続、同程度連続）。 だから、「各f_n(ｘ)がＤの各点で同等連続」は（「各」の使い方がわかり にくいが）、「点を固定するごとにｎを動かした全体について」という意味 にとらなければならない。 （「Arzelaの定理」にそれが必要かどうかは知らんが） 314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 17:26] >>281 Arzelaの定理の応用例 小平邦彦「解析入門」でArzelaの定理（定理5.10と定理8.10）が出てくるのは、 定理5.10→補題6.1と定理6.19→累次積分（P.317）→定理8.10と定理8.11 という各定理です。 特に多変数関数に関してその威力を発揮します。これについてはP.298に制限無しの効用が 解説されています。 315 名前：まおまお mailto:sage [03/06/17 17:35] >>313 おお、解説thanks！ >（「Arzelaの定理」にそれが必要かどうかは知らんが） うん、私もそれが、分からなくてね（Arzela-Ascoliには必要だが）。 で、>>304的視点からの、再々確認なんだけど。 {f_n(x)}が同等連続だからと言って、{S_n(x)}が同等連続とは限らない、 ってのは、合ってますかね？ 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 17:41] Walter Rudin "Real and Complex Analysis"に書いてあるAscoli-Arzelaの定理も紹介しておこう。 11.28 Theorem (Arzela-Ascoli) Suppose that F is a pointwise bounded equi-continuous collection of complex functions on a metric apace X, and that X contains a countable dense subset E. Every sequence {f_n} in F has then a subsequence that converges uniformly on every compact subset of X. 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 17:53] Walter Rudin "Principles of Mathematical Analysis" ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/007054235X/ref=lm_lb_8/249-3201986-7805966 この本にはArzelaの定理って載ってるのかな？ 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 18:04] Arzelaの定理って載ってる本少ねえんだな。 Arzelaの定理は知らないまま解析入門をやって、 Lebesgueの項別積分定理に出会っている香具師の方が多いだろう。 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 18:44] Lebesgueの項別積分定理(Lebesgue's Dominated Convergence Theorem)ってさあ、 Fatou's lemmaを使うけど、Arzelaの定理もそうなん？ 小平の本ではHausdorfによる初等的証明が載ってるけど、方針が全然違うよね。 320 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 20:12] >>308 区域っていう用語は聞いたことがないんですが、 Euclid空間の有界領域のこと？ 321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 21:58] 初等的証明＝Lebesgue積分を使わない という意味なら、Arzelaの最初の証明もおそらく初等的だっただろう。 別にHausdorffが最初に初等的証明をしたわけではあるまい。 ていうかLebesgue積分論を前提とすればArzelaの定理は有界収束定理の系に過ぎない。 322 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 23:19] >ていうかLebesgue積分論を前提とすればArzelaの定理は有界収束定理の系に過ぎない。 そのとうり。小平の本は、初等解析学の本だからLebesgue積分の結果を使うことが出来なかったので、 あえてHausdorffの初等的証明を載せたのだと思う。ただし、Arzelaの定理の重要性を知らしめたのは、 さすがですね。このところは、小平の本の目玉の一つかな？ 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 23:20] >>321 わからんなら書くな。恥の上塗り。 324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 23:25] >>321-322 ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝﾃﾞｼﾀ 325 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 23:34] ごめんなさい。321,322さん（もちろん別人なのは知ってました）、つい悔しまぎれで書いてしまいました。 326 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 23:35] >>325 分かればいい。二度とするな。 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 23:51] >>325-326 ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝﾃﾞｼﾀ 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/17 23:55] >>321-322 そんなことは>>243が既に書いている。 Arzelaの最初の証明について、想像ではないことを書け。 329 名前：１３２人目の素数さん [03/06/17 23:59] あ、また悔しまぎれ。俺もしつこいね。お母ちゃん、なんで俺を生んだの？ 330 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 00:00] yahooo.s2.x-beat.com/linkvp/linkvp.html 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 00:37] >>329 誰と勘違いしてるのか知らないが、お前等のせいで「Arzelaの定理は有界収束定理の系に過ぎない」という話から前に進まない。 自重してくれないかな。迷惑なんだよ。 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 01:54] 自分で進めりゃいいのに 333 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 02:00] >>328 Arzelaの時代にはLebesgue積分という概念がなかったのだから Arzelaの最初の証明は上の意味で初等的だったに決まってるダロ？ なんか文句有るのか？ 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 03:34] えらく吠えている香具師がいるが、どうして Arzelaの最初の証明を 自分で調べてから言わないのだろう・・・ 335 名前：334 mailto:sage [03/06/18 04:50] 俺の大学には、Arzelaの論文はない。 夏休みにでも、取ってくるか。 ここまで祭りになったんだし、Arzelaの論文くらい自分で調べようね。 336 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 07:21] >>335 Arzelaってイタリア人ぽい名前だから、ひょっとしてイタリア語かも。 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 11:50] >>317 一様収束のときの定理は載ってる。 Arzelaの定理そのものは載ってないけど、関連のある記述のあたりでは Lebesgueの有界収束定理が載ってる11章を参照しろって書いてある。 338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 12:14] >>336 Arzelaはイタリア人だけど，論文ならイタリア語は使ってないんじゃないかな？ 339 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 13:11] >>336,338 古い論文だから、直接見るのは難しいけど 論文のタイトル見れば、何語かはわかるよ。 340 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 21:01] >>338 甘い。代数幾何学で有名なEnriques, Castelnuovo, Severiなどは、イタリア語で書いている。 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 22:02] >>340 ザリスキーもかなりの数の論文はイタリア語でしたね。 342 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 22:32] イタリア人ってのは一種、独特の天才的なところがあるな。芸術家だってレオナルドや ミケランジェロのような超天才がいるし、スポーツカーのフェラーリやランボルギーニだって ポルシェより美しい。女性も綺麗だ。ジーナ・ロロブリジーダ、シルバ・コシナ、 クラウディア・カルディナーレ、オルネラ・ムーティとか。 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 22:32] Arzelaの定理はこの本のp.228にも載ってるよ と言ってみるテスト。 T.M.Apostol "Mathematical analysis"(1974: Addison-Wesley) ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0201002884/qid=1055942989/br=3-6/br_lfncs_fb_6/249-3201986-7805966 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 22:42] >>331だけど、Arzelaの定理ってヒルベルトがディリクレ問題の論文を書くよりも 前に発見されてたんだね。論文を見つけたよ。でも>>333は知ってるだろうから ここに書くまでも無いな（ｗ 345 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 23:05] >>344 論文を手に入れてない（うちの大学にない）から、確認したいんです。 637 ページから始まる論文であってますか？ 自分で論文を調べられないようなDQNを排除したいので、 タイトルや雑誌名はあえて伏せます。 346 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 23:30] >>345 調べられないDQNは、お前だろう。 347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 23:35] F.Hausdorff "Beweis eines Satzes von Arzela", ####.####. ##(####), pp.135-137 からも辿れるとだけ言っておく。これでいいかな？>>345 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 23:38] >>346 排除されて悔しがってるよ（ｗ 349 名前：345 mailto:sage [03/06/18 23:49] >>347 その論文でしたら、あります。 ありがとうございました。 350 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 23:54] >>347-348 F.Hausdorff "Beweis eines Satzes von Arzela", Math.Zeit.26(1927),pp.135-137 何も勿体ぶるこたあないだろ。小平の本に書いてある。 351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 00:00] >>305 「項別積分の定理」→「拡張された項別積分の定理」 「Arzelaの定理」→「Lebesgueの項別積分定理」 「拡張された項別積分の定理」は広義積分での条件。 「Lebesgueの項別積分定理」はLebesgue積分での条件。 「項別積分の定理」と「Arzelaの定理」は共にリーマン積分での条件。 なぜリーマン積分には２つの条件があるのか？ それは「項別積分の定理」が十分条件で、「Arzelaの定理」が必要条件だから。 その違いは一様収束と有界収束というもの。 そしてこの条件の違いが広義積分可能だがLebesgue積分が出来ないという場合が存在する ことに深く関係している。 広義積分とLebesgue積分の違いを良く理解する為にも「Arzelaの定理」の証明の複雑さは 良く考える価値のあるものだ。 「項別積分の定理」と「Arzelaの定理」の比較は面白い。 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 00:11] しかし、あれだな。 古い論文を読むようになると独語、仏語、伊語、露語などを読む羽目になって かなり語学の部分で苦労しますね。 若いうちに語学力をつけておくと文献を読めるし、交流範囲も広がるしお勧め。 353 名前：１３２人目の素数さん [03/06/19 00:21] 英語、独語、仏語の論文は読めるのが最低条件。 ガロアやラマヌジャンのような天才は別だが。 354 名前：１３２人目の素数さん [03/06/19 00:30] >>351 すみません。 ＞それは「項別積分の定理」が十分条件で、「Arzelaの定理」が必要条件だから。 の意味がよくわからないです。両方の定理とも項別積分ができるための十分条件 ではないのでしょうか。 355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 00:57] >>354 すみません。変な書きかたしてしまって。 もちろん両方の定理とも項別積分ができます。 「項別積分の定理」で使う、 『一様収束』は項別積分が出来るための十分条件であるが必要条件ではない。 一方、「Arzelaの定理」で使う、 『有界収束』は項別積分が出来るための必要条件である。 その違いは一様収束と有界収束というもので、 広義積分とLebesgue積分の違いに繋がっているという意味です。 「Lebesgueの項別積分定理」を広義積分にも対応する様に拡張できない理由が そこにあります。 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 01:41] Arzelaの定理(1885年) Osgoodの再発見(1897年) Lebesgue積分(1902年) Arzelaの定理のハウスドルフによる初等的証明(1927年) この年代を考えてもArzelaやOsgoodが項別積分の必要条件を考察した動機が気になるな。 ディリクレ問題なのかな？ 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 02:45] 独語はわりとすんなり読めるけど 仏語はどうも苦手だ 英訳が無いか必ず探してしまふ 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 11:18] >>355 ＞もちろん両方の定理とも項別積分ができます。 ＞『有界収束』は項別積分が出来るための必要条件である。 ということは、『有界収束』は項別積分ができるための必要十分条件ということですか？ 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 11:30] 「数学セミナー」2002年1月号の「徹底入門 測度と積分」（梅田亨）には、Arzela の定理に関してこう記述しています： （p.71) …この定理に言及した日本語の本も幾つかあるが, 証明まで含んでいるのは, 古いほうから, 藤原松三郎『微分積分学』（内田老鶴圃）, 小松勇作『解析概論』（廣川書店）, 小平邦彦 『解析入門』（岩波書店）, などに限られる. しかもどれもArzela自身の証明ではなく, Hausdorff(1927)のものを紹介している.（中略）ようやく藤原の本だけがArzela自身の証 明と文献にごく僅かながら触れている.（中略）文献自体は『ブルバキ数学史』（東京図書） などで正確に知ることはできる（藤原ではページまで判らない）. しかし, 古いイタリアの 文献を探し出すのは意外と難しい. 私は学生時代から興味があり, 京大の書庫で探索は試み ていたが, 正しく文献に到達したのは数年前で, イタリア語に少し慣れたお陰である. 360 名前：359 mailto:sage [03/06/19 11:32] すみません 「数学セミナー」2003年1月号でした 361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 13:28] 連続性や微分可能性や積分可能性などの 注目している解析的性質は、 適当な収束条件を満たす場合に限り極限の函数に遺伝する。 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 13:52] >>342 イタリア女優ってきりっとした顔だね。 写真のあるページを集めてみた。 オルネラ・ムーティが一番綺麗かな？ ジーナ・ロロブリジーダ ttp://www.asahi-net.or.jp/~hj7h-tkhs/jap_actress_html/jap_actress_lollobrigida.htm シルバ・コシナ ttp://koscina.hp.infoseek.co.jp/ クラウディア・カルディナーレ ttp://www.asahi-net.or.jp/~hj7h-tkhs/jap_actress_html/jap_actress_cardinale.htm オルネラ・ムーティ ttp://www.fmstar.com/movie/o/o0015.html 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 15:33] >>355 ＞『有界収束』は項別積分が出来るための必要条件である。 というのは、やはりおかしくないでしょうか？ 例えば、いま定義域を（0，1）として、f_n＝n*χ_[0，1/n^2]、f＝0とします。 すると、f_nはfに各点収束しますが、一様有界ではないです。でも、 ∫_[0，1]　f_n＝1/n→0（n→∞）で、∫_[0，1] f＝0なので項別積分が可能です。 >>355とは関係ないですが、上のほうで Ascoli-Arzelaの定理⊃Arzelaの定理 という話がありましたが、普通、教科書に書いてあるAscoli-Arzelaの定理は 「有界閉集合上の連続関数のつくる関数列」が点列コンパクトであるための 必要十分条件を述べたものですよね？一方、Arzelaの定理は解析入門�Tによると 「有限体積確定集合上の可積分関数列が有界収束⇒項別積分可能」 となっています。 有界閉集合上の連続関数のつくる関数列⊂有限体積確定集合上の可積分関数列 ということを考えても上の包含関係はおかしいように思うのですが？ 364 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU mailto:sage [03/06/19 21:26] 下がってるなageよう 365 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU [03/06/19 21:26] あがってないしね 366 名前：１３２人目の素数さん [03/06/19 21:28] >>362 俺は>>342だが、俺もオルネラ・ムーティが一番好き。アメリカ映画フラッシュ・ゴードン に出てる。クラウディアもいいぞ。あとロッサナ・ポデスタという女優もいい。 スレ違いなので、このへんで。 367 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU [03/06/20 02:00] み、みんな！ 　お、落ち着けYO！ 　　　 　/∧＿/∧ 　　　　 /∧＿/∧ 　　　ｵﾛｵﾛ 　　　（(・・εε・・;;)） 　　　((;;・・３３・・)）　　　　ｵﾛｵﾛ 　　　//　　　 ＼＼　　　　 //　　　＼＼　ｵﾛｵﾛ 　 ⊂⊂((　　ヽﾉヽﾉつつ ⊂⊂ヽ//　)) つつ　　ｵﾛｵﾛ 　　　しし(（＿）)　　　　　　 (（＿）)ＪＪ 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/20 06:04] >>363 このスレに居着いてる勘違い野郎を相手にするなよ 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/20 06:29] そういう口出しは余計なお世話ですぞ。 370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/20 08:36] いや、でも同感だね。 有界収束しなくったって、項別積分可能な関数列なんていくらでもある。 釣りならうっとうしいし、真性ならちょっと寒すぎるよー。 371 名前：１３２人目の素数さん [03/06/21 10:32] 無線機設計を携わっている技術者ですが 関数についておたずねします。 グラフの形状から関数を求めるときに ぱっと見た目が反比例関数の場合の時。 反比例関数にｘ軸を対数にして、 傾きが直線になった時は マイナスの傾きの対数関数となるのでしょうか？ Aは任意の値で Y=10−AX　（−AＸは上付きと考えて下さい） 逆に対数にしても傾きが直線にならない形状の時 Y=Ａ/X として考えればいいのでしょうか？ 372 名前：Nanashi_et_al. mailto:sage [03/06/21 10:36] diary4.cgiboy.com/0/izuminoa/ 373 名前：１３２人目の素数さん [03/06/21 10:41] >>371 意味不明だし、スレ違いですよ。数学用語が不正確なのは別として、日本語として 意味が分からないのだよ。 374 名前：ぼるじょあ ◆yBEncckFOU mailto:sage [03/06/21 12:32] ﾃﾞﾑﾊﾟｷﾀｰｰｰｰ(ﾟ３ﾟ)ノwwﾍ√ﾚvv~(ﾟ３ﾟ)─wwﾍ√ﾚvv~─!!!!!ヽ(ﾟ３ﾟ) 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/21 16:51] K.Yosida "Functional Analysis" この本の特徴は関数解析という分野だけに限定したその網羅性にある。 他の本はルベーグ積分なり偏微分方程式なりとの関係を記述している。 この分野の本では、これほど目的がはっきりしている本は他に無いため、 各国語に翻訳されている様だ。 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/21 18:25] そもそも数学科の人は片対数グラフとか使うの？ 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/21 18:43] >>363 結局、Ascoli-Arzelaの定理とArzelaの定理を混同して書き込んでいたヤシがいて 混乱に拍車をかけてたってだけのことだろう。 >>261,>>264-266も、知ったかぶりのDQNだし。 ＞（LC）可測関数列→可測でない関数 ＞つまり「可測でない関数」についても可測関数列の極限として近似して計算できるというのが ＞ルベーグ積分の理論です。 など、本気で書いてるとしたら、「リーマン可積分でない」と「可測でない」を混同 したとしか思えん。（「非可測関数」は選択公理を使ってやっと作れるようなシロモノ） ＞（LC）与えられた可測「関数列あるいは関数族」の中から収束部分列が取り出せるための条件を述べている。 は何と混同したのかな。測度論で部分列が出てくるのは「測度的収束⇒部分列をとれば ほとんどいたるところ収束」くらいだったと思うが。 （どのみち積分論以外では可算性を排除したほうがいいので、Ascoli-Arzelaも現代的 定式化では「部分列」も「対角線論法」も必要ない。） もっとも、Ascoli-Arzelaと有界収束定理はまったく無関係ではないが。（森毅「位 相のこころ」第10章と、そのgay math版末尾に収録されている「積分論」に本質理解の ヒントがあるので参照を薦める。） 378 名前：377 mailto:sage [03/06/21 18:57] >>319に関連して漏れもそのへんを少し研究してみたのだが、Arzela流の証明法（原証 明は見てないので、「数学セミナー」の梅田氏流といったほうがいいか）を改良すると、 有界収束定理の別な一般化（測度的収束版？）に到達するので、通常の証明法（森毅流 にいうとディニの定理にもとづく方法）とはかなりズレがあるようにみえる。 （ところでHausdorffの証明法は、やはりディニ系に見えたりするんだが。関数束使うしさ） それと、L1の完備性（リース・フィッシャー）は有界収束定理と密接に関連しているが、 その本質がイマイチまだわからない（これは森氏も別の本で「よくわからない。ブルバキ もわかってないようだ」とか書いてた）。 「L1閉球が順序閉である」こととか、「測度的収束の位相が自動的に完備でL1位相よ り弱い」こととか、いろいろあるにはあるが。 379 名前：345 mailto:sage [03/06/22 18:46] F.Hausdorff "Beweis eines Satzes von Arzela" だけ入手しました。 別ルートで見つけた 637 ページからの論文と同じ雑誌だが、 違うページでした。Arzela の論文は、うちの大学にはないです。 380 名前：１３２人目の素数さん [03/06/23 19:13] ルベーグ積分つったらザックス流だろ。 ハルモス流は糞。 381 名前：１３２人目の素数さん [03/06/23 20:50] >>380 興味ある。詳細希望。 382 名前：１３２人目の素数さん [03/06/23 20:52] >377 >もっとも、Ascoli-Arzelaと有界収束定理はまったく無関係ではないが。 どのように関係しているのか、説明をしていただけると、有り難いです。 383 名前：377 mailto:sage [03/06/25 01:31] >>382 「全く無関係ではない」という程度の「関係」だから、「簡単な説明」は無理。 指定した文献を読んでくれ。 おおざっばにいうと、（完全正則）空間Ｅの全有界性（古典的にはコンパクト性）を、 Ｅの上の関数の作る双対空間の全有界性／（相対）コンパクト性でとらえるのがアス コリの定理。 Ｅのコンパクト性をＥの上の連続関数が作る関数束の性質でとらえるのがディニの定理。 どちらも、Ｅのコンパクト性を双対空間の性質で表現するという意味で、似ている。 （そして、有界収束定理（やルベーグの収束定理）は、ディニの定理の応用。） 384 名前：１３２人目の素数さん [03/06/25 16:57] >>380 ザックスって誰? 385 名前：１３２人目の素数さん [03/06/25 22:16] >>384 ルベーグ積分論の本を書いた人。スペルはSaks. 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/26 23:07] ディニの定理にもとづく方法ってのが重要っと　　ｶｷｶｷφ（°_°） 387 名前：１３２人目の素数さん [03/06/27 22:32] >>380 >>385 www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Saks.html この人か。その本ってのは Theory of the integral でしょうか。 ちょっと手に入りそうにないね。東大数理の図書室にはあるみたいだけど。 webcat.nii.ac.jp/cgi-bin/shsproc?id=BA16605241 つか、伊藤の文献のとこに Saks も Halmos も載ってたのね。 大まかに、どのへんの本が Halmos 流で、どのへんの本が Saks 流なんですか? Saks 流のが多いのかな? 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/27 23:37] ザックスはクラウドの親友ですよ。セフィロスに殺されました。 389 名前：１３２人目の素数さん [03/06/28 00:42] Arzela の定理の小平先生によるオリジナルの証明は どこかに紹介されていないでしょうか？ 「解析入門」では、ガイシュツの通り Hausdorff の証明に 変えられました。 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/28 06:35] >>389 Arzelaによる証明やHausdorffの証明の他に、小平の証明ってのがあるのか？ 391 名前：１３２人目の素数さん [03/06/28 10:04] ========================= Remarks: - Cesare Arzela published his theorem in 1885 (see [2]) by considering that (f_n), is a sequence of Riemann integrable functions. - It remained almost unnoticed until it was rediscovered independently in 1897 by W.F. Osgood [9], who stated it, however,only for continuous functions. In this special case it is customary to call it Osgood's Theorem. Therefore see ...[9], for OSGOOD THEOREM. For other questions regarding these two theorems (Arzela , Osgood), see the works listed below. REFERENCES : [1] ALEXANDROV P.S., ,, On quasi-uniform convergence" (Russian), Uspehi Mat.Nauk vol.1(23),(1948),213-215. [2] ARZELA C., ,,Sulla integrazione per serie", Rendinconti Accad.Lincei Roma , 1 (1885), 532-537 , 566-569 [3] ARZELA C., ,,Sulle serie di funzioni", (parte seconda), Memorie Accad.Sci. Bologna 8(1900) 701-744. (see pp.723-724). [4] BOREL E., ,,Lecons sur les fonctions de variables reeles", Paris , Gauthier-Villars,11905,(see p.41). [5] GAGAEFF B.,,, Sur les suites convergentes de fonctions mesurables B ", Fundamenta Mathematicae , vol. XVIII,(1932) , 182-188. [6] HOBSON E.W., ,, The theory of functions of a real variabel and the Theory of Fourier's series" , t.II, 2-end ed., 1926, 131-132. [7] LEBESGUE H., Sur l'integration des fonctions discontinues, Annales Ecole Norm.Sup.,(3) 1 , 1910, 361-450.(seee page 375) [8] LEVI Beppo , ,, Sopra l'integrazione delle serie ", Rend.Instituto Lombardo di Sci. e Lett., (2) 39 (1906), 775-780. [9] OSGOOD W.F., ,,Non-uniform convergence and the integration of series term by term ", Amer.J.Math., 19 (1897) ,155-190. 392 名前：１３２人目の素数さん [03/06/28 10:12] www.k-514.com/sample/sample.html 拾ったサンプルムービー集めたよ 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/28 11:37] ここまでの情報をまとめてみよう。 Arzelaの定理はこの論文。637 ページから始まる論文ではないらしいね。 >>345,>>391 ARZELA C., ,,Sulla integrazione per serie", Rendinconti Accad.Lincei Roma , 1 (1885), 532-537 , 566-569 Osgoodの再発見はこの論文。 >>356 OSGOOD W.F., ,,Non-uniform convergence and the integration of series term by term ", Amer.J.Math., 19 (1897) ,155-190 ハウスドルフの証明はこの論文。 >>347,>>350 F.Hausdorff "Beweis eines Satzes von Arzela", Math.Zeit.26(1927),pp.135-137 394 名前：１３２人目の素数さん [03/06/28 11:51] 上の英語のコメントによるとArzelaの論文は、リ−マン積分可能な函数列を扱っている。 Osgoodは連続函数列のみを扱っている。 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/28 12:50] ルベーグが28歳の時（1902）に記した学位論文はこれ。 "Integrale, Longueur, Aire"（積分、面積、長さ） 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/28 12:53] 『Cesare Arzela』って『チェザーレ・アルツェーラ』って読むらしい。 397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/28 14:51] 19世紀後半のアスコリ、ディニ、アルツェラの時代には、「函数列の収束」というのが大問題だったようです。そして収束の概念が一義的ではないことが明らかとなり、位相というものが意識される様になったそうです。 これを請けて1900年代のルベーグ、1910年代のウリゾーン、1920年代のハウスドルフ、1930年代のバナッハなどによってルベーグ積分論、位相空間論、函数解析などへと発展します。 そういう意味でも、19世紀後半のアスコリ、ディニ、アルツェラの時代の考察は面白いですね。 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/28 14:55] チホノフの定理についても誰かｶﾀﾚ! こういう流れの先頭にある定理だったかな？ チホノフの定理→マッキーの定理→ヘリーの定理 ↓ アスコリの定理 399 名前：１３２人目の素数さん [03/06/28 15:18] >>395 Grothendieckによると彼はルベーグ積分論を20歳ぐらいで再発見したらしい。 400 名前：１３２人目の素数さん [03/06/28 15:30] >>380 「積分論」には2^nとおりの体系があるといわれる。 たとえば、測度を先にするか積分を先にするか（「ブール束と加法的集合関数」か、「ベクトル束と連続線形汎 関数」か）。「関数と積分」でやると加法が使えるのが利点であり、「集合と測度」 でやると可測条件がわかりやすいのが利点。 次に、位相とからませるかどうか。カラテオドリの定式化によって、ひとまず測度と 位相は切り離せるようになっているが、少し込み入った話になるとどうしても位相が 必要になる。ここで完備距離空間を使うか、局所コンパクト空間を使うかでもかなり 違ってくる。前者は確率論系、後者はブルバキ系？ 第３に、有界測度から非有界へ拡張するか、最初から非有界を含めて論じるか。 第４に、積分（関数空間の完備化）を具体的に構成していくか、抽象的に完備化して おいて実質を調べるか。 積分の定義自体も（実質的に同値なルベーグ積分ですら）何種類もある。上積分・下 積分を使うとか、単関数を使うとか、階段関数を使うとか、可積分になるよう前もっ てうまく制限しておいてinfとかで定義するとか、グラフ空間の測度で定義するとか。 　そのほかにも細かい分類がいろいろあって、そのたびに場合分けが生じるので、 2^nとおりになると。 　しかもみな一長一短で、「決定版」がない。 401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/28 20:56] アルツェラの定理、ディニの定理、チホノフの定理など、 どの定理も有名ではないかも知れないけど、 続々と重要な定理が登場しますね。 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/28 22:18] まだ書かれていないけど、ルベーグのアイデアは、「ディニの定理→アルツェラの定理」というのが原型となって「ディニの定理→ルベーグの定理」とできるだろうというものだったのです。 もちろんルベーグは「ルベーグの定理⊃アルツェラの定理」という関係を意識していた。 もともとのアルツェラの定理の証明がルベーグの定理の証明に似たものに変形され、ハウスドルフの初等的証明にさらに変形されたという経緯があるそうです。 そうなると、もともとのアルツェラの定理の証明というものが益々気になってくるわけですし、ルベーグの定理の証明に似たものはルベーグの定理を勉強すれば十分とも言えるし、ハウスドルフの初等的証明はやはりディニ系と言うわけでもないらしいとも考えられます。 一度、ディニ系を経ているから尻尾が残っているという程度でしょう。 403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/29 00:05] >>383によると アスコリの定理、アスコリ‐アルツェラの定理、アルツェラの定理と３つも似たような名前の定理があるらしい。 アスコリ‐アルツェラの定理以外は聴いたこともない。 ルベーグの有界収束定理とバナッハ・スタインハウスの定理が似てると思ったことはある。 もしかしてこういうながれがあるのかなあ？ ベールのカテゴリー定理→バナッハ・スタインハウスの定理→ルベーグの有界収束定理→アスコリの定理 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/29 01:07] >>403 最後をまちがえた。アスコリじゃなくてアルツェラ。 ベールのカテゴリー定理→バナッハ・スタインハウスの定理→ルベーグの有界収束定理→アルツェラの定理 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/29 14:14] チホノフの定理ってナーヌ？ 406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/29 14:28] 「ベールのカテゴリー定理→一様有界性の原理→バナッハ・スタインハウスの定理」 という流れがあるので、 ベールのカテゴリー定理→一様有界性の原理→バナッハ・スタインハウスの定理→ ルベーグの有界収束定理→アルツェラの定理 となるのかな？でも「バナッハ・スタインハウスの定理→ルベーグの有界収束定理」といえるのかな？ 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/29 23:30] >>359 2002年1月号じゃねーだろ、ヴォケ！ 2003年1月号だ！ 数学セミナー　日本評論社 連載　徹底入門：測度と積分／有界収束定理をめぐって　梅田亨 2002.11 P.52 素朴な面積からの出発 2002.12 P.70 積分と一様収束 2003.01 P.68 有界収束と積分 2003.02 P.72 測度への序章 2003.03 P.76 可測集合と測度 2003.04 P.72 積分論への出発 408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/30 00:08] >>407 >>359の間違いは>>360で訂正していましたね。すまん^2 409 名前：１３２人目の素数さん [03/06/30 15:28] age 410 名前：１３２人目の素数さん [03/06/30 16:40] この板の連中は頭がいいと。　ｶｷｶｷφ（°_°） 411 名前：１３２人目の素数さん [03/06/30 16:41] ついでに、俺にはチンプンカンプンと。　ｶｷｶｷφ（°_°） 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/30 16:46] >>410-411 このあたりの教科書でも読んで参加しろよっと。　ｶｷｶｷφ（°_°） Kolmogorov-Fomin『関数解析の基礎』（岩波） 藤田宏他『関数解析』（岩波基礎数学選書） K. Yosida "Functional Analysis" Splinger H. Brezis『関数解析』(産業図書) Frigyes Riesz, Bela Sz.-Nagy "Functional Analysis" Dover Pubns 413 名前：１３２人目の素数さん [03/06/30 17:17] t.A.T.U.R.U.B.e

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