大好き★代数幾何

1 名前：１３２人目の素数さん [03/10/02 00:41] Grothendieckは代数幾何が大好きだったそうです。 267 名前：１３２人目の素数さん [03/10/23 07:50] 有難う。 II. Ex.2.17 に行こうか。 268 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 10:17] 勝手に行ってろ。 269 名前：197 [03/10/23 11:06] >>267 OK。とりあえず翻訳 II. Ex. 2.17 (アフィン性の判定条件） (a) f: X→Yをスキームの射とする。Y の開被覆 U_i が存在し、 各iについて誘導射f^-1(U_i) → U_iが同型であるとする。 このとき f は同型であることを示せ。 (b) 「スキームXがアフィン」と「有限個の元 f_1, ..., f_r ∈ A = Γ(X, O_X) が 存在して、各開集合X_f_iがアフィンかつf_1, ..., f_r が A の単位イデアルを生成 する」は同値であることを示せ（ヒント：（Ex. 2.4)と(Ex. 2.16d)を使え）。 270 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:09] >>269 真昼間から2chかよｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ おめでてーなーｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ 271 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:18] いまどきスキームなんて流行らねーんだよ！ これからは位相空間の時代。 とくに整係数ホモロジ−なんかがヤバイ。 272 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:19] もちろん群論・微分積分学的位相空間ね。 273 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:20] そもそも位相空間の定義って、難し過ぎないか？？ 開集合ってなんだよ！！！ ぜんぜん開いてねーじゃん！！ 晒しあげ 274 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:22] しかも開集合であるかどうかの約束って何だよ！！ そこまでいうなら、すべての集合を開集合にしちまえよ！！ するとどんな写像も連続になるから、そこで微分積分学が展開出来る。 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/23 11:26] 離散位相 276 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:27] ロベ−グ積分はいい線いっていると思う。 しかし、開集合を「定義」しているからぜんぜんだめ。 そのうち、大天才が現れて、開集合なしの積分論が展開されるだろうけどね。 277 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:30] >>275 何もかもが開いている香具師だろ？ それだけ考えれば、難しいことは起こらないのにね。 たとえば良くある問題 （・∀・）は開集合であることを示せ。 [新理論による解答] すべての集合は開集合である。 とくに（・∀・）も開集合である　　u.e.d かなり微分積分学の見通しが良ったじゃねーかよ！！！ どこか問題ある？？ 278 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:36] すると 開集合＝閉集合にならないか？ 矛盾か？ 279 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:45] 明らかに矛盾だな。 ってことはすべてを開集合にしたらマズイわけだ・・。 だから、開集合にいろいろな条件がつくわけか。 少し分かってきた。 俺のD論は「開集合の危機」みたいなテーマで書こうかなｗ。 280 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:51] まだしっくり来ないな＞開集合 S田先生に質問してきまつ。 でも、この人滅多に見ないんだよな・・。 281 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 12:01] すべての図形は位相空間である。 ↑は正しいの？ 282 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 12:02] 正確には「目に見える図形」だな・・。 トーラスとかは目に見えない図形だけど、 位相空間になるらしいからな。 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/23 12:32] オマコンボール 284 名前：１３２人目の素数さん [03/10/23 13:05] 積を有する圏を値に持つpresheafの層化ってどうやるの？ 285 名前：282さんへ [03/10/23 13:33] ドーナツは良く見えるとおもうのですが、、、、 286 名前：１３２人目の素数さん [03/10/23 17:47] >>256-257 ＞EGAやSGAはその思想で貫かれていると思うが。 ＞ここの "Fondements de la Geometrie Algebrique"の ＞Technique de descente et theoremes d'existence en geometrie algebrique (I-VI). 　 フラ語は“えるけらーる”と“じゅしじゃぽね”ぐらいしかしらないのでできれば英語が いいんですが。なんかないすかね。もうこのテク開発されてだいぶたってると思うので 英語のいい教科書がありそうなもんだと思うんですが。 希望としては外出のうめこみが左随伴をもってほしいんですが。 関手F:Alg/R→Setsがschemeで表現される十分条件でなるべくゆるいやつ知りたいんですが なんかありませんか？たしか“1の分割”がどうこうとかいうのがあったような気がするんですが。 うるおぼえスマソ。 287 名前：１３２人目の素数さん [03/10/23 19:43] >>286 残念だがフランス語を勉強するしかないと思う。 Grothendieckが精力的に（分野によってはペンペン草も生えない程）に やった仕事を翻訳ではなくわざわざ英語で書き直すようなヒマな数学者は いないだろう。 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/23 19:58] >>287 ＞残念だがフランス語を勉強するしかないと思う。 　 そうっすか。まあそのうちやろうとおもてたのでそれはそれでいいんですが。 で外出の問題なんですが埋め込みi:sch/R→fun(alg/R)はpull backとprojective limit 保つとおもうんですがどうでしょう？そもそもsch/Rがcompleteな圏かどうかも 自信ないんですが。 289 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 20:12] ぜんぜん違う。 外に出て頭冷やして来い。 これこそ真の「外出」だな（爆笑）。 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/23 20:18] >>289 pull backが保存されない例かprojective limitが保存されない例しってるの？ 291 名前：１３２人目の素数さん [03/10/23 21:05] >>288 保つと思う。自信は無い。ｗ A → B を忠実平坦なR-環準同型とする。 Fを問題の関手とすると、 F(A) → F(B) ⇒ F(B(x)B) は完全となる。 ここで、⇒ は二つの標準的射をあらわし、この核としては差核を取る。 一般にはこれだけで十分条件とはならないだろうが、詳しくは 知らない。なにせ、俺もFGAは読んでない。ｗ 292 名前：１３２人目の素数さん [03/10/23 21:14] 難しい質問もいいが、演習問題を解いてくれ。 遠くの美人より身近の女だ。 293 名前：１３２人目の素数さん [03/10/23 21:20] 命題が偽なので解けません。 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/23 21:33] >>293 どんな反例があるの？ 295 名前：１３２人目の素数さん [03/10/23 23:11] 反例1 あゃゃ＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞妹 反例2 あゃゃ＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞ﾏﾏﾝ 反例3 あゃゃ＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞幼なじみのゆみ 296 名前：197 [03/10/24 00:07] >>286 "The Geometry of Schemes", David Eisenbud, Joe Harris, Springer GTM 197 のVI章 "Schemes and Functors" が参考になるかも。 漏れはよく読んでないが、件の関手 Alg/R→Setsがschemeで表現される必要十分条件とか が書いてあるぞ。 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/24 00:11] >>296 ｿﾚﾀﾞ!!!!そういう情報が欲しかった。ありがとう。夜おそくまで2chやってていいこともあるもんだ。 と自分をあまやかしてみるてすと。 298 名前：197 [03/10/24 18:41] Hartshorn II Ex. 2.17 (a) （>>269）の解答： 仮定から f が位相空間上で homeo になることは明らか。 付随する層の準同型も、stalk 上でみれば iso になることは明らか。以上。 ... って何かこれ、問題としては簡単すぎないか? この説明でなんか抜けある？ 299 名前：197 [03/10/24 18:49] 続いてHartshorn II Ex. 2.17 (b)（>>269）の解答： (b)X_f_i = Spec B_i とおく。Ex. 2.4（＝このスレの>>72, >>78）より、 φ: X → Spec A という標準射がある（位相空間上の連続写像は、x に {g∈A | g_x∈m_x⊆O_x}を対応させるもの。層の準同型も自然に定まる）。 各iについてφ-1(D(f_i)) = X_f_i であることがφの定義から容易に出る。 また、仮定 (f_1, ..., f_r) = (1) より、X = ∪ X_f_i（∵∀i f_i_x∈m_x とするとO_x で (f_1_x, ...., f_r_x) ≠ (1) となるから）。また、X_f_i が アフィンであることおよびX_fの定義より、X_f_i∩X_f_jはSpec B_iの開集合 D(f_j|X_f_i)となるから特に準コンパクト。よって {X_f_i} はEx. 2.16 (c) の 条件を満たすので、Ex. 2.16 (d)からΓ(X_f_i) =~ A_f_i、つまり X_f_i =~ Spec A_f_i。誘導射φ_i: X_f_i → D(f_i)は、左側をこの同型で Spec A_f_iとみなし、右側を標準的な同型で Spec A_fiとみなせば、実は恒等射 に等しいことがφの定義からわかる。以上と(a) から、結局φはiso、 よってXはアフィン。以上。 300 名前：１３２人目の素数さん [03/10/24 19:28] >>298 いいと思う。 301 名前：１３２人目の素数さん [03/10/24 19:30] 前に戻ってHartshorn II Ex. 2.8と行こう。 302 名前：197 [03/10/24 20:03] >>301 とりあえず翻訳 Hartshorn II Ex. 2.8. Xをスキームとする。任意の点 x∈Xに対して、Xのxでの「ザリスキ接空間T_x」を、 k(x)-ベクトル空間 m_x/m_x^2の双対空間と定義する。今、Xがk上のスキームで あるとし、k[ε]/ε^2を k 上"ring of dual numbers"とする。k-morphism Spec k[ε]/ε^2 → X をひとつ与えることは、k上の「有理点」 x ∈X（つまり k(x) = k なる点）をひとつとT_xの元をひとつ与えることと同等であることを示せ。 303 名前：197 [03/10/24 20:27] ところで以前>>199に書いた>>193の証明だが、超限帰納法とか鬱陶しいもん 使わずにもっと簡潔にできることに気付いた（もちろん選択公理は暗に使っ てるが）。 >>193 Hartshorneの演習問題 II.1.16(b)の解答（再修正版） 左完全性は常に成り立つから、F(U) → F''(U) が全射であることを示せばよい。 以下、F' を F の部分層とみなす。 s ∈ F''(U)をとる。F → F'' が層の全射であることから、 ∃U の開被覆 {U_i}(i∈I) ∃t_i∈F(U_i) s.t. t_i → s|U_i。 任意のi, j に対して c_ij := t_j - t_i ∈ F(U_i∩U_j) とおく。 c_ij ∈ Ker(F(U_i∩U_j) → F''(U_i∩U_j)) = F'(U_i∩U_j) であること、 および {c_ij} が c_ii = 0, c_ij = -c_ji, c_jk - c_ik + c_ij = 0 を満たすことが容易にわかる。 いま、0∈Iをひとつとって固定する。F' が軟弱だから、各c_0i∈F'(U_0∩Ui)を c_i∈F'(U_i)に延長することができる。この{c_i}は、 ∀ i, j c_j - c_i = c_ij ∈ F'(U_i∩U_j) を満たしていることが容易にわかる。 {r_i}∈ΠF(U_i) を r_i := t_i - c_iで定義すると、U_i∩U_j 上で、 r_i = t_i - c_i = t_i - c_j + c_ij = t_i - c_j + t_j - t_i = r_j。 よって、この {r_i} はグローバルに r ∈ F(U) に貼り合わせることができ、 これが求めるs の逆像となる。 以上。 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/24 21:44] このスレむちゃくちゃだな・・。 305 名前：１３２人目の素数さん [03/10/25 00:46] ベクトルは大切に。 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/25 14:18] >>304 このスレむちゃくちゃだな・・。 は、W不 ◆v.V7zKGUME。 語尾の「・・。」でわかる。 きちんと名乗るように。じゃないと無視できないんで。 307 名前：１３２人目の素数さん [03/10/25 16:49] >>284 確かTamme" Introduction to etale cohomology" ( Springer) に載っていたはず。 発想法だけなら、永田らの「抽象代数幾何」でも得られる。 308 名前：３０４ mailto:sage [03/10/25 17:27] >>306 ハズレ 煽っているわけではない。ただ「激しい」という意味で言っただけ。 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/25 17:32] 確かに、２ちゃんらしからぬ良スレですね。 310 名前：教育課 mailto:sage [03/10/25 17:41] W不君は数学の才能ないみたいだから諦めた方がいいな。 311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/25 17:45] そもそもリアルでは数学をやっていない気がする。 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/25 17:55] >>311 胴衣。すくなくともM2はありえない。 313 名前：１３２人目の素数さん [03/10/25 18:54] >>288 >で外出の問題なんですが埋め込みi:sch/R→fun(alg/R)はpull backとprojective limit 保つとおもうんですがどうでしょう？そもそもsch/Rがcompleteな圏かどうかも 自信ないんですが。 pull backとprojective limitを保つのは、定義から明らか。 スキームのprojective limitが必ず存在するかどうかは、知らない。 314 名前：１３２人目の素数さん [03/10/25 22:13] >>313 以下のようにしてsch/Rがprojective limitが構成できると思うんですが どうでしょう？ 　 Π=(Xi,πij)がprojective system、X=proj.limXi (ただし位相空間の圏におけるprojective limit) とおく。πi:X→Xiを(位相空間の圏の)cannonical projectionとする。 πi^*(O_{X_i})はX上のR代数の層のinductive systemになる。このinductive systemの inductive limitをO_Xとおく。(前層のinductive limitの層化が層のinductive limitになる。) 　 でたぶん(X,O_X)はΠのprojective limitになってると思うんですが。もひとつ自信がありません。 どうでしょう？ 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/25 23:52] どうでしょう？ 316 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 12:13] >>314 無条件では成り立たないと思う。 i ≦ j のとき X_j → X_i がアフィン射なら存在する(と思う)。 この場合、任意の添え字 0 を固定して S = X_0 とおく。 0 ≦ i のとき (f_i_0)*(O_X_i)を考える。 これは、f_i_0 がアフィン射だから、準連接なO_S-algebra の層である。 従って、(f_i_0)*(O_X_i) の帰納的極限 A~ も準連接な O_S-algebra の層となる。 従って、スキーム X とアフィン射 X → S が存在して、 O_X = A~ (同型)となる。この X が　proj.lim X_i である（と思う）。 詳しくはEGA IV (4) に書いてある。 317 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 13:27] >>302 悪いが先に解答する。 k上の有理点 x ∈X と T_xの元 ψ が与えれたとする。 O_x の元は、a + t の形に一意に書ける。ここで、a は k の元で t　は m_x の 元。そこで、f(a + t) = a + ψ(t mod m_x)ε と置く。 f が O_x から k[ε]/ε^2　への局所環のk-準同型を与えることは 簡単な計算で解る(ε^2 = 0 を使う)。 このfにより Spec k[ε]/ε^2 → X　が定まる。 逆は、もっと簡単。 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/26 14:04] Birger Iversen 319 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 15:40] Hartshorn II Ex. 2.3. スキーム X は任意の開集合 U に対して, O_X(U) が0以外の ベキ零元を持たないとき、被約と呼ばれる。 (a) スキーム X が被約であるための必要十分な条件は、 任意の点 x で O_xが 0 以外のベキ零元を持たないことである。 (b) X をスキームとする。前層 U → O_X(U)_red から層化により 得られる層を、(O_X)_red と書く。ここで、環 A に対してA_red は、A/nil(A) を表す。nil(A) は A のベキ零元イデアル。 (X, (O_X)_red) がスキームであることを示せ。 これを、スキーム X に付随する被約スキームと呼び、X_red と書く。 射 X_red → X が存在し、これは、sp(X_red) と sp(X) の位相同型を 引き起こすことを示せ。ここでsp(X) は X を位相空間と考えたもの。 (c) X →　Y をスキーム間の射とし、X は被約とする。 X →　Y_red が一意に存在し、X →　Y は X →　Y_red → Y と分解される。 320 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 16:01] ここで俺が問題を出す。 X を複素多様体とする。 X は局所環付き空間と見なせる。 さらに、標準的射 X → Spec(C) が存在するから、 C上の局所環付き空間と見なせる。 ここで、C は複素数体。 X と Y を複素多様体とする。 f: X → Y をC上の局所環付き空間としての射とする。 f は複素多様体としての射、即ち解析写像とみなせることを示せ。 321 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 16:54] >>320 それ正しいのか？ 322 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 17:12] >>321 さあどうかな。教えないよ。 間違っていると思うなら反例を示せ。 323 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 18:27] Hartshorn II Ex. 2.13. 位相空間の任意の開被覆が有限部分被覆を持つとき準コンパクトという。 位相空間 X の閉集合の任意の降列 F_1 ⊃ F_2 ⊃ ... に対して 整数 r が存在して、F_r = F_(r+1) = ... となるとき X をネーター空間という。 (a)　位相空間がネーター空間であるためには、任意の開集合が 準コンパクトであることが必要十分であることを示せ。 (b) X がアフィンスキームなら sp(X) は準コンパクトであることを 示せ。X がアフィンスキームで sp(X) がネーター空間でない例を 示せ。 (c) A がネーター環なら、sp(Spec(A))はネーター空間であることを 示せ。 (d) sp(Spec(A))はネーター空間だが、A はネーター環でないような 環 A の例を示せ。 324 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 18:29] >>323 いい加減にして下さい。 >>322 解答を教えて下さい。 325 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 18:50] >>324 >>323を解いたら(どれか一つでいい)、>>322の解答を教えてあげよう。 326 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 18:59] >>316 >>314の証明まちがってますか？ 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/26 18:59] 試してみるか (d) k[x_1,x_2,･･･]/(x_1^2,x_2^2,･･･) 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/26 19:01] 書き間違い k[x_1,x_2,･･･]/(x_1,x_2,･･･)^2 329 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 19:01] >>325 じゃ(c)の解答 閉集合の減少列をとる。 そのラジカルをとるとイデアルの増大列が出来る。 この増大列は有限で止まるので、それが定義する閉集合を 考えれば証明おわり。 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/26 19:04] >>323 Hartshorn II Ex. 2.13. (c) の解答 sp(Spec(A))の閉集合の降列 F_1 ⊃ F_2 ⊃ ... をとる. F_i = V(I_i) (I_i は A のイデアル) とかける(∀i). V(I_1) ⊃ V(I_2) ⊃ ... から 昇列 I_1 ⊂ I_2 ⊂ ... がいえ, A がネーター環であるから 整数 r>0 が存在して I_i = I_r (∀i>r) が成立. よって F_r=V(I_r)=V(I_i)=F_i (∀i>r) となるから sp(Spec(A)) はネーター空間である. 331 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 19:28] >>326 >>314はそもそも完全な証明でないでしょ。 Xが局所的にアフィンであることは、どうやって証明するの？ 332 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 19:29] Xが局所的にアフィンであることは、どうやって証明するの？ Xが局所的にアフィンであることは、どうやって証明するの？ Xが局所的にアフィンであることは、どうやって証明するの？ 333 名前：333 mailto:sage [03/10/26 19:30] 333ｹﾞｯﾂ! 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/26 19:31] >>331 なるだろうなとおもってたんですが。なりそうにないですか？ 335 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 19:34] >>334 頭冷やして来い。 336 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 20:01] >>320の解答 ψを f に付随する射 O_Y → f_*(O_X) とする。 x を X の点とし、f(x) = y とおく。 U を y の開近傍とする。h を O_Y(U) の元とする。 ψ(h) はO_X(f^(-1)(U)) の元となる。 ψが誘導する局所環の C-準同型 O_y → O_x は 剰余体の準同型 C(y) → C(x) を引き起こすが、 C(x) = C(y) = C だから、これは C の恒等写像である。 h の y における芽 h_y の剰余類は、h(y) であるから、 h(y) = ψ(h)(x) となる。即ち、hf = ψ(h) となる。 これから、h として局所座標関数 y_i をとれば f のi_成分 f_i = (y_i)f が正則であることが解る。 即ち f は正則である。 証明終 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/26 20:20] おまえら、もっとまともな議論しませんか。 教科書に書いてある事はそれを見ればよいのでは？ 338 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 20:24] >>328 k[x_1,x_2,･･･]/(x_1,x_2,･･･)^2 が Hartshorne II Ex. 2.13.(d) を満たすことの証明は？ 339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/26 20:25] いいかげんにしろよボケ。算数だろがそんなもん。 340 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 20:27] >>337 Harshorneには解答が書いてないんだけど。 341 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 20:30] >>339 念のためだよ。勘に頼るだけで証明出来ない人もいるんでね。 342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/26 20:33] Harshorneの解答ぐらいどっかに転がってないかな？ 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/26 20:35] >>338 ヒント (i) Specを求めよ (ii) イデアルの無限昇鎖を構成せよ 344 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 20:42] >>342 俺の知る限りネットにはI章の解答しかない。 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/26 21:03] いくらなんでも>>328さんが証明できないとは思えないけど 346 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 21:10] >>345 誰でもいいから証明してみてくれ。 347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/26 21:23] 宿題でもでたのか？ 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/26 21:31] R=k[x_1,x_2,･･･]/(x_1,x_2,･･･)^2としてx_iの類をr_iとする。 またp={f∈R|fの定数項=0}とおく。R/p≡だから極大イデアル。 逆にqを任意の真の素イデアルとするでf∈pをとるときf^2=0∈qだからf∈q。 ∴p⊂q。pは極大イデアルなのでp=q。つまりspecRは一点。当然noether sp. イデアル列(r_1)⊂(r_1,r_2)⊂･･･は真の無限増大列なのでRはnotherでない。 　 いくらなんでもちょっと他人を馬鹿にしすぎだと思う。 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/26 21:38] 面白い実例・反例のための伏線であることに期待 350 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 21:43] >>338 簡単。 R = k[x_1,x_2,･･･]、m = (x_1,x_2,･･･) とおく。 R/m = k だから、m は極大イデアル。 よって Spec(R/m^2) = 一点（一般論からでる）。 m^2 ⊂ (x_1) + m^2 ⊂ (x_1, x_2) + m^2 ⊂ (x_1, x_2, x_3) + m^2 ⊂ ・・・ なのでR/m^2はネーターでない。 351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/26 22:05] >>337 確かに>>323は俺も簡単すぎると思ったが、いろんな レベルの人がいるんだから別にいいのでは？ 337は「まともな議論」をしたかったら自分でそれを 提示すればよい。 352 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 23:14] >>344 I章の解答のURL求む。検索したけど見つかんなかった。 353 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 23:38] >>350 >イデアル列(r_1)⊂(r_1,r_2)⊂･･･は真の無限増大列なので 何故？ 354 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 23:41] Hartshorn II Ex. 2.13.の(a), (b) の解答は？ それとHartshorn II Ex. 2.3.の解答は？ 355 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 23:47] いいか皆、Hartshorneの問題を解こうと決めたんだろ。 簡単だろうとそうでなかろうと解けばいいんだよ。 ごたごた言うんじゃない。 356 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 23:54] >>353 本当にそれがわからないのか？ ネタか？ 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/27 00:00] >>355 胴衣。簡単だからとばすとかいうのはいくない。 358 名前：１３２人目の素数さん [03/10/27 00:07] Hartshorn II Ex. 2.14. (a) S を次数付き環とする。Proj(S) が空であるためには S+ = S_1 + S_2 + ... のすべての元がベキ零であることが 必要十分であることを示せ。 (b) ψ: S → T を次数付き環の(次数を保存する)射とする。 U = {P ∈ Proj(T) ; P は ψ(S+) を含まない} とする。 U は Proj(T) の開集合であることを示せ。 さらに、ψ は射 f: U → Proj(S) を定めることを示せ。 359 名前：１３２人目の素数さん [03/10/27 00:14] >>356 簡単な問題だと威勢がいいな。ｗ 360 名前：１３２人目の素数さん [03/10/27 00:32] >>352 Google で "solutions to hartshorne" で検索すればいい。 361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/27 00:49] >>360 ありがとう！ 見つかった 362 名前：１３２人目の素数さん [03/10/27 01:04] ほんとに初歩的な質問で申し訳ないんですが、 大学で線形代数--行列とか線型空間とか--の授業が「幾何」って名前だったん だけど、いわゆる幾何学って図形とかでしょ？でも線形代数では図形はまず出て 来ないのに、何で「幾何」っていうんですか？ 一応大学は卒業しましたが、最後まで線形代数には図形はほとんど出てこなかった。 回転変換とか合同変換などでほんのわずかに出てきましたが... どちらかというと微積分の授業で図形が出てきましたがその授業の名前は「解析」 だったりする。内積、外積、ストークスの定理とかは「解析」の授業でやりました。 ベクトル解析という名前で。 363 名前：↑ mailto:sage [03/10/27 01:35] n次元空間R^nは最も基本的な幾何学的対象だから。 拘っても無駄。 364 名前：197 [03/10/27 01:37] >>355 同意。じゃ、とりあえず簡単なのから Hartshorne II Ex. 2.13. (a) (>>323) の解答： （以下⊂は真の包含関係を表すとする） X がネーターでないとする。つまりU_1 ⊂U_2⊂ ... という開集合の真の増大列 が存在する。U = ∪U_i とおけば、U は準コンパクトでない。 逆に、準コンパクトでない開集合 U が存在したとする。つまり有限部分開被覆が とれない U = ∪U_i が存在する。まず V_1 を {U_i} の中から勝手にひとつ取る。 仮定から V_1 ≠ U、よってV_1 ⊂ V1∪U_2 なるU_2が{U_i} の中に存在する。 V_2 := V1∪U_2 とおく。仮定から V_2 ≠ U、よって V_2 ⊂ V1∪U_3 なるU_3 が{U_i} の中に存在する。V_3 := V2∪U_3 とおく。以下同様にV_i を構成すれば 開集合の真の増大列が得られる。以上。 365 名前：197 [03/10/27 01:39] 続いてHartshorne II Ex. 2.13. (b) (>>323) の解答 X = Spec A とおく。以下、A のイデアル I に対して X - V(I) を D(I) と書く。 X の開被覆 {U_i} が与えられたとする。U_i = D(I_i) とかける。 X = ∪U_i = ∪D(I_i) = D(ΣI_i) となるので、ΣI_i = (1)。よって有限個の f_1, f_2, ..., f_n (f_i∈I_i) が存在して f_1 + f_2 + ... + f_n = 1。よって X = D(I_1) ∪ ... ∪D(I_n) となる。 アフィンスキームでネーター空間でない例は、Spec k[t_1, t_2, ...] 。 素イデアルの列 (t_1) ⊂ (t_1, t_2) ⊂ ... に対応する閉部分集合の列を考え ればネーター空間でないことがわかる。 366 名前：１３２人目の素数さん [03/10/27 02:50] >>363 それってベクトル(n行1列行列)を扱うから幾何って意味ですか？失礼ですがそれだけ？ 「幾何」という名前にずいぶん混乱させられたけどなあ。 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/27 04:03] あなたは「幾何」ってどんなものだと思ってるの？

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