- 199 名前：186 [03/10/18 02:48]
- >>197の修正版。超限帰納法をきちんと使ったらできた。
II.1.16(b) の証明：
左完全性は常に成り立つから、F(U) → F''(U) が全射であることを示せばよい。
以下、F' を F の部分層とみなす。
s ∈ F''(U)をとる。F → F'' が層の全射であることから、
∃ U の開被覆 {U_i}、t_i ∈ F(U_i) t_i → s|U_i。
添字の集合I に適当な整列順序を入れ、i, j (i < j) に対して
c_ij := t_j - t_i ∈ F(U_i∩U_j) とおく。
c_ij ∈ Ker(F(U_i∩U_j) → F''(U_i∩U_j)) = F'(U_i∩U_j) であること、
および {c_ij} が c_jk - c_ik + c_ij = 0 (i < j < k) を満たすことが容易にわかる。
ここで、
∃ {c_i} ∈ ΠF'(U_i) s.t. ∀ i, j (i < j) c_j - c_i = c_ij ∈ F'(U_i∩U_j) ・・・ (*)
を超限帰納法で示す。
k ∈ I を任意に1つとり、J := {j ∈ I | j < k} に対して
∃ {c_j} ∈ ΠF'(U_j) (j ∈ J) s.t. ∀ j, j' ∈ J (j < j') c_j' - c_j = c_jj' ∈ F'(U_j∩U_j')
が成り立つと仮定する。
今、j''∈J を勝手に1つとり、c_j'' + c_j''k ∈ F'(U_j''∩U_k) の、
制限写像F'(U_k)→F'(U_j''∩U_k)による逆像の1つをc_k ∈ F'(U_k)とおく。
F' が軟弱であることからこのような c_k が常にとれる。
この c_k は c_k - c_j = c_jk (∀ j∈ J) を満たす。実際、
j < j'' の場合、c_k - c_j = c_j'' + c_j''k - c_j = c_jj'' + c_j''k = c_jk、
j'' < j の場合、 c_k - c_j = c_j'' + c_j''k - c_j = - c_j''j + c_j''k = c_jk。
よって K := J ∪ {k} についても仮定と同じ主張がなりたつことが示され、
結局 (*) が示された。
この {c_i} を使って、{r_i}∈ΠF(U_i) を r_i := t_i - c_iで定義すると、U_i∩U_j 上で、
r_i = t_i - c_i = t_i - c_j + c_ij = t_i - c_j + t_j - t_i = r_j。
よって、この {r_i} はグローバルに r ∈ F(U) に貼り合わせることができ、これが求める
s の逆像となる。
以上。
|
 |
