大好き★代数幾何

1 名前：１３２人目の素数さん [03/10/02 00:41] Grothendieckは代数幾何が大好きだったそうです。 231 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/20 21:22] 釣り師 232 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/20 21:38] 一匹も釣れなかった>>231を晒し上げ 233 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/20 21:39] >>230の間違い・・ギャ〜！ 234 名前：197 [03/10/20 21:42] 次に(b)の解答。 X が準コンパクトなのでXの有限開アフィン被覆U_i = Spec B_iをとれる。 a|U_i = b_i、f|U_i = f とおく。(a) および a|X_f = 0 より、 b_i = 0 in B_i_g。B_i_g の定義から ∃n_i>0 (g_i^n) b_i = 0。 よって、n := max{n_i} とすると各U_i上で((f^n) a)| U_i = 0。 よって、(f^n) a = 0 in A。以上 235 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/20 21:43] またナンセンスなことを・・。 236 名前：197 [03/10/20 21:43] ああ、また間違い... 「f|Ui = f」は「f|U_i = g_i」ね。 237 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME mailto:sage [03/10/20 21:51] そんなことやっていたら、読了に半年以上かかっちゃうよ。 238 名前：197 [03/10/20 22:49] >>230 だね。証明はこれでよい？ x ∈ X_f とする。f_x ∈ O_x - m_x だから f_x は O_x で可逆。よって ∃g_x∈O_x - m_x s.t. f_x g_x = 1。これは x の近傍 V と g_x の代表元 g ∈ O_X(V) をとって (f|V) g = 1 とできることを意味する。 よって、∀y∈V f_y は可逆、つまりf_y ∈ O_y - m_y、つまり V ⊂ X_f。 よってX_fは開集合。 239 名前：１３２人目の素数さん [03/10/20 22:58] >>238 OK 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [03/10/20 23:12] 定数層って何なんですか？ 241 名前：１３２人目の素数さん [03/10/20 23:23] >>240 Aをアーベル群とする。 Aに離散位相を入れる。 位相空間 X 上の A に値をとる連続関数のなす層を Aに値をとる定数層という。 これは、A に値をとる関数で局所的に定数となるもののなす層と 言ってもいい。 242 名前：197 [03/10/20 23:41] >>240 任意の開集合 U に対して A を対応させる前層を作り、それを 層化するって考えてもいいね。結局241と同じものになるけど。 243 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/21 06:50] >>239の晒し上げ 244 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/21 07:30] 大好きで〜す！！代数幾何 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/21 07:46] 2ch は突発的に高度な話題が展開されるから、侮れない。 少し前の複素解析のような雰囲気だ。 246 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/21 07:49] このスレのどこが高度なんだ？ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ 247 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/21 07:49] さいと 248 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/21 08:05] ネーター環って何？ 249 名前：240 mailto:sage [03/10/21 09:20] >>241 ｻﾝｸｽです。Aに離散位相を入れるところがﾐｿですね。 あと、可逆層というのが解らないのですが･･･。 250 名前：１３２人目の素数さん [03/10/21 19:44] >>249 >>84あたりから説明してある。 読んでみて、それでも解らないときは、どこがわからないか質問してくれ。 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/21 22:29] シツモソです。むかしR-schemeの圏sch/RからR代数の圏上の関手の圏へ Fully-faithfull なうめこみ X→(R→Hom(specR,X)) があると習った記憶があるんですが この埋め込みは右随伴か左随伴かもってないでしょうか？ この関手としてschemeを解釈する手法のおすすめの教科書ってなんかありますか？ 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/21 22:31] 訂正です シツモソです。むかしR-schemeの圏sch/RからR代数の圏上の関手の圏へ Fully-faithfull なうめこみ X→(A→Hom(specA,X)) があると習った記憶があるんですが この埋め込みは右随伴か左随伴かもってないでしょうか？ この関手としてschemeを解釈する手法のおすすめの教科書ってなんかありますか？ 253 名前：240 mailto:sage [03/10/22 17:30] >>250 いろいろとすみません。可逆層はだいたい分かりました。 実は、以前から分からなくて困っていることがあります。 最近あまり読んでいないのですが、motivic cohomology に関する論文などを見ておりますと、H(X,Z(n))やH(X,Q(n)) などの形のコホモロジーが頻繁に出てきます。 ここでXはscheme、Zは整数環、Qは有理数体です。 実は、この中のｎの意味が分かりません。どうやら、Z(n)やQ(n) は、それぞれZ(1)、Q(1)をｎ回テンソル積したものらしいです。 Z(1)やQ(1)などはいったい何を表しているのでしょうか。 説明もなしにいきなり出てくるものですから･･･。 よろしければご教示よろしくお願いします。 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/22 17:39] >>253 手元のフーズモラー「ファイバー束」によると（p.183） > 成分が Ｆ にある n × n 行列からなる多元環に記号 Ｆ(n) を用いる。 とあるね。 要するに M_n(Ｆ) のことか。 255 名前：240 mailto:sage [03/10/22 21:02] >>254 ありがとうございます。 Jannsenの「Motives」という本を見ていたら思い出しました。 (n)というのはTate Twistと呼ばれるもので、どうやらZ(k)= (SpecZ,id,k)と表されるTate Objectのことらしいです。 www.mathematik.uni-bielefeld.de/documenta/vol-08/04.pdf の中で定義が記されていますが、Chow Correspondenceによるもので どうも分かりにくいです。もっと単純な説明はないものか･･･。 256 名前：１３２人目の素数さん [03/10/22 21:07] >>252 EGAやSGAはその思想で貫かれていると思うが。 Mumfordの"Lectures on Curves on an Algebraic Surface"も いいかもしれない。はずしてたらスマン。 因みに、それがFully-faithfullな埋め込みであることを誰か証明 してくれないかな。難しくないよ。 257 名前：１３２人目の素数さん [03/10/22 21:46] >>252 もっといいのがあった。 www.refuter.com/max/mathtexts.php ここの "Fondements de la Geometrie Algebrique"の Technique de descente et theoremes d'existence en geometrie algebrique (I-VI). 258 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/22 22:00] グラタンディックのディセントage 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/22 23:26] ＞定数層って何なんですか？ ＞可逆層というのが解らないのですが･･･。 ＞motivic cohomology ＞に関する論文などを見ておりますと ＞Jannsenの「Motives」という本を見ていたら思い出しました ネタですか？なんかバランス悪すぎません？ 260 名前：１３２人目の素数さん [03/10/22 23:34] >>259 ネタというより、probe かな？ ここのleader の知識を試すみたいな。 261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/22 23:34] >>259 それおれもおもた。 262 名前：１３２人目の素数さん [03/10/22 23:48] で II.Ex.2.16 (c) (d) の解答は？ 197でなくても誰でもいいでしょ？ 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/23 00:08] >>260 当人ですか？わざとらしすぎて>>255にもマジレスしていいのやら 悪いのやら・・・ 264 名前：197 [03/10/23 00:23] >>262 197だ。II. Ex.2.16 (c) の解答。 (a) より、各 U_i = Spec B_i 上で、 b|U_i∩X_f = c_i/(f|U_i∩X_f)^m_i, c_i∈B とかける。よって、iによらない十分大きいmをとって d_i := (f|U_i)^(m - m_i) * c_i ∈B_i とおけば、任意の i, j について (d_i - d_j)|U_i∩U_j∩X_f = 0。 ここで、U_i∩U_j を X と考えて (b) を適用すると、 (f^l_i_j) * (d_i - d_j)|U_i∩U_j = 0 となる l_i_j が各 (i, j)について存在する。 よってi, j によらない十分大きい l をとって e_i := (f|U_i)^l * d_i ∈B_i とおけば、任意の i, j について (e_i - e_j)|U_i∩U_j = 0。 よって{e_i} はグローバルに貼り合わせることができ、 それを e∈Γ(X, O_X) = Aとし、さらにn := m + l とすれば e | X_f = (f^n) * b となる。以上 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/23 00:24] まあ他人を試すようなマネするような香具師にろくな香具師はいないわけで･･･ 266 名前：197 [03/10/23 00:54] >>262 最後、II. Ex.2.16 (d) の解答。 f|X_f は Γ(X_f, O_X) で可逆だから、A→A_f のuniversal property より （適当な図式が可換になる）A_f → Γ(X_f, O_X) が存在する。 A_f → Γ(X_f, O_X) が単射であることが(b)より、全射であること が(c)よりいえる。 以上 267 名前：１３２人目の素数さん [03/10/23 07:50] 有難う。 II. Ex.2.17 に行こうか。 268 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 10:17] 勝手に行ってろ。 269 名前：197 [03/10/23 11:06] >>267 OK。とりあえず翻訳 II. Ex. 2.17 (アフィン性の判定条件） (a) f: X→Yをスキームの射とする。Y の開被覆 U_i が存在し、 各iについて誘導射f^-1(U_i) → U_iが同型であるとする。 このとき f は同型であることを示せ。 (b) 「スキームXがアフィン」と「有限個の元 f_1, ..., f_r ∈ A = Γ(X, O_X) が 存在して、各開集合X_f_iがアフィンかつf_1, ..., f_r が A の単位イデアルを生成 する」は同値であることを示せ（ヒント：（Ex. 2.4)と(Ex. 2.16d)を使え）。 270 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:09] >>269 真昼間から2chかよｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ おめでてーなーｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ 271 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:18] いまどきスキームなんて流行らねーんだよ！ これからは位相空間の時代。 とくに整係数ホモロジ−なんかがヤバイ。 272 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:19] もちろん群論・微分積分学的位相空間ね。 273 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:20] そもそも位相空間の定義って、難し過ぎないか？？ 開集合ってなんだよ！！！ ぜんぜん開いてねーじゃん！！ 晒しあげ 274 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:22] しかも開集合であるかどうかの約束って何だよ！！ そこまでいうなら、すべての集合を開集合にしちまえよ！！ するとどんな写像も連続になるから、そこで微分積分学が展開出来る。 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/23 11:26] 離散位相 276 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:27] ロベ−グ積分はいい線いっていると思う。 しかし、開集合を「定義」しているからぜんぜんだめ。 そのうち、大天才が現れて、開集合なしの積分論が展開されるだろうけどね。 277 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:30] >>275 何もかもが開いている香具師だろ？ それだけ考えれば、難しいことは起こらないのにね。 たとえば良くある問題 （・∀・）は開集合であることを示せ。 [新理論による解答] すべての集合は開集合である。 とくに（・∀・）も開集合である　　u.e.d かなり微分積分学の見通しが良ったじゃねーかよ！！！ どこか問題ある？？ 278 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:36] すると 開集合＝閉集合にならないか？ 矛盾か？ 279 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:45] 明らかに矛盾だな。 ってことはすべてを開集合にしたらマズイわけだ・・。 だから、開集合にいろいろな条件がつくわけか。 少し分かってきた。 俺のD論は「開集合の危機」みたいなテーマで書こうかなｗ。 280 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 11:51] まだしっくり来ないな＞開集合 S田先生に質問してきまつ。 でも、この人滅多に見ないんだよな・・。 281 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 12:01] すべての図形は位相空間である。 ↑は正しいの？ 282 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 12:02] 正確には「目に見える図形」だな・・。 トーラスとかは目に見えない図形だけど、 位相空間になるらしいからな。 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/23 12:32] オマコンボール 284 名前：１３２人目の素数さん [03/10/23 13:05] 積を有する圏を値に持つpresheafの層化ってどうやるの？ 285 名前：282さんへ [03/10/23 13:33] ドーナツは良く見えるとおもうのですが、、、、 286 名前：１３２人目の素数さん [03/10/23 17:47] >>256-257 ＞EGAやSGAはその思想で貫かれていると思うが。 ＞ここの "Fondements de la Geometrie Algebrique"の ＞Technique de descente et theoremes d'existence en geometrie algebrique (I-VI). 　 フラ語は“えるけらーる”と“じゅしじゃぽね”ぐらいしかしらないのでできれば英語が いいんですが。なんかないすかね。もうこのテク開発されてだいぶたってると思うので 英語のいい教科書がありそうなもんだと思うんですが。 希望としては外出のうめこみが左随伴をもってほしいんですが。 関手F:Alg/R→Setsがschemeで表現される十分条件でなるべくゆるいやつ知りたいんですが なんかありませんか？たしか“1の分割”がどうこうとかいうのがあったような気がするんですが。 うるおぼえスマソ。 287 名前：１３２人目の素数さん [03/10/23 19:43] >>286 残念だがフランス語を勉強するしかないと思う。 Grothendieckが精力的に（分野によってはペンペン草も生えない程）に やった仕事を翻訳ではなくわざわざ英語で書き直すようなヒマな数学者は いないだろう。 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/23 19:58] >>287 ＞残念だがフランス語を勉強するしかないと思う。 　 そうっすか。まあそのうちやろうとおもてたのでそれはそれでいいんですが。 で外出の問題なんですが埋め込みi:sch/R→fun(alg/R)はpull backとprojective limit 保つとおもうんですがどうでしょう？そもそもsch/Rがcompleteな圏かどうかも 自信ないんですが。 289 名前：W不 ◆v.V7zKGUME [03/10/23 20:12] ぜんぜん違う。 外に出て頭冷やして来い。 これこそ真の「外出」だな（爆笑）。 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/23 20:18] >>289 pull backが保存されない例かprojective limitが保存されない例しってるの？ 291 名前：１３２人目の素数さん [03/10/23 21:05] >>288 保つと思う。自信は無い。ｗ A → B を忠実平坦なR-環準同型とする。 Fを問題の関手とすると、 F(A) → F(B) ⇒ F(B(x)B) は完全となる。 ここで、⇒ は二つの標準的射をあらわし、この核としては差核を取る。 一般にはこれだけで十分条件とはならないだろうが、詳しくは 知らない。なにせ、俺もFGAは読んでない。ｗ 292 名前：１３２人目の素数さん [03/10/23 21:14] 難しい質問もいいが、演習問題を解いてくれ。 遠くの美人より身近の女だ。 293 名前：１３２人目の素数さん [03/10/23 21:20] 命題が偽なので解けません。 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/23 21:33] >>293 どんな反例があるの？ 295 名前：１３２人目の素数さん [03/10/23 23:11] 反例1 あゃゃ＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞妹 反例2 あゃゃ＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞ﾏﾏﾝ 反例3 あゃゃ＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞幼なじみのゆみ 296 名前：197 [03/10/24 00:07] >>286 "The Geometry of Schemes", David Eisenbud, Joe Harris, Springer GTM 197 のVI章 "Schemes and Functors" が参考になるかも。 漏れはよく読んでないが、件の関手 Alg/R→Setsがschemeで表現される必要十分条件とか が書いてあるぞ。 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/24 00:11] >>296 ｿﾚﾀﾞ!!!!そういう情報が欲しかった。ありがとう。夜おそくまで2chやってていいこともあるもんだ。 と自分をあまやかしてみるてすと。 298 名前：197 [03/10/24 18:41] Hartshorn II Ex. 2.17 (a) （>>269）の解答： 仮定から f が位相空間上で homeo になることは明らか。 付随する層の準同型も、stalk 上でみれば iso になることは明らか。以上。 ... って何かこれ、問題としては簡単すぎないか? この説明でなんか抜けある？ 299 名前：197 [03/10/24 18:49] 続いてHartshorn II Ex. 2.17 (b)（>>269）の解答： (b)X_f_i = Spec B_i とおく。Ex. 2.4（＝このスレの>>72, >>78）より、 φ: X → Spec A という標準射がある（位相空間上の連続写像は、x に {g∈A | g_x∈m_x⊆O_x}を対応させるもの。層の準同型も自然に定まる）。 各iについてφ-1(D(f_i)) = X_f_i であることがφの定義から容易に出る。 また、仮定 (f_1, ..., f_r) = (1) より、X = ∪ X_f_i（∵∀i f_i_x∈m_x とするとO_x で (f_1_x, ...., f_r_x) ≠ (1) となるから）。また、X_f_i が アフィンであることおよびX_fの定義より、X_f_i∩X_f_jはSpec B_iの開集合 D(f_j|X_f_i)となるから特に準コンパクト。よって {X_f_i} はEx. 2.16 (c) の 条件を満たすので、Ex. 2.16 (d)からΓ(X_f_i) =~ A_f_i、つまり X_f_i =~ Spec A_f_i。誘導射φ_i: X_f_i → D(f_i)は、左側をこの同型で Spec A_f_iとみなし、右側を標準的な同型で Spec A_fiとみなせば、実は恒等射 に等しいことがφの定義からわかる。以上と(a) から、結局φはiso、 よってXはアフィン。以上。 300 名前：１３２人目の素数さん [03/10/24 19:28] >>298 いいと思う。 301 名前：１３２人目の素数さん [03/10/24 19:30] 前に戻ってHartshorn II Ex. 2.8と行こう。 302 名前：197 [03/10/24 20:03] >>301 とりあえず翻訳 Hartshorn II Ex. 2.8. Xをスキームとする。任意の点 x∈Xに対して、Xのxでの「ザリスキ接空間T_x」を、 k(x)-ベクトル空間 m_x/m_x^2の双対空間と定義する。今、Xがk上のスキームで あるとし、k[ε]/ε^2を k 上"ring of dual numbers"とする。k-morphism Spec k[ε]/ε^2 → X をひとつ与えることは、k上の「有理点」 x ∈X（つまり k(x) = k なる点）をひとつとT_xの元をひとつ与えることと同等であることを示せ。 303 名前：197 [03/10/24 20:27] ところで以前>>199に書いた>>193の証明だが、超限帰納法とか鬱陶しいもん 使わずにもっと簡潔にできることに気付いた（もちろん選択公理は暗に使っ てるが）。 >>193 Hartshorneの演習問題 II.1.16(b)の解答（再修正版） 左完全性は常に成り立つから、F(U) → F''(U) が全射であることを示せばよい。 以下、F' を F の部分層とみなす。 s ∈ F''(U)をとる。F → F'' が層の全射であることから、 ∃U の開被覆 {U_i}(i∈I) ∃t_i∈F(U_i) s.t. t_i → s|U_i。 任意のi, j に対して c_ij := t_j - t_i ∈ F(U_i∩U_j) とおく。 c_ij ∈ Ker(F(U_i∩U_j) → F''(U_i∩U_j)) = F'(U_i∩U_j) であること、 および {c_ij} が c_ii = 0, c_ij = -c_ji, c_jk - c_ik + c_ij = 0 を満たすことが容易にわかる。 いま、0∈Iをひとつとって固定する。F' が軟弱だから、各c_0i∈F'(U_0∩Ui)を c_i∈F'(U_i)に延長することができる。この{c_i}は、 ∀ i, j c_j - c_i = c_ij ∈ F'(U_i∩U_j) を満たしていることが容易にわかる。 {r_i}∈ΠF(U_i) を r_i := t_i - c_iで定義すると、U_i∩U_j 上で、 r_i = t_i - c_i = t_i - c_j + c_ij = t_i - c_j + t_j - t_i = r_j。 よって、この {r_i} はグローバルに r ∈ F(U) に貼り合わせることができ、 これが求めるs の逆像となる。 以上。 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/24 21:44] このスレむちゃくちゃだな・・。 305 名前：１３２人目の素数さん [03/10/25 00:46] ベクトルは大切に。 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/25 14:18] >>304 このスレむちゃくちゃだな・・。 は、W不 ◆v.V7zKGUME。 語尾の「・・。」でわかる。 きちんと名乗るように。じゃないと無視できないんで。 307 名前：１３２人目の素数さん [03/10/25 16:49] >>284 確かTamme" Introduction to etale cohomology" ( Springer) に載っていたはず。 発想法だけなら、永田らの「抽象代数幾何」でも得られる。 308 名前：３０４ mailto:sage [03/10/25 17:27] >>306 ハズレ 煽っているわけではない。ただ「激しい」という意味で言っただけ。 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/25 17:32] 確かに、２ちゃんらしからぬ良スレですね。 310 名前：教育課 mailto:sage [03/10/25 17:41] W不君は数学の才能ないみたいだから諦めた方がいいな。 311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/25 17:45] そもそもリアルでは数学をやっていない気がする。 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/25 17:55] >>311 胴衣。すくなくともM2はありえない。 313 名前：１３２人目の素数さん [03/10/25 18:54] >>288 >で外出の問題なんですが埋め込みi:sch/R→fun(alg/R)はpull backとprojective limit 保つとおもうんですがどうでしょう？そもそもsch/Rがcompleteな圏かどうかも 自信ないんですが。 pull backとprojective limitを保つのは、定義から明らか。 スキームのprojective limitが必ず存在するかどうかは、知らない。 314 名前：１３２人目の素数さん [03/10/25 22:13] >>313 以下のようにしてsch/Rがprojective limitが構成できると思うんですが どうでしょう？ 　 Π=(Xi,πij)がprojective system、X=proj.limXi (ただし位相空間の圏におけるprojective limit) とおく。πi:X→Xiを(位相空間の圏の)cannonical projectionとする。 πi^*(O_{X_i})はX上のR代数の層のinductive systemになる。このinductive systemの inductive limitをO_Xとおく。(前層のinductive limitの層化が層のinductive limitになる。) 　 でたぶん(X,O_X)はΠのprojective limitになってると思うんですが。もひとつ自信がありません。 どうでしょう？ 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/25 23:52] どうでしょう？ 316 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 12:13] >>314 無条件では成り立たないと思う。 i ≦ j のとき X_j → X_i がアフィン射なら存在する(と思う)。 この場合、任意の添え字 0 を固定して S = X_0 とおく。 0 ≦ i のとき (f_i_0)*(O_X_i)を考える。 これは、f_i_0 がアフィン射だから、準連接なO_S-algebra の層である。 従って、(f_i_0)*(O_X_i) の帰納的極限 A~ も準連接な O_S-algebra の層となる。 従って、スキーム X とアフィン射 X → S が存在して、 O_X = A~ (同型)となる。この X が　proj.lim X_i である（と思う）。 詳しくはEGA IV (4) に書いてある。 317 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 13:27] >>302 悪いが先に解答する。 k上の有理点 x ∈X と T_xの元 ψ が与えれたとする。 O_x の元は、a + t の形に一意に書ける。ここで、a は k の元で t　は m_x の 元。そこで、f(a + t) = a + ψ(t mod m_x)ε と置く。 f が O_x から k[ε]/ε^2　への局所環のk-準同型を与えることは 簡単な計算で解る(ε^2 = 0 を使う)。 このfにより Spec k[ε]/ε^2 → X　が定まる。 逆は、もっと簡単。 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/26 14:04] Birger Iversen 319 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 15:40] Hartshorn II Ex. 2.3. スキーム X は任意の開集合 U に対して, O_X(U) が0以外の ベキ零元を持たないとき、被約と呼ばれる。 (a) スキーム X が被約であるための必要十分な条件は、 任意の点 x で O_xが 0 以外のベキ零元を持たないことである。 (b) X をスキームとする。前層 U → O_X(U)_red から層化により 得られる層を、(O_X)_red と書く。ここで、環 A に対してA_red は、A/nil(A) を表す。nil(A) は A のベキ零元イデアル。 (X, (O_X)_red) がスキームであることを示せ。 これを、スキーム X に付随する被約スキームと呼び、X_red と書く。 射 X_red → X が存在し、これは、sp(X_red) と sp(X) の位相同型を 引き起こすことを示せ。ここでsp(X) は X を位相空間と考えたもの。 (c) X →　Y をスキーム間の射とし、X は被約とする。 X →　Y_red が一意に存在し、X →　Y は X →　Y_red → Y と分解される。 320 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 16:01] ここで俺が問題を出す。 X を複素多様体とする。 X は局所環付き空間と見なせる。 さらに、標準的射 X → Spec(C) が存在するから、 C上の局所環付き空間と見なせる。 ここで、C は複素数体。 X と Y を複素多様体とする。 f: X → Y をC上の局所環付き空間としての射とする。 f は複素多様体としての射、即ち解析写像とみなせることを示せ。 321 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 16:54] >>320 それ正しいのか？ 322 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 17:12] >>321 さあどうかな。教えないよ。 間違っていると思うなら反例を示せ。 323 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 18:27] Hartshorn II Ex. 2.13. 位相空間の任意の開被覆が有限部分被覆を持つとき準コンパクトという。 位相空間 X の閉集合の任意の降列 F_1 ⊃ F_2 ⊃ ... に対して 整数 r が存在して、F_r = F_(r+1) = ... となるとき X をネーター空間という。 (a)　位相空間がネーター空間であるためには、任意の開集合が 準コンパクトであることが必要十分であることを示せ。 (b) X がアフィンスキームなら sp(X) は準コンパクトであることを 示せ。X がアフィンスキームで sp(X) がネーター空間でない例を 示せ。 (c) A がネーター環なら、sp(Spec(A))はネーター空間であることを 示せ。 (d) sp(Spec(A))はネーター空間だが、A はネーター環でないような 環 A の例を示せ。 324 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 18:29] >>323 いい加減にして下さい。 >>322 解答を教えて下さい。 325 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 18:50] >>324 >>323を解いたら(どれか一つでいい)、>>322の解答を教えてあげよう。 326 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 18:59] >>316 >>314の証明まちがってますか？ 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/26 18:59] 試してみるか (d) k[x_1,x_2,･･･]/(x_1^2,x_2^2,･･･) 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/26 19:01] 書き間違い k[x_1,x_2,･･･]/(x_1,x_2,･･･)^2 329 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 19:01] >>325 じゃ(c)の解答 閉集合の減少列をとる。 そのラジカルをとるとイデアルの増大列が出来る。 この増大列は有限で止まるので、それが定義する閉集合を 考えれば証明おわり。 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/26 19:04] >>323 Hartshorn II Ex. 2.13. (c) の解答 sp(Spec(A))の閉集合の降列 F_1 ⊃ F_2 ⊃ ... をとる. F_i = V(I_i) (I_i は A のイデアル) とかける(∀i). V(I_1) ⊃ V(I_2) ⊃ ... から 昇列 I_1 ⊂ I_2 ⊂ ... がいえ, A がネーター環であるから 整数 r>0 が存在して I_i = I_r (∀i>r) が成立. よって F_r=V(I_r)=V(I_i)=F_i (∀i>r) となるから sp(Spec(A)) はネーター空間である. 331 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 19:28] >>326 >>314はそもそも完全な証明でないでしょ。 Xが局所的にアフィンであることは、どうやって証明するの？

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