大好き★代数幾何

1 名前：１３２人目の素数さん [03/10/02 00:41] Grothendieckは代数幾何が大好きだったそうです。 124 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 10:24] 命題１８ Aを環。MをA-加群とする。 任意の素イデアル p に対して, M_p = 0 なら、M = 0 である。 これを証明せよ。 125 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 10:28] 命題１９ Aを環。f:M → N をA-加群の準同型とする。 f_p: M_p → N_p が任意の素イデアルに対して全射なら、 fも全射である。 これを証明せよ。 126 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 10:30] 命題１９ 有理数体上定義された楕円曲線はモジュラーである。 これを証明せよ。 127 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 10:32] >>126 訂正 命題１９⇒命題２０ 128 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 10:34] >>123 証明終わりという意味。ラテン語の頭文字。 英語の辞書に載ってるよ。 そんなことより、証明、分かってるのか。 129 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 10:39] 定義２ Aを環。MをA-加群とする。 有限自由なL_1, L_2で L_1 → L_2 → M → 0 が完全となるようなものが存在するとき、 Mを有限表示を持つ加群という。 130 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 10:54] 命題２０ Aを環。Mを有限表示を持つA-加群とする。 NをA-加群、pをAの素イデアルとする。 Hom(M, N)_p = Hom(M_p, N_p) が成り立つ。 ここで、Hom(M_p, N_p)はA_p-加群としてのHom 証明 N, p を固定する。 F(M) = Hom(M, N)_p G(M) = Hom(M_p, N_p) とおく。 F, G は加法的関手である。 射: F → G が存在する。 即ち、Hom(M, N)_p → Hom(M_p, N_p) これは、f:M → N に、f_p: M_p → N_p を対応させるもの。 M が有限自由のときは、これは同型である。 Mが有限表示を持つから、A_pによるテンソル積が完全列を保存すること (A_pの平坦性)と可換図式により、命題が成り立つ。 詳細は各自にまかす。 QED. 131 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 20:37] 定義３ Aを環とし、MをA-加群とする。 任意のA-加群の列 N' → N → N'' に対して これが完全であることと N'(x)M → N(x)M → N''(x)M が完全であることが同値となるとき、 Mを忠実平坦であるという。 命題２１ Aを環。MをA-加群とする。 以下は互いに同値である。 1) Mは忠実平坦である 2) Mは平坦で、N ≠ 0 なら N(x)M ≠ 0 3) Mは平坦で、M ≠ mM がAの任意の極大イデアルm に対して成り立つ。 これを証明せよ。 132 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 22:56] 命題２２ Aを環。Mを有限表示を持つA-加群とする。 0 → G → F → M → 0 が完全で、 Fが有限生成なら、Gも有限生成である。 証明 有限自由なL_1, L_2で L_1 → L_2 → M → 0 が完全となるようなものが存在する 従って以下の可換図式が成り立つ。 　　L_1 → L_2 → M → 0 ↓ 　　↓ 　↓ 0 → G → F → M → 0 ここで、M → Mは恒等写像。 Snake lemma より Coker(L_1 → G) = Coker(L_2 → F)　(同型) よって、Coker(L_1 → G)は有限生成。 Im(L_1 → G)も有限生成だから、Gも有限生成である。 QED. 133 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 23:18] 命題２３ 環Aを環Bの部分環で、BはA-加群として忠実平坦とする。 MをA-加群とする。M(x)B がB-加群として有限表示を持てば、 MもA-加群として有限表示を持つ。 証明 M(x)B はがB-加群として有限生成だから、 Mの部分加群Nで有限生成で、N(x)B → M(x)B が同型と なるものが存在する。BはA-加群として忠実平坦だから、 NはMと一致する。従ってMは有限生成。 よって有限自由なFと以下の完全列が存在する。 0 → G → F → M → 0 BはA-平坦だから、 0 → G(x)B → F(x)B → M(x)B → 0 は完全。M(x)BはB-加群として表示を持ち、 F(x)Bは有限生成だから、命題２２より G(x)Bも有限生成である。BはA-加群として忠実平坦だから 最初に述べた方法と同様にGも有限生成である。 QED. 134 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 23:32] 命題２４ 有限生成射影加群は、有限表示を持つ。 これを証明せよ。 135 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 23:45] 命題２５ BをA-代数で、BはA-加群として平坦とする。 Mを有限表示を持つA-加群とする。 NをA-加群とする。 Hom(M, N)(x)B = Hom(M(x)B, N(x)B) (同型)が成り立つ。 ここで、Hom(M(x)B, N(x)B) はB-加群としてのHom 証明は、命題２０と同様。 136 名前：１３２人目の素数さん [03/10/11 23:55] 命題２６ 環Aを環Bの部分環で、BはA-加群として忠実平坦とする。 MをA-加群とする。M(x)B がB-加群として有限生成射影加群 なら、MもA-加群として有限生成射影加群である。 証明 命題２４より、M(x)B は有限表示を持つ。 従って命題２３より、M は有限表示を持つ。 従って命題２５より、任意のA-加群Nに対して Hom(M, N)(x)B = Hom(M(x)B, N(x)B) (同型)となる。 任意の完全列　N → N' → 0　に対して、 N(x)B → N'(x)B → 0 も完全である。 M(x)Bは射影加群だから、 Hom(M(x)B, N(x)B) → Hom(M(x)B, N'(x)B) → 0 も完全。 従って、Hom(M, N)(x)B → Hom(M, N')(x)B → 0 も完全。 Bは忠実平坦だから、Hom(M, N) → Hom(M, N') → 0 も完全。 即ち、Mは射影加群である。 QED. 137 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 00:13] 命題２７ Aを環。{f_i} をAの元の有限列で、単位イデアルAを 生成するとする。A_f_i の直和環をBとする。 BはA-加群として忠実平坦である。 証明 各A_f_iはA-平坦だから、BもA-平坦である。 仮定より、{D(f_i)} はSpec(A)の開被覆である。 従って、pをAの素イデアルとすると、 p はあるD(f_i) に含まれる。pA_f_i はA の素イデアル である。これよりpB ≠ B が分かる。 命題２１より、BもA-忠実平坦である。 QED. 138 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 00:38] 命題２８ Aを環、MをA-加群とする。 X = Spec(A)とおき、O_X-加群 M~ を考える。 M~が可逆層なら、Mは有限生成射影加群である。 証明。 M~が可逆層であるから、Spec(A)の開被覆 {D(f_i)} で各M_f_iがA_f_iとA_f_i加群として同型なものがある。 M_f_iの直和 T を考える。 T = M (x) B である。 TはBとB-加群として同型だから、B-加群として 有限生成射影加群である。 命題２７より、BはA-加群として忠実平坦である。 従って、命題２６よりMは有限生成射影加群である。 QED. 139 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 00:45] >128 quantum electrodynamics. 電子をはじめ荷電粒子，電磁場からなるミクロな系を支配する力学体系を 量子電磁力学という.（中略） しばしば英語の頭字をとってQEDと略称される(→･････). ［岩波 理化学辞典，第3版,岩波 (1971)］ 量子電気力学 [文部省 学術用語集 物理学編(1954)] 140 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 00:45] 命題１７より、階数１の有限生成射影加群の層化がSpec(A)上の可逆層 となることは、明らかである。 これと、命題２８より、階数１の有限生成射影加群と可逆層は、 同型を除けば、同じものと考えることが出来る。 141 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 00:56] 命題１６と命題２８などから、我々の目的である 以下の定理が出ることは明らかだろう。 詳細は各自に任す。 主定理 kを体。Aをk上の(有限生成とは限らない)可換代数。 P^nをk上の射影空間、すなわちProj(k[X_0, ... X_n])。 Spec(A)からP^nへのk-morphisms全体, Hom(Spec(A), P^n)は、A上の階数１の射影加群で 階数n+1の自由加群A^(n+1)の直和因子となって いるもの全体と1対１に対応する。 142 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 01:01] >>141 上の定理のkは体でなくても環であればいい。 今までの証明を見ればkが体であることを、どこにも使って ないことが分かるはずだ。 143 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 01:08] >>先生 乙！ TeX打ちでもするか 144 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 01:47] すでに知ってる人もいるだろうが、俺の種本を教えてあげよう。 命題１６の証明などは、HartshorneのAlegebraic Geometry, 命題２８の証明などは、BourbakiのCommutative Algebra(1-7). O(1)の解釈などは、SerreのFACを参考にした。 SerreのLocal Algebraも中山の補題の証明に使った。 命題１は、Hartshorneにも載っているが、局所環付き空間 でなくスキームを扱っていたと思う。局所環付き空間であの命題を 述べたのはEGAかな。よく覚えてない。 命題１６もXはスキームでなく局所環付き空間で成り立つが、 これに気づいたのは、今回の証明を書いているときだ。 あと主定理自体は、あるオンラインの代数幾何入門からヒントを得た。 今は著者名と題名を思い出せない。 145 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 02:07] スキームではない環付き空間で 代数幾何的に重要だったりおもしろそうな例ってどんなのがありますか？ 146 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 02:16] 門外漢でわからないけど、 「A上の階数１の射影加群で階数n+1の自由加群A^(n+1)の直和因子と なっているもの全体と1対１に対応する」 っていうのは、 「A^(n+1)の階数１の直和因子全体と1対１に対応する」 って言う意味でいい？ 「A上の階数１の射影加群の同型類でA^(n+1)の直和因子で 代表されるもの全体と1対１に対応する」 というようにも読めるけど、そういう意味ではないよね？ 147 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 02:24] >>145 代数幾何的に重要かどうかは知らないが、 例えば代数的でない複素多様体。 148 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 02:29] >>146 ｢A^(n+1)の階数１の直和因子全体と1対１に対応する｣ という意味。 例えば、Aが体の場合を考えてみれば分かる。 この場合、階数１の直和因子とは、１次元の線形部分空間のことだ。 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/12 02:31] Milne先生のところ？＞オンラインの代数幾何講義 150 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 02:52] >>149 違う。ロシアまたは東欧系の名前の数学者だった。 151 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 03:38] 命題１６により可逆層がなぜ代数幾何で重要かがわかるだろう。 非特異代数多様体では可逆層と因子とは線形同値を除けば同じ ものと考えていい（証明せよ）。この見方からすると、O(1)には 射影空間の超平面が対応する。O(1)の逆像には、超平面の逆像が 対応するはずだが、超平面の逆像の定義は？　一般に因子の逆像とは何か？ 152 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 10:42] 命題１６でXをスキームでなく局所環付き空間として述べたのは、 そのほうが証明の本質がわかりやすいから。より一般化された問題の ほうが、その本質がよく分かる場合が多い。問題が難しかったら、 その問題を一般化せよというのは、よく言われる。 153 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 12:59] 命題２８の証明って、Bourbakiでしか見たことない。 基本的な命題なのに。Bourbakiの可換代数は、非常にいい。 Atiyah-MacDonaldの本は、Bourbakiのエッセンスをまとめたものだろう。 154 名前：１３２人目の素数さん [03/10/12 14:12] >>6 の続きって何なんでしょうか？ 代数空間とか代数スタックのことですか？ 155 名前：１３２人目の素数さん [03/10/13 19:35] Hartshorneの本の演習問題をここで解かないか？ 156 名前：珍々 ◆0OHTCmYTPk [03/10/13 19:39] オンラインで、一章の解答を見た記憶がある。 157 名前：１３２人目の素数さん [03/10/13 20:45] 俺も見た。だから2章から行こう。 158 名前：１３２人目の素数さん [03/10/13 21:22] >>156 リンク希望 159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/14 17:16] 2ch発のHartshorne解答集ができたらおもしろいね。 160 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/15 05:21] 大好きか？代数幾何 死ぬ前に１度は勉強してみたい。 161 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/15 20:51] 今日は代数幾何な気分でつ。 162 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/15 20:56] ２次曲線age 163 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/15 21:27] モジェライ理論age 164 名前：１３２人目の素数さん [03/10/15 22:07] シツモソです。Ｋを体とするときＫ上有限生成な代数群スキームのなす圏は アーベル圏でしょうか？十分入射的でしょうか？もしＹＥＳなら何よめばわかるでしょうか？ ＮＯならどんな反例（Cokが有限生成代数群スキームにならない例とか）が あるでしょう？しってるひといたら情報ください。 165 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/15 22:09] 晒しあげ 166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/15 22:12] >>164 おいおい、abelならadditiveだぞ。 二つの射をどうやって足すんだ？ 167 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/15 22:14] >>166 おまい馬鹿？？ 168 名前：↑ mailto:sage [03/10/15 22:16] 馬鹿はオマエ 169 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/15 22:16] ｗｗｗｗｗｗｗ 170 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/15 22:21] 根拠の無いレスを繰り返すのはお止めなさい 171 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/15 22:22] はい 172 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/15 22:28] >>166 ああ、すいません。有限生成な可換代数群スキームの圏のまちがいです。 こいつアーベル圏でしょうか？KernelについてはとじてるんですがCokernelが よくわかりません。いくつかの特殊な場合に成立するのはわかったんですが 一般の場合成立するのかも反例があるのかもわかりまへん。おながいします。 173 名前：１３２人目の素数さん [03/10/15 22:57] 直感的にはアーベル圏にはならないと思う。 詳しいことはSerreの"algebraic groups and class fields"に 書いてあったような。ただし、スキームではなく可換代数群だが。 群スキームについては、SGAかな。ダウンロードできるよ。 フランス語だが。 174 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/15 23:26] >>173 ＞群スキームについては、SGAかな。ダウンロードできるよ。 　 ダウンロードできるんですか･･･しかし膨大な量になりそうな･･･ 　 ＞直感的にはアーベル圏にはならないと思う。 ＞詳しいことはSerreの"algebraic groups and class fields"に ＞書いてあったような。ただし、スキームではなく可換代数群だが。 　 連結成分が固有とかいう条件つけてもだめすか？ 175 名前：１３２人目の素数さん [03/10/16 07:43] >>174 SGAはダウンロードしなくてもオンラインで見れるよ。 176 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/16 08:11] いい加減SGAは卒業しろよ・・。 177 名前：１３２人目の素数さん [03/10/16 14:53] ここのみんなで ttp://www.math.leidenuniv.nl/~edix/public_html_rennes/sgahtml/ これに参加しないか？ 178 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/16 17:49] スルー 179 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/16 18:03] 参加するーってことかな 180 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/16 19:01] 代数幾何的素数判定 181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/16 19:10] >>180 知ってる言葉並べただけだろ 182 名前：１３２人目の素数さん [03/10/16 19:51] では、HartshorneのAlgebraic Geometry(Springer-Verlag, 1977) の演習問題を解いてくれ。２章からいく。 ほとんど自明な問題は除く。 II.1.3.(b) 以下の条件を満たすX,F,G,と射F → G 及びXの開集合U の例を示せ。 F, G を位相空間X上の層。F → G を層としての全射とする。 開集合U があって、F(U) → G(U) は全射ではない。 183 名前：１３２人目の素数さん [03/10/16 20:47] >>177 そのプロジェクトって少しは進展してるのかな？ 全然、結果を見たことがないんだが。 184 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/16 21:09] プロジェクトSEX 185 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/16 21:16] >>184 死ねアホ 186 名前：１３２人目の素数さん [03/10/16 22:20] >> 182 X = C（複素数体） F = G = 正則関数の層 φ：F → G：f → f'（導関数） とする。 φは層として全射（ローカルには原始関数は必ず存在するから）。 だが、U = C - {0} とすると、φ(U)：F(U)→G(U) は全射でない。 たとえば f∈G、f(z) = 1/z を考えよ。 187 名前：１３２人目の素数さん [03/10/16 22:54] >>186 偶然だな。俺は１日考えて同じ例を思いついた。 188 名前：１３２人目の素数さん [03/10/16 23:01] II.1.11 {F_i} を ネーター空間X上での層のdirect system とする。 前層 U → lim F_i(U) は層であることを示せ。 189 名前：186 [03/10/17 01:46] >>188 これにもチャレンジしてみますた。 ＜層の一意性条件＞ s、t ∈ dirlimit F_i(U)、U の開被覆を{U_α}とし、 ∀α s|U_α = t|U_αと仮定する。 （以下、sやtの適当な代表元を「s_i」「t_i」等で表す） この仮定は、正確に書くと ∀α ∃i(α) s_i(α)|U_α = t_i(α)|U_α （「i(α) 」はαに依存する添え字）。 今、X がネーターだから、{U_α}から有限開被覆をとれる。 添え字αをこの有限開被覆の添え字の範囲で動かしたときのi(α)の最大値をj と おくと、この j に対して ∀α s_j|U_α = t_j|U_α。 よって、F_j が層であることから、結局グローバルにs = t。 190 名前：186 [03/10/17 01:47] （続き） ＜層の貼り合わせ条件＞ U の開被覆を{U_α}、{s(α)} ∈ Πdirlimit F_i(U_α)とし、 ∀α, β s(α)|U_α∩U_β = s(β)|U_α∩U_βと仮定する。 この仮定は、正確に書くと ∀α, β ∃i(α, β) s(α)_i(α, β)|U_α∩U_β = s(β)_i(α, β)|U_α∩U_β。 今、X がネーターだから、{U_α}から有限開被覆をとれる。 添え字αとβをこの有限開被覆の添え字の範囲で動かしたときのi(α, β)の 最大値をj とおくと、この j に対して ∀α, β s(α)_j|U_α∩U_β = s(β)_j|U_α∩U_β。 よって、F_j が層であることから、s_j | U_α = s(α)_j をみたすグローバルな 貼り合わせ s_j ∈ F_j(U) が存在する。このs_j を代表元とする s ∈ dirlimit F_i(U) が、明らかに最初の {s(α)} の貼り合わせとなる。 以上。間違いあったら指摘も求む。 しかし、なんか疲れた。こういう問題はちょっとつまんないかも... 191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/17 02:03] 乙 192 名前：186 [03/10/17 02:53] 今読み直して気付いたが、i(α)とかの「最大値」ってのはヘンだな。 「上界の1つ」と読み替えてくれ。 193 名前：１３２人目の素数さん [03/10/17 07:55] Hartshorneの演習問題 II.1.16(b) Fを位相空間X上の層とする。任意の開集合 U ⊃ V に対して、制限写像: F(U) → F(V) が全射のときFを軟弱(flasque)と言う。 0 → F' → F → F'' → 0 を層の完全列とする。 F' が軟弱なら、任意の開集合 U に対して、 0 → F'(U) → F(U) → F''(U) → 0 が完全であることを示せ。 194 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/17 08:03] とりびある 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/17 12:16] >>194 そりゃ正しい命題はすべてトリビアルだ。 それじゃ演習問題にならん。 196 名前：１３２人目の素数さん [03/10/17 19:15] >>193 ヒントをあげよう。F → F'' は全射だから、 局所的にF(V) → F''(V) は全射である。 従って F"(U) の任意の切断 s に対して、 Ｕの空でない開部分集合 V と、その上の F の切断 t が 存在して、t の像が s|V となる。V ≠ U なら、 F'が軟弱だから、t の定義域 V を真に拡大できることを示す。 次に、Zornの補題を使って V = U と出来ることを示せ。 197 名前：186 [03/10/18 00:28] >>193 またまたチャレンジ！ なんかクセになってきた。 本見ずに考えたら半日くらいかかってしまったが・・・。 >>196 のヒントのやりかたとはちょっと違うかも。 II.1.16(b) の証明： 左完全性は常に成り立つから、F(U) → F'(U) が全射であることを示せばよい。 以下、F' を F の部分層とみなす。 s ∈ F''(U)をとる。F → F'' が層の全射であることから、 ∃ U の開被覆 {U_i}、t_i ∈ F(U_i) t_i → s|U_i。 添字の集合I に適当な整列順序を入れ、i, j (i < j) に対して c_ij := t_j - t_i ∈ F(U_i∩U_j) とおく。 c_ij ∈ Ker(F(U_i∩U_j) → F''(U_i∩U_j)) = F'(U_i∩U_j) であること、 および c_ij が「チェインルール」 c_jk - c_ik + c_ij = 0 を満たすこと が容易にわかる。 今、{c_i} ∈ ΠF'(U_i) を次のように(超限)帰納的に定義する。 ・「最初の元」0の値： 　c_0 := 任意の元 ∈ F'(U_0)。 ・ i の「1つ後の元」i'（= min{j | i <j})の値： 　c_i + c_ii' ∈ F'(U_i∩U_i') の定義集合を U_i' に拡大したものを c_i' ∈ F'(U_i')とする。F' が軟弱であることからこのような c_i' が 常にとれる。 この {c_i} が、∀ i, j (i < j) c_j - c_i = c_ij ∈ F'(U_i∩U_j) を満たすことが容易に わかる（チェインルールを使う）。 この {c_i} を使って、{r_i}∈ΠF(U_i) を r_i := t_i - c_iで定義すると、U_i∩U_j 上で、 r_i = t_i - c_i = t_i - c_j + c_ij = t_i - c_j + t_j - t_i = r_j。 よって、この {r_i} はグローバルに r ∈ F(U) に貼り合わせることができ、これが求める s の逆像となる。 以上。 198 名前：186 [03/10/18 01:07] >>197の証明は取り下げる。 「(超限)帰納的に」という部分、あまり深く考えずに、超限帰納法からこういう 議論ができるかと思って書いたがいたが、やっぱヘンだ。I が可算なら この証明でOKだが・・・。 199 名前：186 [03/10/18 02:48] >>197の修正版。超限帰納法をきちんと使ったらできた。 II.1.16(b) の証明： 左完全性は常に成り立つから、F(U) → F''(U) が全射であることを示せばよい。 以下、F' を F の部分層とみなす。 s ∈ F''(U)をとる。F → F'' が層の全射であることから、 ∃ U の開被覆 {U_i}、t_i ∈ F(U_i) t_i → s|U_i。 添字の集合I に適当な整列順序を入れ、i, j (i < j) に対して c_ij := t_j - t_i ∈ F(U_i∩U_j) とおく。 c_ij ∈ Ker(F(U_i∩U_j) → F''(U_i∩U_j)) = F'(U_i∩U_j) であること、 および {c_ij} が c_jk - c_ik + c_ij = 0 (i < j < k) を満たすことが容易にわかる。 ここで、 ∃ {c_i} ∈ ΠF'(U_i) s.t. ∀ i, j (i < j) c_j - c_i = c_ij ∈ F'(U_i∩U_j) ・・・ (*) を超限帰納法で示す。 k ∈ I を任意に1つとり、J := {j ∈ I | j < k} に対して ∃ {c_j} ∈ ΠF'(U_j) (j ∈ J) s.t. ∀ j, j' ∈ J (j < j') c_j' - c_j = c_jj' ∈ F'(U_j∩U_j') が成り立つと仮定する。 今、j''∈J を勝手に1つとり、c_j'' + c_j''k ∈ F'(U_j''∩U_k) の、 制限写像F'(U_k)→F'(U_j''∩U_k)による逆像の1つをc_k ∈ F'(U_k)とおく。 F' が軟弱であることからこのような c_k が常にとれる。 この c_k は c_k - c_j = c_jk (∀ j∈ J) を満たす。実際、 j < j'' の場合、c_k - c_j = c_j'' + c_j''k - c_j = c_jj'' + c_j''k = c_jk、 j'' < j の場合、 c_k - c_j = c_j'' + c_j''k - c_j = - c_j''j + c_j''k = c_jk。 よって K := J ∪ {k} についても仮定と同じ主張がなりたつことが示され、 結局 (*) が示された。 この {c_i} を使って、{r_i}∈ΠF(U_i) を r_i := t_i - c_iで定義すると、U_i∩U_j 上で、 r_i = t_i - c_i = t_i - c_j + c_ij = t_i - c_j + t_j - t_i = r_j。 よって、この {r_i} はグローバルに r ∈ F(U) に貼り合わせることができ、これが求める s の逆像となる。 以上。 200 名前：１３２人目の素数さん [03/10/18 15:33] >>198 可算の場合だけで実用上は十分だろうな。 可算基を持たない位相空間というのは、代数幾何（に限らず他の数学でも） ではまず扱わない。 201 名前：１３２人目の素数さん [03/10/18 18:49] 話は変わるが、俺はHartshorneの講義を聞いたことがある。 コホモロジーがどうとか言ってた。講義の内容は さっぱり解らなかったが。w あれは、1973年頃だったと思う。 長髪にひげで、当時まだいたヒッピーみたいというのが 俺の印象だった。俺は修士課程のほやほやだった。 歳がばれるな。 202 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/18 21:18] グーグル的代数幾何学 203 名前：sage [03/10/18 23:01] >>201 >長髪にひげで、当時まだいたヒッピーみたいというのが 「ヒッピーみたい」というより真性ヒッピーかもね。 バークレー（≒ヒッピー発祥の地？）の先生だし。 204 名前：１３２人目の素数さん [03/10/18 23:44] >>203 Grothendieckに影響されたのかもしれない。 俺はあの当時、彼のことは知らなかった。　同僚に彼はヒッピーみたいだな と言ったら、奴は、あの人はハートショーンといって有名な数学者 なんだよと教えてくれた。ｗ ハーツホーンが正しいと知ったのはだいぶ後だ。 205 名前：１３２人目の素数さん [03/10/18 23:53] うｙｆ 206 名前：１３２人目の素数さん [03/10/19 01:05] HartshorneのAlgebraic Geometryを持っている奴って、このスレで どのくらいいるんだ？ >>197は持ってるのかな？ 207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/19 01:52] Grothendieckってその頃、糞真面目に数学やってたころなんですけど。 208 名前：１３２人目の素数さん [03/10/19 02:16] >>207 あの頃はサバイバル運動なんかをしていて、数学から足を洗った頃 じゃないか？ それは別として、Grothendieckの考え方は、現役時代も今も変わって ないと思うが。反戦論者で自然志向。裸足で講義していた。 209 名前：197 mailto:sage [03/10/19 03:20] >>206 持ってる 210 名前：１３２人目の素数さん [03/10/19 04:30] >>209 じゃあ、II.1.21(Some examples of sheaves on varieties)を 解いてくれ。君だけでなく、誰でもいい。 ついでに本を持ってない人のために問題を翻訳してくれるとなおいい。 211 名前：197 [03/10/19 05:24] OK。じゃ、とりあえず問題翻訳するぞ。 II.1.21 (Some examples of sheaves on varieties) Xを代数閉体k上の（第I章の意味での）代数多様体、O_X をX上の正則関数の 層（1.0.1）とする。 (a) Y を X の閉集合とする。各開集合 U⊆X について、Y∩U上のすべての点でゼロ になる正則関数からなる、環O_X(U)のイデアルをI_Y(U)とする。UにI_Y(U)を対応 させる前層は層になることを示せ。この層をYのイデアル層と呼ぶ。この層は 環の層O_Xの部分層である。 (b) Yを部分多様体とすると、商層O_X/I_Yはi_*(O_Y)（訳注：iによるO_Yのpull-back） と同型であることを示せ。ここでi: Y → X は包含写像、O_Y はY上の正則関数の層 とする。 ---疲れたので残りはまた後で 212 名前：Which不一致 ◆v.V7zKGUME [03/10/19 06:37] とりびある 213 名前：１３２人目の素数さん [03/10/19 10:55] >>211 有難う。 II.1.21 (a), (b) の両方を一挙に証明しよう。 開集合 U⊆X 上の正則関数 f に対して、f の U ∩ Y への 制限 f|U ∩ Y を対応させることにより 射 φ: O_X → i_*(O_Y) が得られる。 Xの各点での両者のストークにおいて、これは明らかに全射である。 従ってφは全射である。 φの核が I_Y であることは明らか。 従って、O_X/I_Yはi_*(O_Y) に同型である。 214 名前：１３２人目の素数さん [03/10/19 11:02] >>211 問題を解いて悪かったかな。 II.1.21 (c),(d),(e)の翻訳と解答はまかせた。 215 名前：１３２人目の素数さん [03/10/19 16:00] II.Ex.1.21 (c) さーて X=P^1(射影直線), YをXの異なる 2 点 P, Q∈Xからなる集合とします. このときX上の層の完全列 0→I_Y→O_X→F→0 が存在します. ここで F=i_* O_P (+) i_* O_Q です. ところがこれから引き起こされる大域切断たちの写像 Γ(X,O_X)→Γ(X,F)が全射ではないことを示しなさい. これは大域切断関手 F(X,・) が完全ではないことを示してます. (それが左完全だというのを示す(Ex.1.8)も見れ) (d) またしても X=P^1 とし, O を正則関数の層とします. κ を X の関数体 K に付随する X 上の定数層とします. 自然な単射 O→κ が存在することを示しなさい. 商層 κ/O が層の直和 Σ_{P∈X} i_P(I_P) と同型であることを示しなさい. ここで, I_P は 群 K/O_P を, i_P(I_P) で 点 P での I_P で与えられる摩天楼層(Ex.1.17)を 表します. (訳注:κをKのスクリプト体のかわりに用いました.標準的じゃないです) (e) 最後に, (d) の場合の列 0→Γ(X,O)→Γ(X,κ)→Γ(X,κ/O)→0 が完全であることを示しなさい. (これは複素多変数における「Cousinの第一問題」と呼ばれるものの類似です. GunningとRossi[1,p.248]を見なさい.) 216 名前：197 [03/10/20 00:54] >>215 とりあえず (c) の解答。 まず、O_P と O_Q は k （定数層）と同型であることに注意する。 O_X → F を次で定義する。 X 上の開集合 U に対して、O_X(U) → F(U)：f → (f(P), f(Q))。 これの kernerl がI_Y(U)になることは明らか。あとは ∀x ∈ X について stalk 上の O_R → F_R が全射になることを示せばよい。 x = P（または Q）の場合、F_x = k (+) 0 (または 0 (+) k) = k（同型）であり、 O_x → F_x は正則関数 f にxでの値 f(x) を対応させる写像だから、明らかに全射。 x ≠P, Q の場合、F_x = 0 だからO_x → F_xは明らかに全射。これで 0→I_Y→O_X→F→0 が層としての完全列であることが示せた。 Γ(X, O_X)→Γ(X, F) が全射でないことは、Γ(X, O_X) = k、Γ(X, F) = k (+) k に注意すれば明らか。 以上 217 名前：197 [03/10/20 00:57] >>216 スマソ。途中の「O_R → F_R」は「O_x → F_x」の間違い。 218 名前：１３２人目の素数さん [03/10/20 00:58] ●●●マスコミの「盗聴、盗撮」は許されるのか？その８●●● natto.2ch.net/mass/kako/1011/10115/1011522150.html 84 名前： ○○○ 投稿日： 02/01/31 01:15 ID:l3fSW81R >>78 たぶん、君が書いている通りだよ。確信犯だ。テレ朝が、俺の電話を盗聴 したネタを使っているのは、ずいぶん前から確認している。俺だって、メディアに ネタを提供するために生きて行くつもりはない。ついでに書くが、フジの「恋のちから」 をチラッと見たが、盗聴からヒントを得ている。盗聴は盗聴。いいかげんにしろ。 87 名前： 86 投稿日： 02/01/31 04:04 ID:7TpZZIy4 >>84 調べ直したが、「恋のチカラ」はデザイナーの話だね。 その番組には俺のネタも多数含まれているよ。 主役の「藤子」も読みは「ふじこ」ではなく「とうこ」で、 去年のHNK大河ドラマ「北条時宗」の水軍の娘と同じ発音だね。 >>55 >人によっては「脅迫」すら感じとるようだ。 デザイナーの話の「恋のチカラ」が始まったのは2002年1月10日だが、 その次の日の1月11日に「グラフィックデザイン第一人者　田中一光氏死去」というニュースがあった。 死因は急性心不全で、死亡は偶然だろうけど、その日（2002/01/11）夜のＴＶ朝日「トリック２」は 「毎年1月11日になると誰かが死ぬ」という話だった。 219 名前：１３２人目の素数さん [03/10/20 01:02] >101 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:25 ID:D7EJP0Ux >最近、元総連関係者から得た話として >ある２ちゃんねらーからこのような情報が流れてきた。 >「日本国内の反北朝鮮・反韓国の言論に対して常に >圧力がかけられているのに、なぜ２ちゃんねるだけは >黙殺されているのか。これは、総連や民団に斡旋された >東京の在日を、２ちゃんねるのプロ固定・プロ名無しと >して就職させることの見返りなのである。 >また、プロ名無しが日本国内の地域間対立を >煽ること、および最近では皇太子のアスキーアート >を張り付けることも要請している。」 >102 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:26 ID:D7EJP0Ux >さらに、 >「これだけではない。プロ名無しとして就職させた >在日は、企業のデマを流し混乱を与える工作部隊でもある。 >そのためには、外部からの圧力をはねつけ規制の無い掲示板 >にしておいたほうが都合がいい。必然的に起こる朝鮮批判と >デマによる日本批判なら、後者のほうがダメージは大きい。 >２ちゃんねるの言論の自由を、こういうスパイ活動にも巧みに利用してきたのだ。 >しかし、当事者同士の裁判となってこのような工作がばらされる危険性がある。 >しかし、匿名を傘に投稿者を秘匿しておけば心配は無い。 >管理人が訴状を受け取ることを公言していることの裏が >これだ。管理人は工作の尻拭いさせられ、原告は >訴訟したことの批判をうけ、叩きが一層激しくなるのだ。 >しかし、司法がこういう運営姿勢を認めなくなり、 >この工作からは手をひくようだ。それがひろゆきの >運営方針の転換に現れた。その代わり嫌韓厨問題の提起 >や、管理人に職業右翼陰謀説を語らせるなど、別の工作にうって出てる。」 220 名前：197 [03/10/20 02:37] >>215 次に (d) の解答。 「自然な単射 O→κ が存在すること」は自明なので省略。 層準同型 κ → Σ_{P∈X} i_P(I_P) を次で定義する。 X の開集合 U に対して κ → Σ_{P∈X} i_P(I_P) f → {f~}_P∈U（f~はf の K/O_P での類を表す）。 これが well-defined であること、つまり高々有限個の P∈U を除いて f~ = 0 になることは、有理関数 f が高々有限個の点を除いて正則であることからい える。また、kernel がO(U)になることも定義から明らか。 さらにこの層準同型は、各点 P∈X の茎上でみると、 κ_P = K → Σ_{P∈X} i_P(I_P) = K/O_P f → f~ となっており、これは明らかに全射なので、元の層準同型κ → Σ_{P∈X} i_P(I_P) も層として全射。以上からκ/O がΣ_{P∈X} i_P(I_P)と同型であることが示された。 221 名前：197 [03/10/20 06:16] >>215 最後に (e) の解答。 以下の補題を使う 【補題】k を体、k(t) を不定元 t の有理関数体、 R := {r/s∈k(t) | s(0) ≠ 0} （0 で正則な有理関数）とする。このとき ∀f∈k(t)-R ∃g∈k(t) s.t. m a_j g(t) = Σ --- (a_j ∈ k) j=1 t^k かつ f ~ g mod R。 （証明は省略。難しくない） 222 名前：197 [03/10/20 06:20] スマソ。分数をかいたがヘンになった。修正版 --- 最後に (e) の解答。 以下の補題を使う 【補題】k を体、k(t) を不定元 t の有理関数体、 R := {r/s∈k(t) | s(0) ≠ 0} （0 で正則な有理関数）とする。このとき ∀f∈k(t)-R ∃g∈k(t) s.t. g(t) = Σ a_j/t^j (j = 1, ... m, a_j ∈ k) かつ f ~ g mod R。 （証明は省略。難しくない） 223 名前：197 [03/10/20 06:24] （222の続き）(e) の証明： Γ(X,κ)→Γ(X,κ/O) が全射であることを示せばよい。 以下、(d)によりΓ(X,κ/O) = Σ_{P∈X} K/O_P とみなす。 {(f_P)~} ∈ Σ K/O_P をとる（f_P∈K、(f_P)~ はK/O_Pにおけるその類）。 (f_P)~ ≠ 0 なる（つまりf_Pが正則でない）点を P_1, P_2, ... , P_nとする。 P_1, P_2, ... , P_n のいずれとも異なる点Qを勝手に1つとり、以下、 U= X - {Q} =~ A^1 (1次元affine空間）=~ k で考える。 また、O_P_i ⊂ K = k(t) （t：不定元）と見なし、P_1, P_2, ... , P_n に対応 する k の元を p_1, p_2, ... , p_nとする。 いま、補題から、各 f_P_i に対して、 g_i(t) = Σa_{i,j}/(t - p_i)^j (j = 1, ... m_i, a_{i,j} ∈ k) f_P_i ~ g_i mod O_P_i なる g_i が存在する。 h := g_1 + g_2 + ... + g_n とおけば、各 i について g_i 以外は P_i で正則だから、h ~ g_i ~ f_P_i mod O_P_i。したがって、この h ∈K は、 元の{(f_P)~} ∈ Σ K/O_P の逆像となっている。 以上 224 名前：１３２人目の素数さん [03/10/20 19:33] II.Ex.2.16はどうかな？

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