- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/08(木) 21:03:07.97 ID:nTu3dFpc.net]
- 【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね
数学@5ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
（トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。
でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。
それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。
※前スレ
高校数学の質問スレ Part420
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1658820329/
- 197 名前：イナ mailto:sage [2022/09/17(土) 19:47:42.81 ID:cREk0Kue.net]
- 前>>184
>>91
回転体をx=tで切った断面積をt=-1/2から0までのドーナツ型とt=0から1/2までの円盤型を足し集め2倍する。
体積=2π∫[t=-1→0]√(9+12t-t^2)dt+π∫[t=0→1/2](3+2t-2t^2+√(9+12t-t^2)dt
1/2-t=tanθ/√2と置換すると、
-dt=-dθ/cos^2θ√2
体積=5π/3-π√6/2+4π√2+(π√3/2)log｛(95+30√2-24√3-38√6)/17｝
=17.0188454006……
17.320508……=10√3＜π^2√3=2π(√3/2)π
x軸付近の重なりの分だけ小さい値になるはずだから、あってる。
- 198 名前：イナ mailto:sage [2022/09/17(土) 19:58:32.13 ID:cREk0Kue.net]
- 前>>194係数を修正。
>>91
x=t(-1/2≦t≦1/2)で切った断面積を足し集め2倍する。
(i)-1/2≦t≦0のときドーナツ型
2π∫[-1/2→0]〔[√3/2+√｛1-(1/2-t)^2｝]^2-[√3/2-√ ｛1-(1/2-t)^2｝]^2〕dx
=2π∫[t=-1/2→0]2√3・√(3/4+t-t^2)dt
=2π∫[t=-1/2→0]√(9+12t-12t^2)dt
(ii)0＜t≦1/2のとき円盤型
2π∫[t=0→1/2] [√3/2+√｛1-(1/2-t)^2｝]^2dt
=2π∫[t=0→1/2]｛3/4+3/4+t-t^2+√(9/4+3t-3t^2)｝dt
=π∫[t=0→1/2]｛3+2t-2t^2+√(9+12t-12t^2)｝dt
(i)(ii)より回転体の体積は、
2π∫[t=-1/2→0]√(9+12t-12t^2)dt+π∫[t=0→1/2](3+2t-2t^2+√(9+12t-12t^2)dt
1/2-t=tanθ/√2と置換すると、
-dt=-dθ/cos^2θ√2
体積=5π/3-π√6/2+4π√2+(π√3/2)log｛(95+30√2-24√3-38√6)/17｝
=17.0188454006……
17.320508……=10√3＜π^2√3=2π(√3/2)π
x軸付近の重なりの分だけ小さい値になるはずだから、あってる。
- 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/17(土) 20:39:14.83 ID:ahLpL4il.net]
- >>192
他人の不幸を願うと自分が不幸になりますよ
そんなことより厳選された数学の質問に答えてください
pを4以上の整数とする。
一辺の長さが1の正p角形の対角線には、その長さが無理数であるものが存在することを示せ。
- 200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/17(土) 22:45:07.10 ID:C5I0fR8a.net]
- >>195
イナさんは東大生の時に彼女いましたか？
- 201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/17(土) 23:44:25.11 ID:jDk4QTcY.net]
- 2022/08/28(日) 17:50:00.53 ID:mdT94fQ1
お前が嘘つきの常習犯なのは自ら認めているよな。
お前は中堅以下の大学出身で「東大レベルと誤認している」キチガイ。大した実力は無い。
- 202 名前：イナ mailto:sage [2022/09/18(日) 01:23:50.90 ID:hjJJGNaS.net]
- /＿/人人_/＿/_人人＿/＿
/＿(_^＿)/＿/_(＿)_)_/＿
/_（^o^))/＿/（^) ) _/＿
/_（_υ_)┓_/（_υ_)┓/＿
/◎ﾞυ┻-◎ﾞ◎ﾞυ┻-◎ﾞ/＿
/＿ｷｺｷｺ……/＿ｷｺｷｺ……＿
/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿
前>>195
>>197なぜかレスできない。
- 203 名前：イナ mailto:sage [2022/09/18(日) 01:28:18.48 ID:hjJJGNaS.net]
- 前>>199
おそらくAAがNGなんじゃなく、
レスの内容がセンシティブなため、
管理人の判断で瞬時に拒否られたってことだと思う。
- 204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/18(日) 06:56:39.48 ID:PRT3UENc.net]
- 次の命題の真偽を述べ、証明せよ。
「任意の正整数nについて、C[4n,2n]/C[2n,n]は整数である。」
ここでC[s,t]は二項係数sCtである。
- 205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/18(日) 07:01:49.04 ID:PRT3UENc.net]
- >>201
易しい質問ですので、正答することは当然として、それ以上にどう解答するかが問われます。
美しい解答を期待しています。
- 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/18(日) 07:33:27.23 ID:PRT3UENc.net]
- 難易度がかなり上がります。
次の命題の真偽を述べ、証明せよ。
「C[4n,2n]/C[2n,n]が整数となるnは有限個しか存在しない。」
ここでC[s,t]は二項係数sCtである。
- 207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/18(日) 09:30:58.86 ID:oPr43kkK.net]
- 高校数学確率の問題です。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10796340.html
に出ている面白い問題について教えてください。
M 高校の男女比は男 25%、女 75% である。男子生徒の 12%、女子生徒の 8% は性体験済みである。
任意に生徒を 1 人選び、「君は性体験済みか？」と聞いたところ、「はい」と答えた。この生徒が女子である確率を求める。ただし男女とも全員が正直に答えるものとする。
性体験済みである生徒の事象を A、女子生徒である事象を B とする。
M 高校の生徒総数を 100 とすると、
男子で性体験済の数は 100*0.25*0.12 = 3.
女子で性体験済の数は 100*0.75*0.08 = 6.
n(A) = 6 + 3 = 9.
n(B) = 75
n(A∩B) = 6.
∴P(B/A) = n(A∩B)/n(A) = 6/9 = 2/3
リンク先と回答が一致しているので、一応これでいいと思うんですが、条件付確率が苦手なので（というか確率全般が苦手^O^）、別な方法でも解いてみましたが、合いません。おかしいところをご指摘ください。
性体験済みである生徒の事象を A、女子生徒である事象を B、各々の余事象を A~、B~ とする。A~ は性体験済みでない生徒、B~ は男子生徒である。生徒数全体の集合を U とすると問題文よりただちに
U = A∪A~ = B∪B~.
P(B) = 0.75, P(B~) = 0.25
求める確率は、選んだ生徒が性体験済みであるという条件の下で、その生徒が女子である確率であるから
P(B|A) = P(A∩B)/P(A)
女子生徒の 8%、男子生徒の 12% が性体験済みなので
A = (A∩B)∪(A∩B~)
より
P(A) = P(A∩B) + P(A∩B~) = 0.08 + 0.12 = 0.2
P(B|A) = P(A∩B)/P(A) = 0.08/0.2 = 8/20 = 2/5
最初の解答と見比べると
「女子生徒の 8%、男子生徒の 12% が性体験済み」
から
P(A∩B)=0.08
P(A∩B~) = 0.12
としたことが間違いで
P(A∩B) = 0.08*0.75 = 0.06
P(A∩B~) = 0.12*0.25 = 0.03
とすればよさそうですけど・・・・・
- 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/18(日) 10:18:05.76 ID:pCCEpRA9.net]
- xを正の実数として
∫cos(x-(1/x))dx
の不定積分を求めたいのですが解けませんでした
テイラー展開を使って適切にくくっていったりすると綺麗に解けるのでしょうか？
- 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/18(日) 16:19:52.02 ID:XV1Lk3hZ.net]
- ax+by+cz=kが解を持つ
ことの必要十分条件は、
kがa、b、cの最大公約数で割り切れる
ことである。これを証明せよ。文字は全て整数とする。(塾のテキスト)
- 210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/18(日) 16:24:10.43 ID:XV1Lk3hZ.net]
- 32x+57y-68z=1
を解け。文字は全て整数とする。
(塾のテキスト)
- 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/18(日) 16:30:08.04 ID:XV1Lk3hZ.net]
- ay-bx=k
を解け。文字は全て整数とする。
答えは適当なパラメーターを用いて表せ。(塾のテキスト)
- 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/18(日) 16:37:46.42 ID:1LRm9WRW.net]
- a,b,cはすべて自然数
a+b=c
c>ab
このときabは一意の値となることを証明できますか?
c<abならばa,bはc,1となることは分かるのですが
- 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/18(日) 16:39:50.31 ID:XV1Lk3hZ.net]
- 整数の集合をAとする。Aに属する任意の2つの元(要素)x、yに対して加法と減法によって得られるx+y、x-yがAに属する時、AはAに属する絶対値最小の整数rの全ての倍数けらなる集合であることを証明せよ。ただしr≠0、A≠{0}とする。(塾のテキスト)
- 214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/18(日) 16:54:06.71 ID:NlcuiHM+.net]
- 高校数学レベルから分かりませんがこれについてどうお考えですか？
14 １３２人目の素数さん sage 2022/09/18(日) 16:26:28.76 ID:NlcuiHM+
>>6
違います
理系科目は寒冷地における狩猟採集時代に男が狩りに出て女が食糧貯蔵やその管理を行っていた頃の名残
日本でも家計を握るのは女
男は狩りをするための武器を作ったり（つまり工学）、マンモスだけじゃなく女を射止めるの武器、そう詩や芸術を行うための能力を育んでいた
和歌とかでも男の恋の歌の方が女の恋の歌よりも圧倒的に多い
アジアでは常に男は天下国家、あるいは時には天上（形而上学）を見据えていた
数字遊び、要は算数をしていたのは”女”だよ
逆に男の方も自分が創造的な活動のために銭勘定を委ねられる信頼できる賢い女を求めていた
男で数字遊びしてたのはそういう麗しい女に愛してもらえない男だけ
高校数学までは算数だし、大学数学からは哲学
つまり数学なんてものはこの世に存在しない
「男なのに理系行く奴」⟵これ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1663354725/
- 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/18(日) 17:37:55.75 ID:XV1Lk3hZ.net]
- >>206
f(x, y, z)=ax+by+czとおく
a, b, cはどれも0ではないとする。
f(0, 0, 0)=0より0はfの値である
f(e0)=kとなったとするとf(-e0)=-kなので、kがfの値ならば-kもfの値となる。
fには正の値が存在する。係数の符号と同じ符号の整数を取ればよい。そのうち最小のものをk0とすると任意の正の値kはk0の倍数である。もしkがk0の倍数でないとするとk=qk0+r、0<r<k0を満たす整数q、rの組が唯一つ定まる。
f(x-qx0, y-qy0, z-qz0)=k-qk0=r
k0よりも小さい正の値rをとることになりk0の最小性に矛盾する。よってkおよび-kはk0の倍数である。
a、b、cはfの値であるのでk0の倍数である。
a、b、cの最大公約数をdとするとk0はdの倍数。よってk0=dとなる。
dの任意の倍数はfの値になり、逆にfの値は全てdの倍数である。
- 216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/18(日) 19:02:12.22 ID:MxB4/sJ4.net]
- >>207
32x+57y-68z=1
(32, 57, 68)→(32, 7, 4),→(0, 1, 4)
68=32×2+4、57=32×2-7より
32(x+2y-2z)-7y-4z=1
s=x+2y-2zとおく
32s-7y-4z=1
32=4×8、7=4×2-1より
4×8s-(4×2-1)y-4z=1
4(8s-2y-z)+y=1
t=8s-2y-z 、
y=-4t+1とおく
z=8s-t-2y=8s+7t-2
x=s-2y+2z=-17s+22t-6
- 217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/18(日) 19:14:32.11 ID:MxB4/sJ4.net]
- >>208
特殊解を(x0, y0)とする
a, bの最大公約数をgとして
a=gA, b=gBとおく。すなわちAとBは互いに素となる。
n=(-b,a)が法線ベクトルなので
l=(a, b)=g(A, B)が方向ベクトル
x=x0+ltより x=x0+At, y=y0+Bt
- 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [[ここ壊れてます] .net]
- >>210
Aの中で最小の絶対値≠0を持つものをkとする。
k-k=0∈A、0-k∈A、k+k=2k∈A
これらより全ての整数nに対してnk∈A
よってkの倍数は全てAに含まれる。逆にAに含まれる元は全てkの倍数であることは、
任意のa∈Aは
a=qk+r、0≦r<|k|、とq、rを用いて一意に表せる。a, qk∈Aよりr∈A、|k|の最小生により表せる=0。よってaはkの倍数である。
- 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/18(日) 19:49:23.43 ID:1uJTCEh3.net]
- (塾のテキスト)1
ある整数bに対して
(1) bの倍数同士の和はbの倍数である。
(2) bの倍数の倍数はbの倍数てある。
(3) 一般にak (k=1…n) がbの倍数の時、Σ[k=1, n] akxk (4)
はbの倍数である。
(4)においてxk=1(k=1…n)とすれば(1)になる。x1=1、xk=0 (k≠1) とすれば(2)になる。
- 220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/18(日) 19:52:39.60 ID:1uJTCEh3.net]
- aは任意、b>0とすると
a=qb+r、0≦r<bを満たすq、rの組が唯一つ存在することを証明せよ。
- 221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/18(日) 20:01:30.02 ID:1uJTCEh3.net]
- >>216
仮定より任意のk (k=1…n)に対してak=bck、ckは整数、とおける
Σ[k=1, n]akxk=Σ[k=1, n](bkck)xk=Σ[k=1, n]ckxk
これは整数である。
- 222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/18(日) 21:22:45.07 ID:Ff693uua.net]
- >>217
任意の実数xに対して、qb≦x<(q+1)bを満たす整数qが唯一つ存在する。
区間[q, q+1)は整数qを1つ定めれば唯一つに決まる。整数qが異なれば区間は異なり共通部分は無い。
整数aは上の実数xの性質を持つのでqb≦a<(q+1)bが成り立つ。
0≦a-qb<b
(q, r)とは別の組(q', r')が存在すると
仮定すると
a=qb+r=q+b+r+とおける
(q-q')b=(r'-r)
0≦r<b、0≦r'<bより
-b<r'-r<b、0≦|r-r'|<b
r'-rはbの倍数だからr=r'。
b=12、50=12×4+2、
-50=12×(-5)'10、-5=12×(-1)+7
rはbを法としたaの最小正剰余である。q=[a/b]
絶対値最小剰余
70=12×6-2、-67=12×(6)+5
30=12×2+6=12×3-6
(2H+1)b/2=hb+b/2=(h+1)b-b/2
- 223 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [[ここ壊れてます] .net]
- 前>>195計算過程をちゃんと示したい。
間違いなく解けたはず。
-1/cos^3θの項が出て-1/(cosθ・cos^2θ)と分けるやり方を勉強した。
- 224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 00:30:05.43 ID:9CJacGxy.net]
- いいですね、回答に勢いがあります。
では私からも質問します。
次の命題の真偽を述べ、証明せよ。
「C[4n,2n]/C[2n,n]が整数となるnは有限個しか存在しない。」
ここでC[s,t]は二項係数sCtである。
- 225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 01:23:16.37 ID:piJNIv7g.net]
- 1 公倍数は最小公倍数の倍数であることを証明せよ。
- 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 01:23:53.67 ID:piJNIv7g.net]
- 2 公約数は最大公約数の約数であることを証明せよ。
- 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 01:25:12.92 ID:piJNIv7g.net]
- 3 AB=LGが成り立つことを証明せよ。ここでL=lcm(A, B)、G=gcd(A, B)とする。
- 228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 01:26:01.43 ID:piJNIv7g.net]
- 4 aとbが互いに素で、bcがaで割り切れる時、cはaで割り切れることを証明せよ。
- 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 01:27:13.82 ID:piJNIv7g.net]
- 5 aとbの最大公約数はa-qbとbの最大公約数に等しいことを証明せよ。
- 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 01:27:59.29 ID:piJNIv7g.net]
- 6 3個以上の整数の最小公倍数を求める時、その一部をそれらの最小公倍数で置き換えてよいことを証明せよ。
- 231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 01:49:42.81 ID:piJNIv7g.net]
- >>222
a、b、c、…の任意の公倍数をXとする。
X=qL+r、0≦r<L、を満たす唯一つのq、rの組が存在する。
r=X-qLよりrはaの倍数である。
同様にb、c…の倍数でもあるのでrは公倍数である。ここでr≠0とするとLの最小性に反する。よってr=0となる。
- 232 名前：１３２人目の素数さん [2022/09/19(月) 01:55:25.21 ID:EIJy5F+K.net]
- >>228
自演ばれちゃってますよ…
- 233 名前：１３２人目の素数さん [2022/09/19(月) 02:00:29.16 ID:EIJy5F+K.net]
- 自分の質問に自分で解答して何の意味があるんですかねぇ
- 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 02:12:00.95 ID:piJNIv7g.net]
- >>223
任意の公約数をMとし、MとGの最小公倍数をLとする。
aはMとGの公倍数であるからLの倍数である。同様にb, c…もLの倍数である。するとLは全ての数の公約数になるから公約数である。ここでL>GとするとGの最大性に反する。よってL=G。したがってMはGの約数になる。
- 235 名前：１３２人目の素数さん [2022/09/19(月) 02:24:20.80 ID:EIJy5F+K.net]
- えぇ…なんで自分の質問に自分で答えてるんですか…こわいこわい
- 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [[ここ壊れてます] .net]
- >>224
L=As=Btとおける。(1)
またAB=Luとおける
よってAB=Asu=Btuであるから
B=su、A=tuとなる
uはA、Bの公約数なので
G=uvとおける。
AはG=uvで割り切れるからtはvで割り切れる。同様にsはvで割り切れる。よってt=vx、s=vyとおける
L/v=Ay=Bx
x>1とするとL/xが最小公倍数となりLの最小性に反する。よってv=1
G=uとなるからAB=GL。
- 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 02:48:59.22 ID:piJNIv7g.net]
- >>225
公式AB=GLを使うとG=1より
ab=L。bcはaの倍数でありbの倍数でもあるからa、bの公倍数。
よってbcはabの倍数。
bc=abtとおける。c=atとなるのでcはaで割り切れる。
- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 16:04:24.94 ID:S22UoOkL.net]
- >>226
a=qb+cとおく。cは最小剰余とは限らない。
G=(a, b)、g=(b, c)とすると
c=a-qbよりgはGの倍数
a=qb+cよりGはgの倍数
よってG=g。
b=q1c+dとおくとg=g'
これを続けるとA=Br+0となり
(A, r)=(r, 0)=rと求まる。
被除数と除数=除数と剰余
3個以上ある場合は
大きい順に並べて最も小さい数字で割る。割り切れたらそれを除外する。これを繰り返して最後に0になるまでやる。
(629, 391, 255) =(119, 136, 255)
=(119, 17, 17)=(0, 0, 17)=17
- 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 16:44:10.65 ID:S22UoOkL.net]
- >>227
a, b, c, …の最小公倍数をL
a, bの最小公倍数をM
c, …の最小公倍数をN
M, Nの最小公倍数をQとする
Lはa, bの公倍数なのでMの倍数
Lはc, …の公倍数なのでNの倍数
よってLはM, Nの公倍数なのでQの倍数
QはMの倍数かつNの倍数なので
a, b, …の公倍数、したがってLの倍数。よってL=Q。
- 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 17:31:27.23 ID:9CJacGxy.net]
- 1,2,...,nから異なる2つの整数を選んだとき、その積が(n^2)/4以下になる確率をp[n]とする。
lim[n→∞] p[n]を求めよ。
- 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 18:26:57.40 ID:KXQjrF7n.net]
- 今年の大ニュースはつながっている ロシア、ウクライナ、中国、コロナ、物価高騰……
2022/09/03
https://www.bbc.com/japanese/video-62766385
「気候変動と戦争と生活費の上昇は、さまざまな形でつながることになります」
「新型コロナウイルスもつながります。というのも感染対策の規制が世界中で終わるのに伴い、需要の増加によってエネルギーと食料の価格が押し上げられたからです」
三災 仏教で正法に背いたり、正法を受持する者を迫害すると起こるとされる災い
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E7%81%BD%E4%B8%83%E9%9B%A3
穀貴：飢饉等が起こり穀物等食糧の価格が高騰し品切れしたりする。
兵革：戦乱や革命がおこり社会が乱れる。
疫病：伝染病等が流行する。
https://mevius.5ch.net/test/read.cgi/seiji/1648861711/
021
- 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 18:57:11.23 ID:B9Fke2V8.net]
- 1
2つ以上の整数a、b、…の積が素数pで割り切れる時、a、b、…の少なくとも1つはpで割り切れることを証明せよ。
- 243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 19:04:29.55 ID:B9Fke2V8.net]
- 2
素因数分解が可能であることと素因数分解の一意性を証明せよ。
- 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 19:07:40.02 ID:B9Fke2V8.net]
- 3
整数aの因数を全て求めよ。
(適当に設定して表わせ)
因数の個数を求めよ。
- 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 19:11:34.30 ID:B9Fke2V8.net]
- 4
整数aの約数の総和を求めよ。
適当に設定して答えよ。
- 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 19:21:15.16 ID:9CJacGxy.net]
- おやおや
荒らしが居ついてしまいましたねえ
- 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 19:21:54.97 ID:9CJacGxy.net]
- >>237
p[n]そのものではなく極限を求めよというところにこの問題の活路があります
- 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 19:22:54.11 ID:6le+AuR2.net]
- 全然問題ないだろ
ためになるし
- 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 21:27:18.44 ID:bpr5xm9y.net]
- >>239
A=abとする。
(a, p)=1またはpで
(a, p)=pの時, 題意が成り立つ
(a, p)=1の時, >>225よりbはpの倍数。よって成り立つ。→(1)
A=abcとする。
(1)によりaまたはbcはpで割り切れる。
(a, p)=1の時,
再び(1)によりpまたはcはpで割り切れる。
A=abc…の時も同様。これを帰納法で示す。
P=(abc…m)の時に成り立つと仮定してQ=(abc…m)nの時を考える。
(n, p)=pの時, 成り立つ。
(n, p)=1の時, Pがpで割り切れるがこれは仮定より成り立つ。
a=3、b=4の時, p=6とすると
A=abはpで割り切れる。すなわちpが素数でないとこの定理は成り立たない。
- 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 22:02:45.83 ID:bpr5xm9y.net]
- >>241
a=(p^α)(q^β)(r^γ)…と表せるとするとaの約数は素因数分解の一意性により、
(p^x)(q^y)(r^z)…
0≦x≦α、0≦y≦β、0≦z≦γ、…
でもれなくダブりなく表せる。
約数の個数は
(α+1)(β+1)(γ1)…となる。
A=(2^4)(3^5)ならば
Aの全ての約数は素因数2と3の双方を持っていなければならない(0個も含む)。
その個数は、
2を0～4個、3を0～5個であるから(4+1)(5+1)=30個となる。
- 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 22:12:17.10 ID:bpr5xm9y.net]
- >>242
(1+p+p^2+…p^α)(1+q+q^2+…)…
とすると総和になる。
S={(p^(α+1)-1)/(p-1)}×{(q^(β+1)-1)/(q-1)}×{(r^(γ+1)-1)/(r-1)}…
- 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [[ここ壊れてます] .net]
- 問では整数aの総和を求めろと言い
直後に「適当に設定して答えろ」(何を？)という数学的にも日本語的にもおかしい事を言い
そして以後aがもう出てこない
a=pqr…tとして、みたいに設定するのに使うことさえない
なんか断片的に見たことある式を写経してるみたい
- 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/19(月) 23:56:38.20 ID:cZ2jaFqy.net]
- >>240
帰納法で証明する。
最小の合成数4=2×2=2^2と分解される。これは題意を満たす。
aを合成数とする。aより小さい合成数に関して題意が成り立つと仮定する。
可解性
aは合成数だからa=b×c、1<b<a、1<c<aと分解出来る。
bとcはともに素数であるか少なくともどちらか一方は合成数である。後者の場合は帰納法の仮定により素数の積に分解される。したがっていずれにしてもaは素数の積に分解される。
一意性
a=p1p2…=q1q2…と素数の積に分解されたとする。
p1b2…は素数q1で割り切れる。
するとp1、p2、…の少なくとも1つはq1で割り切れる。それをp1としてよい。p1は素数であるからp1=q1である。
よってp2p3…=q2q3…
これをbとすると1<b<aであるから帰納法の仮定により素因数分解は一意的である。よって証明された。
- 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/20(火) 00:05:12.25 ID:7hM170dC.net]
- 1
a、b、cがどの2つも互いに素である時、約数の個数T、約数の総和Sに関して次の等式が成り立つことを証明せよ。
T(abc)=T(a)T(b)T(c)
S(abc)=S(a)S(b)S(c)
- 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/20(火) 00:09:10.59 ID:7hM170dC.net]
- 2
次の等式が成り立つことを証明せよ。
aの全ての約数の積=a^(T(a)/2)
- 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/20(火) 00:19:54.41 ID:7hM170dC.net]
- 3
a=2^(n-1)(2^n -1)、n>1、2^n -1は素数
ならばaは完全数であることを証明せよ。また偶数の完全数はこの形に限ることを証明せよ。
以下を参照せよ。
nの約数の和S(n)は
S(n)>2n、S(n)=2n、S(n)<2nのどれかになるが、S(n)=2nとなるとき、nを完全数という。
6の約数は1、2、3、6
28の約数は1、2、4、7、14、28
であるから完全数である。
- 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/20(火) 00:29:02.65 ID:7hM170dC.net]
- 4
a1、a2、…、anのそれぞれがb1、b2…bnのそれぞれと互いに素ならば
a1a2…anとb1b2…bnは互いに素であることを証明せよ。これより特に、aとbが互いに素ならばa^nとb^nは互いに素となる。
- 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/20(火) 01:26:49.47 ID:7hM170dC.net]
- >>251
aとbが互いに素である時
a=Π[k=1, n]pₖ^(αₖ)、
b=Π[k=1, m]qₖ^(βₖ)、とおける。
ここでpₖ、qₖは全て異なる素数でありαₖ、βₖは全て1以上であるとする。
ab=Π[k=1, n]pₖ^(αₖ)
×Π[k=1, m]qₖ^(βₖ)
=Π[k=1, n] Π[i=1, m] (pₖ^(αₖ) qᵢ^(βᵢ)
T(a)T(b)
=Π[k=1, n](1+αₖ)
×Π[k=1, m](1+βₖ)
=Π[k=1, n]Π[i=1, m](1+αₖ)(1+βᵢ)
=T(ab)→(1)
よってT(ab)=T(a)T(b)が示された。
aとb、aとcは互いに素だからaとbcも互いに素である。
(1)を利用して
T(abc)=T(a)T(bc)=T(a)T(b)T(c)となる。
- 259 名前：１３２人目の素数さん [2022/09/20(火) 01:32:16.81 ID:ZfHn7ppY.net]
- 何の意味があるんだ？
- 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/20(火) 01:46:40.03 ID:7hM170dC.net]
- >>251
S(a)=Π[k=1, n](bₖ^(αₖ+1)-1)/(pₖ-1)、
S(b)=Π[i=1, m](qᵢ^(βr+1)-1)/(qᵢ-1)
であり、
S(ab)=Π[k=1, n] Π[i=1, m](bₖ^(αₖ+1)-1)/(pₖ-1) ×(qᵢ^(βr+1)-1)/(qᵢ-1)
よりS(ab)=S(a)S(b)となる。→(1)
- 261 名前：aとbcは互いに素であるから(1)によりS(abc)=S(a)S(bc)
再び(1)により、
=S(a)S(b)S(c)となる。
S、Tとも2数、3数だけではなく何個あっても同じ式が成り立つ。それを帰納法で証明する。
abc…mに関して成り立つと仮定する。すなわちS(abc…m)=S(a)S(b)…S(m)を仮定する→(2)
abc…mnに関して、nがa、b、c、…、mのそれぞれと互いに素ならばnとabc…mは互いに素であるから(1)によりS(abc…mn)=S(abc…m)S(n)であり、(2)により
=S(a)S(b)…S(m)S(n)となる。
Tに関しても全く同じである。 [] - [ここ壊れてます]
- 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [[ここ壊れてます] .net]
- >>252
aが平方数でない時、
約数の個数は2n個とおける
T(a)=2n
約数は小さい順にb(1), b(2), …, b(2n-1), b(2n)であり
b(1)×b(2n)=a、b(2)×b(2n-1)=a、…、
b(n)×b(n+1)=aが成り立つから
Π[k=1, 2n]b(k)=a^n=a^(T(a)/2)が成り立つ。
aが平方数の時
上のb(n)×b(n+1)=aを
b(n)×b(n)=aとすれば、
T(a)=2n-1であり
積がaとなるn-1組が出来る。残りの1つはb(n)×b(n)=aよりb(n)=√a
よってΠ[k=1, 2n-1]b(k)=a^(n-1) ×√a=a^(2n-1)/2=a^(T(a)/2)が成り立つ。
どちらの場合も成り立つことが示された。
- 263 名前：イナ mailto:sage [2022/09/20(火) 03:09:22.72 ID:w1s26VxM.net]
- 前>>220
>>195
17ぐらいの値になりそうな気がするけど、どうしてtanθで置換したのか、どうやって∫dθ/cos^3θが出たかがなぞ。
1/2-t=sinθと置換して-dt=cosθdθ
dt=-cosθdθ
√｛1-(1/2-t)^2｝=cosθ
∫[θ=π/2→π/6]と∫[θ=π/6→0]を積分する。
置換しないtの部分は5π/3だと思う。
- 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/20(火) 15:28:53.77 ID:dTwSXHC8.net]
- 助けてください（１）から分かりません。
座標平面上に点A(a,0)B(0,b)C(b,0)D(0,-a)があり、点Eは直線ABCDの交点である。次の問いに答えよ。
ただしa>b>0とする。
(1)3つの三角形の面積の比ECA:BOA:BDEを求めよ
(2)ECA,BOA,BDEの外接円の中心をそれぞれP、Q、RとするときP、Q、Rの座標を求めよ
(3)三角形PQRの面積を求めよ
- 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/20(火) 15:37:52.38 ID:SOWdhZfo.net]
- >>254
(a1, b1)=1かつ(a,1, b2)=1
⇔(a1, b1b2)=1。
これを証明する。
a1=Π[k=1, n₁]pₖ^(αₖ)、
b1=Π[k=1, n₂]qₖ^(βₖ)、
b2Π[k=1, n₃]rₖ^(γₖ)とおく
ここでpₖとqₖは全て異なり、pₖとrₖは全て異なる素数であり、αₖ、βₖ、γₖは全て1以上の整数である。
仮定により{pk}と{qi×rj}に共通する素数はないのでa1とb1b2は互いに素である。
これを繰り返すと
(a1, b1b2…bm)=1
B=b1b2…bm、A=a1a2…anとおく
同様に(a1a2, B)=1
繰り返すと(A, B)=1となる。(1)
ak=a、bi=Bとしても成り立つから
(a^n, b^m)=1 (2)
(1)(2)ともに逆も成り立つ。
(a, b)=1かつ(a, c)=1⇔(a, bc)=1す
- 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/20(火) 15:51:49.10 ID:uDy91Wc2.net]
- >>260
直線ABCDの交点って何だ
勝手に直線ABと直線CDの交点って読み替えていい？
- 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/20(火) 15:53:47.62 ID:dTwSXHC8.net]
- >>262
はい、その通りです！
説明不足で申し訳ありません。
- 268 名前：イナ mailto:sage [2022/09/20(火) 16:04:21.47 ID:39v5Z2AX.net]
- 前>>259
>>260
(1)ピタゴラスの定理より、
(斜辺の長さの2乗)がいずれも根号なしで表される。
面積比すなわち相似比の2乗は、
ECA:BOA:BDE=AC^2:AB^2:DB^2
=(a-b)^2:(a^2+b^2):(a+b)^2
- 269 名前：２６０です！ mailto:sage [2022/09/20(火) 16:15:51.66 ID:dTwSXHC8.net]
- ２６０ です！
>>264
ありがとうございます！
相似を利用するんですね！
納得しました！
とても感謝です！
しかしよく解けましたね・・・。凄いです
(2)と(3)は、もう少し自分で考えてみます！
>>262さん
ありがとうございます。
今、２６４さんに（１）を教えてもらったので、（２）と（３）はもう少し
自分で粘ってみます！
申し訳ありませんでした。
- 270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/20(火) 16:21:09.58 ID:pydUUmuP.net]
- いや直行するかはabによるでしょ
関係ない
切片が分かるなら直線の式分かるんだから普通に連立すれば交点までは分かるよね
全部鵜呑みにせずに少しは頭使えよ
- 271 名前：イナ mailto:sage [2022/09/20(火) 16:34:12.87 ID:QLYM9d8F.net]
- 前>>264しかしよく解けましたねってばかにしとんか(^｡^;
>>260
(2)P((a+b)/2,0),Q(a/2,b/2),R(0,(b-a))
(3)→QP・→QR=(b/2,-b/2)・(-a/2,-a/2)=-ab/4+ab/4=0
∴∠PQR=∠R
△PQR=PQ×QR(1/2)=(b√2/2)(a√2/2)(1/2)=ab/4
- 272 名前：イナ mailto:sage [2022/09/20(火) 16:51:28.57 ID:qFg0G8gB.net]
- 前>>267
本来ならsinθかcosθで置換するところをtanθで置換したら1/cos^2θになって1/cos^3θが出てsinθ/2cos^2θの項と(1/4)log|(1+sinθ)/(1-sinθ)|の項が出たってことだと思う。tanθで置換してどうやって根号がひらけたかを検証したい。
- 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/20(火) 16:53:12.83 ID:RWLKaRrV.net]
- >>253
S(a)=(1+2+…+2^(n-1))(1+(2^n-1))れ
(2^n-1)×2^n=2aよりaは完全数。
aを偶数なので
a=2^(n-1)b、n>1、bは奇数とする。
S(a)=(2^n-1)S(b)=2a=2^nb
S(b)=b+b/(2^n-1)より
b/(2^n-1)=cは整数となり、それはbの約数である。
一般に1とその数自身を除く約数を真の約数と呼ぶことにすると
S()b=1+b+「真の約数の和」でありcが真の約数とするとS(b)=b+1+cとなり矛盾。よってc=1でありbは素数である。
よってa=2^(n-1)(2^n-1)と表せて、この形に限る。
- 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/20(火) 17:03:56.17 ID:RWLKaRrV.net]
- ・難問
(1) pを素数とする。2^p -1が素数になるpの十分条件を求めよ。
(2) bの約数の総和をS(b)とする。S(b)=2bを満たす「奇数b」が存在するかどうか調べよ。
- 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/20(火) 17:15:20.88 ID:RWLKaRrV.net]
- 1
a1、a2、…、amの最大公約数をA、b1、b2、…、bnの最大公約数をB、aibj (1≦i≦m、1≦j≦n)の最大公約数をCとする時、AB=Cが成り立つことを証明せよ。
- 276 名前：１３２人目の素数さん [2022/09/20(火) 17:33:19.15 ID:3S5oXXBw.net]
- 誰かさんのオナニースレと化してるね、ここ
終わってるわ
- 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/20(火) 17:44:33.65 ID:RWLKaRrV.net]
- 2
(1) a1、a2、…、anの少なくとも1つに含まれる全ての素因数をp1、p2、…、pmとすると
ai=Π[k=1, n] pₖ^(αₖ(i))、αₖ(i)≧0
(i=1, 2, …, n) とおけることを証明せよ。
(2) 最大公約数G=Πpₖ^αₖ(Min)を証明せよ。
(3) 最小公倍数L=Πpₖ^αₖ(Max)を証明せよ。
ここでαₖMin=Min{αₖ(1), αₖ(2), …αₖ(n)} である。すなわちa1、a2、…、anに含まれる素因数pkの個数はそれぞれαₖ(1)、αₖ(2)、…αₖ(n)でありそれらの最小値ということ。Maxも同様である。
- 278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/20(火) 18:06:37.06 ID:wTTJPRzG.net]
- 3
a1、a2、…、anの中からk個を選び積を作る。それら全ての積の最大公約数をG(k)とする。次を証明せよ。k=1, 2, …, n
(1) G(k)はG(k-1)で割り切れる。
(2) G(k)=G(k-1)e(k)とおくとe(k)はe(k-1)で割り切れる。
ただしe(1)=G(1)とする。
(3) Πe(i)=Πa(i)。
(4) e(n)=L(1)。
- 279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/20(火) 18:30:17.09 ID:PG7ONmg/.net]
- 4.
nが相異なる素数p,qの積、n=pqであるとき、nC1,nC2,...,nCn-1の最大公約数は1であることを示せ。
- 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/20(火) 18:44:22.16 ID:wTTJPRzG.net]
- 4
最小公倍数を{a, b}、最大公約数を(a, b)で表すことにする。
{(a1, m), (a2, m), …, (an, m)}
=({a1, a2, …, an}, m)
が成り立つことを証明せよ。
- 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/20(火) 19:52:22.46 ID:PG7ONmg/.net]
- 5
任意の正整数nについて、n^2+1と5n^2+9は互いに素であることを示せ。
- 282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/20(火) 20:53:13.92 ID:U+xDowcO.net]
- 解法も教えて欲しいです
https://imgur.com/a/JE9nfzC
- 283 名前：イナ mailto:sage [2022/09/20(火) 21:43:59.39 ID:hPbVcOfn.net]
- (40+x)°+(40+x)°+(10+40)°=180°
80+2x=130
2x=50
x=25
∴25°
- 284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/20(火) 22:58:43.57 ID:gv1AqWpc.net]
- >>271
左辺=(p^Minα)(q^Min)
pとqの中に等しいものがあってもこうなる。
右辺について(a1b1, a1b2, …, a1bn)=a1(q^Min)となる。他のai全てについて同様たから
左辺=(a1q^Min, a2qMin, …, amq^Min)
同様にして
=(p^Min)(q^Min)となる。
- 285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/20(火) 23:15:06.52 ID:gv1AqWpc.net]
- >>273
全ての素因数pについて次のように並べる
ak=p₁^α₁(k)×p₂^α₂(k)×…×pₙ^αₙ(k)
akに含まれない素因数piについてはαi(k)=0とすればよく、また全ての素因数を並べてえるので表わせないaₖは存在しない。
Gはp₁の指数に関してα₁(1)、α₁(2)、…、α₁(n)の中から最小のものを拾い、他のpₖの指数に関しても同様である。よって成り立つ。
Lは同様にp₁の指数に関してα₁(1)、α₁(2)、…、α₁(n)の中から最大のものを拾い、他のpₖの指数に関しても同様である。よって成り立つ。
- 286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/20(火) 23:49:18.87 ID:gv1AqWpc.net]
- >>274
結局全ての素因数について小さい順に揃えて並べて考えても同じである。(1)
例えば、
2^3×3^2、2^1×5^2、2^3×3^4×5^1
ならば
2^1×3^0×5^0、2^3^2×5^1、2^3×3^4×5^2としても同じである。
よってd(k)=p₁^(α₁1+α₁2+…α₁k)
×p₂^(α₂1+α₂2+…α₂k)×…
×pₙ^(αₙ1+αₙ2+…αₙk)
e(k)=p₁^αₖ1×p₂^αₖ2×…×pₙ^αₖn
となる。e(k-1)は各α(i)が広義単調僧伽しているのでe(k)を割り切る。(1)の構成法から考えて
Πe(k)=Πa(k)は明らかである。(e(k)=a(k)と考えてよいから)
αₙ(i)は最大値の集合なのでe(n)=Lも自明である。
- 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [[ここ壊れてます] .net]
- >>276
ajとmの各素因数pₖの指数αₖ(i)とβₖについて考えればよい。
左辺は最小値の最大値でありβₖが最大の場合はαₖ(n)、それ以外の場合すなわちαₖ(n)が最大の場合はβₖである。
右辺はαₖ(n)とβₖの小さい方を意味するので左辺=右辺が成り立つ。
- 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/21(水) 11:28:13.19 ID:RgGVrWVM.net]
- 1
a、b、c、…の最小公倍数をLとする。a、b、c…の約数でどの2つも互いに素であるものをa0, b0, c0、…とするとL=a0b0c0…と出来ることを証明せよ。
- 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/21(水) 11:29:44.66 ID:RgGVrWVM.net]
- 2
二項係数を(n : r)のように表す。
(1) pが素数で p>k>0の時, (p : k)はpで割り切れる。
(2) p^n>k>0の時, (p^n : k)はpで割り切れる。この時、kがちょうどp^aで割り切れるならばp^(n-a)で割り切れる。
- 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/21(水) 11:31:03.52 ID:RgGVrWVM.net]
- 3
n!に含まれる素因数pの個数は
Σ[k=1, ∞][n/p^k]で表される。ここで[ ]はガウスの記号である。すなわち[a]はaを超えない最大の整数とする。
- 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2022/09/21(水) 11:31:30.14 ID:RgGVrWVM.net]
- 4
既約分数m/n (m>0、n>1)を部分分数に分解せよ(分解可能性を示せ)。
- 292 名前：１３２人目の素数さん [2022/09/21(水) 12:19:40.29 ID:RlHof0wK.net]
- このスレは死にました
- 293 名前：１３２人目の素数さん [2022/09/21(水) 12:20:44.72 ID:RlHof0wK.net]
- 嫌がらせには嫌がらせで対抗すべきか、いま悩んでる
- 294 名前：１３２人目の素数さん [2022/09/21(水) 12:22:24.92 ID:RlHof0wK.net]
- まあ、NGすればいいんだから、そんなに酷い嫌がらせでもないので連投するか。
- 295 名前：１３２人目の素数さん [2022/09/21(水) 12:23:02.73 ID:RlHof0wK.net]
- 2
(1) a1、a2、…、anの少なくとも1つに含まれる全ての素因数をp1、p2、…、pmとすると
ai=Π[k=1, n] pₖ^(αₖ(i))、αₖ(i)≧0
- 296 名前：１３２人目の素数さん [2022/09/21(水) 12:23:52.73 ID:RlHof0wK.net]
- 二項係数を(n : r)のように表す。
(1) pが素数で p>k>0の時, (p : k)はpで割り切れる。
- 297 名前：１３２人目の素数さん [2022/09/21(水) 12:24:00.88 ID:RlHof0wK.net]
- 1
二項係数を(n : r)のように表す。
(1) pが素数で p>k>0の時, (p : k)はpで割り切れる。
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