- 1 名前：１３２人目の素数さん [2020/11/04(水) 23:42:56.59 ID:r1+Fntes.net]
- 分からない問題はここに書いてね463
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1599810760/
(使用済です: 478)
- 461 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/26(木) 21:03:20.05 ID:nTBSTLPq.net]
- 暇つぶしに反例探しのプログラムを組んで処理が終わらないことを体感してみた。
f <- function(x) length(unique(x))==5 # 異なる実数
g <- function(x){ # (1)どの実数も残りの4つの和より小さい
flg=FALSE
for(i in 1:5){
if(x[i] < sum(x[-i])){
flg=TRUE
}else{
flg=FALSE
break
}
}
return(flg)
}
# (2)任意に２数a,bを選んだときa<=bなら2a<=bである
'%=>%' = function(P,Q) !(P & !Q) # PならばQ
pm=gtools::permutations(5,2)
h <- function(x){
sub <- function(i){
a=x[i[1]]
b=x[i[2]]
(a <= b) %=>% (2*a <= b)
}
all(apply(pm,1,sub))
}
sim <- function(x) f(x) & g(x) & h(x)
flg=FALSE
while(!flg){
x=runif(5)
flg=sim(x)
}
- 462 名前：１３２人目の素数さん [2020/11/26(木) 22:04:05.32 ID:KagUIDmK.net]
- https://imgur.com/bR4QmVW.jpg
この問題の(c)ですが，-5767/432で合っていますか？
- 463 名前：１３２人目の素数さん mailto:ほんまやで [2020/11/26(木) 22:47:38.55 ID:qR1Hjf0C.net]
- W={au;a∈R}
(1)b∈R,x=au∈W ==> bx=bau ∈W
(2)x=au∈W,y=bu∈W =>x+y=au+bu=(a+b)u ∈W
=>
WがVの部分空間
- 464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/27(金) 00:29:27.56 ID:IXre02LE.net]
- 結合律や分配律もあるんだがな
- 465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/27(金) 00:40:22.58 ID:2wM+1Vuz.net]
- そこらへんは元の空間の元として見れば自明に成り立つことだし和とスカラー倍で閉じてたら部分空間だ
- 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/27(金) 13:08:20.57 ID:IXre02LE.net]
- 最初から自明だしなー
- 467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/27(金) 14:12:47.53 ID:PUz7ZUQT.net]
- (m^2+n+1)/m + (n^2-m)/n
が正整数となる2以上の正整数の組(m,n)が存在するならば、1組求めよ。
- 468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/27(金) 14:30:13.09 ID:xfjb/py5.net]
- >>434
(1)より、
任意の(n-2)個の和が正
が容易に出る。
負または0となるものは (n-3)個以下。
�
- 469 名前：ｳが 3個以上。
(2) より 正のものの比は2倍以上。
最大のものをeとすれば
a + b + ････ ≦ e/2 + e/4 + ････ < e. (矛盾) [] - [ここ壊れてます]
- 470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/27(金) 14:38:01.36 ID:oHOj+u2n.net]
- v(n)>v(m)のとき
v(n/m+1/m-m/n) < 0
であるから任意のvでv(n)≦v(m)
∴ n | m
∴ n/m + 1/m = (n+1)/m ∈ Z
∴ m | n+1
∴ m = n, n+1
∴ (m,n) = (1,1), (2,1)
- 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/27(金) 15:16:09.24 ID:anGa5WFp.net]
- >>449
m=10, n=4で
(10^2+4+1)/10 + (4^2-10)/4 =12
- 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/27(金) 15:28:05.30 ID:oHOj+u2n.net]
- あ、しまった
n/m既約で考えてたw
- 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/27(金) 15:29:23.48 ID:anGa5WFp.net]
- 15までを探索させたら
mn=list(
c(2,4),
c(3,9),
c(6,9),
c(10,4),
c(15,9)
)
unlist(lapply(mn,function(mn) f(mn[1],mn[2])))
- 474 名前：１３２人目の素数さん [2020/11/27(金) 18:34:05.84 ID:eOr9NA8L.net]
- https://imgur.com/wP6ahgL.jpg
この問題の解答は以下のような流れでいいでしょうか？
g(x, y) = f(x) - yというR^{k+2*n}からR^nへのC^1級の関数を考える．
Dg(x, y) = (∂f/∂x, -I_n)
∂f/∂xの階数はnだから，変数x_1, …, x_{k+n}の中から従属変数をn個選べる．
y_1, …, y_nはすべて独立変数に含めることができる．
- 475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/27(金) 18:41:52.23 ID:xfjb/py5.net]
- >>444
合っています。
(a)
F(U,V) = 2U + 3V + (2次以上の項),
x = X-2, y = Y+3, z = Z-1 とおく。
G(x,y,z) = G(X-2, Y+3, Z-1)
= F(X+2Y+3Z, (X-2)^3 + (Y+3)^2 - (Z-1)^2)
= F(X+2Y+3Z, 12X+6Y+2Z) + (2次以上の項)
= 2(X+2Y+3Z) + 3(12X+6Y+2Z) + (2nd.)
= 38X + 22Y + 12Z + (2nd.),
G=0 ⇒ Z = - (19/6)X - (11/6)Y + (2nd.),
z = - (11+19x+11y)/6 + (2nd.),
(b)
D g(-2,3) = [ -19/6, -11/6 ]
(c)
F(U,V) = 2U + 3V + (3/2)UU - UV + (5/2)VV + (3次以上の項),
G(x,y,z) = G(X-2, Y+3, Z-1)
= F(X+2Y+3Z, (X-2)^3 + (Y+3)^2 - (Z-1)^2)
= F(X+2Y+3Z, X^3 -6XX +12X +YY +6Y -ZZ +2Z)
= {38X + 22Y + (663/2)XX + 336XY + 87YY}
+ (12+91X+56Y)Z + (29/2)ZZ + (3次以上の項),
ここで G=0 とおくと
Z = {-(12+91X+56Y) + √(144 -20X +68Y -10946XX -9296XY -1910YY)}/29 + (3rd)
= -(19/6)X -(11/6)Y -(13589/864)XX -(5767/432)XY -(2381/864)YY + (3rd)
- 476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/27(金) 18:59:38.97 ID:xfjb/py5.net]
- >>456
蛇足ですが
U = cos(π/8)･u - sin(π/8)･v,
V = sin(π/8)･u + cos(π/8)･v,
とおけば
F(U,V) = a･U + b･V + (3/2)UU - UV + (5/2)VV
= {a･cos(π/8) + b･sin(π/8)}u + {-a･sin(π/8) + b･cos(π/8)}v
+ (2-1/√2)uu + (2+1/√2)vv
= f(u,v)
と対角化できる。
- 477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/27(金) 19:27:12.29 ID:qKRYyEV/.net]
- >>449
dを任意の正の整数とするとき
m = d(d^2+1), n = d^2 は条件を満たす
このとき 問題の式は d^3+d^2 となる
ちなみに必要条件として
m,nが条件を満たすならば nが 必ず平方数となることがすぐ示せる
m,nの最大公約数をdとおいたとき 平易な整除の議論で n/d = d が示せるので
- 478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/27(金) 19:33:05.07 ID:eOr9NA8L.net]
- >>456-457
ありがとうございました．勉強になります．
- 479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/27(金) 20:33:18.25 ID:eOr9NA8L.net]
- >>455
間違っていますか？
- 480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/27(金) 21:54:47.34 ID:NVMY7UN9.net]
- 三角形ABCのBC上に点Dを適当にとる。（辺の延長上もありとする）
CAに点E、ABに点Fを△ABC∽△DEFとなるように定�
- 481 名前：Kとコンパスで作図せよ。
[] - [ここ壊れてます]
- 482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/27(金) 22:07:50.12 ID:oHOj+u2n.net]
- 重み座標をA(1,0,0) B(0,1,0) C(0,0,1)とする
D(0,x,y)とする
D'(0,y,x)を作図する、すなわちD'はBCの中点に対して対称な点とする
D'を通りABに平行な直線とACの交点をEとすればEの重み座標はE(y,0,x)となる
同様にしてF(x,y,0)を作図する
- 483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/27(金) 22:23:32.24 ID:oHOj+u2n.net]
- >>462
あかんやん
吊ってくる
- 484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/27(金) 23:26:46.42 ID:oHOj+u2n.net]
- >>461
AC上にE1,E2を任意に取り△DE1F1と△DE2F2を△ABCと相似になるようにとりF1F2とABの交点をFとする
同様にしてEをとればコレが求めるものである
- 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/28(土) 09:12:49.22 ID:8u069Pd4.net]
- >>464
なるほど。あと定規とコンパスで可能な作図なのかってのと一意性が気になる。。
- 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/28(土) 09:35:21.38 ID:a7jcvtWG.net]
- >>466
定点Dが固定されてて同点Eが直線BC上を動く時△DEFが△ABCが(向きも同じで)相似になるFは一意で、その軌跡は直線
直線と直線の共有点はないか、一点か直線全体
最後にはならんからないか一点だけど、ないなら作図可能性以前に解なし
あるなら２点作図して結べば終わり
作図可能性なんか明らかやん
- 487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/28(土) 10:03:46.79 ID:8u069Pd4.net]
- どうも
適当な二直線の角度と同じ回転をどうやるのかとおもったけど簡単だった
- 488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/28(土) 11:54:42.18 ID:qJ3SrRz3.net]
- 三角形Tの周上に異なる3点A,B,Cをとり、△ABCが正三角形となるようにしたい。
（1）Tの形状に依らず、このような3点をとることは可能か。
（2）Tが正三角形でないとき、このような正三角形△ABCは一意に定まるか。
（3）Tの形状に依らず、△ABCは定規とコンパスで作図可能か。
- 489 名前：１３２人目の素数さん [2020/11/28(土) 12:44:59.81 ID:gsPbS5np.net]
- https://imgur.com/xdlOICF.jpg
この解答は間違っているようですが，どこが間違っていますか？
- 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/28(土) 12:53:03.67 ID:gsPbS5np.net]
- 完全な見当違いで意味不明な解答になっているのか，そうでないのかが分かりません．
- 491 名前：１３２人目の素数さん [2020/11/28(土) 13:54:08.44 ID:71BcBuYQ.net]
- >>468
A,B,Cが異なる辺の上にあるという制限をつけなければ簡単。
(1)
三角形Tには頂角が60度以下になる頂点が必ず存在するので、
それをDとすると、Dをはさむ２辺のうち、長くない方の辺上
に点Aをとり、そこからDAに対して６０度の角をなすような
直線を引いて、Dを挟むもう一方の辺と交わる点をBとする。
さらにDA上にAC=ABとなる点Cをとれば△ABCは正三角形。
(2)
A点は辺上のどこにとっても良いので一意性はない。
(3)
DA間の任意の点C'をとって、コンパスを使って正三角形
AC'B'を作図し、直線AB'とDを挟むもう一方の辺との交点
をBとする。コンパスを使ってAB=ACとなるようなDA上の
点をCを決めてやれば正三角形ABCができる。
- 492 名前：１３２人目の素数さん [2020/11/28(土) 14:13:48.61 ID:71BcBuYQ.net]
- 簡単すぎるから、たぶんA,B,Cは異なる辺上の点なんだろうね。
それでも(1)が成り立つことはわりと簡単に示せそう。
- 493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/28(土) 14:47:35.72 ID:GZJoTNC0.net]
- >>471
ありがとうございます。ご指摘どおり相異なる辺上にないと（3）以外は非常に簡単な問題でした。（3）は分かりやすい証明をいただいてありがとうございます。
- 494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/28(土) 14:49:21.74 ID:GZJoTNC0.net]
- >>468
追加の設問
（4）（1）～（3）を以下の条件下で解け。「3点A,B,Cはどの2つも異なる辺上にある。」
- 495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/28(土) 15:49:21.51 ID:a7jcvtWG.net]
- Aを最大角としてAC,AB上にQR�
- 496 名前：R//BCにとり、PQRが正三角形になるようにPをとってQRをAの付近からBCに近づけていけばいい []
- [ここ壊れてます]
- 497 名前：１３２人目の素数さん [2020/11/28(土) 17:56:54.38 ID:71BcBuYQ.net]
- >>475
ABCはで作られる正三角形の頂点だから適切な記法ではないけど、
俺も同じようなこと考えた。
三角形Tの頂点をD,E,Fとし最大の頂角に対応する点をDとする。
DE上の動点Pに対して、PQ//EFとなるような点QをDF上にとり、
PQの垂直二等分線とEFの交点をRとすると、二等辺三角形PQR
の頂角Rは動点PがDに近づくと0に、Eに近づくと180度に近づ
く単調な増減をするので、どこかで必ず60度になる。そのとき
△PQRは正三角形。
鋭角三角形なら、どの頂点をとっても同様にできるので、正三角形
でない限り３種類できそう。
作図方はわからん。
- 498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/28(土) 18:10:17.14 ID:a7jcvtWG.net]
- 作図するならやはりAを最大角としてまず△ADEをAからBCに下ろした垂線の脚をD、DE=BCととるDを原点DEをx軸として傾き(√3)/2の直線を作図してAEとの交点をSとする
>>475のQRを直線QRがSを通るように作図すればいい
- 499 名前：１３２人目の素数さん [2020/11/28(土) 18:59:17.57 ID:71BcBuYQ.net]
- >>477
記号が混乱しててよくわからん。
>>476の記号に従えば、DからEFに下ろした垂線DHとPQとの交点をSとすると、
SがDHをDH:(√3/2)EFに内分するときに△PQRは正三角形になるね。
(√3/2)EFというのはEFを底辺とする正三角形の高さだし、DHもコンパスと
定規で作図できるから、なんとか作図できそう。
- 500 名前：１３２人目の素数さん [2020/11/28(土) 19:15:37.81 ID:71BcBuYQ.net]
- >>478
自己レス。
EFに平行でEFからの高さが(√3/2)EFとなる平行線とl、
その平行線からの高さがDHとなる平行線kを引く。
EDを延長してkと交わる点からEFに下ろした垂線とl
との交点をGとし、EGとDHの交点をSとする。Sを
通るEFの平行線とDE,DFとの交点をPQとし、PQの
垂直二等分線とEFとの交点をRとすれば△PQRは
正三角形。
- 501 名前：１３２人目の素数さん [2020/11/28(土) 19:16:41.62 ID:71BcBuYQ.net]
- ＞平行線とl
平行線l
- 502 名前：１３２人目の素数さん [2020/11/28(土) 21:01:24.62 ID:LDk+roNR.net]
- 0<a< 1， 0<b <1 ，0 <c<1 ， 0<d <1 とする．平行四辺形 ABCD の辺 AB ， BC ，CD ， DA
を a :1-a ， b:1 -b ，c: 1-c ，d: 1-d に内分する点を，それぞれ E ， F ， G ， H とし，
ベクトルp =ベクトルAB ，ベクトル q =ベクトルAD ， θ=∠ BAD （ 0° <θ<180 ° ）
とおく．
（１）二つの四角形ＡＢＣＤ、ＥＦＧＨをともにひし形とする。
θ＝60°のとき、四角形ＥＦＧＨの面積の最小値は
ナ（１－√ニ／ヌ）ＡＢ＾２
である。このとき
a=ネ－√ノ／ハ ｂ＝√ヒ－フ／ヘ
である。
この問題の解説をお願いします。
- 503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/28(土) 21:14:48.35 ID:a7jcvtWG.net]
- >>481
問題として成立してへんやろ
GE^2=AE^2+AG^2-2AE AG cos θ
EF^2=BE^2+BF^2-2BE BF cos(180°-θ)
でAE=BF, AG=BEだからθ=60°ならEFGHが菱形になる事はない
- 504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/28(土) 22:13:53.11 ID:a7jcvtWG.net]
- あ、嘘書いた
比率は辺ごとに違っていいのか
- 505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/28(土) 22:27:32.65 ID:a7jcvtWG.net]
- >>481
ACとBDの交点をOとし∠AOE=xとおく
OE=sin(θ/2)/sin(θ/2+x)OA,
OH=sin(θ/2)/sin(θ/2+π/2-x)OA,
により
面積=(定数)/sin(θ/2+x)/sin(θ/2+π/2-x)だから分母が最大となるxを求めればよい
分母=1/2(cos(π/2-2x)-(定数))だから分母が最大、面積が最小となるのはx=π/4の時
- 506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/28(土) 22:30:49.85 ID:a7jcvtWG.net]
- 書き忘れた
EH//FG,EF=GHにより△AEHと△CGFは合同となり、よって図形はO対称なのでこのような設定が可能
- 507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/29(日) 03:23:58.78 ID:MvpMIq3o.net]
- >>428をスルーするなよ
全員低脳認定するぞ
俺もだけど
- 508 名前：１３２人目の素数さん [2020/11/29(日) 03:47:40.68 ID:i5kpAyWT.net]
- 二項分布の正規近似についての問題を教えてください。
1.サイコロを18000回投げて、6の目が2950以上3050回未満出る確率を二項分布の正規近似を用いて求めよ。ただし,I(1)=0.3413
2.ねじを作っている工場で、不良品が市場に出回る確率が0.02。このねじを2500個買ったらその中に不良品が36個以上含まれる確率を二項分布正規近似を用いて求めよ。
ただし。I(2)=0.4772
- 509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/29(日) 03:59:58.96 ID:Tp2M6HFd.net]
- ２％も不良を世に出す工場とかどうかしてる
いっそ廃業した方がいい
- 510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/29(日) 04:01:26.60 ID:qGWGKYzn.net]
- >>486
あってるんちゃうの？
x''=-9/256
という事は船は岸に向かって9/256m/s^2で加速してるんでしょ？
- 511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/29(日) 09:07:53.18 ID:qdbigdT/.net]
- てすと
- 512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/29(日) 12:43:13.91 ID:NBLrGmtN.net]
- 関数f(x)=x^3-2x^2-3x+4において、区間-7/4≦x≦3での最大値と最小値を求めよ。
解法の方法は全然分かるけど標準的な解法で計算すると、計算が複雑になって
途中で挫折してしまうね・・・(T_T)
- 513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/29(日) 13:33:32.29 ID:FQMny+EP.net]
- >>491
東大文系の有名な問題じゃん
youtubeでも見ろカス
- 514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/29(日) 16:08:50.41 ID:2XJgjWe6.net]
- >>487
> # 1
> n=18000
> p=1/6
> m=n*p
> sd=sqrt(n*p*(1-p))
> pnorm((3050-m)/sd)-pnorm((2950-m)/sd) # 近似
[1] 0.6826895
> sum(dbinom(2950:3049,18000,1/6)) # 直接計算
[1] 0.6826904
>
> # 2
> n=2500
> p=0.02
> m=n*p
> sd=sqrt(n*p*(1-p))
> pnorm((36-m)/sd,lower=F) # 近似
[1] 0.9772499
> 1-sum(dbinom(0:35,2500,0.02)) # 直接計算
[1] 0.9845942
問題の数値を使うなら
# 1 は 2*I(1)
# 2 は I(2) + 0.5
- 515 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/29(日) 16:17:26.50 ID:2XJgjWe6.net]
- >>491
検算用の少数表示（無思考のプログラム近似解）
> f= function(x) x^3-2*x^2-3*x+4
> curve(f(x),-7/4,3,bty='l')
> optimize(f,c(-7/3,3))
$minimum
[1] 1.868513
$objective
[1] -2.064605
> optimize(f,c(-7/3,3),maximum = T)
$maximum
[1] -0.535166
$objective
[1] 4.87942
- 516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/29(日) 16:22:17.66 ID:2XJgjWe6.net]
- 中途半端な数になるな。
2/3 + sqrt(13)/3
(2/27)*(19 - 13*sqrt(13))
2/3 - sqrt(13)/3
(2/27)*(19 + 13*sqrt(13))
- 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/29(日) 16:32:21.97 ID:2XJgjWe6.net]
- >>493
１億回のシミュレーションで検算
> k=1e8
> d=rbinom(k,18000,1/6)
> mean(2950<=d & d<3050)
[1] 0.6826036
> screw=rbinom(k,2500,0.02)
> mean(screw>=36)
[1] 0.984583
- 518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/29(日) 16:42:11.48 ID:2XJgjWe6.net]
- >>488
不良品ネタにこんな問題を考えてみた。
ある上級国民の家庭から不良品の大臣が出る確率を推測したいが何の情報もないのでその確率�
- 519 名前：齬l分布とする。
総理大臣、防衛大臣と二人続けてまともな答弁ができない不良品が出たとき、不良品出現確率の期待値と95%信頼区間を求めよ。 [] - [ここ壊れてます]
- 520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/29(日) 16:56:17.54 ID:NBLrGmtN.net]
- >>491だけど、動画を探したらありましたわ。
https://www.youtube.com/watch?v=LPCKK3BIoqo
要は、3次線のグラフが変曲点で対称になる性質を利用するのですね。
- 521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/29(日) 17:42:45.98 ID:yeCmdoxf.net]
- >>497
考えてもいいですがココに書かないでください
- 522 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/29(日) 17:51:07.97 ID:Z8EN0xj5.net]
- プログラムおじさん
- 523 名前：１３２人目の素数さん [2020/11/29(日) 19:36:11.53 ID:LdxkiLRb.net]
- >>497自身が不良品である確率は100%
- 524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/29(日) 19:53:31.08 ID:2XJgjWe6.net]
- >>501
レスThanx
更にこういう応用問題にしてみた。
まあ、上級国民ネタでなくても不良品のネジを題材にしてもいいんだが。
>497の前提で何人の不良品が続いたら不良品率の95%信頼区間の下限値が90%を超えるか？
そのときの不良品率の期待値はいくらか？
- 525 名前：１３２人目の素数さん [2020/11/29(日) 20:17:56.18 ID:LdxkiLRb.net]
- >>502
やはり>>497の不良品率の期待値は1
- 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/29(日) 20:20:17.02 ID:7jiaQMHN.net]
- >>502が不良品である確率(変数)の期待値は……なに、発散するだと！？
- 527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/29(日) 21:55:54.63 ID:YjdJo8qZ.net]
- >>275
Aの固有値が λ,μ のとき
A = PDP^{-1}
ここに
D = [λ, *] (λ≠μ のとき *=0)
[0, μ]
λ, μ はAの固有値
P は固有ヴェクトルを並べて作った行列
と表わせるから
A^n = (PDP^{-1})^n = P D^n P^{-1}
ここに
D^n = [ λ^n, **]
[ 0, μ^n]
固有値は2次方程式
0 = (x-a)(x-d) - bc = x^2 - (a+d)x + (ad-bc),
の根。
∴ a+d, ad-bc により 2つの固有値λ, μが決まる。
一方、固有ヴェクトルを (cosθ, sinθ) とすれば
tanθ = {-(a-d) ± √[(a-d)^2+4bc]}/2b, (b≠0)
cos(2θ) = {bb - cc ± (a-d)√[(a-d)^2+4bc]}/{(a-d)^2 + (b+c)^2},
∴ a-d, b, c により 2つの方向θが決まる。
- 528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/29(日) 22:29:40.59 ID:N7kSECVq.net]
- 坪井著『幾何学I 多様体入門』に，「偏微分が連続であれば，偏微分の順序によらない」と書かれているのですが，本当ですか？
例えば，「関数がC^2ならば偏微分の順序によらない」は正しいことは知っています．
- 529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/29(日) 23:02:53.94 ID:YjdJo8qZ.net]
- >>505
(a-d)：b：c の比により 2つの方向θが決まる。
- 530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/29(日) 23:05:52.26 ID:7jiaQMHN.net]
- (2階)偏微分が連続、ということだと思う
もしくは(順序交換を議論する前提として少なくとも2階までの偏導関数が存在するから、それらすべての)偏微分が連続という意味か
- 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/29(日) 23:40:13.91 ID:MvpMIq3o.net]
- >>489
岸壁に向かっての向きは+です。
>>428のここら辺、高脳の先生方、マジで教えてください。お願いします。
＞z、x、dx/dt、dz/dtを微分するとそれぞれdz/dt、dx/dt、d^2x/dt^2、d^2z/dt^2です。
z=20(綱の長さ)、x=16(岸壁と舟との距離)、 dx/dt=5/4、 dz/dt=1の20、16、5/4、1を微分すると0です。
- 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/30(月) 00:00:40.59 ID:Jl3CpvQN.net]
- >>507
逆に
a+d = α,
b/(a-d) = β,
c/(a-d) = γ,
ad - bc = δ,
のときは
a-d = ±√{(αα-4δ)/(1+4βγ)},
だから
a = {α + (a-d)}/2,
b = β(a-d),
c = γ(a-d),
d = {α - (a-d)}/2,
と決まる。
(a≠d のとき)
- 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/30(月) 00:23:17.73 ID:B3XEXa69.net]
- 線形写像T:R^n→R^mは連続であることを示したいです。
|T(x)|
- 534 名前：≤C|x|となる定数Cが取れれば示せると思うのですが、どのようなCをとればいいでしょうか？ []
- [ここ壊れてます]
- 535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/30(月) 00:39:25.28 ID:d0yyF6XW.net]
- Tの作用素ノルム
- 536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/30(月) 01:00:25.55 ID:Jl3CpvQN.net]
- 相似変換
A ' = PAP^{-1}
により固有ヴェクトルは変更を受けるが、
a+d と ad-bc, 一般に det(xE-A) が保存するので固有値は変わらない。
- 537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/30(月) 01:01:50.58 ID:B3XEXa69.net]
- >>512
ありがとうございます！
- 538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/30(月) 01:03:26.24 ID:dZDHA6pK.net]
- >>509
ぴんとこないなら岸から船までの距離xと岸壁の方向を+とする船の位置yをキチンと区別して立式して見たらいい
x,zの方程式は>>428で正しい
岸壁の方向を+とする船の位置の座標で岸壁を0とする座標をyとするとy=-xでしよ？
そして問われているのはy'とy"
- 539 名前：132人目の名無しさん mailto:sage [2020/11/30(月) 11:07:52.10 ID:fYDlOWL2.net]
- 1から40までの自然数の積 N =1×2×3×・・・×40 について、Nは1の位から0がいくつか続くが、その次の桁に現れる0でない数字は何か？
- 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/30(月) 11:31:03.39 ID:dZDHA6pK.net]
- 1×3×7×9×‥×39 ≡ 1 (mod 10)
v5(40!) = [40/5] + [40/25] = 9
v2[40!) = [40/2] + ‥ + [40/32] = 38
2^(38-9) ≡ 2 (mod 10)
∴ 10^29 | 40!, 40!/10^29 ≡ 2 (mod 10)
- 541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/30(月) 12:00:35.66 ID:dZDHA6pK.net]
- しまった
偶数と後の倍数のとこにある2,5以外の因子数の考慮抜けてる
>>517はウソ
- 542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/30(月) 13:11:46.95 ID:Jl3CpvQN.net]
- しまった
最後の行は↓だた。
∴ 10^9 | 40!, 40!/10^9 ≡ 2^{38-9} ≡ 2 (mod 10)
>>517 はホント
- 543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/30(月) 13:14:48.82 ID:dZDHA6pK.net]
- 1×3×7×‥×39 ≡ 1 (mod 10)
2×6×‥×38 ≡ 6 (mod 10)
4×12×28×36 ≡ 4 (mod 10)
8×16×24×32/2^9 = 8×24 ≡ 2 (mod 10)
5×10×‥×40/5^9 = 8!/5 = 8064 ≡ 4 (mod 10)
∴ 40!/10^9 ≡ 2 (mod 10)
- 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/30(月) 13:16:07.55 ID:dZDHA6pK.net]
- >>519
オマエこのレスの仕方なんなん？
そういうかぶせして相手が何にも思わんとでも思ってんのか？
それで他人いたぶって楽しいんか？、
- 545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/30(月) 14:18:52.07 ID:Jl3CpvQN.net]
- >>505
固有値は
λ = {α - √(αα-4δ)}/4,
μ = {α + √(αα-4δ)}/4,
また
λ+μ = α, λ･μ = δ,
「固有」ヴェクトルθは
tanθ = {-1 ± √(1+4βγ)}/(2β), (β≠0)
cos(2θ) = {ββ-γγ±√(1+4βγ)}/{1+(β+γ)^2},
- 546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/30(月) 17:22:31.27 ID:KhiLCU5N.net]
- >>521
木村花や三浦春馬を死に追いやった罵詈雑言を浴びせといて開き直ってる屑鬼畜生が大勢いる時代だ
そいつも同類の屑鬼畜生なんだろうなとでも思っといてやろう
- 547 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/30(月) 19:33:02.89 ID:5QY0/yDj.net]
- 円に内接する四角形ABCDで、各辺AB、BC、CD、DAの長さをそれぞれ7、5、2、5とする。
(1)∠ABC
(2)ACの長さ
(3)四角形ABCDの面積
c^2=a^2+b^2-2ab・cos∠ACB
△ABCの面積=(1/2)ab・sin∠ACB
上の2つの公式だけで答えを導けますが、他に利用できそうな公式やお勧めの公式は
はありますか？
答え
(1) (1/3)π
(2) √39
(3) (45√3)/4
- 548 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/30(月) 19:53:48.27 ID:dZDHA6pK.net]
- 等脚台形だから初等幾何でもできるやろな
- 549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/30(月) 20:12:52.78 ID:KhiLCU5N.net]
- >>524
プラマグプタの公式で検索
- 550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/30(月) 20:45:20.54 ID:wS8dpDB/.net]
- >>516
- 551 名前：
地道に計算してみた（嘘、計算機に計算させただけ）
> gmp::factorialZ(40)
Big Integer ('bigz') :
[1] 815915283247897734345611269596115894272000000000
おまけ
N=100でやってみた。
> gmp::factorialZ(100)
Big Integer ('bigz') :
[1] 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000 []- [ここ壊れてます]
- 552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/30(月) 21:29:29.86 ID:wS8dpDB/.net]
- >>527
お遊びに １！から１０００！までやってみた。
> head(z,10)
N digit
1 1 NA
2 2 NA
3 3 NA
4 4 NA
5 5 2
6 6 2
7 7 4
8 8 2
9 9 8
10 10 8
> tail(z,10)
N digit
991 991 6
992 992 2
993 993 6
994 994 4
995 995 8
996 996 8
997 997 6
998 998 8
999 999 2
1000 1000 2
グラフにしてみた
https://i.imgur.com/vOzyFUG.png
- 553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/30(月) 21:47:38.05 ID:cvOSBn+y.net]
- してみなくていいです
- 554 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/30(月) 22:08:58.65 ID:Eb/ZTYIe.net]
- 相変わらずのプログラムおじさん
- 555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/30(月) 22:36:16.04 ID:P8+sH4AJ.net]
- 奇数が現れないのは何か理由があるのかなぁ？
- 556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/11/30(月) 23:42:40.61 ID:dZDHA6pK.net]
- >>531
当たり前やん
- 557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/01(火) 02:37:39.82 ID:Q9+fDWF8.net]
- >>516
能率的な方法... 以下の方法は下k桁に一般化可能
正の整数全体の集合をNとおく.
f(n) = n/5^v により f:N→N を定める
ただし vはnが5で割り切れる回数を表す
このとき f(ab)=f(a)f(b) が任意のa,b∈Nで成立する
e := v_5(40!) = [40/5] + [40/25] = 9 である
40! = c*10^e を満たす10で割り切れない正の整数cが取れる
cは明らかに偶数なので cを5で割ったときの余りを求めればよい
仮に f(40!) の mod 5 での値がわかれば以下のように答えがでる
f(40!) = b とおけば 40! = b*5^e なので
b*5^e = c*10^e とあわせて b = c*2^e であるから e=9 を思い出して
2^4≡1 (mod 5) から 2^9≡2 (mod 5) ゆえに b≡2c (mod 5)
しからば c≡3b (mod 5) ということになる
よって f(40!) mod 5 を計算する問題に帰着された
これの計算は以下の性質を用いるのが便利である(証明は容易故略)
f((5n+r)!) ≡ f(n!)*(-1)^n * r! (mod 5)
これを用いれば
f(40!) ≡ f(8!) ≡ f(1!)*(-1)*3! ≡ -1 (mod 5)
b≡ -1 (mod 5) がいえたので c≡3b≡2 (mod 5)
よって 40! の最初に表れる0でない桁を5で割った余りは2である
求めるものは明らかに偶数であるから 求める桁は 2であることがいえた
(40! は2で少なくとも20回(9回より多い)は割り切れるゆえに
求める桁は偶数なので 求める桁が 7になることはないのである)
- 558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/01(火) 03:15:29.43 ID:Q9+fDWF8.net]
- [問題]
mを正の整数とする. 5^m の階乗において,
10進法で下1桁からみていくときに最初に表れる0でない桁を求めよ
[回答例]
正の整数全体の集合をNとおく.
f(n) = n/5^v により f:N→N を定める
ただし vはnが5で割り切れる回数を表す
任意の正の整数nおよび整数r(0≦r≦4)に対して
f((5n+r)!) ≡ f(n!)*(-1)^n * r! (mod 5) が成立する
各非負整数kに対して g(k) = f((5^k)!) とおくと
g(k+1) ≡ g(k)*(-1) (mod 5) がいえる
よって, g(m)≡ (-1)^m (mod 5) となる
A:=(5^m)! の 5で割り切れる回数は e:= (5^m-1)/4
A = b * 10^e を満たす10で割り切れない正の整数bが取れる
A = a * 5^e を満たす5と互いに素な正の整数aが取れる
よって, a = b*2^e であるから a=g(m) とあわせて
g(m) = b*2^e が得られる 両辺に 2^(3e)をかけて mod 5を取ると
g(m)≡ (-1)^m (mod 5) および 2^(4e)≡1 (mod 5) �
- 559 名前：ﾆあわせて
b ≡ 2^(3e)*(-1)^m (mod 5) が得られた
eのmod 4での値により 決まるから 5^mのmod 16の値で決まる
よって m の mod 4 での値により 結果をわけることができる
m≡0 (mod 4) のとき b≡1 (mod 5) よって 求める桁は 6
m≡1 (mod 4) のとき b≡2 (mod 5) よって 求める桁は 2
m≡2 (mod 4) のとき b≡4 (mod 5) よって 求める桁は 4
m≡3 (mod 4) のとき b≡3 (mod 5) よって 求める桁は 8 [] - [ここ壊れてます]
- 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/01(火) 08:05:28.88 ID:ns8gQZSc.net]
- >>531
偶数✕偶数＝偶数
偶数✕奇数＝偶数
だからだな。
- 561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/12/01(火) 08:31:26.14 ID:ns8gQZSc.net]
- >>528
5から始まる100個でN!でやってみた
下1桁からみていくときに最初に表れる0でない桁で5から104を分類してみた。
> b
[[1]]
NULL
[[2]]
[1] 6 8 14 19 34 35 36 38 40 41 43 47 50 51 53 62 67 74 84 85 86 88 90
[24] 91 93 97
[[3]]
NULL
[[4]]
[1] 7 20 21 23 25 26 28 37 42 49 52 55 56 58 64 69 75
[18] 76 78 87 92 99 100 101 103
[[5]]
NULL
[[6]]
[1] 12 17 24 29 32 45 46 48 59 60 61 63 65 66 68 72 79
[18] 82 95 96 98 104
[[7]]
NULL
[[8]]
[1] 9 10 11 13 15 16 18 22 27 30 31 33 39 44 54 57 70
[18] 71 73 77 80 81 83 89 94 102
[[9]]
NULL
25個ずつにならないんだな。
digit 個数
1 2 26
2 4 25
3 6 22
4 8 26
|
 |
