面白い問題おしえて〜な 26問目

1 名前：１３２人目の素数さん [2018/02/19(月) 00:21:10.33 ID:uzLAXv/z.net] 過去ログ www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/ まとめwiki www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/ 1 cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/ 2 natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/ 3 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/ 4 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/ 5 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/ 6 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/ 7 science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/ 8 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/ 9 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/ 10 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/ 11 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/ 12 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/ 13 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/ 14 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/ 15 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/ 16 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/ 17 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/ 18 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/ 19 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/ 20 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/ 21 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/ 22 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/ 23 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/ 24 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/ 25 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/ 720 名前：互いに素な整数a,bを用いてx = b/aとかける点です。 よってそのようなa,bについてf(b/a)≧0を示せばよいことになります。 [] [ここ壊れてます] 721 名前：１３２人目の素数さん [2018/06/17(日) 20:18:47.70 ID:S9i0Ooes.net] >>677 示せない。 例えば正６面体のときは１２個ある辺の外角はすべてπ/2でπより大きいということはない。 そもそも通常の幾何学的な本来の意味での角の大きさは0以上π以下です。 いわゆる “一般角” と混同してはいけない。 722 名前：イナ mailto:sage [2018/06/18(月) 12:33:15.13 ID:X9qz/j/u.net] 前>>673 一辺xの立方体の体積は x^3 一辺xの正三角形の面積は x^2√3/4 四角形どうしがとなりあう辺xのビジュアル八面体の体積もこういう一般的なかたちにならないでしょうか。 723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/18(月) 14:01:24.30 ID:No1r8RIC.net] 相似形なら面積は特定の辺の二乗に比例するし体積は三乗に比例する そのことと比例係数が代数的に書けるかどうかは別問題 過去レスにあった通り、例えば半径１の球に外接する多面体に限定すれば表面積Ｓと体積Ｖは比例するため、ＳまたはＶの最小化問題のみを考えればよい ただ、この性質を利用して立式しても、五次以上の次数の方程式を解くことになるので結局代数的には解けないんじゃないか、という説が現在有力 「そうじゃない、うまく式を立てれば代数的に解けるはずだ」という可能性があるならトライしてみたらいいんじゃないかな 724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/18(月) 23:10:58.84 ID:Y/8tBeky.net] >>680 をすこし進めます。 1≦b≦a≦nである互いに素な整数a,bに対しbk÷aのあまりをr(k)とすると [nb/a] = nb/a - r(n)/a Σ [1≦k≦n] [kb/a]/k = Σ [1≦k≦n] (kb/a - r(k)/a)/k = nb/a - Σ [1≦k≦n] r(k)/(ak) なので 示すべきは r(n)/a ≦ Σ [1≦k≦n] r(k)/(ak) です。 725 名前：685 mailto:sage [2018/06/19(火) 00:05:11.82 ID:pnke3C+M.net] 「面白い問題おしえて〜な」とのことなので、問題を教えるだけです、っていうか解答いただけると嬉しいです(当方解答を持ち合わせておりません)。 [問題] 1桁の自然数をいくつか掛け合わせて表せない最小の自然数は11である。 では1桁の自然数をいくつか掛け合わせて表せる数 a , b を加えて表せない2以上の最小の整数は何か。もし存在しない場合はそれを証明せよ。 726 名前：685 mailto:sage [2018/06/19(火) 00:09:04.08 ID:pnke3C+M.net] >>685 例えば121は1+120=1+3*5*8で表せてしまうので不適になります。 727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/19(火) 00:38:43.76 ID:S2GWbT4K.net] 整数の積と和を組み合わせた問題は、大抵難問。 1000桁前後の自然数に対してこれを応用した暗号が作れるかもね。 728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/19(火) 01:07:06.92 ID:AsZ9maAx.net] 235らしい。By Haskell君 parts = sort [a*b*c*d*e*f*g*h | a<-[1,2],b<-[1,3],c<-[1,4],d<-[1,5],e<-[1,6],f<-[1,7],g<-[1,8],h<-[1,9]] isNotSum x = (==Nothing) $ find (==x) [a+b|a<-parts,b<-parts] head [x|x<-[2..],isNotSum x] 729 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/19(火) 01:15:19.25 ID:B4wkEBhB.net] >>685 311っぽいですな。 1桁の自然数をいくつか掛け合わせて表せない　⇔　2,3,5,7以外の素因数を持つ ということで、プログラムで検索した結果。 730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/19(火) 01:24:07.28 ID:AsZ9maAx.net] 同じ数つかてもいいのか……なるほど。 731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/19(火) 01:30:54.68 ID:B4wkEBhB.net] >>688 同じ１桁の数を複数掛けてもいいのでは？ （出題意図がどちらなのかはわからないけど。） 732 名前：685 mailto:sage [2018/06/19(火) 01:31:37.76 ID:pnke3C+M.net] >>689 ありがとうございます。 意外と小さい数でしたね…… 733 名前：685 mailto:sage [2018/06/19(火) 01:34:16.80 ID:pnke3C+M.net] すみません、同じ数は何度掛けてもOKのつもりでした。 235は2*2*5*5+5*7で表せますけど、同じ数がダメだと表せないっぽいですね…… 734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/19(火) 01:37:32.81 ID:B4wkEBhB.net] かぶった。 ちなみに、1000以下では 311,479,551,619,622,671,719,839,851,933,937,958 の12個。 10000以下では1099個。 数が大きくなると、出現頻度は増える。 （nが大きくなると、nの周辺で2,3,5,7のみで表される数なんてほとんどなくなるから） 735 名前：685 mailto:sage [2018/06/19(火) 01:41:29.61 ID:pnke3C+M.net] >>694 なるほど…… 先の解析結果までご丁寧に教えてくださりありがとうございます。 736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/19(火) 02:24:51.70 ID:AsZ9maAx.net] 今更ながらhaskell君にも聞いてみました。 Prelude Data.List> let isgood x = if x == 1 then True else (/= 0) $ head $ [a|a<-[2,3,5,7],mod x a == 0, isgood $ div x a] ++ [0] Prelude Data.List> let ys = [x|x<-[2..],(==0) $ head $ [a|a<-[1..x-1], isgood a, isgood (x-a)] ++ [0]] Prelude Data.List> take 10 ys [311,479,551,619,622,671,719,839,851,933,937,958,1102,1103,1117,1151,1193,1238,1244,1291] 737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/19(火) 02:46:25.58 ID:AsZ9maAx.net] 無駄Loop回してるorz 738 名前：１３２人目の素数さん [2018/06/22(金) 13:19:28.28 ID:SuXdtRwP.net] ４人でリーグ戦（総当たり戦）を行います。 勝てば３点、引き分ければ１点、負ければ０点を獲得します。 全試合が終わった後、合計点数の順に順位をつけます。 ただし、同じ点数の人がいれば、その人たちでクジを行い、 最終的には無理矢理１位から４位の順位をつけます。 任意の対戦において、勝つ、負ける、引き分けるは　確率　1/3　で起こるものとします。 問０ 「ｘ点しかとれなかったけど、２位になった」 「ｙ点も取ったけど、３位だった」 ということが起こる、最小のｘと、最大のｙを求めよ。 問１ ｍ位の人の合計点数の平均を求めよ（ｍは１，２，３，４） 問２ 合計点数ｋを取った人が、上位２名に入っている確率を求めよ（ｋは８を除く９以下の整数） 739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/22(金) 16:54:53.78 ID:5dKvywCX.net] 〔問題〕 　最高次の係数が1であるn次の整多項式を Pn(x) とし、 　Pn(x) = 0 のn個の解を α1，α2，…，αn とする。 　このとき、α1^3，α2^3，…，αn^3 を解にもつ、 　最高次の係数が1のn次の整多項式 An(x) を求めよ。 www.toshin.com/concours/mondai/mondai29.php 　P(x) = p0(x^3) + p1(x^3) x + p2(x^3) xx, と表わせる。。。 740 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/22(金) 22:36:35.49 ID:/GProLmv.net] >>699 見れない。画像かなんか残ってない？ 741 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/22(金) 23:09:08.40 ID:nz+rOHcs.net] >>700 見れたけど 一応問題の画像↓ https://www.toshin.com/concours/img/mondai29.png 742 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/22(金) 23:21:47.30 ID:/GProLmv.net] >>701 いや、問題が見れないんじゃなくて、>>699は解答になんか自明でない決めつけから始まってるってんでしょ？もう、そういう決めつけから始まる解答になってない。若干おかしいけど大筋治ってる。直す前のやつ見たいなぁと。 743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/22(金) 23:24:53.34 ID:/GProLmv.net] ただ、大筋なおってるっていってもPの既約性示せてないからアウトなんだけどね 744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/22(金) 23:28:15. ] [ここ壊れてます] 745 名前：49 ID:/GProLmv.net mailto: 間違った。既約性ではなく、重解持たないこと。それはPが既約なのでただしい。それ以外の方法で重解持たないこと示せれば問題ないけど解答にはその旨全くない。 [] [ここ壊れてます] 746 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/22(金) 23:32:20.85 ID:mDZvFtTn.net] 挫折して予備校講師になった素人の書いた模範解答だから仕方あるまい。 747 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/22(金) 23:41:16.11 ID:/GProLmv.net] でもこれ作った人気づいてないと思えないんだよねぇ？ Pの既約性がいかにもEisensteinの既約判定使ってねって形になってる。 偶然なのかもしれないけど。 必要なのわかってて、あえて簡単に解けるように見せかけてためにはぶいたんだとしたらあまりにも悲しいけど。 ホントに気づいてないなら論外だけど。 そんなことしてたらかえって東進の名にキズがつくような希ガス。 748 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/22(金) 23:57:37.66 ID:mDZvFtTn.net] Y-SAPIX の円順列の問題のときも、模範解答が間違っていて、 「今月は正解者が一人もいませんでした」とか書いていたよな。 そりゃそうだろ、あほか？ あとでこっそり模範解答を差し替えて知らんぷりしていたが、正解者は呆れただろうな 749 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/23(土) 00:38:27.43 ID:shdFVkoM.net] 解答が不完全なのに気づいてないなら問題外。 問題の作りからしてそれはないと思うけどそれならそれで大問題。 どうせ不完全なの高校生が気づくわけないとみこして敢えて不完全な解答のせて “うわぁ、こんな簡単に解けたのか！” 感を演出のは道義的にいかん希ガス。 750 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/23(土) 02:19:05.69 ID:BnO9HX6O.net] >>677 凸多面体Pを 任意の向き(↑Ox)に正射影する。 その輪郭は凸m角形となる。（m≧3) 各辺 e_i に対応するPの稜 L_i があって、それらは相異なる。 稜L_iの両側の2面(j，k)は、こちら向き & あちら向きである。 その外向き法線を n_j，n_k とすると、　(↑Ox・↑n_j)(↑Ox・↑n_k) < 0, L_i (n_j，n_k) に対し、この条件を満たす「接する」向き ↑Ox の存在範囲は、 　平面jの外側で平面kの内側、または、平面jの内側で平面kの外側 であり、立体角4θ_iの範囲となる。（θ_i は稜L_iの両側の2面のなす角) 一方、任意の向き↑Oxに対し、この条件を満たす「接する」稜が3本以上ある。(m≧3) ∴ すべての稜についての立体角の総和 Σ_i (4θ_i) は 3Ω = 12π 以上でなくてはならない。 ∴ 両辺を4で割れば示すべき不等式を得る。 751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/23(土) 02:26:54.92 ID:shdFVkoM.net] >>698 codepad.org/pfBCZWvD import Data.List import Data.Ratio gameRes = [(3,0),(1,1),(0,3)] results = [[a,b,c,d] | ab <- gameRes, ac <- gameRes, ad <- gameRes, bc <- gameRes, bd <- gameRes, cd <- gameRes, let a = sum [fst ab,fst ac,fst ad], let b = sum [snd ab,fst bc,fst bd], let c = sum [snd ac,snd bc,fst cd], let d = sum [snd ad,snd bd,snd cd] ] posOf0GoFinal result = let p = head result fstPt = head $ reverse $ sort $ result nFsts = length $ filter (==fstPt) result sndPt = head $ tail $ reverse $ sort $ result nSnds = length $ filter (==sndPt) result in case True of _| nFsts >= 2 && p >= fstPt -> 2%(fromIntegral nFsts) | nFsts >= 2 && otherwise -> 0%1 | p == fstPt -> 1%1 | p == sndPt ->1%(fromIntegral nSnds) | otherwise -> 0%1 question1 = id $ map ((*(1%( length $ results))).fromInteger) $ map sum $ transpose $ map sort $ results question2 = [ (pt,totalPosOf0GoFinal / nCases)| pt <-[0..9], let suitCases = filter ((== pt).head) results, let nCases = fromIntegral $ length suitCases, let totalPosOf0GoFinal = sum $ map posOf0GoFinal suitCases, nCases /= 0 ] main = do print question1 print question2 [1073 % 729,779 % 243,127 % 27,4825 % 729] [(0,0 % 1),(1,0 % 1),(2,1 % 81),(3,17 % 216),(4,44 % 81),(5,80 % 81),(6,79 % 81),(7,1 % 1),(9,1 % 1)] 752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/23(土) 02:48:51.81 ID:BnO9HX6O.net] >>709 稜L_i の方向から見ると、条件を満たす向き ↑Ox の存在範囲は、 平面jと平面kに挟まれた中心角θ_i の部分×2 だから (θ_i/π)Ω = 4θ_i Ω = 4π 753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/23(土) 02:50:01.62 ID:shdFVkoM.net] 今更ながらよくよく見るとこれあってんの？ 勝ち点６取った場合の予選突破確率のほうが 勝ち点５取った場合の予選突破確率より低い？ どっか間違った？ あってるなら意外でおもしろいんだけどなぁ。 754 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/23(土) 11:00:35.69 ID:CC9xpxXb.net] >>710　>>712 私の用意していた数値と一致です。 勝ち／負け／引き分けを同確率という設定が、現実的ではありませんが、とりあえず、 あのオリンピックの時の悲劇（勝ち点６で予選敗退）の様なことは、そう珍しいことでも 無いのかなと思って計算して（させて）みたんですが、予想外に低いのでびっくりしました。 勝ち点２で予選突破できる確率の倍です。 >>勝ち点６取った場合の予選突破確率のほうが >>勝ち点５取った場合の予選突破確率より低い？ 勝ち点の分布が　6660(=1弱3竦)となって予選敗退するのと、 勝ち点の分布が　5550(=1弱3平)となって予選敗退するケースの比較になります。 「三チームの勝ち点が同じ」と言っても、3竦みの場合は、a>b>c>a、と　a<b<c<a　という 二つのケースがあるけど、引き分けの場合は、a=b=c　しかないことに由来します。 勝ち点を、3,1,0　と設定していることにも起因していますね。 755 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/23(土) 11:39:56.96 ID:SeCu6IK8.net] >>712 サッカーで４チームでの総当たり上位２チーム予選突破、の話な。 勝ち点６取っても予選突破できないのは、３チームが２勝１敗，１チームが全敗のケースだけ 勝ち点５取っても予選突破できないのは、３チームが１勝２分，１チームが全敗のケースだけ どの対戦カードも勝ち負け引き分けがそれぞれ1/3で、 勝ち点が並んだら抽選という単純なモデルで考えると、 勝ち点６を取ったという条件での予選突破できない条件付き確率は2/81 勝ち点５を取ったという条件での予選突破できない条件付き確率は1/81 なので、あながち間違ってはいない。 ただ、もちろんそこまで力が拮抗してるというモデルはあまり現実的ではないし、 引き分けが1/3というのが妥当かも不明だし、 それ以前に、その条件付き確率が意味を持つシチュエーション自体が存在しない。 （全６試合のうち当該チームだけが３試合消化し、残り３試合はまだ実施されていない なんて状況は通常ありえないし、そもそも当該チームが２試合消化した時点で 勝ち点６と勝ち点５の可能性の両方が残ってることはないわけで…） 756 名前：１３２人目の素数さん [2018/06/23(土) 12:42:19.36 ID:CC9xpxXb.net] >>714 少し補足すると、リーグ戦全体は、6試合あるので、3^6通り考えることができ、さらに4人いるという 事を考え、分母を4*3^6とする、勝ち点の分布は 0:108 　 　 1:324 　 　 2:324 　 　 3:432 4:648 　 　 5:324 　 　 6:324 　 　 7:324 　 　 9:108 となります。 偶然（？）にも、勝ち点5や6となるケース数は一致します。 従って、勝ち点5や6で予選落ちする確率の比較は、パターン数の比較に 置き換えて考えることができ、>>713のような検討が可能となります。 >>714の後半をみると、「自分が勝ち点6or5をとった場合」として計算されているようですが、 この問題の設定やプログラムでは、「3^6通りあるリーグ戦全体の結果」を平等にあつかい、 その中で、勝ち点が5や6になるケースを抽出して比較してるので、ご安心ください。 [] [ここ壊れてます] 758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/23(土) 13:03:45.94 ID:SeCu6IK8.net] リロードしてなかったので、混乱させたならすまない。 >>714は別に誰かに反論するというような意図で書いたわけではないので。 759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/24(日) 20:21:00.73 ID:C9Q8KS7h.net] >>670 >>680 >>684 もう答えかきますね。>>684の続き。 　 Σ [1≦k≦a-1] r(k)/(ak) ≧ (a-1)/a を示せば十分である。aとbは互いに素であるのでb×はZ/aZ上の全単射をあたえているからr(1),…,r(a-1)は1,…,a-1の並べ替えになっている。 よってΣ [1≦k≦a-1] r(k)/(ak)はr(k)が ”小さいもの順” に並んでいるときの値以上である。よって 　Σ [1≦k≦a-1] r(k)/(ak) ≧ Σ [1≦k≦a-1] k/(ak) =(a-1)/a。　　　　□ 参考までに等号成立はx≦[x]+1/nのときです。 760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/24(日) 20:21:27.88 ID:C9Q8KS7h.net] 次の問題どうぞ。 761 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/24(日) 20:26:25.86 ID:C9Q8KS7h.net] あ、等号成立はx<[x]+1/nのとき。 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/24(日) 22:43:28.29 ID:ne7opqz5.net] ＞ Σ [1≦k≦a-1] r(k)/(ak) ≧ (a-1)/a ＞ ＞を示せば十分である。 なんでこのケースだけ示せば十分なんですか？ 763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/24(日) 22:57:49.07 ID:jLCQQPbm.net] >>720 >>684 で ＞なので 示すべきは ＞ ＞r(n)/a ≦ Σ [1≦k≦n] r(k)/(ak) まできていて 左辺≦(a-1)/a 右辺≧ Σ [1≦k≦a] r(k)/(ak) なので 764 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/24(日) 23:13:08.47 ID:ne7opqz5.net] >>721 ありがとうございました。 「 a≦n 」という条件を見落としてました。 765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/25(月) 05:53:45.42 ID:qOAzU6BU.net] >>670 >>680 >>684 >>717 面白い問題でした。最後はチェビシェフの不等式 　 Σ(乱順序積) ≧ Σ(逆順序積) で決まりですね。 766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/26(火) 01:16:11.00 ID:zS+7aIhZ.net] 別スレでプロの数学者でもパズル系は苦手とする人もという話題がでてたのでちなんだ問題を。 Peter Winklerの数学パズルの本に載ってた問題、曰く、"Conway Immobilizer"。 ---- １，２，３と表面に書かれたカードが１枚づつ、計３枚のカードとカードの山をおける三ヶ所の場所A、B、Cがある。 三ヶ所それぞれにカードを分けて表面を上にして山を作り配置した状態を考える。 たとえばAに下から順に１，２をおき、Bに３をおき、Cには何も置かないなどである。 あなたの仕事は機械をプログラムしてAの山に上から順に１，２，３という順でカードが置かれている状態（終了状態とよぶ）に移行させることである。 機械にできることは山の一番上に乗っているカードの数字を読み取り、その数字の組み合わせのみに応じていずれかの山の一番上のカードを別の山の一番上に乗せ変えることだけである。 機械には状態を記憶する能力はなく、常にその時の各山の一番上に見えているカードの組み合わせのみに応じてしか次に行う操作を決めることしかできない。 たとえば先の例の状態であれば各山に見えているカードはA:２、B:３、C:空であり、この状態においてあなたは例えば機械にA→CやB→Aのような形で行う操作を指定できる。 無論C→Aなどは指定できない。 山の見えている最上面の状態は２３通りあり得るので、あらかじめその２３通りそれぞれに対して可能な操作を一つずつ指定しておいて、いかなる状態からスタートしても機械が自動的に最終的に終了状態に到達できるようにしてほしい。 なお、機械は終了状態になれば自動的に終了する装置がついているので、操作を終了させる条件について考慮する必要はないとする。 ---- このパズル問題を出題された著名な数学者 JOHN CONWAY が６時間（だったかな？）考え込んで思考の泥沼にはまってしまったという逸話つきの問題です。 ネットで検索すれば解答は出てくるとは思いますがよかったら考えてみて下さい。 767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/26(火) 03:10:01.84 ID:o5dj2kDl.net] >>724 なぜ23通り？ １つ見えている：3通り ２つ見えている：18通り ３つ見えている：6通り で、計27通りではないの？ 何か問題文読み間違ってる？ 768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/26(火) 03:18:10.71 ID:zS+7aIhZ.net] >>725 失礼しました。 １枚見えてる：３（＝どのカードが見えてるか）×３（＝どの山に見えてるか）＝９ ２枚見えてる：３（＝どのカードが見えてるか）×６（＝どの山に見えてるか）＝１８ ３枚見えてる：１（＝どのカードが見えてるか）×６（＝どの山に見えてるか）＝６ です。 多分正しく解釈されてると思います。 769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/26(火) 04:59:43.99 ID:o5dj2kDl.net] >>726 では、例えばこんな感じ？ 左から順にＡ，Ｂ，Ｃとする。ただし、Ａの左隣はＣ，Ｃの右隣はＡと解釈する。 この設定で、以下のルールで処理すればよい。 (1) １枚のみ見えているときは、その１枚を左隣に移動する (2) ３枚とも見えているときは、２のカードを左隣に移動する (3) ２枚のみ見えているときは、２空１の場合を除き、 　　空いている場所の右隣のカードを空いている場所に移動する (4) ２空１の場合、Ｃ→Ａ (3)の例外と(4)がなければ、すべてのパターンから同じ無限ループに収束するが、 (4)のルールがループを切って、ゴールへの道が見える。 (4)のルールで分岐するケースは３の場所により２通りあるが、 どちらにせよゴールにたどり着く。 770 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/26(火) 05:20:21.23 ID:o5dj2kDl.net] まあ、(1)のルールは、見えているカードをどこに移動しても構わないのだけど。 771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/26(火) 12:36:03.50 ID:p6aNDz2K.net] >>727 正解のようです。 codepad.org/BGh67AnT この手の問題は結局コード組んでみないと正解かどうかわからないので組んでみました。 かなり遅いですが実用上問題なしということで。 可読性優先。 では発展でカードの枚数が n ではどうでしょうか？ 772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/26(火) 14:21:00.09 ID:p6aNDz2K.net] >>727 >>729 ちょっと “プログラム” っぽく書き換えました。 codepad.org/d8BCopy3 >>727さんのルールが見えやすくなったと思います。 シンプルなルールでよいですね。 773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/06/26(火) 23:01:40.88 ID:myYLliSP.net] >>717 これもおながいします。 〔問題602〕 正整数nと、1より大きい正の実数xに対し、 　Σ(k=1,n) {kx}/[kx] < Σ(k=1,n) 1/(2k-1) {x} = x - [x] を表し、[x] はxを超えない最大の整数を表すものとする。 不等式スレ９ - 602 774 名前：１３２人目の素数さん [2018/06/30(土) 12:49:32.17 ID:EwRMB19m.net] xyz座標空間上の曲面P:z=x^2-y^2について P上の二点を結ぶP上の曲線で長さが最短となるものはただ一つのみであることを示せ 775 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/01(日) 05:28:33.10 ID:PiobKfWu.net] >>731 でけたかも。 x>0においてf(x) = Σ(k=1,n) {kx+k}/[kx+k] ,g(x) = lim[e→+0] f(x-e) とおく。 このとき g(x) = (kx+1+[-kx])/(k-1-[-kx]) である。 またf(x)≦g(x)で等号が成立するのはf(x)の連続点のみである。 さらに与式の右辺はg(1)に一致する。 よってg(x)がx=1においてまたその点においてのみ最大値を持つことを示せば良い。 またg(x)は右連続で連続点において単調増大だから1でない 776 名前：不連続点xにおいてg(x) < g(1)を示せば良い。 またg(x+1)<g(x)から0<x<1として良い。 よって0<b<a≦nである自然数a,bをもちいてx=b/aとおける。 r(k) = a[-bk/a] + bkとおくとき g(b/a) = Σ(k=1,n) (a-r(k))/((a+b)k - (a-r(k))) となる。 [-bn]≦c≦[-b]であるcを固定し[-bk]=cであるkの全体をl,l+1,…,mとおく。 l≦k≦mにおいてr(k) = px+qとなるp,qがとれる。 d(x) = 1/(2x-1) - (px+q)((a+b)k-(px+q)) とおく。 l,mのとり方からpl+q≦b, pm+q≦aがわかるから特にD((l+m)/2)≧0がわかる。 さらにl≦x≦mにおいてd(x)は単調減少、下に凸より任意のl≦m'≦mに対して Σ(k=1,m') (a-r(k))/((a+b)k - (a-r(k)))≧0 がわかる。 等号が成立するにはl=m, pl+q = b,pm+q=aのすべてが成立しなければならないがb<aによりそれは不可である。 [] [ここ壊れてます] 777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/03(火) 11:56:14.38 ID:F6g7HQZx.net] y年の大会では 　y≡2　(mod 8) のとき、1次リーグを2位で通過するもベスト16止まり 　y≡-2　(mod 8) のとき、1次リーグで敗退 という経験則がある。これを確率論で説明できるか？ 778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/03(火) 14:23:52.46 ID:37f2wROr.net] >>732 ガウス・ボネの定理を認めるとあっさり解けますね。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%9C%E3%83%8D%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 Pが測地２角形Mを持つとする。 Mの角∠A,∠Bはいずれも∠A,∠B<π。 z=x^2-y^2上の点(a,b,c)においてx=a,y=bでの切断の曲率が異符号だからガウス曲率Kは負。 ∂Mは測地線からなるから∫[∂D]k_g=0。 よって ∫[D]KdA + ∫[∂D]k_g < ∠A + ∠B < 2π。 一方でMは一点とホモトピー同値だから χ(M) = χ(pt) = 1。 よって 2πχ(M) = 2π。 以上はガウス・ボネの定理 ∫[D]KdA + ∫[∂D]k_g = 2πχ(M) に反する。 ………ガウス・ボネの定理勉強せねばww 779 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/04(水) 00:21:08.37 ID:QAhoWnUl.net] >>735 すごい 正解 まさにこの定理を使ってほしかった 780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 02:16:53.46 ID:ln/ClMXF.net] >>714 > 引き分けが1/3というのが妥当かも不明だし、 ワールドカップの892試合では、勝負あり 694、引分け 198 (22.2%) です。 日本代表の関係する21試合では、勝ち 5、負け 11、引分け 5 (23.8%) です。 781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 02:24:34.45 ID:ln/ClMXF.net] >>737 www.worldfootball.net/alltime_table/wm/ のデータをエクセルに貼付けて SUM() を計算。なお、日本代表は #30 782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 08:14:29.40 ID:ln/ClMXF.net] xyz座標空間上の曲面Q：z^2 = x^2 - y^2 -1について 　Q上の二点を結ぶQ上の曲線で長さが最短となるものが唯一つでない場合があることを示せ。 　K=0 らしい 783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 13:41:31.03 ID:yx21CGJ9.net] >>739 これはまともに測地線求めるしかなさそうな…… 784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 15:50:30.03 ID:aa26gjJX.net] >>739 z^2 = x^2 - y^2 -1を整理するとy^2+z^2 = x^2-1 これはx≧1の部分とx≦-1の部分に分かれる二葉双曲面 a>1として x≧1の部分に２点A(a,√(a^2-1),0)，B((a,-√(a^2-1),0)をとる。 Qのz=0による断面に沿った曲線ABの長さをL_1 Qのz=a-xによる断面に沿った曲線ABの長さをL_2とすると、 lim_{a→∞}(L_1/a) = 2√2 = 2.828… lim_{a→∞}(L_2/a) = √3+(1/√2)log(√2+√3) = 2.5425… lim_{a→∞}(L_1/a) > lim_{a→∞}(L_2/a)より あるaが存在してL_1 > L_2となる。 よって、そのようなaについては、L_1はQ上でABを結ぶ曲線の長さの最小値ではなく、 最小となる経路はQのz=0による断面以外の場所を通る。 その最小の経路の１つをCとすると、Cはz=0上にないので、z=0に対してCと対称な曲線をC'とすると C'はCと異なるもう１つの最小経路となる。 lim_{a→∞}(L_2/a)の計算が少し不安… 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 15:56:41.37 ID:aa26gjJX.net] >>739 ところでK=0って何の話？ 786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 16:18:09.19 ID:yvviDF5N.net] >>741 x^2 = y^2+z^2+1のx=aに沿うAB間の距離はπ√(a^2-1)じゃないの？ 切り口は半径=√(a^2-1)の円だから。 aで割って極限とってπ>2√2なのでこのルートはすてた。 もっと漸近線のなす角が小さければいけそうなんだけど。 787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 16:21:57.29 ID:yvviDF5N.net] あ、ごめん。x=aでなくてx+z=aか。すこし斜めにとるのね。 なるほど。ならL_2の計算は難しそうww 信じることとしよう！！ 788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 16:36:58.34 ID:aa26gjJX.net] lim_{a→∞}(L_1/a)やlim_{a→∞}(L_2/a)の計算は実はそんなに真面目にやらなくても Qを1/aに縮小した図形はa→∞とすると円錐面y^2+z^2=x^2に近づくので それで計算しても多分大丈夫。 そうすると、lim_{a→∞}(L_1/a)=2√2は何も計算しなくてもわかるし、 lim_{a→∞}(L_1/a)については 放物線 x=(1+y^2)/2 かつ z=(1-y-2)/2 の -1≦y≦1 の長さ ∫_{-1〜1}√(2y^2+1)dyとして求まる。 そのままやっても出来ない計算ではないがちょっと大変。 789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 16:38:25.37 ID:aa26gjJX.net] >>745 あ、まちがった 　　lim_{a→∞}(L_1/a)については のところは 　　lim_{a→∞}(L_2/a)については に修正 790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 16:41:23.15 ID:aa26gjJX.net] >>744 すこし斜め、というより、断面が放物線になるようにとっているので そんなに無茶な計算をしているわけではないです。 791 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/05(木) 17:39:19.05 ID:izfpNop0.net] 某映画より（全編を観たわけではない） 表裏のある有限枚のカードが横一列に並んでいる。 「表面を向いているカードを選んでひっくり返し、その右隣のカードもひっくり返す」という操作をくり返す。 この操作はいつか終了する（高々有限回しか行えない）ことを示せ。 792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 17:45:54.86 ID:sQOol2Jk.net] 一番右のカードに１ 右から2番目のカードに２ ．．． 右からn番目のカードに２^(n-1) というポイントを与える。 表になっているカードの合計を、．．．以下略 793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 17:59:52.69 ID:hOZQWVuc.net] >>748 カードが1枚のときは自明。 カードがn枚のとき正しいとしてn+1枚のときを考える。 n枚のときに可能な操作の最大回数をNとする。 2N回+1回やっても全裏にならないと仮定する。 一番右カードは２回連続選べないので最初の2N回で一番右のカード以外を選択した回数は少なくともN回。 よってこの時点で裏裏裏…裏裏か裏裏裏…裏裏。 あと一回はできないと駄目だから前者。 しかしその最後の一回で全裏。矛盾。 で桶？ 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 18:00:34.58 ID:hOZQWVuc.net] >>749 かぶった。そしてそちらの方が美しい。orz 795 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/05(木) 18:42:42.13 ID:izfpNop0.net] 映画では>>749の方法を取っていた（2進数で狭義単調減少） 高々2^n-1回の操作（出来るか解らないが全て111…1から1ずつ減少した場合）で成し遂げられる( 796 名前：>>750) 黒板での実演 https://www.youtube.com/watch?v=mYAahN1G8Y8 [] [ここ壊れてます] 797 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/05(木) 19:00:01.42 ID:hLSyGNAr.net] 右からａ枚目にａを与えて表のカードの合計を考えればｎ枚のカードなら最大ｎ（ｎ＋１）／２回で終わる。 最大になるのはすべて表から始めて右が表じゃないカードを選び続けた場合。 798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/06(金) 01:29:11.26 ID:26sRDPd7.net] 長方形のテーブルに同じ大きさのｎ枚のコインが並べられています。 隙間はありますが重心をテーブル上からはみ出させないようにもう一枚コインを置こうとするといずれかのコインに重なってしまうとします。 さてこのとき、テーブルからすべてのコインを取り除き、改めて４ｎ枚のコインをうまく並べ直せばテーブル全体を覆い尽くせる事を示して下さい。 799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/06(金) 09:42:24.03 ID:KpmZzWMr.net] >>754 コインの半径をrとする。 もう１枚のコインの重心（中心）をテーブル上のどの点に置こうとしても 他のいずれかのコインと重なるので、テーブル上の任意の地点は、 いずれかのコインの中心から距離2r以内にある。 したがって、今置いてあるコインを全て（中心の位置は変えずに） 半径2rのサイズの円盤に置き換えると、テーブル上の全ての点は その円盤で被覆される。 テーブルの長方形がn枚の半径2rの円盤で被覆された図を1/2に縮小すると、 テーブルの縦横半分のサイズの長方形がn枚の半径rの円盤で被覆された図となるので、 あらためてテーブルを４分割して、各パーツをその図と同様の配置でn枚ずつのコインで 覆えばよい。 800 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/06(金) 12:37:14.13 ID:rNvMJVFD.net] >>741 これって最小となる経路が少なくとも1つは存在することを証明しないとなんじゃないの？ 801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/06(金) 16:30:41.30 ID:w9FHNO82.net] >>755 素晴らしい！正解‼︎ 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/06(金) 17:39:11.01 ID:jaUkHhY3.net] 半径１のサッカーボールの黒い部分の面積は？ 803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/06(金) 19:16:43.11 ID:jaUkHhY3.net] あ、計算間違いした。 >>758は逆三角関数使わないと答え出ないですね。 あまり面白くないかも。 804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 00:13:12.37 ID:U4/1+k2M.net] >>758撤回します。どえらい値になる。 参考までに c:(1+√5)/2 としてA(1,0,c), B(c,-1,0),C(c,1,0)は原点が重心の正２０面体のある面の３頂点。 AB,ACを1:2に内分する点をX,YとしてOA,OX,OYと単位球の交点をa,x,yとするとaxyを結ぶ球面三角形△axyは黒い部分の1/100。 ∠xay = 2π/5、∠axy = ∠ayx = θとして△axyの面積は2π/5+2θ-π。 あとはθだけど θ=acos(((sqrt(5)+1)^2/27+(2*((sqrt(5)+1)/2+2))/27)/(sqrt((4*((sqrt(5)+1)/2+2)^2)/81+(4*(sqrt(5)+1)^2)/81)*sqrt((((sqrt(5)+1)*((sqrt(5)+1)/2+2))/6−(sqrt(5)+1)/3)^2+(sqrt(5)+1)^2/36+1/9))) ….orz 805 名前：イナ mailto:sage [2018/07/07(土) 02:27:38.43 ID:0Vd5Kb4Y.net] >>758 半径1のサッカーボール�ｷの表面積は4π･1^2=4π 黒い部分一枚の面積:B 白い部分一枚の面積:W とおくと、 12B+20W=4π――�@ 五角形および六角形の一辺をrとすると、 B=r^2･{√(25+10√5)}/4 W=r^2･(3√3)/2 BとWの値を�@に代入すると、 3√(25+10√5)r^2+30√3･r^2=4π r^2=4π/3{√(25+10√5)+10√3} 黒い部分の面積は、 12B=3r^2･{√(25+10√5)} =4π√(25+10√5)/{√(25+10√5)+10√3} 通分はあるいは必要かと。 806 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 02:32:14.98 ID:U4/1+k2M.net] >>761 � 807 名前：ｽ勝手に問題よみかえてんの？球面三角形の面積の出し方わかってる？ [] [ここ壊れてます] 808 名前：イナ mailto:sage [2018/07/07(土) 03:27:26.25 ID:0Vd5Kb4Y.net] 前>>761 =86.4806266/24.2024177 ≒3.57322263 黒い部分の面積には丸みがあって、一辺rの正五角形の面積を求めるやり方はおかしいと感じるが、正六角形にも同様に丸みがあり、表面積4πに対する黒い部分と白い部分の割合は球と三十二面体とでそんな変わらないと思う。 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 05:58:50.00 ID:BXrd5bzu.net] サッカーボール は多面体か それとも文字通り球か 題意はどっちよ？ 810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 06:51:22.31 ID:8oKVVrfK.net] 「そんな変わらない」で数学をやられてもなあ。 いい加減数学には向いてないことに気づいて欲しいものだ。 811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 08:11:54.48 ID:ny1i6sPl.net] 多面体の場合の計算ならこのスレのレベルに合わんでしょ？ ただ球面にすると手計算ではリ〜ム〜。 812 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/07(土) 10:32:01.90 ID:nRjTFKp9.net] acos((9-r5)/12). 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 10:43:39.52 ID:VCaMax+U.net] >>763のトンチンカンぶりを見て、 ずっと昔に某所で球のペーパークラフトを自作しようとしていた Fラン大学生(本人が紹介ページにそう書いてた)を思い出した。 球を8枚だか16枚だかの同じ形のラグビーボール型のパーツに分解して それを貼り合わせるという、ごく普通の方式。問題なのは、 そのパーツを自作するときにパーツの算出が全くできてなかったこと。 よく覚えてないが、 「パーツを構成する曲線を厳密に表現しようとしたが、自分の力では難しくて立式できない」 みたいな状況だったはず(この時点で失敗することが確定している)。 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 10:45:47.54 ID:VCaMax+U.net] 結局その人は、曲線の算出にある種の近似を使って、その人なりに 何とか計算しようとしていた。そして、出てきた積分を眺めて 「この積分を計算すると球の大円の周長が出てくるはずなのだが、数値計算すると合わない」 みたいなこと言ってた記憶がある。曲線の算出に近似を使ってる時点で、 大円の周長からはズレるに決まってるのだが、その人は理解していない。 また、そのことを俺が指摘しても本人は全く納得せず、 「ここに厳密な積分があるのに、大円の周長に一致しないのが納得いかない」 みたいな感じだった。 君が出した厳密な積分はデタラメな曲線に対する厳密な積分であって、 もともとの大円の曲線に対する厳密な積分ではないだろっていうね。 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 10:48:11.23 ID:VCaMax+U.net] で、その近似曲線をもとにしてパーツを自作して貼り合わせたら、 やっぱり球にはならなくて、北極と南極が微妙に尖った、 ラグビーボール型のシロモノになってしまった。本人はそこで 「球になってねーじゃーーーん！」 みたいな愚痴を発して生放送を即座に切っていた。もはやギャグとしか思えない。 学力が低すぎると、自分の意思で選んだ趣味ですら 満足にこなせないんだなって かわいそうになったのを覚えている。 816 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/07(土) 12:58:04.04 ID:CT2M6a2y.net] イナとかいうクソコテも大概だけどグチグチ言ってるやつも相当きめーな サッカーボールという図形を数学的に厳密に定義してない以上どうとでも解釈出来るだろ 817 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/07(土) 13:01:21.42 ID:QlJ5hxgi.net] >>756 有界閉集合がコンパクトなら完備リーマン多様体 818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 13:56:16.14 ID: ] [ここ壊れてます] 819 名前：DOx4W0Fk.net mailto: f(x)=x^4-2x^2+6とする。 素数pに対し次の条件(※)を考える。 (※) f(x)≡0 (mod p) は整数解を持たない。 p≦xを満たす素数の数をπ(x)，その中で(※)を満たすものの数をN(x)とする。 lim[x→∞]N(x)/π(x)を求めよ。 [] [ここ壊れてます] 820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/08(日) 11:54:50.48 ID:rpQNxWJy.net] >>773 f(x) = (xx-1)^2 + 5　だから (※)　　(xx-1)^2 ≡ -5 (mod p) は整数解をもたない。 (1)　-5が平方非剰余 または (2)　｛1±√(-5)｝が平方非剰余 (1)　平方剰余の相互法則（と第1補充法則）から ((-5)/p) = ((-1)/p)･(5/p) = (-1)^((p-1)/2)･(p/5) 　p≡1 (mod 4)　かつ　p≡±2 (mod 5) または 　p≡3 (mod 4)　かつ　p≡±1 (mod 5) のとき、((-5)/p)=-1 となり、-5 は平方非剰余である。 　p=11,13,17,19,31,37,53,59,71,73,79,97,… (2) はどうするか p　　　x　　　　　　　√(-5) ----------------------------- p=2　 0　　　　　　　　1 p=3 　0　　　　　　　　±1 p=5 　±1　　　　　　　0 p=7 　±2　　　　　　　±3　　　　　 p=23　　±3，±4　　　　±8 p=29　　なし　　　　　　±13 p=41　　±6　　　　　　　±6 p=43　　±11，±15　　　±9 p=47　　なし　　　　　　±18 p=61　　±9　　　　　　　±19 p=67　　±11，±22　　　±14 p=83　　±5　　　　　　　±24 p=89　　±44　　　　　　±23 p=101　　±37，±42　　　±46 p=103　　±24　　　　　　±43 821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/08(日) 20:46:41.23 ID:du/lqCAV.net] 考えてくれてる人いるので参考までに実際 mod p での解の個数を数えるプログラム組んでみました。 codepad.org/CkKjvyUS 上の方の #define NPRIMES 3200 #define DEG 4 long coeffs[DEG+1] = {1,0,-2,0,6}; のあたりをいろいろ変えると数値実験できると思います。 この場合の結果は 1998 2 801 0 399 Exited: ExitFailure 10 ？？？Exited: ExitFailure 10？？？なにこれ？ C言語よく知らないのでよくわかりませんが、一行目の数値はあっています。 計算量多いのでCでないと苦しいのでやってみましたが素人がやるとだめですね。 対処方法ご存知なら教えて下さい。 次数とか係数とか変えてみるとなんか見えてくるかも。 複２次式からなる４次式は大概これに近い比率になるはずです。 それ以外だと解０個の比率はもう少し減ることが多いはずです。 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/08(日) 21:01:06.63 ID:du/lqCAV.net] わかった！exit(0);で明示的に終わらないとダメみたいですね。 codepad.org/kzgDsy5v 823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/08(日) 23:31:55.79 ID:68ZF08lK.net] >>774 　7以上の奇素数について p≡1 (mod 4)，p≡±2 (mod 5)　　(13,17,37,53,73,97,…) p≡3 (mod 4)，p≡±1 (mod 5)　　(11,19,31,59,71,…) のとき、-5 は平方非剰余 p≡1 (mod 4)，p≡±1 (mod 5)　　(29,61,89,101,…) p≡3 (mod 4)，p≡±2 (mod 5)　　(7,23,67,83,103,…) のとき、-5 は平方剰余 (1)　-5 が平方非剰余となるpの割合は 1/2 に近いかな（?) (2)　{1±√(-5)｝が平方非剰余となるpの割合は？ x　　π(x)　　N(x) ----------------- 2　　1　　　1　　 3　　2　　　2 5　　3　　　3 7 　　4　　　4 11　　5　　　4 13　　6　　　4 17　　7　　　4 19　　8　　　4 23　　9　　　5 29　　10　　　5 31　　11　　　5 37　　12　　　5 41　　13　　　6 43　　14　　　7 47　　15　　　7 53　　16　　　7 59　　17　　　7 61　　18　　　8 67　　19　　　9 71　　20　　　9 73　　21　　　9 79　　22　　　9 83　　23　　　10 89　　24　　　11 97　　25　　　11　　　 101　　26　　　12 103　　27　　　13 824 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/09(月) 15:28:48.27 ID:9xh3iFPU.net] ２つほど投稿。前者は息抜き程度、後者は自分ではまだ未解決なのでどなたか一緒に考えていただけたら嬉しいです (1)qを正の奇数とする。この時、nがどんな整数であっても、qと互いに素な整数a,bを適切に定めることで a+b≡n (mod q) を成り立たせることは可能か。 (2)ユークリッド平面R^2の部分集合Aであって、どんな直線との共通部分も二点集合になるようなものは存在するか。 825 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/09(月) 19:07:23.34 ID:Al3hwPmB.net] >>778 の(2)ですが、有限体で同じことはF_2以外不可能であることが以下の通りわかっています： A⊂(F_q)^2 が条件を満たすとすると |A|=2qでなければならないから、 Aから異なる二点を選ぶ選び方は q(2q-1) 通り。 一方、(F_q)^2 上の直線は q(q+1) 本。 両者には自然な全単射が存在することから q=2 でなければならない。 826 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/10(火) 11:30:55.37 ID:8lYR3TJ8.net] >>763 正20面体の外接球の半径Roは 　Ro = (1/4)√(10+2√5)･(辺長) 　　 = 0.9510565163・(辺長) 各辺を長さ r：r'：r に3分割して、両側を捨てる。(切頂20面体) 正六角形が残るように３等分すると（r=r') 　Ro = 0.9510565163・(2r+r') 　　 = 2.8531695489 r このときの外接球の半径Rは 　R = √{(Ro)^2 -r(r+r')} 　　= 2.478018659 r R=1　とおくと　r = 0.4035482123 12B = 3√(25+10√5)・rr = 20.6457288 rr ≒ 3.36218088 827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/10(火) 12:22:30.13 ID:8lYR3TJ8.net] >>780 フラーレン(Ｃ_60)分子では 　r = 0.1455 nm(2)，0.1458 nm，0.1464 nm 　r' = 0.1384 nm，0.1385 nm，0.1388 nm(1)，0.1391 nm(2) 　R = 0.355 nm らしい。 (1)　J.M.Hawkins et al.: Science, ２５２, p.312-313 (1991) 　　　　"Crystal structure of Osmylated C_60：confirmation of the soccer ball framework" (2)　W.F.David et al.: Nature, ３５３, p.147-149 (1991) 　　　　"Crystal structure and bonding of ordered C_60" 828 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/10(火) 17:28:53.54 ID:9e2HIdsC.net] 昔、何かの記事で読んだんだが、何に載っていたのかが思い出せないし、証明も覚えていない。 「素数の累乗で、n ! + k (n, kは自然数) の形に表わせるものが５つだけだったか存在する」 だれか情報を… 829 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/10(火) 17:39:15.40 ID:znafurMV.net] nとkに制限ないならなんでもできるやん 2=1!+1 3=1!+2 5=1!+4 ‥‥ 830 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/10(火) 18:33:12.92 ID:kWjM72mK.net] 簡単な問題設定の割に難しい問題 長さLの一様な重い棒を、鉛直から角θ傾けて倒す。棒が地面に倒れたときの先端の速さを求めよ。 棒の根本は地面との摩擦によって動かないとする。 地面が滑らかな場合はどうか？ 831 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/10(火) 18:41:25.72 ID:okqgU0Wa.net] 階乗で検索>階乗 - Wikipedia>ブロカールの問題 832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/10(火) 23:10:21.90 ID:CaZJMDCE.net] n^2+n+1は3で割って2余る数を約数としないことを示せ。 833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 00:19:16.07 ID:t4/7pAv5.net] (m / p) を平方剰余記号として奇素数pに対し (2n+1)^2+3≡0 (mod p) ⇒(-3 / p) = 1 ⇒(p / 3) = 1 ⇒p ≡ 1 (mod 3) 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 04:46: ] [ここ壊れてます] 835 名前：20.24 ID:P+BTNckt.net mailto: >>786 p=2 に対し n(n+1) + 1≠ 0　(mod 2) ∴ 2を約数としない。 [] [ここ壊れてます] 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 06:42:33.69 ID:P+BTNckt.net] >>780 球の中心 〜 六角形の中心 の距離（垂線の長さ） 　{(3+√5)/(4√3)}(2r+r') = 0.794654472291766 Ro 球の中心 〜 正五角形の中心 の距離（垂線の長さ） 　Ro - {1/√(φ√5)}r = Ro - 0.5257311121191336 r, r'/r = (1/2){√(3 + 6/√5) - 1} = 0.6919817084376 のとき、これらは一致し、 内接球の半径　2.03449563343785 r 837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 07:21:29.64 ID:P+BTNckt.net] >>784 ・根本が動かないとき (1/2)Iω^2 = (1/2)MgL(cosθ-cosφ), I は端点のまわりの慣性モーメントで、I = (1/3)ML^2, v_S = ωL, v_S(90ﾟ) = √(3gLcosθ), ・地面が滑らかな場合 (1/2)I’ω^2 + (1/2)M(v_G)^2 = (1/2)MgL(cosθ-cosφ), I’は中心のまわりの慣性モーメントで、I’= (1/12)ML^2 φ=90ﾟのとき、v_S = 2v_G = ωL, v_S(90ﾟ) = √(3gLcosθ), 838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 08:00:21.98 ID:P+BTNckt.net] >>780 >>789 r'/r = (1/2){√(3+6/√5) -1} = 0.6919817084376 のとき 内接球の半径　　 0.794654472291766 Ro 外接球の半径 R = 0.861318645 Ro 比　　　1.0838907666 839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 13:27:42.24 ID:LEvJsMim.net] >>773 ヒントです。 というかこれ知らないと多分自力では解けません。 逆にこれ知ってたらあとはチョロチョロ工夫するだけです。 ほんとは以下の定理をさらに発展させた定理もあってそれを使うと一撃で解けるんですが、いい線いってる方針があがっててその方針で進めるなら以下の定理を使うのが筋だと思います。 よかったら挑戦してみて下さい。 ----- Kを代数体、Rをその整数環、vを素イデアル、v∩Z=pZとする。 L/KをGalois拡大、Sをその整数環、wをv=w∩Rを満たすSの素イデアル、F∈Gal((S/w)/(R/v))とする。 このときσ∈Gal(L/K)でσ(v) = vでありσの誘導するGal((S/w)/(R/v))の元がFに一致するものが存在する。 すなわち任意のx∈Sにたいして σ(x) + w = F(x+w) を満たすものが存在する。 またL/Kが不分岐のときこのσは唯一存在する。 またw'をv=w'∩Rを満たす他のSの素イデアルとし、同様のσ'を構成するときσとσ'は共役である。 すなわちこの条件をみたすσ∈Gal(L/K)の共役類はvにより一意に定まる。 この共役類をvのFrobenius共役類とよぶ。 ----- Gを有限群とするときGのC値表現ρ:G→GL(n,C)によってtr・ρ:G→Cとかける関数を指標と呼ぶ。 G上の関数fが類関数であるとは同じ共役類に属する元について常に等しい値をとる関数とする。 任意の類関数は指標の線形結合として一意にかける。 ---- Kを代数体、Oをその整数環、L/Kを有限次Galois拡大とする。 vをL/Kで分岐しない素イデアル、p(v)をv∩Z=p(v)Zを満たす素数、Fr(v)をvのFrobenius共役類、x0を自明指標とする。 f:Gal(L/K)→Cを任意の類関数として、これを f = Σ[x]c_x x と分解するとき次が成立する。 lim[x→∞]Σ[p(v)≦x] f(Fr(v))/π(x) = c_x0 とくにfが自明でない指標のときは左辺は0となる。 840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 13:34:57.73 ID:xru3WaBg.net] >>792 π(x) = #{v | p(v) ≦ x } です。 841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 13:58:00.78 ID:VOQaSRny.net] イメージしやすいように例を K = Q、L=K(i)のときR=Z、S=Z[i]、Gal(L/K)={id,σ} である。(ただしσは複素共役をとる写像でσ(i) = -i。) ―― v=3Rのとき w=3Sとなる。 このとき F(i + w) = i^3 + w = -i + w。 故にこのときはFr(v) = � 842 名前：ﾐ。 v=5Rのとき w=(2+i)Sもしくは(2-i)Sのいずれか。 いずれにせよ、このとき F(i + w) = i^5 + w = i + w。 故にこのときはFr(v) = id。 ―― この例では Fr(v) = id ⇔ p(v)≡1 (mod 4) となります。(L/Qがアーベル拡大ならこのようにp(v)のmod ××の類で定まります。) [] [ここ壊れてます] 843 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 19:42:36.04 ID:zWguNjBa.net] >>778 (2) は、 ttps://cybozushiki.cybozu.co.jp/articles/m000434.html の中で全く同じ問題についての記述がある(解答そのものが載っているわけではない)。 記事によると、超限帰納法によって構成的に描けるとあるが、実際には 選択公理＆超限帰納法 あるいは 選択公理＆超限再帰 のテクニックのことを 指していると思われる。 こちらでやってみたところ、確かに構成できたが、濃度・整列集合に関する マニアックな知識が必要な上に、きちんと書くと面倒くさい。 しかも、超限再帰の知識が無い人には証明が理解できない。 超限再帰のかわりにツォルンの補題で書き直した証明も出来たが、 結局は濃度・整列集合に関するマニアックな知識が必要で やることがほとんど同じで面倒くさかった。 選択公理を使わずに構成できるかは知らない。 844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 23:13:11.73 ID:t4/7pAv5.net] なるほど、超限帰納法使うとできるね。 まぁマニアックかな？ 全ての直線を連続体濃度の基数でラベルしといてあるラベル番目の直線の番が回ってきたときその直線より前の直線は高々連続体濃度未満しか無い事を利用するのね。 なるほど。 言われたらわかるんだけどなぁ。 845 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 01:18:11.20 ID:huavq4lx.net] >>792 F はフロベニウス写像？ 846 名前：778 mailto:sage [2018/07/12(木) 02:22:48.22 ID:/Z2aWdzi.net] >>795 >>796 ありがとうごさいます。やはり選択公理が必要になりそうなんですね… まだ自分では示せていないので、>>796をヒントにして考えてみようと思います。 有理数体のような可算無限な体で同様のことができるかどうかも気になっているのですが、同じ手法で示せるのでしょうか？ 847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 03:07:48.58 ID:cnnq5teh.net] >>798 できる 848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 12:42:01.87 ID:/doAfL4Z.net] >>797 Yes! 849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 13:45:35.27 ID:j/yfJD6O.net] >>800 了解 ちょっと考えてみよう あと>>792のことが載ってる文献とかある？ 850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 16:26:03.85 ID:sQqagqbK.net] >>792 森田先生の東大出版の整数論とか 加藤先生の岩波出版の整数論Iとかには載ってると思う。 ただしどっちも証明完全にはのってなかった希ガス。 確実に証明まで含めてのってるのは Lang の Algebraic number theory。 池原 Winner Landau の定理を使う証明で若干妙な証明だけどのってます。 まぁ森田先生のはLangの訳本に近い。 間違ってるとこもそのままちゃんと間違ってますwww 851 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 18:36:36.53 ID:2xf9EIWs.net] Σ[k=2 to n-1] n!/(n-k)! + n! の値を求めよ 852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 19:51:18.89 ID:L192+njn.net] >>803 これはムズい。見たことない。答え！とか出てくる？ 853 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 20:33:04.82 ID:sQqagqbK.net] てか n!(1/(n-2)! + 1/(n-3)! + ... + 1/1! + 1) =n!(1/0! + 1/1! + ... + 1/(n-2)!) こんなんもたまらん希ガス。 854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 20:34:18.22 ID:uedcuzUI.net] 二項定理で微分してみる？ 855 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 20:57:58.27 ID:xzK6jvxq.net] >>805 +n!が 856 名前：完全蛇足になるとおかしいから分母にくるでしょ [] [ここ壊れてます] 857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 21:36:53.55 ID:Os9QSTcU.net] >>807 分母なんぞに来た日には目も当てられんやん。 858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 22:12:02.43 ID:Os9QSTcU.net] >>803 >>807 分母でやってみた codepad.org/itx6rWET 6 % 7 612 % 325 453800 % 155001 3861634830 % 976314031 481961256261492 % 96969788815873 1054761729394054912664 % 176420776601977522329 9379220392541459116676859552 % 1342977541299460819153297325 6871627232977971685604791983162107670 % 860310167933842952793421619070619213 なんのルールも見えん。 ほんまに解けんのこれ？？？？ 859 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/12(木) 22:15:25.17 ID:FNY0485u.net] >>803 ガウス記号使えるなら [e･n!]-n-1 という表示は可能だけど、もしかしてこれが答え？ 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 22:46:37.28 ID:sQqagqbK.net] >>810 それか！ 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/13(金) 00:27:41.14 ID:3AgF2Wt2.net] >>802 サンクス >>773はのんびり考え中 862 名前：778 [2018/07/13(金) 00:58:20.39 ID:J3lC7G1w.net] >>778 (2)ですが自己解決しました。ヒントくださった方ありがとうございました。 863 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/13(金) 12:00:38.73 ID:btBhB1qs.net] >>803 元ネタは、たまたま書庫で見た数学セミナーの連載記事 「算私語録」 で、答えは書いてなかったのだ。 続けたまえ！ 864 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/13(金) 14:19:55.91 ID:j1khqgOs.net] ハゲのくせになまいきだぞ 865 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 00:32:30.12 ID:kfXPO9Dw.net] 半径1のn次元球D^nの体積はπ^[n/2]/(n/2)! ただし半整数の階乗は1ずつ減らして1/2までの積 これを帰納法使わず証明して欲しい 866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/14(土) 02:32:04.17 ID:5VRLgysv.net] >>816 半径rのn次元球の体積を　Vn*r^nとすると、 n次元球の表面積は、n*Vn*r^(n-1)　となる事を利用して、 次の積分は、Vnを使って、下のように書くことができる。 I_n=∫・・・∫exp[-(x1^2+x2^2+...+xn^2)]dx1・・・dxn　;　n次元空間全体での積分 =∫[0,∞]exp[-r^2]　n*Vn*r^(n-1)dr =(n/2)*Vn*∫[0,∞]exp[-y]　y^((n/2)-1)dy =(n/2)*Vn*Γ(n/2) 一方、I_n=(I_1)^n={∫[-∞,∞]exp(-x^2)dx}^n=(√π)^n　なので　 Vn=π^(n/2)/Γ(n/2+1) あとはnの偶奇で分け、独自の階乗記号を使って書き下せば完了 867 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 03:43:23.92 ID:+LT1qx/t.net] >>817 この証明のdrって面積素、つまりはハウスドルフ測度のことだよね？だとしたらハウスドルフ測度の定義にはn次元球の体積が必要だから循環論法になるんじゃないの？ 868 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 03:45:07.12 ID:+LT1qx/t.net] >>818 ごめんdrは半径か失礼しました その前段階で表面積分してるよね？ 869 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 05:21:45.18 ID:kfXPO9Dw.net] >>817 漸化式も使わないではできない？ 870 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 05:23:31.56 ID:kfXPO9Dw.net] >>817 使ってないか失礼 871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/14(土) 09:09:04.02 ID:MrcE29He.net] △ABCはAB=3,BC=4,CA=5を満たすとする。 △ABCの外接円をO、内接円をIとする。 異なる3点P,Q,RがO上をPQ,PRがIと接するようにうごくとき、直線QRが通過しない部分の面積を求めよ。 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/14(土) 14:38:08.75 ID:2fMgdkQ3.net] >>773 5/8 と 873 名前：出た。自信は無い。 概略を書くと、 α=√(1+√(-5)), β=√(1-√(-5)) とおく。 f(x) の Q 上の最小分解体は L:=Q(α,β) Gal(L/Q) は位数 8 の二面体群 D_8 に同型。 σ, τ∈Gal(L/Q) をそれぞれ 　σ(α)=β,σ(β)=-α 　τ(α)=β,τ(β)=α を満たすものとする。 D_8 の既約表現は 5 つ。それらを ρ_0,...,ρ_4 とする。ただし ρ_0 は自明な表現。他は省略。 それぞれの表現に対応する指標を x_0,...,x_4 とおく。 有理素数 p に対し、f(x) を mod p で既約多項式に分解すると (1) 4 つの 1 次式 (2) 2 つの 1 次式と 1 つの 2 次式 (3) 2 つの 2 次式 (4) 1 つの 4 次式 の 4 通りが考えられる。（式の形から (1次式)*(3次式) はあり得ない） それぞれに対応する Frobenius 共役類は (1) {id} (2) {στ,σ^3τ} (3) {σ^2} または {τ,σ^2τ} (4) {σ,σ^3} 整数解を持つのは (1),(2) のとき。 よって、類関数 f を 　f(ζ)=0　(ζ=id,στ,σ^3τ) 　f(ζ)=1　(otherwise) で定めれば、求める値は 　lim[x→∞]Σ[p≦x] f(Fr(pZ))/π(x) に一致する。なお、分岐する pZ は高々有限個なので無視できる。多分。 f を x_0,...,x_4 で表すと 　f=(5x_0+x_1+x_2-3x_3-2x_4)/8 が得られたので、>>792の定理より、求める値は 5/8 [] [ここ壊れてます] 874 名前：イナ mailto:sage [2018/07/14(土) 15:44:20.32 ID:+kVDeoWP.net] >>822 △ABCの外接円Oの半径:5/2 △ABCの内接円Iの半径:1 Pが円Oの周上を一回動くときQRは円Iに接しながら円Oの中かつ円Iの外の領域をくまなく動くので、QRが通らない部分は円Iの中と円Oの外である。 (円Iの面積)=π (円Oの面積)=25π/4 (QRが通る部分の面積)=(円Oの面積)-(円Iの面積) 21π/4 (QRが通らない部分の面積)=∞+π →∞ 875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/14(土) 16:30:00.48 ID:vTy8qTeq.net] >>824 ほぼ正解。線分PRではなく直線PRね。 通らない部分は円Iの内部です。 直線QRがIに接して動く事に気付けば２秒で解ける問題でした。 876 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 16:47:55.75 ID:hjCo+mDv.net] 難問です. 一般に、環A上の写像φ:A→Aが加法群の準同型であり、Leibniz rule(i.e.,φ(xy)=φ(x)y+xφ(y))を満たす時、φをA上の導分(微分)と云う. 今、A=ℝ[x] (実数体上の一変数多項式環)とする. 此の時、A上の導分φで、φ(ℝ)≠{0}なるものは存在するか？ 877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/14(土) 17:15:23.44 ID:vTy8qTeq.net] >>826 φ(1) は0ちゃうん？ 878 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 18:46:36.87 ID:hjCo+mDv.net] ヒントとしては、先ずℝ上の微分を考えて其れを応用します. 879 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 18:47:17.58 ID:hjCo+mDv.net] ℚの代数閉包までなら自明だから 880 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 19:07:11.95 ID:hjCo+mDv.net] >>827 それはそうw しかしφは加法群の準同型というだけで環準同型ともℝ-加群の準同型とも限らないのでそれだけでは何も言えないw 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/14(土) 21:23:25.61 ID:SCz7cUJu.net] Kを微分体とします(標数0) K(x)をその純超越拡大とします a∈K(x)を固定します Kの導分DがK(x)上の導分でD(x)=aを満たすように一意拡張されますよね？ 882 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/14(土) 21:46:51.85 ID:vPo4n2qv.net] >>830 ああ、R射であることは要求されてないのね。 一般論はよくしらないけど以下の議論でGrand Field Kは標数0として ― 補題 ― L/M/Kが拡大体、Mは超越拡大M = K(α)、φ:K→Lが導分のとき任意のx∈Lにたいしてφはφ(α) = xをみたす導分:M→Lに拡張される。 (∵) Σp_iα^i ∈ K[α]に対しては、φ(Σp_iα^i) = Σ( φ(p_i) α^i + i p_i α^(i-1) x ) 定め、p(α),q(α)∈ K[α]に対しては φ(p(α)/q(α)) = (φ(p(α))q(α) - p(α)φ(q(α)/q(α))) / q(α)^2と定めればよい。 以下煩雑であるが初頭的ゆえ略。 ― 補題 ― L/M/Kが拡大体、Mは単項代数拡大M = K(α)、φ:K→Lが導分のとき任意のx∈Lにたいしてφはφ(α) = xをみたす導分:M→Lに拡張される。 (∵) F(x_0,x_1,…,x_n) ∈ K(x_0,x_1,…,x_n)とβ_1,…,β_nをF(x,β_1,…,β_n)がαの最小多項式となるようにとる。∂F/∂x_i = Fiとして φ(α) = - ΣF_i(α,β_1,…,β_n)φ(β_i)/F_0(α,β_1,…,β_n)と定めれば良い. 以下煩雑であるが初頭的ゆえ略。 で結局 ― 補題 ― 任意の導分 K→L は L→L に拡張される。 からQ[x] → Q[x] ⊂ R ⊂ R(x)の導分φをφ(x)≠0となるように定めておいてからR(x)まで拡張すればよい。 煩雑な計算を回避する方法がありそうでなさそうで……… 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/14(土) 22:14:40.55 ID:vPo4n2qv.net] >>823 すばらしい！正解！(ホントいうと f の展開のとこチェックしてませんが信じます。) まさに期待通りの解答です！！ ちなみに>>792のヒントは>>774さんや>>777さんのカキコをみて後付けで思いついて作ったものです。 後日こちらが用意した解答もあげようと思いますけど……いや、すごい！！！ 884 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/14(土) 22:28:26.61 ID:SCz7cUJu.net] >>828 わざわざAを設定したからにはそれ使って示すことを想定してるんかな ちょい気になるから書いて 885 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/15(日) 00:06:50.68 ID:q2k7b01c.net] 書きたまえ 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/15(日) 02:16:45.42 ID:8ME/vsb7.net] 今日のことわざ Ground Field にチャンスは落ちてない。 チャンスは Pitch に落ちている。それを全力で探そう。 887 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/15(日) 09:14:23.66 ID:DcTFeZo6.net] >>833 お、あってたか。良かった。 >>777の結果が 5/8 にあまり近くなかったのが不安で…… こちらも勉強になった。 ちょうど自分の知識の少し先って感じだったんで楽しかった。 答えを出してから気づいたんだけど、直感的に考えて 　-5 が平方非剰余…1/2 の割合 　-5 が平方剰余かつ 1+√(-5), 1-√(-5) が共に平方非剰余…1/8 の割合 で、合わせて 5/8 っていう結果と一致するのね。 f の展開をチェックをしてないってことは、元々の解答では f の展開を使わないってことですかね。 楽しみです。 888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/15(日) 23:39:30.12 ID:0Uh0l9mr.net] >>837 もうすでに解答が出てるのであれなんですが参考までに用意していた解答を紹介します。 一般にGal(L/K)の部分集合Sとその特性関数(すなわちf(x) = 1 iff x∈S,f(x) = 0 otherwise)についてf(x)が類関数であるものを取ります。 d = lim[x→∞] #{ p ≦x | Fr(p) ∈ S} を計算したい、もちろんそれは>>792をみとめれば f = Σ[x]c_x x と展開するときのc_x0です。 ここで有限群の表現論から一般の類関数 f について得られる結果 c_x = (f,x) = 1/#G Σ[σ∈G] f(σ)x^(σ) 　(x^ はxの複素共役による指標) (gauss.ms.u-tokyo.ac.jp/lecture/algebra3/representation-theory.pdf) を用いれば今のfについては c_x0 = (f,x0) = 1/#G Σ[σ∈G] f(σ)x0^(σ) = #S/#G が得られます。結局この設定のもとにおいては ----定理( チェボタレフの密度定理)---- lim[x→∞] #{ p ≦x | Fr(p) ∈ S} = #S/#G https://en.wikipedia.org/wiki/Chebotarev%27s_density_theorem が得られます。 本文においてはGal(L/K) = D4、(4つの解への作用は４次２面体の４頂点に対するそれと同じ) Z/pZで解がない⇔Fr(p) ∈ {(1234),(4321),(13)(24),(12)(34),(14)(23)} (= Sとおく） なので結局 lim[x→∞] #{ p ≦x | Fr(p) ∈ S} = #S/#D4 = 5/8 となります。 別の例f(x) = x^4 - 2x+6の場合にするとガロア群はS_4で 解０個⇔Fr(p) ∈ {(1234)...} ← 9個 解１個⇔Fr(p) ∈ {(123)...} ← ８個 解２個⇔Fr(p) ∈ {(12)...}　 ← 6個 解４個⇔Fr(p) ∈ {e} 　　　 ← 1個 なのでmod pで解を０個、１個、２個、４個もつ比率は 9:8:6:1 となります。 codepad.org/c9fnjakx 889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/15(日) 23:43:37.83 ID:J7bEvDWH.net] >>816 半径rのn次元球の体積を　Vn*r^nとすると、 n次元球の表面積は、n*Vn*r^(n-1)　となる事を利用して、 次の積分は、Vnを使って、下のように書くことができる。 I_n=∫・・・∫exp[-(x1^2+x2^2+...+xn^2)]dx1・・・dxn　;　n次元空間全体での積分 =∫[0,∞]exp[-r^2]　n*Vn*r^(n-1)dr =(n/2)*Vn*∫[0,∞]exp[-y]　y^((n/2)-1)dy =(n/2)*Vn*Γ(n/2) 一方、I_n=(I_1)^n={∫[-∞,∞]exp(-x^2)dx}^n=(√π)^n　なので　 Vn=π^(n/2)/Γ(n/2+1) あとはnの偶奇で分け、独自の階乗記号を使って書き下せば完了 890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/16(月) 22:42:48.81 ID:MFtB88ty.net] >>838 乙です。 またゆっくり読もうと思います。 891 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/17(火) 07:36:12.46 ID:Aegngsr/.net] >>839 Γ(n/2+1)の値を求めるのに漸化式使うんでなくて？ 892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/17(火) 08:14:11.22 ID:8QchSL46.net] 問題文読んでから発言してね 893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/17(火) 10:48:14.93 ID:6M1FJ0j2.net] 1はできましたが誘導がわかりません A,B,CがD,E,Fに対応しているのはわかりますが https://i.imgur.com/Ehih0jr.jpg 894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/17(火) 22:02:28.41 ID:qLE42k1Y.net] Peter Winklerのパズル本より ―― ３つの非負整数の組(a,b,c)に対して次の操作を考える。 (※) (a,b,c)から２つの数 (x,y) (x≧y)を選び、その２数を(x-y,2y)に置き換える。 この操作を何回か繰り返すことにより３数のいずれかを0にできることを示せ。 ―― 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/18(水) 15:15:11.43 ID:6M2SJbed.net] >>844 任意の自然数nは、正の奇数aと非負整数bを用いてn=a*2^bの形でただ１通りに表せる。 このとき自然数nについての関数fをf(n)=bと定義する。 また、問題で与えられた操作を以下操作Xと呼ぶ。 非負整数の組(a,b,c)に対し操作Xを施してもa+b+cの値は不変であるので、 その値をSとおく。 証明の基本方針：まず以下の命題１，２を示す 命題１ a,b,cがいずれも0でないとき、 min(f(a),f(b),f(c))＜f(S)ならば、 操作Xを有限回数繰り返したものを(A,B,C)として A,B,Cのいずれかを0とするか、min(f(A),f(B),f(C))=f(S)とすることができる。 命題２ a,b,cがいずれも0でなく、 f(a),f(b),f(c)を小さい方から順に並べたものをm,n,lとしてm=f(S)のとき、 操作Xを有限回数繰り返したものを(A,B,C)として A,B,Cのいずれかを0とするか、 f(A),f(B),f(C)を小さい方から順に並べたものをM,N,LとしてM=f(S)かつN＞nとすることができる。 ここで、S≠0のとき、2^k≦S＜2^(k+1)を満たす非負整数kを考えて、 ある(a,b,c)に対し操作Xを繰り返して3数のいずれかを0にすることができないと仮定すると、 命題１，２より，(a,b,c)に対して操作Xを有限回数繰り返したものを(A,B,C)とし、 f(A),f(B),f(C)を小さい方から順に並べたものをM,N,LとしてN＞kとすることができる。 このときA,B,Cのうちの１つxが x＞Sを満たすこととなり、矛盾。 よって、仮定は誤りであり、 ある(a,b,c)に対し操作Xを繰り返して3数のいずれかを0にすることができる。 以下、命題１，命題２を証明する。 896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/18(水) 15:56:29.33 ID:6M2SJbed.net] >>844 >>845の続き 命題１の証明 以下、a,b,cはいずれも0でなく、(a,b,c)に操作Xを有限回数繰り返しても0は 出現しないものとする。 f(S)=sとおく。 (x,y,z)は(a,b,c)を並べ替えたもので、f(x)≦f(y)≦f(z)、(m,n,l)=(f(x),f(y),f(z))とすると p,q,rを奇数として S=p*2^m + q*2^n + r*2^l = (p+q*2^(n-m)+r*2^(l-m))*2^m ここで、m＜sのとき m＜nとすると、p+q*2^(n-m)+r*2^(l-m)は奇数なのでf(S)=mとなり、矛盾 m=n=lとしても、やはりp+q*2^(n-m)+r*2^(l-m)は奇数なので矛盾。 よって、m＜sならば必ずm=n＜lとなる。 このとき、x,yを大きい方からx',y'とおくと� 897 名前：A f(x'-y')≧m+1，f(2y')=m+1となるので、 (a,b,c)を１回の操作Xにより(x'-y',2y',z)を並べ替えたものにすることができて、 このときmin(f(x'-y'),f(2y'),f(z))=m+1 このような操作を繰り返すことで、 min(f(a),f(b),f(c))＜sのとき、操作Xをs-min(f(a),f(b),f(c))回繰り返すことで、 操作後の組(A,B,C)についてmin(f(A),f(B),f(C))=sとすることができる。 以上より、操作の途中で0が出現するケースも含め、命題１が示された。 [] [ここ壊れてます] 898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/18(水) 17:17:13.64 ID:6M2SJbed.net] >>844 >>845，>>846の続き 補題３ 非負整数の非順序対{a,b}について、操作ＹをＹ:{a,b}→{|a-b|,2*min(a,b)}とする。 いま、a,bがいずれも0でなく、M=min(f(a),f(b))，N=max(f(a),f(b))として N≧M+2とすると、 {a,b}に操作Ｙを有限回施したものを{A,B}として、 min(f(A),f(B))=Mかつmax(f(A),f(B))=N-1とすることができる。 証明：Ｙ：{a,b}→{A,B}として、 a,bがともに0でなく、f(a)≠f(b)、min(f(a),f(b))=mのとき、 A,Bもともに0でなく、f(A)≠f(B)、min(f(A),f(B))=mとなることは容易に示される（略）。 よって、a,bがともに0でなく、f(a)≠f(b)、min(f(a),f(b))=mとなるような{a,b}から始めて、 操作Ｙにより、同じ条件を満たす非負整数の非順序対の列を無限に続けることができる。 一方、操作Ｙは２つの非負整数の和を変えないので、そのような非負整数の非順序対は 有限個しか存在しない。したがって、その列は必ず循環する。 ここで、a,bがともに0でなく、f(a)≠f(b)であるような非負整数の非順序対について、 操作Ｚを、以下のように定義する。 　　a,bを並べ替えたものをx,yとし、f(x)＜f(y)とするとき、Ｚ:{a,b}→{y/2，y/2+x} このとき、 f(y)≧f(x)+2のとき、f(y/2)=f(y)-1，f(y/2+x)=f(x)より、f(y/2)＞f(y/2+x)=f(x)であり、 f(y)=f(x)+1のとき、f(y/2)=f(x)，f(y/2+x)≧f(x)+1より、f(y/2+x)＞f(y/2)=f(x)となるので、 明らかに操作Ｚは、a,bがともに0でなく、f(a)≠f(b)であるような非負整数の非順序対 の中で閉じた操作Ｙの逆操作となる。 逆操作が存在するため、前述の{a,b}から始まる無限列はその途中のどこから見ても 逆順に辿って出発点まで遡ることができ、循環節には必ず{a,b}が含まれる。 ここで、補題の設定の{a,b}について、Ｚ：{a,b}→{A,B}とすると、{A,B}は{a,b}から始まる 操作Ｙによる無限列の循環節に含まれることになるので、{a,b}から有限回の操作Ｙで {A,B}にすることができる。このとき，明らかにmin(f(A),f(B))=Mかつmax(f(A),f(B))=N-1を 満たすので、補題３は成立する。 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/18(水) 17:44:07.41 ID:6M2SJbed.net] >>844 >>845，>>846，>>847の続き 命題２の証明 f(S)=sとおく。 (x,y,z)は(a,b,c)を並べ替えたもので、f(x)≦f(y)≦f(z)、(m,n,l)=(f(x),f(y),f(z))とする。 m=sのとき、s=m＜n≦lまたはs=m=n=lのいずれかとなる。 s=m＜n=lまたはs=m=n=lのとき、 (a,b,c)から１回の操作Ｘで(x,|y-z|,2*min(y,z))とすることができ、 このとき、|y-z|=0となるか、 f(x)=m=s，f(|y-z|)≧n+1＞n，2*min(y,z)=n+1＞nとなる。 s=m＜n＜lのとき、補題３より {x,z}に対して操作Ｙを有限回繰り返すことで f(x')=f(x)=m，f(z')=f(z)-1=l-1とすることができる、 すなわち、(a,b,c)に対して操作Ｘを有限回繰り返すことで f(x')=m，f(y)=n，f(z')=l-1となる(x',y,z')を並べ替えたものにすることができる。 さらに、それを繰り返すことで、 f(x'')=m，f(y)=f(z'')=nとなる(x'',y,z'')を並べ替えたものにすることができる。 そこからさらに１回の操作で(x'',|y-z''|,2*min(y,z''))とすることができ、 このとき、|y-z''|=0となるか、 f(x'')=m=s，f(|y-z''|)≧n+1＞n，2*min(y,z'')=n+1＞nとなる。 以上より、命題２は示された。 900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/18(水) 22:16:47.18 ID:6M2SJbed.net] 手順としては (1) まずmin(f(a),f(b),f(c))=sとなるまで、fの値の小さい2つを対象に操作Ｘを行う (2) min(f(a),f(b),f(c))=sとなったら、fの値の大きい方から2つが一致してない場合は 　　fの値の一番大きいものと一番小さいものを対象に 　　fの値の大きい方から2つが一致するまで操作Ｘを繰り返す。 (3) fの値の大きい方から2つが一致していたら、 　　その2つを対象に操作Ｘを行う。この結果fの値の上から2番目が1増える。 (4) (2)(3)を繰り返す この流れのどこかで、必ずa,b,cのいずれかが0になる。 たとえば、 (a,b,c)=(13,42,69)からスタートする。このとき [f(a),f(b),f(c)]=[0,1,0]であり、 S=a+b+c=124、s=f(S)=2 手順(1) 　(13,42,69)[0,1,0] →(26,42,56)[1,1,3] →(52,16,56)[2,4,3] 手順(2) →(36,32,56)[2,5,3] →(4,64,56)[2,6,3] →(8,60,56)[3,2,3] 手順(3) →(16,60,48)[4,2,4] 手順(3) →(32,60,32)[5,2,5] 手順(3) →(64,60,0)[6,2,-] 901 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/18(水) 23:06:36.41 ID:s/ikFyeC.net] パズル本だからもっと 902 名前：シンプルな証明があるんじゃないの？ [] [ここ壊れてます] 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/18(水) 23:55:04.71 ID:0gAQHTX9.net] うむ、そうだな 904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/18(水) 23:58:33.34 ID:Tmnw4mMS.net] >>843やってください お願いします 面白い問題スレなので面白く思えるように問題を言うと、 半径1のリングを空間中に配置する 一辺の長さが十分に長い大立方体のある頂点Xを通る3辺がつねにリングに接するように立方体をゴリゴリ動かす このときXの通過する面とリング面により囲まれる立体の体積を求めよ 905 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/19(木) 01:32:19.16 ID:jz3wZoKD.net] >>844 です。>>845 さん。お見事！正解です。もちろん本に載ってる証明はもっと洗練されてますが解答用意する時間とか全然ちがいますからねぇ。 何より人の作ったエレ解より自力の解答です。 以下は本の解答です。 ---- 補題 (>>847の補題３に相当) (a,b,c)がa:奇数、b:偶数のとき何回か操作をして(a+b/2,b/2,c)にできる。 (∵) a,bに対して操作を行い得られる列を(a1,b1),(a2,b2),…とする。 ただし(a1,b1)=(a,b)。 ai+biが不変で正の整数だから(ai,bi)=(aj,bj) (i<j)となるi,jがとれる。 iが最小となるものをとる。 i>1とすると操作によって(a(i-1),b(i-1)) → (ai,bi)、(a(j-1),b(j-1)) → (aj,bj)となったこととai+biが奇数であることと、(ai,bi) = (aj,bj)により(a(i-1),b(i-1)) = (a(j-1),b(j-1))となる。 これはiの最小性にはんするからi=1である。 よって(aj,bj)→(a1,b1)と変化したこおｔになるが、このとき(aj,bj) = (a1+b1/2,b1/2)である。□ ---- これを用いて示します。 ---- (a,b,c)からいかなる操作によっても0が作れないとする。 奇数が２つ以上あればそれに対して操作を行い奇数は１個以下としてよい。 全部偶数ならすべてを2でわってよい。 この作業を繰り返してa:奇数、b,c：偶数としてよい。 操作を繰り返して発生する最大の奇数をMとする。 a=Mとしてよい。 b,cがともに４の倍数でないならb,cに対して操作を行えば４の倍数となるので、bは４の倍数としてよい。 以上の設定ののち補題を適用すれば操作によって(a+b/2,b/2,c)が得られるが、仮定によりa+b/2は奇数。 これはMの最大性に矛盾。□ 906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/19(木) 03:15:34.88 ID:NBL3eCRb.net] 組み合わせ数学面白い 他の問題も見てみたいね 907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/19(木) 04:41:24.56 ID:hEddS4yd.net] うむ、続けたまえ！ 908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/19(木) 06:52:48.44 ID:uK3KKpwz.net] 円Cに内接する四角形PQRSにおいてP,Q,R,SにおけるCの接線を結んで得られる四角形は円に内接している。 このとき四角形PQRSの４辺の中点は同一円周上にあることを示せ。 909 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/19(木) 08:08:18.42 ID:hEddS4yd.net] z^4 - 3 \bar{z} z^2 + \bar{z}^2 + 2z = 0 (z∈C) を解け 910 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/19(木) 10:21:43.92 ID:zkAGwq9m.net] 実数解は z=−sqrt(5)−1/2,z=(sqrt(5)+1)/2,z=2,z=0 みたいだけどこれしかないのかな？ 911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/19(木) 11:28:54.79 ID:QaNCXAoL.net] この4つしかないっぽいんだけどなぁ。 z≠0としてz'を複素共役として Z^3-3zz'+z’^2/z+2=0 z=r cisθ としてrを固定してθを動かす。 r>>0 では原点周りを、大きく3回周り、r→+0で2に収束していくからその過程で原点を通る回数は高々3回っぽい。 うーん、しかし厳密には示めせてないなぁ？ 輪っかが戻ってくる可能性あるしなぁ？ 改めて因数定理の偉大さを感じる。 912 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/19(木) 13:11:57.68 ID:TH9tCNDf.net] >>8 913 名前：57 zの共役をz'とする。 zが実数のときは、z=z'なので、z^4-3z^3+z^2+2z=0、z(z-2)(z^2-z-1)=0より z=0,2,(1±√5)/2 （>>858はちょっと違う） zが虚数のときは、与方程式と、それの両辺の共役をとったものを(1)(2)として (1)+(2)と(1)-(2)の２つの方程式を作る。 (1)-(2)はz-z'でくくれるが、z≠z'なので割って良い。 その結果、2つの左辺が対称式の方程式が得られるので、 z+z'=a，zz'=bとして、a,bについての連立方程式を作り、 それを実数の範囲で解けばよい。 （解けるかどうかはまだやってない） [] [ここ壊れてます] 914 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/19(木) 14:04:13.48 ID:TH9tCNDf.net] >>860 aについての6次方程式が出てきた。 途中計算に全く自信はないが、 4a^6+12a^5-5a^4-48a^3-24a^2+20a+8=0 とかになったので Wolfram先生に訊いてみたら実数解は４つ。 それぞれの実数解に対応するa,bのペアからは それぞれzの虚数解（共役ペア）が得られるようなので、 実数解4つと虚数解8つ？ 915 名前：イナ mailto:sage [2018/07/19(木) 14:21:00.04 ID:4JvpUq38.net] 半径1の円を底面とする半球の表面積は、 π+4π/2=3π おもしろいですね。 ちょうど球面が円盤の二倍の面積。 916 名前：イナ mailto:sage [2018/07/19(木) 15:08:49.11 ID:4JvpUq38.net] 三点でしたね。訂正です。前>>862 >>852 半径1の円周上のある点から物体の頂点までの斜辺は、物体が半径1の円の中心の真上に来たとき、 √3/√2 半径1の円の中心からの頂点の高さは、三平方の定理より、 √{(3/2)-1}=1/√2 頂点の通過部分と半径1の円盤とで囲まれる部分の体積は、 (4π/3)(1/√2)(1/2) =(π√2)/3 917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/19(木) 16:38:03.49 ID:nPcIIs+O.net] >>857-861 実根(2つ) z = (1±√5)/2 = φ，-1/φ 虚数根(12個?) z = (1+√5)(-1±i√3)/4 = φω，φω~, z = (1-√5)(-1±i√3)/4 = (-1/φ)ω，(-1/φ)ω~ z = -1±i√3 = 2ω，2ω~ z = -0.7660444431189780352 ± 0.6427876096865393263 ｉ z = -0.1736481776669303489 ± 0.9848077530122080594 ｉ z = 0.9396926207859083841 ± 0.34202014332566873304 ｉ ただし 　φ = (1+√5)/2 = 1.618034 　ω = (-1+i√3)/2 = e^(ｉ(2π/3)), 　ω~ = (-1-i√3)/2 = e^(-ｉ(2π/3)), 918 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/19(木) 16:49:09.07 ID:nPcIIs+O.net] >>864 訂正 実根（4つ) z = 0, z = 2, z = (1±√5)/2 = φ，-1/φ 919 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/19(木) 16:57:10.91 ID:QaNCXAoL.net] へぇ、解16個になるのか。 4^2になる事となんか関係あるのかな？ 920 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/19(木) 16:59:29.95 ID:QaNCXAoL.net] なんか日本語変だけど察してチョンマゲ。 zとbar{z}の絡み方から解の個数パッと出せたりするのかな？ 921 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/19(木) 17:04:53.01 ID:u5A76+YW.net] 正n角形の各頂点に実数が配置されている。 負の頂点を選び、その数を辺でつながった2つの頂点に足し、それ自身の符号を反転する （[…, p, q, r, …] -> […, p+q, -q, r+q, …]）という操作を、負の頂点がなくなるまで行う。 頂点上の数の総和が正である初期状態から始めたとき、次が成り立つことを示してほしい。 １．操作は有限回で終わる。 ２．操作の回数は、初期状態のみに依り、途中の負の頂点の選び方に依らない。 ３．最終状態も、初期状態のみに依り、途中の負の頂点の選び方に依らない。 また、以上のことは一般の有限グラフに自然に一般化されるが、 どのようなグラフが上記のような性質を持つだろうか？ パズルのようだけど、意外に深い数学につながっている問題です。 922 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/19(木) 17:20:48.38 ID:QaNCXAoL.net] あれ？Winkler本の？これ答え知ってるからやめとこ。 ちょっと感動するよね。 923 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/19(木) 17:28:32.54 ID:u5A76+YW.net] Winklerの本は見たことないけど、>>844を見て思い出したから、書いてみた ほとんど、ある論文の丸写し 924 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/19(木) 17:37:14.65 ID:NBL3eCRb.net] 正５角形の各頂点の１つずつ整数を割り当て、それら５つの整数の和が正になるようにする. 連続する３個の頂点に割り当てられた整数をそれぞれ x, y, z とする. このとき y < 0 ならば次の操作を行う 「３つの数 x, y, z をそれぞれ x + y, −y, z + y で置き換える.」 ５つの整数のうち少なくとも１つが負である限り、上述の操作を繰り返し実行する. 有限回の操作の後、この手続きが完了するか否か決定せよ. 数学オリンピックに似た問題あるね 925 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/19(木) 18:27:11.49 ID:QaNCXAoL.net] 数オリでも出てるんだ。有名なんやね。この解答は中々感動した。 926 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/19(木) 20:53:20.77 ID:QaNCXAoL.net] >>868 一般のグラフのときはどういう操作をするんですか？やっぱり真ん中を-1倍して残りに同じ数加えるんですか？ それとも変化量の総和が0になるようにするんですか？ 927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/19(木) 22:17:53.45 ID:u5A76+YW.net] >>873 >真ん中を-1倍して残りに同じ数加える です。そのため、総和が変化します。 また、初期状態の条件もグラフによって違ってきます。 例えば、 ・―・―・―・―・ 　　　　 |　（下の点は上の中央の点とつながっている） 　　　　 ・ の場合は、どんな実数を配置しても（総和が正でなくても）有限回の操作で終わります。 928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/19(木) 22:26:53.44 ID:QaNCXAoL.net] 有限型‥‥なんか二次形式がらみなのか？？？ 929 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/19(木) 22:35:52.63 ID:QaNCXAoL.net] もしかして長さ2の枝が３またに分かれてると総和正からだと有限で終わりで、どこかの枝がも一つ長いと終わらないとかになったりします？ 930 名前：１３２人目の素数さん mailto:cosx-1 [2018/07/19(木) 22:59:31.78 ID:mUU9PVxG.net] ∫[0,2π]cos(mx)(cosx-1+2/n)(cosx-1+4/n)…(cosx-1+(2n-2)/n) dx≧0 931 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/20(金) 00:31:50.12 ID:dYh8+g4F.net] >>874 >真ん中を-1倍して残りに同じ数加える よく読んだら、なんか変？残り？ ちゃんと書くと、一般のグラフの場合も「負の頂点を選び、その数を辺でつながった各頂点に足し、それ自身の符号を反転する」です。 >>876 すごい。挙げた例から分かっちゃいましたか。専門分野によってはよく見かけるグラフですね。 だいたいあってますが、総和が正という条件は違います。 どんなグラフでも初期状態さえ制限すれば性質を満たすようにできるので、 論文は特別にうまくいくグラフのクラスを挙げるものです。 932 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/20(金) 02:01:25.14 ID:+Kx7eSAL.net] やっぱり >>861 の計算は間違ってた。 正しい６次方程式は a^6+3a^5-2a^4-12a^3-6a^2+5a+2=0 因数分解すると (a+2)(a^2+a-1)(a^3-3a-1)=0 これは６つの実数解を持ち a=-2，(-1±√5)/2，2cos(π/9)，2cos(5π/9)，2cos(7π/9) (a,b) = (-2,4)，((-1±√5)/2,(3∓√5)/2)，(2cos(π/9),1)，(2cos(5π/9),1)，(2cos(7π/9),1) ここから出てくる12個の虚数解は、>>864と同じだけど、 後半のものは cos(π/9)±isin(π/9)，cos(5π/9)±isin(5π/9)，cos(7π/9)±isin(7π/9) と書ける。 933 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/20(金) 02:17:37.41 ID:smLQGUhz.net] >>857 z≠0 に対して f(z) = z^3 - 3(z~)z + (1/z)(z~)^2 + 2, とおくと、 f(zω) = f(zω~) = f(z), 3つ組×5個 と {0} か？ 934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/20(金) 03:36:25.83 ID:smLQGUhz.net] >>864 ・実数解（4個） 0，2，φ，-1/φ　� 935 名前：c…　z(z-2)(zz-z-1) ・虚数解（12個） φω，φω~　　……　(zz +φz+φ^2) (-1/φ)ω，(-1/φ)ω~　　……　(zz-(1/φ)z +1/φ^2) 　　　　　　これらの積：(z^4 +z^3 +2zz -z+1) 2ω，2ω~　……　(zz+2z+4) 残りの虚数解（6個）　……　(z^6-z^3+1) [] [ここ壊れてます] 936 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/20(金) 03:59:51.98 ID:+Kx7eSAL.net] >>857 やっと題意が見えた。 以下、zの共役をz'で表す。 z≠0のとき、r=|z|，z=rwとおくと、 w'=1/w，z'=r/w 与式をzで割って z^3-3z'z+z'^2/z+2=0より r^3・w^3 + rw'^3 - 3r^2+2 = 0 w^3が実数でないとき，r^3=r　∴ r=1 このとき、w^3 = αとおくと α + 1/α -1 = 0 α^2 - α + 1 = 0 ∴ α = e^(±πi/3) ∴ z = w = e^(±πi/9)，e^(±7πi/9)，e^(±13πi/9) 一方、w^3が実数のとき，w^3=±1 w^3=1のとき，r^3-3r^2+r+2 = 0 r＞0より，r=2,(1+√5)/2 w=1,ω,ω' z = rw = … w^3=-1のとき，-r^3-3r^2-r+2 = 0 r＞0より，r=(-1+√5)/2 w=-1,-ω,-ω' z = rw = … 937 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/20(金) 04:29:19.98 ID:+Kx7eSAL.net] z'z^2とzが、ガウス平面上で0からみて同じ向きにあることに気づいて 4項あるようで実は3方向のベクトルの和が0というようなイメージから入れば わりとすんなりたどり着いたんだろうな。 938 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/20(金) 07:43:49.38 ID:J1ODn3P8.net] >>878 う〜む、特別にうまくいくクラスはAn、Dn、E6、E7、E8？ long とか short とかの議論混じらないだろうし。 いわゆる “こういうグラフを含む→うまくいかない” となる “こういうグラフ” を列挙しといて “そういうのを含まないのは××…” 的な攻め方するやつかな。 で、その “こういうグラフ” のリストが Dynkin Diagram 導く場合のやつと一致するんかな？ >>868 の前半は答え知ってるから後半考えてみる。 でも論文レベルの話だと流石に無理かな？ 939 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/20(金) 10:39:33.47 ID:GloVKkCh.net] グラフ系でもう少しやさしいやつ。 周期n>0の実数列 ‥‥,a[(-1),a(0),a(1),‥‥に対して一斉に a(i)を[a(I)/2]+[a(i-1)/2]に置き換える。ただし[]はガウス記号。 つまりふたつにわって端数は切り捨て片方を次の人に一斉に渡す。 この操作を有限回行えば定数列になる事を示めせ。 これも例のパズル本の問題です。 940 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/20(金) 12:18:56.91 ID:+Kx7eSAL.net] >>885 グラフで考えるのはよくわからないけど… k回操作後（初期状態ではk=0）の １周期の中でのa(i)の最大値をA_k，最小値をB_kとし，C_k=2*[B_k /2]とおく。 さらに、１周期の中でA_kと一致するa(i)の個数をN_kとすると 以下のことが言える。 ・A_k≧C_k ・C_{k+1}≧C_k ・A_{k+1}≦A_k（A_kが奇数のときはA_{k+1}＜A_k） ・A_{k+1}=A_kとなるとき、{a(i)}が定数列でない限りN_{k+1}＜N_k よって、C_kは減ることはなく、{a(i)}が定数列にならない限り A_kは着実に減っていく（n回以下の操作で1以上減る）が、 A_kはC_kを下回ることはできないので、いつか必ず{a(i)}は（偶数の）定数列となる。 ＞・A_{k+1}=A_kとなるとき、{a(i)}が定数列でない限りN_{k+1}＜N_k のあたりの説明でグラフを使うのかな？ 941 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/20(金) 14:27:26.49 ID:smLQGUhz.net] >>880-881 F(z) = z(z^3 -8)(z^6 -4z^3 -1)(z^6 -z^3 +1) 　= z(z^3 -8)(z^3 - φ^3)(z^3 + 1/φ^3)(z^3 +ω)(z^3 +ω~) 942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/20(金) 17:32:04.98 ID:GloVKkCh.net] >>886 正解です。グラフはあんまり気にしないでください。 原題が周期列でなく円状に並んだ数列として出題されてただけです。 ――本の解答 943 名前：―― 必要なら最初の列の全てに同じ偶数を足して全て非負の実数としてよい。2番目の列以降は全て整数の列ゆえ、全て整数の列としてよい。 総和は各項を2で割った後、切り捨てを行なった分発生するが、非負の整数の列だから総和が無限に減少することはない。 よって十分大きい操作の後に現れる列は偶数の列であるので、列に奇数は現れないとしてよい。 よって置き換えはa(i)→a(i)+a(i-1)であるとしてよい。 k番目の列の1項からn項を縦に並べた列ベクトルをvk、Aをn次正方行列でA1nとA(i+1)iが1で残りは0の行列、Iをn次の単位行列とするとき v(k+1) = (1/2)(A + I)vkである。 ζを1の原始n乗根とするときA+Iの固有値は(1+ζ^m)/2の形であり、m=0の時を除いてその絶対値は1未満である。 よってvkはk→∞のときA+Iの1に対する固有ベクトルの定数倍に収束するが、それは全ての成分が同じ値からなるベクトルである。vkは整数値からなるベクトルゆえ主張は示された□ [] [ここ壊れてます] 944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/20(金) 20:10:49.35 ID:+Kx7eSAL.net] >>857のすべての答えを解とするn次方程式を後付けで作っても 意味ないと思うんだよな… 元の問題からなんらかの手続きによりその方程式が得られるという話ならわかるのだが。 945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/20(金) 23:44:33.17 ID:RMS2vK39.net] またまたWinkler本から。囚人と看守のやつです。 ---- あなたは他のn人と共にある牢獄に収監されている。 ある日看守からあるゲームに参加することを指示された。 勝てば全員釈放、負ければ全員死刑である。 ゲームの内容は以下のようなものである。 まず看守は秘密裏に囚人に順序付けを行う。 囚人は全員独居房に入れられた後、一人ずつ呼び出され、自分以外のn-1人の並びについて教えられる。 その情報のみに基づいて各囚人は赤か青の帽子を選択できる。 帽子を選択した後、囚人は独居房に戻される。 この作業を全員について行ったのち、囚人全員が集められ、先の決められた順に応じて整列させられる。 その際、囚人のかぶっている帽子の色が赤青交互になっていれば（一人目は赤でも青でもよい）囚人の勝ち、なっていなければ看守の勝ちである。 囚人に許されているのは、このルール説明の後、独居房に移される前に一度だけ全員が集まって選ぶ帽子の色についての取り決めをしておくことだけである。 それ以降には囚人は互いに情報を交換する機会は一切与えられない。 全員が釈放されるための取り決めを考えてほしい。 ---- 答え見て「へぇ、こんなシンプルな取り決めでうまくいくもんだなぁ」とちょっと感心しました。 取り決め自身はシンプルなんですが、その取り決めでうまくいく部分の証明がややてこずるかもしれません。 一つ解を見つければ正解です。 当方も別解があるのかどうか知りません。 946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/21(土) 00:02:23.48 ID:1aHwZ8/O.net] >>890 訂正。問題文一行目 ×：あなたは他のn人と共にある牢獄に収監されている。 ○：あなたは他のn-1人と共にある牢獄に収監されている。 947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/21(土) 01:14:39.48 ID:9U7inpZN.net] >>890 こんな感じ？ あらかじめ全員の仮の並び順（並び順Ａ）を決めておく。 各囚人は、看守に教えられた自分以外の並び順の最後尾に自分がいるような 並び順を考え（並び順Ｂ）、ＡをＢに並べかえる置換が偶置換か奇置換かを調べる。 偶置換なら赤、奇置換なら青をかぶる。 実際にはもう１つ正しい並び順Ｃが存在するので、ＡからＢへの置換は Ａ→Ｃ→Ｂとみなすことができ、 Ａ→Ｃの置換は固定なので、Ｂ→Ｃの置換、すなわち 正しい並び順から自分自身を最後尾に回す並べ替えが偶置換か奇置換かにより 赤か青かが変わるからくりになっている。 パズルに出てくる囚人はみんな数学が得意だな 948 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/21(土) 03:25:53.00 ID:4/chbJgW.net] >>844 ピーター・ウィンクラー「とっておきの数学パズル」日本評論社（2011/July) 　296p．2592円　坂井・岩沢・小副川（訳) www.nippyo.co.jp/shop/book/5638.html （§4．9の問題が数セミ・エレ解に出題された：2018/Jan/出題1） ピーター・ウィンクラー「続・とっておきの数学パズル」日本評論社（2012/July) 　256p．2160円 www.nippyo.co.jp/shop/book/5955.html 949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/21(土) 08:16:38.20 ID:m9Eu8Sym.net] >>892 すばらしい！正解です。証明も用意してあった物とほぼ同じです。 看守の順でk番目、(k+1)番目の囚人をとり、Cのk番目の囚人をn番目に回した順列をBk、k+1番めの囚人のそれをB(k+1)とすれば A→B(k+1)と写す置換hはA→B(k+1)と写す置換gに(k k+1)をつなげたものになるので sgn(h) = sgn((k k+1) g) = (-1) sgn(g) となることを利用すればよいというものです。 答え聞くと簡単なんですけどねぇ。 >>893 それです。 なかなか楽しい本です。 おすすめ。 950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/21(土) 09:21:56.27 ID:FMy4cnA/.net] >>868 とりあえずグラフがAn、Dn、E6、E7、E8の場合有限回で終わることはわかった。 ―- グラフGが上記のいずれかとする。 点vに対して>>868の操作をする変換をgvとする。 隣接する２点v、wについて(gw・gv)^3 = e、gv^2 = eからこれらの操作のなす群はワイル群の商群。 とくに各頂点に現れうる実数は有限個しかない。 端点に対する変換の回数が有限回しかなければ点数に対する帰納法の仮定に矛盾。 端点に対する変換の回数が無限回であるなら総和は無限に増大するが、各頂点に現れうる実数は有限個しかない事に矛盾。 ― あとは上記でないグラフでないもののうちの極小であるものそれぞれで無限回操作が続きうる事示せばいいはずだけどどんなグラフだったか忘れたorz。 951 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/21(土) 13:06:12.95 ID:bUyrGG79.net] 整数k,nは 0≦k≦n を満たすとする。 A⊂(Z/2Z)^n が 2|A|>2^k を満たすならば |2A|≧2^k が成り立つことを示せ。 ただし、2A={a+a': a,a'∈A} とする。 952 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/21(土) 13:14:22.58 ID:zqilyAfN.net] 2Aの定義がステキ 953 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/21(土) 14:12:43.39 ID:/1x1unFr.net] {2a|a∈A}ではないところがイイね 954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/21(土) 14:20:03.71 ID:OnYnrjHv.net] |A|の定義が分からん。 955 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/21(土) 14:28:27.77 ID:OnYnrjHv.net] 元の個数？ 956 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/21(土) 14:39:19.69 ID:vXT4z2wi.net] 面白い問題といえば、和算の本にはいろいろと 面白そうというか難しい問題が掲載されていますよ。 もっともほとんどすべてが円に関する問題ですが。 957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/21(土) 14:59:08.89 ID:7HCB/VB4.net] >>896 Fを2元体とする。 Aは0を含むとしてよい。 この時2AはFベクトル空間となる。 |2A|＜2^kとする。 この時dim 2A＜kであるからF^nのベクトル空間の自己同型φをφ(2A)が第k成分以降が全て0の元からなる部分空間Vに含まれるようにとれる。 この時φ(A)もVに含まれるがVの元数は2^(k-1)であるので仮定に反する。 簡単に 958 名前：見えて案外難しい‥‥まぁもっと楽な方法もあるかもだけど。 [] [ここ壊れてます] 959 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/21(土) 15:30:02.92 ID:OnYnrjHv.net] あ、2A加法について閉じてない。orz. 960 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/21(土) 17:13:05.39 ID:oD6UOuI2.net] >>899 >>900 言い忘れてた、そうです元の個数です 961 名前：イナ mailto:sage [2018/07/21(土) 19:06:13.60 ID:g6r8bf/f.net] >>901関孝和？ 縦9寸、横12寸の直角三角形に内接する同じ大きさの二個の円の直径を求める問題みつけた。 /＿/＿/_人＿/＿/＿/＿ /＿/＿（＿）/＿/＿/＿ /＿/_（＿＿)/＿/＿/＿ /＿/_（(^｡^)/＿/＿/＿ /＿/_（＿っ-┓_/＿/＿ /＿/_◎ﾞ┻υ◎ﾞ/＿/＿ /＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/ｷｺｷｺ……/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/なかなかやりおる。 962 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/21(土) 23:30:10.14 ID:4/chbJgW.net] >>905 3頂点を O(0,0)　A(0,9)　B(12,0)　とする。 (x,y) と直線ABの距離は (1/5)|36-3x-4y| P（r，9-2r) を中心とする半径rの円pはOA，ABに接する。 Q（3(4-r)，r) を中心とする半径rの円qはOB，BAに接する 　PQ = 5(3-r), また、2円p,qが外接する。 　PQ = 2r, ∴ r = 15/7 963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/21(土) 23:47:24.24 ID:4/chbJgW.net] >>905 ∴直径は　2r = 30/7 P(15/7, 33/7)　Q(39/7,15/7) 964 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/22(日) 00:11:59.89 ID:1DdlAJLc.net] >>896 一応できたような気がするが、長い。 以下では、{ a＋a'｜a,a'∈A } のことを A＋A と書くことにする(個人的に 2A と書きたくないので)。 Fを2元体とする。次の定理を示せば十分である。 定理：Vは有限次元のFベクトル空間とする。k≧0 と A⊂V は｜A｜＞2^{k−1}を満たすとする。 このとき、｜A＋A｜≧2^k が成り立つ。 証明：n≧0に関する命題P(n)を以下のように定義する。 P(n)：Vはn次元のFベクトル空間とする。k≧0 と A⊂V は ｜A｜＞2^{k−1}を満たすとする。このとき、｜A＋A｜≧2^k が成り立つ。 任意のn≧0に対してP(n)が真であることを、nに関する数学的帰納法で示す。 P(0)について：Vは0次元のFベクトル空間とする(自動的にV＝{o}である)。 k≧0 と A⊂V は｜A｜＞2^{k−1}を満たすとする。示すべきは｜A＋A｜≧2^k である。 まず、1＝｜V｜≧｜A｜＞2^{k−1} より 1＞2^{k−1} となるので、自動的に k＝0 となる。 次に、｜A｜＞2^{k−1}＞0 より A≠φであり、よって A＋A≠φであり、よって ｜A＋A｜≧1＝2^0＝2^k である。よって、P(0)は真である。 次に、n≧1を任意に取る。P(n−1)は真とする。P(n)も真であることを示す。 Vはn次元のFベクトル空間とする。k≧0 と A⊂V は｜A｜＞2^{k−1}を満たすとする。 示すべきは｜A＋A｜≧2^k である。 965 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/22(日) 00:14:30.08 ID:1DdlAJLc.net] 簡単のため、B：＝A＋A と置く。示すべきは｜B｜≧2^k である。 まず、Fが2元体であることから｜V｜＝2^n となることが分かる。これと ｜V｜≧｜A｜＞2^{k−1} より 2^n＞2^{k−1} となるので、自動的に n≧k である。 次に、|A|＞2^{k−1}＞0よりA≠φである。よって、a∈A が1つ取れる。 このとき a＋a∈A＋A＝B すなわち o∈B である(Fは2元体なので a＋a＝o である)。 さて、｜B｜≧2^k を示したいのだった。もし V−B＝φ ならば、 V＝B となるので、｜B｜＝｜V｜＝2^n≧2^k である(n≧kに注意)。 よって、この場合は成立。以下では、V−B≠φ としてよい。 そこで、x∈V−B を1つ取る。o∈B だったから、自動的に x≠o である。 W：＝{λx｜λ∈F} (＝{o,x}) と置けば、W は V の部分空間である。 また、x≠o に注意して dim(W)＝1 である。 この W を利用して、s,t∈V に対して s〜t ⇔ s−t∈W と定義すれば、〜 は V 上の同値関係になることが分かる。 s∈V の同値類を [s] と書くことにする。商集合 V/〜：＝{ [s]｜s∈V } は自然な定義でFベクトル空間となる。 また、ベクトル空間の商空間の一般論から dim(V/〜)＝dim(V)−dim(W) ＝ n−1 となることが分かる。 966 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/22(日) 00:15:31.44 ID:VK+pnI6w.net] つまんな 967 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/22(日) 00:17:45.51 ID:1DdlAJLc.net] さて、 A'：＝{ [a]｜a∈A } ⊂ V/〜 と置くと、｜A'｜＝｜A｜である。実際、f：A→A' を f(a)：＝ 968 名前：[a] で定義すれば、 これは明らかに well-defined かつ全射である。また、f は単射である。実際、 f(a_1)＝f(a_2), a_i∈A とすると、[a_1]＝[a_2] であるから a_1〜a_2 となる。 よって、a_1−a_2∈W＝{o,x} すなわち a_1−a_2＝o,x である。a_1−a_2＝x のときは、 x＝a_1−a_2＝a_1＋a_2∈A＋A＝B となる(Fは2元体なので −a_2＝a_2 である)。 しかし、x∈V−B だったから矛盾する。よって、a_1−a_2＝o となるしかない。 よって、a_1＝a_2 となるので、f は単射である。よって、fは全単射となったので、 ｜A｜＝｜A'｜である。｜A｜＞2^{k−1} だったから、｜A'｜＞2^{k−1} となる。 今の段階で、次が成り立っている。 ・ V/〜 は(n−1)次元のFベクトル空間, k≧0, A' ⊂ V/〜, ｜A'｜＞2^{k−1}. よって、P(n−1)が真であることから、｜A'＋A'｜≧2^k である。 [] [ここ壊れてます] 969 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/22(日) 00:21:20.07 ID:1DdlAJLc.net] 次に、｜B｜≧｜A'＋A'｜が成り立つことを示す。g：B → A'＋A' を g(b)：＝[b] で定義すると、 これは well-defined である。実際、b∈B を任意に取ると、b＝a_1＋a_2, a_i∈A と表せるので、 このような表示を何でもいいから1つ取れば g(b)＝[b]＝[a_1＋a_2]＝[a_1]＋[a_2]∈A'＋A' であり、よって well-defined である。また、g は全射である。実際、c∈A'＋A' を任意に取ると、 A' の定義から、c＝[a_1]＋[a_2] なる a_i∈A が取れる。このような a_1,a_2 を何でもいいから 1つずつ取って b：＝ a_1＋a_2∈B と置けば、g(b)が定義できて g(b)＝[b]＝[a_1＋a_2]＝[a_1]＋[a_2]＝c となるので、確かに g は全射である。g：B → A'＋A' だったから、以上より、｜B｜≧｜A'＋A'｜である。 ｜A'＋A'｜≧2^k だったから、以上より、｜B｜≧2^k である。 よって、いずれの場合も｜B｜≧2^kとなったので、P(n)は真である。 数学的に帰納法により、任意のn≧0に対してP(n)は真である。よって、題意が成り立つ。 970 名前： mailto:sage [2018/07/22(日) 00:56:01.57 ID:SEmuhAob.net] 前>>905 三平方の定理より、 直角三角形の斜辺は、 √(9^2+12^2)=15(寸) 円の直径を2rとすると、 二つの円の中心間の距離も2rなので、直角三角形の辺の比は、 3:4:5=3(2r/5):4(2r/5):2r =(6r/5):(8r/5):2r 直角三角形の斜辺は、 {9寸-(6r/5)-r}+2r+{12寸-(8r/5)-r}=15寸 6寸=14r/5 2r=30/7(寸) 971 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/22(日) 01:38:28.55 ID:41rzkBcX.net] >>912 正解です素晴らしい！実はより一般に X,Y⊂F^n が空でない時、 |X|+|Y|>2^k ならば |X+Y|≧2^k を示してからその系として導く解法を想定していたのですが、本質的にかなり簡単になっていて驚きました。V＼(A+A) から元をとる発想はなかったです。。 972 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/22(日) 01:53:47.71 ID:1DdlAJLc.net] >>914 ＞X,Y⊂F^n が空でない時、 |X|+|Y|>2^k ならば |X+Y|≧2^k なんと、そんな定理も成り立つのか (＾o＾) 実は、>>896 の F_p バージョンである次の定理が、>>908 と同じやり方で証明できる。 ――――――――――――――――――――――――――――――― 定理：p は素数とする。V は有限次元の F_p ベクトル空間とする。 k≧0 と A⊂V は｜A｜＞ p^{k−1} を満たすとする。このとき、 ｜Σ[i＝1〜p] A｜≧ p^k が成り立つ。ただし、Σ[i＝1〜p] A ：＝ { Σ[i＝1〜p] a_i｜a_1,…,a_p∈A } と定義する。 ――――――――――――――――――――――――――――――― この定理を ＞X,Y⊂F^n が空でない時、 |X|+|Y|>2^k ならば |X+Y|≧2^k と見比べると、たぶん次の定理も成り立つのかな (＾o＾) ――――――――――――――――――――――――――――――― 定理(？)： p は素数とする。V は有限次元の F_p ベクトル空間とする。 k≧0 と空でない X_1,X_2,…,X_p⊂V は Σ[i＝1〜p]｜X_i｜＞ p^k を 満たすとする。このとき、｜Σ[i＝1〜p] X_i｜≧ p^k が成り立つ。 ――――――――――――――――――――――――――――――― 973 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/22(日) 07:30:28.29 ID:aGAY8syr.net] >>856 誰かやってたも…… 974 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/22(日) 12:19:45.04 ID:U4aZuyBV.net] >>915 情報ありがとうございます。色々考えてみました。 上の定理(？)には、残念ながら反例があるようです。W⊂VをVのk次元部分空間として、 X_1=W∪{a} (ただしa∈VはWに属さない元) X_i=W (i=2,…,p) 代わりに次の定理が成り立つようです。 （定理）pを素数、整数、 1≦m<p とし、VをF_pベクトル空間とする。 整数 k≧0 と空でない X,Y⊂V が |X|+|Y|>mp^k を満たすならば |X+Y|≧mp^k が成り立つ。□ 折角なので証明の概略だけ置いときますね � 975 名前：`〜〜〜〜〜〜〜 a∈V, S⊂V に対して a+S={a+s: s∈S} と定める。 適当な x∈X, y∈Y をとれば |-x+X|=|X|, |(-x+X)+(-y+Y)|=|X+Y| 等が成り立つので、 0∈X,Y の場合のみを考えればよい。 X∩(-y+Y)≠X が成り立つような y∈Y が存在する時、次の操作を考える。 （操作）「X'=X∩(-y+Y), Y'=X∪(-y+Y) とし、 XをX'に、YをY'に置き換える」 この操作により、|X|は減少し、|X|+|Y| は保たれる。 また、X'+Y'⊂X+(-y+Y) より、|X+Y| は非増加となる。新しいX,Yはどちらも0を元に持つ。 この操作は、|X|の狭義単調減少性により、有限回でできなくなる。 このような最終状態のX,YをそれぞれP,Qとおくと、操作ができないことから、任意のq∈Qについて P∩(-q+Q)=P が成り立つ。 ゆえに、q+P⊂Q より、 Q+P⊂Q. したがって、Q+<P>=Q. （ただし、<P>はPが張るベクトル空間。） これより、元を足すことによる<P>のQへの作用を考えることができるが、この作用による任意の軌道は|<P>|個の元を持つので、|Q| は |<P>| の倍数。…[1] また、|Q|+|P| = |X|+|Y| > mp^k より |Q| > mp^k - |<P>| となる。 …[2] |<P>| ≦ p^k の場合、[1]と[2]より |Q| ≧ ([2]の右辺)+|<P>| = mp^k. |<P>| ≧ p^(k+1) の場合、 <P>⊂Q より |Q|>mp^k. したがって、いずれの場合も |P+Q| ≧ |Q| ≧ mp^k. 操作により|X+Y|は非増加であったから、 |X+Y| ≧ |P+Q| ≧ mp^k. □ [] [ここ壊れてます] 976 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/22(日) 16:50:21.14 ID:X11xpoqn.net] 和算の問題です。 一つの円があります。 その円の中に、大、中、小の円を内接させます。 條件は、大、中、小の円は、一番外側の円に内接します。 大円は、中円と小円に外接します。 中円は大円と小円に外接します。 小円は、大円と中円に外接します この場合、この4つの円の関係を求めてください。 出典」三上義夫「日本数学史」（この本は、「科学図書館」という サイトに全文がPDFファイルとしてアップされています） 977 名前：イナ mailto:sage [2018/07/22(日) 20:03:51.82 ID:SEmuhAob.net] >>918 外側の円の半径:Я 大円の半径:Ｒ 中円の半径:Ｒ�� 小円の半径:r とすると、 Я>Ｒ+Ｒ��>Ｒ>Ｒ��>r 978 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/22(日) 20:53:32.75 ID:XHMrpicM.net] 大円の半径が3 中円の半径が2 小円の半径が1 のときの内側の円の半径は？ とかにしないと問題としては答えにくくね？ まぁこのケースはそんなに難しくないかもしれないけど。 この3円に外接するの方が難しいのかな？ 数値もへぇって値になった記憶が 979 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/22(日) 20:57:42.67 ID:XHMrpicM.net] >>920 この3円が内接する円の間違い。 確かへぇって値になったような。 980 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/22(日) 23:51:55.24 ID:8X1Zeg9C.net] 反転法使えばそんな難しくなさそうだけど、暗算できるほど簡単ではないな。 981 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/23(月) 00:45:50.63 ID:rgc2cWMb.net] >>844 似た設定の問題がかなり昔の数オリにあったような。。 982 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/23(月) 07:31:23.87 ID:wuj51AEp.net] >>923 >>871のこと？ 983 名前：イナ mailto:sage [2018/07/23(月) 08:16:34.35 ID:7/0/1MEy.net] よって四つの円の包含関係は、 外側の円⊃大円 外側の円⊃中円 外側の円⊃小円 但し、大円、中円、小円はたがいに外接する。 前>>919 984 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/23(月) 10:11:04.09 ID:+uNFdt3Z.net] デカルトの円定理 985 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/23(月) 10:15:09.77 ID:8uzM1Baw.net] その単語が出てしまうと終了だな。 986 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/23(月) 12:19:19.88 ID:BhRl/p7g.net] 複素係数一変数多項式 f, g であって {f(x)}^2 + {g(x)}^2 = x を満たすものは存在するか。 987 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/23(月) 14:15:04.98 ID:3TWNdk8g.net] >>928 たとえば f(x)=x+1/4, g(x)=ix-i/4 988 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/23(月) 17:17:16.75 ID:KhSOAKcF.net] ごめん間違えた、 f^2 + g^3 = x を満たす多項式は存在するか でした 989 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/23(月) 21:21:51.05 ID:7FS8HckQ.net] >>930 できたか？ 存在すると仮定する。 f(x)がxを因子に持てばg(x)もxを因子にもちv_x(左辺) ≧ 2、v_x(右辺) = 1により矛盾。 よってf(x)はxを因子に持たない。よってf(t^2)もtを因子に持たない。 与式より g(t^2)^3 = (t - f(t^2)) (t + f(t^2)) であるが、(t-f(t^2),t+f(t^2)) = (2t,t+f(t^2)) = 1によりt-f(t^2)とt+f(t^2)は互いに素である。 よってg(t^2)の因子のうちt-f(t^2)の因子になっているものの積をh(t)、t+f(t^2)の因子になっているものの積をk(t)とおけば h(t)^3 = c(t - f(t^2))、k(t)^3 = d(t + f(t^2))、cd = 1 となる定数c,dがとれる。 h,kをc,dの3乗根で割ったものに取り替えれば h(t)^3 = t - f(t^2)、k(t)^3 = t + f(t^2) となるとしてよい。 一方t-αがh(t)の因子なら-t-αはk(t)の因子であるからk(t) = e h(-t)となる定数eがとれる。 このとき h(t)^3 - t = - f(t^2) = t - k(t)^3 = t - e^3 h(-t)^3 により h(t)^3 + e^3 h(-t)^3 = 2t となる。 ここで容易にg(x)の次数は奇数であり、h(t)とk(t)の次数は等しいからh(t)の次数も偶数である。 よって上の式の最高次からe^3 = -1がわかる。 よって h(t) + h(-t) = 2t を得るが左辺は偶関数により矛盾。 990 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/23(月) 23:46:59.29 ID:jsKLvMqB.net] >>931 まちごうた。最後から２行目 h(t)^3 - h(-t)^3 = 2t で左辺の次数は3(deg h)-1で5以上より矛盾。 991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/24(火) 01:11:19.24 ID:v83j+alb.net] >>931-932 改めて清書するとミスや余計な議論のオンパレードだけど、もう修正のせるとスレ汚しになるのでやめときます。 ホントはC(x)上の楕円曲線 　Y^2 = - X^3 + x の有理点についての議論でかっこよくやるのが通なんだろうけどオラには無理。 なんか数オリの解答みたいになってヤだけどこれしか思いつかん。 992 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/24(火) 01:17:52.25 ID:rRTBzOQ4.net] >>930 メーソン・ストーサーズの定理(ABC予想の多項式版)を使ったら凄く簡単に出たｗ もちろん、「存在しない」が答え。 993 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/24(火) 01:19:39.68 ID:v83j+alb.net] >>930 なんかすごそう。 書いてたも。 994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/24(火) 01:26:08.67 ID:v83j+alb.net] >>934 >メーソン・ストーサーズの定理 これか！ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%82%BD%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BC%E3%82%B5%E3%83%BC%E3%82%BA%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 すげぇ！ホントにあっという間にとける！！すばらしい！！ 995 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/24(火) 04:25:23.69 ID:lehQeRGl.net] >>931 レス遅くなりました。２３時頃に一度投稿しようとして投稿規制くらった文章をそのまま載せときます。 最後の定理は既出でしたね 〜〜〜〜〜〜〜〜 ＞ここで容易にg(x)の次数は奇数であり、 以降がちょっと難しいですがその直前の式でほぼ矛盾が示せているので正解とします。 （直前の式の左辺を因数分解して、両辺の次数を比べ、左辺の３つの因数のうち少なくとも二つが次数0でなければならないことからも矛盾が示せます） 実はABC予想の多項式版の類似であるメーソン・ストーサーズの定理を使えば比較的簡単に解くことができるので、よければ調べてみてください 996 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/24(火) 06:21:54.98 ID:bmjGlIcJ.net] >>937 ありがとうございます。 比較的どころかメーソン・ストーサーズの定理使えば瞬殺ですね。勉強しときます。 997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/24(火) 17:51:22.07 ID:xg2 ] [ここ壊れてます] 998 名前：jMb4Q.net mailto: これもしかして、このメーソン・ストーサーズの定理が元でその数論版がABC予想とかではないんですかね？ やっぱりABCの方が先？ [] [ここ壊れてます] 999 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/26(木) 04:23:17.15 ID:gCZSgyqq.net] 群Gの正規部分群NはZ(整数)と同型 G/NはZ/nZと同型 nは1より大きい整数 Gの構造を決定しろ 1000 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/26(木) 04:25:40.27 ID:Si+0HJ5D.net] 口の利き方に気を付けたまえ！ 1001 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/26(木) 09:42:15.39 ID:r9ee9dZW.net] >>940 以下x’:=x^(-1)とする。 N=<a>とし、b∈G＼NをbNがG/Nの生成元となるようにとる。 準同型x→bxb’は同型N→Nを引き起こすがこのときaの像はa,a’のいずれかである。 (i) bab’ = aのとき。 このときG≌Z⊕Z/nZである。 (ii) bab’ = a’ のとき。 nが奇数とするとn = 2q + 1とおくとき a = b^(2q+1)ab^(-(2q+1)) = bab’ = -a となって矛盾するからnは偶数である。 逆にnが偶数のとき <a,b|bab’ = a’,b^n=e> はZのsemi trivial extensionであり、条件を満たす。 1002 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/26(木) 11:06:27.02 ID:g7KCpv5X.net] >>832 返信遅くなって申し訳ない (>>826です) 超越基底を用いれば簡単になるであろうということ。 ―――――――― 何か鳩ノ巣原理を使う難問が欲しい 此れだけでは申し訳ないので幾つか投下: (難問ではなく何も既知の筈) ・長さNの正整数から為る数列が2つ存在し, 数列を構成する数は1以上N以下である. A, Bから其々空でない部分数列を適当に選ぶとき, 其々の総和を等しく出来るか. ・αが無理数の時, 次の不等式を満たす整数の組(p,q)が無限に存在することを示せ: |α-p/q|<1/q² 序でに右辺をk/q²として不等式を満たす組が無限に存在する様な最小のkを求めると, k=1/√5になることが知られてる 母関数を使うらしく, 序でにk=1でも分母の自乗はx(>2)乗に変えた瞬間成り立たないそうだ(知ってるのは此処まで). 1003 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/26(木) 12:19:01.89 ID:B8nOkJxx.net] 【何故シヌの、��ＪＫ″】　島津論文「安倍とオウムに接点」　露国防相「気づかれてないと思うな晋三」 rosie.5ch.net/test/read.cgi/liveplus/1532569537/l50 地震多すぎ！　日本は地震大国だから、は大ウソだった！　ほら吹きの安倍が、地下核実験をやっている！ 1004 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/27(金) 06:49:09.69 ID:0WjqahXc.net] >>940 Zの自己同型は±1のみ Zn→Z2はnが偶数なら0と全射nが奇数なら0のみ よって Z+Znか偶数ならZとZnの半直積 1005 名前：82 [2018/07/27(金) 07:59:20.49 ID:sps923Uv.net] >>82の正解発表 >>87 (A)正解 >>85 (B)正解 1006 名前：82 [2018/07/27(金) 08:00:12.73 ID:sps923Uv.net] 【>>82(A)の模範解答】 以下、図形の内部には周も含める。 [補a] 幅1のルーローの三角形は、内部の任意の2点間の距離が1以下である。 半径1、中心角60°以下の扇形は、幅1のルーローの三角形の一部である。よって、内部の任意の2点間の距離が1以下である。　■ [A] 5点ならば、円に内接する正五角形の各頂点に配置すれば、どの2点間の距離も1より大きくなる。 どの2点間の距離も1より大きくなるような6点の配置を考える。 円の中心に1点Aを配置すると、円の中心と内部の任意の点との距離は1以下だから、Aと他の5点との距離は全て1以下になる。よって、円の中心以外にAを配置する。 円を扇形で6等分すると、Aが2つの扇形X,Yの境界に乗るようにすることができる。別の点をX,Yに配置すると、[補a]より、Aとその点との距離は1以下になる。よって、X,Y以外の4つの扇形に残りの5点を配置する。 鳩の巣原理より、少なくとも2点は同じ扇形の内部になる。[補a]より、その2点間の距離は1以下になる。 したがって、どのように6点を配置しても、ある2点間の距離が1以下になる。 最小のmは6である。　■ 1007 名前：82 [2018/07/27(金) 08:02:00.38 ID:sps923Uv.net] 【>>82(B)の模範解答】 以下、図形の内部には周も含める。 [補b] 半径1/2の円の内部の2点間の距離は、直径の両端のときは1、それ以外のときは1未満である。 一辺1/2の正六角形は、半径1/2の円に内接する。よって、内部の2点間の距離は、最も遠い頂点どうし（3組ある）のときは1、それ以外のときは1未満である。 カップケーキ形（図の黄色部分）は、一辺1/2の正六角形の一部である。よって、内部の2点間の距離は、弧の両端のときは1、それ以外のときは1未満である。 弧の片側の端点を欠いたカップケーキ形（以下、単に「図形」）は、元のカップケーキ形の一部である。よって、内部の2点間の距離は1未満である。　■ [B] 7点ならば、円の中心と、円に内接する正六角形の各頂点に配置すれば、どの2点間の距離も1以上になる。 どのような8点の配置も、ある2点間の距離が1未満であることを背理法で示す。 どの2点間の距離も1以上であるような8点の配置が存在すると仮定する。 imgur.com/kTTm64O.jpg 半径1の円は、7つのパーツ 一辺1/2の正六角形ABCDEF、図形HBA(G)、図形ICB(H)、図形JDC(I)、図形KED(J)、図形LFE(K)、図形GAF(L) で覆うことができる。 鳩の巣原理より、少なくとも2点は同じパーツの内部にある。[補b]より、その2点は正六角形のパーツの内部にある。AとDにあるとして一般性を失わない。 [補b]より、A,Dを含む図形4つには別の点はない。また、[補b]より、図形LFE(K)とICB(H)にはそれぞれ最大で1点しかない。 このとき、合計で最大でも4点しか配置されていないため矛盾。仮定は誤りであった。 したがって、どのように8点を配置しても、ある2点間の距離が1未満になる。 最小のnは8である。　■ 1008 名前：82 [2018/07/27(金) 08:03:17.37 ID:sps923Uv.net] 出典 (A) https://www.cut-the-knot.org/pigeonhole/six_points.shtml このサイトに証明が2つ載っている。 1つ目は上記。 2つ目は>>87と同じ方針で最後に[補a]を使わない方法である（三角形の内角の大小関係を使っている）。 (B) https://math.stackexchange.com/questions/1228119/ 1点を欠いた図形を考えるのがミソである。この一工夫で証明はかなり楽になる。クレバーな方法。 (B)の画像はGeoGebraで自作した。 この手の問題は 「定幅図形（またはそれらに内包される図形）で元の図形を被覆／分割して、鳩の巣原理に持ち込む」 のが定石だが、効率の良い被覆や分割は発見に試行錯誤を要することが多い。 「図形Aに、どのようにk個以上の点を配置しても、ある2点間の距離がd以下/未満になる」 みたいな一般化は厳しいだろう。 1009 名前：188 [2018/07/27(金) 08:05:38.26 ID:sps923Uv.net] >>188の正解 正n角形について、辺AB,BC,CD…の順に鏡映を取っていく操作を nが偶数ならばn-1回 nが奇数ならば2n-1回 それぞれ繰り返せば、l(n)を「平行な2辺間を結ぶ直線か折れ線の長さ」に帰着することができる。折れ線のときは直線のときより長いことを利用すれば、幾何的にl(n)の最小が求まる。 もちろん>>189みたいに式で解けるならそれに越したことはないが… 1010 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/27(金) 09:50:50.05 ID:NlkV/5Nh.net] >>856 解答です。 PQRSにおける接線の交点を結んで得られる四角形をXYZWとする。 XからCに引いた２接線の接点の交点をx、y,z,wに対するそれをy,z,wとする。 仮定よりXYZWは円D上にあるしてよい。 このときDのCに関する反転をdとするとxyz 1011 名前：wはd上である。 よって主張は成立する。□ [] [ここ壊れてます] 1012 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/27(金) 22:17:47.94 ID:uXdC9xjt.net] 一辺の長さ1の正五角形の頂点を全て結ぶ分岐あり曲線の長さの最小値を求めよ 1013 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/27(金) 22:19:49.89 ID:uXdC9xjt.net] 正n角形の頂点を全て結ぶ分岐あり曲線の長さが最小となるとき、分岐点の角度は必ず120°となることを証明せよ 1014 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/27(金) 22:22:17.06 ID:uXdC9xjt.net] >>953 ごめんこれ嘘 なんでもない 1015 名前： mailto:sage [2018/07/28(土) 00:32:41.08 ID:6VVd4WCT.net] >>952 2π ∵五角形の中に桜の花びらを描くように半径1の弧を各頂点から描くと、 弧の最小単位 2π×(36°/360°) が十個、頂点と分岐点を交互に通るかたちになる。 前>>925開運!! 1016 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/28(土) 00:38:05.20 ID:EnyRsA6W.net] >>953 n=3 のときはフェルマー点 1017 名前：535 [2018/07/28(土) 07:52:44.92 ID:o+vDTN8W.net] >>535の正解発表 【Step 1　与式の分割】 例えば最初の分数式について (a-b)(a-c)/(a+b+c) =(1/2)(a-c)(a-c)/(a+b+c) +(1/2)(a-c)(a-2b+c)/(a+b+c) は容易に確認できる。 そこで s=a+b+c+d A'=(a-c)(a-c)/(s-d) A''=(a-c)(a-2b+c)/(s-d) B'=(b-d)(b-d)/(s-a) B''=(b-d)(b-2c+d)/(s-a) C'=(c-a)(c-a)/(s-b) C''=(c-a)(c-2d+a)/(s-b) D'=(d-b)(d-b)/(s-c) D''=(d-b)(d-2a+b)/(s-c) と置くと (与式の左辺) =(1/2)[A'+A''+B'+B''+C'+C''+D'+D''] =(1/2)[(A'+B'+C'+D')+(A''+B''+C''+D'')] と分割できる。 1018 名前：535 [2018/07/28(土) 07:55:37.99 ID:o+vDTN8W.net] 【Step 2　A'+B'+C'+D'の評価】 √A',√B',√C',√D',√(s-a),√(s-b),√(s-c),√(s-d)にコーシー・シュワルツの不等式を適用すると [A'+B'+C'+D'][(s-a)+(s-b)+(s-c)+(s-d)] ≧[{√A'}*{√(s-a)}+{√B'}*{√(s-b)}+{√C'}*{√(s-c)}+{√D'}*{√(s-d)}]^2　…△ ⇔3s(A'+B'+C'+D')≧(|a-c|+|b-d|+|c-a|+|d-b|)^2 ⇔3s(A'+B'+C'+D')≧(2|a-c|+2|b-d|)^2 相加相乗平均の不等式より 2|a-c|+2|b-d|≧2√(2|a-c|*2|b-d|)>0 だから (2|a-c|+2|b-d|)^2≧16|a-c||b-d|　…▲ よって 3s(A'+B'+C'+D')≧16|a-c||b-d| ⇔A'+B'+C'+D'≧16|a-c||b-d|/(3s)　…�@ 1019 名前：535 [2018/07/28(土) 08:02:39.32 ID:o+vDTN8W.net] 【Step 3　A''+B''+C''+D''の評価】 (a-c)(a-2b+c)(s-b)+(c-a)(c-2d+a)(s-d) =(a-c)[(a+c-2b)(a+c+d)-(a+c-2d)(a+c+b)] =(a-c)[{(a+c)^2+(d-2b)(a+c)-2bd}-{(a+c)^2+(b-2d)(a+c)-2db}] =(a-c)[(d-2b-b+2d)(a+c)] =3(a-c)(d-b)(a+c) またM=(s-d)(s-b)とおくと M=s(s-b-d)+db=s(a+c)+bd A''+C'' =[(a-c)(a-2b+c)(s-b)+(c-a)(c-2d+a)(s-d)]/[(s-d)(s-b)] =3(a-c)(d-b)(a+c)/M 同様にN=s(b+d)+acとおくと B''+D''=3(b-d)(a-c)(b+d)/N よってW=(b+d)M-(a+c)Nとおくと W=(b+d){s(a+c)+bd}-(a+c){s(b+d)+ac}=(b+d)s(a+c)+(b+d)bd-(a+c)s(b+d)-(a+c)ac=(b+d)bd-(a+c)ac A''+C''+B''+D'' =3(a-c)(b-d)[(b+d)/N-(a+c)/M] =3(a-c)(b-d)[(b+d)M-(a+c)N]/(MN) =3(a-c)(b-d)W/(MN) ここで MN={(a+c)s+bd}{(b+d)s+ac}=(a+c)(b+d)s^2+{(a+c)ac+(b+d)bd}s+bdac >{(a+c)ac+(b+d)bd}s x>0,y>0のときx+y>|x-y|より {(a+c)ac+(b+d)bd}s>|(a+c)ac-(b+d)bd|s=|W|s よって MN>|W|s⇔(1/s)>|W|/(MN) ゆえに |A''+C''+B''+D''|=3|a-c||b-d||W|/(MN)≦3|a-c||b-d|/s　…▼ したがって A''+C''+B''+D''≧-3|a-c||b-d|/s　…�A 1020 名前：535 [2018/07/28(土) 08:06:13.82 ID:o+vDTN8W.net] 【与式の証明と等号成立条件】 �@と�Aより (与式の左辺) =(1/2)[(A'+B'+C'+D')+(A''+B''+C''+D'')] ≧16|a-c||b-d|/(3s)-3|a-c||b-d|/s =16|a-c||b-d|/(3s)-3|a-c||b-d|/s =7|a-c||b-d|/(3s)　…☆ 明らかに 7|a-c||b-d|/(3s)≧0=(与式の右辺)　…★ よって (与式の左辺)≧(与式の右辺) (与式の等号が成立する) ⇔(☆、★の等号が成立する) ⇔(�@、�A、★の等号が成立する) ⇔(△、▲、▼、★の等号が成立する) ▲の等号成立条件は 2|a-c|=2|b-d|⇔|a-c|=|b-d| ▼と★の等号成立条件は |a-c|=0∨|b-d|=0⇔a=c∨b=d よって a=c∧b=d このとき△でも等号が成立している。 したがって、与式の等号成立条件はa=c∧b=d　■ 1021 名前：535 [2018/07/28(土) 08:08:38.70 ID:o+vDTN8W.net] 他の 1022 名前：2つの模範解答もどう発想するのか判らない解答であるうえ、ただ煩雑で汚いので省略。 リンク先で見てください。 出典：IMO2008SL-A7 https://www.imo-official.org/problems/IMO2008SL.pdf [] [ここ壊れてます] 1023 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/28(土) 08:13:53.49 ID:Sc9m8D2O.net] |a b c d| |b bx d cx| |c d ay by| |d cx by axy| を因数分解せよ 1024 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/28(土) 09:35:34.58 ID:pdtqHzrG.net] >>418 解答です。 R=F[T]/(T^2+1)、X1={(x,y,z)∈X | z≠0}、X2={(x,y,z)∈X | z=0} とおいてR^をRの可逆元のなす群としN:R→Fをノルム写像とする。 またTの類T+(T^2+1)をtとする。 x,y∈FにたいしてN(x+yt) = x^2+y^2である。 x∈Fでx^2+1≠0かつx^2+1がGに属さないものがとれる。 (∵1〜q-2のうちa∈G,a+1はGに属さないaをとってx^2=aとなるxをとればよい。) このときN(x+t)=x^2+1はGに属さず0でもないのでx+tはR^＼N^(-1)(G)に入る。 よってR^/N^(-1)(G)はR^の真部分群であり準同型定理によりZ/2Zであるとわかる。 とくに#N^(-1)(-G) = (1/2)#R^である。 以上により #X = 2・(1/2)#R^ + (R＼R^) = #R^ = q^2 である。 以下(a/q)を平方剰余記号とする。 (-1/q)=-1のときX2={(0,0,0)}であり#X2=1である。 (-1/q)=1のときu^2=-1となるu∈FをとればX2={(x,±ux,0)}であるから#X2=2q-1である。 以上により #Y=#X-3#X2+3-1 =q^2-1 (q≡3 mod 4)、=q^2-6q+5 (q ≡ 1 mod 4) である。 つぎに Y2={(x,y,z) | x=y,xyz≠0} とおくとき(-2/q)=-1ならばばY2=∅であり、 (-2/q)=1ならばv^2=-2となるv∈FをとればY2={(x,x,±vx)|x∈F^}であるから#Y2=2q-2である。 また #Z=#Y-3#Y2 であるから以上と第２補充法則により #Z=q^2-12q+11 (q ≡ 1 (mod 8)) #Z=q^2-6q+5 (q ≡ 3,5 (mod 8)) #Z=q^2-1 (q ≡ 7 (mod 8)) を得る。 1025 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/28(土) 09:38:12.21 ID:z2BC7zek.net] log2=0.3010, log3=0.4771が与えられている. ここから, log11の小数第2位の値を求めよ. 1026 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/28(土) 09:41:05.15 ID:pdtqHzrG.net] >>962 >|a b c d| >|b bx d cx| >|c d ay by| >|d cx by axy| determinant(matrix([a,b,c,d],[b,b*x,d,c*x],[c,d,a*y,b*y],[d,c*x,b*y,a*x*y])),factor; a^3*b*x^2*y^2−a*b^3*x*y^2−a^2*b^2*x*y^2+b^4*y^2−a*b*c^2*x^2*y−a^2*c^2*x^2*y−a*b*d^2*x*y−a^2*d^2*x*y+2*b^2*c*d*x*y+6*a*b*c*d*x*y−2*b^2*c^2* x*y−2*b^2*d^2*y+c^4*x^2−2*c^2*d^2*x+d^4 ？？？？ 1027 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/28(土) 10:40:19.76 ID:bjlcOHL6.net] >>962 とりあえず２行２列のbはaのまちがいっぽいけどそれでもまだ既約みたいやね。 1028 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/28(土) 10:43:17.16 ID:eDTZE8Ag.net] >>962 こう？ determinant(matrix([a,b,c,d],[b,a*x^2,d,c*x^2],[c,d,a*y^2,b*y^2],[d,c*x^2,b*y^2,a*x^2*y^2])),factor; (a*x*y−b*y−c*x+d)*(a*x*y−b*y+c*x−d)*(a*x*y+b*y−c*x−d)*(a*x*y+b*y+c*x+d) 1029 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/28(土) 13:37:27.98 ID:25At2aHe.net] >>955 今更だけど不正解 少なくとも4つの辺を結べば5点を結べるから4より小さくないとおかしい 1030 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/28(土) 14:57:21.13 ID:z4N8++BV.net] >>953 分岐点に隣接する３点の作る三角形の外心と、分岐点が一致する ということでいいんでない？ 1031 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/28(土) 15:11:48.34 ID:z4N8++BV.net] いや、>>969はたぶん違うな…… むしろ分岐点の角がすべて120°のほうが正しい気がしてきた 1032 名前：イナ mailto:sage [2018/07/28(土) 15:2 ] [ここ壊れてます] 1033 名前：0:45.41 ID:6VVd4WCT.net mailto: >>968長さ4だと正五角形の周長より短いじゃないか。曲線じゃない直線だし。 一つの頂点を一回通ればいいってことか。 前>>955 [] [ここ壊れてます] 1034 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/28(土) 15:24:47.07 ID:dqaEH9OC.net] 続けたまえ 1035 名前：イナ mailto:sage [2018/07/28(土) 15:37:26.36 ID:6VVd4WCT.net] >>972わかった。十個の弧のうち四個は省けるね。 2π×(36ﾟ/360ﾟ)人人 /＿/×6=4π/5（＿^_) /＿/＿/＿/＿/（＿＿) /＿/＿/＿/＿/（^｡^)) /＿人人＿/＿/_(＿っ┓ /_(＿)_)_/＿/◎┻υ◎ /_( _＿)_/＿/＿/＿/＿ /_(_（`)_/＿/＿/＿/＿ /_(υ＿)┓＿/＿/__/＿/ /◎υ┻-◎＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/屁でもねえや。前>>971それよかいいワープロねえか。 1036 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/28(土) 16:14:37.96 ID:Sc9m8D2O.net] >>966 axの間違い 1037 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/28(土) 16:15:36.89 ID:Sc9m8D2O.net] >>967 も1つ abcdの多項式でxyについては2次拡大まで使うと1次4つの積に 1038 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/28(土) 16:21:20.32 ID:RosE4Rin.net] >>952 角度120度の前提で 3.891156823 って数値が出たけど、これより良い結果ある？ i.imgur.com/VhC8cug.png 1039 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/28(土) 16:24:52.44 ID:EnyRsA6W.net] ax = f, cx = g とおくと |a, b, c, d| |b, f, d, g| |c, d, ayy, byy| |d, g, byy, fyy| = {(af-bb)yy + (cg-dd)}^2 - (ag+cf-2bd)^2 yy = {(af-bb)yy +(ag+cf-2bd)y +(cg-dd)}{(af-bb)y^2 -(ag+cf-2bd)y +(cg-dd)}, 1040 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/28(土) 16:40:58.48 ID:Sc9m8D2O.net] >>977 もひとつ 1041 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/28(土) 16:56:48.40 ID:zqnKg1oN.net] >>971 そう、一つの頂点を一回通ればいいってこと あと直線も曲線の一部 >>969,970 正7角形の場合、周をなぞるのが一番短いから角度は120°じゃないって言おうとしたけどジャンクションではないね ジャンクションに限定するなら120°は成り立ちます 「プラトーの法則」 >>976 不正解です 実は左右非対称になる 1042 名前：イナ mailto:sage [2018/07/28(土) 17:37:50.18 ID:6VVd4WCT.net] 直線も曲線のうち!? ;;;;;;;;;;;人人;;;;;; ;;;;;;;;;;(_;^_);;;;; ;;;;;;;;;;(_^;_);;;;; ;;;人人;;;(^｡^;);;;;; ;;(＿)_);;(＿っ┓;;;; ;;(_(＿);◎ﾞ┻υ◎ﾞ;; ;;(_（`);;;;;ｷｺｷｺ…… ;;(υ＿)┓;;;;;;;;;;; ◎ﾞυ┻-◎ﾞ_/＿/__/＿/ /＿/ｷｺｷｺ……/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/きっといい地境がみつかる。前>>973 1043 名前：イナ mailto:sage [2018/07/28(土) 18:05:00.89 ID:6VVd4WCT.net] 前>>980 対角線2つ=1+√5 対角線の一つに残りの頂点から引いた垂線={√(5+2√5)}/2-{√(10-2√5)}/4 分割線=1+√5+{√(5+2√5)}/2-{√(10-2√5)}/4 1044 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/28(土) 18:38:01.92 ID:Sc9m8D2O.net] >>967 正解だったどもスマン 1045 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/28(土) 18:40:27.16 ID:Sc9m8D2O.net] ちなみに8次でも同じような問題できる 2＾n次でできるのかも 1046 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/28(土) 19:32:48.35 ID:57kIc8+e.net] >>2 7+8-5=10 俺の勝ち ちなみに ID:AT99r3l3(>>24,29)　→　9+9/(3*3)=10 1047 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/28(土) 19:33:18.55 ID:57kIc8+e.net] そろそろ次スレを 1048 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/28(土) 20:56:04.78 ID:zqnKg1oN.net] >>981 不正解 >>979でも言ったけど左右対称じゃない 1049 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/28(土) 20:58:42.11 ID:zqnKg1oN.net] >>981 しかもそれ4より大きいじゃん 1050 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/28(土) 21:04:35.57 ID:5RD8Md9I.net] 数列{a_n}を以下のように定める。 a_1 = 3 a_(n+1) = (a_n)^2 - 2 この時、 a_n が合成数になるような n は存在するか。 1051 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/28(土) 21:36:52.34 ID:Nf1txf93.net] >>988 mod 1087で考えると a_1≡3 a_2≡7 a_3≡47 a_4≡33 a_5≡0 明らかにa_5>1087なのでa_5は合成数 1052 名前： [] [ここ壊れてます] 1053 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/28(土) 21:46:55.05 ID:boOQAkuB.net] ちなみにmod 127でも a_1≡3 a_2≡7 a_3≡47 a_4≡48 a_5≡16 a_6≡0 a_6>127よりa_6は合成数 1087も127も勘で見つけた 1054 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/28(土) 22:05:52.09 ID:ttDOnSiN.net] >>990 正解、1087は見つけられんかったわ　すごい pがメルセンヌ素数の時にフィボナッチ数列がmodpでp+1を周期に持つ条件やら何やらを考えてて127を偶然見つけたけど、 メルセンヌ素数かどうかの判定法でリュカテストというのがあって、殆ど同じことやってたのを問題出してから知った… 1055 名前：イナ mailto:sage [2018/07/28(土) 22:32:30.32 ID:6VVd4WCT.net] 前>>981対角線2つのほかに、あえて対称じゃない分割線を一本引いたのに、対称と言われた。 ―――――――――― �@対角線1つ=(1+√5)/2 �A対角線から最寄りの頂点への垂線=(1/4)√(10-2√5) �B中心角72°の扇形の弧=2π/5 �C扇形の弧から残りの頂点への垂線={(1+√5)/2}-1 ―――――――――― �@+�A+�B+�C=√5+2π/5+(1/4)√(10-2√5) =4.08049029……ぉしい!! 1056 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/28(土) 22:40:01.22 ID:boOQAkuB.net] まあa_5, a_6をwolframに因数分解してもらって、modで書き直しただけなんだけど 余談だが、素数を無限に生成する関数 強い順に f(n)=p_n {f(n)}=Pかつf(m)≠f(n) {f(n)}=P {f(n)>0}=P は存在するが、いずれも人為的なものであり実用性は乏しい（下の論文では"engineered"と表現している） 漸化式で定義された数列では a_1=7 a_n=a_(n-1)+gcd(n, a_(n-1)) の階差数列b_nは1か奇素数になる しかも全ての奇素数が現れるという {a_n}=7,8,9,10,15,18,19,20,21,22,33,36,37,… {b_n}=1,1,1,5,3,1,1,1,1,11,3,1,… https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL11/Rowland/rowland21.html 1057 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/28(土) 22:45:27.23 ID:XEewS8qw.net] >>983 そりゃできるんじゃね？ |a b c d| |b ax d cx| |c d ay by| |d cx by axy| なら行列は０行０列から数えるとして 1の位が0の行、つまり0行目と2行目に√xをかけ、1の位が１の列、つまり１列目と３列目を√xで割る。 同じことを２の位について√yで行えば√x=u、√y=vとして |auv bv cu d| |bv auv d cu| |cu d auv bv| |d cu bv auy| となって結局 |A B C D| |B A D C| |C D A B| |D C B A| を考えることになる。 2行目＋３行目＋４行目を１行目にたせば１行目は全部A+B+C+Dだからdetは(A+B+C+D)で割り切れる。 ー2行目＋３行目ー４行目を１行目にたせば１行目は全部A-B+C-Dだからdetは(A-B+C-D)で割り切れる。 2行目ー３行目ー４行目を１行目にたせば１行目は全部A+B-C-Dだからdetは(A+B-C-D)で割り切れる。 ー2行目ー３行目＋４行目を１行目にたせば１行目は全部A-B-C+Dだからdetは(A-B-C+D)で割り切れる。 A^の係数は１だからdet = (A+B+C+D)(A-B+C-D)(A+B-C-D)(A-B-C+D)。 これ2^2でやったけど2^nでもできると思う。 1058 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/28(土) 22:58:36.93 ID:Sc9m8D2O.net] >>994 なるほど 1059 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/28(土) 23:00:35.26 ID:Sc9m8D2O.net] 2^nだとどう並べたら良いかな 1060 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/28(土) 23:17:01.50 ID:XEewS8qw.net] とりあえず2^2のパターンを２つつかって2^3は A B C D E F G H B A D C F E H G C D A B G H E F D C B A H G F E E F G H A B C D F E H G B A D C G H E F C D A B H G F E D C B A でこのパターンをまた文字変えて並べて…でいけると。 1,-1のパターンは n=1のとき1,1と1,-1 n=2のとき1,1,1,1と1,-1,1-1と1,1,-1,-1と1,-1,-1,1 (２つコピペして並べたものとそのままと-1倍したものを並べたもの) n=3のとき1,1,1,1,1,1,1,1,と1,1,-1-1,1,1,-1-1と1,-1,1,-1,1,-1,1,-1と1,-1,-1,1,1,-1,-1,1と… でいけると思う。このパターンで各行を足したり引いたりしたら全成分同じ値が並ぶ行が出てくると思う。 1061 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/28(土) 23:46:15.45 ID:Sc9m8D2O.net] A=[[a,b],[b,a]]という形式の行列でテンソル積を取っていけばよいのかな>>997 A*A=[[aA,bA],[bA,aA]] A*A*A=[[aA*A,bA*A],[bA*A,aA*A]] みたいな ただし aA=[[aa,ab],[ba,bb]] の成分は非可換でA*^nの成分はaaa…aからbbb…bまでの2^n通りで 1062 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/28(土) 23:54:37.19 ID:Sc9m8D2O.net] そしたら |A*^(n+1)|=|[(a+b)A*^n,(a+b)A*^n],[bA*^n,aA*^n]|=|[a+b)A*^n,O],[bA*^n,(a-b)A*^n]|=|(a+b)A*^n||(a-b)A*^n| から上手く因数分解した形で求められそう 1063 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/28(土) 23:58:12.29 ID:XEewS8qw.net] >>998 テンソル積でうまく表現できるかもですね。 いま思いついたんだけどGを可換有限群としてGの元gに対応する不定元Agを用意しておいてg行h列がAghである行列にすればよさそう。 GがZ/2Zをn個直積した場合が今回の例でG=Z/nZの場合が巡回行列の行列式の理論になる。 その行列式はGの既約指標x(g)にたいしてΣ[g] x(g)Agの形の一次式をn個の指標全体でかけ合わせたものになると思う。 それで今回の話も巡回行列の行列式の理論も同様に説明できるみたい。 1064 名前：1001 [Over 1000 Thread.net] このスレッドは１０００を超えました。 新しいスレッドを立ててください。 life time: 159日 23時間 37分 2秒 1065 名前：過去ログ ★ [[過去ログ]] ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

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