不等式への招待 第５章

1 名前：不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/24(日) 23:56:56 ] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ… 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ 過去スレ ・不等式スレッド （Part1）　 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ ・不等式への招待 第３章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/ ・不等式への招待 第４章　kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/ 過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 姉妹サイト（？） Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000 580 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/29(月) 23:14:01.40 ] >>579 　n ≦ 2(n-2), 　2^n ≦ 2^{2(n-2)} = 4^(n-2) ≦ n^(n-2), 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/29(月) 23:49:13.57 ] おおっ 不等式のプロにかかるとさすがにアッサリですね。 ありがとうございます。>>580 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 00:40:02.56 ] 2^2<=n. 2^(n-3)<n^(n-3). 2^(n-1)<n^(n-2). 583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 07:06:53.80 ] >>546-547 で、この方法は >>2 参考文献[3] P.71の方法4.と同じな希ガス… 　x_(n-1) ≦ G ≦ x_n, を仮定して 　x_(n-1) + x_n - {x_(n-1)･x_n /G + G} = (x_n - G){G - x_(n-1)}/G ≧ 0, 　x_(n-1) + x_n ≧ {x_(n-1)･x_n /G} + G, を導いています。 584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 07:12:31.51 ] つまり既出の証明でも専門誌に発表できるということですね 585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 07:59:46.12 ] 対称性に注目って不等式考える上では突飛なアイデアじゃないよね ってか定跡やん。これを「新証明」と主張することに不安は感じなかったのだろうか。 586 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/30(火) 10:13:00.43 ] >>573がその後発展してなくて涙目の住民ワロス 587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 12:50:39.36 ] >>573に書き込んだのに誰からもレスされなくて、 あまりのくやしさに>>586で書き込んだのだった 涙拭けよ 588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 12:53:45.10 ] 何言ってだこいつら 589 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 12:59:42.97 ] いつもの荒らしでしょう 590 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/30(火) 17:51:18.51 ] そもそも573は問題の解釈が間違っている 真ん中はこの式にはならない これ書いたやつ馬鹿すぎ 591 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/30(火) 17:56:41.46 ] 1991問題は 三角形の内心をI、二等分線をAA'BB'CC'とするとき AIBICI/AA'BB'CCがこの範囲を示せだが 592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 18:38:17.84 ] AI/AA'=(b+c)/(a+b+c) etc. 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 23:19:26.11 ] >>573　△の辺だから 　>>577 >>592 　AI/AA' = (△ABC-△BCI)/(△ABC) に 　△BCI = (1/2)ar,　△ABC = (1/2)(a+b+c)r, を入れる。 （rは△ABCの内接円の半径） 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 03:30:40.14 ] >>570-572 〔例1〕　　>>268 　2倍すると 　N=2, I=-6, J=0, K=4, L=0, 　(A,B,C)=(1,-1,0) すると (P,Q,R)=(2,-1,-1) 　K'=0, 　>>284-290 〔例2〕　　>>494 >>504 　27倍すると 　N=19, I=-5, J=49, K=33, L=-96, 　(A,B,C)=(3,-3,1)　(P,Q,R)=(-22/4,11/4,7/4)　K ' = 3/8, 　(A,B,C)=(3,-3,-1)　(P,Q,R)=(-131/28,46/28,113/28)　K ' = 3/8, 〔例3〕　　>>569 　27倍すると、 　N=26, I=-31, J=23, K=-6, L=-12, 　(A,B,C)=(4,-1,-3)　(P,Q,R)=(-2/26,59/26,-57/26)　K '= 29/78 　(A,B,C)=(4, 1,-3)　(P,Q,R)=(-144/74,141/74,-145/74)　K ' = 13/74, 595 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:09:17.96 ] >>592 間違ってるんだが 596 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:12:33.43 ] BA'が(a+b)/(2a+b+c) AI/AA'=(a+b)/(a+b+BA') を考えると明白な間違い 597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 07:23:05.21 ] >>596 >BA'が(a+b)/(2a+b+c) BA'、a、b、cって長さ？ 次元が違うんだが 598 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:26:24.06 ] 二等分線だからこういうふうな比になるだろ なんで分からないの？馬鹿は死ねよ 599 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:27:50.44 ] 　　　　　　　　　　／￣￣￣＼ 　　　　　　　　　/　　 ⌒　　⌒ ヽ 　　　　　　　　 /　 ｨ●ｧ　　ｨ●ｧ | 　　　　　　　　 |　　　　 　　　 　　| 　　　　　　　　 |　　　　　c{　っ 　| 　　　　　　　　 |　　　　＿＿　　　}　　　うーっす 　　　　　　　　/､.　　　　ー　　　 ヽ 　　　　　　　/　　　　　　　　　　　　| 　　　　　　　|　　　　　　　　　　 |　/ 　　　　　　　ヽ_|　　┌──┐　|丿 　　　　　　　　 |　　├──┤　| 　　　　　　　　 |　　├──┤　| 600 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:28:24.02 ] 間違いに気付いたか 馬鹿め 601 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:37:45.00 ] 訂正 BA'が(a+b)（b+c）/(2a+b+c) AI/AA'=(a+b)/(a+b+BA') 602 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:39:19.07 ] 上を下に入れると a+bがきれいにきえて （2a+b+c）/２(a+b+c) になるんで、上のほうの解答は大間違い 603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 07:41:40.55 ] >>601 a=b=cのときBA'=(a+b)（b+c）/(2a+b+c)=a=BCになるんだが 604 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:53:35.71 ] 解答が自動化してるイカサマ師が何を言っても恥ずかしいだけ 605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 07:59:55.86 ] ここまで飛ばし読みした俺様に、修正バージョンを書いてくれ 606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 08:36:42.89 ] 適当にでっちあげた式にでっちあげた式を入れる遊びは楽しいかね 607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 17:25:11.12 ] 　　　　　�凵@　　　　○　　　∇　、＿＿＿,､´｀ﾞ；~､　　';冫　☆ 　　　　　　　　　　　┏　 ━ゝヽ''／　　≧　＼━〆Ａ!ﾟ━━┓。 　╋┓"〓┃　 ＜　ゝ＼',冫｡'　|:::: 　＼ .／　|゛△│´'´,.ゝ'┃.　　　　　 ●┃ ┃┃ 　┃┃_.━┛ヤ━━━━━━|::::: (●　(● |━━━━━━━━━　　━┛ ・　・ 　　　　　　　　∇ 　┠─Σ-　　ヽ::::... .ワ.....ノ　　冫　そ',´; ┨'ﾟ,。 　　 　 　 　 　 .。冫▽　＜　　 ⊂ 　 　　./⊃　　　　 乙　　≧　　　▽ 　　　　　　　　　。　┃　　 Σ　　 （⌒ゞ　,l,　､'' 　│ 　 て　く 　　　　　　　　　　　┠─ム┼ 　　ゝ,,ﾉ　ﾉゝ.　､,,　.┼ ｧ　Ζ┨　ミｏ''｀ 　　　　　　　　　。､ﾟ`。､　　　i／　　　レ' o。了　､''　×　 个ｏ 　　　　　　　　○　 ┃ 　　`､,~´＋√ ▽　 　',!ヽ.◇　 　　ｏ┃ 　　　　　　　　　 　 ┗〆━┷　Ｚ,.'　/┷━''ｏ ヾｏ┷+＼━┛,゛； 　　　　　　 ヾ　　　�凵@　　　　　　　　　　　　　　'、´　　　　∇ 荒れたスレに不等式ヲタが光臨！ 整理すると以下の如しだ！ 【1991 IMO 問１】 △ABCの内心をI、二等分線をAA'BB'CC'とするとき、 　1/4 < (AI・BI・CI)/(AA'・BB'・CC) ≦ 8/27 【証明】 >>592 角の二等分線の定理から、容易に 　AI/AA' = (b+c)/(a+b+c)、BI/BB' = (c+a)/(a+b+c)、CI/CC' = (a+b)/(a+b+c) >>573 示すべき不等式は 　 1/4 < (a+b)(b+c)(c+a)/(a+b+c)^3 ≦ 8/27 >>577 右: 4(a+b)(b+c)(c+a) - (a+b+c)^3 = aa(b+c-a) + bb(c+a-b) + cc(a+b-c) + 2abc > 0, 左: 相加相乗平均 　　8(a+b+c)^3 -27(a+b)(b+c)(c+a) 　　= 3(a+b)(a-b)^2 + 3(b+c)(b-c)^2 + 3(c+a)(c-a)^2 + 2(a^3+b^3+c^3-3abc) ≧ 0, 608 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 17:50:46.29 ] >>590、>>595-602 をあぼーんすればよろし 609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 18:59:22.02 ] なんで590、598、600は偉そうなの？ 馬鹿なのに 610 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 19:52:41.70 ] a>0 のとき　(a-x)^n + (a+x)^n > 2a^n って明らかですか？どう示せばいいでしょうか。 611 名前：610 [2011/08/31(水) 19:53:43.74 ] 間違えました。>じゃなくて≧でした。 (a-x)^n + (a+x)^n ≧ 2a^n です。 612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 20:13:46.88 ] n≧1かな？ 凸不等式でおｋ 613 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 20:35:31.95 ] 変な質問ですが、「不等式評価」って言葉はありますか？ クラスの数学得意なやつが使ってたんですが、先生も初めて聞いたと言っていました。 614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 20:46:46.40 ] 不等式で評価する って普通に使うね。 615 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 21:48:26.70 ] 進学校じゃないかぎり学校の先生は大抵教育学部出身だから、評価estimateとか言っても基本的には通じない。 数学に限ったことじゃないけど本当に「小中高の勉強」ができてた奴は教師になってない。 616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 21:51:24.37 ] >>615 > 数学に限ったことじゃないけど本当に「小中高の勉強」ができてた奴は教師になってない。 なんで？ 617 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/01(木) 11:19:10.51 ] >>607 なんでa+ｂ＋ｃがでてくるんだよ。AB,ACは足したら2a+b+cだろうが 618 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 11:42:35.32 ] 何言ってだこいつ 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 12:14:01.46 ] しーっ、目を合わせちゃいけません 620 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/01(木) 16:33:02.11 ] a+b+cってどこにあるの 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 22:15:08.17 ] 上から評価、下から評価 とか言った使い方をよくする 622 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 22:41:35.38 ] >>525 〔補題〕　 AB ≦ CA, CB のとき、 三角形ABCの内部の点Pに対して PA + PB + PC < CA + CB. 623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 22:45:57.36 ] >>622 (略証) Pを直線上で動かすとき、AP,BP,CP は下に凸(*)だから 　f(P) = AP+BP+CP も下に凸。 直線CPと辺ABの交点をQ とすると、凸性から 　f(P) < max{f(C), f(Q)} ところで 題意より 　f(Q) = (AQ+QB) + CQ = AB + CQ ≦ AB + max{CA,CB} ≦ CA + CB = f(C), ∴　f(P) < f(C), * この直線をt軸とすると g(t) = √(a^2 + t^2) は 　　a≠0 のとき双曲線。 　　a＝0 のとき g(t)=|t| でＶ字形の折れ線。 624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/02(金) 22:57:20.36 ] 0＜a、a≠1 ((a^(2n+1)/(a-1))+(a(1-a^2n)/2n(1-a)^2)^2n)/a^n(2n+1)≧(2n)！ 625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 08:01:27.09 ] 1 ≦ a、b、c ≦ 2 に対して、(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+a) + (c+a)/(a+b) の最大値（上限）は？ 626 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/04(日) 20:20:23.84 ] >>625 通分して {(19/6) - (与式)}*(a+b)(b+c)(c+a) 　= (19/6)(a+b)(b+c)(c+a) - (c+a)(a+b)^2 - (a+b)(b+c)^2 - (b+c)(c+a)^2 　= (1/6){(aab+bbc+cca) + 7(abb+bcc+caa)} + (1/3)abc -(a^3 +b^3 +c^3) 　= (4/3)[k(aab+bbc+cca)+(1-k)(abb+bcc+caa)] + (1/3)abc -(a^3 +b^3 +c^3)　　(k=1/8) 　= (1/4){10[k(aab+bbc+cca)+(1-k)(abb+bcc+caa)] -4(a^3+b^3+c^3) -15abc} 　+ (7/12){-2[k(aab+bbc+cca) + (1-k)(abb+bcc+caa)] +7abc} 　= (1/4)F(k) + (7/12)G(k) 　≧ 0, 627 名前：626 mailto:sage [2011/09/04(日) 20:25:44.92 ] >>625　(続き) 〔補題1〕 -1/5≦k≦6/5 のとき 　F(k) = 10[k(aab+bbc+cca)+(1-k)(abb+bcc+caa)] -4(a^3+b^3+c^3) -15abc ≧ 0, (略証) 　(2a-b)(2b-a)(2a-c) + c.c. = 12(aab+bbc+cca) - 2(abb+bcc+caa) -4(a^3 +b^3 +c^3) -15abc ≧ 0, 　(2a-b)(2b-a)(2b-c) + c.c. = -2(aab+bbc+cca) +12(abb+bcc+caa) -4(a^3 +b^3 +c^3) -15abc ≧ 0, から。 〔補題2〕 -1≦k≦2 のとき 　G(k) = -2[k(aab+bbc+cca) + (1-k)(abb+bcc+caa)] +7abc ≧ 0, (略証) 　(2a-b)(2b-c)(2c-a) = -4(aab+bbc+cca) +2(abb+bcc+caa) +7abc ≧ 0, 　(2b-a)(2c-b)(2a-c) =　2(aab+bbc+cca) -4(abb+bcc+caa) +7abc ≧ 0, から。 628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/04(日) 23:58:47.65 ] 〔類題〕 1 ≦ a,b,c,d ≦ 2 に対して 　4 ≦ (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+a) + (d+a)/(a+b) < 11/2. [第２章.325-326 , 514-519] 　 上限（〜17/4）を出すのは大変でござるよ、ﾆﾝﾆﾝ。 ( ﾟ∀ﾟ) 629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/05(月) 01:06:11.79 ] ついでに.... >>102 　[第２章.643-645] >>350-356 　[第２章.780 , 786-818] 630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/05(月) 01:54:00.74 ] >>628 題意より (a-c)/(b+c) ≦ 1/2,　4-b-c≧0. 加比の理 より、 　(a+b)/(b+c) = 1 + (a-c)/(b+c) ≦ 1 + [a-c +(4-b-c)/2]/[(b+c) +(4-b-c)] = 1 + [2 +a -(1/2)b -(3/2)c]/4. 循環的に加える。 　(左辺) ≦ 4 + [8-(a+b+c+d)]/4 ≦ 5. [第２章.522,526] 631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/05(月) 03:01:55.82 ] >622 (略証) 点Pを通りCPに垂直な直線Lと 辺CA, 辺CB の交点を A', B' とする。 　CP < CA', CP < CB' 直線L上でPを動かしたとき、AP+BP は単一の極小をもつ。 ∴　AP+BP < AA' + A'B または AP+BP < AB' + B'B のいずれかが成立。 　〔 LがBCと交わらない場合は △AA'B ⊃ △APB ∴ AP+BP < AA' + A'B〕 ∴　AP+BP+CP < CA + A'B < CA + max{AB,CB} = CA + CB,　または 　　AP+BP+CP < AB' + CB < max{AB,CA} + CB = CA + CB, [参考文献3] p.18-19, 例題10.(Visschersの問題) 632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/05(月) 21:11:27.93 ] >>625 　(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+a) + (c+a)/(a+b) < 3 + 3/10, なら簡単だが..... 題意より (a-c)/(b+c) < 1/2, 加比の理より 　(a+b)/(b+c) = 1 + (a-c)/(b+c) < 1 + {(a-c)+(a-1)/2}/(a+b+c-1), 循環的にたす。 　(与式） < 3 + {(a+b+c-3)/2}/(a+b+c-1) < 3 + 3/10, >>628　>>630 　(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+a) + (d+a)/(a+b) < 4 + 2/3 なら簡単だが..... 題意より　(a-c)/(b+c) < 1/2, 加比の理より 　(a+b)/(b+c) = 1 + (a-c)/(b+c) < 1 + {(a-c)+(d+a-2)/2}/(a+b+c+d-2), 循環的にたす。 　(与式) < 4 + (a+b+c+d-4)/(a+b+c+d-2) < 4 + 2/3, 633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/05(月) 21:16:15.35 ] 難し杉… 634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/06(火) 19:50:20.37 ] 分かり松… 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/07(水) 23:02:48.81 ] それっ桐… 636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/08(木) 10:20:53.57 ] ネタ切れ梅 637 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/08(木) 10:24:34.78 ] 次のネタ投函を待つ竹さ… 638 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/09(金) 02:47:11.86 ] 粟てず、ゆっ栗… 639 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/09(金) 14:58:55.66 ] For a>1,b>1,c>1,Prove that for positive integer n (a-1)(b-1)(c-1)n^3+[(a-1)(b-1)+(b-1)(c-1)+(c-1)(a-1)]n^2 +(a+b+c-3)n+1≦(abc)^n. 640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/10(土) 07:21:21.34 ] >>639 　LHS = {(a-1)n+1}{(b-1)n+1}{(c-1)n+1}, (i) For n=1, equality holds. (ii) For n>1 and t≧-1, by AM-GM, 　f(t) = t^n -n(t-1) -1 = t^n -nt +(n-1) 　　= (t^n + 1 + …… + 1) - nt 　　= (t-1){t^(n-1) + t^(n-2) + …… + t -(n-1)} 　　= (t-1)g(t) 　　≧ 0.　　　　　　　　　　　　(*) 　Equality holds only if t=1. *) 　For -1≦t<1,　g(t) < 0. 　For t>1,　g(t) > 0. 641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/10(土) 20:15:07.41 ] >>611 　nが偶数 または a>0 のとき 　(左辺) - (右辺) = 2Σ_(k=1,[n/2]) Ｃ(n,2k) a^(n-2k) x^(2k) ≧ 0, 　等号成立は x=0 のとき。 >>612 　nが奇数（>1）かつ |x| >a のとき …… 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/10(土) 21:00:30.45 ] >>611 nについての帰納法による。 ・n=1 のとき 等号成立。 ・n>1 のとき f_n(a,x) = (a-x)^n + (a+x)^n - 2a^n 　　　　= a･f_(n-1)(a,x) + x{(a+x)^(n-1) - (a-x)^(n-1)} 　　≧ a･f_(n-1)(a,x), ∵ 　x>0 のとき a+x > |a-x|, 　x<0 のとき a-x > |a+x|, 　x{(a+x)^(n-1) - (a-x)^(n-1)} ≧ 0, よって 　f_n(a,x) ≧ a･f_(n-1)(a,x) ≧ …… ≧ a^(n-1)･f_1(a,x) = 0, 643 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/11(日) 00:59:16.87 ] >>625 >>628 文字の数をn個に拡張すると…… (a,b,c,……) の並びが (1,1,2) と (1,1,2,2) の組み合わせのとき、 n=4m　 :　n + n/16, n=4m+1 :　n + (n-9)/16 + 1/2, n=4m+2 :　n + (n-6)/16 + 1/3, n=4m+3 :　n + (n-3)/16 + 1/6, ∴ 最大値はこれ以上だが.... 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/11(日) 11:36:09.72 ] 〔問題〕 正の実数 x,y,z が三角形（最大角θ）の３辺の長さとなるとき 　S = (x^2+y^2+z^2)/(xy+yz+zx), のとりうる値の範囲を求めよ。（じゅー) www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/679- 645 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/11(日) 14:40:04.06 ] >>644　のあらすじ 正弦定理より 　S = {sin(A)^2 + sin(B)^2 + (sinθ)^2}/{sin(A)sin(B) + [sin(A)+sin(B)]sinθ}, A+B+θ = 180ﾟ（θ≧60ﾟ） より 　S = 2{2+cosθcos(A-B) -(cosθ)^2}/{4(1+cosθ)sin(θ/2) +cos(A-B) +cosθ} これは |A-B| について単調増加。 ∴　2(2-cosθ)/{1+4sin(θ/2)} ≦ S < 2, 　左側の等号は A=B=(180ﾟ-θ)/2, 　右側の不等号は {A,B}→{0ﾟ, 180ﾟ-θ} 646 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/14(水) 00:12:23.53 ] For a,b,c>0 with a+b+c=3, Prove that a/1+(b+c)^2+b/1+(a+c)^2+c/1+(a+b)^2≦3(a^2+b^2+c^2)/(a^2+b^2+c^2+12abc) 647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/14(水) 01:02:37.37 ] >>646 a/{1+(b+c)^2} のつもりだよな？（残り２つも） 648 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/16(金) 22:27:40.55 ] 【うんち問題】 a > b > 0 のとき、a + 1/{(a-b)b} ≧ 3 【本題】 正の数 x、y、z と正の有理数 a、b、c に対して、 　 (x^a・y^b・z^c)/{(x+y+z)^(a+b+c)} ≦ (a^a・b^b・c^c)/{(a+b+c)^(a+b+c)} 　　　　　　　＿＿＿　 彡　　　　 ／　　≧　＼　　　　彡　ﾋﾞｭｩ…… 　　彡　　 |:::　 ＼ .／ |　　彡 　　　　　　|:::: (●　(●|　　　　もう秋ですなぁ… 　　　　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　　過去スレに a+b+c=1の場合があったような希ガス 　　　 　 　 人つゝ 人,,　　　　　　　　　ﾃﾍｯ！ 　　　　　 Ｙノ人　ノ ノノゞ⌒〜ゞ 　　　 　　　 .　 ノ /ミ|＼、　　　 ノノ　（　彡 　　　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿 　　　　　　　　　　　　 ⌒〜⌒ 649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/17(土) 00:45:14.80 ] >>646 　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと 　LHS = a/{(s/3)^2 +(s-a)^2} + b/{(s/3)^2 +(s-b)^2} + c/{(s/3)^2 +(s-c)^2} 　　　= 9(100s^5 -270s^3･t +378s^2･t +81tu)/(100s^6 -180s^4･t +324s^3･u +810s^2･t^2 -1458stu +729u^2), 　RHS = 9(a^2+b^2+c^2)/{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+36abc} 　　　= 9(s^2 -2t)/(s^3 -2st+36u), は使いたくないし... >>648　【うんち】 　(a-b)b = (a/2)^2 - (a/2 - b)^2 ≦ (a/2)^2, 相加･相乗平均より 　(左辺) ≧ a + (2/a)^2 　　= a/2 + a/2 + (2/a)^2 　　= 3 + (1+a)(1 - 2/a)^2 　　≧ 3, 650 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/17(土) 14:08:46.56 ] ＞＞【本題】 正の数 x、y、z と正の有理数 a、b、c に対して、 　 (x^a・y^b・z^c)/{(x+y+z)^(a+b+c)} ≦ (a^a・b^b・c^c)/{(a+b+c)^(a+b+c)} Just use weighted AM-GM inequality. Done! 651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/17(土) 15:06:06.78 ] >>648　>>650 　L(X)=log(X) は上に凸なので、Jensen により 　a･L(x/a) + b･L(y/b) + c･L(z/c) ≦ (a+b+c)･L((x+y+z)/(a+b+c)), 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/17(土) 18:48:40.09 ] ということで、>>648を修正すると… --------------------------------------------------- 非負実数 x、y、z と正の数 a、b、c に対して、 　 (x+y+z)/(a+b+c) ≧ {(x/a)^a・(y/b)^b・(z/c)^c}^{1/(a+b+c)} 等号成立条件は、x/a = y/b = z/c のとき --------------------------------------------------- これを使えば、次式も出てくるよね？ 間違ってないかな？ 正の数 x、y、z が x+y+z=1 をみたすとき、 　 x^x・y^ｙ・z^z ≧ (x^y・y^z・z^x + x^z・y^x・z^y)/2 　 x^x・y^ｙ・z^z ≧ x^{(y+z)/2}・y^{(z+x)/2}・z^{(x+y)/2} もっと面白いのできないかな？ 　　　　 | 　＼　　__　　／ 　＿　（ｍ）　＿ﾋﾟｺｰﾝ 　　　　|ミ| 　／＿＿＿＼　　　 　.／　　≧　＼　　 　|:::: 　＼ .／　|　　 　|::::: (●　(● |　＜ 相加ッ！ 相乗だったのか！ ﾊｧﾊｧ… 　ヽ::::... .ワ.....ノ 653 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/18(日) 21:34:16.82 ] For x, y, z>0 with xyz=1. Prove that (x+3)/[(x+1)^2]+(y+3)/[(y+1)^2]+(z+3)/[(z+1)^2] 654 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/18(日) 21:35:58.39 ] For x, y, z>0 with xyz=1. Find the maximum value of (x+3)/[(x+1)^2]+(y+3)/[(y+1)^2]+(z+3)/[(z+1)^2] 655 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/18(日) 21:37:38.42 ] Sorry for multi posts, For x, y, z>0 with xyz=1. Find the minimum value of (x+3)/[(x+1)^2]+(y+3)/[(y+1)^2]+(z+3)/[(z+1)^2] 656 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/19(月) 13:41:18.19 ] 不等式か！ ハーディーと誰かがコレクション集だしてたよね おまえ等、買った？ 657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/19(月) 14:37:40.12 ] >>656 コレクションですと！ ｋｗｓｋ！ 658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/19(月) 16:46:53.20 ] 今日も自演操業乙であります！ 659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/19(月) 21:32:54.72 ] >>417 www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/630 660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/19(月) 22:09:41.76 ] >>659 つまり >637 によれば 　f(x) = (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 -(a+b+c)x^2 +(ab+bc+ca) -abc, とおくと 　f(x)f(-x) = (-x^2 +a^2)(-x^2 +b^2)(-x^2 +c^2) 　　= -x^6 +(a^2+b^2+c^2)x^4 -{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}x^2 +(abc)^2 　　= -(x^2){(ab+bc+ca) + x^2}^2 + {abc + (a+b+c)x^2}^2,　(恒等式) x^2 = -1 を代入して 　(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) = (ab+bc+ca-1)^2 + (abc -a-b-c)^2, 661 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/20(火) 12:41:18.89 ] Just use,1+a^2=(1+ai)(1-ai) Done! 662 名前：MaxValu mailto:sage [2011/09/21(水) 12:37:20.35 ] >>654 　(x+3)/(x+1)^2 = 1/(x+1) + 2/(1+x)^2 ≦ 3/(1+x), 　1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1) = (3+2s+t)/(1+s+t+u) 　= 2 - (-1+t+u)/(1+s+t+u) 　< 2, ここに、s=x+y+z≧3, t=xy+yz+zx≧3, u=xyz=1, よって 　(与式) < 6, 上限に近づくのは、(例) x→0, y→0 のとき。 663 名前：Aeon mailto:sage [2011/09/21(水) 13:44:34.02 ] >>662 の訂正 　1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1) 　= (3+2s+t)/(1+s+t+u) 　= 2 - (-1+t+２u)/(1+s+t+u) 　< 2, >>655 　　1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1) 　= (3+2s+t)/(1+s+t+u), 　　1/(x+1)^2 + 1/(y+1)^2 + 1/(z+1)^2 　= {(3-6u) + (4-2u)s + 2s^2 + 2st + t^2}/(1+s+t+u)^2, 　(与式) ={9(1-u) + (13-2u)s +(4+u)t +6s^2 +7st +3t^2}/(1+s+t+u)^2 　　　= 3 + {3(2-5u-u^2) +(7-8u)s -(2+5u)t +3s^2 +st}/(1+s+t+u)^2 　　　= 3 + (-12 -s -7t +3s^2 +st)/(1+s+t+u)^2　　　(← u=1) 　　　= 3 + {(5s/3 +4 +t)(s-3) +(4/3)(s^2 -3t)}/(1+s+t+u)^2 　　　≧ 3, 等号成立は s=t=3 すなわち x=y=z=1 のとき。 664 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/21(水) 19:33:44.04 ] For a,b,c>0, prove that 4(a^3+b^3+c^3-3abc)^3≧27(a^2b+b^2c+c^2a-3abc)^3 665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/22(木) 21:55:07.55 ] >>664 　a^3 +b^3 +c^3 -3abc ≧ 3k･(aab +bbc +cca -3abc), 　k = 1/{4^(1/3)} 〜 0.630 ---------------------------------------------------- Let's put 　m = min{a, b, c} 　(a, b, c) = (m, m+x, m+x') or its rotation, where x≧0, x'≧0. Then, 　a^3 + b^3 + c^3 -3abc = (a+b+c){(a-c)^2 -(a-c)(b-c) +(b-c)^2} 　　　　= (3m+x+x'){x^2 -xx' +(x')^2}, 　aab +bbc +cca -3abc = m{x^2 -xx' +(x')^2} + (x^2)x', and 　LHS - RHS ≧ (x+x'){x^2 -xx' +(x')^2} -3k(x^2)x' 　　　= (x + kx')(x - x'/√k)^2 　　　≧ 0. Equality holds for (m, m+x, m+x') = (0, 1, √k) 666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/22(木) 22:37:30.61 ] >>656 >>2の[1]のことか？ 667 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/22(木) 23:58:15.43 ] 正の数a、b、c、dに対して 　2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)^3 ≧ 27(abc + abd + acd + bcd)^2 ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！ 668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/23(金) 00:28:08.23 ] a[k]＞0　(1≦k≦n) (x-a[1])(x-a[2])(x-a[3])…(x-a[n])=Σ[k=0,n] (-1)^(n-k)p[k]x^kとしたとき、 i＜j⇒(p[i]/binomial(n,i))^(1/i)≧(p[j]/binomial(n,j))^(1/j)　(等号成立はa[1]=a[2]=a[3]=…=a[n]のとき) らしいのですが、どうやって証明するのが一番きれいですか？ コーシーシュワルツのようなきれいな証明を知りたいです。 669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/23(金) 00:54:07.39 ] >>668 S_k = p[k]/binomial(n,k) とおいて、(S_k)^2 ≧ S_(k-1)・S_(k+1) を示し、これを用いるのぢゃ 670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/23(金) 08:23:21.67 ] >>667 [初代スレ.455、473-474] >>668 　Π[k=1,j-1] (S_k)^(2k) ≧ Π[k=1,j-1] {S_(k-1)･S_(k+1)}^k, より 　(S_{j-1})^j ≧ S_0･(S_j)^(j-1), 　S_0 = 1, [初代スレ.257, 263-271] 参考文献[1] Cambridge版 (1934) の 2.22節、公式51-55 E.F.Beckenbach - R.Bellman, "Inequalities", Ergebnisse叢書、Springer (1961) p.11 >>669 　Q_k = (S_k)^2 - S_(k-1)・S_(k+1) = {1/(n･k･C[n,k]･C[n-1,k])}Σ{j=0,k-1} [k;j]/(j+1) ≧ 0, 　ここに [k;j] は {a1･a2･････a(k-j-1)}^2 a(k-j)････a(k+j-1){a(k+j)-a(k+j-1)}^2 という型の積すべての和 ですね。 [初代スレ.480-481] 数セミ増刊「数学の問題　第１集」No.21 (1977.2) 671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/23(金) 09:52:01.92 ] >>670 　　 ＿＿＿ 　.／　　≧　＼　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！ 　|:::: 　＼ .／　|　初代スレ懐かしい… 　|::::: (●　(● |　 あれから７年も経ったのか… 　ヽ::::... .ワ....ノ 　 　n ￣￣　　　＼　 　 （ E） フ 　　　 /ヽ ヽ_／／ 672 名前：仙石６０ mailto:暴力 [2011/09/23(金) 09:56:22.55 ] じゃかあしい、黙ってろ！ 673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/23(金) 10:15:54.71 ] >>672 誰だね君は？ 674 名前：仙石６０ mailto:阿呆 [2011/09/23(金) 10:18:00.02 ] 俺はいまや　毎日が日曜日。 職業に関係する知識とノウハウは誰にも負けん。 675 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/09/23(金) 13:50:55.86 ] ワシかていまや　毎日が日曜日。 馬鹿潰しに関係する知識とノウハウは誰にも負けん。 猫 676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/23(金) 13:56:54.76 ] 毎日が充実してて何よりですワ 677 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/09/23(金) 15:53:56.74 ] そうですねん。飯も美味いし酒も美味いワ。 猫 678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/23(金) 19:22:28.01 ] >>668-669 　(S_k)^2 ≧ S_(k-1)･S_(k+1), より 　1/S_0 ≧ ･･････ ≧ (S_k)^(k-1)／(S_{k-1})^k ≧ (S_{k+1})^k／(S_k)^(k+1) ≧ ････, 　S_0 = 1, とすべきか.... 679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/24(土) 00:27:51.12 ] >>669>>670>>678 遅くなりましたがありがとうございます。 これは相加相乗平均の関係の拡張版と見なしていいですよね。 不等式の奥深さを改めて感じました。 n=6の場合についての問題が本に載っていたのですが、 皆目見当が付かず、答えが載っていなかったため数週間迷った挙句本屋に行っても これについて解説している本が見つからなくて途方に暮れていました。 紹介していただいた参考文献[1]を是非読んでみたいと思います。 680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/24(土) 01:53:55.13 ] >>679 > n=6の場合についての問題が本に載っていたのですが、 その本の紹介きぼんぬ！ですぢゃ 681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/25(日) 09:38:07.22 ] 使えんやっちゃな 682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/25(日) 18:40:04.63 ] >>680 シュプリンガーの『数学発想ゼミナール』3巻（第7章の題は「不等式」です）p.357 「x^6-6x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+1=0の解は全て正であるという。 このときa,b,c,dを決定せよ。」 という問題です。 2次、3次方程式の解が全て実数かつ正であるための条件は 増減表などによって調べることが出来ました。 ここで上の命題を予想し、解が全て正である4次以上の方程式についても確かめたところ、正しそうだと分かりました。 相加-相乗平均の関係についての節の問題だったうえ、2項係数が出てきたため、 予想を導くこと自体はそれほど難しくありませんでした。 もし正しければa=15,b=-20,c=15,d=-6と定まり、x=1を6重解として持ちます。 しかし、証明がなかなか思いつかなかったので今回質問させていただきました。 683 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/25(日) 19:55:12.30 ] >>682 根をα,β,γ,δ,ε,ζ とする。根と係数の関係より 　(α+β+γ+δ+ε+ζ)/6 = 1 = (αβγδεζ)^(1/6), 　相加平均 = 相乗平均, また、題意より 根>0 だから 等号条件より 　α = β = γ = δ = ε = ζ = 1, 以下ry) 684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/26(月) 07:09:34.82 ] 定理に辿りつけたのはご明察だが… 685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/27(火) 00:12:09.52 ] >>682 根を A,B,C,D,E,F >0 とするとき 　（A+B+C+D+E+F)^6 - (6^6)ABCDEF = Σ' {･･正の式･･･}(A-B)^2, の形になることを示そう。 686 名前：685 mailto:sage [2011/09/27(火) 00:18:25.59 ] (略証) まづ、 　(A+B+C+D+E+F)^6 = (1/60)g + (1/2)h + (5/4)i + 5j1 + (5/6)j2 + 20k + 20L1 + 5L2 + 45m + 30n + 2o, ここに 　g = 60(A^6 + B^6 + … + F^6) = 60[6], 　h = 12Σ (A^5)B = 12[5,1], 　i = 12Σ (A^4)(B^2) = 12[4,2], 　j1 = 6Σ（A^4)BC = 6[4,1,1], 　j2 = 24Σ (AB)^3 = 24[3,3], 　k = 3Σ (A^3)(B^2)C = 3[3,2,1], 　L1 = 6Σ (A^3)BCD = 6[3,1,1,1], 　L2 = 18Σ (ABC)^2 = 18[2,2,2], 　m = 4Σ (AB)^2･CD = 4[2,2,1,1], 　n = 12Σ (A^2)BCDE = 12[2,1,1,1,1,1], 　o = 360･ABCDEF, である。 ここで、Muirhead により 　g - h = 12Σ (A^5 - B^5)(A-B) = 12Σ {A^4 +A^3･B + (AB)^2 +AB^3 +B^4}(A-B)^2, 　h - i = 12Σ AB(A^3 - B^3)(A-B) = 12Σ AB(A^2 +AB +B^2)(A-B)^2, 　i - j1 = 12Σ C^4･(A-B)^2, 　i - j2 = 12Σ (AB)^2･(A-B)^2, 　j1 - k = 3Σ (A^2)BC･(A-B)^2, 　j2 - k = 3Σ (B^3)C･(A-B)^2, 　k - L1 = 3Σ (C^3)D･(A-B)^2, 　k - L2 = 3Σ AB(C^2)･(A-B)^2, 　L1 - m = 2Σ ABCD･(A-B)^2, 　L2 - m = 2Σ (CD)^2･(A-B)^2, 　m - n = 4Σ (C^2)DE･(A-B)^2, 　n - o = 12Σ CDEF･(A-B)^2, を使う。(終) 687 名前：685 mailto:sage [2011/09/27(火) 00:58:03.82 ] 補足 　Σ' はあらゆる文字の入替えに亘る和。（ただし同じものは1回ずつ） 　g = 60Σ' A^6, 688 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/27(火) 01:51:31.96 ] >>687 顔文字に見えた 689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/28(水) 21:32:43.48 ] >>683 恥ずかしながら、上述の定理を予想していざ計算！ …という段階になってはじめてその解法に気付きました。 もっとも、遠回りの結果美しい不等式に出会えたので良かったのですが。 >>685-687 調べてみたところ、Muirhead's inequalityという名称があるのですね。 かなり複雑に見えますが、じっくり読ませていただきます。 690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/03(月) 22:24:05.40 ] x＞0 ⇒e*x^(ex)≧1 691 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/07(金) 13:50:28.39 ] xln x≧-1/e (x>0) 692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 02:12:36.05 ] x>0 ⇒ 1/x = e/(ex) ≦ e^(1/(ex)), ⇒ -log(x) ≦ 1/(ex), ⇒ x･log(x) ≧ -1/e, 693 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 12:12:24.28 ] f : R→R ∀x、 y∈R に対して f(x+y) ≦ yf(x) + f(f(x)) が成立するとき、 ∀x<0 に対して f(x)=0 を示せ 694 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 12:13:03.15 ] いちおう不等式がらみということで… ( ﾟ∀ﾟ) 695 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/10(月) 00:08:46.16 ] >>689 aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwasen/egyptian/egyptian.html messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&start=46 　Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 出題(不等式) planetmath.org/encyclopedia/MuirheadsInequality.html (英語) 示野信一:「対称式と不等式」数セミ、48巻、2号、通巻569 (2009/Feb) の p.26-29 G.H.Hardy、J.E.Littlewood & G.Polya: 「不等式」、ｼｭﾌﾟﾘﾝｶﾞｰ･ﾌｪｱﾗｰｸ東京 (2003/9) \5040 の 2.19節 696 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/10(月) 00:22:46.59 ] >>695 訂正 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&start=46 697 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/11(火) 08:37:52.47 ] >>693 IMO 2011 Problem 3 698 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/19(水) 01:01:58.86 ] a,b,c>0→a^{b+c}+b^{c+a}+c^{a+b}≧1 699 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/19(水) 11:52:19.94 ] x, y, z ＞0 (xyz=1)⇒ x^4+y^4+z^4+33≧12(xy+yz+zx) 700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/20(木) 11:41:10.61 ] >>699 わからん！ 701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/21(金) 22:08:38.80 ] 受験板より f :R → Rは三回微分可能な関数で,全てのxについて次の条件�@,�Aが成り立っている �@f(x)>0,f'(x)>0,f''(x)>0,f'''(x)>0 �Af'''(x)≦f(x) このとき全てのxについて2f(x)>f'(x)が成立することを示せ 702 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/22(土) 01:18:30.97 ] d/dx e^{2x}f(x) 703 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/22(土) 08:08:04.99 ] そんなのは誰でも思いつくが、そこから先は？ 704 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/22(土) 08:33:46.75 ] >>703 俺は気づかなんだが、あとは推して知るべしだぞ！ 705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/22(土) 16:57:35.04 ] d/dx e^{-2x}f(x)　じゃないのけ？ 706 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/24(月) 16:01:25.22 ] >>701 これどうするん？ 和歌んねーよ！ 707 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/24(月) 18:16:31.51 ] >>682 これスツルムの定理で解けない？ 708 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/26(水) 22:05:09.91 ] >>698 (1) a,b,c の中に１以上のものがあるときは明らか。 次に　M = Max{b+c,c+a,a+b} とおく。 (2) a,b,c ≦ 1 かつ M ≦ 1 のとき 　b+c≦1, …, … 　y=x^(b+c) は xについて上に凸だから（x=1での）接線の下側にある。 　x^(b+c) ≦ 1 +(b+c)(x-1) ≦ 1 + (b+c)x, 　(1/x)^(b+c) ≧ 1/{1 + (b+c)x},　　(ベルヌーイの式) x=1/a とおいて 　a^(b+c) ≧ a/(a+b+c), 　循環的にたす。 (3) a,b,c ≦ 1 かつ M ≧ 1 のとき 　0 < a ≦ b,c ≦ 1　としても一般性を失わない。 　a+b, a+c ≦ b+c = M, 　(与式) ≧ b^(c+a) + c^(a+b) 　　　≧ b^M + c^M 　　　≧ 2･(M/2)^M　　　(← 下に凸) 　　　≧ 2(1/2)　　　　(← *) 　　　= 1, *)　{M･log(M/2)} ' = 1 + log(M/2), ∴　(M/2)^M は M>2/e　　で単調増加。 ∴　(M/2)^M ≧ 1/2,　　　(M≧1) 　casphy - 高校数学 - 不等式 - 710〜713 709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/31(月) 21:43:49.36 ] ３辺の長さがa、b、cの三角形の外接円、内接円の半径をR、rとおくとき、a+b+c < 4(R+r) ( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ 710 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/01(火) 11:57:24.96 ] a, b, c>0, √a+√b+√c=3⇒ a/√(a+b)+b/√(b+c)+c/√(c+a)≧3/√2 711 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 19:18:16.06 ] ウィキペの相加相乗平均の説明しょぼい・・・ 712 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 23:21:22.64 ] >>709 例によって 　(a+b+c)/2 = s, 　(s-a)(s-b)+(s-b)(s-c)+(s-c)(s-a) = t, 　(s-a)(s-b)(s-c) = u, とおく。 △不等式より、s-a>0, s-b>0, s-c>0, ヘロンの公式： Ｓ = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} = √(su), 　4R = abc/Ｓ = (st-u)/√(su), 　r = Ｓ/s = u/√(su) よって 　{4R + (5/2)r}^2 = {st + (3/2)u}^2 /su 　　　= (2s)^2 + (s/tu)(t^3 -4stu +9u^2) + (3/t)(t^2 -3st) + (9u/4s) 　　　= (2s)^2 + (su/t)F_{-2}(s-a,s-b,s-c) + (3u/t)F_{-1}(s-a,s-b,s-c) + (9u/4s) 　　　> (2s)^2 　　　= (a+b+c)^2, 〔Schur不等式〕 　F_n(x,y,z) = x^n･(x-y)(x-z) + y^n･(y-z)(y-x) + z^n･(z-x)(z-y) 　　= x^n･(x-y)^2 + (x^n -y^n +z^n)(x-y)(y-z) + z^n･(y-z)^2 ≧ 0. 　ここで y は x と z の中間にあるとした。（終） 713 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 20:20:36.93 ] >>712 > 例によって > 　(a+b+c)/2 = s, > 　(s-a)(s-b)+(s-b)(s-c)+(s-c)(s-a) = t, > 　(s-a)(s-b)(s-c) = u, いや、この置き換え、初見なんだけど… (ﾟ∀ﾟ；)ﾌﾞﾙﾌﾞﾙ 714 名前：β [2011/11/03(木) 20:24:14.57 ] 常識やろｗ 715 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 23:12:58.69 ] >>713 　(a+b+c)/2 = s とおくと 　(s-a) + (s-b) + (s-c) = s, 　…… なのですが、簡単なので省略しました。 716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 00:11:08.55 ] nが自然数で、0 < x < π のとき、以下を証明せよ (1)　1 + sin x + (sin 2x)/2 + … + (sin nx)/n > 0 (2)　1 + cos x + (cos 2x)/2 + … + (cos nx)/n > 0 ( ﾟAﾟ) ぐぬぬ… 717 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 04:03:13.97 ] >>716 (1) nについての帰納法による。 与式の左辺を 1 + S_n(x) とおく。 　S_1(x) = sin(x) >0, 　S_2(x) = sin(x){1+cos(x)} > 0, n>2 のとき 　(d/dx)S_n(x) = cos(x) + cos(2x) + …… + cos(n･x) 　　　 = {sin((n+1/2)x) - sin(x/2)}/{2sin(x/2)}　(積和公式) 　　　 = sin(n･x/2)cos((n+1)x/2)/sin(x/2),　　　(和積公式) S_n が極値をとる点 x=x0 に注目する。 　(1) sin(n･x0/2) = 0 のとき 　　　S_(x0) - S_{n-1}(x0) = sin(n･x0) = 0, 　(2) cos((n+1)x0 /2) = 0 のとき 　　　倍角公式より　sin((n+1)x0) = 0,　cos((n+1)x0) = -1, 　　　S_n(x) - S_{n-1}(x) = sin(n･x) 　　　　= sin((n+1)x-x) 　　　　= sin((n+1)x)cos(x) - cos((n+1)x)sin(x), (加法公式) 　　　S_n(x0) - S_{n-1}(x0) = sin(x0) > 0, 　参考文献[3] p.134-135, 例題8 〔類題〕 　S_n(x) = Σ[k=1,n] sin(kx)/k は sin(x) と同符号で、 　　| S_n(x) | < G' = Si(π) = 1.8519370519824…, 　[第２章.50、53、55] 718 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 04:53:07.18 ] >>716 (2) 与式の左辺を Ｃ_n(x) とおく。 　Ｃ_1(x) = 1 + cos(x) > 0, 　Ｃ_2(x) = 1 + cos(x) + cos(2x)/2 　　　= 1/2 + cos(x) + cos(x)^2　　(倍角公式) 　　　= 1/4 + {(1/2) + cos(x)}^2 > 1/4, さて、 　(d/dx)Ｃ_n(x) = -sin(x) - sin(2x) + …… - sin(n･x) 　　　= {cos((n+1/2)x) - cos(x/2)}/{2sin(x/2)}　(積和公式) 　　　= -(1/2)sin(n･x) - {1-cos(n･x)}cos(x/2)/{2sin(x/2)} (加法公式) 　　　< -(1/2)sin(n･x), 　Ｃ_n(π) - Ｃ_n(x) < -(1/2)∫[x,π] sin(n･t)dt 　　　= {(-1)^n - cos(n･x)}/(2n) 　　　< {(-1)^n + 1}/(2n)　　(n:偶数のとき 1/n、n:奇数のとき 0） 　　　< (1-1) + (1/2 - 1/3) + …… + (-1)^n /n 　　　= Ｃ_n(π), 　∴　Ｃ_n(x) > 0,　　(森氏、ζ氏による.) 数セミ、３４巻7号（1995/7）出題、３４巻10号（1995/10）解説 719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 09:35:22.58 ] ( ﾟ∀ﾟ) ｱﾅﾀ ｶﾞ 神 ｶ？ 720 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 11:24:52.78 ] 任意の z、w∈C に対して、| (1+|z|^2)w - (1+|w|^2)z | ≧ | z \bar{w} - \bar{z} w | ( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ 721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 15:27:43.34 ] >>720 　(1+|z|^2)w - (1+|w|^2)z = (w-z) - zw(w-z)~, 　zw~ - z~w = (1/2){(w+z)(w-z)~ - (w+z)~･(w-z)}, ∴　|左辺|^2 - |右辺|^2 = {(w-z) -zw(w-z)~}{(w-z)~ -z~w~(w-z)} 　　　- (1/4){(w+z)(w-z)~ - (w+z)~(w-z)}{(w+z)~(w-z) - (w+z)(w-z)~} 　　　= (w-z)(w-z)~(1 + |zw|^2 -zw~ -z~w) 　　　= (w-z)(w-z)~(1-zw~)(1-z~w) 　　　= |w-z|^2 |1-zw~|^2 　　　≧ 0, 722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 19:58:51.76 ] >>701を誰か．．． 723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 22:11:14.99 ] >>699を誰か... 724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 22:33:32.63 ] >>723 君が解き給へ(・∀・)！ 725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 23:47:08.21 ] 生姜ねぇ... >>699 いつものように 　f(x,y,z) = x^4 + y^4 + z^4 -12(xy+yz+zx) + 33 とくおく。 　f(x,y,z) - f(x, √(yz), √(yz)) = (y^2 -z^2)^2 -12x(√y -√z)^2 　= (√y -√z)^2 {(y+z)^2･(√y +√z)^2 - 12x} 　≧ (√y -√z)^2 {(4yz)(4√yz) - 12x} 　= (√y -√z)^2 {16/(x^1.5) - 12x}　　　(← yz=1/x) ところで f(x,y,z) は対称式だから x≦y,z としてもよい。 ∴　x ≦ 1, ∴　16/(x^1.5) - 12x > 0, ∴　f(x,y,z) ≧ f(x, 1/√x, √x),　　(x≦1) また 　x^2･f(x, 1/√x, 1/√x) = x^6 -24x^2.5 +33x^2 -12x +2 　= (√x - 1)^2 (x^5 +2x^4.5 +3x^4 +4x＾3.5 +5x^3 +6x^2.5 +7x^2 -16x^1.5 -6x +4√x +2) 　= (√x - 1)^2 g(x) 　≧ 0, ∵　g(x) ≧ g(0.4811730855931836) = 0.258670936041927 なお、x = 0.0394556281276082 に極大がある。（2.44552474861856) 726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 00:08:48.59 ] >>725 訂正 真ん中より少し下 ∴　f(x,y,z) ≧ f(x, 1/√x, １／√x),　　(x≦1) 727 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/07(月) 07:42:17.98 ] a, b, c, d≧0, a+b+c+d=4 のとき, a/(a^3+8)+b/(b^3+8)+c/(c^3+8)+d/(d^3+8)≦4/9 728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 00:41:43.07 ] >>727 　(x^3 +8)(2x+1) - 27x = (x-1)^2･(2x^2 +5x+8) ≧ 0, 　x/(x^3 +8) ≦ (2x+1)/27,　　… x=1 での接線 x = a,b,c,d についてたす。 729 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 02:04:44.31 ] >>727 相加･相乗平均より 　x^3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ≧ 9 x^(1/3), ∴　(左辺) ≦ (1/9){a^(2/3) + b^(2/3) + c^(2/3) + d^(2/3)} 　　　≦ (4/9){(a+b+c+d)/4}^(2/3)　　　(上に凸) 　　　= 4/9, 730 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/08(火) 16:04:19.53 ] a, b, cが実数のとき, a^4+b^4+c^4+2abc(a+b+c)≧a^3b+b^3c+c^3a 731 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/08(火) 16:57:38.99 ] 微分→Jensen→AM-GMと解法が易しくなってきている。 Step 1 a^3≧3a-2 Step 2 AM-GM-HM Done! 732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/09(水) 22:36:50.76 ] >>730 　(左辺) - (右辺) = a^4 +b^4 +c^4 + 2abc(a+b+c) -a^3･b -b^3･c -c^3･a 　　　= (1/2)(a^2 -b^2 -ab -ca)^2 + cyclic 　　　≧ 0, 〔類題268〕 　(a^2 + b^2 + c^2)^2 ≧ 3(a^3･b + b^3･c + c^3･a), >>268 >>284-290 733 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/12(土) 12:11:39.84 ] a, b, c>0, a+b+c=1. ab(c+2)/(c+1)+bc(a+2)/(a+1)+ca(b+2)/(b+1)≦7/12 734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/13(日) 02:00:45.58 ] >>733 　(a+b+c)^2 -3(ab+bc+ca) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0 より 　ab + bc + ca ≦ (1/3)(a+b+c)^2 = 1/3, これを与式から差引くと、つまり次式を示せばよい。 　ab/(c+1) + bc/(a+1) + ca/(b+1) ≦ 1/4, 　(左辺) = ab{1 - c/(c+1)} + bc{1 - a/(a+1)} + ca{1 - b/(b+1)} 　　= (ab+bc+ca) -abc{1/(c+1) + 1/(a+1) + 1/(b+1)} 　　≦ (ab+bc+ca) - 9abc/(a+b+c+3)　(← 相加･調和平均 または y=1/x:下に凸) 　　= (ab+bc+ca) - 9abc/{4(a+b+c)}　(← a+b+c=1) 　　= (1/4)(a+b+c)^2 - F_1(a,b,c)/{4(a+b+c)} 　　≦ 1/4,　　(← a+b+c=1) ここに 　F_1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) 　　　= (a+b+c)^3 -4(a+b+c)(ab+bc+ca) + 9abc ≧ 0,　(Schur) 735 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/13(日) 04:20:40.33 ] キタコレ（・∀・）！ 最初の３行に気づかなんだ 難しく見せているゴミを消すんだな 736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/17(木) 09:34:49.23 ] n次以下の整式 f(x) において、-1≦x≦1 における |f(x)| の最大値を M、 |f’(x)| の最大値 M’とおくとき、M’≦ n^2M が成り立つことを示せ ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ 737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/17(木) 12:10:36.92 ] 有名じゃね？ 738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/17(木) 23:24:58.13 ] >>737 ｋｗｓｋ！ 739 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/18(金) 15:34:07.09 ] 電波テロ装置の戦争(始) エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している オウム信者が地方で現在も潜伏している それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ 発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た <電波憑依> スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科 <コードレス盗聴> 2004既に国民20%被害250〜700台数中国工作員3〜7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠> 今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部> キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索 740 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/18(金) 15:34:50.73 ] 魂は幾何学 誰か(アメリカ)気づいた ソウルコピー機器 741 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/18(金) 15:55:38.02 ] a, b, c, d>0, a^2+b^2+c^2+d^2=4. (a+b+c+d-2)(1/a+1/b+1/c+1/d+1/2)≧9. 742 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/19(土) 00:17:55.69 ] 有名じゃね？ 743 名前：β [2011/11/19(土) 00:20:06.15 ] おいおい、暗算で解けたしｗ 744 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/19(土) 01:03:24.34 ] 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。 745 名前：猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/11/19(土) 01:21:19.31 ] 猫 746 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/19(土) 02:01:00.07 ] 猫は学生の頃物理と化学もみっちりやりましたか？ 747 名前：猫は痴漢野郎 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/11/19(土) 02:04:41.16 ] 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。 猫 748 名前：猫は痴漢野郎 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/11/19(土) 02:08:03.06 ] >>746 私は数学科ではなくて応用物理みたいな学科の学卒なので、従って物理 は仕方無く勉強しました。そんで化学は必修科目として結構含まれてい ましたが、全然好きにはなれませんでした。とにかく実験の演習は苦痛 でしかアリマセンでしたね。 だから物理も化学もみっちりでも何でもありません。最低限ですね。 猫 749 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/19(土) 11:01:43.28 ] 741はむずいぞ、これ。 750 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/19(土) 17:57:36.10 ] 相加相乗平均使うだけだろ？ 751 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/19(土) 20:14:46.04 ] あほと, ちゃうか？ どうやって, 相加相乗使えるねん？！ 752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/19(土) 22:17:02.33 ] a+b+c+d≧4(abcd)^(1/4) 1/a+1/b+1/c+1/d≧4(1/abcd)^(1/4) 753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/19(土) 22:59:59.78 ] >>752 それでは証明できない。 754 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/20(日) 12:57:28.57 ] ２ちゃんの数学板の中でもここだけは本物の鬼修羅羅刹が生息する場所だなって思うわ。 自作の不等式問題投げたときも30分で解かれたし。 755 名前：Y [2011/11/20(日) 18:16:34.40 ] 数学版楽しい。学校よりも楽しい 756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/20(日) 19:29:31.45 ] >>701が未だに分からん。 ↓こうやって、微分を1つ減らした問題なら解けるんだけどなあ。 f :R → Rは二回微分可能な関数で,全てのxについて次の条件�@,�Aが成り立っている �@f(x)>0,f'(x)>0,f''(x)>0 �Af''(x)≦f(x) このとき全てのxについて2f(x)>f'(x)が成立することを示せ 757 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/20(日) 22:21:04.68 ] >>756 ｋｗｓｋ！ 758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/21(月) 00:28:55.43 ] >>757 　f(x) は下に有界かつ単調増加だから、lim[x→ -∞] f(x) は収束する。 　f(-∞) = lim[x→ -∞] f(x) = a ≧ 0. 　f '(-∞) = lim[x→ -∞] f '(x) = 0. f '(x) >0 と (2)から 　(d/dx){f(x)^2 - f '(x)^2} = 2f '(x){f(x) - f "(x)} ≧ 0, ∴　f(x)^2 - f '(x)^2 は単調増加。 ∴　f(x)^2 - f '(x)^2 ≧ f(-∞)^2 - f '(-∞)^2 = a^2 - 0^2 ≧ 0, f(x) + f '(x) >0 で割れば 　f(x) - f '(x) ≧ 0, 759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/22(火) 06:33:29.44 ] >>758 　(d/dx){f(x)exp(-x)} ≦ 0, ∴　f(x) は単調増加だが、f(x)exp(-x) は(広義)単調減少。 760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/22(火) 07:26:54.80 ] >>730 >>732 　p' = a^2 -b^2 +bc, 　q' = b^2 -c^2 +ca, 　r' = c^2 -a^2 +ab, とおくと、 　(左辺) - (右辺) = (1/2)(p'+q')^2 + (1/2)(q'+r')^2 + (1/2)(r'+p')^2 ≧ 0 　casphy - 高校数学 - 不等式、718 761 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/22(火) 13:57:08.76 ] Nice Solution! Exactly same as mine. 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/22(火) 21:17:03.30 ] 日本語でおｋ 763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/24(木) 22:29:54.05 ] 〔問題〕 a,b,c が実数で ��=(a-b)(b-c)(c-a) のとき、 (1) �納n=1,2] {a^(2n) +b^(2n) +c^(2n) -(ab)^n -(bc)^n -(ca)^n} 　　≧ (3/2)|�處, (2) �納n=1,4] {a^(2n) +b^(2n) +c^(2n) -(ab)^n -(bc)^n -(ca)^n} 　　≧ 3(1 + a+b+c +a^2 +b^2 +c^2)|�處, を、示して下さい。 　casphy - 高校数学 - 不等式、719,722,725 764 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/26(土) 07:13:35.37 ] つ www.math.harvard.edu/graduate/quals/qs10.pdf ３枚目の２番 765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/26(土) 09:46:58.28 ] >>764 １．Let ａ be an arbitrary real number and ｂ a positive real number. Evaluate the integral 　　∫[0,∞） cos(ax)/cosh(bx) dx. 　　（Recall that cosh(x) = (1/2)(e^x + e^-x) is the hyperbolic cosine.) 　　{Wed., 2010/Jan/20 (Day 2)} ２．Let ｆ be a holomorphic function on a domain containing the closed disc {z : |z|≦3}, and suppose that 　　f(1) = f(i) = f(-1) = f(-i) = 0. Show that 　　|f(0)| ≦ (1/80)･max{|f(z)| : |z|=3}, and find all such functions for which equality holds in this inequality. 　　{Thu., 2010/Jan/21 (Day 3)} 766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/26(土) 10:33:54.24 ] >>765 (1) 　cos(ax) = (1/2){e^(iax) + e^(-iax)} から、 　∫[0,∞) cos(ax)e^(-cx) dx 　　= (1/2)∫[0,∞) {e^(-(c-ia)x) + e^(-(c+ia)x)} dx 　　= (1/2){1/(c-ia) + 1/(c+ia)} 　　= c/(a^2+c^2),　　(c>0) と 　1/cosh(bx) = 2e^(-bx)/{1+e^(-2bx)} = 2Σ[k=0,∞) e^(-(2k+1)bx), を使っても出せぬぅ..... 答： π/{2b･cosh(πa/2b)}, 〔参考書〕 森口･宇田川･一松:「数学公式I」岩波全書221, ｐ.256 (1956) 767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/26(土) 11:48:54.54 ] >>765　訂正 　1/cosh(bx) = 2e^(-bx)/{1+e^(-2bx)} = 2Σ[k=0,∞) (-1)^k･e^(-(2k+1)bx), 768 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/26(土) 20:36:13.48 ] 証文の出し遅れのような気がしますが、> 570 の解答については www.emis.de/journals/JIPAM/images/105_09_JIPAM/105_09.pdf に目を通しておいて下さい。ついでに、 www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ineq.pdf も読んで頂けると幸いです。 769 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/26(土) 20:43:16.45 ] ついでにこういう定理をご存知ですか。 定理1. 4次斉次多項式f(a,b,c)について、 任意の実数a,b,cに対しf(a,b,c)≧0が成り立つための必要十分条件は、 f(1,0,0)≧0かつf(x,1,1)≧0 (∀x∈R)である。 定理2. 3〜5次斉次多項式f(a,b,c)について、 任意のa,b,c≧0に対しf(a,b,c)≧0が成り立つための必要十分条件は、 f(x,1,0)≧0かつf(x,1,1)≧0 (∀x≧0)である。 770 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/26(土) 20:45:04.43 ] すいません。直前の訂正です。 定理1. 4次斉次対称多項式f(a,b,c)について、 任意の実数a,b,cに対しf(a,b,c)≧0が成り立つための必要十分条件は、 f(1,0,0)≧0かつf(x,1,1)≧0 (∀x∈R)である。 定理2. 3〜5次斉次対称多項式f(a,b,c)について、 任意のa,b,c≧0に対しf(a,b,c)≧0が成り立つための必要十分条件は、 f(x,1,0)≧0かつf(x,1,1)≧0 (∀x≧0)である。 771 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/26(土) 21:30:54.77 ] >>765 b> 0 Pi/2b sech(a Pi/2b) 772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/26(土) 22:13:07.75 ] >>768 >>570 で 　N→w, I→-p, J→-q, K→r, L→(p+q-r-w) とおけば (1.6) になりますね。 もっとも、これらの文献では w=1 としているようですが.... 773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/27(日) 22:11:38.11 ] >>769-770 基本対称式を x+y+z=s, xy+yz+zx=t, xyz=u とおくと 　f(x,y,z) = f(1,0,0)(s^4 -6sst +8tt +3su) + f(0,1,1)(8tt-sst-15su)/4 + f(1,1,1)(8tt-2sst-5su)/3 + f(2,1,1)(sst-4tt+3su)/4 と書けるが… 774 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/30(水) 13:27:41.48 ] 66-5 www.asahi-net.or.jp/~nj7h-ktr/kadai10-11.pdf ( ﾟ∀ﾟ)ﾑﾑﾑ… 775 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/30(水) 23:51:09.00 ] >>774 (64_1) (1)　sgn(a),　　　x = |a|･tanθ とおく。 (2)　部分分数に分けて 　f(x)f(t-x) = (1/2π)f(t/2){(1/2 + x/t)f(x) + (1/2 + (t-x)/t)f(t-x)} 　xf(x) は奇関数だから、積分すれば0. 　(t-x)f(t-x) も同様。 　∴ (1/2π)f(t/2)∫(-∞,∞) {f(x) + f(t-x)}/2 dx = (1/2π)f(t/2), 66-5 問題1. 　(左辺) - (右辺) = (4/5)(x-y)^2 + (4/5)(x+y)(z-x-y) + (z-x-y)^2 ≧0, 　z = x+y+Z (Z≧0) を与式に代入する。 問題2. 　(与式) > ∫[0,1] (x^2)e^(-x) dx 　　　= [ -(x^2 +2x +2)e^(-x) ](x=0,1) 　　　= 2 - (5/e) = 0.160603 　(与式) < ∫[0,1] (x^2)･e^(-x^3) dx 　　　= [ -(1/3)e^(-x^3) ](x=0,1) 　　　= (1/3)(1 - 1/e) = 0.210707 （真値は　(1/4)(√π)erf(1) - 1/(2e) = 0.189472345820492...） 67-2 (1)　f(x) = (x+1/x)^2 は下に凸だから 　(a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 + (c + 1/c)^2 　　= f(a) + f(b) + f(c) 　　≧ 3f((a+b+c)/3)　　　(← 下に凸) 　　= 3f(1/3) = 3(10/3)^2 = 100/3, 776 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/02(金) 01:41:46.25 ] >>763・・・ 777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/02(金) 01:43:06.65 ] 67-3 m は {m(m-1)+2}/2 項目に初めて現れれる。これをnとすると、mは 　a_n =　[ （1 + √(8n-7)）/2 ] >>774 66-5 　I_n = ∫[0,1] x^2･exp(-x^n) dx は nについて単調増加で、 1/3 に収束する。 　I_n ≒ 1/3 - 1/(1.2553312n + 4.22642)　　(n>>1) 778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/02(金) 14:24:30.43 ] >>775 67-2 (1) 〔補題〕 ある区間で f(x) >0 とする。 (1)　f が下に凸, a>1　　⇒　f^a も下に凸。 (2)　f が上に凸, 0<a<1　⇒　f^a も上に凸。 (3)　f が上に凸, a<0　　⇒　f^a は下に凸。 (略証) 　f が上に凸　⇔　f " >0, 　f が下に凸　⇔　f " <0, 　f(x)^a = g(x) とおくと 　g ' = a･f^(a-1)f ', 　g " = a(a-1)f^(a-2){f '}^2 + a･f^(a-1)･f ", 779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/02(金) 14:51:44.63 ] >>778 の訂正 (略証) 　f が下に凸　⇔　f " >0, 　f が上に凸　⇔　f " <0, 780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/02(金) 21:23:27.67 ] >>763 (1)　>>776 ・三角不等式　|b+c| + |a+b| ≧ |c-a| を使って (左辺) = {a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca} + {a^4 +b^4 +c^4 -(ab)^2 -(bc)^2 -(ca)^2} 　　= (1/2){(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2} + (1/2){(a^2 -b^2)^2 +(b^2 -c^2)^2 +(c^2 -a^2)^2} 　　= (1/4){(a-b)^2 +(b^2 -c^2)^2} + (1/4){(b-c)^2 +(a^2 -b^2)^2} + cyclic 　　≧(1/2){|a-b||b^2 -c^2| + |b-c||a^2 -b^2|} + cyclic　(← 相加･相乗平均) 　　= (1/2)|a-b||b-c|(|b+c|+|a+b|) + cyclic 　　≧(1/2)|a-b||b-c||c-a| + cyclic　　(← △不等式) 　　= (3/2)|�處, ・あるいは 　�� = (a-b)(b-c)(c-a) = (1/3){(c-a)+(c-b)}(a^2 -b^2) + cyclic, から 　(左辺) - (3/2)|�處 = (1/4)(c-a)^2 + (1/4)(c-b)^2 + (1/2)(a^2 -b^2)^2 ±(1/2){(c-a)+(c-b)}(a^2 -b^2) + cyclic 　　= (1/4){(c-a)±(a^2 -b^2)}^2 + (1/4){(c-b)±(a^2 -b^2)}^2 + cyclic　(複号同順) 　　= (1/8){(2c-a-b)±2(a^2 -b^2)}^2 + (1/8)(a-b)^2 + cyclic 　　≧ 0, 781 名前：Y [2011/12/07(水) 18:11:04.99 ] すげえ 782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/08(木) 23:37:47.56 ] >>701は誰も解けないの？ 783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 00:09:56.40 ] ヒントやろうか？ 784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 00:50:16.48 ] いやいらない 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 06:09:30.37 ] 以下の真ん中あたり www.sugakukobo.com/ 問題 www.sugakukobo.com/pdf/SuuSemi_1.pdf 解説 www.sugakukobo.com/pdf/SuuSemi_2.pdf ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ 786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 06:12:53.86 ] >>783 さっさとよこせ！でございます 787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 14:19:18.49 ] Putnam Competition, 1999 B-4 788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 23:36:44.27 ] 獲得金メダル！ 国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年 　 　www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1113... 嫁！ ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ 789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 05:07:17.81 ] x、y、z≧0に対して、 x^4・y + y^4・z + z^4・x ≧ x^2・y^2・z + y^2・z^2・x + z^2・x^2・y ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ 790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 17:07:44.95 ] >>788 www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11132-3/ A5／192ページ／2011年11月25日 定価2730円 数学オリンピック（JMO・IMO）出場者自身による，類例のない数学オリンピック問題の解説書。 単なる「問題と解答」にとどまらず，知っておきたい知識や実際の試験での考え方，答案の組み立て方などにも踏み込んで高い実践力を養成する。 >>789 相加･相乗平均より 　(6x^4･y + 5y^4･z + 2z^4･x)/(6+5+2) ≧ x^2･y^2･z, 循環的にたす。 ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ 791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 17:31:36.86 ] >>788 > 獲得金メダル！ 国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年 > 　 　www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11132-3/ ■Muirheadの不等式■ x、y、z >0 とする 　p_1 ≧ q_1 　p_1 + p_2 ≧ q_1 + q_2 　p_1 + p_2 + p_3 ＝ q_1 + q_2 + q_3 のとき、(i、j、k) は (1、2、3) の並び替えとして 　Σx^(p_i)・y^(p_j)・z^(p_k) ≧ Σx^(q_i)・y^(q_j)・z^(q_k) （P.10より） Muirheadの不等式を用いて不等式を照明することを Bunching といいます （日本選手の間でも2003年頃から普及しはじめ、「バンチ」と呼ぶ人が多いです） 　　　 ＿＿＿　　　なんで Bunching なのか小一時間問い詰めたい 　　.／　　≧　＼　　ああ問い詰めたいね 　　|:::: 　＼ .／　|　　　別にﾑｯﾊｧ-でもいいじゃんかと！ 　　|::::: (●　(● | 　　ヽ::::... .∀....ノ ／　　ﾁﾝ　☆ 　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆ 　|＼￣￣￣￣旦￣＼ 　|　|￣￣￣￣￣￣￣| 　＼|　　愛媛みかん　| 　　 ￣￣￣￣￣￣￣ 792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 19:40:28.18 ] >>791 Bunchin さんは63歳になられました.... ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A1%82%E6%96%87%E7%8F%8D 793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 22:21:58.20 ] >>792 「ねこやなぎ」の由来は？ www.youtube.com/watch?v=PYHozLh3QyA 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/11(日) 06:20:05.34 ] Bunchin師匠の独演会 www.youtube.com/watch?v=aW5DJHMrrcA 795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/11(日) 07:08:35.73 ] ( ﾟ∀ﾟ) 荒らすなYO！ 796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/11(日) 21:06:29.75 ] >>791 　p_1 ≧ p_2 ≧ p_3, 　q_1 ≧ q_2 ≧ q_3, とするんでつか？　 　（ｐ）ゝ（ｑ） と書き、ｐはｑの優数列である（ｐ majorizes ｑ）という。 参考文献[3] p.125 (1987.10) 797 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/12(月) 17:25:05.25 ] a, b, c>0 with abc=1. For f(a, b, c)=a+b^{20}+c^{11}, f(a, b, c)+f(b, c, a)+f(c, a, b)≦1 798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/12(月) 21:23:27.28 ] >>782 問題自体に不備がある悪寒 799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/12(月) 21:51:50.20 ] 反例を探したほうがいいかもな 800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/12(月) 23:44:50.54 ] >>789 両辺を xyz で割ると 　x^3 /z + y^3 /x + z^3 /y ≧ xy + yz + zx, となる。これはコーシー 　(x^3 /z + y^3 /x + z^3 /y)(xz+yx+zy) ≧ (x^2 + y^2 + z^2)^2 ≧ (xy+yz+zx)^2, より明らか。（冬） 　casphy - 高校数学 - 不等式 - 735 801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/13(火) 09:19:04.81 ] >>789 チェビシェフによる。 　Σ(乱順序積) ≧ Σ(逆順序積) から 　x^3 /z + y^3 /x + z^3 /y ≧ x^3 /x + y^3 /y + z^3 /z 　　　= x^2 + y^2 + z^2 ≧ xy + yz + zx, または 　xy=Z, yz=X, zx=Y とおいて 　Σ(同順序積) ≧ Σ(乱順序積) より 　x^3 /z + y^3 /x + z^3 /y = YZZ/XX + ZXX/YY + XYY/ZZ 　　≧ YZZ/ZZ + ZXX/XX + XYY/YY = Y + Z + X = zx + xy + yz, 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/15(木) 15:04:08.16 ] モローの不等式age！ 　 _ 　∩ (　ﾟ∀ﾟ)彡　モロー！ モロー！ 　⊂彡 803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/15(木) 15:12:21.25 ] 　　　　　　　　　　　おっぱい！ 　　　　　　　おっぱい！　おっぱい！ 　　　　おっぱい　おっぱい！　おっぱい！ 　　おっぱい！　∩　　　∩　ﾉ)　　　おっぱい！ 　おっぱい！　　川　∩ 川彡'三つ　　おっぱい！ おっぱい！　⊂ミ∩､⊂ミ∩彡⊃　　　　おっぱい！ おっぱい！⊂三ミ(　ﾟ∀ﾟ)彡三彡三⊃　おっぱい！ おっぱい！　⊂彡川⊂彡川ミ⊃　　　　おっぱい！ おっぱい！⊂彡川∪⊃ Ｕ川彡⊃　　　おっぱい！ 　おっぱい！　(ノ ∪　　川　∪ミ)　　おっぱい！ 　　おっぱい！　　　　　 ∪ 　　　　おっぱい！ 　　　　おっぱい！　おっぱい！　おっぱい！ 　　　　　　　　おっぱい！　おっぱい！ 　　　　　　　　　　　　おっぱい！ 804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/15(木) 21:42:40.44 ] a_n = (1 + 1/n)^n b_n = (1 + 1/n)^(n+1) e/(2n+2) < e - a_n < e/(2n+1) < b_n - e < e/(2n) 　 _ 　∩ (　ﾟ∀ﾟ)彡　モロー！ モロー！ 　⊂彡 805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/15(木) 23:57:48.12 ] 数検スレより 676 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2011/12/15(木) 22:38:11.63 >>675 要は a_n=(1 +1/n)^n b_n=(1 +1/n)^(n+1) から、 2=a_1<a_2<…<a_n<…<b_n<…<b_2<b_1=4 の相加相乗を使った証明。 数検1級（H23/4)の問題 『(1 +1/n)^(n +1/2) > e　を証明せよ』 とテイラー展開を使った模範解答。 別解として、積分（中点公式）を使った解法 さらに、出題として、 　台形公式を適用した場合、eに対するどのような関係式となるか 発展課題として、 モローの不等式の証明 『e/(2n+2)＜e - a_n < e/(2n+1) < b_n - e < e/(2n)』 　 _ 　∩ (　ﾟ∀ﾟ)彡　モロー！ モロー！ 　⊂彡 806 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/16(金) 09:22:44.68 ] 797>>Sorry, the correct versio is here. a, b, c>0 with abc=1. For f(a, b, c)=a+b^{20}+c^{11}, 1/f(a, b, c)+1/f(b, c, a)+1/f(c, a, b)≦1. 807 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/16(金) 14:16:29.16 ] >>701 はPutnam Competitionの1999年の問題の条件の一部が抜け落ちたもの 元の問題ではfはC^3級になってる 808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/16(金) 15:47:23.94 ] >>807 模範解答はないのですか？ 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/16(金) 18:57:34.40 ] 聞く前に探せ！ 810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/16(金) 22:38:36.36 ] >>805 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1295154182/66-67 811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/17(土) 01:07:55.84 ] >>805 　(1 +1/n)^(n +1/2) > e も二項展開でOK kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1295154182/68-69 812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/17(土) 17:02:28.96 ] >>805 うちの田舎町では売っていないんだけど、相加相乗の証明を教えてちょ 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/17(土) 17:14:52.36 ] >>812 a[n-1]/a[n] =(n^2/(n^2-1))^(n-1)*n/(n+1) <(((n-1)*(n^2/(n^2-1))+n/(n+1))/n)^n =1 ∴a[n-1]<a[n] b[n]も同様 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/17(土) 21:11:12.61 ] にゃるほど、さんくす 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/18(日) 03:57:07.52 ] >>813 =(n^2/(n^2-1))^(n-1)*n/(n+1) <(((n-1)*(n^2/(n^2-1))+n/(n+1))/n)^n これがよくわかりません 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/18(日) 10:35:34.65 ] >>815 相加相乗 817 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/18(日) 10:46:04.97 ] そうか！そうじょうか！ 818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/18(日) 20:53:38.40 ] >>812　>>815 {n/(n-1), n/(n-1), ……, n/(n-1),　1} 　　　　 (n-1)個　　　　　　　　　1個 の相乗･相加平均で 　{n/(n-1)}^(n-1) < {(n+1)/n}^n, ∴　a[n-1] < a[n], 819 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/19(月) 06:39:23.97 ] ちょうど1になるのか。相加相乗を使ってくださいといわんばかりだな。 820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/19(月) 11:54:03.82 ] >>805 > さらに、出題として、 > 　台形公式を適用した場合、eに対するどのような関係式となるか ∫[a,b] f(x)dx < (b-a)(f(a)+f(b))/2 からeに関する何が得られるか謎でござるよ、ﾆﾝﾆﾝ 821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/20(火) 15:36:42.61 ] >>2の[4]を本屋で見かけたけどページ数の割に高かったから買うのを躊躇してしまった・・・ こういう感じの基本的な不等式をしっかりと扱った本って他にある？ 洋書でもいいんで教えてください 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/20(火) 20:17:44.59 ] >>821 本題をケチるなど言語道断！ 823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/20(火) 20:18:35.64 ] Problem372にﾊｧﾊｧ… www.math.ust.hk/excalibur/v16_n2.pdf ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/20(火) 20:46:00.62 ] eに関する不等式が出てきた今なら出せる ( ﾟ∀ﾟ)つ lim[n→∞] { (n+1)^(n+1) / n^n - n^n / (n-1)^(n-1) } = 825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/20(火) 22:34:11.62 ] >>823 Problem 2. 　Given real numbers x,y,z such that x+y+z=0, show that 　x(x+2)/(2x^2 +1) + y(y+1)/(2y^2 +1) + z(z+2)/(2z^2 +1) ≧ 0, 　When does equality hold ? Problem 372. For all a,b,c>0 and abc=1, prove that 　1/{a(a+1)+ab(ab+1)} + 1/{b(b+1)+bc(bc+1)} + 1/{c(c+1)+ca(ca+1)} ≧ 3/4. 826 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/20(火) 22:55:55.48 ] Problem 5 YOSHIO > TETSUYA 827 名前：猫は共著のみ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/12/20(火) 22:57:00.38 ] You need a proof. --neko-- 828 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/20(火) 22:58:03.53 ] 前科を比べたら哲也の方が上や 829 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/21(水) 00:33:42.48 ] そうか？ 830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 03:02:29.47 ] >>825 Problem 2. 通分して 　(左辺)･(2x^2 +1)(2y^2 +1)(2z^2 +1) 　　= (2xyz +2xy +x+y)^2 + (2xyz +2yz +y+z)^2 + (2xyz +2zx +z+x)^2 -(x+y+z)(8xyz+x+y+z-2) 　　= (2xyz +2xy +x+y)^2 + (2xyz +2yz +y+z)^2 + (2xyz +2zx +z+x)^2　　(← 題意) 　　≧ 0, 　等号成立は (0,0,0)　(-1/2,-1/2,1) etc. のとき。 831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 03:58:42.26 ] >>824 通分して、(1 + 1/(n-1))^(n-1)を括り出したまではいいが、その後が進マンボー 　　　 　 　 　 　 　 　 　 /^i 　　　　　　　　　　　　　/:::::| 　　　　　　　　　 ＿＿/::::::::| 　 　 　 　 ,. ‐' ´::::::::::::::::::::::::::ヽ:.､ 　　　, ‐'´:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::ヽ:＼ .　　（:::(ｏ):::::::／i:::::::::::::::::::::::::::::::::i::::::i 　　 ヽ　　　　￣　::::::::::::::::::::::::::::::|::::::l 進マンボー 　　　 ＼　　　　　　　　::::::::::::::::::ｉ::::::i 　　　　　`‐ ､　　　　　　　　::::::/::／ 　　　 　 　 　 ｀ ー-- ､.......::／ '´ 　　　　　　　　 　 　 　 i:::::::| 　 　 　 　 　 　 　 　 　 i:::::::! 　　　　　　　　　　　　　 ヽ:_| 832 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/21(水) 05:37:53.01 ] かわゆす 833 名前：猫の育て方 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/12/21(水) 10:04:54.39 ] その魚は実は寿司ネタとして喰えるのや。 猫 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 11:50:38.85 ] A(4)は |2q 1| |1 3q| じゃないかと想像がつくやろ ほしたらA(5)=4q A(4)-2q がどうなるかはピンと来てもおかしくないやろ それにA(n)はちゃあんとn-2次の行列式で表せるわい 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 11:52:23.12 ] あかん誤爆したわ 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 15:26:06.45 ] >>387 > (3)　(a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2) > 　を 3つの対称式の平方和で表わせ。 >>389 > (a^2 + p^2)(b^2 + q^2)(c^2 +r^2) = (abc-aqr-pbr-pqc)^2 + (pbc+aqc+abr-pqr)^2, > だと２つになるし･････ >>390 > 　p=q=r=√2 を入れて > 　{abc-2(a+b+c)}^2 + (bc+ca+ab-2)^2 + (bc+ca+ab-2)^2, 390が分かりませぬ ('A`) p=q=r=√2 を入れたら、 {abc-2(a+b+c)}^2 + (bc+ca+ab-2√2)^2 で止まって進マンボー！ 837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 15:28:32.65 ] ごめん、分かった 838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 23:19:52.06 ] >>804-805 　{2n/(2n+1)}e < a_n < {(2n+1)/(2n+2)}e, 　{(2n+2)/(2n+1)}e < b_n < {(2n+1)/2n}e, は同値 左側 　>>811 と相加相乗平均より 　{2√(n(n+1))／(2n+1)}e < e < g_n, 右側 　(1 - 1/k^2)^(k+1) > 1 -(k+1)/k^2 = (k^2 -k-1)/k^2,　(下に凸) 　a[k]/a[k-1] = (k+1)^k･(k-1)^(k-1)／k^(2k-1) > {2k/(2k-1)}･{(2k+1)/(2k+2)}, k = n+1〜∞ について掛けて 　e / a[n] > (2n+2)/(2n+1), 　a[n] < {(2n+1)/(2n+2)}e, 839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/22(木) 00:35:36.85 ] >>804-805 　g_n = √(a_n･b_n) とおくと >>838 より 　e < g_n < {(2n+1)/2√(n(n+1))}e < {1 + 1/(8n^2)}e, >>824 　(与式) = √(n(n+1))･g_n - √((n-1)n)･g_(n-1) 　　　　= {√(n(n+1)) - √((n-1)n)}･e + O(1/n) 　　　　= 2n/{√(n(n+1)) + √((n-1)n)}･e + O(1/n) 　　　　= e + O(1/n) 　　　　→ e,　(n→∞) 840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/22(木) 23:16:14.96 ] >>838 より 　e < g_n < {(2n+1)/2√(n(n+1))}e < {1 + 1/(8n(n+1))}e, でござるよ。 もっとも、マクローリンを使えば一発だが... 　log(g_n) = (n + 1/2)log(1 + 1/n) 　　　= (n + 1/2){1/n - 1/(2n^2) +1/(3n^3) - …} 　　　= 1 + 1/(12n^2) -1/(12n^3) + 3/(40n^4) - … 　　　< 1 + 1/[12n(n+1)] - 1/[288(n^2)(n+1)^2] + … ∴　e < g_n < {1 + 1/[12n(n+1)]}e, 841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 12:32:28.53 ] >>840 　g_n = {1 + δ - (7/10)δ^2 + 1.0237δ^3 - …}e, ここに、δ=1/[12n(n+1)], 842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 13:34:13.89 ] >>824 lim[n→∞] { (n+1)^(n+1) / n^n - n^n / (n-1)^(n-1) } = lim[n→∞] (1 + 1/(n-1))^(n-1) * { (2 + 2/n)*(1 - 1/(n^2))^(n-1) - 1/n Σ[k=1 to n] (1 - 1/(n^2))^(k-1) } = e(2*1-1) = e (1 - 1/(n^2))^(n-1) = 1/{ (1 + 1/(n^2-1))^(n^2-1) }^(1/(n+1)) → 1/e^0 =1 1/n Σ[k=1 to n] (1 - 1/(n^2))^(k-1) → 1 になるのは、はさみうちナリよキテレツ！ 　　　　　 ／/ 　　　　／　/＿＿ 　　　 / 　／　lim ＼　　 ﾊﾟｶｯ！ 　　　/.∩|::::　＼ .／ | 　　 /　| ||::::(●　(●.|_　　呼んだ？ 　　/／| |ヽ::::....ワ....ノ／ 　　"￣￣￣￣￣￣" 843 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 17:31:57.89 ] >>824 F(x)=(x+1)^(x+1)/x^x　と置くと　(n+1)^(n+1)/n^n-n^n/(n-1)^(n-1)=F(n)-F(n-1) f(x)=F'(x)={(x+1)^(x+1)/x^x}*log(1+1/x)　とすれば　F(n)-F(n-1)=∫[n-1,n]f(x)dx a(x)=(1+1/x)^x　,b(x)=(1+1/x)^(x+1)　と置くと　f(x)=a(x)*log(b(x))=b(x)*log(a(x)) x>0のときa(x)は単調増加、b(x)は単調減少で、ともにx→∞でeに収束するので a(x)<e<b(x)より、a(x)*log(e)<f(x)<b(x)*log(e)　すなわち　a(x)<f(x)<b(x) 1<n-1≦x≦nのとき　a(n-1)<f(x)<b(n-1)　なので ∫[n-1,n]a(n-1)dx<∫[n-1,n]f(x)dx<∫[n-1,n]b(n-1)dx {1+1/(n-1)}^(n-1)<(n+1)^(n+1)/n^n-n^n/(n-1)^(n-1)<{1+1/(n-1)}^n 844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 19:39:19.09 ] (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(p^2 + q^2 + r^2 + s^2) を四平方の和で表せ 　　　 ＿＿＿ 　　.／　 ≧　 ＼　　　上のほうで平方和に変形するのがあったような希ガス！ 　　|:::: 　＼ .／　|　ﾊｧﾊｧ 　　|::::: (●　(● |　　　　　　　　　ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ 　　ヽ::::... .∀....ノ ／　　ﾁﾝ　☆ 　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆ 　|＼￣￣￣￣旦￣＼ 　|　|￣￣￣￣￣￣￣| 　＼|　　愛媛みかん　| 　　 ￣￣￣￣￣￣￣ 845 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 20:01:06.57 ] >>841 　g_n = (1 +1/n)^(n +1/2)　より 　log(g_n) = (n +1/2)･log(1 +1/n) 　　　= 1 + Σ[k=1,∞) 1／{(2k+1)(2n+1)^k} 　　　= 1 + 1/{12(n +1/2)^2} + 1/{80(n +1/2)^4} + 1/{448(n +1/2)^6} + … 　　　= 1 +δ -(6/5)δ^2 +(72/35)δ^3 -(144/35)δ^4 + … よって 　g_n = {1 + δ -(7/10)δ^2 +(43/42)δ^3 -(7961/4200)δ^4 + …}e, ここに、δ=1/[12n(n+1)], 846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 20:25:17.98 ] >>844 オイラに聞き給え、オイラに。オイラこそ汝らすべての四なれば… en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_four-square_identity mathworld.wolfram.com/EulerFour-SquareIdentity.html sites.google.com/site/tpiezas/005b/ 847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 20:47:22.19 ] 自演自重汁 848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 20:52:43.00 ] (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(p^2 + q^2 + r^2 + s^2) を七平方の和で表せ >>842 呼ばない... 849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 01:26:35.21 ] >>846 (；´д｀) ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ… 850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 01:50:06.06 ] >>848 どうやって７つに？ >>844 行列式で証明するのが線形代数の問題集に載っていたような 851 名前：( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ mailto:sage [2011/12/24(土) 02:49:48.95 ] A548 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201112&t=mat&l=en A545、546 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201112&t=mat&l=en B4376、4378 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201109&t=mat&l=en A536、B4364、B4370、B4371 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201105&t=mat&l=en A534、B4355 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201104&t=mat&l=en B4342 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201103&t=mat&l=en B4340 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201102&t=mat&l=en B4321 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201012&t=mat&l=en B4303、B4306、B4310 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201011&t=mat&l=en B4296、B4297 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201010&t=mat&l=en B4291 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201009&t=mat&l=en 852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 03:11:41.99 ] >>824　別解(?) 　(n+1)^(n+1)／(n^n) - (n^n)／(n-1)^(n-1) 　= {1 + 1/(n-1)}^n * {(n+1)(1 - 1/n^2)^n - (n-1)} 　= b[n-1] * {(n+1)(1 - 1/n^2)^n -(n-1)}, ここで↓を使う。 〔補題〕 　(n-1)/n < (1 - 1/n^2)^n < n/(n+1), (略証) (1+x)^n > 1 + nx （下に凸）より 　(1 - 1/n^2)^n > 1 - 1/n = (n-1)/n, 　{1 + 1/(n^2 -1)}^n > 1 + n/(n^2 -1) > (n+1)/n, 853 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 04:10:10.46 ] >>850 コーシーの証明に出て来る「ラグランジュの恒等式」 >>1 まとめWiki → まとめページ → よく使う不等式 → コーシーの不等式 → 証明 mathworld.wolfram.com/LagrangesIdentity.html 854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 07:32:59.66 ] Problem A. A.534. 　三角形の３辺が a,b and c で、対応する中線（medians）の長さはそれぞれ sa, sb and sc とする。 　このとき次を示せ。　sa･sb/(a^2+b^2) + sb･sc/(b^2+c^2) + sc･sa/(c^2+a^2) ≧ 9/8. A.536. 　正の実数 a,b,c,d が a+b+c+d = abc+abd+acd+bcd を満たす。次を証せ。　>>477 >>507 　　(a+b)(c+d) + (a+d)(b+c) ≧ 4√{(1+ac)(1+bd)}. A.545. 　Prove that whenever a>b>1 are integers such that a+b divides ab+1 and a+b and a-b divides ab-1, then a < b√3. A.546. 　次を示せ。 　1/{sin[π/(4k+2)]}^2 + 1/{sin[3π/(4k+2)]}^2 + …… + 1/{sin[(2k-1)π/(4k+2)]}^2 = 2k(k+1), 　（k=3:　B.4371.を参照。) A.548. 　Prove that 　　Π[i=1,n] {1 + 1/(x1+…+xi)} + Π[j=1,n] {1 + 1/(xi+…+xn)} ≦ n+1, holds for arbitrary real numbers x1,……,xn ≧1. 855 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 07:34:53.93 ] B.4291. 　すべての正数 a,b,c について、a^b･b^c･c^a ≦ a^a･b^b･c^c, B.4296. 　m_a、m_b は 三角形の辺a、辺b から見た高さを表わす。 　a>b　ならば　a^2010 + (m_a)^2010 ≧ b^2010 + (m_b)^2010　を示せ。 B.4297. 　すべての実数x,yに対して　-1/2 ≦ (x+y)(1-xy)/{(1+x^2)(1+y^2)} ≦ 1/2　を証せ。 B.4303. 　長方形（正方形でない）をその対角線に沿って２つに折る。 　結果として生じる５角形の周長は、元の長方形の周長より短いことを証せ。 B.4306. 　方程式　16^(x^2 +y) + 16^(y^2 +x) = 1　を解け。 B.4310. 　a0,a1,…,an は正の数で、a(k+1) - ak ≧ 1 （k=0,1,…,n-1）とする。次を示せ。 　1 + (1/a0){1 +1/(a1-a0)}…{1 +1/(an-a0)} ≦ (1+1/a0)(1+1/a1)…(1+1/an), B.4321. 　どんな三角形でも、次の不等式が成り立つことを証せ。 　　b／sin(γ + α/3) + c／sin(β + α/3) > (2/3)a／sin(α/3), 856 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 07:36:05.65 ] B.4340. 　すべての正数 a1,a2,…,an に対して次の不等式が成り立つことを証せ。 　{a1/(a2+…+an)}^2 + {a2/(a3+･･･+a1)}^2 + …… + {an/(a1+…+a(n-1))}^2 ≧ n/(n-1)^2, B.4343. 　a,b は正の数を表わし、a^3 + b^3 =1 とする。a^2 +ab +b^2 -a-b >0 を示せ。 B.4355. 　正数 x,y,z の積が1ならば、次式を証せ。 　　(z^3 +y^3)/(x^2 +xy +y^2) + (x^3 +y^3)/(y^2 +yz +z^2) + (y^3 +z^3)/(z^2 +zx +z^2) ≧ 2, B.4370. 　頂点A,B,C,の対辺の長さを a,b,c とする。BC=a, CA=b, AB=c, 内心をIとおき、AI=u, BI=v, CI=w とおく。このとき次を示せ。 　(a+b+c)(1/u+1/v+1/w) ≦ 3(a/u + b/v + c/w),　　　　>>477 >>480 B.4371. 　1/{sin(π/14)}^2 + 1/{sin(3π/14)}^2 + 1/{sin(5π/14)}^2 = 24, を示せ。（A.536を参照。）　　　　　　　　　　　　　　　　　>>492 B.4376. 　x,y は負でない数ならば、次式を証せ。 　x^4 + y^3 + x^2 + y + 1 > (9/2)xy, B.4378. 　pは正の素数とする。 　方程式 x^3･y^3 + x^3･y^2 - x^2･y^3 + x^2･y^2 -x +y = p+2 を解け。 857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 08:31:18.57 ] B.4297. 　(1+x^2)(1+y^2) = (x+y)^2 + (1-xy)^2 ≧ 2|(x+y)(1-xy)|, B.4306. 　x = y = -1/2, B.4343. 　a^2 +ab +b^2 -a -b = (a^3 + b^3)/(a+b) +2ab -a -b 　　　= {1/(a+b) +(a+b) -2} + 2(1-a)(1-b) > 0, B.4376. 　相加・相乗平均で。 　x^4 + x^2 + 1 ≧ 3x^2, 　y^3 + y ≧ 2y^2, 　(左辺) ≧ 3x^2 + 2y^2 ≧ (2√6)xy > (9/2)xy, 858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 08:57:05.85 ] >>853 成程そのまんまでしたね （恥… 　| 　8 ＜ｻﾝｸｽ 　'` 　￣ 859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 16:06:27.63 ] B4303 三角不等式より。 長方形をABCDとし BCで折るとする。AD,BCの交点をEとする AB+BC+CD+DA =AB+CD+AE+CE+(BE+DE) ＞AB+CD+AE+CE+BC 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 16:52:29.17 ] B.4355. 　チェビシェフより 　(左辺) ≧ (x^3 +y^3)/(x^2 +xy+y^2) + (y^3 +z^3)/(y^2 +yz+z^2) + (z^3 +x^3)/(z^2 +zx+z^2) 　　　≧ (x+y)/3 + (y+z)/3 + (z+x)/3　　　(← *) 　　　= 2{(x+y+z)/3}, 以下、相加･相乗平均で簡単。 *)　x^2 +xy +y^2 = 3(x^2 -xy +y^2) -2(x-y)^2 ≦ 3(x^2 -xy +y^2), 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 22:36:08.92 ] B.4310. nについての帰納法による。 n=0 のときは等号成立。 n≧1 のとき 　a_k - a_0 ≧ k,　　(← 題意) 左辺を A_n とおくと、 　A_n = 1 + (1/a0)Π[k=1,n] {1 + 1/(a_k - a_0)} 　　　≦ 1 + (1/a0)Π[k=1,n] (1 + 1/k) 　　　=　1 + (n+1)/a0, よって 　A_{n+1} = 1 + (A_n - 1){1 + 1/(a(n+1) - a0)} 　　　= A_n･(1 + 1/a{n+1}) - a0{a_(n+1)/a0 - A_n}/{a(n+1)･(a(n+1) - a0)} 　　　≦ A_n･(1 + 1/a{n+1}) - a0{1 + (n+1)/a0 - A_n}/{a(n+1)･(a(n+1) - a0)} 　　　≦ A_n･(1 + 1/a{n+1}), 862 名前：859 mailto:sage [2011/12/25(日) 11:06:38.95 ] BCで折るんじゃなくてBDで折るんだった;;; 863 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/26(月) 16:31:30.91 ] B.4297 ↑a=(1,x),↑b=(1,-y)とし ↑a,↑bのなす角度をθとすると (x+y)(1-xy)/{(1+x^2)(1+y^2)}=sinθ･cosθ 864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/26(月) 16:45:47.03 ] >>863 \vec{a}・\vec{b} / |\vec{a}|・|\vec{b}| = cosθで、あとの奴らは何でござる蟹？ 865 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/26(月) 21:43:19.42 ] Letx, y, z>0 with xyz=1. Prove that x^3+y^3+z^3+6≧(x+y+z)^2 866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/26(月) 21:56:48.42 ] >>864 　x = tanξ,　y = tanη とおくと、 　θ = ξ + η, 　tanθ = tan(ξ+η) = (x+y)/(1-xy),　　(加法公式) そこで 　cosθ = cosξ･cosη - sinξ･sinη 　　　　= (1-xy)･cosξ･cosη, 　sinθ = sinξ･cosη + cosξ･sinη 　　　　= (x+y)･cosξ･cosη, を辺々掛けて右辺に 　(cosξ)^2 = 1/{1 + (tanξ)^2} = 1/(1+x^2), 　(cosη)^2 = 1/{1 + (tanη)^2} = 1/(1+y^2), を使ったでご猿。 867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/26(月) 22:16:26.36 ] >>866 なんと！そんなやり方が… 　　＿＿＿　 .／　　≧　＼　 |:::: 　＼ .／　|　 |::::: (●　(● |　＜ ナルホドナー！ ヽ::::... .ワ.....ノ 　　( つ旦O　　　 ,.-、 　　 ,.-、 　　,.-、 　　と＿)_) 　　　(,,■)　　(,,■)　　(,,■) 868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/27(火) 00:09:48.53 ] >865 僕の考えてたこととは違ってたりして勉強になりますた。 ありがとうございます。m(__)m 863の者ですが、 A(1,x),B(1,-y)とすると x+y=2△OAB (Oは原点) となります。 2△OAB=|↑a||↑b|sinθ ってことを考えてました。 869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/27(火) 04:40:53.32 ] 蟹、猿、おにぎり…、なるほどな 870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/28(水) 23:56:03.00 ] >>498 0 < a,b ≦ c,d としても一般性を失わない。 題意により ab ≦ 1 ≦ cd, また、a+b+c+d ≧ 2√(ab) +c+d ≧ 2√(ab) + 2/√(ab) ≡ t とおくと t ≧ 4, 左辺を g(a,b,c,d) とおくと 　g(a,b,c,d) - g(√(ab), √(ab),c,d) 　=　(√a - √b)^2･{1/ab - 9/[(a+b+c+d)(2√ab +c +d)]} 　≧ (√a - √b)^2･{1/ab - 9/(t^2)} 　≧ (√a - √b)^2･(1 - 9/16) ≧ 0,　　　　>>508 ∴　a=b の場合を考えれば十分。以下、数セミ（2012/01）と同様。 　s ≡ a+b+c+d ≧ 2a + 2√(cd) = 2a + 2/a ≡ t とおくと t≧4, (左辺) = 2/a + (c+d)/cd + 9/s 　　　= 2/a + (a^2)(s-2a) + 9/s 　　　= 2/a -2a^3 + (a^2･s + 9/s) ≡ f(s), sの変域は [t,∞) で、極小となるのは s = 3/a のとき。 (i)　a ≧ 1/√2 のとき、t≧3/a, 　f(s) ≦ f(t) = t + 9/t 　　　= 25/4 + (t-4)(t - 9/4)/t 　　　≧ 25/4, (ii) a ≦ 1/√2 のとき、t≦3/a, 　f(s) ≧ f(3/a) = 2/a +6a -2a^3　　(aについて単調減少) 　　　= 9/√2 + (1/√2 - a) + (2/a)(1/√2 - a)^2･{2 -(√2)a -a^2}, 　　　≧ 9/√2 > 25/4, 871 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/29(木) 18:30:34.49 ] > 789 (790, 800, 801, 次の命題の(2)のn=2の場合と, (1)でm=n=1の場合を合わせると得られます. 命題. m, n は非負整数, r は2以上の整数, x,y,z≧0 とするとき, 以下の不等式が成立する. (1) x^(m+n) + y^(m+n) + z^(m+n) ≧ x^m y^n + y^m z^n + z^m x^n (2) x^(n+2) y + y^(n+2) z + z^(n+2) x ≧ xyz(x^n + y^n + z^n) (3) x^(n+r) y^r + y^(n+r) z^r + z^(n+r) x^r ≧ xyz(x^(n+r-2) y^(r-1) + y^(n+r-2) z^(r-1) + z^(n+r2) x^(r-1)) 証明は, 並べ替え不等式や, 重み付きAM-GM不等式を使うだけです. 斉次交代不等式は, 斉次対称不等式と異なり, Muirheadの不等式等が 使えなくて, 時々, 不等式の形が弱くなります. > 770 に3変数3〜5次斉次対称不等式の話を書いたけど, 3変数6〜8次斉次対称不等式についても似たような定理(もっとステートメントが 長い)があって, 大体それで解決できてしまいますが, 5次以上の3変数斉次交代不等式のほうは, あまり強力な一般論がありません. 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/29(木) 19:47:35.43 ] ｷｬｽﾌｨ高校数学板 不等式ｽﾚより 743 じゅー [2011/12/29(木) 16:01:06] 出題です�� 実数 a,b,c,d,e,f が�� ae + bf + cd + af + bd + ce =0�� ad + be + cf + de + ef + fd = 0�� a^2 + b^2 + c^2 = 1�� d^2 + e^2 + f^2 + 2ab + 2bc + 2ca = 2�� を満たすとき�� |ae + bf + cd - af - bd - ce|�� の最大値を求めて下さい。�� 考え方もよければお願いします。�� 873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/29(木) 19:51:21.65 ] スマホの2ch mateとかゆーので書き込むと 文字化け(？)するのか... 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/30(金) 04:48:34.62 ] >>871 (3) ・並べ替え（チェビシェフ）: Σ(乱順序積) ≧ Σ(逆順序積) より 　x{x^(n+r-1)･y^r} + y{y^(n+r-1)･z^r} + z{z^(n+r-1)･x^r} ≧ {x^(n+r-1)･y^r}z + {y^(n+r-1)･z^r}x + {z^(n+r-1)･x^r}y, ・　x^(n+r)･y^r を{(n^2+nr+r^2) -r-n}個、y^(n+r)･z^r をr個、z^(n+r)･x^r をn個でAM-GM。 875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/30(金) 05:00:25.30 ] >>823 >>825 Problem 372. の Solution を貼っておこう.... 　abc=1 ゆえ、例によって a=z/y, b=x/z, c=y/x とおく。 　(左辺) = y^2／[z(z+y) +x(x+y)] + z^2／[x(x+z) +y(y+z)] + x^2／[y(y+x) +z(z+x)] 　　≧ (x^2 +y^2 +z^2)^2／{y^2･[z(z+y) +x(x+y)] + cyclic}　（← コーシー または 重み付きAM-HM) 　　= (x^2 +y^2 +z^2)^2／{xy(x+y)^2 +yz(y+z)^2 +zx(z+x)^2} 　　= {(1/2)(x^2 -y^2)^2 +3(xy)^2 + cyclic}／{xy(x+y)^2 +cyclic} 　　= 3/4 + {(5/16)(x^2 -y^2)^2 + (3/16)(x-y)^4 + cyclic}／{xy(x+y)^2 +cyclic}, 　　≧ 3/4, *) 　(x^2 -y^2)^2 = (x+y)^2･(x-y)^2 = 4xy(x-y)^2 + (x-y)^4, 　(xy)^2 = (1/4)xy(x+y)^2 -(1/4)xy(x-y)^2, 876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/30(金) 05:24:30.98 ] >>791-794 www.youtube.com/watch?v=k45IJSI_BLA 　Bunchin師匠の独演会 877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/30(金) 06:22:02.22 ] >>823 Problem 377. 　nは正の整数とする。 　i=1,2,･･･,n に対して z_i および w_i は複素数で、次を満たす: 　ε1, ε2,････,εn = ±1 のすべて（2^n とおり）の組合せについて、 　| Σ[i=1,n] εi･z_i | ≦ | Σ[j=1,n] εj･w_j |, が成り立つ。次式を証せ。 　Σ[i=1,n] |z_i|^2 ≦ Σ[j=1,n] |w_j|^2, 878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/31(土) 06:13:08.99 ] >>877 　条件式は (両辺) ≧0 だから、2乗しても成り立つ。すなわち、 　{Σ[i=1,n] εi･zi}{Σ[j=1,n] εj･(zj)~} ≦ {Σ[i=1,n] εi･wi}{Σ[j=1,n] εj･(w_j)~}, Σ[j=1,n] εj･(wj)~}, 　Σ[i=1,n][j=1,n] εi･εj･zi･(zj)~ ≦ Σ[i=1,n][j=1,n] εi･εj･wi･(wj)~, εのすべて(2^nとおり）の組合せについて加えると、 　εi･εj → 2^n　(i=j) 　　　　　→ 0　　(i≠j) 　（±1が同数あるから） となり、i=j だけが残る。よって 　Σ[i=1,n] zi･zi~ ≦ Σ[j=1,n] wj･wj~, 879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/01(日) 04:29:42.89 ] C.1043. (201009) 　f(x) = (x+a)^2 /{(a-b)(a-c)} + (x+b)^2 /{(b-c)(b-a)} + (x+c)^2 /{(c-a)(c-b)}, の値を求めよ。ここに a,b,c は相異なる実数である。 K.266. (201011) 　bd > 0 のとき、(a+c)/(b+d) は a/b と c/d の中間にある。 　bd < 0 のとき、(a+c)/(b+d) は a/b と c/d の外側にある。 880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/01(日) 04:39:55.40 ] 年明け早々 簡単すぎた .... orz (略解) C.1043. 　f(x) ={(c-b)(x+a)^2 + (a-c)(x+b)^2 + (b-a)(x+c)^2} /{(a-b)(b-c)(c-a)} = 1, 　または f(-a) = (b-a)/(b-c) + (c-a)/(c-b) = 1, f(-b) = 1, f(-c) = 1, から。 K.266. 　{(a/b) - (a+c)/(b+d)}{(a+c)/(b+d) - (c/d)} = (ad-bc)^2／{bd(b+d)^2}, B.4306. 相加･相乗平均で 　(左辺) = 16^(x^2 + y) + 16^(y^2 + x) 　　≧ 16^{(x^2 + y + y^2 + x)/2 + 1/4} 　　=　16^{(1/2)(x + 1/2)^2 + (1/2)(y + 1/2)^2} 　　≧ 16^0 　　= 1, 等号条件から x = y = -1/2, B.4340. 　a1 + a2 + ･･･ + an = s とおく。 　φ(x) = {x/(s-x)}^2 = {s/(s-x) - 1}^2　は x<s で下に凸。 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/03(火) 08:06:41.12 ] >>865 　(x+y+z)/3 = A,　(xyz)^(1/3) = G　とおく。　A-G ≧ 0, (左辺) - (右辺) = 9{A^3 + (x-A)(y-A)(z-A)} - 9AAG 　　= 9AA(A-G) + 9(x-A)(y-A)(z-A) 　　= 9AA(A-G) + 9{2A^3 -(xy+yz+zx)A +xyz} 　　= 9AA(A-G)/4 + (9/4)(2A+G)(A-G)^2 + (3/4)F1(x,y,z) 　　≧ 0, ここに 　F1(x,y,z) = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) 　　　　　　= (x+y+z)^3 -4(x+y+z)(xy+yz+zx) + 9xyz ≧ 0,　(Schur) ぬるぽ 882 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/03(火) 20:12:43.06 ] 02-01-0014 安 藤 哲 哉 (千 葉 大 理) ] 3 変数斉次巡回不等式と代数曲面 mathsoc.jp/meeting/shinshu11sept/talklist/talkList_02.pdf#search= これ気にならん？ ('A`)プケラ 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/04(水) 00:09:32.16 ] >>882 ■射影幾何学における２つの定理 www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/666_p3.htm 「代数曲線・代数曲面入門」新装版 −複素代数幾何の源流− 安藤哲哉（著） 出版社：(有)数学書房 (2011/01) 判型: A5判、496頁、 定価: 7350円 ISBN-10: 490334262X ISBN-13: 978-4903342627 www.sugakushobo.co.jp/903342_62_mae.html 日本人初のフィールズ賞受賞者小平邦彦先生をはじめ多くの日本人数学者が貢献した複素代数幾何学への入門書。 定義・命題・定理・証明などの修正、および誤植の訂正をして新装版として出版。 「代数曲線・代数曲面入門」−複素代数幾何の源流− 安藤哲哉（著） 出版社: 白揚社 (2007/02) 判型：A5判、478頁、22cm 定価：7350円 ISBN-10: 4826931077 ISBN-13: 978-4826931076 安藤 哲哉 1959年愛知県瀬戸市生まれ。岐阜県(旧)明智町出身。1982年東京大学理学部数学科卒業。同大学院を経て、1986年千葉大学講師。千葉大学理学部情報・数理学科助教授。理学博士(東京大学)、専門は代数幾何学。(BOOK) 884 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/06(金) 19:22:20.17 ] > 882 その話の内容の2/3は下に書いてあります。 www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ineq.pdf 残りの1/3の内容は、暇を見つけてタイプします。 日本語のメモ程度のものはタイプしてありますが、UPするにはどうも。 885 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine [2012/01/06(金) 19:29:55.16 ] >>884 　お前は、定職に就くのが、先決だろが！！！！！！！！！！ 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/08(日) 05:57:33.72 ] 難しい…、ｺﾞｸﾘ 887 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/10(火) 23:35:14.84 ] 〔補題〕 a,b,c が実数のとき 　|(a-b)(b-c)(c-a)| ≦ {1/(3√6)}{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}^(3/2), 888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 00:36:08.04 ] >>887 (略証) bはaとcの中間にある、としてもよい。 　(a-b)(b-c)(c-a) = �� とおくと 　|�處 ≦ (1/4)(|a-b|+|b-c|)^2 |c-a| = (1/4)|c-a|^3, ところで、 　(c-a)^2 = (1/3){2(a-b)^2 + 2(b-c)^2 - (a-2b+c)^2} + (2/3)(c-a)^2 　　≦ (2/3){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} 　　=　(4/3)(s^2 -3t), なお、a,b,c ≧ 0 のときは 　|�處 ≦ 0.227083346211･s(s^2 -3t), www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/744-745 , 527 　高校数学 - 不等式 889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 22:07:10.38 ] >>887 　�竸2 = {(a-b)(b-c)(c-a)}^2 　　　 = (1/54){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}^3 - (1/27){(2a-b-c)(2b-c-a)(2c-a-b)}^2, 　　　 = (4/27)(s^2 -3t)^3 - (1/27){(3a-s)(3b-s)(3c-s)}^2, 890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 22:28:53.84 ] 889すげっ。 メモメモ...φ(．．) 891 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/15(日) 04:08:40.30 ] >>887-889 　(2a-b-c)/3 = a - s/3 = a ', 　(2b-c-a)/3 = b - s/3 = b ', 　(2c-a-b)/3 = c - s/3 = c ', と置くのがいいらしいヨ casphy - 高校数学 - 不等式 - 749 892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/15(日) 23:37:42.81 ] おもしろいね 893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/15(日) 23:49:34.37 ] 〔補題〕 　a,b,c ≧ 0 　�� = (a-b)(b-c)(c-a), のとき 　|�處 ≦ {(a+b+c)^3 -27abc}/(6√3), casphy - 高校数学 - 不等式 - 748-750 894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/20(金) 14:45:56.52 ] 最近知った不等式と言えば 「小澤の不等式」 ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ mainichi.jp/select/science/news/20120116k0000m040090000c.html 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/21(土) 03:12:10.06 ] >>894 ja.wikipedia.org/wiki/不確定性原理#小澤の不等式 896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/22(日) 17:12:30.47 ] 落ちたのかと思った ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ 897 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/22(日) 22:36:25.33 ] いや落ちてたでしょ 898 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/22(日) 22:56:54.51 ] a<b<c rr2r=2r^3 3^3b^3-27(b^2-r^2)b=27r^2b/6*3^.5=4.5r^2b/3^.5 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/23(月) 23:53:25.33 ] ふたばから x^y+y^x>1 x,y>1を示せ 対数とか取らずに解いて欲しいですね 900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/23(月) 23:54:14.95 ] 既出 901 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/24(火) 01:34:42.06 ] >>899 過去ログを見たまえ 902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/24(火) 01:45:26.56 ] x=y=1/2 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/28(土) 00:35:32.84 ] a、b、c >0 のとき、a^3/(a+b)^2 + b^3/(b+c)^2 + c^3/(c+a)^2 ≧ (a+b+c)/4 さいきん立読み中に見かけた問題だが、既出な伊予柑 ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ 904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/28(土) 00:42:37.07 ] >>899 むしろ対数を取って証明する方法を知りたい さあ、改造手術の時間です！ a、b >0に対して、 a^a + b^b ≧ a^b + b^a > 1 ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ 905 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/28(土) 00:54:02.62 ] >>903 a^3/(a+b)^2≧(2a-b)/4から示す 906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/28(土) 01:40:14.79 ] >>905 どこから出てくるん、その発想 907 名前：名無しさん [2012/01/30(月) 21:15:10.90 ID:AiSkvLuw] >>903 ではでは、次はどんな方法で？ a、b、c >0 のとき、a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a) ≧ (a+b+c)/2 一般化はできますか？ ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ a、b、c >0 のとき、a^(n+1)/(a+b)^n + b^(n+1)/(b+c)^n + c^(n+1)/(c+a)^n ≧ (a+b+c)/？ 908 名前：名無しさん [2012/01/30(月) 21:17:38.49 ID:AiSkvLuw] 専ブラから書き込めなかったので、落ちたのかと思ったぜ… IDが出てるし、何が起こったのだ ('A`)ｳﾞｫｴｧ！ 909 名前：名無しさん [2012/01/30(月) 21:30:41.60 ID:xfpFxcpO] まじだ 910 名前：名無しさん [2012/01/30(月) 21:34:49.65 ID:qQ0NhdK4] >>907 a、b、c >0 のとき、a^(n+1)/(a+b)^n + b^(n+1)/(b+c)^n + c^(n+1)/(c+a)^n ≧ (a+b+c)/2^n 911 名前：名無しさん mailto:sage [2012/01/30(月) 21:44:24.85 ID:???] >>907 a^2/(a+b)≧(3a-b)/4から示す 912 名前：名無しさん mailto:sage [2012/01/30(月) 21:58:49.60 ID:???] >>911 どこから捻り出すのか教えて栗々ﾎﾟﾝﾎﾟﾝ ( ﾟ∀ﾟ)！ 913 名前：名無しさん mailto:sage [2012/01/30(月) 22:01:11.43 ID:???] そのコツが分かれば、a^4/(a+b)^3 + b^4/(b+c)^3 + c^4/(c+a)^3 でも作れる鴨 914 名前：名無しさん mailto:sage [2012/01/30(月) 22:32:37.59 ID:???] a、b、c >0 のとき、a^(n+1)/(a+b)^n + b^(n+1)/(b+c)^n + c^(n+1)/(c+a)^n ≧ (a+b+c)/2^n ( ﾟ∀ﾟ) しゅっび どぅっび〜 915 名前：名無しさん mailto:sage [2012/01/30(月) 22:41:55.32 ID:???] >>912 a^2/(a+b)≧(xa+(1-x)b)/2 から上手くなってくれるように調整 2a^2≧xa^2+ab+(1-x)b^2 (a-b)((2-x)a+(1-x)b)≧0 からx=3/2だとうまくいくなーと 916 名前：名無しさん mailto:sage [2012/01/30(月) 22:52:48.88 ID:???] >>915 ぐぬぬ…、なるほどな〜 そうやって理詰めで作り出すんですね〜 ヽ('A`)ノ

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