- 507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 20:13:45.05 ]
- >>477
[A536.]
a,b,c,d は正の実数で a+b+c+d = abc+bcd+cda+dab のとき 次を示せ。
(a+b)(c+d) + (a+d)(b+c) ≧ 4√{(1+ac)(1+bd)},
(略解)
abcd≧1 のとき
(左辺) = (a+c)(b+d) + 2(ac+bd) ≧ 4√(abcd) + 2(ac+bd) ≧ 2(1+ac) + 2(1+bd) ≧ (右辺),
abcd≦1 のとき、補題により
t = (ab+cd) + (ac+bd) + (ad+bc) ≧ 6,
(左辺) ≧ 6 + (ac+bd) ≧ 4√{2 + (ac+bd)} ≧ 4√(1+ac+bd+abcd) = (右辺),
〔補題〕
a,b,c,d>0 で a+b+c+d = abc+bcd+cda+dab のとき、
(ab+cd) + (ac+bd) + (ad+bc) ≧6,
(略証)
左辺をtとおいて
2{(a+b+c+d)t - 6(abc+bcd+cda+dab)}
= (a+b)(c-d)^2 + (a+c)(b-d)^2 + (a+d)(b-c)^2 + (b+c)(d-a)^2 + (b+d)(c-a)^2 + (c+d)(a-b)^2 ≧ 0,
∴ t ≧ 6,
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