- 1 名前：不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/24(日) 23:56:56 ]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
- 501 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/14(日) 14:11:15.95 ]
- あほ
- 502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/14(日) 14:44:52.56 ]
- >>501
口が悪いな、直したほうがいい
- 503 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/14(日) 17:09:15.69 ]
- >>498 難しくない？
- 504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 01:09:44.14 ]
- >>494 >>497 難しくない。
19 = 3^2 + 3^2 + 1^2
(左辺) - (右辺) = (1/27){3p^2 -3q^2 +r^2 +(7/4)pq -(22/4)qr +(11/4)rp}^2 + (3/16){p(q-r)}^2 + cyclic.
とか
(左辺) - (右辺) = (1/27){3p^2 -3q^2 -r^2 +(113/28)pq -(131/28)qr +(46/28)rp}^2 + (3/16){p(q-r)}^2 + cyclic.
とか
- 505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 01:18:09.31 ]
- なんだ、ただの神か…
- 506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 10:35:43.41 ]
- >>504 の補足
まづ p^4 + q^4 + r^4 の係数を見る。
左辺は1、右辺は 8/27 だから 1 - (8/27) = 19/27,
そこで 19 を３平方の和で表わした。
難しくない。
- 507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 20:13:45.05 ]
- >>477
[A536.]
a,b,c,d は正の実数で a+b+c+d = abc+bcd+cda+dab のとき 次を示せ。
(a+b)(c+d) + (a+d)(b+c) ≧ 4√{(1+ac)(1+bd)},
(略解)
abcd≧1 のとき
(左辺) = (a+c)(b+d) + 2(ac+bd) ≧ 4√(abcd) + 2(ac+bd) ≧ 2(1+ac) + 2(1+bd) ≧ (右辺),
abcd≦1 のとき、補題により
t = (ab+cd) + (ac+bd) + (ad+bc) ≧ 6,
(左辺) ≧ 6 + (ac+bd) ≧ 4√{2 + (ac+bd)} ≧ 4√(1+ac+bd+abcd) = (右辺),
〔補題〕
a,b,c,d>0 で a+b+c+d = abc+bcd+cda+dab のとき、
(ab+cd) + (ac+bd) + (ad+bc) ≧6,
(略証)
左辺をtとおいて
2{(a+b+c+d)t - 6(abc+bcd+cda+dab)}
= (a+b)(c-d)^2 + (a+c)(b-d)^2 + (a+d)(b-c)^2 + (b+c)(d-a)^2 + (b+d)(c-a)^2 + (c+d)(a-b)^2 ≧ 0,
∴ t ≧ 6,
- 508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/16(火) 05:09:19.68 ]
- >>498
左辺を f(a,b,c,d) とおく。
ab<2 のとき
f(a,b,c,d) - f(√(ab), √(ab),c,d)
= (√a - √b)^2･{1/ab - 9/[(a+b+c+d)(2√ab +c +d)]}
≧ (√a - √b)^2･{1/ab - 9/(2√ab +c +d)^2}
≧ (√a - √b)^2･{1/ab - 9/(2√ab +2/√ab)^2}
= (√a - √b)^2･{1/ab - 9ab/(4(ab+1)^2)}
= (√a - √b)^2･(2-ab)(2+5ab)/{4ab(ab+1)^2}
≧ 0,
ここで c+d ≧ 2√cd = 2/√ab を使った。
a≧b≧c≧d とすると cd≦1
(a,b,c,d) が最小値ならば c=d に限る。
∴ bc = bd ≦1,
∴ b=c=d≦1,
∴ (a,b,c,d) = (A^3, 1/A, 1/A, 1/A) ただし A≧1.
となって
f(A^3,1/A,1/A,1/A) ≧ 25/6, (A≧1)
に帰着する。
- 509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/16(火) 05:26:39.15 ]
- >>498
次に
f(A^3,1/A,1/A,1/A) ≧ 25/４, (A≧1)
を示そう。
f(A^3,1/A,1/A,1/A) - 25/4
= 1/A^3 + 3A + 9A/(A^4 +3) - 25/4
= 3(A-1)^2･{A^6 -(1/12)A^5 -(7/6)A^4 -(9/4)A^3 +3A^2 +2A +1}/{A^3(A^4 +3)}
= 3(A-1)^2･g(A)/{A^3(A^4 +3)}
≧ 0,
∵ g(A) = A^6 -(1/12)A^5 -(7/6)A^4 -(9/4)A^3 +3A^2 +2A +1
= {A^3 -(1/24)A^2 -(673/1152)A -(31777/27648)}^2 + 2.56293026A^2 +0.657105936A -0.3209864
= {A^3 -(1/24)A^2 -(673/1152)A -(31777/27648)}^2 + 2.56293026(A-1)^2 +5.782966457A +2.899049797
> 0.
難しくない。>>503
- 510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/16(火) 05:33:13.51 ]
- >>508-509
の最後の式の右辺は間違い。
25/４
+5.782966457(A-1)
に訂正。
- 511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/16(火) 19:20:06.30 ]
- >>509
最小を探すなら、微分使った方が簡単....だな
F(A) = 1/A^3 +3A +9A/(A^4 +3),
F '(A) = -3/A^4 + 3 + 27(1-A^4)/(A^4 +3)^2
= 3(A^4 -1)(A^8 -3A^4 +9)/{(A^4)(A^4 +3)^2},
A^8 -3A^4 + 9 = (A^4 -3)^2 + 3A^4 > 0,
- 512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/19(金) 01:38:45.69 ]
- >>509
F(A)≧ 25/4 だけなら、代数使った方が簡単....だな
A^4 + 3 = (4/√3)A^3 + (A-√3)^2 {A^2 +(2/√3)A +1}
≧ (4/√3)A^3
> (9/4) A^3,
より
F(A) - 25/4 = {(1/A^3) +3A -4} + (9/4){4A/(A^4 +3) -1}
= (A-1)^2･(3A^2 +2A+1)/A^3 - (9/4)(A-1)^2･(A^2 +2A+3)/(A^4 +3)
> (A-1)^2･{(3A^2 +2A+1) - (A^2 +2A+3)}/(A^3)
= (A-1)^2･2(A^2 -1)/(A^3)
≧ 0, (A≧1)
- 513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/20(土) 15:12:34.36 ]
- >>512
相加･相乗平均を使わないなら
3^5 = 243 < 256 = 16^2,
より
A^4 + 3 > A^4 + 3(3^5/16^2)^2
= (9/4)A^3 + (A - 27/16)^2{A^2 + (9/8)A + (3^5)/(16^2)}
= (9/4)A^3 + (A - 27/16)^2{(A + 9/16)^2 + 162/(16^2)}
≧ (9/4)A^3,
どうでもいいけど.....
- 514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/20(土) 15:44:57.93 ]
- 【問題１】
正の数 x、y、z が z≧x+y をみたすとき、
x^2 + y^2 + z^2 ≧ (6/5)*(xy + yz + zx) を示せ
【問題２】
0.160 < ∫[0,1] x^2 e^(-x^2) dx <0.215 を示せ
【問題３】
正の数 a、b、c が a+b+c=1 をみたすとき、
(a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 + (c + 1/c)^2 ≧ 100/3
www.asahi-net.or.jp/~nj7h-ktr/kadai10-11.pdf
上の上の数ヲタである不等式ヲタの皆さんには、【問題３】など瞬殺でしょうから、
(a + 1/a)^4 + (b + 1/b)^4 + (c + 1/c)^4 ≧ ？
(a + 1/b)^3 + (b + 1/c)^3 + (c + 1/a)^3 ≧ ？
と変えたところで、やはり秒殺でしょう （by スマートブレイン社社長）
- 515 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/21(日) 05:37:23.73 ]
- >>514
【問題１】
z = x + y + Z' (Z'≧0) を代入して整理する。
(左辺) - (右辺) = (4/5)(x-y)^2 + (4/5)(x+y)Z' + (Z')^2 ≧ 0,
等号成立は (x,y,z) = (1,1,2) のとき。
【問題２】
(左) e^(-x^2) = (1/e)e^(1-x^2) > (1/e)(2-x^2), より
I > (1/e)∫[0,1] (x^2)(2-x^2)dx
= (1/e) [(2/3)x^3 -(1/5)x^5 ](x=0,1)
= 7/(15e)
= 0.171677
(右) x^2 > x^3 より
I < ∫[0,1] (x^2)e^(-x^3) dx
= (1/3)[ -e^(-x^3) ](x=0,1)
= (1/3)(1 - 1/e)
= 0.210706852
または 相加･相乗平均より
x^2 < (1/3)x + (3/4)x^3,
I < ∫[0,1] {(1/3)x + (3/4)x^3}･e^(-x^2) dx
= [ -(1/24)(13 + 9x^2)e^(-x^2) ](x=0,1)
= (1/24)(13 - 22/e)
= 0.204443845
【問題３】
f(x) = (x + 1/x)^2 は下に凸だから、Jensen で一発だが、
x=1/3 で接線を曳いて
f(x) = 100/9 - (160/3)(x -1/3) + (x^2 +54x +9)(x -1/3)^2
≧ 100/9 - (160/3)(x -1/3),
f(a) + f(b) + f(c) ≧ 100/3 - (160/3)(a+b+c-1) = 100/3,
でもよい。
- 516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/21(日) 05:44:22.87 ]
- 【問題４】
正の数 a、b、c が abc=1 をみたすとき、
(a - 1 + 1/b)(b - 1 + 1/c)(c - 1 + 1/a) ≦ 1 を示せ
∧,,∧
(`･ω･´) 詳しく聞こうか？
（ ）
￣￣Φ口U￣￣＼
_ _. ＼
＿（ ）＿＿＿＿.＼
￣┏┳┓）
- 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/21(日) 06:18:55.54 ]
- >>514
【追加問題１】
f(x) = (x + 1/x)^n は下に凸だから Jensen で一発だが、
x=1/3 で接線を曳いて
f(x) ≧ (10/3)^n - 8n(10/3)^(n-1)･(x -1/3),
f(a) + f(b) + f(c) ≧ 3(10/3)^n - 8n(10/3)^(n-1)(a+b+c-1)
= 3(10/3)^n,
としてもよい。
【追加問題２】
(abc)^(1/3) = G とおく。(相乗平均)
相加･相乗平均で
aa/b + bb/c + cc/a ≧ 3G,
a/bb + b/cc + c/aa ≧ 3/G,
3G + 3/G ≧ 6,
より、【１】に帰着する。
3(10/3)^3 = 1000/9
- 518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/21(日) 06:57:11.66 ]
- >>516
【問題４】
abc=1 とあるから当然、 a=y/z, b=z/x, c=x/y と置くんだろうな。
（左辺) = {(y-z+x)/z}{(z-x+y)/x}{(x-y+z)/y},
定義により、-x+y+z, x-y+z, x+y-z の任意の2つの和は正だから、
正でないのは高々１つだけ。
・1つが正でない場合、明らかに成り立つ。
・3つとも正の場合、 相乗・相加平均より
√{(x-y+z)(y-z+x)} = √{x^2 - (y-z)^2} ≦ x,
√{(y-z+x)(z-x+y)} = √{y^2 - (z-x)^2} ≦ y,
√{(z-x+y)(x-y+z)} = √{z^2 - (x-y)^2} ≦ z,
辺々掛けて
(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y) ≦ xyz,
[第3章.481]
- 519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/21(日) 13:58:30.54 ]
- >>515 【問題２】(右)
詳しく聞かれちゃ～生姜ねぇ･･･
∫[0,1] x e^(-x^2) dx = ∫[0,1] (1/2)e^(-t) dt = [ -(1/2)e^(-t) ](t=0,1) = 1/2 - 1/(2e) = 0.3166028,
∫[0,1] (x^3)e^(-x^2) dx = ∫[0,1] (1/2)t e^(-t)dt = [ -(1/2)(t+1)e^(-t) ](t=0,1) = 1/2 - 1/e = 0.13212056
ここでシュワルツを使えば I < 0.2045232 だな。
- 520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/21(日) 14:13:02.30 ]
- >>515 【問題２】
exp( ) をマクローリン展開して計算すると I = 0.189472345820492
- 521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/21(日) 23:44:35.95 ]
- 【もんじあ】
実数 x、y、z が (x+y-z)^2 + (y+z-x)^2 + (z+x-y)^2 = 1
をみたすとき、|x+y+z| の 最大値を求めよ
- 522 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 00:31:52.68 ]
- >>521
g(x,y,z) = (x+y-z)^2 + (y+z-x)^2 + (z+x-y)^2
= (1/3)(x+y+z)^2 + (8/3)(x^2 +y^2 +z^2 -xy -yz -zx)
= (1/3)(x+y+z)^2 + (4/3){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2}
≧ (1/3)(x+y+z)^2,
∴ |x+y+z| ≦ √{3g(x,y,z)},
等号成立は x=y=z=±1/√3 のとき。
- 523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 01:28:08.98 ]
- g(x,y,z)≡1だから、最大値は√3か
- 524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 04:12:25.39 ]
- [B.4355.]
x,y,z は正数で、xyz=1 とする。このとき次を示せ。
(x^3+y^3)/(x^2+xy+y^2) + (y^3+z^3)/(y^2+yz+z^2) + (z^3+x^3)/(z^2+zx+x^2) ≧ 2.
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201104&t=mat&l=en
- 525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 04:26:02.52 ]
- 三角形ABCの内部の点Pに対して PA+PB < CA+CB が成り立つ。
[B.4339.]
四面体ABCDの内部の点Pに対して PA+PB+PC < DA＋DB+DC が成り立つか？
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201102&t=mat&l=en
- 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 00:30:57.36 ]
- [B.4355.] (訂正)
x,y,z は正数で、xyz=1 とする。このとき次を示せ。
(z^3 + y^3)/(x^2+xy+y^2) + (x^3 + z^3)/(y^2+yz+z^2) + (y^3 + x^3)/(z^2+zx+x^2) ≧ 2.
>>524 なら瞬殺だろうな.... >>514
- 527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 04:59:16.48 ]
- (ﾟдﾟ；) ﾄ､ﾄｳｾﾞﾝ ﾃﾞ ｺﾞｻﾞﾙﾖ…
- 528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 12:50:44.75 ]
- >>526-527
相加･相乗平均を使えば >>524 と同じ....
(左辺) ≧ 3{f(x,y)f(y,z)f(z,x)}^(1/3),
x^2 +xy +y^2 = 3(x^2 -xy+y^2) - 2(x-y)^2 ≦ 3(x^2 -xy +y^2), より
f(x,y) = (x^3 + y^3)/(x^2 +xy +y^2)
≧ (1/3)(x^3 + y^3)/(x^2-xy+y^2)
= (1/3)(x+y),
再度、相加･相乗平均より
(左辺) ≧ {(x+y)(y+z)(z+x)}^(1/3)
= {8xyz + x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2}^(1/3)
≧ 2(xyz)^(1/3),
- 529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 16:00:00.77 ]
- ＡＢ＜ＡＣでＢの近くにＤをとり，Ｃの近くにＰをとる。
- 530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 19:51:01.60 ]
- >>524
x,y,z は正数で、x+y+z=3 とする。このとき……
- 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 21:08:58.13 ]
- >>498
第10回(2011年)中国女子数学オリンピック(CGMO)の問題3
www.imojp.org/
www.imojp.org/challenge/index.html 過去問
- 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 22:01:55.57 ]
- (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
- 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 22:07:45.91 ]
- >>531
中華の問３、どっかで見たような希ガス…
- 534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 05:16:58.00 ]
- C.944
www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html
- 535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 06:57:10.69 ]
- >>238
>>251
- 536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 16:54:26.26 ]
- そういや３年位前に、高校の先生が相加相乗平均の新証明の記事があったけど、
いまさらながら、その論文のリンクを貼っておく
www.emis.de/journals/JIPAM/images/080_08_JIPAM/080_08.pdf
並べ替え不等式を使うのか…
- 537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 23:04:28.49 ]
- >>526
x,y,z は正数で xy+yz+zx = 3 とする。このとき……
- 538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 07:19:11.26 ]
- 0
- 539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 08:57:16.76 ]
- x, y, zは正の実数で x+y+z=11 , x≦2, y≦3 のとき √(xyz) ≦6 .
- 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 09:07:33.95 ]
- >>539
どうやるん？
- 541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 13:08:56.28 ]
- >>536
その方法と 全 く 同 じ 方 法 で、
色々な不等式(もちろん相加相乗平均も)を証明した記事が、
数学セミナーに掲載されている。
数学セミナー 2004.2
ttp://www.nippyo.co.jp/magazine/4352.html
＞対称性を有する不等式の統一的証明について 仁平政一 52
↑この記事。2004年だから、例の高校の先生より早い。
- 542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 13:19:33.62 ]
- >>541
なんと！ すごいな
- 543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 13:21:54.25 ]
- さて、不等式ヲタ ≒ 三角関数 ≒ nCrヲタであるから、次の問題
【問題】 Σ[r = 0、n] (-1)^k * nCr / (x+r) = ？
- 544 名前：訂正 mailto:sage [2011/08/26(金) 13:22:23.41 ]
- 543 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/08/26(金) 13:21:54.25
さて、不等式ヲタ ≒ 三角関数 ≒ nCrヲタであるから、次の問題
【問題】 Σ[r = 0、n] (-1)^r * nCr / (x+r) = ？
- 545 名前：541 mailto:sage [2011/08/26(金) 13:32:26.78 ]
- 記事名をキーワードにググってみたら、
数研通信とかいうサイトに まるごと載ってるじゃねーか(＾o＾)
数研通信 47号2003年8月
不等式の証明の統一的方法（仁平政一）
ttp://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/47/47-5.pdf
>541と若干タイトルが違うが、著者は同じ。で、こっちの方が
さらに年月が古く、2003年8月となっている。
>541のやつは、この記事の加筆修正なのかもしれん(俺の手元に
数セミが無いので、確認できない＾o＾)。
- 546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 13:40:03.23 ]
- >>545
情報サンクス！
数蝉の年２回のNOTEは、コピーしてファイルしてるので見たけど、
数検通信の記事から抜粋したものですな
で、この方法は >>2 参考文献[1] P.25の方法と同じな希ガス…
- 547 名前：541 mailto:sage [2011/08/26(金) 13:57:35.26 ]
- ＞で、この方法は >>2 参考文献[1] P.25の方法と同じな希ガス…
ということは、並べ替え不等式を使う方法は
ずっと昔から知られていたと。
- 548 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/26(金) 21:17:47.93 ]
- 541>所謂, Rearrangememt Inequalityですな。
>>544 int_0^1 x^2 dxは？
- 549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 02:57:18.25 ]
- >>539-540
xy -(x+y+1) +2 = (x-1)(y-1) ≦ 2,
∴ xyz = xy(11-x-y) ≦ (1+x+y)(11-x-y) = 36 - (5-x-y)^2 ≦ 36,
∴ √(xyz) ≦ 6,
- 550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 03:29:51.55 ]
- >>549
１行目が思いつかない
どういう発想で、こういう解法に辿りついたのか知りたいです
数字が変わっても、このやり方は使えるのですか？
- 551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 04:35:47.24 ]
- >>544
f_n(x) = Σ[r = 0 to n] (-1)^r * nCr / (x+r) とおくと
f_{n+1}(x) = f_n(x) - f_n(x+1)
- 552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 04:47:31.94 ]
- B[x,n+1]だろ
- 553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 05:25:31.22 ]
- >>552
なにそれ？
- 554 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/27(土) 13:27:34.85 ]
- a,b,cが三角形の三辺の長さのとき
1/4<(a+b)(b+c)(c+a)/(a+2b)(b+2c)(c+2a)
を示せ
高１の宿題です
さっぱりわかりません
- 555 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/27(土) 15:42:42.51 ]
- 4(a+b)(b+c)(c+a)-(a+2b)(b+2c)(c+2a)
={4(b+c)*a^2 + 4(b+c)^2*a + 4bc(b+c)} - {2(b+2c)*a^2 + (b+2c)(4b+c)*a + 2bc(b+2c)}
=2b*a^2 + (4b^2+8bc+4c^2-4b^2-9bc-2c^2)*a + 2b^2c
=2b*a^2 + (-bc+2c^2)*a + 2b^2c
=2(ba^2+cb^2+ac^2)-abc
=6*(1/3)*(ba^2+cb^2+ac^2)-abc
≧6*abc-abc (相加相乗平均 等号成立はba^2=cb^2=ac^2⇔a=b=c)
=5abc>0
- 556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 15:51:37.29 ]
- >>555じゃないが、「三角形の三辺の長さ」って条件必要か？
- 557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 16:00:47.53 ]
- 高１で３次の相加相乗平均を勝手に使っていいか不明だし
三角形であることをうまく使って証明できるのかもしれない。
やり方がわからんのだけど。
- 558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 16:09:52.09 ]
- ＞高１で３次の相加相乗平均を勝手に使っていいか不明
うろ覚えだが、2次の相加相乗平均でさえ習うのは高2だったような。
まあa^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}/2から直接導けるが。
何か数Ⅰ,A範囲で証明できる方法があるのかね。
- 559 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/27(土) 16:46:12.93 ]
- >>555
三角形の条件は？
- 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 20:16:44.76 ]
- つまり、三角形の３辺をなす正の数 a、b、c でなくても成立する不等式だったと…
出題者は、三角形の成立条件を考慮した上で、もっと厳しい評価式を出題しろってこった！
- 561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 20:40:02.91 ]
- >>560
a,b,cが三角形の三辺の長さのとき
8/27 ≦ (a+b)(b+c)(c+a)/{(a+2b)(b+2c)(c+2a)},
を示せ。
等号成立は a=b=c のとき。
- 562 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/27(土) 20:42:15.42 ]
- てめえが示せこの野郎！
- 563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 21:41:01.83 ]
- >>562
君は口が悪いな、このスレにふさわしくない
さっさと、夜光灯を振る仕事に戻るんだ！
- 564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 22:02:32.00 ]
- 三角形の辺の長さに関する不等式について検索したら…
不等式プロがヒットした！
www.researchgate.net/publication/41797900__()
- 565 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 01:06:08.23 ]
- >>561
27(a+b)(b+c)(c+a) - 8(a+2b)(b+2c)(c+2a)
= 11(aab +bbc +cca) -5(abb +bcc +caa) -18abc
= (17/3){2(aab +bbc +cca) -(abb +bcc +caa) -3abc}
+(1/3){-(aab +bbc +cca) +2(abb +bcc +caa) -3abc}
= (17/3)P + (1/3)Q,
三角不等式より
2P = 4(aab +bbc +cca) -2(abb +bcc +caa) -6abc
= (b+c-a)(a-b)^2 + (c+a-b)(b-c)^2 + (a+b-c)(c-a)^2 ≧ 0,
2Q = -2(aab +bbc +cca) +4(abb +bcc +caa) -6abc
= (c+a-b)(a-b)^2 + (a+b-c)(b-c)^2 + (b+c-a)(c-a)^2 ≧ 0,
- 566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 04:33:06.72 ]
- >>544
n!/{x(x+1)(x+2)…(x+n)}
- 567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 05:36:37.46 ]
- >>561
三角形の３辺だから
a=q+r, b=r+p, c=p+q, >>273
とおく。p,q,r≧0
27(a+b)(b+c)(c+a) - 8(a+2b)(b+2c)(c+2a)
= 27(q+2r+p)(r+2p+q)(p+2q+r) - 8(q+3r+2p)(r+3p+2q)(p+3q+2r)
= 6(p^3 +q^3 +r^3) -11(ppq+qqr+rrp) +5(pqq+qrr+rpp)
= (17/3){p^3 + q^3 + r^3 -2(ppq+qqr+rrp) +(pqq+qrr+rpp)}
+(1/3){p^3 + q^3 + r^3 +(ppq+qqr+rrp) -2(pqq+qrr+rpp)}
= (17/3)P + (1/3)Q,
P = p^3 + q^3 + r^3 -2(ppq+qqr+rrp) +(pqq+qrr+rpp)
= p(p-q)^2 + q(q-r)^2 + r(r-p)^2 ≧ 0,
Q = p^3 + q^3 + r^3 +(ppq+qqr+rrp) -2(pqq+qrr+rpp)
= q(p-q)^2 + r(q-r)^2 + p(r-p)^2 ≧ 0,
変わり映えしねぇ.....
- 568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 05:59:42.21 ]
- >>29-31 >>44
a,b,c ≧0,
m = min{a,b,c}
{a,b,c} = {m,m+x,m+x+y}
とおく。
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u として
s^2 -3t = x^2 +xy +y^2,
st-9u = 2m(x^2+xy+y^2) + x(x+y)(2x+y),
|⊿| = |(a-b)(b-c)(c-a)| = xy(x+y),
6s^3 -21st + 27u = 12m(x^2+xy+y^2) + 3(2x^3 +3xxy +5xyy +2y^3)
> 3(2x^3 +3xxy +5xyy +2y^3)
≧ 3xy(5x+7y)
> 15xy(x+y)
= 15|⊿|,
- 569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 06:06:32.37 ]
- >>494 の類題
a,b,cを実数、⊿ = (a-b)(b-c)(c-a)、とするとき
a^4 + b^4 + c^4 + (a+b+c)⊿ ≧ (1/27)(a+b+c)^4,
を示せ。 (こってうし）
www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/672
- 570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 21:55:29.60 ]
- I+J+K+L+N = 0 のとき
f(x,y,z) = N(x^4 + y^4 + z^4) + I(yx^3 + zy^3 + xz^3) + J(xy^3 + yz^3 + zx^3) + K(xxyy+yyzz+zzxx) + Lxyz(z+y+z),
を平方和で表わせ。ただし、N = A^2 + B^2 + C^2 とする。
- 571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 22:08:28.25 ]
- >>570
f(x,y,z) = (Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Pyz + Qzx + Rxy)^2 + cyclic. + K '{xxyy+yyzz+zzxx-xyz(x+y+z)}
とおいて、係数 P,Q,R を求めよう。 ここに
K ' = K - P^2 - Q^2 - R^2 - 2(AB+BC+CA),
まづ
P + Q + R = - (A+B+C),
CP + AQ + BR = I/2,
BP + CQ + AR = J/2,
より
AP + BQ + CR = -(I+J)/2 -(A+B+C)^2,
クラメルの公式より
P = {I(B-A) + J(C-A) + 2(A+B+C)(BC-AA)}/D,
Q = {I(C-B) + J(A-B) + 2(A+B+C)(CA-BB)}/D,
R = {I(A-C) + J(B-C) + 2(A+B+C)(AB-CC)}/D,
ここに
D = 2(A^2 + B^2 + C^2 -AB -BC -CA) = (A-B)^2 + (B-C)^2 + (C-A)^2 ≧ 0,
P^2 + Q^2 + R^2 = (A+B+C)^2 + {(II+IJ+JJ) + 2(I+J)(A+B+C)^2 + 4(AB+BC+CA)(A+B+C)^2}/D,
PQ + QR + RP = －(1/2){(II+IJ+JJ) + 2(I+J)(A+B+C)^2 + 4(AB+BC+CA)(A+B+C)^2}/D,
これを使えば K ' を計算できる。
K '≧0 なら平方和になる。そのためには、|A+B+C| がなるべく小さくなるように符号をとるとよい。
- 572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 22:28:51.81 ]
- >>571 補足
xxyy + yyzz + zzxx - xyz(x+y+z) = (1/2){x(y-z)}^2 + (1/2){y(z-x)}^2 + (1/2){z(x-y)}^2 ≧ 0,
- 573 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/29(月) 01:00:36.43 ]
- 1991 IMO 1/4<(a+b)(b+c)(c+a)/(a+b+c)^3≦8/27
- 574 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/29(月) 01:19:05.81 ]
- 1/x^4+1/y^4+1/z^4+1/w^4+9/(x^4+y^4+z^4+w^4)
≧8/9(1/x^2y^2+1/x^2z^2+1/x^2w^2+1/y^2z^2+1/y^2w^2+1/z^2w^2)
≧11/3(x^4+y^4+z^4+w^4)
≧25/4xyzw
- 575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/29(月) 01:40:00.54 ]
- x=y=z=w=1.
25/4>=4/27>=11/12>=25/4.
- 576 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/29(月) 02:17:54.40 ]
- 1/x^4+1/y^4+1/z^4+1/w^4+9/(x^4+y^4+z^4+w^4)
≧(8/9)(1/x^2y^2+1/x^2z^2+1/x^2w^2+1/y^2z^2+1/y^2w^2+1/z^2w^2)
+11/3(x^4+y^4+z^4+w^4)
≧25/4xyzw
だね。
- 577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/29(月) 02:38:43.69 ]
- >>573
右: 4(a+b)(b+c)(c+a) - (a+b+c)^3 = aa(b+c-a) + bb(c+a-b) + cc(a+b-c) + 2abc > 0,
左: 相加相乗平均
8(a+b+c)^3 -27(a+b)(b+c)(c+a)
= 3(a+b)(a-b)^2 + 3(b+c)(b-c)^2 + 3(c+a)(c-a)^2 + 2(a^3+b^3+c^3-3abc) ≧ 0,
- 578 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/29(月) 20:25:51.28 ]
- a^n+b^n<c^n
となる整数a,bをcで表しなさい。
- 579 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/29(月) 22:27:55.11 ]
- n≧4 で 2^(n-1) < n^(n-2)
を、帰納法以外で示したいのですが
どうすればいいでしょうか。
- 580 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/29(月) 23:14:01.40 ]
- >>579
n ≦ 2(n-2),
2^n ≦ 2^{2(n-2)} = 4^(n-2) ≦ n^(n-2),
- 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/29(月) 23:49:13.57 ]
- おおっ
不等式のプロにかかるとさすがにアッサリですね。
ありがとうございます。>>580
- 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 00:40:02.56 ]
- 2^2<=n.
2^(n-3)<n^(n-3).
2^(n-1)<n^(n-2).
- 583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 07:06:53.80 ]
- >>546-547
で、この方法は >>2 参考文献[3] P.71の方法4.と同じな希ガス…
x_(n-1) ≦ G ≦ x_n,
を仮定して
x_(n-1) + x_n - {x_(n-1)･x_n /G + G} = (x_n - G){G - x_(n-1)}/G ≧ 0,
x_(n-1) + x_n ≧ {x_(n-1)･x_n /G} + G,
を導いています。
- 584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 07:12:31.51 ]
- つまり既出の証明でも専門誌に発表できるということですね
- 585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 07:59:46.12 ]
- 対称性に注目って不等式考える上では突飛なアイデアじゃないよね
ってか定跡やん。これを「新証明」と主張することに不安は感じなかったのだろうか。
- 586 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/30(火) 10:13:00.43 ]
- >>573がその後発展してなくて涙目の住民ワロス
- 587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 12:50:39.36 ]
- >>573に書き込んだのに誰からもレスされなくて、
あまりのくやしさに>>586で書き込んだのだった
涙拭けよ
- 588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 12:53:45.10 ]
- 何言ってだこいつら
- 589 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 12:59:42.97 ]
- いつもの荒らしでしょう
- 590 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/30(火) 17:51:18.51 ]
- そもそも573は問題の解釈が間違っている
真ん中はこの式にはならない
これ書いたやつ馬鹿すぎ
- 591 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/30(火) 17:56:41.46 ]
- 1991問題は
三角形の内心をI、二等分線をAA'BB'CC'とするとき
AIBICI/AA'BB'CCがこの範囲を示せだが
- 592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 18:38:17.84 ]
- AI/AA'=(b+c)/(a+b+c) etc.
- 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 23:19:26.11 ]
- >>573 △の辺だから
>>577
>>592
AI/AA' = (△ABC-△BCI)/(△ABC)
に
△BCI = (1/2)ar, △ABC = (1/2)(a+b+c)r, を入れる。
（rは△ABCの内接円の半径）
- 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 03:30:40.14 ]
- >>570-572
〔例1〕 >>268
2倍すると
N=2, I=-6, J=0, K=4, L=0,
(A,B,C)=(1,-1,0) すると (P,Q,R)=(2,-1,-1) K'=0,
>>284-290
〔例2〕 >>494 >>504
27倍すると
N=19, I=-5, J=49, K=33, L=-96,
(A,B,C)=(3,-3,1) (P,Q,R)=(-22/4,11/4,7/4) K ' = 3/8,
(A,B,C)=(3,-3,-1) (P,Q,R)=(-131/28,46/28,113/28) K ' = 3/8,
〔例3〕 >>569
27倍すると、
N=26, I=-31, J=23, K=-6, L=-12,
(A,B,C)=(4,-1,-3) (P,Q,R)=(-2/26,59/26,-57/26) K '= 29/78
(A,B,C)=(4, 1,-3) (P,Q,R)=(-144/74,141/74,-145/74) K ' = 13/74,
- 595 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:09:17.96 ]
- >>592
間違ってるんだが
- 596 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:12:33.43 ]
- BA'が(a+b)/(2a+b+c)
AI/AA'=(a+b)/(a+b+BA')
を考えると明白な間違い
- 597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 07:23:05.21 ]
- >>596
>BA'が(a+b)/(2a+b+c)
BA'、a、b、cって長さ？
次元が違うんだが
- 598 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:26:24.06 ]
- 二等分線だからこういうふうな比になるだろ
なんで分からないの？馬鹿は死ねよ
- 599 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:27:50.44 ]
- ／￣￣￣＼
/ ⌒ ⌒ ヽ
/ ｨ●ｧ ｨ●ｧ |
| |
| c{ っ |
| ＿＿ } うーっす
/､. ー ヽ
/ |
| | /
ヽ_| ┌──┐ |丿
| ├──┤ |
| ├──┤ |
- 600 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:28:24.02 ]
- 間違いに気付いたか
馬鹿め
|
 |
