- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/24(日) 01:38:43.25 ]
- 数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その12
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332549969/
- 620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/02(日) 16:57:09.12 ]
- なんで「関数である」が複雑である「べき」なのか理解できない
- 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/02(日) 17:22:44.65 ]
- どうして
「問題は、「超準解析で表れるような」と言っただけで
特に断りもなくone-sortedの言語を考えられるかということだろ。
こういうのはone-sortへの直し方次第でかなり変わってくるんだし」(>>610)
とか
「いずれにせよ標準的でないないし有名でない定式化を使うのなら説明が必要。
その説明をしようともしないで俺様用語法で教皇突破しようとするからゆとりモンスターと呼ばれるんだ」(>>611)
とか
「もちろんそう定義するのは自由だけど、断りなしに「Σ2」とか言われて想像できるような
標準的な言語でないことは確かだよね」(>>619)
とかに反論しないの？無理やり作った例を幾らあげても意味ないよ。
- 622 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/02(日) 19:06:48.95 ]
- 普通に数学（たとえば実解析やらRiemann幾何やら）をするときに
量化の複雑さによって性質を区別したりしない、という発端から来てる話で、
たとえば各点連続は実数値のみに関する∀∃∀の形の量化だとか
そういうことを言っているのに、なんでZFCとか二階算術とかの体系の話にしようとするのさ
ロジックだとよくそういう体系で論理式の複雑さを制限して議論するのは知ってるよ。
でも今はそういう話はしていないし、
個人的には普通の数学者は実解析をやるときに量化の複雑さは気にしないというときに
どの形式体系についての量化の複雑さを考えないのか、という疑問の持ち方がおかしいと思う
- 623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/02(日) 19:55:51.50 ]
- >>622
>たとえば各点連続は実数値のみに関する∀∃∀の形の量化だとか
>そういうことを言っているのに
これは実数論の言語を使ってもΠ3だ。
（集合論以外の）標準的な言語ではΣ2ともΠ2ともいえないような例を
>>562や>>580で挙げたからこんな問題になっているんだろ？
どさくさにまぎれて例をすりかえるなよ。
- 624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/02(日) 20:23:43.01 ]
- 532 ：１３２人目の素数さん：2012/08/28(火) 16:24:52.63
普通の数学では選択公理を使うか使わないか、
背理法を使うか使わないかなどは興味の対象になるけど
使う論理式がΠ2、Σ2以上の量化を使うかどうか、
というのは大抵気にしないし、気にしてられないな
それに背理法と言われているのは良く見ると否定導入であることが多い
533 ：１３２人目の素数さん：2012/08/28(火) 18:12:15.28
普通の数学でΠ5やらΣ4やら複雑な論理式出てこないのでは？
基礎論でだって出てくることはないと思う
一般のnに対してΠnとかΣnとか言うことはあっても
560 ：１３２人目の素数さん：2012/08/31(金) 17:34:25.01
普通の数学でΠ5やらΣ4やら複雑な論理式出てこないってことでおk？
基礎論でもΠ5やらΣ4に属する＊具体的な＊論理式は出てこないってことでおk？
562 ：１３２人目の素数さん：2012/08/31(金) 19:17:40.84
>>560
コンパクトとか局所環とかの定義をベタに書けばそれくらい複雑になるでしょ
580 ：１３２人目の素数さん：2012/09/01(土) 00:09:20.71
たとえば有界な関数が〜〜と言っただけで、
（実数論として）Σ2の式が出て来るんだから
Σ3くらいの量化は普通に考えることになる
実数と自然数の部分集合を同一視する場合はさらに複雑になる
- 625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/02(日) 20:24:34.38 ]
- 最初の>>532だけの段階では>>622の言うとおり
「普通の数学者は実解析をやるときに量化の複雑さは気にしないというとき」
といえるかもしれない。
しかしそれに対するレスやそのまたレスを踏まえるとそうではない。
これらレスと超訳すると以下のような感じ。
>>532「普通の数学では複雑さは気にしないし気にしていられない」
>>533>>560 「細かく見てみたらΠ5やらΣ4に行くものはないんじゃない？」
>>562 「いやコンパクト性や局所性はそれくらいになる」
>>580 「ほら実数論ではこんな単純なものでもΣ2になる」
言語もはっきりさせずに「Π5やらΣ4に行くかいかないか」
「単純なものでもΣ2になるかならないか」を議論すべきだというのか？
- 626 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/02(日) 20:29:49.34 ]
- >>623
完備距離空間なら、Xがコンパクトとは、任意のε＞0に対してXの有限集合{x_1,…,x_n}があって任意のx∈Xに対して1≦k≦nが存在してxとx_kの距離がε未満、ということだから∀∃∀∃だね。
- 627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/02(日) 20:44:05.30 ]
- 実数論の言語では「有限集合{x_1,…,x_n}があって」は表現できないと思うんだ
- 628 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/02(日) 20:46:26.98 ]
- >>627
実数論に限定する理由は？
- 629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/02(日) 20:51:44.67 ]
- 実数論でなくてもいいけど言語を決めないで∀∃∀∃と言っても意味ないでしょ。
ある言語では∀∃のものがある言語では原子論理式になったりするんだから。
まず議論の前提をはっきりしようや。
- 630 名前：629 mailto:sage [2012/09/02(日) 20:52:37.36 ]
- 6=2*√9
- 631 名前：632 mailto:sage [2012/09/02(日) 20:53:36.40 ]
- 6/3=2
- 632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/02(日) 21:15:09.54 ]
- ほんとにこいつゆとり君だなー
- 633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/02(日) 21:21:17.60 ]
- >>622は言語を指定するのを諦めたように見えるが
超準解析がどうのと言ってたのは撤回したんだろうか？
- 634 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/02(日) 21:57:23.91 ]
- >>629
じゃあ数学の教科書で∀とか∃とか書いてあるのは意味無いの？
厳密じゃないというのならわかるけど
- 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/02(日) 21:59:03.78 ]
- あふぉはもはやスルーしかなさそうだな
- 636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/02(日) 22:01:23.00 ]
- >>634
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
- 637 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/02(日) 22:32:26.15 ]
- 局所環の例は俺が挙げた例じゃないから知らない
そもそもイデアルやら位相をどうやって述語論理で扱えば良いのか知らない
少し解析になれれば「充分大きな M があって x, y < M のとき〜〜」というだけで、
理解がより困難になったりはしないが、これだってきちんと言うと
「∀N∈R. ∃M∈R. N＞M ∧ ∀x, y. x ＜M∧y＜M⇒〜〜」 なので、
すぐΠ3くらいにはなる。
有界な関数がどうのこうのと書いたときに言いたかったのはこういう感じの事で、
三重量化、四重量化はざらにあるということ自体は正しいと思っている。
関数の話になると確かにどういう量化なのかが不明瞭なのでこの例は取り下げる。
- 638 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/02(日) 22:50:11.26 ]
- 「普通の数学」では一階論理で「定式化をしづらいような性質・対象も平気で考える」と言っていたのに、
今度は定式化しやすい性質・対象だけ考えることにしてその範囲の言語を持って来てΠ3だとかってか？
随分と都合のいい話だな、おい。
- 639 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/02(日) 22:59:26.27 ]
- >>533は普通の数学で論理式の話としてΣとかΠを出して来てるんだから、完備距離空間でのコンパクトの定義を出してきても問題ないじゃん。
「一見そう見えるけど実はそう簡単にはいかない」という話ならわかるけど。
- 640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/02(日) 23:06:22.94 ]
- >>637
あんたΠ3やΣ3と三重量化を混同してるんじゃないか？
Δ0には有界量化が何重にも入っているんだお
- 641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/02(日) 23:15:06.67 ]
- そうそう、言語がはっきりしてなければ有界量化が何なのか分からないのだから
そもそもΣnの定義が定まらないよね。
- 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/02(日) 23:30:59.86 ]
- >>639
>完備距離空間でのコンパクトの定義を出してきても問題ないじゃん。
誰かがその定義が問題だなんて言ったのか？
言語をはっきりさせずにその定義が∀∃∀∃と言ったのが問題なんでしょ。
そんな調子なら、いい加減、俺も他の人と同じくスルーするよ。
- 643 名前：STS446 [2012/09/02(日) 23:37:23.00 ]
- 公理的集合論では>>626や>>637などの例にある数学的命題はΔ^0_1と同等になる。
算術的階層が単なる論理式中の∀と∃の交互の繰り返し回数だと誤解しているのではないだろうか。
集合論では数学的命題は∃ｘ∊ｙR(ｘ)のようになったりするが、
R(ｘ)がΔ^0_1なら、∊による有界量化したものも原始再帰的になるのである。
算術的階層がなぜ算術的とよばれるか考えてみるべきだろう。
- 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/03(月) 00:12:23.01 ]
- >>640,>>641
算術や集合論では確かに bounded quantifier はΔ0に自由に表れていいわけだけど
モデル論で出てくるような言語（実数閉体の理論など）で定義するときは
Δ0は量化のない論理式とすることが多い。
言語がはっきりしなければどっちの流儀を採用するのが普通なのか判断できない、
ということなら全くもってその通り。
やっぱり言語を明示せずΣいくつと言うのは問題あり。
- 645 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/03(月) 00:37:02.60 ]
- >>640
ZFCにおける論理式の階層の話は（私は）してない
あなたはその話をしているのかもしれないけど
- 646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/03(月) 00:39:26.39 ]
- というか普通の数学では言語をはっきり固定して議論しない、
がFAかと
イデアルの昇鎖列が有限ステップで止まるといったときに
そんなことを考えるのはルール違反だという訳にもいかんし
- 647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/03(月) 01:59:13.76 ]
- >>645
それでどの言語で論理式の階層の話をしているんだい？
「ZFCではない」以上のこと何も言ってないよね？
それじゃΣとか言っても意味をなさない
>>646
んじゃ普通の数学の議論で出てくる概念をΣいくつとか言うのも無意味
がFAだろう
- 648 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/03(月) 02:06:57.53 ]
- 言語を固定させないことにはΣnは意味をなさない
って当然のことがなんで分からないのかが分からない
- 649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/03(月) 06:05:33.58 ]
- >>646
「超準解析で表れるような」実数、実数値関数などなどのsortを持つ言語で十分だろ？
「普通の数学」では量化は全部タイプがついているんだから。
通常の数学はmany-sortなのに、Π3とかΣ2とかone-sortを前提にした用語を不用意に使ったのが問題なだけ。
自分の不用意発言を根拠に「普通の数学では言語をはっきり固定して議論しない」とか勝手に結論出すなよ。
- 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/03(月) 08:12:18.90 ]
- 646はイデアルの話をしているけど
極大イデアルとかを別のsortで扱っても、かなり集合論的な議論を
援用せざるを得ないようになると思うよ
位相空間論を一階述語論理で取り扱う困難とそんなに変わらないと思う
- 651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/03(月) 18:07:15.68 ]
- イデアルの議論なんて二階の言語で十分表現できる。
（逆数学でイデアルが難なく扱えるのと同じこと。）
二階の言語は元のsortとそれら元の集合のsortを持つmany-sorted言語だから
その意味では確かに「集合論的」なのかも知れないけれど、
階数によるsortの制約が全くないZFのような本格的な集合論は必要ない。
- 652 名前：STS446 [2012/09/03(月) 19:22:45.50 ]
- 2階の言語って普通は2階述語論理のことですね。
多領域論理は普通、型の概念が定義されていませんから1階論理ですね。
特に多領域論理で2階算術と呼ばれる体系は「集合論的」ではなく「解析的」とよばれますね。
2階算術の論理式は解析的階層でΠ^1_nとかΣ^1_mとなりますから。
- 653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/05(水) 07:05:44.67 ]
- もりさがっとるな
- 654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/05(水) 10:33:58.56 ]
- Maximal ideal あるいは Prime ideal の全体を考えれば、３階になる。主イデ
アル環に制限しなければ Zariski topology を使えないことになる。２階算術に
制限するのは無理がある。逆数学はまあそのへんでよいということなのかも
知れない。
- 655 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/05(水) 11:11:06.57 ]
- すみません、また質問です
>>466がこないだ理解できたのですが、
半直線と円は自然数として同一視するのですか？
- 656 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/05(水) 12:05:39.87 ]
- いくらゆとりでもいい加減スレ違いなことを悟れ
- 657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/05(水) 12:36:41.21 ]
- 独学で勝手に数学を勉強している者や、計算機工学の後で数学を
やり直している者はどのスレで質問すればいいですか
- 658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/05(水) 13:15:11.31 ]
- つ 雑談スレ
- 659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/05(水) 13:31:37.33 ]
- >>658
なぜですか？
- 660 名前：ＳＴＳ446 [2012/09/05(水) 16:15:37.87 ]
- よく再帰理論とかで高い算術的階層が出現するが、
これらを記述する言語は一体何なのかという疑問はある。
内包公理や帰納法はどうなっているのか。
そう考えると今回のような混乱は当然の思える。
おそらくは再帰的クラスや再帰的枚挙可能クラスの関係を基準として、
この関係にいくつ量化子をつけていくかと言う事だろうが、
この量化子は「ある〜」「すべての〜」といった自然言語、
つまり通常の数学で使われる議論の略記なのだろう。
この通常の数学での略記が形式的体系での記号と誤解されることで
今回のような議論が生じた。
- 661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/05(水) 17:23:50.04 ]
- >今回のような議論が生じた。
って、自分がその議論の中で完全に相手にされてなかったってことに気づけよ
- 662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/05(水) 17:35:32.22 ]
- >>654
>Maximal ideal あるいは Prime ideal の全体を考えれば、３階になる。
３階の元一つ考えるだけなら３階量化は必要ないので２階で十分。
問題なのはMaximal ideal あるいは Prime ideal の全体の部分集合を走る量化がある場合。
そういう例としてZariski位相を挙げたんだろうけど、基本開集合が単純な形をしているので
開集合や閉集合上を走る量化も実際には２階の言語で十分表現できてしまう。
- 663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/05(水) 20:34:06.32 ]
- 代数幾何とか微分幾何とかをやる場合に二階「算術」で行うのは人工的な制限だと思う
- 664 名前：STS446 [2012/09/05(水) 23:38:56.56 ]
- 実際に二階算術じゃ扱えないコホモロジーとかもあるんよ。
Big Fiveも元々は算術的階層の強さ毎に帰納法と内包公理をQに加えていった結果生じている。
これらがたまたま集合・位相〜解析学の基本定理の強さ程度だったってわけさ。
もし1階算術サイドに話をすすめるなら内包公理は不要で、
帰納法の制限や帰納法の形態の種類によって
QとPAの間に限定算術的階層と呼ばれるものが生じる。
2階算術の場合は、Qを内包公理で2領域に分離して拡張したものだな。
3階算術ならば2つ目の分離公理か3つの領域を同時に扱うような公理が必要になるな。
いずれにしろこれらは論理における高階とは違う。
領域が無数に分岐することで見かけ上どのような数学命題でも記述可能に拡張可能。
実際3階算術や高階算術なんかも研究されている。
- 665 名前：STS446 [2012/09/05(水) 23:56:58.89 ]
- >>664
とはいえ、もともと二階算術ってのは「人工的」なものなのですよね。
どれだけ算術を強めればどれだけの定理が証明可能か。
数学のある命題にはどれだけの公理の強さが必要か。
それを集合論のような複雑なものではなく、
古典数学的な簡素な公理である必要がある。
それらはダイレクトに再帰理論的な研究対象だからね。
まぁ代数幾何とか微分幾何レベルまで巨大化した世界には余り向かないね。
- 666 名前：STS446 [2012/09/06(木) 00:01:51.26 ]
- >>665
というより、そもそも数学の命題を
テキスト通りそのまま論理式にするのがナンセンスなんだよね。
ダミー量化子使えば算術的階層なんて無限に引き上げられるし、
そもそも集合論的命題はほとんどが論理的に同値なΔ^0_1文が存在するしね。
- 667 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/06(木) 00:25:21.71 ]
- >>666
自分との対話やめい
- 668 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/06(木) 00:29:11.81 ]
- >>665の
＞それを集合論のような複雑なものではなく、
＞古典数学的な簡素な公理である必要がある。
＞それらはダイレクトに再帰理論的な研究対象だからね。
ここの文意が通らない。書き間違えですか？
- 669 名前：STS446 [2012/09/06(木) 01:44:19.17 ]
- 訂正させてもらうと、
古典数学的に簡素な公理である必要があるのは、
再帰理論的な研究対象として扱えるようにするため。
例えば算術的階層に理論をはめ込むために、
帰納法をΣ_n文といった具合に制限している。
これは集合論では使えない手法
- 670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/06(木) 02:23:24.01 ]
- >>663
この話になった>>649から直前の>>662までよく読んでみな。
「二階」という言葉は出てきているが誰も「二階算術」とは言っていない。
（STSをスルーしていないのなら別だがｗ）
>>651が二階の言語の例である二階算術を使う「逆数学」に言及しているが
「...のと同じこと」と距離をおいた書き方をしている。
>「超準解析で表れるような」実数、実数値関数などなどのsortを持つ言語で十分だろ？
という話から「二階」が話題になっているのだから、
「二階実数論」を想像するのなら分かるんだが、
どこから二階算術が出てきたんだ？
二階の言語なんてどんなものにも定義出来る。
イデアルの話をしたければ通常の環の言語の２階拡大で十分。
- 671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/06(木) 03:03:19.58 ]
- Spec R（R:可換環）に位相を入れる話が
それで自然にできる？
- 672 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/06(木) 04:39:40.73 ]
- umu
- 673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/06(木) 05:28:08.30 ]
- >>651
ｘが集合のときｘ∪{ｘ}も集合って、集合の直観に合ってる？
「要素も集合」より要素と集合がはっきり分かれている方が「集合論」として自然でない？
- 674 名前：STS446 [2012/09/06(木) 07:36:43.77 ]
- 二階算術は普通は2階の言語とはよばんゃろ。
2階の言語ってのは命題自体を量化可能な言語を言うんであって。
つまり命題を量化可能な2階述語論理のことやな。
二階算術は多領域論理の一種としてみられる。
高階算術で型理論が使われているが
これは領域の分類のための識別子として用いられている。
- 675 名前：STS446 [2012/09/06(木) 08:13:42.50 ]
- 2階算術なんかは本来は2階の言語とかではなく
Γ^1_n級とかいう。（ΓはΣやΠやΔの一般化）
3階算術ならΓ^2_n級、ｎ階算術についてΓ^(ｎ-1)_n級になる。
例えば2階算術で有名なBig Fiveは、
Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理
Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^1_0-内包公理
Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Π^1_1-内包公理
Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^0_1-分離公理
Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^1_1-分離公理
ほら、かなり人工的だろ？
公理の重複を許して同値な体系に置き換えてみるともっとよくわかる。
Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理
Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^1_0-内包公理
Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^1_0-内包公理＋Π^1_1-内包公理
Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^0_1-分離公理
Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^0_1-分離公理＋Σ^1_1-分離公理
ほら人工的だろ？
ちなみに
Q＋Σ^0_n-帰納法
だけなら限定算術のIΣ^0_nになる。
帰納法は厳密には4種類あって、BΣ^0_nなどになったりする。
- 676 名前：STS446 [2012/09/06(木) 08:15:45.39 ]
- >>675訂正
＞3階算術ならΓ^2_n級、ｎ階算術についてΓ^(ｎ-1)_n級になる。
3階算術ならΓ^2_n級、ｎ階算術についてΓ^2_(ｎ-1)級になる。
- 677 名前：STS446 [2012/09/06(木) 08:33:44.30 ]
- ちなみに体系の同値性を≡であらわすと以下の等式が成り立つ。
Π^0_1-分離公理 ≡ Σ^0_1-選択公理 ≡ Σ^0_1-従属選択公理 ≡ Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理
Σ^0_1-分離公理 ≡ Π^0_1-選択公理 ≡ Π^0_1-従属選択公理 ≡ Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^0_1-分離公理
Π^2_1-分離公理 ≡ Σ^2_1-選択公理 ≡ Σ^2_1-従属選択公理 ≡ Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^0_1-内包公理
いやぁ中途半端で不思議な定理だよね。
帰納法とか内包公理とか選択公理とか従属選択公理とか分離公理なんてのはこうやって定量化するんだよね。
- 678 名前：STS446 [2012/09/06(木) 08:35:51.26 ]
- >>675訂正
＞Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^1_0-内包公理
＞Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^1_0-内包公理＋Π^1_1-内包公理
Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^0_1-内包公理
Q＋Σ^0_1-帰納法＋Δ^0_1-内包公理＋Σ^0_1-内包公理＋Π^1_1-内包公理
- 679 名前：STS446 [2012/09/06(木) 08:42:13.96 ]
- >>673
あんたは集合論で冪集合使わんのか？
- 680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/06(木) 17:58:38.80 ]
- ぽっぽの意味不明なカキコミを禁止する方法はないものか
- 681 名前：STS446 [2012/09/07(金) 07:15:41.68 ]
- とはいっても算術的階層とか解析的階層とかって
あんまり論理式を測る尺度として優れているとも思えんのだけれどもね。
そこから何か非自明な結果が出てきたともきかんしねん。
- 682 名前：STS446 [2012/09/07(金) 18:32:20.04 ]
- >>680
意味が分かるように日々学習を怠らないって選択肢は考え付かないかな？
まずは再帰理論もしくは計算論という名の分野の学習を薦める。
CooperのComputable Theroyって本が出てるから良かったら買うと良いよ。
日本語のPDFでも結構東北大の田中さんがいいものを書いてるから読んでみな。
最終的には相対化された算術的階層などが登場する。
言語の階層の最下部には計算量理論が存在していて
チョムスキー階層や多項式時間階層や非決定性の時間空間階層がある。
上に行くと原始再帰的クラス、一般再帰的クラスがあり、
ここから算術的階層がはじまって上に行くにつれてウルフラムの階層や
限定算術的階層やらブール階層やらが登場、
やがて解析的階層に突入してそれらが様々な理論に相対化されてゆく。
そこから上はどれだけ強力な理論を使うかに依存しており、
公理的集合論だとかさまざま巨大基数の追加した体形への相対化が考えられ、
やがて最高峰に矛盾した体形への相対化が存在する。
有限モデル理論における記述計算量理論とかも覚えておくと良い。
PvsNP問題を限定算術的階層に対応させて解決しようと言う試みもある。
日々精進、自戒とアドバイスの二重の意味を込めてね。
- 683 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/07(金) 20:21:04.83 ]
- いや普通の人は自分と会話したりしないから
- 684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/08(土) 07:35:16.45 ]
- 少し前に様相論理に関して自信満々に語っていた内容は致命的に間違っていると
ものの見事に論破されていた。
それに懲りずにまだ自信満々に自説を偉そうに語っていたら
誰もその内容を信用しないだろうし、
誤りを見つけても誰もわざわざ指摘しようとは思わないだろう。
名前欄の「STS446」は「スルー対象」を表すマーカー。
- 685 名前：STS446 [2012/09/08(土) 16:07:05.83 ]
- あとリンドストルムの量化子とかもでとらんかな。
本当は決定可能クラスってのもかなり複雑に入り組んでていて、
ま、説明しがたいほど広大なんだけどね。
AC^0＝FO＝DTIME(log(n))⊆ThC^0⊆NC^1⊆DSPACE(log(n))＝L＝SL
⊆DSPACE(log(log(n)))⊆NSPACE(log(n))＝NL⊆sAC^1⊆AC^1⊆NC
⊆P＝Π^P_0⊆NP＝Σ^P_1⊆PH⊆PSPACE⊆EXPTIME⊆EXPSPACE
⊆Δ^0_0
これは分岐を省いた簡単な階層だけど
これが実際はPPとかBPPとか#Pとかそれらの相対化とかが絡んだりして
複雑な階層を構成しているんだ。
もちろん当初の形式言語も本当は
チョムスキー以外の階層があることが知られているんだよ。
Type0＝Σ^0_1＝RE⊆Δ^0_1＝R＝RE∩co-RE＝CLH1⊆Type1＝IL⊆CLH2⊆Type2⊆Type3
とにかく世界は広大でその分類は難しいんだ。
- 686 名前：STS446 [2012/09/08(土) 16:09:36.88 ]
- おっと逆だった、すまない。
訂正
＞Type0＝Σ^0_1＝RE⊆Δ^0_1＝R＝RE∩co-RE＝CLH1⊆Type1＝IL⊆CLH2⊆Type2⊆Type3
Type0＝Σ^0_1＝RE⊇Δ^0_1＝R＝RE∩co-RE＝CLH1⊇Type1＝IL⊇CLH2⊇Type2⊇Type3
- 687 名前：STS446 [2012/09/08(土) 16:15:31.75 ]
- それから注目すべき点は
Σ^0_1以降から圧倒的に形式体系の表現能力が拡張される点だね。
算術って言うとΔ^0_1を超えちゃう、つまり決定不能になるんだけど
それで高階の算術という解析的階層が出現する。
でも集合論の登場、つまりレヴィの階層と呼ばれる、
ZFなどに相対化された形式的な階層は遥かに高い表現能力を獲得するんだ。
最頂点の矛盾した体形への相対化へと向かって世界は広がっていく。
現実の物理学的な世界なんかをはるかに引き離してね！
- 688 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/08(土) 17:20:52.18 ]
- つーかSTS氏は自分で「専門書をちらっとかじっただけでろくに理解してません」って自分で暴露してなかったか？
- 689 名前：STS446 [2012/09/08(土) 17:26:15.09 ]
- >>688
そりゃメレオロジーの話。
再帰理論は俺の専門だし限定算術なんかもやっとるよ。
- 690 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/08(土) 17:34:10.64 ]
- >>689
限定算術の話で質問したいのですが、
素数が無限個あることの証明はどのくらいの限定で可能なのでしょうか？
- 691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/08(土) 18:49:58.13 ]
- >>688
これのことだな？
289 ： STS446 ： 2012/04/29(日) 07:39:01.09
まず初めに謝罪します。
私は「考える人」であり「超越論的数学者」であり、
「山之内彰」であり、「超越論的数学天使」であり、
「おさーん」でありました。
様相論理の件で論破されてのも私でした。
それではなぜこのような悲劇に至ったのかをお話ししましょう。
まず私は数学の素人です、論理学もまだ不完全性定理まで進んでいません。
しかしそれでも計算機の本（とりわけ赤間先生や人工知能関連）を読んでいると、
すぐにわかったようなレスができるようになりました。
そこでメレオロジーやオントロジーや記述論理といった
形式化オタクの文化を学習していきました。
ですから私は何もしらない単なる素人でしかないのです。
- 692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/08(土) 19:25:09.04 ]
- ４ヶ月半前に不完全性定理を知らなかった奴が再帰理論の専門家になっているとは
衝撃的な速度の出世だな
- 693 名前：STS446 [2012/09/08(土) 20:50:57.65 ]
- 今は原論文も現代的証明も両方とも理解してる。
とはいえ不完全性定理はほとんど証明追ってたから。
どっちかというと
projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.lnl/1235416274
こいつで理解深めていたって感じだね。
再帰理論はその前からやってた、例のCooper本とか黄色の分厚いので学習した。
ランダムネスとかのも結構読んでるよ
- 694 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/08(土) 21:06:00.29 ]
- いやいや、不完全性定理についてきちんと勉強していない
再帰理論の専門家とか論理的に不可能だから。自称専門家ならあり得るけど。
- 695 名前：STS446 [2012/09/08(土) 21:26:01.10 ]
- ここでいう不完全性定理の証明を追うってのは
算術化を完ぺきに自分で構成するってこと。
- 696 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/08(土) 21:59:55.77 ]
- もういいだろ。
ご丁寧に本人がスルーすべき対象を識別してくれるんだから、
そいつは放置しといても無問題。
「STS446」って書いてあったらスルーすること。
あと新しく来た人が真に受けないように>>691のコピーを定期的に貼ること。
- 697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/08(土) 22:13:22.52 ]
- 四か月で専門家になりましたってレスがおかしいことくらい
気付ける常識人になれると良いね
- 698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/08(土) 22:14:37.82 ]
- 考えない人って選択公理の話題はこのスレでするのが適当って言って
スレ住人全員から失笑を買った奴だろｗ
- 699 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/08(土) 22:27:04.76 ]
- 155 名前：スレタイスレ446[sage] 投稿日：2012/01/07(土) 22:20:46.89
>>139
＞そういう解説がないと全く読解不能の文章を書く能力ってどうやって身につけられるの？
掲示板を読んでいる人間が、隣に座って同じ本を一緒に読んでいる様を想像して書きます。
また、投稿欄に書いた文章を決して読み返さないこと。
（レス数を減らしてじっくり書き込む時間をとるのがベストなのかもしれない。）
＞前スレの「考える人」と同じ臭いを感じる。
確かに文体が似ていますね。
考える人（＝考えない人）というコテハンは、このスレのその5辺りから時折出没していますよ。
>>140
以後、レスの数は減らします。
- 700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/08(土) 22:39:45.98 ]
- ＳＴＳが現れ始めたのはこのスレの５か６あたりから
いろいろコテを変えて自演してることがばれているが
その５以降のこのスレでコテを名乗っているのはほとんどこいつ自身の
自演と思って間違いない。（修辞がほとんど同じで数学的な間違いもほぼ類似）
特徴として終始一貫して「どこか勘違いしてる」ことが挙げられる。
長文の上勘違いも甚だしいレスばかりなので読む意味は全くない。
にもかかわらずコテハンを自演に従ってコロコロ変えるのでいちいちＮＧするのも
面倒くさいというまことに迷惑極まりない存在である。
- 701 名前：701 mailto:sage [2012/09/08(土) 22:44:39.98 ]
- 7^0=1
- 702 名前：STS [2012/09/08(土) 23:09:24.53 ]
- >>700
なるほど。
では直近の再帰理論に関する書き込みの中から
「勘違い」に相当する個所を挙げ、
それが「どう」勘違いなのかを説明したまえ。
- 703 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/08(土) 23:24:23.67 ]
- 俺はお前の担当教官でも何でもない。
どうしてもと言うなら相応の報酬を用意してから言え。
大体お前のレスははツッコミどころが多すぎて添削するにしても手に負えないんだよ。
- 704 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/09(日) 00:02:03.45 ]
- >>620
亀レスだけど「関数である」を原子論理式と扱ってしまうと
∀ｘ∃ｙＡ(ｘ,ｙ) は ∃ｆ∀ｘ(ｆは関数である∧Ａ(ｘ,ｆ(ｘ))) と書けてしまう。
だから>>619で批判されているようなΣnの定義を使うと
どんな概念でもΣ2以下で表現できることになる。
>>619は「そう定義するのは自由だけど」と言っているけど、
こんな定義をしてもΣnの階層が崩壊するのでこんな定義しても意味がない。
- 705 名前：STS [2012/09/09(日) 00:37:41.73 ]
- >>704
スコーレム化がまちがっとるよ
∀ｘ∃ｙＡ(ｘ,ｙ) と等価なのは
∀ｘ(Ａ(ｘ,ｆ(ｘ))) だよ。
あなたの書いたものは2階述語論理への翻訳だね。
ところで
∀ｘ∃ｙＡ(ｘ,ｙ) がΠ_2だとすると、
∀ｘ(Ａ(ｘ,ｆ(ｘ))) もΠ_2だよ。
Ａ(ｘ,ｆ(ｘ)) がΣ_1だからね。
Ａ(ｘ,ｙ) がΔ_1でもスコーレム関数がΣ_1なので
Ａ(ｘ,ｆ(ｘ)) はΣ_1になるの。
- 706 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/09(日) 02:21:55.37 ]
- これまたスルーのし甲斐のあるレスだな
- 707 名前：STS [2012/09/09(日) 06:51:43.12 ]
- >>704-705
おっと素面の状態で読んでみたら
全然ちがう話しだったなｗ失敬失敬＾＾；
- 708 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/09(日) 18:54:37.68 ]
- >>704
言語なんて決めないでもΣnの階層は意味を持つ！
って言ってたゆとり君（だっけ？）は逃げちゃったみたいだよ
- 709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/10(月) 04:02:20.77 ]
- >>704
非標準的な定義をする前に標準的な定義がどうしてそうなっているのか理解しとけって話だな
新しい定義を提唱した直後にその定義が無意味だと指摘されることほど数学者にとっての屈辱はない
- 710 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/10(月) 07:53:38.74 ]
- しかしえてしてそういうことはよくあるんだな
学会で何度もそういう場面に出くわす
- 711 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/10(月) 14:05:10.59 ]
- んだな
- 712 名前：STS [2012/09/10(月) 15:12:08.19 ]
- 俺もそういう状況には辟易している。
定義されている理由を知るのはいいかもね
- 713 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/10(月) 15:38:07.99 ]
- おま（略）
- 714 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/10(月) 16:01:39.38 ]
- この業界ではSTSは Structural Theory of Sets の略なんでなコテに使わんでくれるかな？
スレッドの綴りは thread であって S で略すのはおかしい
スレタイスレの積りならTTTだろが
- 715 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/10(月) 16:26:26.20 ]
- それは以前も指摘されてたと思うが
基地外だからしょうがない
- 716 名前：TTT [2012/09/10(月) 18:53:50.75 ]
- STSってのは俺が考えたんじゃないよ。
以前誰かがスレタイスレ446を略して
STS446と呼んだので皮肉ってつけた名称さ、深い意味はない。
>>713
お前も似たようなものだろうと言いたいのだが、
俺はそれほど低レベルな部分では間違えない。
- 717 名前：TTT [2012/09/10(月) 18:54:58.26 ]
- 訂正
＞お前も似たようなものだろうと言いたいのだが、
お前も似たようなものだろうと言いたいのだろうが、
- 718 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine.co.jp [2012/09/10(月) 19:29:47.04 ]
-
また、お前か！ ２０代の、ニートの、女性恐怖症の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキ！
死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
- 719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/10(月) 20:36:17.24 ]
- TTTって桟橋みたいでかっこ悪い
- 720 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/10(月) 21:08:11.90 ]
- 目糞が鼻糞を嗤う
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