現代数学の系譜11 ガロア理論を読む

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/28(土) 16:37:22.60 ] このスレはガロア原論文を読むためのスレ。下記、ベストアンサーを超えて先に進むためのスレだ uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/ 前スレ 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3 >>1より detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1371534513 数学の歴史に興味ある方にお尋ねします。「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、...noranekokuma2004さん 質問日時： 2011/9/18 「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」にチャレンジしております。 アーベル、ガロアとも、方程式の根の有理式を説明しています。 両者の説明とも、帰着するところは、根の有理式はいわゆるラグランジュの分解式のかたちをとるというところにあると、私は考えています。 ラグランジュは、３次方程式の根、α、β、γと1の3乗根によって u=α+βω+γω＾2 v=α+βω＾2+γω という式をつくることによって、3次方程式が解けることを示しました。 彼は、それを一般化し、素数次数の方程式の根と1の累乗根と組み合わせた、いわゆる、ラグランジュの分解式を提起しました。 皆さまの見解を伺いたいと思います。 ベストアンサーに選ばれた回答siolaglebaさん 回答日時：2011/9/21 ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。 高名な数学者さえ理解出来なかった論文とは、一体何がどのように書かれているのか興味があったからです。すでにガロア理論を知っていたので、軽く考えていました。 が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。 自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。 ラグランジュの分解式は、方程式の可解性を議論するなかで、べき根拡大を考えるとき、使ったように記憶しています。 ラグランジュは、３次・４次方程式の解明に成功しましたが、５次方程式は失敗しました。が、ラグランジュの研究は無駄ではなかったことの証が、ラグランジュ分解式と思います。 433 名前：１３２人目の素数さん mailto:ほんとだね [2012/05/23(水) 17:57:49.19 ] 　ニートの、甘ったれのクソガキ！ 　お前だよ！　お前！　死ぬのは！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！ 434 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/23(水) 17:59:04.77 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 435 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/05/23(水) 21:37:33.27 ] >>319 > 　２）１のべき根を添加した体 > ３．この二つのどちらを取るかは、目的に応じて自由で良い。 クンマー拡大：クンマー拡大は巡回拡大でその拡大次数は n の約数である。（アルティンのガロア本にもあったと思う na-inet.jp/weblog/archives/001482.html E.Artin(アルティン)/寺田文行・訳「ガロア理論入門」ちくま学芸文庫） ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E6%A0%B9 冪根拡大 K を体とし、a ∈ K の任意の一つの冪根 α = n√a を添加する拡大 K(α)/K を K の冪根拡大という。 もし K が 1 の原始 n 乗根を含むなら拡大体 K(α) は二項多項式 x^n ? a の最小分解体となり、この二項多項式は重根を持たないので拡大はガロア拡大となる。 これをクンマー拡大と呼ぶ。 クンマー拡大は巡回拡大でその拡大次数は n の約数である。逆に n の約数 d に対し、拡大次数が d であるような巡回拡大 L/K は（K が 1 の原始 n 乗根を含むという仮定の下であれば）クンマー拡大である。 このことから、ある方程式が係数に対して四則演算と冪根を添加する操作を有限回繰り返すことで解ける（代数的に可解である）ならば、ガロア群は巡回群のみからなる組成列を持たなければならないことになる。 この性質は、抽象群に対して可解群の概念として定式化される。 436 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/05/23(水) 21:46:28.13 ] >>435 １．K が 1 の原始 n 乗根を含むなら拡大体 K(α) は二項多項式 x^n ? a の最小分解体となり、この二項多項式は重根を持たないので拡大はガロア拡大となる。 ２．これをクンマー拡大と呼ぶ。 ３．クンマー拡大は巡回拡大でその拡大次数は n の約数である。 ４．逆に n の約数 d に対し、拡大次数が d であるような巡回拡大 L/K は（K が 1 の原始 n 乗根を含むという仮定の下であれば）クンマー拡大である。 アルティンのガロア本にもあったと思う これが理解できないで、ガロア理論が分かっただの可解群が分かっただのという輩がいる もう一度勉強し直した方が良いと思うのはおれだけか・・ 437 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/05/23(水) 22:02:55.92 ] >>380 これ、以前のスレでも引用したように思うが d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20100821 『天才ガロアの発想力』出ました！ - hiroyukikojimaの日記 2010-08-21 天才ガロアの発想力 対称性と群が明かす方程式の秘密 (tanQブックス) 作者: 小島寛之 全身全霊をこめて書いたので、是非ともひもといていただければ、と。今回は、序文をサービスいたしましょう。 　まえがき 　これから、皆さんには、200年前のフランスの少年に恋をしていただこうと思います。 　名前は、エヴァリスト・ガロアといいます。彼は、二十歳の朝、銃による決闘で命を落としました。決闘前夜に書いた遺書は、なんと一編の数学論文でした。 　そして、その論文で生み出された数学理論は、その後、ガロア理論と呼ばれるようになり、200年経った今でも数学を刷新し続けているのです。 　この本は、そんな無軌道なガロア少年が、何を夢見て、どのように新しい数学を生み出して行ったのか、その発想力に迫って行きます。 　ガロアが解いたのは300年も未解決の問題でした。 　結論だけ言うと、「2次、3次、4次方程式は四則計算と2乗根、3乗根などのべき根をとる操作で必ず解くことができるが、5次以上の方程式ではそうはいかない」ということです。 　このことを突き止めるために、ガロアは、「群論」と呼ばれる全く新しい数学を編み出したのでした。 　群とは、「動き」や「変化」から生まれる代数学で、「対称性」と深い関係があります。 　「対称性」とは、一言でいうと、「動かしても見た目にはわからない」という性質のことですから、「動き」や「変化」と表裏の間柄なのです。 　ガロアは、n次方程式のn個の解の「区別のつかなさ」を群によって表現し、方程式の解法に接近したのです。 (つづく) 438 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/05/23(水) 22:04:49.98 ] >>437 （つづき） 　ガロアの群論は、方程式以外でも幅広く役に立ちます。「動き」「変化」「対称性」が関わるものなら何にでも応用できる、といっても過言ではありません。 　したがって、その後、数学のさまざまな分野に応用されたばかりではなく、他の科学、例えば、物理学、化学、薬学、生命科学、情報科学などにも応用されるようになりました。 　これまでガロア理論の解説書は何冊も刊行されていますが、本書がそれらと大きく異なるのは次の3点になります。 　第一に、これまでの本は、「お話だけで終わっている」か「すごく難しい」か、のいずれかだと思いますが、本書はその中間を狙いました。省略を最小限に押さえながらも、できるだけ理論のキモが明快にわかるよう工夫したつもりです。 　例えば、第2章の「2次方程式でガロア理論をざっくり理解」だけ読めば、急所のアイデアはすぐに納得いただけるでしょう。 　また、第４章では、図形の対称操作の群論を使って、とにかく抽象的なガロア理論を図形的イメージ化しました。 　さらに第二に、数式だけで記述せず、できるだけ言葉によって記述しました。 　群論がガロアの頭の中にどう芽生えたのかを考えることは、数学の外側の作業なので、日常言語が適していると思ったからです。 　そして第三に、最終章でガロア理論のその後の展開を解説しました。基本群に関するポアンカレ予想や被覆空間のガロア理論などで、現代数学へのインパクトをご覧いただきます。 　でも、この本で最も書きたかったことは、ガロア少年のかっこよさです。 　不良で、生意気で、はねっかえりで、純粋で、無軌道。 　かっこいい少年の全条件が揃っています。著者は、その後200年の数学を変革したガロアの発想力は、これらの奔放で反骨的な性格と無縁ではなかったと推測しているのです。 　本書でどうぞ、そんなガロアと、そして数学そのものに恋をしてくださいませ。 （引用おわり） 439 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/05/23(水) 22:22:16.74 ] どこかのバカが、小島寛之先生も二流よばわりするんだろうな・・ >>437 ”　群とは、「動き」や「変化」から生まれる代数学で、「対称性」と深い関係があります。 　「対称性」とは、一言でいうと、「動かしても見た目にはわからない」という性質のことですから、「動き」や「変化」と表裏の間柄なのです。 　ガロアは、n次方程式のn個の解の「区別のつかなさ」を群によって表現し、方程式の解法に接近したのです。” これと梅村>>75”代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。”と比較してみろ 少しは、梅村の意図が分かるだろう >>438 ”　ガロアの群論は、方程式以外でも幅広く役に立ちます。「動き」「変化」「対称性」が関わるものなら何にでも応用できる、といっても過言ではありません。 　したがって、その後、数学のさまざまな分野に応用されたばかりではなく、他の科学、例えば、物理学、化学、薬学、生命科学、情報科学などにも応用されるようになりました。” これとコンヌの序文>>377 www.alainconnes.org/docs/galoistext.pdf とを比べて見ろよ 同じことを書いているだろう 440 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/23(水) 22:51:54.40 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/24(木) 01:41:30.73 ] >>439 お前も相当なバカだぜｗ 442 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/05/25(金) 07:07:07.58 ] >>391 >４．証明とは、本来定理の背景にある数学的構造や数学的性質を明らかにするものであって、証明を読めばそれが分かる・・というか証明を読んで背後の数学的構造や数学的性質を理解するのが本来の姿 >　「基礎体に１の冪根を添加して証明する」のはそれが本質であり、数学的構造等を反映していると理解すべき（単なるテクニックにあらず） 補足 Kummer extensions(下記)。基礎体に１の冪根を添加して考える ”the Kummer extension is necessarily Galois, with Galois group that is cyclic of order m.”(下記) 証明の背後に、Kummer_theoryという数学的構造があるのだ en.wikipedia.org/wiki/Kummer_theory （抜粋） Kummer extensions K contains n distinct nth roots of unity (i.e., roots of X^n-1) As the splitting field of the polynomial X^n ? a, the Kummer extension is necessarily Galois, with Galois group that is cyclic of order m. 443 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/25(金) 07:54:21.58 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. 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Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 445 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/05/26(土) 12:47:23.37 ] >>442 >> ４．証明とは、本来定理の背景にある数学的構造や数学的性質を明らかにするものであって、証明を読めばそれが分かる・・というか証明を読んで背後の数学的構造や数学的性質を理解するのが本来の姿 >>　「基礎体に１の冪根を添加して証明する」のはそれが本質であり、数学的構造等を反映していると理解すべき（単なるテクニックにあらず） >証明の背後に、Kummer_theoryという数学的構造があるのだ >en.wikipedia.org/wiki/Kummer_theory フェルマー予想が未解決のころ、Kummer_theoryもよく知られていた。だが、いま歴史かと思うので下記を引用しておく ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86 3 以上の自然数 n について、x^n + y^n = z^n となる 0 でない自然数 (x, y, z) の組み合わせがない[1]、という定理のことである。フェルマーの大定理とも呼ばれる。 フェルマーが驚くべき証明を得たと書き残したと伝えられ、長らく証明も反例もなされなかったことからフェルマー予想とも称されたが、360年後にアンドリュー・ワイルズによって完全に証明され、フェルマー・ワイルズの定理と呼ばれるに至る。 クンマーの理想数 エルンスト・クンマーがみずから打ち立てた理想数の理論（後にデデキントがイデアルの理論として発展させる）を導入する。 これにより、多くの素数において一意的な因数分解が可能となり、 n が正則素数である（もしくは正則素数で割り切れる）全ての場合については証明がなされた。 虚数レベルでの一意的な因数分解が不可能な非正則素数も無限に存在するが、クンマーは 100 以下の非正則素数（37, 59, 67 の 3 個しかない）についてはそれぞれ個別に研究して解決した。 その結果、100 までの全ての素数 n について（当然 100 以下の素数を約数に持つ全ての n についても）フェルマー予想が成り立つことが証明され、それまでの個別研究からこの問題は大きく飛躍した。 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB 歴史 クンマーはフェルマーの最終定理を証明しようと研究していた。彼は、代数的整数に関しては有理整数の場合のような素因数分解の一意性が必ずしも成り立たないという問題に直面した。 （以下略） 446 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/05/26(土) 12:52:39.55 ] >>445 Kummer_theoryから高木類体論へとつながってゆく これについては、下記河田敬義をご参照 mathsoc.jp/meeting/takagi50/sugaku/sugaku1203136.pdf 河田敬義, 高木先生と類体論 「数学」12巻3号, pp.136- 447 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/05/26(土) 13:05:25.82 ] >>446 河田敬義は下記にリンクあったんだが 「数学」12巻は、1960年だと思う。高木先生の没年 mathsoc.jp/meeting/takagi50/ 日本数学会・高木貞治５０年祭記念事業 高木貞治先生は1960年2月28日に物故せられ、2010年は、没後50周年にあたります。日本数学会は、今年度を、高木貞治50年祭年として、記念事業を行うこととなりました。 mathsoc.jp/meeting/takagi50/sugaku/sugaku1203135.html 高木貞治（１８７５−１９６０）著書およぴ論文目録 Zur Theorie der relativ-Abel’schen Zahlk\”orper I, Proc. Phys.-Math. Soc. Japan, Ser. II, 8(1915), 154-162. Zur Theorie der relativ-Aberschen Zahlk\”orper II, Proc. Phys.-Math. Soc. Japan, Ser. II, 8(1915), 243-254. Zur Theorie der komplexen Multiplication der elliptischen Funktionen, Proc. Phys.-Math. Soc. Japan, Ser. II, 8(1915), 386-393. Ueber eine Eigenschaft des Potenzcharacters, Proc. Phys.-Math. Soc. Japan, Ser. II, 9(1917), 166-169. （注：ここらが高木類体論の原論文で、リンクもあるのだが、サーバーがメンテナンス中とでる。後でアクセスすれば原論文が読めるかも） 448 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/05/26(土) 13:14:48.70 ] >>446 Kummer拡大の理論から、類体論→代数幾何へと発展していった 要は、基礎体に１の冪根を添加してKummer拡大を考える。それが本質 ２項方程式の場合、Kummer拡大でそのガロア群は巡回群になると理解すべき。それが本筋であり、次につながる理解 449 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/05/26(土) 14:15:18.60 ] ところで、知る人ぞ知る（数学系では知らない人が多いと思うが）中村正三郎のShow's Hot Cornerで、どういう訳かガロア理論が・・・ www.asahi-net.or.jp/~ki4s-nkmr/ 乳の詫び状(2012/05/11) 標題: 「13歳の娘に語る ガロアの数学」ほか、ガロア、群論関係 iiyu.asablo.jp/blog/2012/05/10/6441629 数学のDVDや本が、あれこれ売れてる のガロア、群論関係で書き忘れ。 www.amazon.co.jp/dp/400005211X?tag=showshotcorne-22&link_code=as2&creativeASIN=400005211X&creative=4011&camp=767 13歳の娘に語る ガロアの数学 [単行本（ソフトカバー）]金 重明 (著) 　雑学家 (関西)という人の代数学の要である正規部分群の説明がイラストで分かりやすいので超お薦めです,2011/8/21 という素人評に挙げられている、群論にからむもので、気になったもの。 「松田修先生の個人HPガロア理論入門（概略）」は、 www.tsuyama-ct.ac.jp/ 津山工業専門学校(津山高専)の www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/ 津山工業専門学校(津山高専)：松田研究室にあるガロア理論入門ノート(概略/詳細）ですね。 www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/gal.pdf ガロア理論入門ノート 概略 www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/gals.pdf ガロア理論入門ノート 詳細 　「兵庫教育大学自然系数学 松山 廣先生のＰＤＦ」は、よくわからなかった。 www.sci.hyogo-u.ac.jp/matsuyam/ 兵庫教育大学 自然系 数学分野　松山 廣 研究室 www.sci.hyogo-u.ac.jp/matsuyam/lecture_note.htm 過去の講義ノート にある www.sci.hyogo-u.ac.jp/matsuyam/lecture_note/alg1_2011.pdf 2011年度 代数学I (学部１年) www.sci.hyogo-u.ac.jp/matsuyam/lecture_note/alg3_2011.pdf 2011年度 代数学III (学部３年) とは違うみたいだし。 　「物理のかぎしっぽ」は、昔、iiyu.asablo.jp/blog/2008/10/16/3822336 祝物理本特需、趣味で物理学の本、EMANの物理学、物理のかぎしっぽなど物理学サイト紹介などで、紹介しているが、群論が出てくる代数学のページは、（略） 450 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/05/26(土) 14:22:06.36 ] ついでに、こんなサイトが・・ matome-toka.com/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96/?fromsearch ガロア理論のまとめ情報 ガロア理論のまとめ、とか ■ 『ガロア理論』の解説 451 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/05/26(土) 14:29:20.57 ] >>439 補足 ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E8%AB%96#.E7.BE.A4.E3.81.A8.E5.AF.BE.E7.A7.B0.E5.A4.89.E6.8F.9B 群論 群と対称変換 与えられた任意の種類の構造を持つ対象 X に対し、その対称変換（あるいは対称性、symmetry）とは対象 X からそれ自身の上への構造を保つ変換のことを言う。これは多くの場面で見つかるが、たとえば 1.対象 X が特に付加的な構造を持たないただの集合であるとき、X の対称変換とは集合 X からそれ自身への全単射のことであり、その全体として対称群が得られる。 2.対象 X が距離構造を備えた平面上の点の集合（あるいはもっとほかの距離空間）であるとき、X の対称性とは集合 X 上の全単射であって、X 上の任意の二点間の距離を保つもの（等距変換）のことである。これに対応する群は X の等距変換群と呼ばれる。 3.先ほどと同じ集合で距離の代わりに角を保つものは共形写像あるいは等角写像と呼ばれる。等角写像の全体からは、例えばクライン群が得られる。 4.対称変換は何も幾何学的対象に限ったものではなく、代数的対象にも同様に定義することができる。例えば、方程式 x^2-3=0 は二つの根 ±√3 を持つが、 このとき、この二つの根を入れ替えるという対称変換が考えられ、これによって得られる群が、この方程式に属するガロワ群と呼ばれるものである。 一変数の任意の代数方程式が、その根の上のある種の置換群としてのガロワ群を持つ。 群の公理は対称変換の本質的な性質を定式化するものであり、対称変換の全体は群を成す。実際、対象に対称変換を施してからさらに別の対称変換を施せば、得られる結果は再び対称変換であるから、対称変換は写像の合成に関して閉じている。 また、対称を固定して動かさない恒等変換はかならずそ対象の対称変換である。逆元の存在については、対称変換の取り消しができるということによって保証され、群演算の結合性は対称変換が空間上の写像であり、写像の合成が結合的であることから従う。 対象の「構造を保存する」という言及は、圏で考えればもっと厳密に扱うことができる。つまり、構造を保つ写像とは射のことであり、対称変換群（対称性の群）とは考えている対象の自己射群である。 452 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/05/26(土) 14:32:04.23 ] >>451 > 4.対称変換は何も幾何学的対象に限ったものではなく、代数的対象にも同様に定義することができる。例えば、方程式 x^2-3=0 は二つの根 ±√3 を持つが、 補足 群と対称性が分からん分からんという輩がいる 勉強不足を自白しているのか・・・ 453 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/26(土) 15:18:49.03 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 454 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/05/26(土) 18:28:30.71 ] 450KBになったので、新スレ立てた。以降は新スレで 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む5 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1338016432/ 455 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/27(日) 01:33:01.12 ] 過去スレ消化してからやれ。このキチガイ。 456 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/05/27(日) 06:29:00.55 ] >>455 乙 １．意図は、暫くは過去スレを共存させておこうということだった ２．賑わっている板では、普通数週間から１月くらいでDAT落ちするんだ。だが、過疎っているこの数学板では初代スレが二ヶ月経ってもまだ残存している ３．よほど過疎なんだね、数学板は ４．だが、”私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。”のAAを投稿するお方によって、いずれ満杯でDAT落ちするだろう ５．”私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。”のAAを投稿するお方の標的を分散させる意味もある。AA投稿を意義あるものにしてあげているのだよ 457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/27(日) 07:06:46.83 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 458 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/27(日) 07:13:33.16 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. 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Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 463 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/05/27(日) 21:02:42.12 ] >>461 ありがとう、ありがとう で、君は何様？　この２ちゃんねるのオーナー？　数学板のぬし、支配者？ なに？　ただの”１３２人目の素数さん”だと？　言いたいことはそれだけか？　なら行っていいぞ ここは、２ちゃんねるで天下のチラシの裏 それ以上の何を期待しているんだ？　高尚な学会並みの議論かね？　なら来るところを間違っているよ　このスレはおれが仕切っているんだ。嫌なら来なくていい 464 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/27(日) 21:14:34.14 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/27(日) 22:44:23.31 ] >>463 お前がやっているのは迷惑行為だ。中年過ぎてもわからんのか？ >>２．賑わっている板では、普通数週間から１月くらいでDAT落ちするんだ。だが、過疎っているこの数学板では初代スレが二ヶ月経ってもまだ残存している DAT落ちするのは誰かが書き込んだ場合。お前の初代スレが未だに落ちないのは 人気も需要もないからだよｗ　板のせいにするな。気付よｗｗ　 >ここは、２ちゃんねるで天下のチラシの裏 チラシの裏なら１スレあれば十分。中身のないスレを乱立させるな、このクズ中年。 あとさ、構って欲しいから2chに書き込んでるんだろｗ　違うか？

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