- 435 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/05/23(水) 21:37:33.27 ]
- >>319
> ２）１のべき根を添加した体
> ３．この二つのどちらを取るかは、目的に応じて自由で良い。
クンマー拡大：クンマー拡大は巡回拡大でその拡大次数は n の約数である。（アルティンのガロア本にもあったと思う na-inet.jp/weblog/archives/001482.html E.Artin(アルティン)/寺田文行・訳「ガロア理論入門」ちくま学芸文庫）
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E6%A0%B9
冪根拡大
K を体とし、a ∈ K の任意の一つの冪根 α = n√a を添加する拡大 K(α)/K を K の冪根拡大という。
もし K が 1 の原始 n 乗根を含むなら拡大体 K(α) は二項多項式 x^n ? a の最小分解体となり、この二項多項式は重根を持たないので拡大はガロア拡大となる。
これをクンマー拡大と呼ぶ。
クンマー拡大は巡回拡大でその拡大次数は n の約数である。逆に n の約数 d に対し、拡大次数が d であるような巡回拡大 L/K は（K が 1 の原始 n 乗根を含むという仮定の下であれば）クンマー拡大である。
このことから、ある方程式が係数に対して四則演算と冪根を添加する操作を有限回繰り返すことで解ける（代数的に可解である）ならば、ガロア群は巡回群のみからなる組成列を持たなければならないことになる。
この性質は、抽象群に対して可解群の概念として定式化される。
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