- 107 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/07(水) 01:05:35.76 ]
- 命題
A を可換環とする。
f ≠ 0 を A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）の元とする。
mdeg(f) = (a_1、．．．、a_n)（>>101）とする。
このとき a_1 ≧ a_2 ≧ ．．．≧ a_n である。
証明
lead(f) = c(X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) とする。
ここで c ≠ 0 は A の元である。
任意の σ ∈ Sym({1、．．．、n})（>>6）に対して σf = f であるから
c(X_σ(1))^(a_1)．．．(X_σ(n))^(a_n) は f の項である。
よって、σ として互換 (1, 2) をとれば c(X_1)^(a_2)(X_2)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) は f の項である。
よって、a_1 ≧ a_2 である。
同様に σ として互換 (2, 3) をとることにより a_2 ≧ a_3 となる。
以下同様にして a_1 ≧ a_2 ≧ ．．．≧ a_n となる。
証明終
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