- 1 名前：1 mailto:age [2010/03/06(土) 12:44:09 ]
- [２つの封筒問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
一方を選んで中を見ると10000円だった。
他方の袋に入っている金額は5000円か20000円なので
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？
この問題・類題に関する意見・質問のスレです。専用スレ立てました。
この問題を他のレスで質問したりすると、高頻度で荒れる原因になりますので
できるだけ、こちらに書くようお願いします。
こんな確率求めてみたい その1/8
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/
から派生しました。
- 52 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 23:50:33 ]
- >>51
一行目がさっそく日本語になってないのだが
助詞の使い方間違ってないか？
- 53 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 23:54:07 ]
- >>51
前提が正しいかどうかをまず検証することが必要
その答えは>>51が新たに用意した前提から導かれているだけ。
- 54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 23:57:27 ]
- >>52
確かに酷いと思った
どの１：２である正実数の組である確率も同様に確からしいことを前提とする。
その確率をαとする。
開けた封筒が1000であった時、他方が500である確率も2000である確率も、
(α/2)/((α/2)+(α/2))＝1/2。
よって期待値は1250。期待値の大きい方を良いとするならば取り替えた方が良い。
- 55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 23:59:47 ]
- >>53
数学の問題では特に条件が与えられていなければそれらは同様に確からしいと解釈される。
今回の場合、「どの組であるか」と「組のどちらを引くか」は同様に確からしい。
- 56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:01:36 ]
- >>55
全く与えられていないのならば、ね。
- 57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:02:15 ]
- >>56
どこかに与えられていたか？
- 58 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:04:52 ]
- 明確に与えられている
- 59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:05:32 ]
- 言ってみろ
- 60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:10:47 ]
- 金額１：２という条件によって
それぞれの組の存在確率が規程されるということに気付くか気付かないかだろうね
対数をとるなどの数学的操作を行えば
当面、金額設定における存在確率を考えずにすませる方法もあるが
その場合は対数をとるという余計な操作をした分
期待値の算出方法も変わってしまうが結果的には同じこと
- 61 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:12:11 ]
- >>60
もちろん金額１：２という条件によって規程される中での等確率しか論じていないよ。
見えないか？
- 62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:13:47 ]
- ＞規程される中での等確率
なるほど、それでは別の問題をあつかっていたのね。
神が途中で都合のいい確率操作でもしてくれるわけですか。
- 63 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:17:12 ]
- >>62
特に指定されていないので神が確率操作したならば等確率であるように確率操作したものとする。
君の言う都合のいいが何に都合のいいことを指しているかを明示しない限り後者に答えられない。
- 64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:17:39 ]
- ほら、1倍って言ってる人は結論ありきだから確率分布もそれに沿って考えるんですよ
- 65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:21:19 ]
- >>63
神が現実を曲げた世界ですな
明示されても気付けない人には仕方ないんじゃないかな。
気付くまで頑張ってみてください
一個人が数学的事実を理解できなくても
数学的事実の方は変わらないので
いろいろ不具合やおかしさを受け止めて頭を働かせる謙虚さがあれば
そのうち辿りつけるでしょう
- 66 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 00:23:10 ]
- >>52
でも>>51の言いたい事は分かった
( 500,1000 )( 1000,2000 )の封筒になる比率が１：１なら
1000が出たときに他方が500の確率が1/2、2000の確率が1/2になるってことだよね
これを交換しない派に呼び込むには
①封筒の中身が１：２になるような数字は大きくなるにつれ比率が下がる
（小さいペア：大きいペア=２：１に )
②( 500,1000 )( 1000,2000 )の封筒になる比率が１：１であっても1000が出たときに
500が1/2の確率、2000が1/2の確率になるとは限らない
①もしくは②が説明出来ればいいんだ、やっぱ議論した方が考えがすっきりするわ
- 67 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:25:16 ]
- >>65
ふむ、反論できなくなればそうやって「こいつらは気付かなくても自分は気付いてるんだ」と根拠の無い特権意識に逃げるしかないか。
- 68 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:27:21 ]
- >>66
①そうした確率分布にする根拠が無い。
②全事象の確率の和から個々の確率で割れば1/2になる。
- 69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:28:01 ]
- 成程な。
条件整理できてなかった人が
議論の中のふとした部分から条件整理できるようになったりするのなら
無駄ではないわけだ
というより、そのための隔離スレだったな。
- 70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:28:03 ]
- ミス
②全事象の確率の和で個々の確率を割れば1/2になる。
- 71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:33:00 ]
- >>67
根拠の有無も
（事実や理解から）逃げているのがどっちなのかも
運が良ければ気付ける日が来るよ
現実とかみ合っていない原因を納得できてない>>67が
納得いくかいかないかだけの問題なわけだから。
あるいは神が現実を曲げた仮想ルールに基づいた確率論を構築するのも一興かもね。
反論っていう次元の内容じゃないしね…
- 72 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:33:54 ]
- >>68の答えから①の方が崩しやすいと感じる
なぜなら『そうした確率分布にする根拠が無い』の根拠が示されていないから
- 73 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:34:12 ]
- >>71
反論できければ反論なんて次元じゃないというしかありませんよね＾＾
- 74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:36:07 ]
- ゴールはどこだろう
封筒の中の金額をA,Bとして
1)任意のAに対して、Bの期待値は(1/2) * (1/r + r) * Aで表せる。
2)任意のBに対して、Aの期待値は(1/2) * (1/r + r) * Bで表せる。
1),2)が同時に成り立つような(A,B)の密度関数f(x,y)が存在し得ないことの証明？
- 75 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:36:51 ]
- >>72
組に関する提示された制限は「１：２である」のみで他に根拠となる情報は見当たらないが。
- 76 名前：7 mailto:sage [2010/03/08(月) 00:51:23 ]
- 元の問題文(>>1)には
一方を選んで確認すると10000円だった時の
他方の袋の金額が5000円である確率と20000円の確率の比が書いてない。
書いてないので、1:1が自然だと思う人が居る
書かれてないが、金額比から2:1が自然だと思う人も居て
書かれてないが、金額比から1:2が自然だと思う人も居る
私は、書かれてないのだから特定の比が自然なんてことはないと思っている
でも、どれが正解か、どれが自然か、どの立場が優れているかというのは
>>1の問題文から論理的に出てくることではなく
感性とか慣習の問題だ。このことは確率の比だけに言えることではない。
立場の違う人同士では話が噛み合わないのも当然だ。
この問題がなかなか解決されず、どこかのスレで質問される度に
荒れるのは、誰も正解がわからないというより
色んな人が自分の解答こそ本当の正解だと主張するからである。
明確なことを何一つ書かないのも、ある意味賢いと思うけどね。
- 77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:55:10 ]
- >>76
＞他方の袋の金額が5000円である確率と20000円の確率の比が書いてない
それは書かれるべきものではなく計算すべきものだ。
- 78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:55:30 ]
- >>76
比が書かれていないけど、期待値がデカくなりそうなことは仄めかしてる
これを崩すために「どちらから見ても相手の期待値が＋になること」を仮定して
背理法により確率分布の矛盾を導けば良い。
- 79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:56:28 ]
- >>7
情緒的、曖昧過ぎる
それが良いとも悪いとも言わないが数学板ではその姿勢では無視されるだろう
- 80 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:58:39 ]
- どちらから見ても期待値が+になることは条件が違うから何も矛盾していないが
- 81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:04:46 ]
- ＞感性とか慣習の問題だ。
それは違うでしょ。問題解決のためのスキルの有無の違いとは言えるかもしれないが。
１：２というところからちゃんと
数が大きくなるほど密度が小さくなるようなイメージをつかんでいる人もいれば
１：２は分布に全く影響しないと思ってる人もいるわけで。
数学的感性、思考的慣習の違いとは言えるかもしれない。
＞荒れるのは、誰も正解がわからないというより
＞色んな人が自分の解答こそ本当の正解だと主張するからである。
正確には
違う意見に接したときに、違いを理解することを放棄しているから、ではないかな。
あるいは、自分にとって理解できないものは明確でないと切り捨ててしまうなど。
負の数や複素数などの概念にしたところで、
まずは直観的に納得がいかなくてもそういうものがあると受け入れてみることからはじめないと
先には進めないわけでね。数直線上のどこに現れるんだ？あらわそうとすると矛盾だとか
複素平面なんてものは詭弁だとか言ってる段階で止まってると理解は進むわけがない
負の数や複素数なら考える前に計算練習で慣れてしまうことができる分
受け入れるには単純でいいけど。
- 82 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 01:05:27 ]
- 思考実験として小さい値の封筒ペアAが取り得る値を
(1,2)(2,4)(3,6)(4:8)・・・・・・(99,198)(100,200)とする
そうすると大きい値のペアBは
(2,4)(4,8)(6,12)(8,16)・・・・・（198,396)(200,400)となる
ペアBが小さい値のペアだとするとペアCは
(4,8)(8,16)(12,24)(16,32)・・・・（396,792)(400,800)となる
１～１００までに２６２個
１００～２００までに１６３個
２００～４００までに１２５個
４００～８００までに５０個
数字が偏っているように思える
これは０から始まる直線に印を入れるとより顕著に見えると思う
- 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:06:36 ]
- >>80
だな
これは>>14でいうところの
視点を混同してるケースに近いか。
２人いるときに、双方の情報を混同している場合
- 84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:07:19 ]
- ＞感性（中略）の問題だ。
それは違うでしょ。（中略）
数学的感性（中略）の違いとは言えるかもしれない。
- 85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:11:38 ]
- >>82
そこからもう少し整理すれば
正しいイメージにいきあたりそう
思考実験の段階なので
最初に考えたAのペアの金額が等間隔になっているが
整合性をとるためには
その等間隔というところも不自然だということが
直観的にもわかってくると思う
- 86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:12:29 ]
- >>81
負の数や複素数を提唱した人は君のように何の根拠も無く
「俺のイメージがちゃんとしたイメージなんだ！」なんて言わないけどねｗ
- 87 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 01:15:10 ]
- >>82
などから大きな数字は小さな数字より２倍薄くなる公式を導きたいんだけど
誰か助けて下さい
- 88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:15:34 ]
- >>82
「小さい値の封筒ペア」って何？
- 89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:15:35 ]
- >>86
理解する気がない特定の（ｗ）人はそこ止まりなんだろう、いつも。
- 90 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:16:38 ]
- >>89
何も反論しないくせに「俺の言うこと理解してくれない」ｗ
- 91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:20:14 ]
- >>87
もし本当にそれが正しいなら定義をきちんと整備すれば自ずと導けるだろう
- 92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:21:08 ]
- >>67
そういうのは
「お前に反論することはできないが、お前には構っていたいんだ」
という意思表示だよ。
- 93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:21:43 ]
- >>90
理解できてる人はいくらでもいるからね
あと、「俺の言うこと」ではなく数学的な考え方ね。
>>90みたいな理解を放棄して挑発しかしない態度の人には
数学的思考なんて無縁なことなのかもしれないな
- 94 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:22:33 ]
- >>92
論を唱えない人に反論を求められてもなー
頭大丈夫でっか？
- 95 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 01:22:33 ]
- >>85
あなた>>14の人ですね
ヒントはくれるけど答えは教えてくれないなんて
さては数学者だな
- 96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:24:10 ]
- >>93
出ましたｗ
「根拠は無いけど俺の考えの方が数学的な考え」ｗ
- 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:25:49 ]
- >>95
答えは出ているのでは？
答えを導く過程を納得できない人がいろいろこねくり回す場なんでしょ、ここ。
- 98 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:26:15 ]
- >>97
出ていると思ってるなら言ってみれば？
- 99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:28:31 ]
- >>98
理解する気もないし
理解しようとする態度でもないでしょ。
- 100 名前：7 mailto:sage [2010/03/08(月) 01:30:18 ]
- 試しに>>1の問題文に
「金額の組は{5000,10000},{10000,20000}のどちらかで、
どちらになる確率も同様に確からしいとする」
とか
「金額の組は{5000,10000},{10000,20000}のどちらかで、
{5000,10000}になる確率2/3,{10000,20000}になる確率2/3とする」
とかさらに別の適当な条件をそれぞれ加えても、別の問題ができあがるだけで
>>1の問題文中の条件と矛盾したりはしないでしょ？
>>1の段階では、どれを採用すべきかは論理的には決められないよ。
もちろん、これこれを採用するのが自然だと思うという流儀
があること自体は批判はしないが、論理的根拠もなく
他の流儀を認めないというのは困る。
- 101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:30:25 ]
- >>81
＞数が大きくなるほど密度が小さくなるようなイメージをつかんでいる人もいれば
実際に数が大きくなるほど密度が小さくなるの？
- 102 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:31:03 ]
- >>99
もちろん正しいと思えるだけの論証を沿えて頂ければ理解しますよ
これが正しいんだとしか言えずに駄々を捏ねるので無ければね
- 103 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 01:33:50 ]
- すみません>>99さん
どうかお願いですから教えて下さい
合ってても、間違ってても私には分かりませんが
いつか理解出来るように今聞いておきたい
- 104 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:34:10 ]
- >>100
「１～４の書かれたカードのうち１枚与えられた時、それが１である確率は1/4」かどうかも流儀に依るという立場かな？
- 105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:48:01 ]
- ここの人達は期待値の以前に平均値の意味もよく理解してないからなぁ・・・
- 106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:51:18 ]
- >>101（>>103へも。）
比で規程されていれば。
差で規程されていればどこも密度は同じ。
1000円だろうと、10000000000000000000000000000円だろうと、
-10000円だろうと。
- 107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:52:04 ]
- きてい
規定
- 108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:53:48 ]
- >>94
>>92は反論など求めていないので
それは 誤読か誤アンカーのどちらかである。
- 109 名前：前355 mailto:sage [2010/03/08(月) 01:54:49 ]
- 独立お疲れ。
>>76 が正しいな。
大きい方の袋の金額がどうやって決まるか、
それは全ての金額において等確率だ、
というところまではＯＫだよね。
それ以後は、「自分が取ったのが大きい方である確率：小さい方である確率」は、
金額決定の分布が指数分布の分散∞への極限なら 1:1 が正しいし、
上限付き一様分布の上限∞への極限なら 1:2 が正しい。
で、そこは指定されてないんだから、どちらもあり得る。
ガンマ分布とか適当なのを選ぶと、
その比は極限とは関係の無いパラメータで任意に決まりそう。
結局「不定」が解だね。
- 110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:59:10 ]
- ＞色んな人が自分の解答こそ本当の正解だと主張するからである。
けっこう当たってるな、ワロタ
- 111 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 02:00:16 ]
- >>106
ある一定の金額の入っている封筒が、
大きいほうの金額の封筒であることと、小さいほうの金額の封筒であることとで
密度が違うといっているのだと思いますが
その密度というのは 何の何に対する密度ですか？
たとえば人口密度は、土地の面積に対する人間の数 である密度 だと思います。
その場合の密度となんなのでしょう？
- 112 名前：7 mailto:sage [2010/03/08(月) 02:01:38 ]
- >>104
もちろん、うるさく言うなら問題文に
"どのカードが選ばれる確率も同様に確からしい"等がないなら
"同等に確からしいと仮定するなら1/4"と答えるし
もっとうるさく言うなら、問題文から自然言語をできるだけ排除して
「この[論理式]が正しい証明をしろ」という形式でなければ
答えられない。こういう意味ではこんな流儀は他の流儀より優れているとは
とても言えない。
コインやサイコロ、>>104のような問題なら特定の条件がない限り
確率1/2とか1/6,1/4で考えることに文句はないよ。
ただ>>1の問題を例えるなら
「数字の書かれたカードのうち１枚与えられた時、それが１である確率は？」
って訊かれても、カードの枚数とかカードにどんな数字が書かれているのか
が異なれば確率も異なるし、その条件が全く与えられないなら
求められない・勝手に仮定したことを明記した上で答えるしかない
ってこと。
- 113 名前：s5179 [2010/03/08(月) 02:05:55 ]
- >>109
>金額決定の分布が指数分布の分散∞への極限なら 1:1
>上限付き一様分布の上限∞への極限なら2:1
それは設問の時間軸で判断は出来ないのでしょうか？
『上限付き一様分布の上限∞への極限』はどういった前提条件が必要になるのでしょう？
- 114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 02:12:54 ]
- >>112
前段落に関しては正に同意するところです。
後段落に関して言うなら>>104が妥当だと考えるのと同程度にどの組が出る確率が等しいと考えます。
つまりは期待値は12500になるという立場ですね。
と言っても仕方が無いでしょうから１つ質問ですが、
無限を取り扱う場合には分布が提示されなければ解は決まらないという立場なら、
「異なる実数が書かれた２枚のカードの一方を渡される。
それが他方より大きい確率は幾らか」という問題も解が決まらないという立場ですか？
- 115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 02:45:29 ]
- 112ではないが、
（等しい場合はとりあえず考えないことにする）
そのカードに書かれている数字を見てしまったら
分布が提示されなければ決まらない。
見ていなければ1/2
- 116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 03:51:04 ]
- >>115
これは見ても見なくても1/2じゃないの
一方を渡された段階で大きいか小さいかは決まってるよね
見てからなんか選べるの？
- 117 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 04:06:12 ]
- >>115
カードに書かれている数字をみる
分布の提示を求める
それはもはや別の問題を解いているのでは・・・
- 118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 04:07:14 ]
- >>116
極端な事を言うと、「一方のカードは0、もう一方は1」という場合すらあり得る
当然ながら、この場合はカードを見た時点でどちらのカードが大きいかわかる
- 119 名前：118 mailto:sage [2010/03/08(月) 04:09:05 ]
- あ、俺は>>115じゃないよ
- 120 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 08:35:51 ]
- >>119
その場合の設問は
異なる実数が書かれた２枚のカードの一方を渡される。
カードを見ると１であった
カードに書いてある数字は１もしくは０である
それが他方より大きい確率は幾らか
になるのかな？
もうその場合、『異なる実数が書かれた』のところは省略していい？だめ？
- 121 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 08:57:44 ]
- 異なる実数が書かれた２枚のカードの一方を渡される。
カードを見ると１であった
それが他方より大きい確率は幾らか
の設問だったら
1/∞だけ大きい確率が増して解は1/2
Xの取り得る値の確率分布がX≦1のとき2/3、１≦Xのときは1/3
だったら解は1/3
ってあってる？
- 122 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 11:23:02 ]
- 分布と組は同じ概念でしょ？
「組」って言ってるのは、無数の1:2の数字ペアを袋に入れてそこからペアを一つ無作為に取り出すっていう操作
特定の数字ペアが取り出される確率はその「重複度」によって定められる
分布(密度関数)は、(x,2x)が得られる確率をf(x)で定義したもの
- 123 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 16:31:22 ]
- 重複度？
変なとこで使うんですね
- 124 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 17:21:17 ]
- 初めに封筒に入れた金額に重点を置いて>>1を解きます。
Aは偏りのない実数とする
封筒の中身を（A、２A）とする
A≠0円は金額比が 1：2 より自明である。
設問よりお金を入れた段階で金額が決定されている事は自明である。
1/2の確率でAを選ぶ、このとき他方は２Aである。
1/2の確率で２Aを選ぶ、このとき他方はAである。
よって封筒の中身の期待値は
1/2×A+1/2×２A＝3/2Aとなる。
一方を選んで中を見ると10000円であった
このとき他方の封筒が5000円であるか20000円であるかは不明である
よって期待値12500円は間違いで別の袋を選ぶ方が得か損かは不明である
他方の封筒を開けることで初めに２つの封筒に設定された期待値を知る事が出来る。
A＝10000円とすると他方の封筒は必ず20000円となる、このとき5000円の封筒は存在しない（1/2Aは存在しない）
他方の封筒を開けると期待値が15000円であったことが分かる。
2A＝10000円とすると他方の封筒は必ず5000円となる、このとき20000円の封筒は存在しない（４Aは存在しない）
他方の封筒を開けると期待値が7500円であったことが分かる。
A＝10000円、２A＝10000円は独立した事象であり連続性はない
この試行をB回行う（Bは十分に大きい正の整数）
獲得できる金額は期待値の総和に近づく
次は封筒一つに重点を置いた解法を見つけてみたいと思います。
お金では無理かもしれませんが、αを偏りのない実数として2のα乗でいけるのではないかと
- 125 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 17:59:41 ]
- ＞中を見ると10000円であった
ここで逆にたどると
3A/2 = 10000円
より、Aの期待値は2/3 * 10000円
よって他方の封筒の期待値は
1/2 * 2/3 * 10000 + 1/2 * 2/3 * 10000 * 2 = 10000円
一方、選んだ封筒に10000円入っていたことから(10000,20000)又は(5000,10000)が二つの封筒の中身である。
前者である確率をpとして
p * 20000 + (1-p) * 5000 = 10000
p = 1/3
より、選んだ封筒が少額側である確率は1/3である
よって僕はバカである
誰か頭良い人、どこでおかしくなったか教えて頂けませんか？
- 126 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 18:19:32 ]
- >>125
>>124に書いてある通り期待値の決定は封筒を２つとも開けたときになります。
もし期待値から遡るのであれば起点は２つの封筒を開けた時からにして頂ければ幸いです。
>選んだ封筒が少額側である確率は1/3
これはαを偏りのない実数として2のα乗で説明できそうです
αに偏りはなくても、2のα乗にすると密度が少ない側にかたよるように思います
たぶん封筒の中の金額 5000：10000：20000=√2：1：1/√2と予想します。
しかし２のα乗の方法の期待値だと
>この試行をB回行う（Bは十分に大きい正の整数）
>獲得できる金額は期待値の総和に近づく
は満たせなくなると予想します
これは封筒を1つ選んだ時点で期待値を求める為に起こります
なので２のα乗を使った解法を見つけるモチベーションが下がっています。
- 127 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 18:24:32 ]
- すみません
>選んだ封筒が少額側である確率は1/3
ではなく
選んだ封筒が少額側である確率は2/3になると予想しています。
- 128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 23:22:02 ]
- よって僕はバカである
なんだこれ
- 129 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/09(火) 00:20:31 ]
- １００００円が出たときに
他方の封筒の中身は５０００円か２００００円に絞られます
そしてその比率は１：１であるかのように感じます
しかしそれは
5000円の確率：20000円の確率＝1/（∞-∞＋2）：１/（∞-∞＋2）≠１：１
の状態なのではないでしょうか？
これが正しいか間違ってるか
この分母に入るのが∞-1、∞-2、∞-3、∞-∞＋1、∞-∞＋2、∞-∞＋3のいずれか
議論する価値はあるかと思います
上の疑問は最近寝不足でレス待ちしてたら寝てしまい夢に出た
粘着で気分の浮き沈みも激くなってきてるし病気かも・・・・
- 130 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/09(火) 00:23:57 ]
- 自覚症状あるうちは大丈夫だ
図書館にでも行ってくる方が手っとり早いし健全だよ
- 131 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/09(火) 00:34:08 ]
- >>130 はい、そうします ありがとう
今は２つの封筒問題に夢中です、この前まではCOD：MW2でした
２つの封筒問題をアルファルファで見つけて以来やってませんが
今日はもう寝ます・・・・かゆ・・・・・うま・・・・・な状態です。
- 132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/09(火) 18:15:49 ]
- 完全な決着が付いてない問題だから調べたところでどうもねぇ・・・
図書館、というか論文でなら期待値12500で交換した方が（期待値的に）良いとしてるもの方がよく見るけど・・・
- 133 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/09(火) 22:10:18 ]
- >>130
>>132
- 134 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/09(火) 22:17:11 ]
- >>130
>>132
今日は仕事で遅くなり図書館には行けませんでした。
仕事中にいろいろ考えたので書き込みしてみます。
２のα乗で解を求めるのには失敗しました。
値の数の分布に偏りはみられませんでした。
やはり１つの封筒を開けた段階で期待値は求められないのかもしれません。
あと∞－∞＋２も誤りでした。
気づいた時に顔が真っ赤になりました。
- 135 名前：s5179 [2010/03/09(火) 22:54:18 ]
- [２つの封筒問題、上限20000円版]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする、上限を20000円とする。
一方を選んで中を見ると10000円だった。
他方の袋に入っている金額は5000円か20000円なので
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？
(解）
Aは１～10000の整数とする、封筒の中身を（A、２A）とする
設問よりお金を入れた段階で金額が決定されている事は自明である。
1/2の確率でAを選ぶ、このとき他方は２Aである。1/2の確率で２Aを選ぶ、このとき他方はAである。
よって封筒の中身の期待値は 1/2×A+1/2×2A＝3/2Aとなる。
一方を選んで中を見ると10000円であった
このとき他方の封筒が5000円であるか20000円であるかは不明である
よって期待値12500円は間違いで別の袋を選ぶ方が得か損かは不明である
他方の封筒を開けることで初めに２つの封筒に設定された期待値を知る事が出来る。
A＝10000円とすると他方の封筒は必ず20000円となる、このとき5000円の封筒は存在しない（1/2Aは存在しない）
他方の封筒を開けると期待値が15000円であったことが分かる。
2A＝10000円とすると他方の封筒は必ず5000円となる、このとき20000円の封筒は存在しない（４Aは存在しない）
他方の封筒を開けると期待値が7500円であったことが分かる。
A＝10000円、2A＝10000円は独立した事象であり連続性はない
封筒を引く確率を （5000円,10000円,20000円）の並びで示す
封筒が選ばれていない時 （1/10000,1/10000,1/20000)
(5000円,10000円）を封筒に入れたとき（1/2,1/2,0)
(5000円,10000円）の内10000円を引いた後（1,0,0)
(10000円,20000円）を封筒に入れたとき（0,1/2,1/2)
(10000円,20000円）の内10000円を引いた後 (0,0,1)
∞は考えがまとまらないので有限に、円が単位なので整数にしてみました。
- 136 名前：べ mailto:sage [2010/03/10(水) 02:22:52 ]
- 期待値から、引いた方が得
感覚的には、安い方を引いたなら次は高い方が出る可能性が高い。
高い方を引いたなら安い方が出る可能性が高い。
可能性がどれぐらい高いかを考えれば、引いた方が得になる。
- 137 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 02:43:23 ]
- ＞Aは１～10000の整数とする
これは「場合により１：２が成り立つ」
「場合によっては１：２が成り立たない」という
ものすごくいびつな条件を作った上で計算していることになる。
ぶっちゃけてしまえば無意味。
＞他方の封筒を開けると期待値が15000円であったことが分かる。
それは期待値とは言わない。
- 138 名前：s5179 [2010/03/10(水) 04:19:33 ]
- >>137
まずは１：２が成り立たない反例からどうぞ
- 139 名前：s5179 [2010/03/10(水) 04:22:09 ]
- う、寝起きは日本語がおかしい
>>137 １：２にならない反例を一つ示して下さい
- 140 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 06:03:06 ]
- １００００の場合
５０００と１００００のうちの１００００および
１００００と２００００のうちの１００００
１の場合
１と２のうちの１のみ
０．５と１のうちの１ という可能性は排除されている
２００００の場合
１００００と２００００のうちの２００００のみ
２００００と４００００のうちの４００００ という可能性は排除されている
関与する数字にこれだけのいびつさが生まれている
すなわち１００００という金額を確認したという事実だけ優先する立場なのに
理由もなく１から１００００という選択肢を後から用意したため
これが良く言われている結論ありきの論法と言うやつかな
- 141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 09:27:54 ]
- >>137はなにを言っとるの？
＞ 「場合によっては１：２が成り立たない」
その条件下では成り立つという話なのに
それ以外の話をしてもそりゃ無意味だわな。
- 142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 09:31:30 ]
- >>140
「上限20000円版」とことわってんだから別の問題なのだと思うが。
脊髄反射で反論する前に、もう少しよく読んだほうがいいのではないか。
- 143 名前：s5179 [2010/03/10(水) 21:49:46 ]
- 期待値12500円派もしくは11250円派の>>140さん
反例ありがとうございます。
着眼点は間違っていないと思います。
論理的思考のできる>>140さんは数学が得意な方だと推測します。
期待値は分らない派もしくはその他の関数派の>>141さん >>142さん
的確な指摘です、議論の参加を願います。
私は10000円を開けて見た時に期待値は分らない派です（15000円派ではありません）
>>140 での指摘は期待値12500円での解法では間違っていません、まさに的確です。
しかし>>141さん>>142さんには>>135に違和感はなかったと思います。
期待値12500円もしくは11250円での解法では有限かつ取り得る値が整数の場合
初めに1,3,5,7,9などの奇数や、10002以上の値を引くことが出来ません
これはどんなに値の上限を増やしても変りませんし。
有限の場合、整数を実数に替えても上限の1/2より大きな数字を最初に引くことが出来ません。
期待値12500円もしくは11250円の解法は応用が効かなく、実施するのにパラドクスを含み過ぎているように感じます。
- 144 名前：s5179 [2010/03/10(水) 22:07:54 ]
- >>136さん
理由が曖昧過ぎます、この文系脳め！！
>>135の問題は勝率75%の超ウルトラボーナス問題です。
- 145 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/10(水) 22:22:21 ]
- たびたびすみません日本語を訂正します。
誤 >>135の問題は勝率75%の超ウルトラボーナス問題です
正 >>135の問題は引く前から勝率75%が決まっている超ウルトラボーナス問題です
- 146 名前：べ mailto:sage [2010/03/10(水) 22:33:11 ]
- >>144
いや理由は期待値から明らかなんだよ。数学的に答えが出ているんだから、
これ以上の理由はないだろう
ただ理解できないようだから感覚的に理解するために、
わかりやすく答えただけ。
- 147 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/10(水) 22:43:24 ]
- べさんの出した期待値を教えて頂ければ
少しは理解出来るようになるかもしれません
- 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 23:10:56 ]
- > s5179
そろそろ病院行ったら？
- 149 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/10(水) 23:13:54 ]
- ええ、行ってきました。
脳に異常は見られませんでした。
- 150 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/10(水) 23:22:22 ]
- レスを待つのも暇なので
●を購入して「こんな確率求めてみたい その1/7」を読んでいます。
みんな楽しそうだなー
その時に参加したかったです
- 151 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 23:31:53 ]
- 成程、脳がやばそうだという自覚はあったんだ。
- 152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 23:32:54 ]
- >>150
「語るに落ちる」とはこれか
やっぱりなｗ
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