- 1 名前：1 mailto:age [2010/03/06(土) 12:44:09 ]
- [２つの封筒問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
一方を選んで中を見ると10000円だった。
他方の袋に入っている金額は5000円か20000円なので
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？
この問題・類題に関する意見・質問のスレです。専用スレ立てました。
この問題を他のレスで質問したりすると、高頻度で荒れる原因になりますので
できるだけ、こちらに書くようお願いします。
こんな確率求めてみたい その1/8
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/
から派生しました。
- 313 名前：240 mailto:sage [2010/03/15(月) 07:53:30 ]
- >>296にも書いたが、
「ほぼ確率１で得する代わりに、非常に少ない確立で大損する」
というタイプのパラドックスは昔から知られていて、
この部分は「二つの封筒」特有の面白さでは無いということ。
いかなる確率分布に従って封筒にお金を入れたとしても、
初めに封筒を選んだとき、
その金額がもう一方の半分である確率は1/2。
よってもう一方の封筒の金額が２倍である確率も1/2。
しかし、上で述べたとおり、
「任意の金額c円に対し、
選んだ封筒の金額がc円のとき、もう一方が２倍である確率が1/2である。」
という確率分布は存在しない。
これが、「二つの封筒」の問題特有の面白い部分だと思うのだが、、、
- 314 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/15(月) 07:58:12 ]
-
＜＜初めに封筒を引き導きだされた期待値に意味を持たせる＞＞
これを考えようとしたときに
「初めの封筒を引き、出た金額を支払い、他方の封筒を引く」
と言う実験をしてみようとしたところ。
すべての封筒組が等確率で引けるのであれば
10000円を先に引いた場合
「10000円を賭け1/2の確率で5000円に1/2の確率で20000円に」の賭けと同義で（1円除く）
これは「5000円を賭け1/2の確率で0円に1/2の確率で10000円に」の賭けと損得の意味では同義になる。
上は期待値が1.25倍
下は期待値が１倍
損得で同義の賭けではない？
どこかおかしいだろうか
- 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/15(月) 08:04:59 ]
- （1円除く）?
- 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/15(月) 08:08:14 ]
- >「5000円を賭け1/2の確率で0円に1/2の確率で10000円に」の賭けと
「5000円を賭け1/2の確率で0円に1/2の確率で15000円に」の賭けと
- 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/15(月) 08:08:23 ]
- >>314
＞どこかおかしいだろうか
積や比と、和や差との混同。
１と２は比が１：２です
双方に１ずつ足したら２と３です
あれ？比が１：２じゃなくなった
同じにならない？
どこかおかしいだろうか？
- 318 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/15(月) 08:22:04 ]
- うん、もう寝起きに書き込むことは止めとくよ。
まともに頭が機能していない事が良く分りました。
- 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/15(月) 08:26:11 ]
- いや、単なる寝ぼけミスにとどまらず
本質をついてる間違いといえる
図らずもわかりやすいカリカチュアになってるおかげで
本質が見えやすくなってるな
- 320 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/15(月) 08:27:33 ]
- いや、損得の意味で
上も下も-5000円と＋10000円、確率1/2で合せてみました。
やはり低血圧なので朝の書き込みは信用ならない・・・
仕事に出ます・・・・
- 321 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/15(月) 08:30:36 ]
- >>319
さん、そうですよね、間違ってないですよね
遅刻する・・・
- 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/15(月) 08:42:13 ]
- >>320
支離滅裂だな
とりあえず改めて>>317参照すべし
損得は「差」、何倍というのは「比」
0円を賭けて1/2の確率で−5000円、1/2の確率で+10000円
期待値は+2500円
さあこの場合はどうする？何倍？
損得で差を一定のままにするなら
必ず最初の金額+2500円になり
最初の金額次第で比は変わってしまうのは当然なのだが、
このような混同に無自覚な部分が多い
- 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/15(月) 14:20:07 ]
- >>313
そうそう
選んだ封筒が大きい方である確率は1/2だけど、
＞「任意の金額c円に対し、
＞選んだ封筒の金額がc円のとき、もう一方が２倍である確率が1/2である。」
＞という確率分布は存在しない。
これはあくまで、金額に依存する確率
極端な例を挙げると
金額組が(100,200)だけの分布を考える
封筒を一つ選ぶ
この時選んだ封筒が大きい方である確率は1/2
中身を見ると、100円であった
この時選んだ封筒が大きい方である確率は0←これが「金額に依存する確率」
- 324 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/15(月) 18:30:20 ]
- >>322
＞0円を賭けて1/2の確率で−5000円、1/2の確率で+10000円
＞期待値は+2500円
＞さあこの場合はどうする？何倍？
何倍でしょうね、分かりません。
【>>1の問題で他方の封筒の期待値が10000円を上回っても損か得かは分からない】
が分かれば結構です。
「期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？」
を「きちんと調べないと分かりません」と答える事が出来ます。
少なくとも私が感じていたパラドクスは、「初めに引いた10000円＜他方の封筒の期待値12500円」で引いたほうが得、
他方を初めに選んでも期待値1.25倍でまたその他方を引いた方が得、
なんだったら引く前から、一方を選んでその他方の方が得だったので。
- 325 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/15(月) 22:35:56 ]
- ぜんぜん前のレス読んでないけど，
開封する封筒をＡ，開封しないＢとして，
合計で ３ａ円 入っているとすれば
Ａ，Ｂの期待値はともに １．５ａ円 で
開封前なら どっちを選んでも損得はないよ。
開封後は 期待値が Ａ 10000円 Ｂ 12500円 で
Ｂ を選んだほうがお得だよ。
条件付き確率って高校で勉強しただろ？
そんなことよりさー
ブラックジャックで効果的なカウティングの方法でも考えて教えてくれよ。
- 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/15(月) 22:41:31 ]
- >>325
>開封後は 期待値が Ａ 10000円 Ｂ 12500円
これが任意の金額aについて成立するようなaの確率分布は存在しないんだ！
っていうのが最近のこのスレのトレンド
- 327 名前：240 mailto:sage [2010/03/15(月) 23:06:57 ]
- 一般的な意味での損得は主観的なものであって数学的概念ではない。
ギャンブルや保険は基本的に期待値が「損する」ように設定されているのにもかかわらず、
多くの人がよろこんでそれをする。つまり、その人にとってはギャンブルをしたり保険に入ることが得だといえる。
ただし上記の「損する」とは、単に（掛け金と得られる金額の期待値の）差額が負であるという意味で使っている。
このように限定された意味（数学的に定義できる意味）でならば数学において用いても構わないが。
明らかに意味が分かる場合をのぞいて損得などという言葉を使うべきでない。
>10000円を上回っても損か得かは分からない
ここでの損得の意味は何？
>>1の問題における「得」という言葉は単に（期待値の）差が正という意味で使われている。
つまり、「期待値は12500円となり、もとの金額10000円より大きくなる。これは正しいか？」
という意味です。
そして、すでに何度も書かれていることですが、期待値は（一般には）12500円にはなりません。だから正しくない。
なんだかこのスレは「二つの封筒問題スレ」ではなく、確率や数学の初歩の初歩について議論するスレのような気がする。
- 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/15(月) 23:28:12 ]
- >>324
損得にもっていったあと
何倍になるかを考えた理由は？
- 329 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/16(火) 00:01:26 ]
- >>324
すみません、質問の意味がわかりません
パラドクスは
初めに引いた10000円＜他方の封筒の期待値12500円」で引いたほうが得、
他方を初めに選んでも期待値1.25倍でまたその他方を引いた方が得、
なんだったら引く前から、一方を選んでその他方の方が得だったので
の文の後半が1.25倍なのは5000円が入っているか20000円が入っているか分らなかったからです。
質問に答える事が出来ましたでしょうか？
>>325
240先生、まだこんな事を言ってる子がいます。
引く子視点で見た場合、初めの封筒を引く前は期待値は全く不明です。
設問>>1だったら、期待値7500円or15000円なのか、引く子には全く分らないと思います。
325君は親視点と子視点を混同しています、注意して下さい！！
あと僕の理論を体育の時間に盗みました、返して下さい！！
- 330 名前：240 mailto:sage [2010/03/16(火) 00:25:23 ]
- >>329はアンカーミスか？
【>>1の問題で他方の封筒の期待値が10000円を上回っても損か得かは分からない】
これってどういう意味？
他方の封筒の期待値が10000円を上回るなら、もとの封筒より他方の封筒の方が得に決まっているだろ？
（ただし、ここでの「得」の意味は「期待値の金額が大きい」という意味です。）
- 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 00:26:49 ]
- >>329
ふざけるスレだと表明する気がないなら
いちいちふざけるな
- 332 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/16(火) 00:58:26 ]
- >>330
>>324 としたのはアンカーミスです。
>>328 でした、すみません
あと
他方の封筒の期待値が10000円を上回るなら、もとの封筒より他方の封筒の方が得に決まっているだろ
（ただし、ここでの「得」の意味は「期待値の金額が大きい」という意味です。）
得＝期待値の金額が大きい
なので代入して
他方の封筒の期待値が10000円を上回るなら、もとの封筒より他方の封筒の方が期待値の金額が大きいに決まっているだろ
「自明」の説明をして頂いたのでしょうか？
>>331
すみません内容は、ふざけていないつもりなのですが、表明しておきます
たまにふざけます、ご容赦下さい
- 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 01:03:09 ]
- >>332
それで、損得にもっていったあと
何倍になるかを考えた理由は？
- 334 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/16(火) 01:08:53 ]
- >>330
あれ>>314てやっぱり間違えてるね。
朝の書き込みは自粛します。
- 335 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/16(火) 01:10:40 ]
- >>333
もう寝ていい？
- 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 02:10:57 ]
- 親視点とか子視点とか
なんて不自然な考え方
あるのは情報＝値＝引数
とその関数だけ。
コンパクトに考えよう。
- 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 02:43:29 ]
- あえて不自然な砲で考え続けることを選んだ人用のスレです
- 338 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/16(火) 03:02:56 ]
- >>>336
了解
幾何＋濃度を使ってみると
必ず交換すると面積が14になる。
一方ずっと交換しないだと16
なので最大値が分からない場合は交換しない戦術が有効になる。
最大値が分かれば最大値の半分が分かり
最大値の半分までは必ず交換、最大値の半分を超えたら交換しない
これにより面積が18で最大になる
均一で等確率、正の実数集合の場合、もちろん有限
説明下手だけどアイデアはあるんだ、説明下手だけど・・・仮定も、答えも、計算も間違うけど・・・
必ず交換する戦術は
値が最大値の半分までのときは負けても小さく、勝つとでかい なので幸せ
値が最大値の半分超のときは必ず負ける例えば４万が2万に8万が4万に、ここらへんは個人差があるのかな？
4万円を見たあと２万円だとつらいけど、人によっては8万の夢が見れて２万を得たんだから十分幸せ？
240さんへ、期待値が1.25倍の時は本当に1.25倍でした・・・
重ね重ねご指導ありがとうございました
>>333 さん 絶対に許さない！！睡眠時間返せ！！
- 339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 03:05:18 ]
- >>310 が貼られるや
そっち方面へもきっちり迷走しはじめたね。お見事。
- 340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 03:15:02 ]
- 問題の解を探している内に問題を忘れてしまった良い例ですね
- 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 03:21:48 ]
- >>337
抽象が思考できんから
具体的な試行やその条件整備ばっかに時間をとられて
その過程でつけた余計な条件のせいで
間違った答えを生み続ける
そういう道を辿る人が何人もいるな
- 342 名前：240 mailto:sage [2010/03/16(火) 06:20:09 ]
- >「自明」の説明をして頂いたのでしょうか？
そうだよ。
で、三度目の質問だ。
【>>1の問題で他方の封筒の期待値が10000円を上回っても損か得かは分からない】
これはどういう意味？ここでの損得の意味は？
- 343 名前：240 mailto:sage [2010/03/16(火) 06:43:52 ]
- >説明下手だけどアイデアはあるんだ
ちょっと考えると、「こうしたら良いんじゃないか？」ってアイデアが
100くらいは思いつく。しかしそれらのほとんどが、すぐに無意味な考えであると分かる。
残ったいくつかについても、良く吟味してみたら、無意味であったり、間違っていたり、、、
本当に良いアイデアだと思えるものは100に一つも無い。
それすらも、他人に話してみたら、「それは既に知られている考えだよ」と言われる。
そういうものだ。
もし真剣に数学をやりたいなら、もう少し考えてから発言した方が良いと思うぞ。
- 344 名前：240 mailto:sage [2010/03/16(火) 07:12:38 ]
- 「二つの封筒問題」はとても良く出来た面白い問題だ。
>>323の例のように、
中身を見た段階でそれ以前の確率と変わることは当たり前なことなのに、
「封筒問題」では、中身を見た後も1/2のままだと思わされてしまう。
「確率分布の情報が何もないから1/2だ」とか
「上限もなく、一様に金額を入れるという仮定のもので考えてるから1/2」
などの誤った考察に導かれてしまう。
これがこの問題作者の上手いところだ。
そこで私は、封筒の中身を見ないことに決める。
- 345 名前：240 mailto:sage [2010/03/16(火) 07:20:48 ]
- 「中身を見なければ、」
他方の金額の方がが選んだ封筒より大きい確率は1/2だ。
つまり、他方の金額が選んだ封筒の金額の２倍である確率は1/2だ。
もちろん、他方の金額が選んだ封筒の金額の1/2である確率も1/2だ。
よって、「中身を見ないで」、選んだ封筒を変えれば期待値が1.25倍になる。
まぁ、ただのジョークだがね。
- 346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 07:27:19 ]
- 中身を見ることと、任意の正の実数をコールすることを等価に考えちゃうんだろうね。
- 347 名前：240 mailto:sage [2010/03/16(火) 07:36:20 ]
- 正解が早すぎる、、、混乱された人の書き込みを期待していたのに、、、
- 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 20:50:15 ]
- >>326
その、分布は存在しないという証明に
このスレで
＞ なぜなら1が入っている確立をxとすると、2が入っている確立、３が、４が、、、全てxとなる。
＞ 確立の全事象が起こる確率は1なので、
＞ x+x+x+x+,,,,,,=1
＞ これはありえない。
このような説明がなされているけれども、
もしかしてこのスレでは、連続一様分布は存在しないという立場なの？
- 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 20:53:00 ]
- >>336
親視点 子視点そのものは不自然でもなんでもない。
この問題は子視点の話であって
親視点と混同していると違う問題になるというだけ。
- 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 20:55:10 ]
- >>344
＞ 「上限もなく、一様に金額を入れるという仮定のもので考えてるから1/2」
上限がないことそのものには問題はないと思うんだが、
なぜあえてそのような書き方にしているのだろう？
- 351 名前：240 [2010/03/16(火) 21:49:23 ]
- >>348
ja.wikipedia.org/wiki/連続一様分布
連続一様分布はもちろん存在する。しかい、上限の無い連続一様分布は存在しない。
連続一様分布U(a,b)の確率密度関数の値は1/(b-a)
上限がない、つまりb=無限大のときこれは意味をなさない。
>>350
上限が（たとえば）100円のとき、一方の金額が90円なら、
他方の金額が二倍である確率は0。
確率1/2だという（誤った）結論を導くためには、上限が無いという条件が必要。
- 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 22:11:05 ]
- 学がない人（俺も）でも正解にたどり着くチャンスは十分にある。
逆にいうと間違いをさまよい続ける人は
学がなくて かつ 現実に置き換えてみる労力を惜しんでいる人だろうね。
- 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 22:19:19 ]
- ＞逆にいうと間違いをさまよい続ける人は
逆必ずしも真ならず。
＞現実に置き換えてみる労力を惜しんでいる人だろうね。
現実に置き換えるのは危険な行為。数学から離れて
奇妙キテレツな哲学に変化して間違いの上塗りを繰り返す
可能性が高い。
学が無ければ学を身につければよい。
- 354 名前：352 mailto:sage [2010/03/16(火) 22:31:10 ]
- 現実に置き換えてみるって言っても大したことじゃないよ。
Ｑ１ 無限集合から何かを等確率で選ぶことが可能か？
→上で散々言われているように不可能。よって、有限集合を考えざるをえない。
有限集合で、上限の数字と下限の数字は１枚、以外の数字は２枚の紙を用意する。
ただし、それぞれにはペアの数字も（小さい字）で書かれている。
これらの紙をルーレットに貼り付けて統計を取るとする。
Ｑ２ 十分に上限を大きくすれば、ルーレットで出た数字と、そのペアの数字の比は
1.25であるか？
→NO。単なる統計のマジックでそんな気になるだけ。ペアの数字のほうで統計
とってみればよく分かる。
Ｑ３ それでも1.25が正しい気がする。
→比の平均を考えていませんか？何かの前提がないと比の平均は無意味です。
例：ある会社に事業部が２つあり、
Ａ事業部は前年比売上110％、Ｂ事業部は前年比売上105％だった。
この会社全体の前年比売上は何か考えてみてください。
- 355 名前：326 mailto:sage [2010/03/16(火) 23:30:16 ]
- >>351
前半
そこは本質じゃないと思う
封筒の金額を(A,2A)と置く。
この時選んだ封筒の中身の期待値は
1/2 ( A + 2A ) = 3A/2
他方の封筒も同じ
つまりAの値や「封筒の中身がAである確率」によらず、どちらの封筒を選んでも期待値は等しい。
この命題を(1)としよう
もうこの時点で
＞「任意の金額c円に対し、
＞選んだ封筒の金額がc円のとき、もう一方が２倍である確率が1/2である。」
＞という確率分布は存在しない。
っていうことの証明になっている。
なぜなら、
選んだ封筒の金額がc円であった時、もう一方の封筒の金額が2c円である確率をP(c)とする
このとき他方の封筒の期待値は (1 - P(c) ) * c/2 + P(c) * 2c で表される。コレを式(2)とする。
(1)は前述の通り金額に依存しない命題です。一方、式(2)は金額=cの場合の「条件付き確率」。
ここで、金額=cの条件を外して、封筒の期待値を求めるにはどうすればいいか？
選んだ封筒の期待値は 「 c * (cの出現確率) をcの定義域全体で積分したもの 」 。
同様に、他方の封筒の期待値は 「 式(2) * (cの出現確率) をcの定義域全体で積分したもの 」。 この二つは(1)より等しい。
なんで下の式も(cの出現確率)を掛けているの？って思うかも知れないが、今は行数不足で書ききれない。理解できなかったら質問してくれ。
もしP(c)が任意のcに関して1/2だとしたら、(2)は 5c/4 と書ける。よって積分の結果は明らかに等しくならない。つまりP(c)が任意のcに関して1/2になることはない。
>>336で親視点とか子視点が不自然って言ったのはこういうこと。
詳しく読んでないから違うかもしれないけど、子視点ってつまり「金額=cの場合の条件付き確率」でしょ？
金額で積分しちゃえば親視点（？）になるんだから、分かりにくい考え方だと思うけどなー。
- 356 名前：326 mailto:sage [2010/03/16(火) 23:43:22 ]
- すまん
＞つまりAの値や「封筒の中身がAである確率」によらず、どちらの封筒を選んでも期待値は等しい。
は語弊があるかもしれない。
どう言ったらいいか分からない。
(2)の金額=cという条件を取り去る（積分して均す）と(1)と同値になるっていうことが言いたかった。
もっと明快な説明が出来るように統計学の教科書引っ張り出して統計学の言葉で証明してみるわ。
暇なときに。
- 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 23:48:07 ]
- >>343
＞もし真剣に数学をやりたいなら、もう少し考えてから発言した方が良いと思うぞ。
ここは考えない人用スレ。
数学的な準備が整ってないにもかかわらず
まず準備を整えろという忠告に従わない人が最終的に残った隔離スレ。
いくらかログを追えばすぐ分かると思うけど。
- 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 23:50:24 ]
- >>353
元の問題から乖離したことに無反省無自覚なまま
そういう奇妙キテレツな試行を次から次に考えるというのが
このスレに残った人にほぼ共通する傾向だな
- 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/16(火) 23:52:30 ]
- >>358
俺のことか？
- 360 名前：352 mailto:sage [2010/03/17(水) 00:38:15 ]
- このスレはIDないから、俺って言っても分からんのか。面倒だな。
- 361 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 01:09:16 ]
- ちょっとまた質問、というかアンケート。
>>1とは全く別の問題で、しかも金額の確率分布が有限の問題なんだけど
次のゲームを考える。
Nは２以上の自然数とする。
賞金の組は{2500*2^n,5000*2^n}(n=1,2,3,…,N)のどれかで、どれが
選ばれるかは同様に確からしいとする。賞金の組が決まり、金額を２つの封筒に
入れる。参加者A君に、一方の封筒の中身の金額を確認させる。
(確認させる封筒をどちらにするかは、同様に確からしいとする)
A君が確認すると金額は5000円,5000*2^N以外の金額であった。
この時、A君は交換した方が良いか？
交換してもしなくても同じか？
それ以外か？
- 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:15:04 ]
- >>361
＞ この時、A君は交換した方が良いか？
こういう書き方すると、「A君にとって、確実にもらえる10000円を5000円に減らしてまで20000円を狙う理由があるか分からない」とか言われるよ
「交換した方が期待値が大きいか？」みたいな書き方にしとけば？
- 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:21:02 ]
- >>361
>5000円,5000*2^N以外の金額であった。
変な表現だな。なんかの間違いだろ。
- 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:24:46 ]
- やっと分かった。最小と最大を除外したのか。
交換すると1.25倍になる。
- 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:25:28 ]
- 期待値で計算するとね。
- 366 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 01:35:02 ]
- >>355
君の計算をまじめに読んでないが、
計算で矛盾が生ずることを示しても無意味だよ。
他方の封筒に変えても期待値は変わらないはずなのに、
1.25倍になってしまうという矛盾（パラドックス）はなぜ起きるのか？という問いを
考えていた訳だ。
その答えとして、
>(*)「任意の金額c円に対し、選んだ封筒の金額がc円のとき、
>もう一方が２倍である確率が1/2である。」という確率分布は存在しない。
存在しない確率分布に従って計算したから矛盾が起きたんだよ。と説明しているわけ。
さてここで、(*)を証明して見せよう。もしそのような確率分布が存在したとすると、
1.25倍の矛盾が起きてしまう。よって背理法により(*)が示せた。
この文脈においてこの証明は無意味だろ。
君のやってることも（違う計算ではあるが）同様に無意味なことだろ？多分ね。
いずれにせよ、(*)の本質は
>上限の無い連続一様分布は存在しない。
の本質と同じだよ。
- 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:38:20 ]
- あれ？ 1.25倍になること自体が矛盾なのか？
金額に上限が無いという仮定がある以上、普通に起こりうる現象だと思うんだが
- 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:54:26 ]
- >>367
成立しない仮定は前提にできないよ。
- 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:56:56 ]
- 難しい数学を考えなくても当初の命題で、
「１万円だった」が有用な情報かどうか、有用な情報ならどう役に立ったのかを
考えれば、期待値：12500 はなんかおかしいぞ？と思うのが正常な人間。
- 370 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 01:58:01 ]
- >>354はあまりにむちゃくちゃすぎて、
なんて突っ込みを入れれば良いのか分からんなぁ。
- 371 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 02:02:44 ]
- >>368
いや、金額に上限が無いというのは成立しない仮定ではないよ
金額に上限のない一様分布はありえないけど、一様分布でなくて良いならいくらでもある
- 372 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 02:09:44 ]
- >>362
＞「交換した方が期待値が大きいか？」みたいな書き方にしとけば？
そこはわぞと濁してあるのだけど
一応、訊き方を変える。
交換後の金額の期待値が交換前の金額の1.25倍であることは
A君が交換するかどうかの判断に
関係があると思う？
- 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 02:10:52 ]
- >>370
そうか？中学生にも分かる説明を考えたんだが。
- 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 02:12:23 ]
- >>372
さっきは条件追加してたのに、今回はそこを濁すのか？
はっきり書けよ。ズルイ奴だな。
- 375 名前：7 mailto:sage [2010/03/17(水) 02:26:09 ]
- >>374
正しいか正しくないかではなくて、
どう思っているかを訊きたいから、訊き方を変えただけ。
ズルイ奴であることは認める。
ところで、"さっき"ってどれのこと？
- 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 02:36:12 ]
- 金額が全部分かってる観測者を置いても変わらない。
判断が関係あるってのはオカルトだね。
- 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 02:57:47 ]
- >>366
No
コメントするなら、ある程度読んでからにしてくれ
と言っても、かなり読みにくいのは承知してる
明日、統計学の言葉で書き直すから待ってて。
- 378 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 03:07:15 ]
- >>377
俺は>>366ではないんだが、>>355は間違ってる
封筒の期待値が発散している場合を考慮していないからだ
あらかじめ言っておくが、俺は
＞「任意の金額c円に対し、
＞選んだ封筒の金額がc円のとき、もう一方が２倍である確率が1/2である。」
＞という確率分布は存在しない。
という主張自体は正しいと思っている
ただ、>>355では証明になっていないと言いたいだけだ
- 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:15:17 ]
- >>363
要するに普通のサイコロふったら０の目が出たというような
ありえないことが起こったってことじゃないか？
- 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:16:20 ]
- >>379
>>364
- 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:17:18 ]
- いろんな人がいるけど
分かりやすいねえｗ
今度は積分で遊んでるｗ
生兵法は怪我の元
- 382 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 03:21:23 ]
- >>381
御説ごもっともですね
茶々入れるだけのレス見ると真面目に説明するのが阿呆らしくなるなあ
- 383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:31:05 ]
- そう言わずに真面目に説明するといい
アホらしくても間違っててもあえて使ってみるスタンスでしょ
- 384 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 03:36:02 ]
- >>383
いや、俺はマジレスしつつも長文は書かないでいるんだけど
- 385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:42:35 ]
- そもそも真面目な数学じゃないでしょ
付き合うならアホらしいとか言っちゃおれんでしょ
- 386 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 03:44:16 ]
- ちらっと書いた事があったのを思い出した
ttp://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1265293548/616
そもそもの立場がこれだから、一様分布が存在するしないであんまり議論してもなあ、って感じなんだよ
間違ったレスを見つければ、>>378程度の説明はするけどね
てか、俺は>>382で「茶々入れてないでマジレスつけろ」って言ったつもりだったんだけど、何で俺に>>383が返って来ちゃうんだろう
- 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 03:52:22 ]
- マジでないものにマジレスをつけるの？
>>367自身はまともかもしれんが
- 388 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 03:58:52 ]
- こういうスレはマジレスつけてなんぼのもん、と俺は思うんだけど、楽しみ方は人それぞれなのかな
>>377が寝ちゃったみたいだから、俺も寝るわ
- 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 04:09:04 ]
- >>388
マジレス要員も必要かもしれないな
それがどういう解釈で帰ってくるかを楽しむには
比率的に見て
基本的に我流数学を鑑賞する場だと思ってるよ
新しい道具があるとそっちに引きずられる様子とか
退屈しない変化球が次から次に飛び交うから
- 390 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/17(水) 06:20:38 ]
- >>342
サー、お金が増えれば得、減れば損です、サー。
昨日3/15からの17連勤が確定しました。
昨日までは3/26までの12連勤だったんですが
事後条件＜27、28も仕事受注＞で期待値が17になりました。
まあ、事後条件＜倒れる＞や＜4/1仕事受注＞でいくらでも変化するんですが
冗談はさておき
もしかして、親目線で、期待値分からない→期待値15000→期待値分からない（子が次をひくかどうか分からない）→期待値（語弊あり確定してるから）10000もしくは20000
こんな考え方もあり？
確率が0、1に偏った段階で期待値と言う言葉は使えないの？
話に参加したいよ・・・
- 391 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/17(水) 06:33:10 ]
-
そうそう、昨日の幾何で解く！！
も条件付けを間違ってたね。
＜必ず交換する＞と＜必ず交換しない＞は同じ形で同面積になりそう
重複部分をどう処理していいか分からんよね
あとは条件をきちんと考えれば、解け・・・ないか・・・
- 392 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 08:06:24 ]
- >>370
待ってる。
>>373
Q2への答えの、「マジック」ってどんなマジック？
「そんな気になるだけ」と言われても、、、どこがおかしいか指摘してくれなきゃ、、、
「統計とれば分かる」って、君はルーレットで統計取ったの？
僕もルーレット買ってこなきゃでめ？統計取らずには説明できないの？
Q3「何かの前提がないと」って、間違ってる人はその人なりに、
正しい前提のもとで計算してるつもりなんだから、おかしいところを指摘しなきゃ。
ほとんど理由を説明せづに、「君は間違いだよ」と言っているだけに見える。
そもそも、君が設定している有限ルーレットの問題設定では、いくら上限を十分大きく
とっても期待値の比がが1.25にならず、1のままだ。
二つの封筒のような難しいパラドックスは起こっていない。
このことは高校生の知識で簡単に計算出来るよ。
今回ここで議論すべき問題じゃないだろ。
それと、「現実」の世界には「点」や「三角形」、「自然数」は存在しない。抽象概念は、
我々の頭の中に存在するもので、それを現実世界に投影しているに過ぎないんだよ。
そもそも>>354のどこが「現実に置き換えてみる」なんだ？
「具体例をいろいろ考えてみる」とか言ったほうが良いんじゃないかい？
- 393 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 08:14:17 ]
- >>367
もし金額によらずに、封筒変えれば1.25倍になるのなら、封筒を開けずに、
「こっちにする」「やっぱりこっちにする」「やっぱりやぱりこっちにする」
て変えていけば、どんどん期待値があがるけど、それが真だと思っているの？
上限が無いような確率分布なんていくらでもあるよ。
それらをもちいるたびにこんなパラドックスが現れたら、確率論が成立しなくなっちゃうよ。
「上限が無い」「一様」二つ合わさって初めてありえない設定となって、
このようなパラドックスが起こるんだよ。
どちらか一方なら、普通に解ける普通の確率の問題だよ。
- 394 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 08:22:53 ]
- >>372
>>327にかいたとおりA君の性格による。
- 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 09:07:42 ]
- >>392
交換したほうが得に見えるというパラドックスの説明なら、
順番はともかく、常に両方オープンすると考えても違いはないはず。
上限下限を除くと1.25に見えるけど、全てのケースを書き出していけば、
それは錯覚だとすぐ気づく。
>二つの封筒のような難しいパラドックスは起こっていない。
同意しかねる。難しく考えすぎじゃないか？面白い問題ではあるけど。
- 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 09:43:14 ]
- この命題を「統計でウソをつく方法」として捉えている。
難しい問題だと考えちゃうと一般の人がダマされるのも仕方ないとなっちゃう。
簡単に説明する方法はあるはず、というのが俺の考え。
どこでダマされたかを考えてもらうには、全部のケースを考えてもらうのが一番だと思う。
- 397 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 10:38:52 ]
- >全てのケースを書き出していけば、それは錯覚だとすぐ気づく。
だから有限の場合は何の不思議もないんだよね。
（なぜか、有限の場合にこだわっている人がこのスレにはいるが、、、）
有限の場合は、ほとんどの場合1.25に見えるけれど上限下限の場合も計算すれば、
結局全体では1だと気づく。不思議はどこにも無い。
しかし、無限の場合には上限や下限が無いからすべての場合について1.25に見える。
もしそれが本当だとすると、>>393のように不思議な結果になる。
なんでだろうね？ってのがこの問題な訳で。
有限の場合の説明をいくらしたところで、
>>1の問題の不思議さの説明にはなっていないの。
- 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 10:47:39 ]
- >>397
無限の話は終わったのかと思っていた。
話を分ける必要がありそうだね。
有限だとしても錯覚するのが一般のレベルなんで。
- 399 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 10:51:21 ]
- 上のような書き込みをすると誤解する人がいるかもしれないから、
嫌味な書き方で気分悪くするかもしれんが断っておく。
私自身は、このパラドックスについては完全に理解しており、
何の疑問点も無い。
おかしな書き込みがあるから、
それはどういう意味で言っているの？
もしそうだとしたら、こうなるんじゃないの？それはおかしいんじゃない？
と指摘しているだけ。
正しい書き込みをしているひとに対して、質問したり否定したりはしていない。
- 400 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 11:12:04 ]
- >>398
Q1を削除して、>>1とは別の有限の問題の説明をしているというなら、
君の言うことは正しい。変な指摘をしてすまなかった。
しかし、有限にした時点で>>1のパラドックスの主要部がなくなっているので、
>>1の説明をしていることにはならないよ。ＯＫ？
もちろん、有限の場合すら理解できない人に対しては君の説明はいみがある。
しかしこれは、足し算が出来ない幼稚園児に対して>>1の解説をするにあたって、
足し算の説明をしているようなものだ。
何度も言ってるが、「二つの封筒問題」は難しい問題だよ、
無限に関するパラドックス、よく知られているパラドックスはすべて、
完全に理解しているという人に対して出題しても、
えっ何でだろう？と迷うレベルの問題だよ。
通常のパラドックスや確率計算すら出来ない人にとっては、
他のパラドックスと同程度の難易度に感じるかもしれないがね。
それと、有限レベルの問題に興味ある人は、別すれを立てた方が良いのではないかな？
上で述べたとおり、>>1とは別の問題だからね。
- 401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 11:16:07 ]
- 有限に興味があるというよりは、どこで錯覚を起こしやすいかを考えているだけ。
- 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 11:23:00 ]
- >>393
＞「上限が無い」「一様」二つ合わさって初めてありえない設定となって、
＞このようなパラドックスが起こるんだよ。
上限が無く一様でない確率分布で、同様のパラドックスが起きる例がある。
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
の「An even harder problem」の項。
- 403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 11:57:51 ]
- >>351
>>348の論では連続一様分布も存在できないと思うがどうか？
- 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 12:03:51 ]
- >>403
348の論を使って、連続一様分布が存在できないことを
実際に証明してごらん(348のようには行かないことが分かるだろう)。
- 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 12:35:41 ]
- ＞ Ｑ１ 無限集合から何かを等確率で選ぶことが可能か？
>>354の これとかも 連続一様分布を否定しているように見える
- 406 名前：367 mailto:sage [2010/03/17(水) 12:59:26 ]
- >>393
>>402が指摘してくれたように、
＞ 「上限が無い」「一様」二つ合わさって初めてありえない設定となって、
＞ このようなパラドックスが起こるんだよ。
＞ どちらか一方なら、普通に解ける普通の確率の問題だよ。
に対しては反例がある
君も俺も上限のない一様分布は否定してるが、それでこの問題が解決する訳じゃないってことだ
＞ もし金額によらずに、封筒変えれば1.25倍になるのなら、封筒を開けずに、
＞ 「こっちにする」「やっぱりこっちにする」「やっぱりやぱりこっちにする」
＞ て変えていけば、どんどん期待値があがるけど、それが真だと思っているの？
そんな事は無いよ
1.25倍（>>402のリンク先の分布ならば1.1倍）というのは、最初の封筒の金額が10000円であるという条件の下での期待値だ
従って、もう一度交換すれば、当然10000円の封筒が手に入る
この問題では、条件付き確率の計算をしているからこそ、1.25倍（resp. 1.1倍）になるのだと言う事を忘れてはならない
- 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 13:41:24 ]
- >>405
無限集合から何かを等確率で選ぶことが可能と思うなら、
その具体的な方法を提示してみな。
- 408 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 13:42:56 ]
- たしかに、>>393での表現はの「初めて」というのは、そこだけ見ると誤解を招くが、
>>367の「金額に上限が無いという仮定がある以上、普通に起こりうる」とか
とか「一様密度分布の存在を否定してるのか？」という意見があったから、
片方だけではだめ、「上限なし」と「一様」両方の条件がそろって初めて密度関数が存在し無い。と言っているんだよ。
もちろん「上限なし」かつ「一様」の両方がそろわなくても、「上限なし」かつ「正の周期分布」という条件でも、
確率密度分布は存在しないよ。
さらに言えば、
二つの封筒問題の確率密度関数は非減衰関数。必ずしも「一様」つまり、定数関数とは限らない。
そのことは知っているよ。だから、ひとつの封筒の例つまり、上限の無い一様な確率密度の例は、
あくまでも、「二つの封筒問題」を理解する上での一つのステップ（ただし問題の本質は同じ）として上げたんだよ。
はるか昔に書いたことだが、二つの封筒の問題を考えるには、二次元の確率密度関数の計算をする必要が
あ。そういう意味でも、「二つの封筒」問題は、上限の無い一次元一様密度関数の問題よりはるかに難しいよ。
- 409 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 13:49:43 ]
- >1.25倍（>>402のリンク先の分布ならば1.1倍）というのは、
>最初の封筒の金額が10000円であるという条件の下での期待値だ
最初の金額が10000円のときは本当に1.25倍なの？
じゃあ、最初の金額が20000円のときは何倍？
- 410 名前：240 mailto:sage [2010/03/17(水) 14:09:44 ]
- あらためて>>367に対するレスをかくよ。
「最初の封筒の金額が
10000のとき、交換すると1.25倍。
20000のときも、交換すると1.25倍。
金額がいくらであっても、交換すると1.25倍。」
これは正しくない。
金額に上限が無いという仮定だけではこんな正しくない結論は得られない。
「金額に上限が無い」＋アルファの条件があって初めてこういう矛盾が起こる。
＋アルファって言うのは、例えば、「一様」とか「正値周期密度」とかね。
- 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 14:39:46 ]
- あのさあ、基本的なことなんだけど、>>1を読んでどうして
選ばなかった封筒の中に5000円が入っている確率と20000円の入っている確率が
等しくならないのかがわからないんですけど、教えてくださいませんか？
- 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 14:50:05 ]
- >>407
何を勘違いしてるのか知らんが、そういう視点だと
「2つのボールから等確率(1/2ということ)で1つのボールを選ぶ」
という作業でさえ不可能だよ。偏りなく選ぶ"方法"を
どうやって具体的に提示するというのか？
「等確率で選んでくれる便利な装置」の存在を
予め仮定しておくしかないでしょ。その装置の中身が
どういう仕組みなのか説明することは不可能でしょ。
「コインを投げて、表か裏かで判断すればいいじゃないか」
と思うかもしれないが、それは「偏りなくランダムに選べばいい」と
言っているのと同じことで、全く説明になってない。
コインをどのように投げれば、偏りなく表・裏が出るのか
説明されていないからね。
- 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 14:51:32 ]
- コインを投げる場合は、投げ方はもとより、コインの形状はどうするのか？
テーブルの形状はどうするのか？そもそも物理法則はどうなっているのか？
…こういうのを1つ1つ細かく設定しなければならない。
そして、それらの設定が済んだとして、どうしてそれらの設定のもとで
偏りなく表・裏が出るのか証明しなければならない。当然ながら、
どの設定にも「ランダムに〜」とか「適当に〜」とか「気まぐれに〜」とかの
言い回しは使ってはいけない。それは「等確率で選んでくれる便利な装置」の
存在を予め仮定していることになるから。
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