- 1 名前：1 mailto:age [2010/03/06(土) 12:44:09 ]
- [２つの封筒問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
一方を選んで中を見ると10000円だった。
他方の袋に入っている金額は5000円か20000円なので
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？
この問題・類題に関する意見・質問のスレです。専用スレ立てました。
この問題を他のレスで質問したりすると、高頻度で荒れる原因になりますので
できるだけ、こちらに書くようお願いします。
こんな確率求めてみたい その1/8
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/
から派生しました。
- 116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 03:51:04 ]
- >>115
これは見ても見なくても1/2じゃないの
一方を渡された段階で大きいか小さいかは決まってるよね
見てからなんか選べるの？
- 117 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 04:06:12 ]
- >>115
カードに書かれている数字をみる
分布の提示を求める
それはもはや別の問題を解いているのでは・・・
- 118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 04:07:14 ]
- >>116
極端な事を言うと、「一方のカードは0、もう一方は1」という場合すらあり得る
当然ながら、この場合はカードを見た時点でどちらのカードが大きいかわかる
- 119 名前：118 mailto:sage [2010/03/08(月) 04:09:05 ]
- あ、俺は>>115じゃないよ
- 120 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 08:35:51 ]
- >>119
その場合の設問は
異なる実数が書かれた２枚のカードの一方を渡される。
カードを見ると１であった
カードに書いてある数字は１もしくは０である
それが他方より大きい確率は幾らか
になるのかな？
もうその場合、『異なる実数が書かれた』のところは省略していい？だめ？
- 121 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 08:57:44 ]
- 異なる実数が書かれた２枚のカードの一方を渡される。
カードを見ると１であった
それが他方より大きい確率は幾らか
の設問だったら
1/∞だけ大きい確率が増して解は1/2
Xの取り得る値の確率分布がX≦1のとき2/3、１≦Xのときは1/3
だったら解は1/3
ってあってる？
- 122 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 11:23:02 ]
- 分布と組は同じ概念でしょ？
「組」って言ってるのは、無数の1:2の数字ペアを袋に入れてそこからペアを一つ無作為に取り出すっていう操作
特定の数字ペアが取り出される確率はその「重複度」によって定められる
分布(密度関数)は、(x,2x)が得られる確率をf(x)で定義したもの
- 123 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 16:31:22 ]
- 重複度？
変なとこで使うんですね
- 124 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 17:21:17 ]
- 初めに封筒に入れた金額に重点を置いて>>1を解きます。
Aは偏りのない実数とする
封筒の中身を（A、２A）とする
A≠0円は金額比が 1：2 より自明である。
設問よりお金を入れた段階で金額が決定されている事は自明である。
1/2の確率でAを選ぶ、このとき他方は２Aである。
1/2の確率で２Aを選ぶ、このとき他方はAである。
よって封筒の中身の期待値は
1/2×A+1/2×２A＝3/2Aとなる。
一方を選んで中を見ると10000円であった
このとき他方の封筒が5000円であるか20000円であるかは不明である
よって期待値12500円は間違いで別の袋を選ぶ方が得か損かは不明である
他方の封筒を開けることで初めに２つの封筒に設定された期待値を知る事が出来る。
A＝10000円とすると他方の封筒は必ず20000円となる、このとき5000円の封筒は存在しない（1/2Aは存在しない）
他方の封筒を開けると期待値が15000円であったことが分かる。
2A＝10000円とすると他方の封筒は必ず5000円となる、このとき20000円の封筒は存在しない（４Aは存在しない）
他方の封筒を開けると期待値が7500円であったことが分かる。
A＝10000円、２A＝10000円は独立した事象であり連続性はない
この試行をB回行う（Bは十分に大きい正の整数）
獲得できる金額は期待値の総和に近づく
次は封筒一つに重点を置いた解法を見つけてみたいと思います。
お金では無理かもしれませんが、αを偏りのない実数として2のα乗でいけるのではないかと
- 125 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 17:59:41 ]
- ＞中を見ると10000円であった
ここで逆にたどると
3A/2 = 10000円
より、Aの期待値は2/3 * 10000円
よって他方の封筒の期待値は
1/2 * 2/3 * 10000 + 1/2 * 2/3 * 10000 * 2 = 10000円
一方、選んだ封筒に10000円入っていたことから(10000,20000)又は(5000,10000)が二つの封筒の中身である。
前者である確率をpとして
p * 20000 + (1-p) * 5000 = 10000
p = 1/3
より、選んだ封筒が少額側である確率は1/3である
よって僕はバカである
誰か頭良い人、どこでおかしくなったか教えて頂けませんか？
- 126 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 18:19:32 ]
- >>125
>>124に書いてある通り期待値の決定は封筒を２つとも開けたときになります。
もし期待値から遡るのであれば起点は２つの封筒を開けた時からにして頂ければ幸いです。
>選んだ封筒が少額側である確率は1/3
これはαを偏りのない実数として2のα乗で説明できそうです
αに偏りはなくても、2のα乗にすると密度が少ない側にかたよるように思います
たぶん封筒の中の金額 5000：10000：20000=√2：1：1/√2と予想します。
しかし２のα乗の方法の期待値だと
>この試行をB回行う（Bは十分に大きい正の整数）
>獲得できる金額は期待値の総和に近づく
は満たせなくなると予想します
これは封筒を1つ選んだ時点で期待値を求める為に起こります
なので２のα乗を使った解法を見つけるモチベーションが下がっています。
- 127 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 18:24:32 ]
- すみません
>選んだ封筒が少額側である確率は1/3
ではなく
選んだ封筒が少額側である確率は2/3になると予想しています。
- 128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 23:22:02 ]
- よって僕はバカである
なんだこれ
- 129 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/09(火) 00:20:31 ]
- １００００円が出たときに
他方の封筒の中身は５０００円か２００００円に絞られます
そしてその比率は１：１であるかのように感じます
しかしそれは
5000円の確率：20000円の確率＝1/（∞-∞＋2）：１/（∞-∞＋2）≠１：１
の状態なのではないでしょうか？
これが正しいか間違ってるか
この分母に入るのが∞-1、∞-2、∞-3、∞-∞＋1、∞-∞＋2、∞-∞＋3のいずれか
議論する価値はあるかと思います
上の疑問は最近寝不足でレス待ちしてたら寝てしまい夢に出た
粘着で気分の浮き沈みも激くなってきてるし病気かも・・・・
- 130 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/09(火) 00:23:57 ]
- 自覚症状あるうちは大丈夫だ
図書館にでも行ってくる方が手っとり早いし健全だよ
- 131 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/09(火) 00:34:08 ]
- >>130 はい、そうします ありがとう
今は２つの封筒問題に夢中です、この前まではCOD：MW2でした
２つの封筒問題をアルファルファで見つけて以来やってませんが
今日はもう寝ます・・・・かゆ・・・・・うま・・・・・な状態です。
- 132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/09(火) 18:15:49 ]
- 完全な決着が付いてない問題だから調べたところでどうもねぇ・・・
図書館、というか論文でなら期待値12500で交換した方が（期待値的に）良いとしてるもの方がよく見るけど・・・
- 133 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/09(火) 22:10:18 ]
- >>130
>>132
- 134 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/09(火) 22:17:11 ]
- >>130
>>132
今日は仕事で遅くなり図書館には行けませんでした。
仕事中にいろいろ考えたので書き込みしてみます。
２のα乗で解を求めるのには失敗しました。
値の数の分布に偏りはみられませんでした。
やはり１つの封筒を開けた段階で期待値は求められないのかもしれません。
あと∞－∞＋２も誤りでした。
気づいた時に顔が真っ赤になりました。
- 135 名前：s5179 [2010/03/09(火) 22:54:18 ]
- [２つの封筒問題、上限20000円版]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする、上限を20000円とする。
一方を選んで中を見ると10000円だった。
他方の袋に入っている金額は5000円か20000円なので
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？
(解）
Aは１～10000の整数とする、封筒の中身を（A、２A）とする
設問よりお金を入れた段階で金額が決定されている事は自明である。
1/2の確率でAを選ぶ、このとき他方は２Aである。1/2の確率で２Aを選ぶ、このとき他方はAである。
よって封筒の中身の期待値は 1/2×A+1/2×2A＝3/2Aとなる。
一方を選んで中を見ると10000円であった
このとき他方の封筒が5000円であるか20000円であるかは不明である
よって期待値12500円は間違いで別の袋を選ぶ方が得か損かは不明である
他方の封筒を開けることで初めに２つの封筒に設定された期待値を知る事が出来る。
A＝10000円とすると他方の封筒は必ず20000円となる、このとき5000円の封筒は存在しない（1/2Aは存在しない）
他方の封筒を開けると期待値が15000円であったことが分かる。
2A＝10000円とすると他方の封筒は必ず5000円となる、このとき20000円の封筒は存在しない（４Aは存在しない）
他方の封筒を開けると期待値が7500円であったことが分かる。
A＝10000円、2A＝10000円は独立した事象であり連続性はない
封筒を引く確率を （5000円,10000円,20000円）の並びで示す
封筒が選ばれていない時 （1/10000,1/10000,1/20000)
(5000円,10000円）を封筒に入れたとき（1/2,1/2,0)
(5000円,10000円）の内10000円を引いた後（1,0,0)
(10000円,20000円）を封筒に入れたとき（0,1/2,1/2)
(10000円,20000円）の内10000円を引いた後 (0,0,1)
∞は考えがまとまらないので有限に、円が単位なので整数にしてみました。
- 136 名前：べ mailto:sage [2010/03/10(水) 02:22:52 ]
- 期待値から、引いた方が得
感覚的には、安い方を引いたなら次は高い方が出る可能性が高い。
高い方を引いたなら安い方が出る可能性が高い。
可能性がどれぐらい高いかを考えれば、引いた方が得になる。
- 137 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 02:43:23 ]
- ＞Aは１～10000の整数とする
これは「場合により１：２が成り立つ」
「場合によっては１：２が成り立たない」という
ものすごくいびつな条件を作った上で計算していることになる。
ぶっちゃけてしまえば無意味。
＞他方の封筒を開けると期待値が15000円であったことが分かる。
それは期待値とは言わない。
- 138 名前：s5179 [2010/03/10(水) 04:19:33 ]
- >>137
まずは１：２が成り立たない反例からどうぞ
- 139 名前：s5179 [2010/03/10(水) 04:22:09 ]
- う、寝起きは日本語がおかしい
>>137 １：２にならない反例を一つ示して下さい
- 140 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 06:03:06 ]
- １００００の場合
５０００と１００００のうちの１００００および
１００００と２００００のうちの１００００
１の場合
１と２のうちの１のみ
０．５と１のうちの１ という可能性は排除されている
２００００の場合
１００００と２００００のうちの２００００のみ
２００００と４００００のうちの４００００ という可能性は排除されている
関与する数字にこれだけのいびつさが生まれている
すなわち１００００という金額を確認したという事実だけ優先する立場なのに
理由もなく１から１００００という選択肢を後から用意したため
これが良く言われている結論ありきの論法と言うやつかな
- 141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 09:27:54 ]
- >>137はなにを言っとるの？
＞ 「場合によっては１：２が成り立たない」
その条件下では成り立つという話なのに
それ以外の話をしてもそりゃ無意味だわな。
- 142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 09:31:30 ]
- >>140
「上限20000円版」とことわってんだから別の問題なのだと思うが。
脊髄反射で反論する前に、もう少しよく読んだほうがいいのではないか。
- 143 名前：s5179 [2010/03/10(水) 21:49:46 ]
- 期待値12500円派もしくは11250円派の>>140さん
反例ありがとうございます。
着眼点は間違っていないと思います。
論理的思考のできる>>140さんは数学が得意な方だと推測します。
期待値は分らない派もしくはその他の関数派の>>141さん >>142さん
的確な指摘です、議論の参加を願います。
私は10000円を開けて見た時に期待値は分らない派です（15000円派ではありません）
>>140 での指摘は期待値12500円での解法では間違っていません、まさに的確です。
しかし>>141さん>>142さんには>>135に違和感はなかったと思います。
期待値12500円もしくは11250円での解法では有限かつ取り得る値が整数の場合
初めに1,3,5,7,9などの奇数や、10002以上の値を引くことが出来ません
これはどんなに値の上限を増やしても変りませんし。
有限の場合、整数を実数に替えても上限の1/2より大きな数字を最初に引くことが出来ません。
期待値12500円もしくは11250円の解法は応用が効かなく、実施するのにパラドクスを含み過ぎているように感じます。
- 144 名前：s5179 [2010/03/10(水) 22:07:54 ]
- >>136さん
理由が曖昧過ぎます、この文系脳め！！
>>135の問題は勝率75%の超ウルトラボーナス問題です。
- 145 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/10(水) 22:22:21 ]
- たびたびすみません日本語を訂正します。
誤 >>135の問題は勝率75%の超ウルトラボーナス問題です
正 >>135の問題は引く前から勝率75%が決まっている超ウルトラボーナス問題です
- 146 名前：べ mailto:sage [2010/03/10(水) 22:33:11 ]
- >>144
いや理由は期待値から明らかなんだよ。数学的に答えが出ているんだから、
これ以上の理由はないだろう
ただ理解できないようだから感覚的に理解するために、
わかりやすく答えただけ。
- 147 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/10(水) 22:43:24 ]
- べさんの出した期待値を教えて頂ければ
少しは理解出来るようになるかもしれません
- 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 23:10:56 ]
- > s5179
そろそろ病院行ったら？
- 149 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/10(水) 23:13:54 ]
- ええ、行ってきました。
脳に異常は見られませんでした。
- 150 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/10(水) 23:22:22 ]
- レスを待つのも暇なので
●を購入して「こんな確率求めてみたい その1/7」を読んでいます。
みんな楽しそうだなー
その時に参加したかったです
- 151 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 23:31:53 ]
- 成程、脳がやばそうだという自覚はあったんだ。
- 152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 23:32:54 ]
- >>150
「語るに落ちる」とはこれか
やっぱりなｗ
- 153 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/10(水) 23:39:32 ]
- >>152
落ちてないけど、そう言いたい気持ちはわかる
似たようなのがいるね俺と
850まで読んだけど歴史は繰り返すを地で行ってる
- 154 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/10(水) 23:41:55 ]
- 苦笑
- 155 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/10(水) 23:45:25 ]
- >>153
読み終わった
850-1000はスレが荒れて理解しながら読まなくていいから楽だった
- 156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/11(木) 00:19:22 ]
- s5179は結構まともだとおもうぞ
言ってる事はいまいち分からないが、話せば分かりそうな感じ
- 157 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 00:28:24 ]
- >>156
ありがとう
説明が難しいので、分りにくくなっていると思います。
でも矛盾はないと思います
- 158 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 00:33:12 ]
- たとえば、一番分ってもらえないと思うのは
「期待値12500円の解法は(5000,10000)(10000,20000)の場合なのに
初めに5000、20000を引く可能性を排除してしまっている、これには矛盾がある」
などです。
多分 初めに10000引いたんだから当たり前だろボケと思われるでしょう
しかし本当なのです。
- 159 名前：156 mailto:sage [2010/03/11(木) 01:25:30 ]
- >>158
それは「矛盾がある｣という言い方をするのがいけない
普通の条件付き確率の問題として説明すれば良いんじゃないか？
- 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/11(木) 01:27:16 ]
- 説明能力の問題？
- 161 名前：156 mailto:sage [2010/03/11(木) 01:38:14 ]
- >>160
>>126とか>>129とかは意味不明だが、最近の書き込みはそうなんじゃないか
- 162 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 02:12:59 ]
- 遅レスですみません反証します。
初めに引いた値が10000の時
（5000、10000）もしくは（10000、20000）の組み合わせであると考えられる
カードを配る親から目線（子が12500派の子）
（5000、10000）のとき試行A
１/2の確率で子が5000を選ぶその後10000選ぶ・・・①
1/2の確率で子が10000を選ぶその後5000を選ぶ・・・②
期待値-7500
＜＜＜＜＜超えられない壁＞＞＞＞＞
（10000、20000）のとき試行B
1/2の確率で子が10000を選ぶその後20000を選ぶ・・・③
1/2の確率で子が20000を選ぶその後10000を選ぶ・・・④
期待値-15000
期待値12500円の解法は②と③の平均をとっています、10000を初めに引いた事によって①と④の可能性を切り離しています。
しかし①と②は同一のゲームで切り離せません、同じように③と④も切り離せません
便宜上、子を12500派プレイヤーにしましたが、交換しない子、交換したりしなかったりする子
子の振る舞いによって期待値は変りません、
試行Aの場合、封筒は1/2の確率で5000もしくは10000で期待値は-7500です
試行Bの場合、封筒は１/2の確率で10000もしくは20000で期待値は-15000です
試行A、Bの平均をとったものが11250円派の解法です。
試行A、Bは起こりうる確率は同じです。
しかし試行A、Bは同じ回数起こるとは限りません
たとえば試行C（100、200）もA、Bと同じ確率で起こり得ます。
これが期待値12500円と11250円の反証です。
- 163 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 02:29:53 ]
- >>158
そうですね
10000円を最初に引いた問題だけど
5000円や20000円も最初に引く可能性があるよねと言いたかったのです。
でもたぶんこの言い方だと12500円派の人にその時の期待値は6250円と25000円ですよ、ププ
とか言われそうだなと思って。
- 164 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 02:48:06 ]
-
>>162 によりこの２つの封筒問題（>>1)では子の選択により親の期待値に変化はありません
よって封筒を引く必要はありません。
因みに>>135は （A、2A) Aは１～10000の整数なので
（1,2)(2,4)(3,6)(4,8)(5,10)・・・・・（4999,9998)(5000,10000)(5001,1002)・・・・（9999,19998)(10000,20000)
のように10000通りの封筒の組み合わせになります。
初めに選んだ数字が奇数のときはもう１枚ひく 2500/10000
初めに選んだ数字が偶数で２～10000は大きい数を引く確率1/2×5000/10000
初めに選んだ数字が偶数で10002以上の時は引かない 2500/10000
で勝率0.750の問題です。
- 165 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 03:06:37 ]
- >>164より
その他の２つの封筒問題の場合でも
封筒の中身が有限で実数の場合は値の範囲が分れば
その半分より大きければそのままで必勝（全体の1/4の割合)で1×1/4
それ以下であれば勝敗は 1/2×3/4
勝率5/8で少し有利
値の範囲が∞で整数の場合
初めに出た値が奇数でもう一枚引くで必勝1/4
その他は勝敗 1/2×3/4
勝率5/8で少し有利
になると思います。
- 166 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 03:09:33 ]
- >>162は
誤 カード
正 封筒
でお願いします。
- 167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/11(木) 05:17:52 ]
- ・・・・・・・・・
- 168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/11(木) 16:24:18 ]
- >>162
ヒント：条件付き期待値
問題には，
> 一方を選んで中を見ると10000円だった。
とあるので，5000を選んでから10000を選ぶ場合や
20000を選んでから10000を選ぶ場合は除外されている．
>>14
の指摘のように，２つ目の封筒が高額の方である確率が1/2である
かどうかは，定かではないが，この問題の場合，
残りの封筒の中身が5000円か10000円かは
等確率であるとするのが妥当と思われる．
（いずれにしても，この確率を求めることは数学ではない．）
したがって，
>>1
の通りに期待値は，12500円でいいと思われる．
だからといって，別の袋を選んだ方が，得になるかどうかは微妙な問題
ではなかろうか？
10000円が確定しているところから，確率1/2で損をするのだから．
金額の比が１：１００であって，最初の封筒の中身が
１億円だった場合なら，残りの封筒を選ぶと期待値は
５０億５０万円になるが，封筒を変更する人がいるでしょうか？
確率1/2で１００万円になってしまうのは損と考えるのが
常識的と思われるが．．．．
- 169 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 20:47:17 ]
- >>168
のヒントにより自分の答えが間違っていることに気が付きました。
封筒の中身が１：２になっている ・・・・①
一方の封筒を引くと10000円だった ・・・・② NEW
より
（Ⅰ） 他方の封筒の期待値を求める。
（Ⅱ） 他方の封筒を引いた方が得か
これを求める問題だったんですね
やっと理解出来ました。
またあとで自分なりの答えを書き込みたいと思います。
- 170 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 22:24:36 ]
- 絶望した
答えに絶望した・・・
そして>>1をよく読んでいない自分に絶望した
>>1の
他方の袋に入っている金額は5000円か20000円なので
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？
間違っています。
>>1の問題の答えは
期待値の計算式 5000a＋20000(1-a) (aは5000、10000の封筒ペアを用意する割合）
期待値は分らない（期待値の取り得る範囲は5000円～20000円）
期待値＞10000円になるかどうか分らないので引くべきかどうか分らない
出題ミスじゃん時間返せ
- 171 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 22:40:59 ]
- 因みに
>>1
の問題は明示していなければ1/2とするならば 期待値12500円となり引いた方が得
2/3より多い割合で5000円を入れるならば期待値が10000円を下回り引いた方が損
- 172 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 22:43:14 ]
- また間違えた
もう一度やり直します。
- 173 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/11(木) 22:46:12 ]
- 間違えていなかった
もういいよ・・・・
- 174 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/11(木) 23:37:33 ]
- この調子で完走してくれｗ
- 175 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/12(金) 00:19:54 ]
- 期待値12500円の時に感じるパラドクスを解明
10000円を引く・・・① 現在１
金額が１：２より
（b,5000、A,10000）・・・② 推測の過去
もしくは
（A,10000、B,20000）・・・③ 推測の過去
②は③等確率なので次の封筒の期待値は
5000×1/2+20000×1/2=12500
期待値が12500円なので他方を必ず選ぶと決める ・・・④ 現在2
③においてB,20000円を引いて期待値25000として必ず他方を選ぶ
③においてA10000を選んでもB20000を選んでも必ず他方を選ぶ選択をする
封筒Aを手に取った時点で、封筒Bに交換する方が得をするために
封筒Bを取りますが、ここで封筒を交換しても良いと言われると、
今度は同じ議論で封筒Aに交換する方が得をします。このように繰り返すと、封筒を無限に交換し続ける
どんな２つの封筒の組み合わせでも大きい方を引いた時も小さい時を引いた時も他方っを選択するのはおかしい。
- 176 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/12(金) 00:28:41 ]
- 途中で書き込んでしまった
まだ書き加えたり削除したりの途中です。
年度末で忙しいのに死んでしまう
10000円が出たときに
他方が5000円もしくは20000円であることを等確率にしていいんだろうか？とか
等確率に定義してしまって、問題を解く、パラドクスも説明する
を目指しています。
前スレ、前々スレ、他のサイトを参考にしながらですが。
やはり親目線の解き方が楽でいいなー、と思っています。
- 177 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/12(金) 04:01:17 ]
- <<1
の問題は
明示されてなければ確率は均等の法則に従えば12500円
引いた方が良いかどうかは、
1/2の確率で同額の獲得金額の増減があるので、引いても引かなくてもどちらでもよい。
みたいね、睡眠時間返して欲しいよ・・・
- 178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/12(金) 11:26:05 ]
- 「明示されていなければ確率は均等」には異論はないが
だからといって、何が何に対して均等であるかの要請については
特別な法則があるわけではない
たとえば
主催者が、ある１円について、このゲームのためにそれを用立てる確率は
どの１円についても均等と仮定すれば
２つの封筒の合計金額が15000円のゲームと合計金額が30000円のゲームが
執り行われる確率は等しくはならない。
- 179 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/12(金) 11:27:01 ]
- >>177
＞ 1/2の確率で同額の獲得金額の増減があるので
同額ではないけど？
- 180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/12(金) 16:07:53 ]
- >>178
ですな。
だからこそ何について均等なのかを考え
どこに影響が出て、どこに矛盾が起きうるか考える必要が出てくる
- 181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/12(金) 16:33:50 ]
- 何について均等かによっては矛盾が起こるのですか？
- 182 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/12(金) 17:20:00 ]
- >>179
カードを配る親から目線（子が12500派の子）
（5000、10000）のとき試行A
１/2の確率で子が5000を選ぶその後10000選ぶ・・・①
1/2の確率で子が10000を選ぶその後5000を選ぶ・・・②
期待値-7500
＜＜＜＜＜超えられない壁＞＞＞＞＞
（10000、20000）のとき試行B
1/2の確率で子が10000を選ぶその後20000を選ぶ・・・③
1/2の確率で子が20000を選ぶその後10000を選ぶ・・・④
期待値-15000
便宜上、子を12500派プレイヤーにしましたが、交換しない子、交換したりしなかったりする子
子の振る舞いによって期待値は変わらない
これだったら間違ってない？
この問題は引く人間の選択によって獲得出来る金額に差はでないと思う。
じゃあ、期待値の計算式 5000a＋20000(1-a)
においてaの取り得る値は１か0、１か０の比率はわからない。
期待値は5000もしくは20000、
あたりまえだし期待値じゃないけど真理は含まれていると思う
なんか１つ目の封筒を見ないと取り得る値の範囲が絞れないけど
見てしまうと低い値、高い値を最初引けなくなってしまう。
ウロボロスの蛇に首を絞められてる気分だ
②と③を足すからおかしくなるんだよ
試行AとBは全く別だから、足したり引いたりできないのに
- 183 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/12(金) 22:03:58 ]
- みんなはどんなイメージで>>1の問題を解いているのだろうか？
私は、
大きな封筒がありその中に小さな封筒が２つ入ってる
封筒の中にはそれぞれ数値が書かれた紙が入っていて、その比は1：2になっている。
大きな封筒は非常にたくさんあり、数値に偏りなく、見た目には無地で見分けがつかない
その大きな封筒が大きな箱にぎっしり入っている
試行の度に大きな封筒を１枚選び、試行が終われば戻す
こんなイメージで問題を解いているので
１度(5000,10000)の大きな封筒を選んだからといって、次に引く封筒は全く違う値だし
どんどん繰り返し、やっと10000がでたらまた5000がペアだった
そんなイメージで解いているんですが
因みに
私は社会人で仕事ぶりもそこそこです。
妻も子もいます（虹の嫁ではないです）。
言いたい事は
私は頭も精神もおかしくはありません
２ｃｈでは粘着ですが、久しぶりの書き込みなので暴走気味なだけです
議論を楽しんでいるので反論は大歓迎です、もっと議論したいので煽り気味です
数学は好きでした、特に確率の問題は大好きでした。
- 184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/12(金) 23:29:25 ]
- 分裂症の気はあるかもしれんね
自分で分かってたことが分かってない等
- 185 名前：7 mailto:sage [2010/03/12(金) 23:52:15 ]
- >>182
所々私の理解の及ばない箇所があるけれど
子が金額10000円を確認した後、交換するかどうか決める前の時点では
二つの封筒の金額は{5000,10000}か{10000,20000}かのどちらかに決定しているし
{5000,10000}の時と{10000,20000}の時とは別の試行なのだから
子が{5000,10000}の時と{10000,20000}の時を同時に考えて期待値を求めるのは
おかしい、と言ってるように見える(全然違ってたらすまん)
が、{5000,10000}の時と{10000,20000}の時とは別の試行だかといって一緒に考えることは
できないというのは早計だと思う。
例えば、親が賞金の組を決める時
{5000,10000}が選ばれる確率と{10000,20000}が選ばれる確率の比を1:99
として、子もそのことを知っているとする。金額の組が決まり、親が２つの封筒を
用意し、子が１つの封筒を選んで中を確認する。すると中身の金額は10000円であった。
もしこの子が私であったら「この時点で金額の組は{5000,10000}か{10000,20000}か
のどちらかに決定しているけれど、{10000,20000}が選ばれた可能性が高い、つまり
他方が20000円である可能性が高い」と考えて交換する。
子にとって10000円を確認したことは重要な情報であり、交換するかしないかの
判断材料になり得る。
別の問題として比が99:1とし、それ以外は同じ(確認した金額10000円)だったら、私は交換しない。
>>1の問題では、この比が何対何かは論理的には判断できないし、1:1と考えるのが自然だとは
思えないので、交換するかどうかは決められない、というのが答え(>>1自体はこれで終了)だと思う。
けれど、比が1:1となるような問題(または2:1となるような問題)を考えた場合
子にとっての他方の金額の期待値が12500円(10000円)と言えるか？
交換した方が良い(交換しない方が良い)と言えるか？
ということが私の個人的な課題。そして上はyes,下はnoと自分の中では答えも出てる。
- 186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 00:34:58 ]
- s5179さん
あまりに混乱しているようなのでフォローです。
エクセルできますよね。
数学は実際に計算やってみるのが基本です。
A列に1,2,3,4,5,6,7,8,9,10と入力
B列に=2^A列
C列に=B列*2
D列に=B列/2
と入力します。
意味的には、
A列が一様な整数分布（の一部）→封筒の組を選ぶ
B列が手にした数値（割り切れる問題を避けるため2^Aにしてあります）
C列が交換して増える場合
D列が交換して減る場合
仮の計算のため、とりあえずは１から１０で計算します。
11行目で合計を求めてください。
B列が2046、C列が4092、D列が1023になります。
BからCの場合と、BからDの場合はA列の整数を一様に取ることができれば1/2になることも理解できると思います。
この場合のBの数値を手にした人の期待値は、
=（Cの合計＋Dの合計）/（Bの合計*2）
で計算でき、上の数値を使って計算すると1.25になります。
- 187 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 00:35:43 ]
- 続き
さて、この表をよく見るとこのパラドクスの原因がどこにあるか一目瞭然で、
10組しか封筒がないのであれば、整数10のときの封筒の組からは2048に増えることは無く、
「交換しない！」が正解なので、2048を1024へ書き換える。
同様に整数1のときも書き換えるとパラドクスは消え、比率は1.00になります。
いまは１から１０でやりましたが、この上限を無限に飛ばしたのがもとの問題だと考えています。
私の立場は、
・片方の封筒の中身を確認したあとの条件付確率として、1.25倍はパラドクスではない
・とはいえ、整数（or自然数）全体の一様分布を作ることはできない
→封筒を引く前の期待値が発散してしまい、ここがパラドクスの原因
・当然、他の人が仮定しているような発散しない分布を仮定すれば、交換後も1倍になる
という感じです。
- 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 02:23:52 ]
- >>186-187
この問題を現実に置き換えることは不可能ということでよろしいですか？
それなら同意見。
- 189 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 04:30:13 ]
- ありがとう御座います。
>>186-187
そう、そこです、そこが混乱する所です。
A列に1,2,3,4,5,6,7,8,9,10と入力
B列に=2^A列
C列に=B列*2
D列に=B列/2
これのA列を正の実数にして封筒の1方に
C列を一方に入れパッケージしたものが自分の考える大きな封筒の中身です。・・・①
A列とB列のパッケージでも同じ分布の封筒になるかと思います。・・・・②
しかし①と②の大きな封筒の色は違いませんでしょうか？
①と②を同じ箱に入れると①と②の大きな封筒の枚数は同じですが
数値は発散してしまいます。
B列とD列の大きな封筒の色は同じです、少し色は薄いかもしれません。
（A、B）の大きな封筒＜黒い＞、（A、C）の大きな封筒＜白い＞、（A、D）の大きな封筒＜A、Bのものより少し薄いが十分に黒い＞
のまだらな箱の中身が出来るように思います。
あとE列に(1/2)^A列の封筒も在りかと思います。（A、E）の大きな封筒の色はグレー？か？・・・④
①、②、③、④が混ざった箱はとてもカオスで自分の理解に耐えません、ええ頭が爆発しそうです。
A列をただの実数にしてみんなに封筒を引かせ借金まみれにしたくなります。
- 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 04:31:33 ]
- 整理ができるまであと800レス強で足りますかのう
- 191 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 04:33:53 ]
- 訂正
>>189の②において同じ分布としたのは誤りです。
寝起きなのでご容赦願います・・・・
ではまた寝ます。
レス待ちは寝ることにしました、
これで健康が取り戻せそうです。
- 192 名前：s5179 [2010/03/13(土) 04:37:05 ]
- >>190
そうじゃのう、わしらが死ぬ前に解けるとよいのう
- 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 04:53:28 ]
- ＞・とはいえ、整数（or自然数）全体の一様分布を作ることはできない
＞→封筒を引く前の期待値が発散してしまい、ここがパラドクスの原因
一様分布でない分布のもとでも、同様のパラドクスが起きるように設定できるらしい。
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
その場合でも、封筒を引く前の期待値は発散するようだが。
- 194 名前：s5179 [2010/03/13(土) 05:46:11 ]
- 寝付けなかったので、寝る前に補足
>>189
の②のパッケージの仕方は【２＾A、２＾（A+1)】です、④も同様です。
④の色は青？
せっかく円と言う単位が付いているので
Aは正の整数
一方はA円、もう一方は２A円
Aの値の範囲が∞までの場合と160,000円くらいまでに分けて考えたらどうでしょうか？
そうすれば１≦A≦80,000で
箱の中身は大きな封筒80,000枚で考え易いののですが・・・・
まあ、この大きな封筒にパッケージと言う考え方の同意自体取れていないのですが・・・
明示されていない条件を明示して（または仮定して）
みなで同じ問題を解かないですか？
- 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 05:48:52 ]
- 寝付けなかったので、
- 196 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 10:36:23 ]
- >>188
そうです現実問題としては、整数・自然数全体に一様分布を入れることはできないと考えています。
- 197 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 11:01:03 ]
- >>189
失礼ですが、混乱されているようなので、いきなり連続体上での分布を考えるのは避けたほうがよいと思います。
今回の例示を1～10の整数にしたのは、離散であればいろいろ検討しやすいと思ったからです。
私の考える、この問題の作業ステップは
・1～Nの自然数から1/Nの確率（一様）でひとつ選択し、nとする
・２つの封筒として、「2^n」と「2^(n+1)」を用意
・プレイヤーはこのうちのひとつを選択し、中身を確認
という流れです。
この1ステップ目のN大きくなり、最終的に無限大に発散させたものがこの問題の1例となります。
※他の例を作成することも可能
繰り返しになりますが、無限大に発散させた状態で確率を論じることは不可能
考え方としては、
・1/Nの確率でひく、最大値Nを引かない限り1.25倍になることは異論がないと思います。
→ひとつの封筒の中身を確認し、2^(N+1)でなければ1.25倍
・このNを大きくしていくと、最大値Nを引く確率はどんどん小さくなる
・Nを無限大まで発散させた場合を想定すると、どんな数値を引いても、それは最大値ではないので、1.25倍が適応される
という風に考えています。
- 198 名前：s5179 [2010/03/13(土) 12:42:54 ]
- 186さん
まず１点、2^Nは不味いんじゃないでしょうか？
自然数ですよ
たとえば2^N=10000としてNの値を教えて頂きたいのですが・・・
- 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 15:42:18 ]
- >>198
俺は>>197=>>186ではないが、
＞・1～Nの自然数から1/Nの確率（一様）でひとつ選択し、nとする
＞・２つの封筒として、「2^n」と「2^(n+1)」を用意
>>197の場合、１からNまでの任意の自然数なのはｎの部分のことであって
2^nが１からNまでの任意の自然数とは言っていない
- 200 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 15:54:28 ]
- >>198
（199さんフォローありがとうございます）
199さんの言うとおりで、いきなり任意の自然数で考えると、２で割り切れない不都合が起きるので、2^Nに置き換えて考えています。
2で割れる、有理数体や実数体で考えると、自然数での単純さが無くなり混乱の元となるので、代替案としての説明です。
すぐには納得行かないかもしれませんが、基本的な考え方は一緒なので、このやり方で一度考えてみませんか。
- 201 名前：s5179 [2010/03/13(土) 17:26:34 ]
- >>200
A=2^nとすると
2^(n+1)=2・2^n=2Aです。
つまり（A、２A）で表す事が可能です。
金額の比は1:2とありますので全てのやり方で応用可能です。
期待値12500派の人は（A、２A）ではイケナイ何かやましい事があるのですか？
<<<例えば最大値の半分を超る値を初めに引けないとか>>>
- 202 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 18:33:09 ]
- >>201
確かに私は期待値12500派ですが、（A,2A)でいけないとは、言っていませんよ。
ただし、普通にAが自然数であれば、奇数は2Aになりえないので、交換するときに
余計な条件となりかねないので、今回の思考実験では避けたいのです。
＃Aが有理数や実数とする場合は別の困難が発生します。
自然数全体と2^n（n:自然数）は１対１対応するので、ひとつの例としては問題ないと考えています。
- 203 名前：s5179 [2010/03/13(土) 18:55:41 ]
- >>186
問題はない？
先ほど出した
『2^ｎ=10000としてｎの値を教えて頂きたい』
の答えが必要になりそうですね
答えられないのでしたら2の累乗を使うのであれば対数も使えるように
実数に代えて下さい
- 204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 20:17:24 ]
- 期待値12500を満たす母集合を考えると、有限ではありえない。
無限の母集合から何かを選択する操作に、統計とか期待値の概念はない。
- 205 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 20:18:31 ]
- >>203
いやまあ、どうしても実数で考えたいというであれば、止めはしません。
実数で考えて、混乱されているようなので、自然数（整数）で考えてみることをお勧めしたつもりです。
実数上での確率の扱いに慣れているのであれば問題ないです。
（とてもそのようには見えませんでした）
私もs5179さんのおっしゃるように封筒の作り方を確立することには賛成です。
私の提案が、自然数nに対して、「2^n」と「2^(n+1)=2*2^n」の組をつくることです。
この利点は、最大値と最小値以外であれば、どの数値を引いても勝つ確率が1/2であることがわかりやすいことです。
- 206 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 20:27:39 ]
- >>203
欠点としては、もともとの問題の10000円に対する自然数nが設定できないことですね。
（まあ、「2500*2^n」「2500*2^(n+1)」にしてもいいのですが）
とにかく、自分の理解できるところまで引き返してほしいです。
（複雑なものを複雑なままで考えても前進は厳しいですよ）
- 207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 20:32:05 ]
- 結局期待値 1.25 って言ってる人は、
任意の実数xを選んだとき、(2x + x/2)/2 が 1.25x だと言ってるだけじゃないの？
そんなの統計でも期待値でもない。
- 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/13(土) 20:34:17 ]
- 俺の知る限り、実証する方法のないものは期待値とは呼ばない。
- 209 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 20:46:11 ]
- 私は
（A、２A） でAは自然数を推します。
値の分布も均一で密度の偏りもありません。
Aの値の範囲は∞の場合と有限１≦A≦40000の場合を分けて考えればよいと思います。
設問はA＝10000で奇数ではないので、当面は奇数が出る問題は考える必要が無いかと思います。
- 210 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 20:49:43 ]
- >>209
s5179さん
ある封筒を開けて、その数値が9999だった場合はどのようにするのですか？
または、その数値は入っていないのか？
（期待値を理解するためには、封筒に含まれる数値の組の分布を考える必要があります）
- 211 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 21:40:57 ]
- >>209
入っています。
入らなくする為に（2A、4A)も考えましたが。
そこまで作為的に値を決めた場合、その問題は>>1とは別問題であると考えます。
あくまで>>1の解釈の統一を望んでいます。
- 212 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 21:42:54 ]
- >>210
186さんもちろん9999の場合は次の封筒を引いた方が良いと思います。
- 213 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 22:03:07 ]
- 186さん
上限40000としたときの封筒の組み合わせは20000通りです。
その内の半分には奇数が含まれています。
その半分が選択した封筒の組み合わせになった場合1/2の確率で奇数を初めに引き
そこで必勝となります。
20002以上の数を引いても必勝です、これも組み合わせの半分は対象となり1/2で必勝です。
その他の場合を考えます。
その他の場合に必ず得をする（その試行の獲得賞金の平均を上回れる）戦術があるか考えます。
>>1の問題は取りあえず置いておいて上限200くらいでやってみるのも一興かと
- 214 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 22:07:42 ]
- >>211
s5179さん
>>1に基づいて考えたいということはわかりました。
ただし、1には「入っている金額の比は１：２とする」という設定があるので、これを満たすためには、
どの封筒をあけても、1:2になる数値が必要と考えています。
この２点を満たすために、
「2500*2^n」「2500*2^(n+1)」（n:自然数）の封筒の組を考える
では、いけませんか。
自然数全体で、1:2の比の存在のありなしを考えると、素数分布を考えるような感じで話がそれすぎると思います。
（もとの単純なパラドクスからはるかにずれてしまいます）
- 215 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/13(土) 22:20:31 ]
- >>214
186さん下記の封筒の組は１：２になっていませんか？
なにか自分が気づいていないミスでもあるのでしょうか？
（A.2A)
(1.2)
(2.4)
(3.6)
(4,8)
(5.10)
(6.12)
・
・
・
(49.98)
(50.100)
・
・
・
(10000.20000)
・
・
(20000.40000)
- 216 名前：186 mailto:sage [2010/03/13(土) 22:27:59 ]
- >>213
わかりました。それでは、簡単のためA:1～10でやってみましょう。
大きい封筒が、10ありその中に小さい封筒が20。
最初に小さい封筒をあけて出てくる数値は、
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20のどれか。
（このうち、2,4,6,8,10は２つ入っています）
このうち、1,3,5,7,9,12,14,16,18,20を引いた場合は迷うことなく終了。
（今回の期待値計算から除きます）
2のとき、1が1/2、4が1/2 （1.25倍）
4のとき、2が1/2、8が1/2 （1.25倍）
6のとき、3が1/2、12が1/2 （1.25倍）
8のとき、4が1/2、16が1/2 （1.25倍）
10のとき、5が1/2、20が1/2 （1.25倍）
となり、2,4,6,8,10を引いたときの条件付確率では、1.25倍になります。
ただこれは単なる条件付確率で、パラドクスの解決に役に立たないと思います。
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