- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 21:11:21 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 910 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/12(月) 15:03:21 ]
- >>909
- 911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 15:35:46 ]
- 括弧の中に適当な言葉を入れよ．(15点)
三つ子素数の[ ]百まで
- 912 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 16:04:45 ]
- >>910
- 913 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/12(月) 17:22:03 ]
- 半径1の円に内接する正n角形の面積をS(n),外接する正n角形の面積をT(n)とする。
lim[n→∞]n^p｛T(n)-S(n)｝が0でない数に収束するときのpの値を求めよ。
- 914 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 18:28:40 ]
- >>913
(面積) = n・(中心と一辺が作る二等辺△の面積)
= n・(1/2)(一辺の長さ)(中心から辺の中点までの距離）
を使うと、
S(n) = n・cos(π/n)sin(π/n),
T(n) = n・tan(π/n),
∴ T(n) - S(n) = T(n){1 - cos(π/n)^2} = T(n)sin(π/n)^2,
π - (π/6)(π/n)^2 < n・sin(π/n) < π < n・tan(π/n) < π + (π/3)(π/n)^2,
n→∞ のとき
lim[n→∞) n･sin(π/n) = π = lim[n→∞) n･tan(π/n),
よって
p=2 のとき、極限値 π^3,
蛇足だが････
{S(n) + 2T(n)} /3 = π + (2/15)π^5･(1/n)^4 + ････
lim[n→∞) n^4･{S(n)+2T(n)}/3 = (2/15)π^5,
- 915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 18:32:53 ]
- >>914
ねーよ
- 916 名前：914 mailto:sage [2009/10/12(月) 18:40:51 ]
- >>913 (追加)
よって
p=2 のとき
n^2 {T(n)-S(n)} = T(n) {n･sin(π/n)}^2 → π・π^2, (n→∞)
蛇足
lim[n→∞) n^2･{π - S(n)} = (2/3)π^3,
lim[n→∞) n^2･{T(n) - π} = (1/3)π^3,
lim[n→∞) n^4･{[S(n)+2T(n)]/3 - π} = (2/15)π^5,
- 917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 19:51:44 ]
- >>908 >>911
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1085836534/498-499
双子素数
- 918 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 21:17:33 ]
- >>901の（２）とは全然関係無いから
- 919 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 00:07:53 ]
- 大体、正確に未解決問題を書き写したらなおのこと、大学入試問題にはならないだろ。
ちなみに、よく分からないので聞きたいんだが、入試問題的に見て、受験生が誰も解けなかった問題ってのは良い問題なのかな、悪い問題なのかな？
ここでいう誰も解けないは、部分点も無かったってことね。
少なくともその問題は受験生の能力差を見るのに役立たなかった訳だから、悪い問題と見なすべきなきがするけど……
実際は部分点ぐらいあるだろうから問題ないのかな？
- 920 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 01:23:24 ]
- 部分点もなかったと言っておきながらすぐ下で部分点ぐらいあると言う。
- 921 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 01:26:09 ]
- >>890
を誰か解いて下洒落
- 922 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 02:04:58 ]
- y=|x(x-k)|+1とy=xのグラフを書く
→kで場合分け
だけど「発散」が振動を含むのか含まないのか分からん
どっちの語法もあるからはっきりしてほしい
あと場合分けがめんどくさそう
- 923 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 02:14:22 ]
- >>890みたいなただ面倒なだけの有名問題はやめてくれよ
解きつくされてるんだから
- 924 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 16:08:01 ]
- 絶対値絡みは珍しいと思うけど？
- 925 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 19:27:22 ]
- ただ場合分けがより面倒になりますというだけだけどね
- 926 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 22:09:53 ]
- 3^3^3^3^3と10^10^10^10の大小を比較せよ。
但しlog10_3=0.4771...である。
難しくないと思うのだけど、
入試問題として類題をほとんどみないせいか、
周りの東大志望の出来は意外と良くなかった。
- 927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 23:05:49 ]
- log 3^3^3^3^3 = 3log3^3^3^3
= 9log3^3^3 = ... = 81log3
log 10^10^10^10 = 1000log10
log10/log3=0.477より後者の方がでかい
案外簡単だな
- 928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 23:08:44 ]
- >>927
お前馬鹿だろ
- 929 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 23:20:03 ]
- 入試問題でも
f(t)=e^t^2+...
という式がeの肩にt^2が乗ってることを表してたし、
(a^b)^c=a^bcという規則があるから、
特に括弧をつけずにa^b^cと書いた場合
a^(b^c)のように後ろから計算するものだと思ってたので
ここはそのように考えてください。
- 930 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 23:33:02 ]
- >>927
えくせれんと
- 931 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 23:34:28 ]
- >>927
＞log 3^3^3^3^3 = 3log3^3^3^3
正しくは
log 3^3^3^3^3 = 3^3^3^3*log3
だね
- 932 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/15(木) 22:33:38 ]
- x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ...... + x_n^2 = 1 の条件の下で F (x_1, x_2, x3_, ..... ., x_n) = x_1*x_2 + x_2*x_3 + .............. + x_n-1*x_n - x_n*x_1 の最大最小を求めよ。
（ずっと前の大数の宿題から）
- 933 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/15(木) 22:37:54 ]
- 訂正
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + ...... + x_n^2 = 1 の条件の下で F(x_1, x_2, x3_, ..... ., x_n) = x_1*x_2 + x_2*x_3 + .............. + x_{n-1}*x_n - x_n*x_1 の最大最小を求めよ。
（分かると思うが。）
- 934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/16(金) 23:43:19 ]
- xyz空間において、相異なる格子点が９つある。
（なお、格子点とは・・・・ry）
この９点から２点を選びその点と点を結ぶ線分（３６本）を考える。
このうち、線分の中点もまた、格子点であるような線分が必ず存在することをしめせ。
- 935 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/16(金) 23:49:57 ]
- 鋭角θにおいて、
θ < （Sinθ + Tanθ）/2
を証明せよ
- 936 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 00:56:09 ]
- >>934
（x座標、y座標、z座標）の偶奇の組合せは2^3=8通りしかないので、
9個の格子点があれば、その中には各座標の偶奇が一致する2点が少なくとも1組存在する。
この2点の中点は格子点である。
- 937 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 04:36:06 ]
- 正の素数を固定せよ。
また、nを任意の正の整数とする。
n！約数として現れるｐの個数をあらわす公式を求めよ
- 938 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 04:38:56 ]
- ×n！約数として
○n！に約数として
- 939 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 04:40:18 ]
- >>935
tan(θ/2) = t とおく。
鋭角により 0 < t < 1,
(右辺) = t/(1+t^2) + t/(1-t^2) = 2t/(1-t^4) > 2t > θ,
- 940 名前：Snellius mailto:sage [2009/10/17(土) 04:48:17 ]
- >>935
序でに･･･
{Cosθ + Cosθ + 1/(Cosθ)^2} /3 ≧ 1, (←相加･相乗平均)
をθで積分して、
(Sinθ + Sinθ + Tanθ) /3 ≧ θ,
- 941 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/17(土) 14:40:50 ]
- a[1]↑=(1,0)､a[n+1]↑をa[n]↑/2を原点の回りに角θ回転したものとし､
a[2]↑、a[3]↑…と順に定めていく．
ここで、Σ[k=1,n]a[k]↑=(x[n],y[n])とおき、
θに対して点P(lim[n→∞]x[n],lim[n→∞]y[n])を定める。
θが0≦θ＜2πの範囲で動く時、点Pの軌跡を求めよ。
- 942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 19:27:29 ]
- ある頻出問題を解いていて思いついた。証明は簡単なので東大には不向きかも。
この定理は有名なものかも知れないので、もし知っている人がいたら教えて！
センター試験の裏技にいいかなと自分では思っている。
【問題】四面体ABCDの辺AB、BC、CD、DA上に点P、Q、R、Sをとる。
(辺の端点はとらないとする)
このとき、4点P、Q、R、Sが同一平面上にある必要十分条件は、
(AP/PB)・(BQ/QC)・(CR/RD)･(DS/SA)＝1
であることを示せ。
- 943 名前：942 mailto:sage [2009/10/17(土) 19:37:16 ]
- 例えば、
www.densu.jp/center/01center2bprob.pdf
の第3問のタ～トは瞬殺。
- 944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 22:14:51 ]
- >>941
a[n+1]↑ は a[1]↑ /(2^n) を原点の周りに角nθ回転したもの。
a[n+1]↑ = ((1/2^n)cos(nθ), (1/2^n)sin(nθ)),
x_n +i･y_n = Σ[k=0,n-1] (1/(2^k)){cos(kθ)+i･sin(kθ)}
= Σ[k=0,n-1] {(1/2)exp(iθ)}^k (← 等比級数)
= {1 - [(1/2)exp(iθ)]^n} / {1-(1/2)exp(iθ)}
→ 1/{1-(1/2)exp(iθ)}
= {1-(1/2)exp(-iθ)}/{(5/4)-cosθ}, (n→∞)
実部と虚部に分けて
x_n → {1-(1/2)cosθ}/{(5/4)-cosθ}, (n→∞)
y_n → (1/2)sinθ/{(5/4)-cosθ}, (n→∞)
∴ 点Pは円 (x - 4/3)^2 + y^2 = (2/3)^2 の周上を動く。
- 945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 22:38:35 ]
- >>941 (補足)
x_n -(4/3) +i･y_n = -(1/3){1 -2exp(iθ)}/{1 -(1/2)exp(iθ)},
x_n -(4/3) -i･y_n = -(1/3){1 -2exp(-iθ)}/{1 -(1/2)exp(-iθ)}
= -(4/3){1 -(1/2)exp(iθ)}/{1 -2exp(iθ)},
辺々掛けて
| x_n -(4/3) ±i･y_n |^2 = (2/3)^2,
| x_n -(4/3) ±i･y_n | = 2/3,
- 946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 23:21:43 ]
- n 次関数のグラフがn 1 個の異なる格子点を通れば，それは無数の格子点を通る。
- 947 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/17(土) 23:23:33 ]
- a_(n+1)=2-√｛4-a_(n)｝
a_(1)=2
で定められる数列a_(n)について、
lim(n→∞)(4^n・a_(n))の値を求めよ.
難。答え出たら多分感動する。
- 948 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 23:28:32 ]
- そんなこといって宿題を解いて貰おうって寸法だな
- 949 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/17(土) 23:38:54 ]
- >>948
こんな問題を宿題にする学校がある分けないだろ。ボケかお前は
- 950 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/17(土) 23:45:11 ]
- >>949
親が子を思う気持ちと同じぐらい、子が親を思ってると思う。
親に迷惑かけたくない、弱い自分見せたくないという思いから、
電 話したり、田舎に帰る機会が少なくり、すれ違いが生まれるんでし ょうね。
- 951 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/17(土) 23:50:36 ]
- >>947
a_n=4(sin(θ_n))^2
a_[n+1]=2-2cos(θ_n)=4{sin(θ_n/2)}^2
∴θ_[n+1]=1/2*θ_[n]
- 952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 23:53:03 ]
- やっぱり宿題だったんだ
- 953 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 23:58:36 ]
- >>942-943
確かに便利で砂
- 954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/18(日) 00:10:56 ]
- >>947
a_n = 2(1-b_n) とおくと
b_(n+1) = √{(1 + b_n)/2},
2･b_(n+1)^2 -1 = b_n, (←cosの倍角公式と同じ形)
b_1 = 0,
これを解いて
b_n = cos(π/2^n),
a_n = 2{1 - cos(π/2^n)},
(4^n)a_n → π^2 (n→∞).
>>941 (補足)
P (x,y) = ((4/3)+(2/3)cos(2φ), (2/3)sin(2φ))
ただし
φ = arctan(3･tan(θ/2)),
- 955 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/18(日) 02:24:36 ]
- 【問】
nを自然数として
正方形のn×nマスのある1マスの上に駒を乗せ、それを以下の動きを交互に繰り返して動かす
①すぐ隣のマスへの移動
②一マス飛ばしの移動
ただし、駒は①と②のどちらからでも動かし始めてよいものとし、縦横にしか移動しないとする
この時、駒の初期位置と動かし方をうまく設定することでn×nの全てのマスを1回ずつ動くことが出来るためのnの必要十分条件を求めよ
ただし、n=1の時は駒を動かさないが成立すると考えてよい
- 956 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/18(日) 12:01:46 ]
- >>955
nを4で割った余りが2のときのみ出来ない。
証明：
nを4で割った余りが2でないときは、左上のマスに駒を置いて
②から始めることで題意の動かし方ができる。
詳細は省略するが、■の位置で②から始めて１～４の順に
移動すれば、4つの連続したマスが消えるので、これを
何度も使えばよい。
■□□□
１３２４
- 957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/18(日) 12:05:01 ]
- nを4で割った余りが2のときは、n＝4k＋2とおいて、
n*n個のマスを次の4つのエリアL0,L1,L2,L3に分ける。
(n＝6の場合の分け方)
□■□■□■
●○●○●○
□■□■□■
●○●○●○
□■□■□■
●○●○●○
L0＝(□全体)，L1＝(■全体)，L2＝(○全体)，L3＝(●全体)
L0のマスの個数は(2k＋1)^2であり、L1～L3でも同様に
(2k＋1)^2である。つまり、L0～L3のマスの個数は全て奇数である。
最初に駒があるエリアをLsとするとき、次のようになる。
①から始める場合：
Lsのマスは1個減る(←駒の初期位置にあるマス)。その後は、
「いずれかのエリアLiのマスが2個減る」
を繰り返す。L0～L3のマスの個数は奇数なので、
題意の動かし方は不可能だと分かる。
②から始める場合：
Lsのマスが2個減る。その後は、
「いずれかのエリアLiのマスが2個減る」
を繰り返す。L0～L3のマスの個数は奇数なので、
題意の動かし方は不可能だと分かる。
- 958 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/18(日) 13:17:17 ]
- >>956正解
ただnが奇数の時は4連の動きにちょっと動きが加わるけど
- 959 名前：KingGold ◆3waIkAJWrg [2009/10/18(日) 17:01:31 ]
- Reply:>>888 そう思うなら何故お前がよそに行かない。
|
 |
