- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 21:11:21 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 03:01:35 ]
- 1の７乗根ζは難問の宝庫
ζ＋ζ^2＋ζ^4 の値を求めよ
- 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 04:30:19 ]
- >>593
とっかかりすりゃわからん・・・ところで、ζってなんて読むの？あと７乗根って１含む？
- 595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 04:51:26 ]
- >>594
z = ζ + ζ^2 + ζ^4 とおく。
z* = ζ^6 + ζ^5 + ζ^3,
z + z* = (1 + ζ + ζ^2 + ζ^3 + ζ^4 + ζ^5 + ζ^6) -1 = -1,
zz* = (1 + ζ + ζ^2 + ζ^3 + ζ^4 + ζ^5 + ζ^6) + 2 = 2,
Z^2 + Z +2 = 0,
∴ z = {-1 + (√7)ｉ}/2,
- 596 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 06:25:34 ]
- >>586
A(√3,0) B(0,1) C(0,-1)
とする。
AB: y = 1 - x/√3,
AC: y = x/√3 -1,
領域D:
1 - (√3)x < y < (√3)x - 1, {(1/√3) < x < (√3)/2}
(x/√3) - 1 < y < 1 - (x/√3), {(√3)/2 < x < √3}
の体積を求めて3倍する。
x '(y) = (√3)(1-|y|),
z(x,y) = √{(x ')^2 - x^2} = √{3(1-|y|)^2 - x^2},
V = ∫_D z(x,y) dxdy = ･･･
- 597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 07:49:27 ]
- >>558
〔補題〕
x>0 のとき
(1 + x/n)^n < e^x,
(略証)
(左辺) = Σ[k=0,n] Ｃ[n,k] (x/n)^k
= Σ[k=0,n] {n(n-1)(n-2)････ (n-k+1)/(n^k)} (1/k!) x^k
< Σ[k=0,n] (1/k!) x^k
< e^x,
- 598 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 08:25:15 ]
- >>560 >>563
www.youtube.com/watch?v=g5QZ8asNHoQ 02:22 モー娘。
www.youtube.com/watch?v=nxUsvRr8o0k 02:52 歌詞付
www.youtube.com/watch?v=0q6lD9IFtks 02:15 池田淳子
www.youtube.com/watch?v=vDUzcqZuBdI MP3TUBE
www.youtube.com/watch?v=pISgVQOj_QM 03:04
www.youtube.com/watch?v=rUyRYH8w7EM 02:35
- 599 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 08:28:20 ]
-
日本には「鼻蔵」という僧がいて、クロード・コンピューティングの開祖とされている････
これも今は昔、奈良に、蔵人得業 恵印といふ僧ありけり。
鼻大きにて、赤かりければ、「大鼻の蔵人得業」といひけるを、後(のち)ざまには、ことながしとて、「鼻蔵人」とぞいひける。
なほ後々(のちのち)には、「鼻蔵(はなくら)、鼻蔵」とのみいひけり。
--宇治拾遺物語「蔵人得業猿沢の池の龍の事」より--
- 600 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 14:45:48 ]
- >>579
できればもっと詳しくお願いします
- 601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 18:45:59 ]
- >>600
？
この文言で明らかじゃないなら勉強が不足しているよ君
- 602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 20:13:08 ]
- >>601
お前、ここが高校生向けの問題を作るスレだって自覚してる？
- 603 名前：清書屋 mailto:sage [2009/09/20(日) 20:44:25 ]
- >>510
a≠0 のとき f(t) = aT^3 + (c - b^2 /a)T + 定数項, (T = t + b/3a)
f '(t) = 3aT^2 + (c -b^2 /a),
a(c - b^2 /a) = ac - b^2 < 0 のとき、極値を持つ … ○
a(c - b^2 /a) = ac - b^2 ≧ 0 のとき、極値を持たない … ×
a=0 のとき
b≠0 のとき、f(t)は2次式、極値を持つ … ○
b=0 のとき、f(t)は1次式
c≠0 のとき、極値を持たない … ×
c=0 のとき、定数 … ○
∴ 求める条件は
a≠0 かつ ac-b^2 < 0,
a=0 かつ b≠0,
a=b=c=0,
のいずれか。
- 604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 21:13:43 ]
- >>593
2000年4月号の学力コンテストに類題あり、
a,b,cは相異なる複素数で、a^2=b、b^2=c、c^2=aであるとする。このときa+b+cは実数でないことを示せ。
- 605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 21:47:17 ]
- >>604
こんな簡単な問題が出るかなぁ
- 606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 21:50:05 ]
- >>593
cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(8π/7) を求めよ
なんて形で出題したら、受験生の何割が完答するだろう？
範囲外か
- 607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 21:52:10 ]
- >>606
sin(\pi/14)をかけて割ればいいから範囲内です。
数学オリンピック1963年[5]がこの問題でした。
- 608 名前：595 mailto:sage [2009/09/20(日) 21:55:55 ]
- >>604
a^8 = b^4 = c^2 = a,
a=0,1 とすると a=b=c となり、題意に適さない。
∴ a^7 =1, a≠1,
∴ a = exp((2kπ/7)ｉ) = ζ, (1≦k≦6)
以下 >>595 と同じ。
- 609 名前：607 mailto:sage [2009/09/20(日) 21:56:44 ]
- ついでに言えば、2007年数学検定2段で\sum_{k=1}^{180}sin k°= cot 0.5°を示せというのがありました。
この計算は、定積分 \lim_{n \to \infty} \sum_{n}^{k=1} (1/n) \sin( \pi k/n) を求めるのにも使えます。
- 610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 22:49:23 ]
- >>602
無理数の定義自体、有理数でない実数、程度の高校数学で
高校生にどんな解答を期待しているのか、マジで知りたい。
- 611 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/21(月) 03:12:58 ]
- >>398（訂正版 >>404）
n=3のとき題意を充たすpが存在しないことを示せばよい。
（n=k≧4のときに存在すれば、p=a_{k-2}と置き直してa_3=3となる）
a_3=3となるには、a_2の各位の値は3が1つと残りは1でなければならない。
ところでa_2はpの各位の数の積なので、a_2の素因数としてありうるものは2、3、5、7。
素因数に2、5を含むとすると、a_2の1の位が偶数または5となり不適。
よってa_2=3^s･7^t（s、tは非負整数）とかける。
ここでa_2の1の位としてありうるものは1、3、7、9であるが、それらと3あるいは7との積の10の位は偶数であるから、
任意の(s,t)について、帰納的にa_2の10の位は偶数である。これとa_2が2桁以上の整数であることにより、a_3は偶数となる。
従ってa_3=3とはなりえないから、題意は示された。
帰納的に〜あたりは端折りすぎというか、言葉遣いが間違ってる気がするが伝わるだろうか…。
あと、この議論だと1、7、9にもなりえない気が…。
- 612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 05:41:45 ]
- >>610
ヒント 中間値の定理
- 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 19:05:26 ]
- なるほど
- 614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 20:56:20 ]
- 面白い問題を思いついた．完璧に解ける高校生は非常に少ないと思う．
入試ではﾀﾌﾞｰだと思うので実際に出題される事はないと思いうが．
n，m を2以上の整数とするとき，次の関数の導関数を求めよ．
y＝[n]√(x^m)
- 615 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 21:58:54 ]
- xの範囲も指定せずに導関数を求めよとか有りなのか
- 616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 22:04:40 ]
- >>615
mが奇数ならx>=0のみ、mが偶数なら全実数ということでは？
- 617 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/21(月) 22:07:06 ]
- x^(m/n)じゃなくて？
- 618 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/21(月) 22:13:44 ]
- >>614
ガウス記号かと思った
- 619 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/21(月) 22:21:19 ]
- 俺もガウス記号に見えて何言ってんだろうって思った
- 620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 22:46:46 ]
- >>615
実数値関数として意味を持つ x の範囲が定義域だろ、普通。
y＝√x のときに x＞0 とか書かない。
- 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 22:51:25 ]
- >>616
ちょっと全然違う。
- 622 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 23:02:27 ]
- >>614
{ [n]√(x^m) }’＝ { x^(m/n) }’＝(m/n) x^(m/n−1)＝(m/n) [n]√{ x^(m−n) }
ではどこがあかんのですか？
- 623 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/21(月) 23:20:13 ]
- f(x)=e^(m/n)logx
f'(x)=e^(m/n)logx*m/n*1/x
=m/n*x^(m/n-1)
これなら教科書にも載ってるしな
- 624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 23:21:26 ]
- >>619
>>622
俺もそう思った。
- 625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 23:24:47 ]
- どうも、思いつき、が多いなあ。
- 626 名前：614 mailto:sage [2009/09/21(月) 23:30:00 ]
- どうも出題意図が上手く伝わらない．
ではもっとｼﾝﾌﾟﾙにして，次の様に修正．
y＝[3]√(x) 及び y＝[6]√(x^2) の導関数を求めよ．
- 627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 23:37:51 ]
- え？[3]√(x)＝[6]√(x^2) では?
- 628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 23:45:45 ]
- もしかしてあれか、定義にしたがって求めよってやつか？
- 629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 00:05:55 ]
- ちゃいますがな
- 630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 00:10:21 ]
- 「面白さ」を含めて解説きぼんぬ
- 631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 03:09:25 ]
- d/dx(|x|)=sgn(x)
- 632 名前：sage [2009/09/22(火) 07:15:42 ]
- どっかで同じような流れを見たことがあるような…。
多分出題者は[n]√(x^m)とx^(m/n)の表す意味合いは微妙に違うみたいなことを言いたいんだろう。
後者だとx<0は扱えない。高校の教科書の定義は確かそうだったはず。
まぁ「面白さ」は今ひとつ感じないが。
>>627
x=-8とすると
[3]√(-8)=-2
[6]√(-8)^2=2
とかになるが…
- 633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 07:17:43 ]
- なんで名前のほうにsageって書いたんだろう。ちょっと吊ってくる。
- 634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 08:06:23 ]
- >>626
y＝[3]√(x) において
x＞0 のとき
y'＝{x^(1/3)}'＝(1/3) x^(-2/3)＝1/[3]√(x^2)
x＜0 のとき
y'＝{−(-x)^(1/3)}'＝−(1/3) (-x)^(-2/3)･(-1)＝1/[3]√(x^2)
よって x≠0 のとき y'＝1/[3]√(x^2)
y＝[6]√(x^2)において
x＞0 のとき
y'＝{x^(1/3)}'＝(1/3) x^(-2/3)＝1/[3]√(x^2)
x＜0 のとき
y'＝{(-x)^(1/3)}'＝(1/3) (-x)^(-2/3)･(-1)＝−1/[3]√(x^2)
- 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 09:49:04 ]
- >>634
ｱﾅﾙほど
- 636 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/22(火) 09:54:44 ]
- 原点を通らず、全実数で定義される関数f(x)は、原点との距離が最短である点で原点中心の円に接するということは正しいか？
正しいなら証明を与え異なれば反例を与えよ
- 637 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 09:59:42 ]
- 正しい訳ないじゃん。
ﾚｷﾞｭﾗりﾃｨｰに関する記述がない。
- 638 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 10:24:33 ]
- y=[x]+1とか
もちろん[ ]はガウス記号
- 639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 17:55:31 ]
- >>634
そうすると y=[3]√x を微分するとき
安直に y=x^(1/3) とかするのは本当は駄目なんだね
- 640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 18:12:24 ]
- f(x)=|x|+1とかいくらでもあるわな
- 641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 18:15:11 ]
- >>636は微分可能性を付け忘れたお馬鹿ｻﾝ
- 642 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/22(火) 19:33:02 ]
- 半径１の球上に、無作為に２つの点をとる.この２点間の距離の期待値を求めよ.
- 643 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 19:46:26 ]
- 線積分すりゃいいよ
- 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 20:11:45 ]
- >>636
「原点を通ら(ない)・・・関数」
という表現は、
カス教師の作った問題やFランク大入試ならまだしも、
東大入試ではあるはずがない。
- 645 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 20:16:06 ]
- (0,1), (1,-1), (2,-1) を通る二次関数を求めよ、とかいう問題とかね。よくあるけどやめてほしいよな。
- 646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 20:54:32 ]
- いやです。
- 647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 21:42:24 ]
- >>644
なぜ？
- 648 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 21:54:12 ]
- >>647
「関数」と「関数のグラフ」を混同するような馬鹿なことは
しないってことだよ。
- 649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 22:01:40 ]
- >>645はどう書けば満足なんだ？
きちんとしたグラフの定義は高校ではやらない。
重箱の隅を突付いて嬉しいか？
- 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 22:30:08 ]
- >>639
有体に言えばそういうことだ
- 651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 23:10:05 ]
- >>649
きちんとしてるかどうかは別として、
高校数学においても関数とグラフは別物だろ。
「2次関数〜〜とx軸との交点の個数」といった表現も生徒の答案ではよく見るが、
教科書や入試問題ではそういう表現はされていないはずだから、
これでいいじゃないかと主張する高校生がいたら勉強不足だと言いたい。
そのへんは理解度が試されるところだと思うから、厳しくした方が受験生のためだ。
ただ、式とそのグラフを同一視するということはままあって、
「放物線y=x^2」というような書き方は珍しくないのだが。
- 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 23:11:51 ]
- まず教科書に定義を書いているかが問題だ
- 653 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/22(火) 23:31:20 ]
- 全実数で定義され、かつ微分可能な関数f(x)のグラフは、
原点との距離が最短である点で原点中心の円に接するということを示せ。
ただし、f(0)≠0である。
だったら正しい？
問題出したというより疑問として出したんだけど
- 654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 23:44:16 ]
- ＞問題出したというより疑問として出したんだけど
- 655 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 23:52:35 ]
- >>634
目から鱗です。。。
- 656 名前：だいすけ ◆jcXETTeIVg mailto:sage [2009/09/23(水) 00:07:51 ]
- 今日、来年理１受けることを決めたｗ
で、問題。
=========================================================================================
ある自然数の２乗で表すことのできる数を平方数と呼ぶ。
1^2=1,2^2=4,3^2=9,4^2=16・・・（中略）・・・2010^2=4040100,2011^2= 4044121,….であるので
平方数を小さい順に記述すると、
1,4,9,16・・・（中略）・・・,4040100,4044121,・・・・(以下永遠に続く)
である。
ある自然数nは、平方数であり、nを１０進法で記述したとき各桁の数字がすべて１である。
n を求めよ。
=========================================================================================
って、平方数かじったことある人なら楽勝かもしれないけど、
「東大入試」って考えれば、いいよね？（でもかんたんすぎる？解き方もいろいろあるし）
- 657 名前：だいすけ ◆jcXETTeIVg mailto:sage [2009/09/23(水) 00:13:02 ]
- もひとつ。
=========================================================================================
ｘｙ座標平面上に、原点Ｏを中心とし半径１の円Ｃ、および、円Ｃの円周上に相異なる点Ｐ、点Ｑがあり、ＰＱ＝aである。
また、△ＯＰＱの面積を２等分する直線lがある。
直線lと△ＯＰＱの交点を点Ｍ、点Ｎとするとき、線分ＭＮの長さの最小値を a を用いて表せ。
=========================================================================================
（実は数学から長らく離れてたので、東大入試の難易度、年々かんたんになってるということくらいしかあまり知らない・・・）
- 658 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 00:17:16 ]
- 2^X=X^2の実数解Xを求めよ。
こんなのどうだろう。
ちょっと逸脱気味だし、満点取るやついないだろうな…
- 659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 00:42:30 ]
- >>658
X^(1/X) = 2^(1/2),
X = 2,4
- 660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 01:30:23 ]
- >>656
条件より、ある正整数kを用いて、
n=(10^k-1)/9
とあらわせる。
これより、
9n=10^k-1……(※)
以下では法4で考える。
nは平方数なので、0,1と合同になるが、0と合同になるのはnが4の倍数のときである。
4の倍数の下一桁には1が現れないことから、nは1と合同となる。
9が1と合同であることとあわせて、(※)の左辺は1と合同になる。
したがって、
10^k-1≡1⇔10^k≡2⇔2^k≡2⇔2^(k-1)≡1
k-1≧2のとき、2^(k-1)は4の倍数になるから、
k-1=0,1⇔k=1,2
前者のときは、
n=1
後者のときは、
n=11
nは平方数なので、求める数はn=1である。
- 661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 02:09:08 ]
- >>660
なるほどなあ いい問題や
- 662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 02:10:43 ]
- じゃあオレからも一題。
y=x^2 と x^2+y^2+z^2=1で囲まれる体積の、小さいほうの体積を求めよ。
- 663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 02:11:27 ]
- どこがいい問題なんだか
- 664 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 03:07:28 ]
- 円C_a,C_b,C_cは互いに3点で外接する。
その三点を通る円の面積をS
C_a,C_b,C_cに囲まれた部分の面積をS'とする
この時S'/Sの最大値を求めよ
- 665 名前：>>656=だいすけ ◆jcXETTeIVg mailto:sage [2009/09/23(水) 03:13:11 ]
- >>660
あってます。
けど、「nは平方数なので、0,1と合同になる」の部分、東大入試的には説明不足で減点にならないのかなぁ・・・
あと、2^(k-1)≡1 がわかった段階で、そのあとは、
（mod 4の考えから少し（？）離れれば）
「k>=2 のとき2^(k-1)は２の倍数なので、題意を満たさない。また、k=1のとき、n=1。これは題意を満たす。答えは１」
で終わる。
たぶん、「正整数pについて、p^2≡0 または p^2≡1 (mod 4)」ってのを知ってたから、こう解いたのだと思いますが、
ちょっと実験すれば、回答は５行で書けます。
- 666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 03:45:46 ]
- >>656
難易度A*だな
- 667 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 04:11:34 ]
- 秒針、短針、長針をもった、正確に動いている時計がある。
この3本の針について、どの2本の針のなす角も120°である瞬間は存在するか。
- 668 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 04:40:47 ]
- 命題P,Qがある。P,Qは真か偽か不明だが少なくとも一方は真である。
続き作れ
- 669 名前：だいすけ ◆jcXETTeIVg mailto:sage [2009/09/23(水) 05:05:50 ]
- >>667
それぞれの針は、なめらかに動くの？それとも、（たとえば秒針なら）１秒ごとに、2π*(1/60)だけ「カチっ」って、瞬間移動っぽく動くの？
(分針は必ずなめらかに動くんだっけ？いつもデジタル時計しか見てないからわすれた）
>>668
Ans,
命題「>>668」は真か偽か不明である。
- 670 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 09:18:18 ]
- 数列｛a[n]｝は
漸化式a[n+2]=(a[n+1]+a[n])/2とa[1],a[2] によって定まる数列である。
lim[n→∞]a[n]＝αとおくとき、
|a[1]-α|≧|a[2]-α|を示せ。
(☆漸化式を解かない方法てあるかな？)
- 671 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 10:15:09 ]
- 誰か>>658を解ける強者いない？
ちなみにコンピュータは使わないでね。
>>659は違います。実数解は全部で3つ存在してます。
- 672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 10:57:12 ]
- ま、どうでもいいけど、問題としてどんな面白みを感じてるのさ？
- 673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 12:21:55 ]
- X^2=(-X)^2=2^X
2^(-X)=(-X)^(-2)
2^(1/(-2))=(-X)^(-1/X)
1/√2=t^(1/t)
さて…?
- 674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 12:27:06 ]
- x＜0で片や単調増加、片や単調減少
中間地の定理から-0.5と-1の間に零が一個ある、程度でいいんじゃねえの
- 675 名前：うんこ mailto:sage [2009/09/23(水) 14:05:12 ]
- -0.76あたりで３つめをとるな！
しかし、673のようにx乗根を取ったときその変形が同値なのかわからんな。
- 676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 17:45:30 ]
- 任意の自然数k,mについて
a^n+b^n=c^(km+1)
が成立するような(a,b,c）の組は無限個存在することを示せ.
- 677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 17:46:56 ]
- × a^n+b^n=c^(km+1)
○ a^m+b^m=c^(km+1)
- 678 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 18:10:21 ]
- >>561=>>632=>>672
文句ばっかり言ってるね。
自分が投下した問題を吊るしてみなさいYO
- 679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 18:11:16 ]
- 実際つまらんから言われても当然
- 680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 18:12:21 ]
- {a[n]}(n=1,2,3,…)は各項が正の実数からなる数列で、
初項a[1]から第n番目の項a[n]までの和をS[n]とおく。
a[n]=√S[n]を満たしているとき、a[n]の一般項を求めよ。
- 681 名前：だいすけ ◆jcXETTeIVg mailto:sage [2009/09/23(水) 18:19:45 ]
- >>656 で出題したやつのかんたんな解答例
nは題意により奇数。一般に偶数の２乗は偶数。ゆえに、∴n=(2k+1)^2 （kは非負整数）とおける
するとn=(2k+1)^2=4*(k^2)+4*k+1 ゆえにn-1=4*(k^2)+4k=4(k^2+k)
題意よりn-1の下１桁は０であるので、4(k^2+k) = 0
(∵ 4*非負整数 の下１桁が0になるのは、この非負整数が0のときだけである)
∴ n-1=0 ゆえにn=1 これは題意を満たす。よって答えは n=1
===============================
>>657
で出題したやつ、だれも解いてない。だれか解いてくれぇ。。
===============================
>>676 (>>677）
a^m+b^m=c^(km+1) ⇔c = (a^m+b^m)の(km+1)乗根
m,kの値がいくつであっても、a,bは変数であるので、a,bが実数全体を動くことを考えると、(a^m+b^m)は無限個の値をとる。
また、(km+1)は、a,bの値に依存しない。
ゆえに、c（ = (a^m+b^m)の(km+1)乗根）も、（a,bの値に依存するとはいえ）無限個の値をとる。
よって、題意を満たす(a,b,c）の組は無限個存在する。■
、
- 682 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 18:25:07 ]
- >>681
＞4*非負整数 の下１桁が0になるのは、この非負整数が0のときだけである
ダウト
例えば非負整数=5では？
- 683 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 18:37:10 ]
- >>680
大数の宿題かなんかだっけ？
その問題
- 684 名前：681 mailto:sage [2009/09/23(水) 18:39:42 ]
- >>681
の
====
題意よりn-1の下１桁は０であるので、4(k^2+k) = 0
(∵ 4*非負整数 の下１桁が0になるのは、この非負整数が0のときだけである)
====
これ、ウソだった。（4*40=160とか）
正しくは、たとえば、
＝＝＝
n-1が２桁以上のとき、n-1 （ = 4(k^2+k)）は５で割り切れ、これを満たすkは、0のみ。
しかしこのとき、n=(2k+1)^2=1ゆえnは１桁。よって矛盾し、題意を満たさない。
一方、n-1が１桁だと仮定すると、n=1である。これは題意を満たす。よって答えは1
＝＝＝
- 685 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 18:50:05 ]
- 関数f(x)は任意の実数について定義され、実数値をとる関数であり、以下の2つの条件をともにみたす。
f(x)としてありうるものをすべて求めよ。
*任意の実数xについてf''(x)> 0(第2次導関数が常に正の値)である。
*任意の相異なる実数a,bに対してy=f(x)上の2点A(a,f(a)),B(b,f(b))を考えたとき、
線分ABとy=f(x)で囲まれる部分の面積は |a-b|^3 である。
- 686 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/23(水) 18:53:26 ]
- >>684
＞n-1が２桁以上のとき、n-1 （ = 4(k^2+k)）は５で割り切れ、これを満たすkは、0のみ
意味不明。
そもそも>>656はnの桁数が2以上のときn=1...11≡3(mod4)で平方剰余にならないことからあっさり終了する。
東大にこんな知ってるか知ってないかの安易な出題はまずされない。
- 687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 18:55:47 ]
- >>684
いや k^2+k ( =k*(k+1) )が５の倍数のとき、ダウトだ。。。
最初に解いた答え、どっかゴミバコにすてちった。。。５で割ったことはたしかなんだが。
- 688 名前：687 mailto:sage [2009/09/23(水) 18:57:33 ]
- >>686
n=1...11≡3(mod4)、知ってたけど、東大受験生的には常識？
- 689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 19:01:02 ]
- 4の倍数の判別法くらい中学生でも知ってるだろ・・・
- 690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 19:27:21 ]
- >>679
多分おまえの方がつまらない
- 691 名前：297 mailto:sage [2009/09/23(水) 19:29:58 ]
- >>670
(a[n+1] + 2a[n+2])/3 = (a[n] + 2a[n+1])/3 = ･･････ = (a[1] + 2a[2])/3,
∴ α = (a[1] + 2a[2])/3,
a[n+1] - α = (-1/2)(a[n] - α) = ･･････ = (-1/2)^n {a[1] - α},
- 692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 19:50:19 ]
- >>685
y=6x^2+ax+b
- 693 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 19:52:52 ]
- >>685
任意の実数xについてf''(x)>0
は
任意の実数xについてf'(x) が存在
に弱められそうだだが。
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