- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 21:11:21 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 302 名前：301 mailto:sage [2009/08/20(木) 11:12:19 ]
- (e^2 が無理数であることの証明)
仮定より,
1＋1/1!＋1/2!＋...＋1/n! ＜ p ＜ 1＋1/1!＋1/2!＋...＋1/n!＋3/(n+1)! ...①
また簡単な微分演算により，
x＞0 で 1＋x/1!＋x^2/2!＋...＋x^n/n! ＜ e^x
＜ 1＋x/1!＋x^2/2!＋...＋x^n/n!＋x^(n+1)・e^x/(n+1)!...②
②において x＝1 とし，①と挟み撃ちより p＝e．
②において x＝2 とおくと，
1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^n/n! ＜ e^2
＜ 1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^n/n!＋2^(n+1)･e^2/(n+1)!...③
e^2＝k/j (j，k は正の整数) とおけると仮定する．
また m が正の整数のとき (2^m)!＝2^(2^m-1)･N(m) (N(m) は正の整数) とかけるので，
③において n＝2^m (m は正の整数) とし，辺々に j･N(m) をかけると，
j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!}＜k・N(m)
＜j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!}＋4j・e^2/(2^m+1)...④
ここで j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!} および k・N(m) は
正の整数で，m を十分大きくすると，0＜4j・e^2/(2^m+1)＜1 とすることができる．
これは④に矛盾する．
# e^m (m≧3) の証明はできない...
- 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/20(木) 11:26:30 ]
- >>297
cos(π/2-x)＝sin x とか使って、和積の公式＋背理法で簡単じゃあるまいか？
- 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/20(木) 13:20:50 ]
- >>303
実際の入試問題ならこのレベルで十分なのが現実だな。
- 305 名前：284とか [2009/08/21(金) 20:56:18 ]
- 【問】
xy平面において、(0,-r)から速さvでy=tanθx-r上を動く半径rの円(以下自機)と間隔1で線分の長さ1のx軸上に無限に連なり、速さ1でx軸正方向へ流れるワインダーを考える
この時自機が上手くワインダーを通り抜けることで、自機がワインダーにぶつかる(ワインダーと自機が周を除いて共有点をもつ)ことなくワインダーを通りぬけることができた
vを定数として、この時考えられる最大のrとその時のcosθの値を求めよ
某有名STGやってる時に閃いた問題だけど結構しっかり考えないと解けないと思われ
- 306 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/22(土) 00:04:44 ]
- 問題文が理解不能
- 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 00:53:33 ]
- ワインダーってなんだよ
- 308 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/22(土) 01:06:08 ]
- ワインダーは語義ミスぽいし、改題
【問】
xy平面において
(0,-r)から速さvでy=tanθx-r上を中心が動く半径rの円Cおよびx軸上にあり、長さ1でx軸正方向へ速さ1で動く線分が長さ1の間隔で以下の図のように無限に並んでいる非連続直線Dを考える
…― ― ― ― ―…
この時円Cが上手くDを通り抜けることで、円CがDと内部を共有することなく(ただし、周の共有は許す)(円のy座標)≧rの地点に到達することができたという。
vを定数として、この時考えられる最大のrとその時のcosθの値を求めよ
- 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 11:27:26 ]
- 高校生のための質問スレ669に東大の問題を真似た問題を作ってみました。溶けないのですが…ｗ
問題のせるとマルチ指摘されるのでそちらでといてみてください
- 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 11:36:00 ]
- あとこれもどうでしょう。なかなかの良問です
ｘ(1)～ｘ(n)がそれぞれ1～nまでの自然数の値を取るとする(n≧2)
この時|ｘ(1)―ｘ(2)|＋|ｘ(2)―ｘ(3)|＋……＋|ｘ(n-1)―ｘ(n)|＋|ｘ(n)―ｘ(1)|の最小値を求め、そのような値を取るｘ(1)～ｘ(n)の組み合わせの総数を求めよ。
- 311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 12:00:34 ]
- >>302
何で e^3 とかになると急に無理数性の証明が難しくなるんでしょうな。
- 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 12:20:27 ]
- >>311
e^2の無理性の本質は、テーラー展開と、eの無理性に帰着できる所、にあるから上手くいく
e^3以降だとテーラー展開の形から良い有理数近似が得られないから上手くいかない
- 313 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/22(土) 13:48:29 ]
- 最小値は数直線で考えれば2(n-1)だけど組み合わせは結構だるいな…
- 314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 13:52:46 ]
- >>310はますのりで見たような気がする。
ま、よくある問題ではあるが。
- 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 14:35:40 ]
- 一応これ自作なのですが全く同じなのですか？
あることに気付けばすぐできます
- 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 14:40:01 ]
- 連続レスすみません
z＝cosx（0≦x≦π/2）
z＝Siny（0≦y≦π/2）
y＝Sinx（0≦x≦π/2）
でかこまれる共通体積を求めよ。
こちらに載せます。
- 317 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/22(土) 14:48:56 ]
- Sinはsinってことでおｋ？
- 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 14:50:09 ]
- おけです
- 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 18:58:12 ]
- >>316
東大入試作問者になったつもりなら、文章にも気を配ろうよ。
>でかこまれる共通体積
なんて日本語になってないだろ。
- 320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 19:30:00 ]
- 0.
- 321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 20:00:34 ]
- 共通体積なんてないよな？
時間返せハゲ
- 322 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/23(日) 08:17:49 ]
- 場合の数は2^(n-1)かなあ
- 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 09:06:51 ]
- >>322おしいですね
- 324 名前：かえる mailto:sage [2009/08/23(日) 10:25:36 ]
- >>310
厳密な証明がうまく書けませんが、
１からｎまで上りきってから、ｎから１まで下るのが最小
最小値は２（ｎー１）
最小値をとる場合の数は、１のとり方でｎ通り
２～ｎ－１の（ｎ－２）個の点について、上りで通るか下りで通るかなので、２＾（ｎ－２）通り
よって、ｎ＊（２＾（ｎ－２））通り
- 325 名前：かえる mailto:sage [2009/08/23(日) 10:32:43 ]
- 324の上段をもう少し丁寧に書けば、
１とｎの間を往復しなければならないので、最小値が２（ｎ－１）未満にはなりえない。
ａ（ｋ）＝ｋとすれば、実際に２（ｎ－１）をとる。
よって、最小値は２（ｎ－１）
- 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 11:03:42 ]
- 正解です
- 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 13:56:11 ]
- >>323
そうか？
むしろ京大より東大だろ。もっとも京大と違って亀田みたいにあからさまな元ヤンはいないが。
官庁の役人なんて社会に出たらやって行けないような奴ばっか。
もっとも奴らが社会に出る時すなわち天下りなわけでそんな社会人一年生が赦されてしまうのが学歴社会日本クオリティ。
- 328 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/23(日) 14:17:23 ]
- 意味不明
- 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 17:53:42 ]
- 出します。
一辺が４の立方体が二つあり、両方の中心をxyz座標における原点に固定する。
これらを自由に回転させるとき、二つの立方体の体積の最大値を求めよ。
ただし最大値の存在があるものとして答えてはいけない。
- 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 17:57:25 ]
- もう一問。以前東大スレでだしたのですが正解者がいなかったので
正12面体があり、ある面をAとおく。Aを床とくっつける。ここで一回の操作で床にくっついた面に続く5面うちのどれかに転がすという操作をする。このとき、n回目にAが床にくっついている確率を求めよ。
- 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 17:58:55 ]
- >>329
二つの立方体の体積の最大値を求めよ。
と言われましても、どんだけ回転させても二つの立方体の体積は変わりませんぜ
- 332 名前：かえる mailto:sage [2009/08/23(日) 19:32:06 ]
- >>330
ｎ回目の操作後
Ａが床についている確率a(n)
Ａの隣の５面のいずれかが床についている確率b(n)
Ａから２つ離れた５面のいずれかが床についている確率c(n)
Ａから３つ離れた面が床についている確率d(n)
a(n+1)=(1/5)b(n)
b(n+1)=a(n)+(2/5)b(n)+(2/5)c(n)
c(n+1)=(2/5)b(n)+(2/5)c(n)+d(n)
d(n+1)=(1/5)c(n)
- 333 名前：かえる mailto:sage [2009/08/23(日) 19:42:35 ]
- >>332の続き
（第１式）＋（第２式）と
a(n)+b(n)+c(n)+d(n)=1
a(0)=1,b(0)=c(0)=d(0)=0に注意して、
a(n)+d(n)=(1/6)+(5/6)(-1/5)^n
（第１式）－（第４式）に（第２式）－（第３式）を代入して、
a(n+2)-d(n+2)=(1/5)(a(n)-d(n))
ｎ偶数：a(n)-d(n)=(1/5)^(n/2)
ｎ奇数：a(n)-d(n)=0
- 334 名前：かえる mailto:sage [2009/08/23(日) 19:46:34 ]
- >>332の続き
よって、
ｎ偶数：a(n)=(1/12)+(5/12)(-1/5)^n+(1/2)(1/5)^(n/2)
ｎ奇数：a(n)=(1/12)+(5/12)(-1/5)^n
・・・（答）
- 335 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/23(日) 21:06:12 ]
- >>308
- 336 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/23(日) 21:20:30 ]
- >>312
もう少し詳しくお願いします
- 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 23:03:39 ]
- >>302の証明で
j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!} は整数
って言ってるけど、これ本当？
- 338 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/23(日) 23:15:06 ]
- >>337
自分で検証できないのか？
- 339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 23:31:13 ]
- 1辺が1の正方形の中に，n個（n≧2）の点をどの2点もd以上離して置くときの
dの最大値を d_max(n) とする．
(1) d_max(2) を求めよ．
(2) d_max(3) を求めよ．
(3) d_max(4) を求めよ．
- 340 名前：かえる mailto:sage [2009/08/24(月) 01:02:34 ]
- >>339
(1) 2^(1/2)
(2) 6^(1/2)-2^(1/2)
(3) 1
- 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/24(月) 01:36:09 ]
- >>340
答えの予測はつくが論証が難しい
- 342 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/24(月) 20:18:11 ]
- xyz空間において
z=0上に底面がx^2+y^2=1に接する正2n角形で頂点が(0,0,1)の正2n角錘Tとz=1上に底面がx^2+y^2=1に接する正n角形で頂点が(0,0,0)の正n角錘Uがある
この時、TとUの共通部分の体積のをV_nとする時、lim(n→∞)V_nのとりうる値の範囲を求めよ
- 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/24(月) 21:00:00 ]
- a(n)=1/12+(5/12)(-1/5)^n+(1/4)(1/r5)^n+(1/4)(-1/r5)^n.
b(n)=5/12-(5/12)(-1/5)^n+(r5/4)(1/r5)^n-(r5/4)(-1/r5)^n.
c(n)=5/12-(5/12)(-1/5)^n-(r5/4)(1/r5)^n+(r5/4)(-1/r5)^n.
d(n)=1/12+(5/12)(-1/5)^n-(1/4)(1/r5)^n-(1/4)(-1/r5)^n.
- 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/24(月) 22:20:02 ]
- (1) 常用対数 log7の値を小数第４位まで求めよ。ただし、第５位以降は切り捨てとする。
(2) 1以上の自然数Nと、その２進数表記が与えられたとき、常用対数logN
の値を小数第４位(第５位以降は切り捨て)まで求めるとき、乗算を可能な限り
少ない回数で済ませる場合、乗算は高々何回行えばよいか。
- 345 名前：かえる mailto:sage [2009/08/25(火) 08:04:40 ]
- >>344
（１）（７＾１００００の桁数－１）／１００００
（２）１００００乗を何回の乗算でできるかが問題
１００００＝2^12+2^10+2^9+2^8+2^4
より、１２＋１０＋９＋８＋４＝４３回・・・（答）
- 346 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/25(火) 22:07:18 ]
- 誰か未解決問題まとめてくれ
- 347 名前：344 mailto:sage [2009/08/26(水) 02:58:31 ]
- >>345
えー。試験問題に誤りが見つかった為、(2)については受験者の回答を全て正解とし、
得点を加える処置といたします。
受験生の皆様に、お詫びいたします・・・。
・・・ごめん。(2)の問題を間違って、趣旨が変わってしまっていたようだ。
ついでに言うと、微妙に日本語が変だったみたい。（恥ずかしい）
折角回答してくれたのに、本当に申し訳ない。
訂正後の(2)は下記。
1以上の自然数Nとk(およびkの２進数表記)が与えられたとき、常用対数logN
の値を小数第k位(第k+1位以降は切り捨て)まで求めるものとする。
乗算を可能な限り少ない回数で済ませる場合、乗算は高々何回行えばよいか。
ちなみに、回答は訂正前の問題についてはほぼ正解に近いと思いますが、
途中経過を覚えておけるものとして考えると、17回になりますね。
- 348 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/26(水) 21:51:33 ]
- >>347
どちらにしろ出題ミスじゃね？
3×3=3+3+3のようにすりゃ高々0回じゃん
- 349 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/26(水) 23:29:18 ]
- 【問】
aを実数として
lim(n→∞)Σ[k=1,n]1/k^aについて
(1)a≦1の時の発散を示せ
(2)a＞1の時1になるべく近いaで収束するものを求めよ
ただし、この問題の点数は10/a点とする(小数第一位切り上げ)
- 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/27(木) 00:19:01 ]
- >>349
（1）略（易）
（2）は∀a＞1で収束するから（易）、
a=100/99とすれば10/a=9.9で10点
- 351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/27(木) 00:59:33 ]
- >>284
0<sincos1≦f_1(sinx)=sincos(sinx)≦sin1<1
0<a≦f_n(sinx)≦b<1と仮定すると0<sincosb≦f_(n+1)(sinx)=sincosf_n(sinx)≦sincosa<1
ここで平均値の定理からsincosb-sincosa<c(b-a) (|c|<1)
よって帰納的にf_n(x)は定数に収束する
ダメだろうか？
- 352 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/28(金) 17:32:06 ]
- xyz平面において、中心が原点にあり半径が１の球Cがある。
また半径ｎ、高さrでxy平面に底面が垂直になるように定められた円柱がある。
この円柱の中心が(x,y,z)＝(0,0,p)となっている時、球Cと円柱の共通体積を求めよ。
- 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/28(金) 21:13:30 ]
- だから「共通体積」って何だよ。
共通部分の体積
って書けよ。
- 354 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/28(金) 21:36:34 ]
- 353(笑)
- 355 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/28(金) 22:28:49 ]
- 円柱の中心ってなあに？
わかりません
- 356 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/28(金) 23:24:09 ]
- 共通体積の意味は推し量れるけども
普通は共通部分の体積だよな
共通測度などという言い方がないように共通体積という言い方はない
- 357 名前：352 [2009/08/29(土) 00:32:03 ]
- 共通体積→共通部分の体積でおねがいします
>>355円柱の中心とは立方体の中心というように考えてもらえればわかってもらえると思いますが
これも言葉足らずですかね？
- 358 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/29(土) 00:42:16 ]
- >>351
|(sincosx)'|＜1ってことですかぁ…見事ですね。私の解答よりも本解っぽいです
【問】
半円:y=√(1-x^2),y=0(-1≦x≦1)上のある2点に内接して隣同士互いに外接するn個の円の半径を中心のx座標が小さい順にr_k[k=1,n]とする時Σ[k=1,n]1/r_kの最小値を求めよ
>>308は座標設定があからさまに不親切なので改題します…
- 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/29(土) 01:04:18 ]
- >>351をちょっと訂正
(sincosx)´<1から|c|<1, |sincosb-sincosa|<c|b-a| となるcが存在
- 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/29(土) 02:30:21 ]
- 0<c<1でよかったか
- 361 名前：「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82 mailto:sage [2009/08/29(土) 07:49:15 ]
- 何だかビラソロ代数のセントラル・チャージみたいですな
- 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/29(土) 16:42:20 ]
- >>351
蛇足だが…
r = sin(1) = 0.8414709848078965066525023216303…
|f '(x)| = |cos(cos(x))･sin(x)| ≦ |sin(x)|
|x| ≦ r ⇒ |f '(x)| ≦ sin(r) = c,
f(a) = a とする。
n≧2 のとき、平均値の定理により次のξが存在。
|f_n(x) - a| = |f(f_(n-1)(x)) - f(a)| = |f '(ξ)|･|f_(n-1)(x) - a|,
ξ は f_(n-1)(x) と a の中間にあるから
|ξ| ≦ r,
∴ |f '(ξ)| ≦ sin(r) = c,
∴ |f_n(x) - a| ≦ c･|f_(n-1)(x) - a| ≦ ･･･ ≦ c^(n-1)|f(x) - a| ≦ c^(n-1)|-sin(1)-a|,
∴ f_n(x) は一様収束。
a = 0.69481969073078756557842007277519…
cos(a) = 0.76816915673679597746208623955866…
c = sin(r) = 0.74562414166555788889315107043038…
- 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/29(土) 22:23:09 ]
- ファッションとか音楽とかスポーツとか、その辺の話題で面接やりゃ２分で分かるだろ。頭の良さなんて。
わざわざ時間掛けて数学とかで試験やる意味がわからん。
ペーパーテストで勉強が得意かどうか調べたって頭の良さなんか全く分からないのに。
大学とかだと選ぶ側が雑談力ゼロのコミュ障だったりするからしょうがないけど。
だから日本の大卒って社会では全然使えないんだよ。
- 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/29(土) 22:28:10 ]
- >>363
釣りか？
それとも、そんな内容は低俗すぎて語るに足りないと面接で言えってことか？
- 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/29(土) 23:55:45 ]
- 高学歴でも使えない奴は普通にいるが、それでも低学歴を
採用するより高学歴を採用したほうが統計的に見て
使える割合が高いと言う話を聞いたことがある
- 366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/30(日) 01:24:33 ]
- >ξ は f_(n-1)(x) と a の中間にあるから
> |ξ| ≦ r
どうなってるのか教えてくれ
- 367 名前：362 mailto:sage [2009/08/30(日) 17:43:36 ]
- >>366
n-1≧1 から f_(n-1)(x) ∈ [-r,r]
また、明らかに a ∈ (-r,r)
∴ ξ ∈ (-r,r)
- 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/31(月) 01:54:21 ]
- >>367
なるほどありがとう
うまいなあ
- 369 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/01(火) 00:09:49 ]
- m,n(1<m<n)を正の整数とする.1からmnまでの自然数から、異なるn個の自然数を用いてできる等差数列はいくつあるか.
- 370 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/01(火) 00:26:46 ]
- f(x)=-(x-a)^2+b-aとおく.ただし、aは実数で、bは実数定数とする.0<a<b,f(0)<0のとき、y=f(x)とx軸によって囲まれる
部分の図形を、y軸を軸にして一回転させたときにできる立体の体積をV(a)とする.
aを上記の条件で動かすとき、V(a)の値に最大値が存在するための定数bの条件を求めよ.
- 371 名前：「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82 mailto:sage [2009/09/01(火) 09:14:06 ]
- >>363
確かに「そういう感じ」はありますね。
尤も「頭が良い」ってのがどういう意味かにも依りますよね。
まあ幾ら知識があって回転が速くてもダメな人はダメですわな。
そもそも：
「数学や理論物理が出来る人が頭がいい」
てな認識は大間違いで、そうでなくても頭がいい人は
世の中に沢山居る訳です。ソレを数学や物理の成績だけで
頭の良さを測るなんて愚の骨頂っていうか超馬鹿げてます
わな。
数学者ってのはどちらかと言うと「馬鹿の集団」てな
感じさえしますけどね。コレが物理学者だったらどう
なんでしょうかね。
まあアホな事を書きましたが。
- 372 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/01(火) 16:21:25 ]
- 以上残飯の独り言でした
- 373 名前：猫は残飯 ◆ghclfYsc82 mailto:sage [2009/09/01(火) 16:52:33 ]
- 新しい名前をどうも有難う御座いました。
今後も独り言ででも活躍したいと思いますので、
どうか宜しく。
- 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:もうそうきんぐ [2009/09/01(火) 17:15:29 ]
- ざんぱんにむらがるうじむしどもめ
- 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/01(火) 17:30:15 ]
- 未解決問題多いな
- 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:さげ [2009/09/01(火) 17:38:06 ]
- ざんぱんまん！
- 377 名前：猫は残飯 ◆ghclfYsc82 mailto:sage [2009/09/01(火) 17:49:19 ]
- せっかく新しい名前に変えたので、
残飯ネタの話を沢山カキコして下さいな。
ちゃんと見て居りますんで。
猫
- 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/01(火) 22:32:06 ]
- 四面体 OABC において、サイコロ1個を6回連続で振ったときに出た目を順に
OA、OB、OC、BC、CA、AB の長さとする四面体 OABC が存在する確率を求めよ。
- 379 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/01(火) 22:52:48 ]
- >>369
A_k=a+(k-1)dとして
1≦a≦mn
1≦a+(n-1)d≦mnを満たす整数(a,d)の組数を求めることに等しいdの値を固定する
①d≧0の時1≦a≦mn-(n-1)d
②d≦0の時1-(n-1)d≦a≦mn
①の時dの最大値は
d=mで右辺=mでd=m+1ではm-n+1≦0で不適だから
Σ[d=1,m]mn-(n-1)d=m^2*n-
(n-1)*m(m+1)/2
②の時は同様にd=-mで最小で
Σ[d=-m,-1]mn+(n-1)d
=①
d=0はmn
∴
2nm^2-m(m+1)(n-1)+mn
=nm^2+m^2+m
=m(mn+m+1)
かな？
検算してないから自身ないけど
- 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/02(水) 11:46:54 ]
- ∑[n=1,∞]{(4n-4)!!*(2n-3)!!}/{(4n-1)!!*(2n-2)!!}=tan(π/8)を示せ．
ただし，!!は二重階乗である．
- 381 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/02(水) 15:41:20 ]
- p,q,p+q,p-qが全て素数であるような(p,q)の組を全て求めよ.
- 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/02(水) 15:51:33 ]
- p+qは明らかに奇数 なので一方は偶数→条件に合うのは q=2
p-2,p,p+2のうち一つは3の倍数なので 条件に合うのはp-2=3のみ
ゆえにp=5,q=2
- 383 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/02(水) 18:45:09 ]
- >>379
惜しい。問題の読み取りミス。
「異なる」n個の自然数を用いてできる等差数列はいくつあるか.
- 384 名前：352 [2009/09/02(水) 19:30:38 ]
- 352の問題があまりに面倒くさい為か解答者が誰もいないので問題を少し変更します
〔問題〕
xyz平面において、中心が原点にあり半径が１の球Cがある。
また半径１、高さ１でxy平面に底面が垂直になるように定められた円柱がある。
この円柱の中心が(x,y,z)＝(0,0,p)となっている時、球Cと円柱の共通部分の体積を求めよ。
- 385 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/02(水) 21:28:55 ]
- 高校時代に同級生が作った問題。母関数がどうとか言ってた。
そいつが言うには30分程度で解ける事を想定してるらしいが、俺は40分以上かかった。
a_{1}=1,a_{2}=7,a_{3}=32
a_{n+3}=6a_{n+2}-11a_{n+1}+6a_{n}
を満たす数列{an}がある。以下の問に答えよ。
(1) |x|<1を満たす実数について
1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+……
を証明せよ。
(2) 関数G(z)を、
G(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^2+……+a_{n}z^n+……
と定義する。但しzは実数で、|z|<1、z≠0
(1-6z+11z^2-6z^3)G(z)を求めよ。
(3) 数列{an}の一般項を求めよ。
(4) nが自然数の時、a_{n}≧1を証明せよ。
- 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/02(水) 21:30:57 ]
- ミス。
誤
と定義する。但しzは実数で、|z|<1、z≠0
正
と定義する。但しzは実数で、|z|<1/3、z≠0
- 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/02(水) 21:31:57 ]
- こんな問題に３０分も
かかるのか？
- 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/02(水) 21:38:00 ]
- 部分分数分解する時に3元連立方程式が出てくるから暇はかかるが
それにしたって30分はかからんだろうな
- 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/02(水) 21:45:47 ]
- >>384
xyz平面って何だ？
- 390 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/02(水) 21:47:02 ]
- >>389
それくらいのミスは見逃してやれよ……
- 391 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/02(水) 22:09:55 ]
- このスレの中（過去も含む）の問題で良問と言えるのはどれか.
- 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/02(水) 22:18:26 ]
- >>167とかかなあ
単に整数問題が好きなだけだけど
- 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/02(水) 23:05:07 ]
- 2曲線C1:x^2+y^2=1、C2:y=αx^2+1に接する直線をlとする。
C1,C2,lで囲まれる範囲の面積をαで表せ。
ただしα>1/2
- 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/02(水) 23:43:35 ]
- >>378
四面体の成立条件がわからん。。。
- 395 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/03(木) 00:19:10 ]
- >>393
囲まれる部分なんてある？
- 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/03(木) 00:20:01 ]
- >>394
多分、4つの三角形が実在できて、かつ4点が同一平面上に存在しない場合
かと。
- 397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/03(木) 00:21:36 ]
- >>395
直線lが2曲線に接して、その2つの曲線も接してるから
囲まれる部分はあるはず。
- 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/03(木) 00:24:02 ]
- やっぱ東大っていうと整数とか立体ってイメージがある。
で、整数の問題。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
２桁以上の正整数について、それぞれの位の数字をすべてかけ算する操作Ｍを、
以下のように記述する。
例：===========================
M(1234)=24 （∵1x2x3x4=24）
M(2589)=890 （∵2x5x8x9=890）
===============================
a_{1}=p（pは２桁以上の正整数）
a_{n+1} = M(a_{n}) （nは任意の正整数）
なる数列があり、
操作Ｍの結果が１桁の場合、操作Ｍの結果の値を数列の最後の値とし、数列はそこで終わる。
例：===========================
p=24321のとき、
a_{1}=24321
a_{2}=2x4x3x2x1=48
a_{3}=4x8=32
a_{4}=3x2=6
以上で数列終了。
===============================
p,nがいかなる値であっても、a_{n}=3となることはあり得ないことを証明せよ。
- 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/03(木) 00:25:21 ]
- >>397
lが y=1だとどうすんの
- 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/03(木) 00:26:34 ]
- >>393
すごいむかしに、かなりにた問題やった記憶がある。でも計算より睡魔が・・・。
ちなみに、l:がy=1なる直線の場合もあるね
- 401 名前：394 mailto:sage [2009/09/03(木) 00:29:18 ]
- >>396
＞4点が同一平面上に存在しない場合
これがわからん。
ぐぐったけど、いまいちわからん。
- 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/03(木) 00:30:55 ]
- >>398
問題の意味が全くわからない
p=13だとa_2=M(13)=3
じゃないの？
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