- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/15(金) 21:11:21 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 231 名前：221 [2009/08/05(水) 11:01:32 ]
- >>223 正解です
試験内だと加法定理とか和積とかでガッツリやってはまっていく人が多いかな？
- 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/05(水) 12:44:32 ]
- >>231
試験場では何も考えず微分する人が多いと予想
>>226
長くなりそうなので分割
以下、合同式はすべてmod 8であるとする。
p,qをそれぞれmを超えない最大の奇数、偶数として、
A(m)の座標は(±1±3±5±…±p,±2±4±6…±q) (複合任意),
もしくは上のx,y座標を入れ替えたものとして表される。
(1)±1±3±5±…±pについて、符号が正のものの和と負のものの和が
一致するので、1+3+5+…+pは偶数であり、p≡3,7
±1±3=0とはならず、1-3-5+7=0,1+3+5-7+9-11=0
(2n+1)-(2n+3)-(2n+5)+(2n+7)=0から、帰納的にp≧7なら
±1±3±5±…±p=0となるように符号を定めることができる。
±2±4±6±…±qについても同様に、q≡0,6
p≡3,7よりm≡0,7、すなわち
m=8k,8k-1(kは正の整数)
- 233 名前：232 mailto:sage [2009/08/05(水) 12:54:06 ]
- >>232
少し補足
座標が上の形で表されることについて
A(n-1)A(n)↑≠0↑から、A(n-1)A(n)↑⊥A(n)A(n+1)↑
A(0)A(1)=1から、A(1)として考えられるのは(±1,0),(0,±1)
よってA(n-1)A(n)はx軸,y軸と交互に平行となる。
各々のベクトルの向きを考えれば座標が±1±…±pのようになる
±2±4±6±…±qについて
0となる必要十分条件が、2でくくった後の和が
偶数であることが上と同様に示される
(2)(±1±3±5±…±p,±2±4±6±…±q)において、
y座標を0にできるのはq≡0,6であるから、
p≡1,5,7
このとき、うまくp,および符号を定めればx座標を任意の整数値に
することができることを示せばよい。
p≡1の場合
p=1のとき、1,-1を作ることができる。
-(2n+1)+(2n+3)-(2n+5)+(2n+7)=4から、pを十分大きくとれば、
すべての奇数値をとることができる。
p≡7の場合
1-3-5+7=0,1+3+5-7=2から同様にすべての偶数値をとることができる
- 234 名前：232 mailto:sage [2009/08/05(水) 13:06:07 ]
- (3)x,y座標の少なくとも一方は偶数であるから、
(2s+1,2t+1) (s,tは整数)という点が
A(n)と一致することはない。
これ以外の点がすべてA(n)と一致しうることを示そう。
p≡1のとき、±1±3±5±…±pは任意の奇数値をとる。
このときq≡0,2である。
±2±4±6±…±qが任意の偶数値をとることを示す。
q≡0のとき
2-4-6+8=0,-2+4-6+8=4から、4の倍数の値全体をとる。
q≡2のとき、2,-2を作ることができ、4の倍数でない偶数全体をとる。
p≡7のとき、±1±3±5±…±pは任意の偶数値をとる。
また、p≡3のときも任意の偶数値をとることが示される。
p≡7,q≡0として±2±4±6±…±qは任意の4の倍数をとり、
p≡3,q≡2として任意の、4の倍数でない偶数値をとる。
x座標、y座標の入れ替えを考えて、
少なくとも一方が偶数である格子点はA(n)と一致しうることが示された。
- 235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/05(水) 13:29:30 ]
- >>221
条件が無意味
- 236 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/05(水) 14:17:09 ]
- n個の実数の平均の値は常にn個の実数の最小以上最大以下であることを示せ。
ただし、平均の値とはn個の実数a_i(i=1,,n)についてf(a_1,…,a_n)=f(x,…,x)を満たす実数xのことを指し、
任意のa_1～a_nの値についてそれらをどのように入れ替えてもxはただひとつの同じ値をとるものとする。
また、fは連続であり、定義域はどの変数に対しても全ての実数である。＠v
- 237 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/05(水) 14:39:49 ]
- >>232~234
お見事です！
- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/05(水) 17:12:36 ]
- nが4より大きい自然数のとき tan(π/n) は無理数である事を示せ。
- 239 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/05(水) 23:35:12 ]
- >>221 cos(α+β)＝cos(2πｰ(α+β))に気づいたらベクトルを思いつくと思ってそのヒントと
して書いたつもりですが、確かに無意味ですね
- 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/05(水) 23:35:46 ]
- >>238
三角関数の無理数性に関する問題は定期的に出てくるね。
その手の問題はここにまとめられてるよ。
blog.livedoor.jp/seven_triton/archives/51606089.html
- 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/05(水) 23:56:37 ]
- >>231
普通の受験生の発想でもいけるんじゃないかな。
三角関数の合成により、
与式=2√(5+4cos(β))cos(α+γ)+3cos(β)≧-2√(5+4cos(β))+3cos(β)が出て
[ここに、cos(γ)=(2+4cos(β)/(2√(5+4cos(β)))、sin(γ)=4sin(β)/(2√(5+4cos(β)))]
A=-2√(5+4cos(β))+3cos(β)とおけば
dA/dβ=sin(β)(-3+4/√(5+4cos(β)))。
ちょっと符号変化を調べるけど、後の括弧の中が0になるβで
Ａは最小値 -61/12をとることが分かる。
- 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 00:31:06 ]
- >>240
見たけど間接的な証明だね。
tan の場合は直接的な証明は無いものか。
- 243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 01:05:19 ]
- >>241
でも>>223の解法は、これいただき、使わせてもらおって感じだ
技巧に走っているわけでもないし使えそう
- 244 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/06(木) 01:25:03 ]
- >>241 合成でもできましたか
問題を作ったときはベクトルでの方法しか頭になくて他の方法を試してませんでした
もう少し複雑にする必要がありますかね・・・
- 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 02:12:47 ]
- >>244
三角関数の最小問題である以上三角関数の微分でできないようにはできないだろ、多分
良問だしいい解法だと思ったがそれ以上の作為を入れると多分しょうもない問題になる
- 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 02:24:35 ]
- >>238
tan(π/n)が有理数であるとする。
nが奇素数pを素因数に持つとき、p=2l+1とすれば1≦k≦lなる整数kで
tan(kπ/p)は全て有理数となるが
Π[k=1_l]tan(kπ/p)=√pより矛盾。
n=2^m (m≧2)とすると、1≦j≦m-1なる整数jで
cos(π/2^j)が全て有理数となるが、cos(π/4)が無理数なので
条件にあう可能性のあるnは4のみ。
- 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 12:17:07 ]
- >>246
Π[k=1_l]tan(kπ/p)=√p
の部分はどうやったんですか？
解と係数の関係か何かですか？
- 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 14:18:32 ]
- 実数全体で定義された関数 f(x) が，各k (1≦k≦n) に対して
lim[x→k]f(x)/(x-k)＝1
を満たすとき，方程式 f(x)＝0 は各開区間 (k，k+1) (1≦k≦n-1)
で少なくとも１つの実数解をもつことを示せ．
ただし n は与えれれた正の整数とする．
- 249 名前：248 mailto:sage [2009/08/06(木) 14:19:22 ]
- × 実数全体で定義された関数 f(x)
○ 実数全体で定義された連続関数 f(x)
- 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 15:35:58 ]
- kってなんだよ?実数か？
- 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 17:10:25 ]
- 自然数だろjk
- 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 17:28:51 ]
- >>248
lim[x→k-0]f(x)/(x-k)＝m[x→k+0]f(x)/(x-k)=1
lim[x→k+1-0]f(x)/(x-k-1)＝m[x→k+1+0]f(x)/(x-1)=1
より
f(k+α)>0,f(k+1-α)<0 (ただしαは絶対値の極めて小さい正の数)
→中間値の定理より命題は成り立つ
なんか論証甘いか？
- 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 17:33:09 ]
- 甘すぎ
- 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 17:43:50 ]
- >>252で十分なくらいつまらん問題ではある
- 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 18:12:26 ]
- >>252の方針で厳密にやるとε-δ論法になってしまい、範囲外。
高校の範囲内で厳密に納得できる形でお願いします。
- 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 21:08:49 ]
- >>248が問題の全体だとすると各ｋなんてやる意味ないな
- 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 23:36:24 ]
- >>248
f(x)は連続関数なので中間値の定理より開区間(k,k+1)にf(x)=0の解が存在しないならばこの区間で常に正または常に負
常に正のとき
この区間でf(x)/(x-k-1)<0となるのでlim[x→k+1]f(x)/(x-k-1)=1の条件に合わない
常に負のとき
この区間でf(x)/(x-k)<0となるのでlim[x→k]f(x)/(x-k)=1の条件に合わない
よってf(x)=0は開区間(k,k+1)に少なくとも1つの解を持つ
- 258 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/07(金) 12:08:31 ]
- 多分>>248は一生懸命考えた解答があるんだろう
しかし残念ながら問題がしょうもない
- 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 16:32:19 ]
- と一生懸命考えた回答をこけにされた>>252が必死こいてます
- 260 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/09(日) 00:32:12 ]
- >>259
なんでわざわざ
>各k (1≦k≦n) に対して
なんてしてるの？
- 261 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/09(日) 23:55:23 ]
- 一辺の長さが１である正八面体の内部に存在する正四面体の体積の最大値を求めよ.
- 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/10(月) 00:09:30 ]
- 16√2/27な気がする
- 263 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/10(月) 03:31:27 ]
- nは自然数とする
Σ[n=1,∞]|sin(n!)ﾟ|
とΣ[n=1,∞]|1-cos(n!)゜|
の大小を比較せよ
- 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/10(月) 08:32:02 ]
- >>263
n≧6でn！は360の倍数なのでsin(n！)゜=1-cos(n！)゜=0
だからn=1,2,3,4,5だけ考えたらいいだけだな
出かけるから細かく考える時間がないが後者の方が大きいと思う
- 265 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/10(月) 11:39:47 ]
- ひろいもの
1辺の長さが1の正四面体O-ABCがある．この正四面体の辺上を蟻が秒速1で移動し続ける．蟻は分岐点である頂点に辿り着くと，
辿って来たばかりの辺を除いて2つの方向から等確率で1つの方向を選択し，止まる事なく移動し続ける．辺上で進行方向を変える事はない．
頂点Oを出発したn秒後(n=3,4,…)に蟻が頂点Oにいる確率P[n]を求めよ．
- 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/10(月) 19:36:25 ]
- >>265
{P(n)}がn≧3で定義される理由がわからんが
P(0)から定義されるとして
P(0)=1,P(1)=0
P(n+2)={1-P(n+1)-P(n)}/2
になるのかな？
この漸化式から一般項求まる？
- 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/10(月) 21:25:41 ]
- \int^{1}_{-1} x/(2x+4) dx > -0.1を証明せよ。
- 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/11(火) 01:15:59 ]
- ！
- 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/11(火) 04:30:12 ]
- どうせなら\frac あるいは \dfracで書けばよかったのに
- 270 名前：267 mailto:sage [2009/08/11(火) 08:12:03 ]
- 追加: e=2.718...であることは証明なしに用いてもよい。
- 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/11(火) 19:56:18 ]
- >>265
(A→O) +（B→O) + (C→O) = P_n,
(O→A) + (O→B) + (O→C) = X_n,
(A⇔B) + (B⇔C) + (C⇔A) = Y_n,
とおくと、
P_(n+1) = (1/2)Y_n,
X_(n+1) = P_n,
Y_(n+1) = X_n + (1/2)Y_n,
P_n + X_n + Y_n = 1,
これより XとYを消して
P_(n+2) = {1 - P_(n+1) - P_n}/2,
- 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/11(火) 19:57:59 ]
- >>266
特性多項式 t^2 + (1/2)t + (1/2) = (t + 1/4)^2 + 7/16 の根 は -(1/√2)exp(±iα),
P(n) = 1/4 + (-1/√2)^n･q(n),
とおくと、
q_(n+2) = 2cosα･q_(n+1) - q_n, cosα = 1/√8,
q_n は cos(nα)、sin(nα) の一次式と予測される。
q_0 = 3/4,
q_1 = 1/√8,
q_2 = -1/2,
q_3 = -1/√2,
q_4 = 0,
よって
q_n = (2/√7)sin((n-4)α), sinα = √(7/8),
Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 数学・算数質問コーナー(制限版) [ No.034-035]
- 273 名前：272 mailto:sage [2009/08/11(火) 20:03:34 ]
- (修正)
特性多項式 t^2 + (1/2)t + (1/2) = (t + 1/4)^2 + 7/16 の根 は
{-1 ±(√7)i}/4 = -(1/√2)exp(±iα), cosα = 1/√8,
- 274 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/12(水) 03:25:22 ]
- >>263だけど
Σ[n=1,5](sin(n!)+cos(n!))
＞5√2*sin48
を証明せよ
に改題します(>>263より大雑把な)
ちなみに>>264の予想は正解です
- 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/12(水) 04:54:00 ]
- >>267,270
I = ∫[-1,1] x/(2x+4) dx = ∫[-1,1] {(1/2) - 1/(x+2)}dx
= [(x/2) - log(x+2)](x=-1,1)
= 1 - log(3),
x>0 のとき e^x > 1 + x + (1/2)x^2 より
e^0.1 > 1 + 0.1 + 0.005 = 1.105
e^1.1 = e*e^0.1 > 2.718*1.105 > 3.003
1.1 > log(3)
I > -0.1
- 276 名前：267 mailto:sage [2009/08/12(水) 06:56:13 ]
- >>275
正解です。東大の1999年理系6番の類題でした。
- 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/12(水) 19:08:56 ]
- >>263
前者 = 1.4296424132676768103829574760386･･･
後者 = 1.5926941248136387984119254841763･･･
差 = 0.1630517115459619880289680081377･･･
>> 274
左辺 = 4.8369482884540380119710319918623･･･
右辺 = 5.2548274549875885325330534402426･･･
- 278 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/12(水) 23:40:13 ]
- 任意の実数xについて
sin(cosx)≦sin(cos(sinx))≦cos(sinx)を示せv
- 279 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/13(木) 01:53:03 ]
- sin(cosx)≦sin(cos(sinx))
⇔cosx≦cos(sinx) (∵y=sinxは[-1, 1]で増加関数)
両辺倶に偶関数で, 2πを周期に持ち, 更に[π/2, 3π/2]で
cosx≦0≦cos(sinx)から[0,π/2]で考えればよい。
このときy=cosxは減少関数とからsinx≦x
∴cosx≦cos(sinx)
sin(cos(sinx))≦cos(sinx)
⇔t=cos(sinx), sint≦t
0≦t≦1(∵-1≦sinx≦1)なのでsint≦tは成立
- 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/13(木) 14:11:51 ]
- >>277
数値計算して何になる?入試で電卓は使えないぞ
>>263
n=1,2,3,4,5でsin(n!)ﾟ>0,1-cos(n!)ﾟ>0より
Σ[n=1,∞]|sin(n!)ﾟ| <Σ[n=1,∞]|1-cos(n!)゜|
⇔Σ[n=1,5](sin(n!)ﾟ+cos(n!)ﾟ)<5
y=sinxﾟ,y=cosxﾟは(0,90)で上に凸から、ジェンセンの不等式より
(sin1ﾟ+sin2ﾟ+sin6ﾟ+sin24ﾟ)/4<sin(33/4)ﾟ
(cos1ﾟ+cos2ﾟ+cos6ﾟ+cos24ﾟ)/4<cos(33/4)ﾟ
Σ[n=1,5](sin(n!)ﾟ+cos(n!)ﾟ)
<4sin(33/4)ﾟ+4cos(33/4)ﾟ+sin120ﾟ+cos120ﾟ
=4√(1+sin(33/2))+√3/2-1/2 (∵(sinx+cosx)^2=1+2sinxcosx=1+sin2x)
<4√(1+sin18ﾟ)+√3/2-1/2
=4√(1+(√5-1)/4)+√3/2-1/2
=√10+√2+√3/2-1/2<3.17+1.42+1.74/2-1/2=4.96<5
>>274
Σ[n=1,5](sin(n!)+cos(n!))<5√2*sin48だな
sin48ﾟ>sin45ﾟ=1/√2より明らか
sin48ﾟがどこから出てきたのか教えてほしいな。興味がある
- 281 名前：狂介 mailto:sage [2009/08/13(木) 22:24:20 ]
- >>280
274へのレスについてだけど、どういう意味？
sin(i)+cos(i)≦1とはならないけど
- 282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/13(木) 22:37:52 ]
- >>281
せめて280を全部読んでからレスしようよ・・・
- 283 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/14(金) 02:29:05 ]
- >>279>>280
正解です
向きの訂正ありがとうございます
sin48は
合成して
√2(sin46+sin47+sin51+sin69+sin15)＜5√2sin48を示すのは
左辺＜√2(3sin48+2sin42)(ジェンセン)
=√2(3sin48+2cos48)
=√2sin48(3+2/tan48)
＜5√2sin48(∵tan48＞1)
出題後にこっちの方が偶然まとまってくれたのでこっちも出してみました
- 284 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/14(金) 03:04:00 ]
- f1_(x)=f(x)=sin(cosx)
fn+1_(x)=f(fn_(x))とおく。
この時lim(n→∞)f_n((sinx))は定数関数であることを示せ
明日東大模試だし、早めに寝るか…
- 285 名前：狂介 mailto:sage [2009/08/14(金) 08:07:26 ]
- >>282
すいませんでした
>>284
f_n(x)は[sin(-1),sin(1)]にある。
g(x)=sin(cos(x))とすると、|g '(x)|≦r<1 （[sin(-1),sin(1)]について）
平均値の定理を使った定石より、
|f_n(x)-a|≦r|f_(n-1)(x)-a|≦…≦r^(n-1)|f_1(x)-a|
(a=g(a))
よってlim(n→∞)f_n(x)=a
- 286 名前：280 mailto:sage [2009/08/14(金) 23:42:15 ]
- >>283
すごくきれいに48ﾟが出てきたな、面白い。ただ、合成をつかって
√2(3sin48+2cos48)=√26sin(48+α)≦√26
とした方が強い評価ができていいと思う
a_k=p/(k^2+1)+q/(k^2+2)+r/(k^2+3)+s/(k^2+4)とおくと、
k=1,2,3,4でa_k=1/k^2となった。このとき、a_5を求めよ。
- 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 09:03:10 ]
- ↑パクリ問かよ
- 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 11:13:41 ]
- >>286 下
通分すると、分母は (k^2 +1)(k^2 +2)(k^2 +3)(k^2 +4), 分子は k^2 の3次式だから、
a_k = {(-1/3)(k^2 -4)(k^2 -9)(k^2 -16)a_1 + (28/3)(k^2 -1)(k^2 -9)(k^2 -16)a_2 + (-429/7)(k^2 -1)(k^2 -4)(k^2 -16)a_3 + (646/7)(k^2 -1)(k^2 -4)(k^2 -9)a_4}/{(k^2 +1)(k^2 +2)(k^2 +3)(k^2 +4)}
これに a_1 = 1, a_2 = 1/4, a_3 = 1/9, a_4 = 1/16 を代入する。
a_5 = 15/377,
- 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 18:01:28 ]
- 次の性質を満たす正の実数 p がある．
任意の正の整数 n に対して，
a_n＝(p－1－1/1!－1/2!－．．．－1/n!)・(n+1)!
で定まる数列 {a_n} について 0＜a_n＜3 が成り立つ．
このとき，任意の 0 でない有理数 q に対して，
p^q は無理数となる事を示せ．
ただし，題意を満たす p，{a_n} の存在は既知としてよい．
- 290 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/18(火) 05:51:03 ]
-
筑波大＞＞東大が証明されました！
筑波大が世界記録を更新＝２兆５０００億けた 東大超え
tsushima.2ch.net/test/read.cgi/news/1250496577/
- 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/19(水) 00:39:38 ]
- >>284
分からない
- 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/19(水) 17:11:16 ]
- >>291
>>286
- 293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/19(水) 17:29:03 ]
- >>289
q=1 ならできた。
- 294 名前：284とか [2009/08/19(水) 19:06:00 ]
- fn_(x)の最大値をM_n最小値をm_nとすると
sincosx(m_n≦x≦M_n)について
0≦m_n≦M_n≦1に注意して
m_n≦m_(n+1),M_(n+1)≦M_nを示す
M_(n+1)=sincosm_n…①
m_(n+1)=sincosM_n…②で
M_(n+1)≦M_n
⇔sincosm_n≦sincosm_(n-1)
⇔m_n≧m_(n-1)
⇔sincosM_(n-1)≧sincosM_(n-2)
⇔M_(n-1)≦M_(n-2)より
M_1≧M_2≧M_3かつm_1≦m_2≦m_3を示せば十分で
M_1=sin1,M_2=sin1,M_3=sincossincossin1とm_1=0,m_2=sincossin1,m_3=sincossin1であるから示される。これと①,②より
M_(n+2)＜M_nとm_(n+2)＞m_nなので
M_nは大きくみて単調減少
m_nは大きくみて単調増加
またm_n≦M_nより十分大きなnに対してm_n=M_nである
以上よりfn(x)は最大値=最小値となり定数関数となる
よってxにsinxを入れてfn(sinx)も定数である
(やや周りくどいですが…)
補足でcos(sin(cos…sinx))=cos(sin(cos…cosx))＞sin(cos(sin…sinx))=sin(cos(sin…cosx))です
- 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/19(水) 19:07:12 ]
- >>289
ギブ
- 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/19(水) 21:17:45 ]
- >>293
p=e のとき
0 < a_n = ∑[k=0,∞) (n+1)!/(n+1+k)!
= ∑[k=0,∞) (n+1)!/[(n+1)!(n+2)^k]
< ∑[k=0,∞) 1/[(n+2)^k)]
= 1/{1 - 1/(n+2)} = (n+2)/(n+1) ≦ 3/2,
p≠e ならば発散する。
いまeが有理数だと仮定すると e=k/n (k,nは自然数)
n!e は自然数。
a_n/(n+1) も自然数。ところが
0 < a_n/(n+1) < 3/(2(n+1)) < 1
となって矛盾。
∴ eは無理数。
∴ e^(1/m) も無理数。
- 297 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/19(水) 23:14:08 ]
- 【問】
cos(x)=sin(1/x)を満たすxは無理数であることを示せ
(ただしx≠0)
他のと比べたらかなり簡単
- 298 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/20(木) 05:35:52 ]
- >>296
N.G.
それならすぐ回答レスがついたと思われ
ネピアのマクローリン展開なのはすぐに気が付くだろうし。
> p^q は無理数 ← ∴ e^(1/m) も無理数。
仮にpを無理数である√2と仮定するならば
p^2 = 2 よって有利数となる。
よってeが代数的包体でない、すなわち超越数
であることを示さなければならない。
- 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/20(木) 07:30:53 ]
- >>298
素朴な疑問なんですが、eが超越数なら任意の自然数mについてe^mが無理数に
なるのは分かりますが、逆も成り立つんでしょうか？
- 300 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/20(木) 08:12:45 ]
- >>298
これはありなのか？
スレとして
- 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/20(木) 09:13:12 ]
- e^2が無理数はいけたかも。
- 302 名前：301 mailto:sage [2009/08/20(木) 11:12:19 ]
- (e^2 が無理数であることの証明)
仮定より,
1＋1/1!＋1/2!＋...＋1/n! ＜ p ＜ 1＋1/1!＋1/2!＋...＋1/n!＋3/(n+1)! ...①
また簡単な微分演算により，
x＞0 で 1＋x/1!＋x^2/2!＋...＋x^n/n! ＜ e^x
＜ 1＋x/1!＋x^2/2!＋...＋x^n/n!＋x^(n+1)・e^x/(n+1)!...②
②において x＝1 とし，①と挟み撃ちより p＝e．
②において x＝2 とおくと，
1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^n/n! ＜ e^2
＜ 1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^n/n!＋2^(n+1)･e^2/(n+1)!...③
e^2＝k/j (j，k は正の整数) とおけると仮定する．
また m が正の整数のとき (2^m)!＝2^(2^m-1)･N(m) (N(m) は正の整数) とかけるので，
③において n＝2^m (m は正の整数) とし，辺々に j･N(m) をかけると，
j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!}＜k・N(m)
＜j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!}＋4j・e^2/(2^m+1)...④
ここで j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!} および k・N(m) は
正の整数で，m を十分大きくすると，0＜4j・e^2/(2^m+1)＜1 とすることができる．
これは④に矛盾する．
# e^m (m≧3) の証明はできない...
- 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/20(木) 11:26:30 ]
- >>297
cos(π/2-x)＝sin x とか使って、和積の公式＋背理法で簡単じゃあるまいか？
- 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/20(木) 13:20:50 ]
- >>303
実際の入試問題ならこのレベルで十分なのが現実だな。
- 305 名前：284とか [2009/08/21(金) 20:56:18 ]
- 【問】
xy平面において、(0,-r)から速さvでy=tanθx-r上を動く半径rの円(以下自機)と間隔1で線分の長さ1のx軸上に無限に連なり、速さ1でx軸正方向へ流れるワインダーを考える
この時自機が上手くワインダーを通り抜けることで、自機がワインダーにぶつかる(ワインダーと自機が周を除いて共有点をもつ)ことなくワインダーを通りぬけることができた
vを定数として、この時考えられる最大のrとその時のcosθの値を求めよ
某有名STGやってる時に閃いた問題だけど結構しっかり考えないと解けないと思われ
- 306 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/22(土) 00:04:44 ]
- 問題文が理解不能
- 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 00:53:33 ]
- ワインダーってなんだよ
- 308 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/22(土) 01:06:08 ]
- ワインダーは語義ミスぽいし、改題
【問】
xy平面において
(0,-r)から速さvでy=tanθx-r上を中心が動く半径rの円Cおよびx軸上にあり、長さ1でx軸正方向へ速さ1で動く線分が長さ1の間隔で以下の図のように無限に並んでいる非連続直線Dを考える
…― ― ― ― ―…
この時円Cが上手くDを通り抜けることで、円CがDと内部を共有することなく(ただし、周の共有は許す)(円のy座標)≧rの地点に到達することができたという。
vを定数として、この時考えられる最大のrとその時のcosθの値を求めよ
- 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 11:27:26 ]
- 高校生のための質問スレ669に東大の問題を真似た問題を作ってみました。溶けないのですが…ｗ
問題のせるとマルチ指摘されるのでそちらでといてみてください
- 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 11:36:00 ]
- あとこれもどうでしょう。なかなかの良問です
ｘ(1)～ｘ(n)がそれぞれ1～nまでの自然数の値を取るとする(n≧2)
この時|ｘ(1)―ｘ(2)|＋|ｘ(2)―ｘ(3)|＋……＋|ｘ(n-1)―ｘ(n)|＋|ｘ(n)―ｘ(1)|の最小値を求め、そのような値を取るｘ(1)～ｘ(n)の組み合わせの総数を求めよ。
- 311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 12:00:34 ]
- >>302
何で e^3 とかになると急に無理数性の証明が難しくなるんでしょうな。
- 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 12:20:27 ]
- >>311
e^2の無理性の本質は、テーラー展開と、eの無理性に帰着できる所、にあるから上手くいく
e^3以降だとテーラー展開の形から良い有理数近似が得られないから上手くいかない
- 313 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/22(土) 13:48:29 ]
- 最小値は数直線で考えれば2(n-1)だけど組み合わせは結構だるいな…
- 314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 13:52:46 ]
- >>310はますのりで見たような気がする。
ま、よくある問題ではあるが。
- 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 14:35:40 ]
- 一応これ自作なのですが全く同じなのですか？
あることに気付けばすぐできます
- 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 14:40:01 ]
- 連続レスすみません
z＝cosx（0≦x≦π/2）
z＝Siny（0≦y≦π/2）
y＝Sinx（0≦x≦π/2）
でかこまれる共通体積を求めよ。
こちらに載せます。
- 317 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/22(土) 14:48:56 ]
- Sinはsinってことでおｋ？
- 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 14:50:09 ]
- おけです
- 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 18:58:12 ]
- >>316
東大入試作問者になったつもりなら、文章にも気を配ろうよ。
>でかこまれる共通体積
なんて日本語になってないだろ。
- 320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 19:30:00 ]
- 0.
- 321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 20:00:34 ]
- 共通体積なんてないよな？
時間返せハゲ
- 322 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/23(日) 08:17:49 ]
- 場合の数は2^(n-1)かなあ
- 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 09:06:51 ]
- >>322おしいですね
- 324 名前：かえる mailto:sage [2009/08/23(日) 10:25:36 ]
- >>310
厳密な証明がうまく書けませんが、
１からｎまで上りきってから、ｎから１まで下るのが最小
最小値は２（ｎー１）
最小値をとる場合の数は、１のとり方でｎ通り
２～ｎ－１の（ｎ－２）個の点について、上りで通るか下りで通るかなので、２＾（ｎ－２）通り
よって、ｎ＊（２＾（ｎ－２））通り
- 325 名前：かえる mailto:sage [2009/08/23(日) 10:32:43 ]
- 324の上段をもう少し丁寧に書けば、
１とｎの間を往復しなければならないので、最小値が２（ｎ－１）未満にはなりえない。
ａ（ｋ）＝ｋとすれば、実際に２（ｎ－１）をとる。
よって、最小値は２（ｎ－１）
- 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 11:03:42 ]
- 正解です
- 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 13:56:11 ]
- >>323
そうか？
むしろ京大より東大だろ。もっとも京大と違って亀田みたいにあからさまな元ヤンはいないが。
官庁の役人なんて社会に出たらやって行けないような奴ばっか。
もっとも奴らが社会に出る時すなわち天下りなわけでそんな社会人一年生が赦されてしまうのが学歴社会日本クオリティ。
- 328 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/23(日) 14:17:23 ]
- 意味不明
- 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 17:53:42 ]
- 出します。
一辺が４の立方体が二つあり、両方の中心をxyz座標における原点に固定する。
これらを自由に回転させるとき、二つの立方体の体積の最大値を求めよ。
ただし最大値の存在があるものとして答えてはいけない。
- 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 17:57:25 ]
- もう一問。以前東大スレでだしたのですが正解者がいなかったので
正12面体があり、ある面をAとおく。Aを床とくっつける。ここで一回の操作で床にくっついた面に続く5面うちのどれかに転がすという操作をする。このとき、n回目にAが床にくっついている確率を求めよ。
- 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 17:58:55 ]
- >>329
二つの立方体の体積の最大値を求めよ。
と言われましても、どんだけ回転させても二つの立方体の体積は変わりませんぜ
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