- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/08/31(日) 02:06:28 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
- 207 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/18(火) 23:06:04 ]
- nを飛ばすの忘れてるぞ
- 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/19(水) 00:00:34 ]
- 久しぶりに来たけどあんま賑わってないね
とりあえず>>39と>>182あたりが解かれてないのか
- 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/19(水) 00:03:56 ]
- >>202
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/653
不等式スレ３
の式に a=1, m=2n を代入すると、
(左辺) > n + (1/4) - 1/(4sin(1)) > n -0.0471
- 210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/19(水) 00:07:03 ]
- >>208
自作問題が解かれてないからって気を落とすなよ
お前が作ってないなら、糞問なんだからスルーしてやれよ
- 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/19(水) 00:20:37 ]
- >>194も
- 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/19(水) 00:21:09 ]
- >>182
a(2)≧3のとき条件を満たさないことを示す
まずa(k)とa(k+1)は互いに素なのはユークリッドの互除法的に明らか
次にa(2)=tとするとa(k)+(t^2-2t)a(k+1)は常にt^2-t-1の倍数となる
したがって、a(k)がt^2-t-1の倍数だとa(k+1)もt^2-t-1になるがこれは矛盾
a(2)=2はフィボナッチの性質から解ける感じ
ということでa(2)=2となるときだけ
>>39はスルーされて当然だったな
一個目:-1
煮込め:X=e,X'=e^(a-1)よりa=3
三個目:対数微分とか使わせるにしてもあまりに糞問
- 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/19(水) 01:22:19 ]
- >>212
多分39の一個目違う
- 214 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/19(水) 08:02:11 ]
- a,bを2^a+3^bが平方数となるような正の整数とする。
(1)a,bはともに奇数であるか、ともに偶数であることを示せ。
(2)(a,b)としてありうるものをすべて求めよ。
- 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/19(水) 17:07:25 ]
- ＞次にa(2)=tとするとa(k)+(t^2-2t)a(k+1)は常にt^2-t-1の倍数となる
どうやって気づいたのかｋｗｓｋ
- 216 名前：212 mailto:sage [2008/11/19(水) 18:04:06 ]
- >>215
実はその部分は敢えてどう解いたのかばれないような表記にしてました
実際の思考の順序は
・おそらくa(2)≧3だとある数を法としたときに0を含まない循環にできるはず
・漸化式の形から、pa(k)+qa(k+1)が常に何かを法として不変になるはず
・その「何か」と上の「ある数」を自分で作ればよいはず
・a(1)=1,a(2)=tのとき、p=t,q=-1とすればta(1)-a(2)=0で何かよさそう。このときta(2)-a(3)=t^2-t-1
・t^2-t-1が上の「何か」になるはず、実験して確認・あとはp=1,q＞0になるように工作
みたいな感じでした
- 217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/19(水) 18:38:54 ]
- >>216
勉強になります
- 218 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/20(木) 21:46:10 ]
- >>185
解きました。キーワードは「pi_315」
www1.axfc.net/uploader/He/so/160906
- 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/20(木) 21:58:51 ]
- >>216
なるほどぉ！
- 220 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/20(木) 22:35:35 ]
- >>206の問題、解けた人いる？？
- 221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/20(木) 22:45:21 ]
- >>214
(a,b)=(4,2).
- 222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/20(木) 22:46:22 ]
- g:N→Nがg(1)=1、g(mn)=g(m)g(n)を任意の正整数m,nに対して満たすとき、完全な関数と呼ぶ。
F(n)=∑[k=1,n]f(k) が完全な関数になる完全な関数fをすべて求めよ
- 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/20(木) 23:04:17 ]
- >>216
t^2－t－1＝0はフィボナッチ数列の特性方程式だから、
こう考えた方が本質的な気がする。↓
a(n＋2)＝a(n＋1)＋a(n)の特性方程式はx^2－x－1＝0だから、
a(1)＝1，a(2)＝tとするとき、m：＝t^2－t－1を法とすれば
a(n)≡t^n (mod m) とキレイに解ける。もしa(n)がmの倍数
であるようなnが存在するならば、t^n≡0 (mod m)となるが、
gcd(t,m)＝1であるから、m≧2のときは矛盾が起きる。
m≧2 ⇔ t≧3だから、結局、t≧3のときは矛盾が起きる。
一般化するならこうなるか。
a(n＋k)＝c(k－1)a(n＋k－1)＋…＋c(1)a(n＋1)＋c(0)a(n) (各c(i)は整数でc(0)＝±1)
a(0)＝1，a(1)＝t，a(2)＝t^2，…，a(k－1)＝t^(k－1)
という漸化式を考える。tが十分大きな自然数ならば、
(tごとに)ある正整数mが存在して、a(n)とmは互いに素(n＝0,1,2,…)である。
- 224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/21(金) 00:11:23 ]
- 三角形Tの内部（周を含む）を、動点Pが次のルールで動く。
1) Pは頂点を以外のある内点からスタートし、三角形の辺にぶつかるまでまっすぐ進む。
2) 辺にぶつかったら跳ね返る。入射角と反射角は等しいものとする。
3) 1,2を繰り返して、途中で三角形の頂点にぶつかる軌道は考えないものとする。
4) 1,2を繰り返して、途中から軌道が周期的になるもののみを考える。
三角形Tの周の長さを 1 とし、上記の軌道からなる集合をL(T)とする。
また、Tを固定したとき、L(T)に含まれる軌道の長さの最小値をm(T)とおく。
Tを変化させたとき、m(T)の最大値は存在するか？
- 225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/21(金) 00:52:11 ]
- >>222
F(n)＝n，f(n)＝1 (n＝1,2,3,…)となることを示す。
与えられた条件からn＝1,2,…,9のときを地道に調べることで、
n＝1,2,…,9のときはF(n)＝n，f(n)＝1が成り立つことが言える。
以下、k≧10として、n＜kのときF(n)＝n，f(n)＝1が成り立つすると、
n＝kのときは以下の議論によってF(k)＝k，f(k)＝1となるので、
数学的帰納法より成立。
kが素数のとき：k≧10だからkは奇素数であり、よってk＋1は合成数である。
k＋1＝Πpi^ei と素因数分解すると、各iに対してpi＜kとなることに注意して
F(k＋1)＝ΠF(pi)^ei＝Πpi^ei＝k＋1となる。一方、F(k＋1)＝Σ[j＝1～k＋1]f(j)
であり、j＜kのときは帰納法の仮定からf(j)＝1なのでF(k＋1)＝k－1＋f(k)＋f(k＋1)
となる。また、f(k＋1)＝Πf(pi)^ei＝Π1^ei＝1となるから、結局F(k＋1)＝k＋f(k)
であり、これにF(k＋1)＝k＋1を代入してf(k)＝1となる。このとき
F(k)＝Σ[j＝1～k]f(j)＝kとなる。よってF(k)＝k，f(k)＝1となる。
kが合成数のとき：k＝Πpi^ei と素因数分解して、F(k)の値を上と同様にして計算する。
上の議論よりも簡単にF(k)＝k，f(k)＝1が出る。
- 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/21(金) 04:28:01 ]
- ０を入れないならＦ（２＾ｎ）＝２＾ｎだから全部１。
- 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/21(金) 05:04:37 ]
- g(1)=1っていらんだろ
- 228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/21(金) 08:06:29 ]
- Nに0を含める流儀だと必要かな
- 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/21(金) 09:31:58 ]
- >>218
力技すぎワロタ
- 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/21(金) 18:40:33 ]
- >>218
なんという力技ｗｗｗ
- 231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/21(金) 18:47:50 ]
- 実戦的ないい解答だ
- 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/21(金) 18:49:44 ]
- まぁ、明らかに185の問題は例の問題パクって適当に作ったものだろうから、
そういう回答になっちまうのもしかたないのかもな
- 233 名前：232 mailto:sage [2008/11/21(金) 18:51:21 ]
- 適当に、というよりは思いつきで、のほうがしっくりくるか
- 234 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/21(金) 19:02:30 ]
- 次の2つの条件をともに満たす、定数でない整数係数多項式f(x)をすべて求めよ。
(1)f(x)のすべての係数の絶対値は1である。
(2)方程式,f(x)=0の解はすべて実数である。
- 235 名前：232 mailto:sage [2008/11/21(金) 19:27:29 ]
- 別の方法で>>185解いてみた
創価相乗より
cosθ+cosθ+(1/cosθ)^2≧3 (0≦θ<π/2)
両辺0からπ/12までθで積分して、
2sin(π/12)+tan(π/12)>3*(π/12)
sin(π/12)=(√6-√2)/4、tan(π/12)=2-√3 を代入して整理
π<2√6-4√3-2√2+8<2*2.45-4*1.732-2*1.414+8=3.144<3.15
(∵√6<2.45、√3>1.732、√2>1.414）
218よりは計算量少なめ
- 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/21(金) 19:46:06 ]
- >>234
x±1、x^2-1
- 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/21(金) 19:59:59 ]
- >>236
＞x^2-1
条件(1)を満たしていない
- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/21(金) 20:54:31 ]
- pを3で割った時に1余る素数とする。このとき
a^2+ab+b^2=p
となる整数a,bが存在することを示せ
- 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/21(金) 21:54:37 ]
- >>235
2sinθ + tnaθ > 3θ, 0<θ<π/2 .
を Snell の式とか言うらしいよ。
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000//591 , 565
不等式スレ３
- 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/21(金) 22:12:14 ]
- >>235
平方根の近似値使わなくてもできる
>>235 から
4(2sin(π/12) + tan(π/12)) ＞ π …(1)
また、
22/7 - 4(2sin(π/12) + tan(π/12))
= (2/7) (-17 + 7√2 + 14√3 - 7√6)
= (2/7) (√2-1)^3 (2-√3)^2 (3√6-7)
= (2/7) (√2-1)^3 (2-√3)^2 (√54-√49)
＞ 0
∴ 22/7 ＞ 4(2sin(π/12) + tan(π/12)) …(2)
3.15 ＞ 22/7 …(3)
は明らか
(1)(2)(3) より π＜3.15
ところで、いきなり相加相乗使ってるけど、
そのやりかた有名なの？
- 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/22(土) 08:23:27 ]
- >>240
なるほど・・・
22/7が割と正確な円周率の近似であることをうまく利用するんですね
この方法は>>239にあるとおり、光の屈折に関するsnellの法則で有名なWillebrord Snellが
円周率の値を評価するときに使った方法です
3sinθ/(2+cosθ)<θ<(2sinθ+tanθ)/3の右側ですね
- 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/22(土) 19:48:19 ]
- ↑の略証
1 - {(1-cos(x))/(2+cos(x))}^2 < 1 < {cos(x) + cos(x) + 1/(cos(x)^2)}/3,
を [0,θ] で積分する････
- 243 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/11/22(土) 22:53:55 ]
- >>185
これって、2008年度の京大乙6番のように三角関数表が与えられたら、こういう解答も成り立つ。
正45角形ならばS_45 = 45 tan 4°だが、0.0699 < tan 4° < 0.0700より、
\pi < S_45 < 45*0.0700=3.15より、円周率は3.15未満。
0.0697 < sin 4°< 0.0698より、\pi > s_90 = 45*sin 4°>45*0.0697=3.1365>3.1
hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/08/k01-23p/3.html
但し、三角関数表自体は切り捨てか切り上げか明言していないので、使うべき角度には注意が必要。
角度が小さ過ぎても、円周率には躙り寄れるが今度は誤差が大きいので問題あり。
- 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/22(土) 23:39:37 ]
- なんだかんだで185は人気だなｗｗ
- 245 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/23(日) 00:13:39 ]
- 一辺が1の正四面体OABCにおいてOA、OB、OC上に点P、Q、Rが
四面体OPQRの体積が正四面体OABCの1/3になるように動く。
このとき三角形PQRの周および内部が通過する領域の体積を求めよ。
- 246 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/23(日) 00:28:56 ]
- google入社試験のやつだろ。
- 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/23(日) 04:33:12 ]
- >>241-242
サンクス
不等式スレも見てるのに見落としてた…
- 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/23(日) 15:11:27 ]
- 正の無理数αに対し、二つの数列
2α、4α、8α、16α、32α…（2^nα）
6α、12α、24α、48α、96α…（3*2^nα）
を考える。
このとき、いかなるαを考えたとしても、
これらの数の中に必ず、小数部分が1/4より大きくなるものがあることを示せ。
また、上記命題において1/4が最良であることも示せ
- 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/23(日) 16:21:04 ]
- >>248
2進法で考えて、α の小数点以下(n+1)桁目が 1 だったら、
2^n*α は小数点以下1桁目が 1 だから、小数部分は 1/2 以上
だから、1/4 が最良ってのは変じゃないか？
- 250 名前：248 mailto:sage [2008/11/23(日) 16:30:45 ]
- すまん、ちょっと考えなおしてくる
- 251 名前：249 mailto:sage [2008/11/23(日) 19:14:14 ]
- 1/4 を 3/4 にすれば問題が成立してると思う
- 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/24(月) 01:07:35 ]
- f：N×N→Nが次の３条件を満たすとき、fをすべて求めよ
f(x,x)=x
f(x,y)=f(y,x)
(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y)
- 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/24(月) 01:17:20 ]
- >>248
αの2進小数表示を考える。
小数部分の数字の中に 1 が連続している場所が在れば
その部分 11 が小数点のすぐ右に来たときに2^n・αの
小数部分が3/4より大きく）になる。
また連続した場所が無ければ、小数点の右に 010が来たときに
3・2^nαの小数部分が3/4より大きくなる。
2進小数で
0.00.........（0がn桁）.........00100.........（0がn+1桁）.........00100.........（0がn+2桁）.........00100（0が三桁）
というような数を考えると、nが大きいとき、>>248の系列の最大値は3/4に充分近い。
- 254 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/25(火) 05:23:29 ]
- m,nは正の整数とする。x,yの方程式
mx^2-ny^2=1
が解をもつとき、この方程式は無数に多くの解を持つことを証明せよ。
- 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/25(火) 07:00:36 ]
- どう見ても双曲線
(x,y)=((√m)/cost,tant/(√n))
- 256 名前：254 mailto:sage [2008/11/25(火) 07:02:16 ]
- すまない、「整数解」が抜けていた。正しくは
m,nは正の整数とする。x,yの方程式
mx^2-ny^2=1
が整数解をもつとき、この方程式は無数に多くの整数解を持つことを証明せよ。
- 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/25(火) 20:44:24 ]
- m=n=1の時点で有限個なんだが
- 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/25(火) 20:49:06 ]
- ﾜﾗﾀ
- 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/25(火) 21:06:14 ]
- 連続で有界な定数でない実関数f,gが任意のx,yに対して
f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)
g(x+y)=g(x)f(y)+f(x)g(y)
を満たすとき、f,gを求めよ。
- 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/25(火) 21:13:48 ]
- Fラン用？
f(x)=cosx
g(x)=sinx
- 261 名前：259修正 mailto:sage [2008/11/25(火) 21:39:00 ]
- 連続で有界な定数でない実関数f,gが任意のx,yに対して
f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)
g(x+y)=g(x)f(y)+f(x)g(y)
を満たすとき、f,gを『すべて』求めよ。
いや、っていうか何の条件もなかったら普通「すべて」だよね……
そう思ってた、俺がバカなのか……orz
だから、唯一性の証明がだなぁｒｙ
- 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/25(火) 21:39:49 ]
- >>260
あと、それだけじゃないよ。唯一性とは言ったが、答えは無限にあるので……
と言ってもｒｙ
- 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/25(火) 21:46:07 ]
- こんな有名問題出るわけねーだろカス
- 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/25(火) 23:06:26 ]
- いやもう出るとか出ないとか気にしてる人いないと思う。
- 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/25(火) 23:17:12 ]
- 微分可能なやつだったら解けるが
- 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 00:59:25 ]
- >>260は
これFラン用？Eランク大学の俺様には簡単すぎて欠伸が出るんだけど。
くらいの意味だと思っといたほうがｗ
>>263
微分可能って条件があるのだったら見たことあるけど、
それが無い奴はそんなに有名でも無いと思うけど。
まあ定義に従って微分を求めたら求められた気もしたけど。
- 267 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/26(水) 10:36:03 ]
- f(x)を実数において定義され実数値をとる連続な関数とし、さらに
f(f(f(x)))-3f(f(x))+6f(x)= 4x+3
を満たすとする。
(1)実数a,bに対してf(a)=f(b)が成立するときa=bであることを示せ。
(2)f(x)は単調増加であることを示せ.
(3)f(x)を求めよ.
- 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 13:30:21 ]
- >>260
お願いだからギャグと言ってくれ
- 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 14:14:00 ]
- >>253
0.01011x11=1.00001.
- 270 名前：260 mailto:sage [2008/11/26(水) 14:22:36 ]
- 釣れたーーーーーーーーーー＾＾；
- 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 15:03:01 ]
- >>261
これ本当に解けるか？
- 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 18:08:34 ]
- うるさい。
- 273 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/26(水) 18:40:21 ]
- x,yは正の整数、またdをx,yの最大公約数とする。
方程式：d^3+x+y^2=dxy
を満たすx,yをすべて求めよ。
- 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 20:25:58 ]
- >>261
できた。
ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1227698744
- 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 21:00:10 ]
- >>261
なんかミスってた＆ヘタクソなことしてた(´・ω・｀)
ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1227700775
- 276 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/26(水) 21:18:36 ]
- 文 科
第 一 問（文理共通）
sin2009°の小数第一位から少数第五位までのそれぞれの数を，
a，b，c，d，eとして，このとき，
f(x) = ax^3+bx^2+cx+d
とする．
(1) sin2009°とsin1877°の大小を比較せよ．
(1) a，b，c，d，e，f(e)のそれぞれの値を求めよ．
(2) f(x)の極大値と極小値を求めよ．
(1)は東大の易化にあわせたつもりだが簡単すぎる．
ちなみに1877年は東大設立の年．
sin1877°＞ sin2009°になることはどうみても明らかだけども，
懐古的な（といっても1877年だと古すぎるが）教授なら，
2009年よりも1877年のほうが東大は輝いていたに違いない―，なんて言うかもしれないと思って．
- 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 21:39:44 ]
- (2)はかなり面倒じゃない？
sin 29°の値なんて手計算させてどうすんの？
sin 2010°なら意味分かるけども。
三倍角の公式を使って三乗根の値を概算、なんてやってたら
（最近の学生はゆとり教育の結果計算力がなくなっているとかそういうことではなくて）
三十分じゃ全然時間が足りないと思うけど。
- 278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 22:17:29 ]
- >>276
電卓があれば解ける問題って……いくらなんでもあり得ないのでは？
- 279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 22:27:19 ]
- >>261-262
Fラン用？
f(x) = cos(ax),
g(x) = sin(ax),
- 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/26(水) 22:50:11 ]
- もうええからそれは
- 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/27(木) 02:45:44 ]
- >>275
一生懸命タイプして完成して嬉しい気持ちでうｐしたんだろうなと思ったら萌えた
- 282 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/27(木) 18:33:56 ]
- n^n + 2 (n∈N)が素数になるような n が無数に存在することを証明せよ.
- 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/27(木) 20:16:19 ]
- 1877 = 1800+77 より sin1877゜= sin77゜
2009 = 1800+180+29 より sin2009゜= -sin29゜
符号を見て分かる通り、sin1877゜ > sin2009゜
････ダメ？
- 284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/27(木) 20:26:54 ]
- >>267
(1)f(a)=f(b)のときf(f(a))=f(f(b)),f(f(f(a)))=f(f(f(b)))なので
4a+3=4b+3
ゆえにa=b
(2)(1)よりf(x)は単射の連続関数なので
単調増加または単調減少
単調減少と仮定すると
f(f(x))は単調増加、f(f(f(x)))は単調減少なので
f(f(f(x)))-3f(f(x))+6f(x)は単調減少
だが右辺の4x+3は単調増加で矛盾する。
- 285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/27(木) 22:33:03 ]
- >>283
elegant
- 286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/28(金) 02:12:30 ]
- eelegantか？普通じゃないの
- 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/28(金) 03:10:33 ]
- >>256
１つの整数解を (x_1, y_1) とし、
α = x_1･√m - y_1･√n,
β = x_1･√m + y_1･√n,
とおくと
αβ = m(x_1)^2 - n(y_1)^2 = 1,
また、α、βは奇数乗しても
α^(2k+1) = x_(2k+1)･√m - y_(2k+1)･√n,
β^(2k+1) = x_(2k+1)･√m + y_(2k+1)･√n,
の形を保つ。 そして漸化式
x_(2k+1) = {m(x_1)^2 + n(y_1)^2}x_(2k-1) + {2n(x_1)(y_1)}y_(2k-1),
y_(2k+1) = {2m(x_1)(y_1)}x_(2k-1) + {m(x_1)^2 + n(y_1)^2}y_(2k-1),
から、 x_( ), y_( ) はすべて整数となる。
- 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/28(金) 11:15:15 ]
- >>267
cを任意の実数とし数列x[n]を漸化式x[1]=c, x[n+1]=f(x[n])で定める。
与方程式から
x[n+3]-3x[n+2]+6x[n+1]=4x[n]+3 (n=1,2,...)となる。
階差数列をy[n]=x[n+1]-x[n]とおけば
y[n+3]-1=-8(y[n]-1) となるので
y[3n+1]=(-8)^n*(y[1]-1)+1
を得る。ゆえにy[1]≠1と仮定すると十分大きなnに対してy[u]>0,y[v]<0となるような番号u,vが
それぞれ存在する。
ゆえにf(x[u])>u,f(x[v])<vとなるような実数x[u],x[v]が存在するが、f(x)は連続なので
中間値の定理からf(w)=wとなる実数xが存在する。
これを与方程式に代入すればw-3w+6w=4w+3⇔0=3となり矛盾する。
従ってy[1]-1=0でなければならず、すなわちx[2]=x[1]+1,つまりf(c)=c+1である。
cは任意であったから任意の実数xに対して
f(x)=x+1でなければならない。
逆にこれは与えられた条件を満たす。ゆえにf(x)=x+1
- 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/28(金) 15:42:04 ]
- lim{n->∞}{( 1 + 1/(n*(n-1)) )^n}を求めよ。
ネイピア数e = lim{n->∞}{(1 + 1/n)^n}(表記の参考までに）
- 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/28(金) 22:02:48 ]
- 任意の実数a, bに対して
F(2a) + F(2b) = 2F(a+b)F(a-b)
を満たし、かつ定数関数ではない関数F(x)がある。
F(p)=F(q)を満たす実数p, qに対して、F(p+q) と F(p-q)の少なくとも一方は1に等しいことを示せ。
- 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/28(金) 22:28:20 ]
- >>290
a=b=0とすると
f(0)+f(0)=2f(0)^2⇔f(0)=0,1となるがf(0)=0と仮定すると
b=aとして,f(2a)=0が任意のaで成立し仮定に矛盾するからf(0)=1
さらにb=0としてf(2a)+1=2f(a)^2 ∀a ･･･(1)
a=(p+q)/2,b=(p-q)/2として
f(p+q)+f(p-q)=2f(p)f(q) …(2)
a=p,qとして
2f(p+q)f(p-q)=f(2p)+f(2q) ･･･(3)
(1)よりf(p)=f(q)のときf(2p)=f(2q) ･･･(4)
ゆえに(2)(3))(4)より
(1-f(p+q))(1-f(p-q))
=1-f(p+q)-f(p-q)+f(p+q)f(p-q)
=1-2f(p)f(q)+{f(2p)+f(2q)}/2
=1-2f(p)^2+f(2p)=0 (∵(1))
よって示せた。
- 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 04:25:44 ]
- >>290
b=a を代入すると、2F(2a){1-F(0)} = 0,
題意により F(2a)≡0 ではないから、F(0) = 1.
|F(1)| < 1 のとき F(x) = cos(ax), ただし a = arccos{F(1)},
F(1) > 1 のとき F(x) = cosh(a'x), ただし a' = arccosh{F(1)} = log{F(1)+√[F(1)^2 -1]},
- 293 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/29(土) 16:21:57 ]
- 円周率πは無理数であることが知られている。
πに1/mπ(m:0以外の実数)なる数以外の数を掛けたとき、その値が0でない有理数となることはあるか。
- 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 16:50:44 ]
- 1/mπ(m:0以外の実数)は0以外のすべての実数を取りうるから
これ以外の実数はない。
よってない。
- 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/11/29(土) 18:06:26 ]
- >>289
n(n-1) = N とおくと
N→∞, (n→∞)
(与式) = { (1 + 1/N)^N }^(1/(n-1)) → e^0 = 1. (n→∞)
- 296 名前：１３２人目の素数さん [2008/11/29(土) 20:10:03 ]
- n^2009の上2009桁がすべて1であるような正の整数nが存在することを証明せよ。
- 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/01(月) 01:40:47 ]
- ∫[x=1,0]x^(p-1)*(1-x)^(q-1)dxが収束するp,qの範囲を求めよ
- 298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/01(月) 01:47:39 ]
- >>297
そんなベータ関数の有名問題が出ると思ってんの？バカなの？
- 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/02(火) 12:44:50 ]
- >>296
各桁がすべて1の2009桁の整数をa=111...11
とおく。
nが題意を満たす条件は
a*10^k≦n<(a+1)*10^k
を満たす0以上の整数kが存在することである。
a*10^k≦n<(a+1)*10^k
⇔loga+k≦logn<log(a+1)+k
数列x[n]=lognについて考えると
x[n]→∞で、x[n+1]-x[n]=log(1+1/n)→0なので
x[n]の階差はいくらでも小さくなる。区間[loga+k,log(a+1)+k)の長さはlog(a+1)-loga=log(1+1/a)は0より大きい定数だから
k,nが十分大きければ
x[n]=lognが区間[loga+k,log(a+1)+k)に属するような正の整数nが存在する。
よって題意は示された。
- 300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/02(火) 17:31:16 ]
- >>299
nじゃなくてn^2009なんだが
- 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/02(火) 23:18:35 ]
- ∫[x=2π,0]√(2-2cost)dt
において
x=costと置換すると
積分区間は[x=1,1]となるが
これが０にならないとことを示せ
- 302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/02(火) 23:22:40 ]
- >>301
そりゃ、ルートがついたもん積分したら、中々０にゃならんだろ
- 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/02(火) 23:45:15 ]
- ＞x=costと置換すると
＞積分区間は[x=1,1]となるが
こういう間の抜けたことは東大入試の問題文には書かないかと
- 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/02(火) 23:47:11 ]
- >>301
狙いは分かるが．．．
- 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/02(火) 23:50:06 ]
- そういう盲点というか受験生の理解不足になりがちなポイントを、
うまく問題の中に潜ませるのがうまい問題だな。
突きたいポイントをずばり問題にしてしまったのでは駄作。
ま、俺には作れんが。
- 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/03(水) 00:28:07 ]
- science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219648297/
京都大学入試作問者になったつもりのスレ①
の308で∫[x=0,1]√(2-2cos(2πx))dxが出てくる悪寒
・・・でもそんな置換はしないか
- 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/12/03(水) 00:31:27 ]
- a,bを互いに素な自然数とし、f(1)=a,f(2)=b,f(n+2)=f(n+1)+f(n)による数列f(n)を考える。
f(n)が全て非素数になるa,bの組を一つ求めよ。存在しないのならその事を示せ
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