- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/07(月) 20:54:04 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
- 355 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/07(木) 17:56:04 ]
- >>352
ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
r'ﾆ;v'ﾆ;､
ﾃﾞｯﾃｲｳ _,!ﾟ ) iﾟ ) .iヽ ﾃﾞｯﾃｲｳ ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
r=､r=､ ／ ｀ヽ,. ┘ ヽ ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
ﾃﾞｯﾃｲｳ ,､ ,､ .__{ﾟ _{ﾟ _} i ′′ }
, - (ﾟ(ﾟ )）> /´l r ｀'､_,ﾉi、 l、 ､ ,! ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
r-=、（ '' ,r'⌒ﾞｉ>_{ ) ヽ.＿___,ノ` 、 ! ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
｀ﾞゝヽ､ヽー´ ,,ノ::｀`､ _.r（_ ﾉﾞ`ｰ. ヽ,.┬/ | /7 ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
にｰ `ヽ､_ ／::::::::ｨ"^ﾞﾘ-r _,,ﾉ ,. lー' /ﾆＹ二ヽ ﾃﾞｯﾃｲｳ
,.、 ｀~iヽ､. ｀~`''"´ ﾞt （,,￣, frﾉ ｀ｧ-‐ /( ﾟ )( ﾟ ）ヽ
ゝヽ、__l::::ヽ｀iー- '''"´ﾞi, ヽ ヽ,/ / ／⌒｀´⌒ ＼ ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
W..,,」:::::::::,->ヽi''"´::::ノ-ゝ ヽ､_ﾉｰ‐ﾃ-/ i | （-、 |
￣r＝=ミ__ｨ'{-‐ﾆ二...,-ゝ、'″ ／,/｀ヽl , ヽ＿＿＿ノ | ト- :、
lﾐ､ ／ f´ r''/'´ミ)ゝ^),ノ>''" ,:ｲ`ヽ | |r┬ー| l ,/;;;;;;;;;;;;｀ﾞ
! ヾ .il l l;;;ﾄ､つノ,ノ ／ ／:ﾄ-"∧ l | / /／;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
. l ハ. l l;;;;i _,,.:イ / ／ ,ﾚ''";;;;;ヾ二,-;;´;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
人 ヾﾆﾞi ヽ.l yt,;ヽ ﾞv'′ ,:ｨ" /;;;;;;;;;;;;;;r-'"´｀i,;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
r'"::::ゝ､_ﾉ ﾞi_,/ l ヽ ﾞ':く´ _,,.〃_;;;;;;;;;;;;f´' ll;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
｀￣´ ／ l ヽ ヾ"／ ｀ﾞ''ーハ. l;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
／ l ﾞt `' ／^t;＼ ,,.ゝ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
- 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 18:07:26 ]
- πのやつがでたしそろそろ
eが2.7より大きいことを示せ
が出てもいいころ
- 357 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/07(木) 18:33:09 ]
- e絡みは積分で何年か前の東大の第６問で出たな。2.7ではなかったけど
- 358 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/07(木) 20:58:10 ]
- マクローリンの式途中まで持ち出してやるしかないんじゃね
他になんか上手い方法あるの？
- 359 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/07(木) 21:40:09 ]
- >>350
示すべき不等式を整理すると
|xyz+x+y+z|<|xy+yz+zx+1|
を示せばよいことがわかる。
条件より(x^2-1)(y^2-1)(z^2-1)<0なので
{(x+1)(y+1)(z+1)+(x-1)(y-1)(z-1)}^2<{(x+1)(y+1)(z+1)-(x-1)(y-1)(z-1)}^2
よって(xyz+x+y+z)^2<(xy+yz+zx+1)^2となるので
問題の不等式も示される
- 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 23:01:28 ]
- >>358
sin(sinx)≦sinxより下に有界だから
sinα=αよりα=0
- 361 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/02/07(木) 23:11:21 ]
- 私も>>360と同じ答案にしますね．マクローリン使って挟むのは高校範囲外ではありませんが，誘導がない限りは使いません(逆に言えばこの問題は入試では誘導をつけるべき)．
- 362 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/02/07(木) 23:11:57 ]
- nを正の整数として，f(n)を以下のように定める．
(i) nが奇数のとき
f(n)=n(n-2)(n-4)…*3*1
(ii) nが偶数のとき
f(n)=n(n-2)(n-4)…*4*2
このとき，以下の極限値を求めよ．
lim[n→∞]{f(3n)f(n)/(f(2n))^2}^(1/n)
- 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/08(金) 08:22:05 ]
- 以下が正しければそれを証明し、誤っていれば反例を挙げよ。
a を正の実数として、関数 f:R→R が
f(0)=0,
0＜f(x)＜x (0＜x≦a)
を満たす。
数列 a[n] を
a[0]=a,
a[n+1]=f(a[n]) (n≧0)
で定義するとき、
lim[n→∞]a[n] = 0。
- 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/08(金) 09:47:19 ]
- >>363
f(x)を，
・0≦x≦1 のとき f(x)＝0
・1＜x≦2 のときは，1+2^(-n-1)＜x≦1+2^(-n) を満たす整数 n を用いて f(x)＝1+2^(-n-1)
・x＞2 のときは，f(x)＝2
と定義すると，f(0)=0，0＜f(x)＜x (x>0) を満たす。
a = 3/2（ = 1+2^(-1)）とおくと，
a[1] = 1+2^(-2)
a[2] = 1+2^(-3)
・・・
a[n] = 1+2^(-n-1)
となるので，lim[n→∞]a[n] = 1
- 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/08(金) 11:13:25 ]
- >>362
f(2k)=2^k k!、f(2k+1)=(2k+1)!/f(2k)
n = 2k の時
与式 = {(3k)!k!/(2k)!^2}^(1/(2k))
log(与式) = 1/(2k){Σ[i=1 to 3k] log(i) + Σ[i=1 to k] log(i) - 2Σ[i=1 to 2k] log(2i)}
→ 1/2 (∫[0,3]log x dx + ∫[0,1]log x dx + 2∫[0,2]log x dx)
= 1/2 log27/16
∴ 与式 = √27/4
nが奇数のときにも同様に計算。
こういう問題見るとStirlingの公式使いたくなるんだけど、
数行でさくっとStirlingの公式を導いて、答案で使うことってできないかなぁ。
- 366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/08(金) 12:33:25 ]
- 数行でサクッとは無理だな
- 367 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/09(土) 12:06:15 ]
- 正五角形ABCDEの外接円の中心をOとする。
OP<OQ<OR<OS<OT<OAを満たす点P,Q,R,S,Tをそれぞれ
線分OA,OB,OC,OD,OE上のいずれかにとるとき、
五角形PQRSTの面積が最大になるのは
点P,Q,R,S,Tをどのように配置したときか。
- 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 13:20:14 ]
- >>367
最大値は存在しないんじゃないの？
- 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 14:26:55 ]
- 高々30通りしかないから最大はあるだろ。
- 370 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/09(土) 16:34:22 ]
- 等号成立がないから最大はないと思われ
- 371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 16:47:51 ]
- >>367
ゆ・と・り・お・つ
- 372 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/02/09(土) 17:45:10 ]
- xyz座標空間に4点
O(0,0,0)，A(0,-1,-1)，B(1,0,-1)，C(0,1,0)
があり，直線OA上を点Pが，直線BC上を点Qが動く．m,nを実数定数として，点P,Qのそれぞれのx座標p,qが
m≦p≦m+1，n≦q≦n+1
をみたしながら動くとき，線分PQの動く領域の体積を求めよ．
- 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 21:17:28 ]
- >>372
-1≦m≦0のとき∞
それ以外のとき0
- 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 22:35:27 ]
- >>372
Pのx座標がpってPって直線OAはx=0のy-z平面上の点だからx=0じゃないのですか？
上記ｘ座標をｙ座標がっていうのならPQの動く図形は四面体になりますよね。
操作としては
１ Qを固定してPを動かすとPは長さ1の線分lとなり、端点をD,Eとする。
2 lとQを結ぶと△QDEとなりQを動かす。
あとは上記の設定したA,B,Cで計算して終わり。
- 375 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/02/10(日) 00:15:56 ]
- 失礼，x座標じゃなくy座標でした．
- 376 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/10(日) 01:20:33 ]
- 益田のサイトの雑談掲示板が面白いことになってるｗ
- 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 02:57:08 ]
- >>375
1/6
- 378 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/10(日) 03:22:50 ]
- >>376
URLは何んだっけ？
- 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 03:34:04 ]
- もうそのスレッド削除されたよ。
- 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 03:50:52 ]
- どんな内容だったの？
- 381 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/10(日) 09:04:32 ]
- 2^6897689786890
- 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 09:42:27 ]
- >>380
斜め読みしかしてないけど
「数式が見づらいのでpdfとかで公開してくれ」
→携帯から見てる人も多いだろし、pdfだと見られない人がいるんじゃないかな。あと面倒そうだし。
「ドコモの新しいのはpdf対応してる」
→厚意で公開してるんだから、上から目線で要求しない方がいいよ
「おれは、早稲田志望で海外にそのうち移住するので、おまえらとは違うんだ」
→どん引き
こんなんだった
- 383 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/10(日) 09:58:36 ]
- >>382
ちょｗｗｗ
早稲田志望ごときで東大志望者を上から目線てどんだけｗｗｗ
- 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 10:14:58 ]
- 結局 >>360 の証明は間違ってんの？
それとも >>363 より仮定の強い(有名な)定理があるの？
- 385 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/10(日) 10:29:55 ]
- >>384
f(x)=sinxなら正解だろ
有界単調減少数列
- 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 10:39:12 ]
- >>383
その後は
他のサイト訪問者に失礼だ
→「ネットは現実じゃないから何を言ってもいいはずだ」
益田：これ以上そういう発言を続けるなら書き込み禁止とＩＰ公開させていただく
→「ＩＰ複数所持してるから無駄だ」
益田：禁止措置とりました 複数所持してても無駄ですよ やってみな
以後早稲田君書き込みできず？
益田、何をした？
- 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 10:46:50 ]
- >>386
> 以後早稲田君書き込みできず？
> 益田、何をした？
携帯オオギリの今田こうじの口調が頭に浮かんでしまった ＞スレ汚し御免
- 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 11:02:55 ]
- >>385
>>364 の反例も有界単調減少だけど？
>>363 の別の反例
a=2
f(x)=x/2 (x≦1)
f(x)=(x+1)/2 (x>1)
- 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 11:07:30 ]
- どちらの反例も不連続関数
sinxは連続関数
- 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 11:50:16 ]
- ＞sinxは連続関数
後出しにしても３テンポくらい遅い
>>303
大数は連続関数と断ってるの？
- 391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 12:02:26 ]
- 後出しって
sinα=αをどうやって出したと思ってたんだ
- 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 12:23:08 ]
- >>390
益田みたいな言い訳するなよｗ
事実の指摘に後出しも何もないだろｗ
- 393 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/10(日) 12:41:39 ]
- sin(2x)=i
- 394 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/10(日) 17:57:00 ]
- nを正の整数の定数とし、[0,1]でf(x)を以下のように定義する。
・f(0)=f(1)=0
・0<x<1ではf(x)を、表\が出る確率がxのコインを2n回投げて表\がn回出る確率とする。
このとき
lim[n→∞]x^(-1/2)*f(1/2)/∫[0,1]f(x)dx
を求めよ。
- 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 18:05:00 ]
- x^(-1/2)?
- 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 18:23:57 ]
- n^(-1/2)でした…
- 397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 19:40:19 ]
- >>394
∞？
- 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 20:09:01 ]
- >>385 = >>389 だとしたら、間抜けが後出ししてるように見える
- 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 22:59:28 ]
- sinxの場合についての指摘に答えない件ｗ
- 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 23:19:44 ]
- ＞sinxの場合についての指摘
詳しく
- 401 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/11(月) 11:41:15 ]
- 【調査】 「学歴ひけらかし」、ＯＬに嫌われる…「私の嫌いな大学ランキング」発表★７
mamono.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1202443428/
１位．東京大学(176票)
２位．早稲田大学(138票)
３位．慶応義塾大学(89票)
４位．京都大学(29票)
５位．明治大学(25票)
東大・早慶のモテない度にワロタｗｗｗ
- 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/11(月) 12:28:54 ]
- >401
明治ってアンタ・・
どんだけＯＬって・・
- 403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/11(月) 12:39:58 ]
- このスレのほとんどがＯＬに嫌われてるんだな…
まさか明治はおらんと思うがｗ
- 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/11(月) 14:09:18 ]
- ここに名前があがらない大学は歯牙にもかけないってことだろ。
- 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/11(月) 15:46:28 ]
- >>404
そんな負け惜しみはいらないってｗ
- 406 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/11(月) 15:51:48 ]
- 東工大の方が絶対にもてないだろうに
- 407 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/11(月) 16:11:53 ]
- 東工大はひけらかしたりはしない
- 408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/11(月) 16:43:13 ]
- 東工大って、どこだい
- 409 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/11(月) 16:56:50 ]
- >>408
中国にあるﾆﾀﾞ〈｀∀´〉
- 410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/11(月) 17:02:02 ]
- >>394
f(x) = C[2n,n] x^n (1-x)^n,
∫[0,1] f(x)dx = ∫[0,1] x^(2n)dx (← 部分積分をn回繰り返す)
= [ x^(2n+1) /(2n+1) ](x=0,1) = 1/(2n+1),
一方、スターリングより
f(1/2) = C[2n,n](1/4)^n ≒ {1/√(πn)}･{1 - 1/(8n)} ≒ 1/√(πn),
∴ (与式) → 2/√π (n→∞)
- 411 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/02/11(月) 17:12:24 ]
- ひけらかすかどうかは相手によるのだ。
- 412 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/11(月) 18:44:50 ]
- n,mは自然数で、また1≦m≦nとする
初め持ち点は0点で次の試行を行う
じゃんけんに勝ったら1点、負けたら-1点、あいこになったら0点をもらう試行を行う
ただし途中(0回目の時点での場合は除く)で
持ち点が0点になったら、その時点で試行を終了する
これを3n回繰り返していくとき
持ち点が3m点になる確率を求めよ
- 413 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/11(月) 21:07:13 ]
- この四次元ヲタどもが
- 414 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/02/12(火) 00:53:51 ]
- a,bはa＜bをみたす実数定数，f(x)，g(x)はxについての連続な関数である．このとき，以下のxについての方程式は，区間a≦x≦bに必ず実数解をもつことを示せ．
∫[a,b]f(x)g(t)dt=∫[a,b]f(t)g(x)dt
- 415 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/12(火) 02:35:50 ]
- >>414
∫[a,b]f(t)dt=p
∫[a,b]g(t)dt=qとする。
q*f(x)-p*g(x)=h(x)とすれば
∫[a,b]h(x)dx=qp-pq=0
なので平均値の定理？よりa≦c≦bでh(c)=0を満たす実数cが存在する。
つまり∫[a,b]f(c)g(t)dt-∫[a,b]f(t)g(c)dt=0となるので、題意は示された
- 416 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/15(金) 09:10:24 ]
- 友達の友達はアルカイダ
- 417 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/15(金) 11:52:16 ]
- f(x)は連続で2を基本周期とする周期関数である.
f(a)=f(a+1)となる0≦a≦1をみたす実数aが存在することを示せ.
- 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/15(金) 12:42:43 ]
- >>417
宿題は宿題スレに
- 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/15(金) 12:45:17 ]
- 【sin】高校生のための数学質問スレPART166【cos】
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1202730936/
こことかにどうぞ
- 420 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/15(金) 22:18:35 ]
- 1からnまでかかれたカードが2枚ずつある
これを一列に並べるとき同じ数字が隣あう数の期待値を求めよ
- 421 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/15(金) 23:05:56 ]
- 日本語でおｋ
- 422 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/16(土) 01:18:37 ]
- >>412
カタラン数？
- 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 01:54:26 ]
- 平均値の定理つかうだけだろ？
ぜんかしきたてて計算すると
P(n)=n＋1/2＾nだから
これにnをかける
- 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 01:54:54 ]
- すまんかんちがい
- 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 21:36:12 ]
- >>365
数行でサクッとは無理だが…
n! = ∫[0,∞) exp(-x)･x^n dx = ∫[0,∞) f(x)dx, (オイラーの積分)
を使ったものを以下に示す。
まづ f(x) の極大点(x=n)の近くでは正確にしたいので、log(f(x))を x=n のまわりでテイラー展開する。
log(f(x)) = log(f(n)) -(x-n) + n･log(1 + (x-n)/n)
= log(f(n)) -(√n)y + n･log(1 + (y/√n)) (← y=(x-n)/√n: normalize)
= log(f(n)) -(1/2)y^2 + (1/(3√n))y^3 -(1/(4n))y^4 +(1/(5n√n))y^5 -(1/(6n^2))y^6 +……
= log(g(y)),
n! = (√n)∫[-√n, ∞) g(y)dy,
ここに
g(y)= g(0)･exp{-(1/2)y^2}･exp{ (1/(3√n))y^3 -(1/(4n))y^4 +(1/(5n√n))y^5 -(1/(6n^2))y^6 + ……}
= g(0)･exp{-(1/2)y^2}･{1 + (1/(3√n))y^3 -(1/(4n))y^4 +(1/(5n√n))y^5 +[1/(18n) -1/(6n^2)]y^6 + …},
yの偶数乗の項は(-∞, ∞)の積分で近似し、yの奇数乗の項は無視しよう(*)。
I_(2k) = ∫(-∞, ∞) exp(-(1/2)y^2)･y^(2k)･dy = 2∫[0,∞) exp(-(1/2)y^2)･y^(2k)･dy = (2k-1)!!･I_0,
I_0 = I_2 = √(2π), I_4 = 3I_0, I_6 = 15I_0,
これを代入して、
n! ≒ g(0)√(2πn)･{1 +1/(12n) +…} = n^(n+1/2)･√(2π)･exp(-n +1/(12n) +…),
g(0) = f(n) = (n/e)^n,
(*) yの奇関数の積分では、[-√n, √n] の部分が消え、 [√n, ∞) の部分が残る。
∫exp(-(1/2)y^2)･y^3･dy = [ -exp(-(1/2)y^2)･(y^2 +2) ](y=√n, ∞) = exp(-n/2)･(n+2) << 1,
∫exp(-(1/2)y^2)･y^5･dy = [ -exp(-(1/2)y^2)･(y^4 +4y^2 +8) ](y=√n, ∞) = exp(-n/2)･(n^2 +4n+8) << 1,
∫exp(-(1/2)y^2)･y^7･dy = [ -exp(-(1/2)y^2)･(y^6 +6y^4 +24y^2 +48) ](y=√n, ∞) = exp(-n/2)･(n^3 +6n^2 +24n+48) << 1,
これらは、nが大きくなると迅速に減衰するので、無視できると思うよ。
ja.wikipedia.org/wiki/スターリングの近似
mathworld.wolfram.com/StirlingsApproximation.html
mathworld.wolfram.com/StirlingsSeries.html
- 426 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/16(土) 23:02:29 ]
- 原点からの距離が最大、最小となる曲線x^2+xy+y^2=1上の点をそれぞれ求めよ
- 427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 23:06:39 ]
- >>426
そんな単純な計算問題は東大は出さないだろう
- 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 23:07:08 ]
- >417
g(x) = f(x+1) - f(x) とおく。
g(x) + g(x+1) = f(x+2) - f(x) = 0,
題意より f(x)が連続なので g(x)も連続。
もし g(b)≠0, 0≦b≦1 なるbがあったとすると、g(b)g(b+1)<0.
中間値の定理から、g(b+θ) =0, (0<θ<1)
b+θ =a とおく。
∴ f(a) = f(a+1) = f(a-1),
- 429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 23:20:18 ]
- もっと東大らしいの頼む
- 430 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/16(土) 23:40:00 ]
- n,kを正の整数とする. 正四面体OABCに対し,ある頂点にいる動点Pは,同じ頂点にとどまることなく,
1秒ごとに他の3つの頂点に同じ確率で移動する.はじめ点Pは頂点Aに存在する.
(1) n秒後に点Pが,頂点Oを1回だけ通って,頂点Aに戻る確率を求めよ.
(2) n秒後に点Pが,頂点Oをk回通って,頂点Aに戻る確率を求めよ. ただし,2k≦nとする.
- 431 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/16(土) 23:43:57 ]
- >>420
そんな数Ｃの確率やってたら簡単に解けるのに数Ａだけでは難問の問題は出ない
- 432 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/17(日) 02:47:32 ]
- ∫[0,π](e^-cosx)cos(sinx)dxを求めよ
- 433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/17(日) 17:20:45 ]
- >432
求めますた。π.
- 434 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/17(日) 19:45:57 ]
- e^(-z)/zのz=0の留数しか思いつかん。
- 435 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/17(日) 20:11:50 ]
- １辺の長さが２であるような正方形と３であるような正方形を合計で２００９個過不足
無く敷き詰めて、新たに正方形を作る。
それぞれの個数の差が最も小さくなるようにするとき、
それぞれ何個ずつ敷き詰めればよいか求めよ。
ちょっと数オリっぽいけど。
- 436 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/17(日) 20:21:44 ]
- 5+4
5-4=1
- 437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/17(日) 23:45:00 ]
- 113+248=361.
- 438 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/18(月) 01:40:47 ]
- いかなる自然数ｎに対しても、座標平面上の円で、ちょうどｎ個の格子点をその内部(周を含む)に含むようなものが存在することを証明せよ．
どっちかと言うと京大風か??
- 439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 01:45:50 ]
- サイコロをふって
一から六まですべてがでるときのふった回数の期待値をもとめよ
- 440 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 01:56:50 ]
- >>439
×一から六まですべてがでるときのふった回数の期待値をもとめよ
○一から六まですべてがでるまでふった時の回数の期待値をもとめよ
日本語でおｋ
- 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 02:44:30 ]
- 440やっぱ日本語悪かったかな？カキコしてて違和感したけど
- 442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 02:53:19 ]
- 更に
×違和感したけど
○違和感あったけど
- 443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 03:26:52 ]
- サイコロを1から6のすべての目が少なくとも1回出るまで繰り返し振るとき、振る回数の期待値を求めよ。
「振った回数の期待値」という日本語はやめたほうがいい。
もう結果出てるのに期待値というのはいかにも不合理。
あとうるさいこと言うと、「すべての目が出る」というと、
「一度に1個しか目が出ないのに、1〜6まですべての目が出るなんてありえません！＞＜」
とかいうキチガイがいるかもしれないから、より正確に言えば、
「1から6までの目が書かれており、それらが等確率で出るサイコロがある。
このサイコロを振って、そのたびに出た目を記録するという試行を繰り返す。
1から6の目がすべて少なくとも1回記録されるまでに、サイコロを振る回数の期待値を求めよ。」
かな。
- 444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 03:32:31 ]
- 「1から6までの目」なんて書くと
「1と6の間には実数が稠密に分布しているのに、それらが書かれたサイコロなんて製作不能です！＞＜」
とかいうキチガイがいるかもしれないから、
「1から6までの自然数が各面に1つずつ書かれた」としないとな。
「各面に1つずつ」って言葉もいれておかないと、また厄介なことに・・・。
実数が稠密に書かれたサイコロとか、各面にいくつも数字が書かれたサイコロを作れば、
斬新な問題ができるかも知れんが。
- 445 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 13:13:54 ]
- うんにゃ訂正ありがとう(-_-;)
ところでとけました？
- 446 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 16:16:11 ]
- 147/10ですか？和の期待値＝期待値の和というのを知っていれば瞬殺できますが、入試としてはどうなのでしょうかね。
- 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/19(火) 02:30:24 ]
- わるいどうやるんだ？
- 448 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/19(火) 14:34:19 ]
- ますだどうした???
- 449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/19(火) 17:40:18 ]
- >>447
一回あたりｋ種類の平均値が6/kだから6Σ[1,k]1/k=6(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6)=147/10
- 450 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/19(火) 17:42:55 ]
- 漸化式でもやってノート１ページ分表裏びっしり計算して147/10になったので間違いないかと
- 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 00:27:17 ]
- nは自然数とする.
2^nの最高位の数字が1になる確率を求めよ.
- 452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 00:30:17 ]
- 何が同様に確からしいか分からないからダメ。
- 453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 01:04:07 ]
- 一つ目が出る平均回数 6
二つ目が出る平均回数 6/5 (*注)
三つ目が出る平均回数 6/4=3/2
・・・
6(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6)=147/10
* 二つ目が出る確率は5/6
これは6回中5個でるから平均して6/5回
以下同様
- 454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 01:37:15 ]
- >>452
じゃあ問題の書き方変えよう
nを自然数とする。n+1個の数
1,2,2^2,…,2^n
のうち,その最高位が1であるものの個数をN(n)とおく
lim[n→∞]N(n)/nを求めよ
- 455 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/20(水) 01:53:10 ]
- 去年は的中問題ありましたか？
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