- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/07(月) 20:54:04 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
- 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/04(月) 22:36:15 ]
- x^3+y^3 = z^3+w^3 の一般解を求めろっつうんじゃないの？
ラマンヌジャンはそこまでやってないだろうけど。
- 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 00:49:50 ]
- >>329
4次。理由も容易。馬鹿大クラス。
- 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 00:55:26 ]
- えー
- 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 01:30:00 ]
- >>329
x=√p+√q+√(pq)を根に持つ多項式の一つは
g(x)=(((x^2)+pq-p-q)^2)-4pq(x-1)^2で与えられる
g(x)=0の解はx=√(pq)±|√p-√q|, -√(pq)±(√p+√q)であるが
p，q，pqは平方数ではないのでg(x)=0の解は全て無理数である
従ってg(x)は有理数係数の一次式を因数に持たない・・・(*)
他方、g(x)は整数係数の四次の多項式である・・・(**)
(*)と(**)からn<4の候補はn=2のみ
しかしg(x)=0の解の中で整数整数の二次方程式の解になるものはない
従ってn≧4となり、nの最小値は4である
- 335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 01:30:41 ]
- >>332
実際東大ででたら今のゆとりは半数が論証できないと思われ
- 336 名前：334 mailto:sage [2008/02/05(火) 01:35:37 ]
- おっと、xの恒等式とみてf(x)=0とすればdeg f = 0 となるな（定義にも依るけど）
f(x)は任意の複素数αに対してf(α)=0となるから、nの最小値は0となるよ
- 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 01:39:55 ]
- >>336
方程式って書いてあるのに恒等式扱いってｗ
- 338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 01:44:24 ]
- 今月の問題 は返答くれないの？
- 339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 01:47:21 ]
- >>337
恒等的に0って意味かとi.e.ゼロの多項式f
- 340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 01:49:43 ]
- 恒等式と多項式と方程式が文脈から判断できない337涙目ｗ
- 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 01:52:56 ]
- おまいら
それ以前にnは正整数だぞ
- 342 名前：334 mailto:sage [2008/02/05(火) 01:58:05 ]
- >>341
見逃してましたありがとうございます
>>337
日本語が不自由でごめんなさい
- 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 02:22:24 ]
- ＞g(x)=(((x^2)+pq-p-q)^2)-4pq(x-1)^2で与えられる
＞g(x)=0の解はx=√(pq)±|√p-√q|, -√(pq)±(√p+√q)であるが
間違い。
＞p，q，pqは平方数ではないのでg(x)=0の解は全て無理数である
＞しかしg(x)=0の解の中で整数整数の二次方程式の解になるものはない
証明が必要。（整数整数？）
- 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 02:42:16 ]
- >>343
指摘ありがとうございます
正しくは
g(x)=(((x^2)+pq-p-q)^2)-4pq(x+1)^2
x=√(pq)±(√p+√q), -√(pq)±|√p-√q|
ですね。後半は、整数整数は整数係数の間違いで
証明は解と係数の関係から得られます
- 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 04:18:33 ]
- 普通、f(x-1)=0がx=(√p+1)(√q+1)を解にもつことを利用して解くんじゃないか。
- 346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 16:25:57 ]
- >>329
p=q=2の時、n=2
- 347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 17:18:14 ]
- pqは平方数じゃない
- 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 18:34:52 ]
- 問題読まないやつ多いな
- 349 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/05(火) 18:36:41 ]
- ゆとり
- 350 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/02/06(水) 15:24:52 ]
- a，b，cを
a=x+y+z
b=x^2+y^2+z^2
c=x^3+y^3+z^3
と定める．絶対値が1より小さい任意の実数の組(x,y,z)に対して，以下の不等式が成り立つことを示せ．
|a^3+6a-3ab+2c|＜3|a^2-b+2|
- 351 名前：アナーキスト こん [2008/02/07(木) 02:18:12 ]
- ふつーに 解と係数の関係とたんてんの条件ででできるんじゃ？
あと理系の掲示板でみたんだがこれは恐らく入試にでるかもです
δX／δt=９X＋10yかつ
δy／δt=-３X-2yであるとき X yの方程式をもとめよ
- 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 02:34:13 ]
- >>302-303
B(n) = 1/{A(n)}^2 とおいて、B(n)→∞ を示す。
|A(n)| < |A(n-1)| < …… < |A(2)| < |A(1)|≦1, (狭義の単調減少),
ところで
sin(x) < x -(1/6)x^3 +(1/120)x^5 < x -(19/120)x^3, (x>0)
sin(x)^2 < x^2 -(19/60)x^4 +(1/30)x^6 < x^2 -(17/60)x^4,
よって A(n)=a とおくと
B(n+1) - B(n) = 1/{sin(a)^2} -1/a^2
= {a^2 - sin(a)^2}/{a^2･sin(a)^2}
> {a^2 - sin(a)^2}/a^4
> 17/60,
B(n) > B(1) +(17/60)(n-1) →∞ (n→∞)
∴ A(n) → 0 (n→∞)
でいいかな？
- 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 10:09:02 ]
- >>352
マクローリン使った不等式持ち出した時点で
高校生らしくなくなっちゃうな
- 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 10:15:47 ]
- >>351
京大ではでても東大はでないな
- 355 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/07(木) 17:56:04 ]
- >>352
ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
r'ﾆ;v'ﾆ;､
ﾃﾞｯﾃｲｳ _,!ﾟ ) iﾟ ) .iヽ ﾃﾞｯﾃｲｳ ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
r=､r=､ ／ ｀ヽ,. ┘ ヽ ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
ﾃﾞｯﾃｲｳ ,､ ,､ .__{ﾟ _{ﾟ _} i ′′ }
, - (ﾟ(ﾟ )）> /´l r ｀'､_,ﾉi、 l、 ､ ,! ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
r-=、（ '' ,r'⌒ﾞｉ>_{ ) ヽ.＿___,ノ` 、 ! ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
｀ﾞゝヽ､ヽー´ ,,ノ::｀`､ _.r（_ ﾉﾞ`ｰ. ヽ,.┬/ | /7 ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
にｰ `ヽ､_ ／::::::::ｨ"^ﾞﾘ-r _,,ﾉ ,. lー' /ﾆＹ二ヽ ﾃﾞｯﾃｲｳ
,.、 ｀~iヽ､. ｀~`''"´ ﾞt （,,￣, frﾉ ｀ｧ-‐ /( ﾟ )( ﾟ ）ヽ
ゝヽ、__l::::ヽ｀iー- '''"´ﾞi, ヽ ヽ,/ / ／⌒｀´⌒ ＼ ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
W..,,」:::::::::,->ヽi''"´::::ノ-ゝ ヽ､_ﾉｰ‐ﾃ-/ i | （-、 |
￣r＝=ミ__ｨ'{-‐ﾆ二...,-ゝ、'″ ／,/｀ヽl , ヽ＿＿＿ノ | ト- :、
lﾐ､ ／ f´ r''/'´ミ)ゝ^),ノ>''" ,:ｲ`ヽ | |r┬ー| l ,/;;;;;;;;;;;;｀ﾞ
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人 ヾﾆﾞi ヽ.l yt,;ヽ ﾞv'′ ,:ｨ" /;;;;;;;;;;;;;;r-'"´｀i,;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
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- 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 18:07:26 ]
- πのやつがでたしそろそろ
eが2.7より大きいことを示せ
が出てもいいころ
- 357 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/07(木) 18:33:09 ]
- e絡みは積分で何年か前の東大の第６問で出たな。2.7ではなかったけど
- 358 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/07(木) 20:58:10 ]
- マクローリンの式途中まで持ち出してやるしかないんじゃね
他になんか上手い方法あるの？
- 359 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/07(木) 21:40:09 ]
- >>350
示すべき不等式を整理すると
|xyz+x+y+z|<|xy+yz+zx+1|
を示せばよいことがわかる。
条件より(x^2-1)(y^2-1)(z^2-1)<0なので
{(x+1)(y+1)(z+1)+(x-1)(y-1)(z-1)}^2<{(x+1)(y+1)(z+1)-(x-1)(y-1)(z-1)}^2
よって(xyz+x+y+z)^2<(xy+yz+zx+1)^2となるので
問題の不等式も示される
- 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 23:01:28 ]
- >>358
sin(sinx)≦sinxより下に有界だから
sinα=αよりα=0
- 361 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/02/07(木) 23:11:21 ]
- 私も>>360と同じ答案にしますね．マクローリン使って挟むのは高校範囲外ではありませんが，誘導がない限りは使いません(逆に言えばこの問題は入試では誘導をつけるべき)．
- 362 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/02/07(木) 23:11:57 ]
- nを正の整数として，f(n)を以下のように定める．
(i) nが奇数のとき
f(n)=n(n-2)(n-4)…*3*1
(ii) nが偶数のとき
f(n)=n(n-2)(n-4)…*4*2
このとき，以下の極限値を求めよ．
lim[n→∞]{f(3n)f(n)/(f(2n))^2}^(1/n)
- 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/08(金) 08:22:05 ]
- 以下が正しければそれを証明し、誤っていれば反例を挙げよ。
a を正の実数として、関数 f:R→R が
f(0)=0,
0＜f(x)＜x (0＜x≦a)
を満たす。
数列 a[n] を
a[0]=a,
a[n+1]=f(a[n]) (n≧0)
で定義するとき、
lim[n→∞]a[n] = 0。
- 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/08(金) 09:47:19 ]
- >>363
f(x)を，
・0≦x≦1 のとき f(x)＝0
・1＜x≦2 のときは，1+2^(-n-1)＜x≦1+2^(-n) を満たす整数 n を用いて f(x)＝1+2^(-n-1)
・x＞2 のときは，f(x)＝2
と定義すると，f(0)=0，0＜f(x)＜x (x>0) を満たす。
a = 3/2（ = 1+2^(-1)）とおくと，
a[1] = 1+2^(-2)
a[2] = 1+2^(-3)
・・・
a[n] = 1+2^(-n-1)
となるので，lim[n→∞]a[n] = 1
- 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/08(金) 11:13:25 ]
- >>362
f(2k)=2^k k!、f(2k+1)=(2k+1)!/f(2k)
n = 2k の時
与式 = {(3k)!k!/(2k)!^2}^(1/(2k))
log(与式) = 1/(2k){Σ[i=1 to 3k] log(i) + Σ[i=1 to k] log(i) - 2Σ[i=1 to 2k] log(2i)}
→ 1/2 (∫[0,3]log x dx + ∫[0,1]log x dx + 2∫[0,2]log x dx)
= 1/2 log27/16
∴ 与式 = √27/4
nが奇数のときにも同様に計算。
こういう問題見るとStirlingの公式使いたくなるんだけど、
数行でさくっとStirlingの公式を導いて、答案で使うことってできないかなぁ。
- 366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/08(金) 12:33:25 ]
- 数行でサクッとは無理だな
- 367 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/09(土) 12:06:15 ]
- 正五角形ABCDEの外接円の中心をOとする。
OP<OQ<OR<OS<OT<OAを満たす点P,Q,R,S,Tをそれぞれ
線分OA,OB,OC,OD,OE上のいずれかにとるとき、
五角形PQRSTの面積が最大になるのは
点P,Q,R,S,Tをどのように配置したときか。
- 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 13:20:14 ]
- >>367
最大値は存在しないんじゃないの？
- 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 14:26:55 ]
- 高々30通りしかないから最大はあるだろ。
- 370 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/09(土) 16:34:22 ]
- 等号成立がないから最大はないと思われ
- 371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 16:47:51 ]
- >>367
ゆ・と・り・お・つ
- 372 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/02/09(土) 17:45:10 ]
- xyz座標空間に4点
O(0,0,0)，A(0,-1,-1)，B(1,0,-1)，C(0,1,0)
があり，直線OA上を点Pが，直線BC上を点Qが動く．m,nを実数定数として，点P,Qのそれぞれのx座標p,qが
m≦p≦m+1，n≦q≦n+1
をみたしながら動くとき，線分PQの動く領域の体積を求めよ．
- 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 21:17:28 ]
- >>372
-1≦m≦0のとき∞
それ以外のとき0
- 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 22:35:27 ]
- >>372
Pのx座標がpってPって直線OAはx=0のy-z平面上の点だからx=0じゃないのですか？
上記ｘ座標をｙ座標がっていうのならPQの動く図形は四面体になりますよね。
操作としては
１ Qを固定してPを動かすとPは長さ1の線分lとなり、端点をD,Eとする。
2 lとQを結ぶと△QDEとなりQを動かす。
あとは上記の設定したA,B,Cで計算して終わり。
- 375 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/02/10(日) 00:15:56 ]
- 失礼，x座標じゃなくy座標でした．
- 376 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/10(日) 01:20:33 ]
- 益田のサイトの雑談掲示板が面白いことになってるｗ
- 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 02:57:08 ]
- >>375
1/6
- 378 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/10(日) 03:22:50 ]
- >>376
URLは何んだっけ？
- 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 03:34:04 ]
- もうそのスレッド削除されたよ。
- 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 03:50:52 ]
- どんな内容だったの？
- 381 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/10(日) 09:04:32 ]
- 2^6897689786890
- 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 09:42:27 ]
- >>380
斜め読みしかしてないけど
「数式が見づらいのでpdfとかで公開してくれ」
→携帯から見てる人も多いだろし、pdfだと見られない人がいるんじゃないかな。あと面倒そうだし。
「ドコモの新しいのはpdf対応してる」
→厚意で公開してるんだから、上から目線で要求しない方がいいよ
「おれは、早稲田志望で海外にそのうち移住するので、おまえらとは違うんだ」
→どん引き
こんなんだった
- 383 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/10(日) 09:58:36 ]
- >>382
ちょｗｗｗ
早稲田志望ごときで東大志望者を上から目線てどんだけｗｗｗ
- 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 10:14:58 ]
- 結局 >>360 の証明は間違ってんの？
それとも >>363 より仮定の強い(有名な)定理があるの？
- 385 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/10(日) 10:29:55 ]
- >>384
f(x)=sinxなら正解だろ
有界単調減少数列
- 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 10:39:12 ]
- >>383
その後は
他のサイト訪問者に失礼だ
→「ネットは現実じゃないから何を言ってもいいはずだ」
益田：これ以上そういう発言を続けるなら書き込み禁止とＩＰ公開させていただく
→「ＩＰ複数所持してるから無駄だ」
益田：禁止措置とりました 複数所持してても無駄ですよ やってみな
以後早稲田君書き込みできず？
益田、何をした？
- 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 10:46:50 ]
- >>386
> 以後早稲田君書き込みできず？
> 益田、何をした？
携帯オオギリの今田こうじの口調が頭に浮かんでしまった ＞スレ汚し御免
- 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 11:02:55 ]
- >>385
>>364 の反例も有界単調減少だけど？
>>363 の別の反例
a=2
f(x)=x/2 (x≦1)
f(x)=(x+1)/2 (x>1)
- 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 11:07:30 ]
- どちらの反例も不連続関数
sinxは連続関数
- 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 11:50:16 ]
- ＞sinxは連続関数
後出しにしても３テンポくらい遅い
>>303
大数は連続関数と断ってるの？
- 391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 12:02:26 ]
- 後出しって
sinα=αをどうやって出したと思ってたんだ
- 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 12:23:08 ]
- >>390
益田みたいな言い訳するなよｗ
事実の指摘に後出しも何もないだろｗ
- 393 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/10(日) 12:41:39 ]
- sin(2x)=i
- 394 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/10(日) 17:57:00 ]
- nを正の整数の定数とし、[0,1]でf(x)を以下のように定義する。
・f(0)=f(1)=0
・0<x<1ではf(x)を、表\が出る確率がxのコインを2n回投げて表\がn回出る確率とする。
このとき
lim[n→∞]x^(-1/2)*f(1/2)/∫[0,1]f(x)dx
を求めよ。
- 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 18:05:00 ]
- x^(-1/2)?
- 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 18:23:57 ]
- n^(-1/2)でした…
- 397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 19:40:19 ]
- >>394
∞？
- 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 20:09:01 ]
- >>385 = >>389 だとしたら、間抜けが後出ししてるように見える
- 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 22:59:28 ]
- sinxの場合についての指摘に答えない件ｗ
- 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 23:19:44 ]
- ＞sinxの場合についての指摘
詳しく
- 401 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/11(月) 11:41:15 ]
- 【調査】 「学歴ひけらかし」、ＯＬに嫌われる…「私の嫌いな大学ランキング」発表★７
mamono.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1202443428/
１位．東京大学(176票)
２位．早稲田大学(138票)
３位．慶応義塾大学(89票)
４位．京都大学(29票)
５位．明治大学(25票)
東大・早慶のモテない度にワロタｗｗｗ
- 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/11(月) 12:28:54 ]
- >401
明治ってアンタ・・
どんだけＯＬって・・
- 403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/11(月) 12:39:58 ]
- このスレのほとんどがＯＬに嫌われてるんだな…
まさか明治はおらんと思うがｗ
- 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/11(月) 14:09:18 ]
- ここに名前があがらない大学は歯牙にもかけないってことだろ。
- 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/11(月) 15:46:28 ]
- >>404
そんな負け惜しみはいらないってｗ
- 406 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/11(月) 15:51:48 ]
- 東工大の方が絶対にもてないだろうに
- 407 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/11(月) 16:11:53 ]
- 東工大はひけらかしたりはしない
- 408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/11(月) 16:43:13 ]
- 東工大って、どこだい
- 409 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/11(月) 16:56:50 ]
- >>408
中国にあるﾆﾀﾞ〈｀∀´〉
- 410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/11(月) 17:02:02 ]
- >>394
f(x) = C[2n,n] x^n (1-x)^n,
∫[0,1] f(x)dx = ∫[0,1] x^(2n)dx (← 部分積分をn回繰り返す)
= [ x^(2n+1) /(2n+1) ](x=0,1) = 1/(2n+1),
一方、スターリングより
f(1/2) = C[2n,n](1/4)^n ≒ {1/√(πn)}･{1 - 1/(8n)} ≒ 1/√(πn),
∴ (与式) → 2/√π (n→∞)
- 411 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/02/11(月) 17:12:24 ]
- ひけらかすかどうかは相手によるのだ。
- 412 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/11(月) 18:44:50 ]
- n,mは自然数で、また1≦m≦nとする
初め持ち点は0点で次の試行を行う
じゃんけんに勝ったら1点、負けたら-1点、あいこになったら0点をもらう試行を行う
ただし途中(0回目の時点での場合は除く)で
持ち点が0点になったら、その時点で試行を終了する
これを3n回繰り返していくとき
持ち点が3m点になる確率を求めよ
- 413 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/11(月) 21:07:13 ]
- この四次元ヲタどもが
- 414 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/02/12(火) 00:53:51 ]
- a,bはa＜bをみたす実数定数，f(x)，g(x)はxについての連続な関数である．このとき，以下のxについての方程式は，区間a≦x≦bに必ず実数解をもつことを示せ．
∫[a,b]f(x)g(t)dt=∫[a,b]f(t)g(x)dt
- 415 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/12(火) 02:35:50 ]
- >>414
∫[a,b]f(t)dt=p
∫[a,b]g(t)dt=qとする。
q*f(x)-p*g(x)=h(x)とすれば
∫[a,b]h(x)dx=qp-pq=0
なので平均値の定理？よりa≦c≦bでh(c)=0を満たす実数cが存在する。
つまり∫[a,b]f(c)g(t)dt-∫[a,b]f(t)g(c)dt=0となるので、題意は示された
- 416 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/15(金) 09:10:24 ]
- 友達の友達はアルカイダ
- 417 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/15(金) 11:52:16 ]
- f(x)は連続で2を基本周期とする周期関数である.
f(a)=f(a+1)となる0≦a≦1をみたす実数aが存在することを示せ.
- 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/15(金) 12:42:43 ]
- >>417
宿題は宿題スレに
- 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/15(金) 12:45:17 ]
- 【sin】高校生のための数学質問スレPART166【cos】
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1202730936/
こことかにどうぞ
- 420 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/15(金) 22:18:35 ]
- 1からnまでかかれたカードが2枚ずつある
これを一列に並べるとき同じ数字が隣あう数の期待値を求めよ
- 421 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/15(金) 23:05:56 ]
- 日本語でおｋ
- 422 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/16(土) 01:18:37 ]
- >>412
カタラン数？
- 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 01:54:26 ]
- 平均値の定理つかうだけだろ？
ぜんかしきたてて計算すると
P(n)=n＋1/2＾nだから
これにnをかける
- 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 01:54:54 ]
- すまんかんちがい
- 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 21:36:12 ]
- >>365
数行でサクッとは無理だが…
n! = ∫[0,∞) exp(-x)･x^n dx = ∫[0,∞) f(x)dx, (オイラーの積分)
を使ったものを以下に示す。
まづ f(x) の極大点(x=n)の近くでは正確にしたいので、log(f(x))を x=n のまわりでテイラー展開する。
log(f(x)) = log(f(n)) -(x-n) + n･log(1 + (x-n)/n)
= log(f(n)) -(√n)y + n･log(1 + (y/√n)) (← y=(x-n)/√n: normalize)
= log(f(n)) -(1/2)y^2 + (1/(3√n))y^3 -(1/(4n))y^4 +(1/(5n√n))y^5 -(1/(6n^2))y^6 +……
= log(g(y)),
n! = (√n)∫[-√n, ∞) g(y)dy,
ここに
g(y)= g(0)･exp{-(1/2)y^2}･exp{ (1/(3√n))y^3 -(1/(4n))y^4 +(1/(5n√n))y^5 -(1/(6n^2))y^6 + ……}
= g(0)･exp{-(1/2)y^2}･{1 + (1/(3√n))y^3 -(1/(4n))y^4 +(1/(5n√n))y^5 +[1/(18n) -1/(6n^2)]y^6 + …},
yの偶数乗の項は(-∞, ∞)の積分で近似し、yの奇数乗の項は無視しよう(*)。
I_(2k) = ∫(-∞, ∞) exp(-(1/2)y^2)･y^(2k)･dy = 2∫[0,∞) exp(-(1/2)y^2)･y^(2k)･dy = (2k-1)!!･I_0,
I_0 = I_2 = √(2π), I_4 = 3I_0, I_6 = 15I_0,
これを代入して、
n! ≒ g(0)√(2πn)･{1 +1/(12n) +…} = n^(n+1/2)･√(2π)･exp(-n +1/(12n) +…),
g(0) = f(n) = (n/e)^n,
(*) yの奇関数の積分では、[-√n, √n] の部分が消え、 [√n, ∞) の部分が残る。
∫exp(-(1/2)y^2)･y^3･dy = [ -exp(-(1/2)y^2)･(y^2 +2) ](y=√n, ∞) = exp(-n/2)･(n+2) << 1,
∫exp(-(1/2)y^2)･y^5･dy = [ -exp(-(1/2)y^2)･(y^4 +4y^2 +8) ](y=√n, ∞) = exp(-n/2)･(n^2 +4n+8) << 1,
∫exp(-(1/2)y^2)･y^7･dy = [ -exp(-(1/2)y^2)･(y^6 +6y^4 +24y^2 +48) ](y=√n, ∞) = exp(-n/2)･(n^3 +6n^2 +24n+48) << 1,
これらは、nが大きくなると迅速に減衰するので、無視できると思うよ。
ja.wikipedia.org/wiki/スターリングの近似
mathworld.wolfram.com/StirlingsApproximation.html
mathworld.wolfram.com/StirlingsSeries.html
- 426 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/16(土) 23:02:29 ]
- 原点からの距離が最大、最小となる曲線x^2+xy+y^2=1上の点をそれぞれ求めよ
- 427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 23:06:39 ]
- >>426
そんな単純な計算問題は東大は出さないだろう
- 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 23:07:08 ]
- >417
g(x) = f(x+1) - f(x) とおく。
g(x) + g(x+1) = f(x+2) - f(x) = 0,
題意より f(x)が連続なので g(x)も連続。
もし g(b)≠0, 0≦b≦1 なるbがあったとすると、g(b)g(b+1)<0.
中間値の定理から、g(b+θ) =0, (0<θ<1)
b+θ =a とおく。
∴ f(a) = f(a+1) = f(a-1),
- 429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 23:20:18 ]
- もっと東大らしいの頼む
- 430 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/16(土) 23:40:00 ]
- n,kを正の整数とする. 正四面体OABCに対し,ある頂点にいる動点Pは,同じ頂点にとどまることなく,
1秒ごとに他の3つの頂点に同じ確率で移動する.はじめ点Pは頂点Aに存在する.
(1) n秒後に点Pが,頂点Oを1回だけ通って,頂点Aに戻る確率を求めよ.
(2) n秒後に点Pが,頂点Oをk回通って,頂点Aに戻る確率を求めよ. ただし,2k≦nとする.
- 431 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/16(土) 23:43:57 ]
- >>420
そんな数Ｃの確率やってたら簡単に解けるのに数Ａだけでは難問の問題は出ない
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