- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/07(月) 20:54:04 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
- 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 22:52:20 ]
- >>243
(与式) = (x-a)^3 -3x-1 =0,
x=g(a) が正の実数解ならば、
a = g(a) - {3g(a)+1}^(1/3) = h(g(a)),
ここに
h(b) = b - (3b+1)^(1/3),
は g(a) の逆関数である。
h(b) は単調増加, h '(b) >0 (b>0)
h(b) は下に凸, h "(b) >0 (b>0)
∴g "(a) = h "(b) /{h '(b)}^3 > 0,
- 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/29(火) 23:11:38 ]
- >>180
cos の3倍角公式より
4cos(π/9)^3 -3cos(π/9) = cos(π/3) = 1/2,
したがって
a = 1 + 2cos(π/9) = 2.879385241572… は次式の根。
x^3 -3x^2 +1 =0,
他の2根をb,c とすると
b = 1 + 2cos(7π/9) = -0.532088886238…
c = 1 + 2cos(13π/9) = 0.652703644666…
いずれも絶対値が1より小さい。nが大きいとき
a^n ≒ a^n + b^n + c^n = S_n,
S_n は対称式だから、基本対称式の整係数の多項式である。
基本対称式は 根と係数の関係から、
s = a+b+c =3, t = ab+bc+ca =0, u = abc = -1,
S_0 =3, S_1 =s, S_2 = s^2 -3t, S_n = s*S_(n-1) -t*S_(n-2) +u*S_(n-3),
nについての帰納法により
n≡0,1 (mod 6) のとき S_n ≡ 3 (mod 9)
n≡2,5 (mod 6) のとき S_n ≡ 0 (mod 9)
n≡3,4 (mod 6) のとき S_n ≡ 6 (mod 9)
S_2008 ≡ 6 (mod 9) より,
答え 5.
- 276 名前：274 mailto:sage [2008/01/29(火) 23:20:39 ]
- 274の続き
g "(a) = －h "(b)/{h '(b)}^3 < 0 …… 上に凸.
よって、Jensenの定理より求める式を得ますだ。
- 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/30(水) 00:12:36 ]
- g''(a)が存在することを示せれば、
g(a)^3-3ag(a)^2+3(a^2-1)g(a)-a^3-1=0をaで2階微分し
g(a)>a+1をつかって、直接g''(a)<0がでますね。
- 278 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/30(水) 06:50:08 ]
- 放物線y=ax^2+cは準線に平行に入射してきた光を一点に集束させることを証明せよ
ただし入射角は反射角に等しいことは用いてよい。
- 279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/30(水) 07:08:10 ]
- 準線に平行に入射する方法が分からない。
- 280 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/30(水) 07:09:59 ]
- そうか準線に垂直に入射だな
- 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/30(水) 09:05:57 ]
- そんな有名問題を東大が出すわけがない。
- 282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/30(水) 09:57:47 ]
- >>274
よくこんなの思いつくな。でもこんな問題が入試ででたら誘導つきそう
- 283 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/30(水) 10:32:00 ]
- 陰関数の二階導函数使えば一発やがな
- 284 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/30(水) 10:58:10 ]
- >>282
幾何的に解く方法もありますし，そこまで難問じゃないですよ．
- 285 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/30(水) 15:39:20 ]
- 平面上に正三角形ABCがある．3本の線分AP,BP,CPの長さを3辺にもつ三角形が存在するとき，Pの存在領域を図示せよ(どのような範囲か説明してください)．
- 286 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/30(水) 17:29:20 ]
- 外接円の円周上以外
- 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/30(水) 21:52:03 ]
- >286
外接円とその外部、と言いますだ。
- 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/30(水) 22:00:04 ]
- 思いついたので書いてみます。どこかの大学で既出な気がしますが。
関数列f_n(x)を、次により定める。
f_0(x)=logx
f_n+1(x)=∫f_n(x)dx （ただし、積分定数は0とする）
f_nを求めよ。
- 289 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/30(水) 22:31:43 ]
- nは正の整数とする．xy平面上にA(0,0),B(2^n,0),C(2^n,1),D(0,1)を4頂点とする長方形の紙がある．
この紙を直線x=2^(n-1)が折り目となるように谷折りにして新たな長方形をつくる．
この新たにできた長方形を直線x=2^(n-2)が折り目となるように谷折りにして新たな長方形をつくる．
このようにして，k回(k=1,2,…,n-1)折ってできた長方形をx=2^(n-k-1)が折り目となるように谷折りにして新たな長方形をつくっていく．
そして，n回折った後に紙を元通りに広げると，山型の折り目がついている箇所と谷型の折り目がついている箇所ができる．
(1) 谷型の折り目の個数をnで表せ．
(2) 3以上の任意のnにおいて，x=i,i+1,i+2,i+3(1≦i≦2^n-4)における折り目がすべて同じ形となるような整数iは存在しないことを示せ．
- 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/30(水) 23:03:46 ]
- 本番で出たら、問題冊子のメモ部分が蛇腹な人が続出だな
- 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/30(水) 23:33:57 ]
- >>289
東大っぽくて面白いけど問題用紙折ったら答え分かっちゃうね
論証難しそうだけど
- 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/31(木) 01:09:07 ]
- >>289
こういう問題が好きだ。
ただ、ケチをつけると、紙を何回も何回も折るというのは非現実的で、
「無理だろｗ」って突っ込みたくなる。
「ただし、紙の厚みは無視でき、紙は何回でも折ることができるものとする。」
みたいな注意書きがつきそう。
- 293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/31(木) 08:51:58 ]
- >>285
一般の三角形で計算しようとしたらわけわからない３痔曲線の地獄が待っていただけだった
- 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/31(木) 21:39:57 ]
- >288
思いついたので解いてみます。どこかのスレで既出な気がしますが。
f_n(x) = (1/n!)(x^n){log(x) - (1 +1/2 + 1/3 + …… + 1/n)},
- 295 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/01(金) 00:24:23 ]
- みんな新数学演習やってるか？
- 296 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/01(金) 12:50:14 ]
- やったけどやる必要なかった気がする
- 297 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/01(金) 14:41:23 ]
- sin【A（n）】＝A（n＋1）、A(1)＝sin【θ】とするとき
limA(n) （n→∞）を求めよ。
- 298 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/01(金) 15:11:39 ]
- >>297
0
宿題？
- 299 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/01(金) 15:44:06 ]
- >298
証明は?
- 300 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/01(金) 15:49:28 ]
- Integrate[{30-5*exp(-t)}^(-1.5),t]
の積分の解法を教えて下さい。。。
- 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/01(金) 16:34:43 ]
- >>299
|x|≧|sinx|を利用
下に有界
簡単杉で東大じゃでねー
- 302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/01(金) 18:53:27 ]
- 極限値が存在するから x = sin x って高校の範囲でやっていいんだっけ？
- 303 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/01(金) 19:06:23 ]
- ほぼ黙認状態じゃね？
大数も堂々と使ってるし
- 304 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/01(金) 20:30:11 ]
- 新数学演習の整数問題半分くらいじりきでとけないんだが(泣)
- 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/01(金) 20:38:14 ]
- >>304
慣れだ慣れ。知識が増えてそれが繋がって新しい結果が生み出せる
- 306 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/01(金) 20:57:43 ]
- >>289 ﾏﾀﾞｰ？
- 307 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/01(金) 21:49:23 ]
- ラマヌジャンの1729の証明って出来ますか？
- 308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/01(金) 22:17:40 ]
- このスレの住人ができるはずがない・・・
Λ＿Λ . . . .: : : ::: : :: ::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::
/:彡ミ゛ヽ;）ー､ . . .: : : :::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::
/ :::/:: ヽ、ヽ、 ::i . .:: :.: ::: . :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
/ :::/;;: ヽ ヽ ::ｌ . :. :. .:: : :: :: :::::::: : ::::::::::::::::::
￣￣￣（_,ノ ￣￣￣ヽ､_ノ￣
- 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/01(金) 22:35:38 ]
- 1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3 とかいう話？
- 310 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/01(金) 23:02:54 ]
- それですそれ!!
証明って出来ますか？
因みに二通りの二つの立法の和で表せる最初の数らしいです。
- 311 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/01(金) 23:32:29 ]
- 計算オタクのラマヌジャンの証明をこの板のレベルに求めるかよ
- 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/01(金) 23:36:21 ]
- 91 = 6^3 + (-5)^3 = 4^3 + 3^3 は？
- 313 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/02(土) 00:23:37 ]
- >>310正のがぬけてた
- 314 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/02(土) 00:31:23 ]
- いろんな奴からきくんだが新数学演習完璧にしたら東大八割はいけるのかな？
まだｾｸｼｮﾝ3と1と2と15だけやってないんだが1をきょうやってて失望した(笑)
- 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/02(土) 00:38:36 ]
- 完璧にしたらたぶん8割いけるよ～
逆に言えば、8割取れたら、それは完璧にしたという証だｗ
- 316 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/02(土) 00:43:34 ]
- >>314
俺も初めて見たときは泣きそうになった
- 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/02(土) 02:52:19 ]
- １＾２＋２＾２＋・・・＋ｎ＾２が平方数となる１以外の自然数ｎをすべて求めよ。
- 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/02(土) 19:09:36 ]
- 新数演なんて難しいわけではないでしょ。
それに東大も後期はともかくとして前期はそれほど難しいわけではないだし、8割は余裕だろ
- 319 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/03(日) 02:09:22 ]
- 『任意の自然数nがあるとき、それが奇数ならば2m-1（m≧1）をかけ1を足し、
偶数なら2で割る。この操作によって数列は有限回のうちに1に到達する。』
以上の命題がm≧3の時は成り立たないことを証明せよ。
- 320 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/03(日) 05:30:41 ]
- >>314
昔はもっと難しい新作理系なんらたってのがあった
当時新数学演習は標準レベル扱い
- 321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/03(日) 13:55:14 ]
- >>300
1 - (1/6)exp(-t) = v^2 とおくと dt ={2v/(1-v^2)}dv,
(与式) = {1/(30√30)}∫2/{v^2(1-v^2)} dv
= {1/(30√30)}∫{2/v^2 + 2/(1-v^2)} dv
= {1/(30√30)}∫{2/v^2 + 1/(1+v) + 1/(1-v)} dv
= {1/(30√30)}{-2/v + log|(1+v)/(1-v)| } +c,
ここに v = √{1-(1/6)exp(-t)}.
- 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/03(日) 19:06:40 ]
- 実際問題理Ⅲでなければ半分も取れたら受かる（他が普通にできればの話だが）
東大に限っては数学はそこまで重要ではない
京大東工大などでは理系の最重要科目なんですが
- 323 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/03(日) 20:21:08 ]
- 自分理科三類志望なんでwwちなみに国語がしんでますwww
- 324 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/03(日) 20:22:13 ]
- 新作理系なんたらってのは今うってないのですか？
- 325 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/03(日) 20:29:31 ]
- >>319
それ、解決されている問題なのか？
- 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/04(月) 01:38:52 ]
- >>324
売ってません。
- 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/04(月) 11:23:08 ]
- >>307,309
fortranか何かでコードを書いて虱潰しに調べれば出来るのでは？
1から1728まで調べればいいのですから。
- 328 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/04(月) 18:17:53 ]
- 悔しいけどそれで出来そうだね
- 329 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/02/04(月) 18:30:03 ]
- n，p，qは正整数であり，p，q，pqは平方数ではないものとする．f(x)はxについてのn次の整数係数多項式であり，方程式f(x)=0は√p+√q+√(pq)を解にもつ．このとき，nの最小値を求めよ．
- 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/04(月) 21:26:03 ]
- >>327
自分の手でやってもたいして時間はかからない
- 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/04(月) 22:36:15 ]
- x^3+y^3 = z^3+w^3 の一般解を求めろっつうんじゃないの？
ラマンヌジャンはそこまでやってないだろうけど。
- 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 00:49:50 ]
- >>329
4次。理由も容易。馬鹿大クラス。
- 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 00:55:26 ]
- えー
- 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 01:30:00 ]
- >>329
x=√p+√q+√(pq)を根に持つ多項式の一つは
g(x)=(((x^2)+pq-p-q)^2)-4pq(x-1)^2で与えられる
g(x)=0の解はx=√(pq)±|√p-√q|, -√(pq)±(√p+√q)であるが
p，q，pqは平方数ではないのでg(x)=0の解は全て無理数である
従ってg(x)は有理数係数の一次式を因数に持たない・・・(*)
他方、g(x)は整数係数の四次の多項式である・・・(**)
(*)と(**)からn<4の候補はn=2のみ
しかしg(x)=0の解の中で整数整数の二次方程式の解になるものはない
従ってn≧4となり、nの最小値は4である
- 335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 01:30:41 ]
- >>332
実際東大ででたら今のゆとりは半数が論証できないと思われ
- 336 名前：334 mailto:sage [2008/02/05(火) 01:35:37 ]
- おっと、xの恒等式とみてf(x)=0とすればdeg f = 0 となるな（定義にも依るけど）
f(x)は任意の複素数αに対してf(α)=0となるから、nの最小値は0となるよ
- 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 01:39:55 ]
- >>336
方程式って書いてあるのに恒等式扱いってｗ
- 338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 01:44:24 ]
- 今月の問題 は返答くれないの？
- 339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 01:47:21 ]
- >>337
恒等的に0って意味かとi.e.ゼロの多項式f
- 340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 01:49:43 ]
- 恒等式と多項式と方程式が文脈から判断できない337涙目ｗ
- 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 01:52:56 ]
- おまいら
それ以前にnは正整数だぞ
- 342 名前：334 mailto:sage [2008/02/05(火) 01:58:05 ]
- >>341
見逃してましたありがとうございます
>>337
日本語が不自由でごめんなさい
- 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 02:22:24 ]
- ＞g(x)=(((x^2)+pq-p-q)^2)-4pq(x-1)^2で与えられる
＞g(x)=0の解はx=√(pq)±|√p-√q|, -√(pq)±(√p+√q)であるが
間違い。
＞p，q，pqは平方数ではないのでg(x)=0の解は全て無理数である
＞しかしg(x)=0の解の中で整数整数の二次方程式の解になるものはない
証明が必要。（整数整数？）
- 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 02:42:16 ]
- >>343
指摘ありがとうございます
正しくは
g(x)=(((x^2)+pq-p-q)^2)-4pq(x+1)^2
x=√(pq)±(√p+√q), -√(pq)±|√p-√q|
ですね。後半は、整数整数は整数係数の間違いで
証明は解と係数の関係から得られます
- 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 04:18:33 ]
- 普通、f(x-1)=0がx=(√p+1)(√q+1)を解にもつことを利用して解くんじゃないか。
- 346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 16:25:57 ]
- >>329
p=q=2の時、n=2
- 347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 17:18:14 ]
- pqは平方数じゃない
- 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 18:34:52 ]
- 問題読まないやつ多いな
- 349 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/05(火) 18:36:41 ]
- ゆとり
- 350 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/02/06(水) 15:24:52 ]
- a，b，cを
a=x+y+z
b=x^2+y^2+z^2
c=x^3+y^3+z^3
と定める．絶対値が1より小さい任意の実数の組(x,y,z)に対して，以下の不等式が成り立つことを示せ．
|a^3+6a-3ab+2c|＜3|a^2-b+2|
- 351 名前：アナーキスト こん [2008/02/07(木) 02:18:12 ]
- ふつーに 解と係数の関係とたんてんの条件ででできるんじゃ？
あと理系の掲示板でみたんだがこれは恐らく入試にでるかもです
δX／δt=９X＋10yかつ
δy／δt=-３X-2yであるとき X yの方程式をもとめよ
- 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 02:34:13 ]
- >>302-303
B(n) = 1/{A(n)}^2 とおいて、B(n)→∞ を示す。
|A(n)| < |A(n-1)| < …… < |A(2)| < |A(1)|≦1, (狭義の単調減少),
ところで
sin(x) < x -(1/6)x^3 +(1/120)x^5 < x -(19/120)x^3, (x>0)
sin(x)^2 < x^2 -(19/60)x^4 +(1/30)x^6 < x^2 -(17/60)x^4,
よって A(n)=a とおくと
B(n+1) - B(n) = 1/{sin(a)^2} -1/a^2
= {a^2 - sin(a)^2}/{a^2･sin(a)^2}
> {a^2 - sin(a)^2}/a^4
> 17/60,
B(n) > B(1) +(17/60)(n-1) →∞ (n→∞)
∴ A(n) → 0 (n→∞)
でいいかな？
- 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 10:09:02 ]
- >>352
マクローリン使った不等式持ち出した時点で
高校生らしくなくなっちゃうな
- 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 10:15:47 ]
- >>351
京大ではでても東大はでないな
- 355 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/07(木) 17:56:04 ]
- >>352
ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
r'ﾆ;v'ﾆ;､
ﾃﾞｯﾃｲｳ _,!ﾟ ) iﾟ ) .iヽ ﾃﾞｯﾃｲｳ ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
r=､r=､ ／ ｀ヽ,. ┘ ヽ ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
ﾃﾞｯﾃｲｳ ,､ ,､ .__{ﾟ _{ﾟ _} i ′′ }
, - (ﾟ(ﾟ )）> /´l r ｀'､_,ﾉi、 l、 ､ ,! ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
r-=、（ '' ,r'⌒ﾞｉ>_{ ) ヽ.＿___,ノ` 、 ! ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
｀ﾞゝヽ､ヽー´ ,,ノ::｀`､ _.r（_ ﾉﾞ`ｰ. ヽ,.┬/ | /7 ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
にｰ `ヽ､_ ／::::::::ｨ"^ﾞﾘ-r _,,ﾉ ,. lー' /ﾆＹ二ヽ ﾃﾞｯﾃｲｳ
,.、 ｀~iヽ､. ｀~`''"´ ﾞt （,,￣, frﾉ ｀ｧ-‐ /( ﾟ )( ﾟ ）ヽ
ゝヽ、__l::::ヽ｀iー- '''"´ﾞi, ヽ ヽ,/ / ／⌒｀´⌒ ＼ ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
W..,,」:::::::::,->ヽi''"´::::ノ-ゝ ヽ､_ﾉｰ‐ﾃ-/ i | （-、 |
￣r＝=ミ__ｨ'{-‐ﾆ二...,-ゝ、'″ ／,/｀ヽl , ヽ＿＿＿ノ | ト- :、
lﾐ､ ／ f´ r''/'´ミ)ゝ^),ノ>''" ,:ｲ`ヽ | |r┬ー| l ,/;;;;;;;;;;;;｀ﾞ
! ヾ .il l l;;;ﾄ､つノ,ノ ／ ／:ﾄ-"∧ l | / /／;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
. l ハ. l l;;;;i _,,.:イ / ／ ,ﾚ''";;;;;ヾ二,-;;´;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
人 ヾﾆﾞi ヽ.l yt,;ヽ ﾞv'′ ,:ｨ" /;;;;;;;;;;;;;;r-'"´｀i,;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
r'"::::ゝ､_ﾉ ﾞi_,/ l ヽ ﾞ':く´ _,,.〃_;;;;;;;;;;;;f´' ll;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
｀￣´ ／ l ヽ ヾ"／ ｀ﾞ''ーハ. l;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
／ l ﾞt `' ／^t;＼ ,,.ゝ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
- 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 18:07:26 ]
- πのやつがでたしそろそろ
eが2.7より大きいことを示せ
が出てもいいころ
- 357 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/07(木) 18:33:09 ]
- e絡みは積分で何年か前の東大の第６問で出たな。2.7ではなかったけど
- 358 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/07(木) 20:58:10 ]
- マクローリンの式途中まで持ち出してやるしかないんじゃね
他になんか上手い方法あるの？
- 359 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/07(木) 21:40:09 ]
- >>350
示すべき不等式を整理すると
|xyz+x+y+z|<|xy+yz+zx+1|
を示せばよいことがわかる。
条件より(x^2-1)(y^2-1)(z^2-1)<0なので
{(x+1)(y+1)(z+1)+(x-1)(y-1)(z-1)}^2<{(x+1)(y+1)(z+1)-(x-1)(y-1)(z-1)}^2
よって(xyz+x+y+z)^2<(xy+yz+zx+1)^2となるので
問題の不等式も示される
- 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 23:01:28 ]
- >>358
sin(sinx)≦sinxより下に有界だから
sinα=αよりα=0
- 361 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/02/07(木) 23:11:21 ]
- 私も>>360と同じ答案にしますね．マクローリン使って挟むのは高校範囲外ではありませんが，誘導がない限りは使いません(逆に言えばこの問題は入試では誘導をつけるべき)．
- 362 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/02/07(木) 23:11:57 ]
- nを正の整数として，f(n)を以下のように定める．
(i) nが奇数のとき
f(n)=n(n-2)(n-4)…*3*1
(ii) nが偶数のとき
f(n)=n(n-2)(n-4)…*4*2
このとき，以下の極限値を求めよ．
lim[n→∞]{f(3n)f(n)/(f(2n))^2}^(1/n)
- 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/08(金) 08:22:05 ]
- 以下が正しければそれを証明し、誤っていれば反例を挙げよ。
a を正の実数として、関数 f:R→R が
f(0)=0,
0＜f(x)＜x (0＜x≦a)
を満たす。
数列 a[n] を
a[0]=a,
a[n+1]=f(a[n]) (n≧0)
で定義するとき、
lim[n→∞]a[n] = 0。
- 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/08(金) 09:47:19 ]
- >>363
f(x)を，
・0≦x≦1 のとき f(x)＝0
・1＜x≦2 のときは，1+2^(-n-1)＜x≦1+2^(-n) を満たす整数 n を用いて f(x)＝1+2^(-n-1)
・x＞2 のときは，f(x)＝2
と定義すると，f(0)=0，0＜f(x)＜x (x>0) を満たす。
a = 3/2（ = 1+2^(-1)）とおくと，
a[1] = 1+2^(-2)
a[2] = 1+2^(-3)
・・・
a[n] = 1+2^(-n-1)
となるので，lim[n→∞]a[n] = 1
- 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/08(金) 11:13:25 ]
- >>362
f(2k)=2^k k!、f(2k+1)=(2k+1)!/f(2k)
n = 2k の時
与式 = {(3k)!k!/(2k)!^2}^(1/(2k))
log(与式) = 1/(2k){Σ[i=1 to 3k] log(i) + Σ[i=1 to k] log(i) - 2Σ[i=1 to 2k] log(2i)}
→ 1/2 (∫[0,3]log x dx + ∫[0,1]log x dx + 2∫[0,2]log x dx)
= 1/2 log27/16
∴ 与式 = √27/4
nが奇数のときにも同様に計算。
こういう問題見るとStirlingの公式使いたくなるんだけど、
数行でさくっとStirlingの公式を導いて、答案で使うことってできないかなぁ。
- 366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/08(金) 12:33:25 ]
- 数行でサクッとは無理だな
- 367 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/09(土) 12:06:15 ]
- 正五角形ABCDEの外接円の中心をOとする。
OP<OQ<OR<OS<OT<OAを満たす点P,Q,R,S,Tをそれぞれ
線分OA,OB,OC,OD,OE上のいずれかにとるとき、
五角形PQRSTの面積が最大になるのは
点P,Q,R,S,Tをどのように配置したときか。
- 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 13:20:14 ]
- >>367
最大値は存在しないんじゃないの？
- 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 14:26:55 ]
- 高々30通りしかないから最大はあるだろ。
- 370 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/09(土) 16:34:22 ]
- 等号成立がないから最大はないと思われ
- 371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 16:47:51 ]
- >>367
ゆ・と・り・お・つ
- 372 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/02/09(土) 17:45:10 ]
- xyz座標空間に4点
O(0,0,0)，A(0,-1,-1)，B(1,0,-1)，C(0,1,0)
があり，直線OA上を点Pが，直線BC上を点Qが動く．m,nを実数定数として，点P,Qのそれぞれのx座標p,qが
m≦p≦m+1，n≦q≦n+1
をみたしながら動くとき，線分PQの動く領域の体積を求めよ．
- 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 21:17:28 ]
- >>372
-1≦m≦0のとき∞
それ以外のとき0
- 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/09(土) 22:35:27 ]
- >>372
Pのx座標がpってPって直線OAはx=0のy-z平面上の点だからx=0じゃないのですか？
上記ｘ座標をｙ座標がっていうのならPQの動く図形は四面体になりますよね。
操作としては
１ Qを固定してPを動かすとPは長さ1の線分lとなり、端点をD,Eとする。
2 lとQを結ぶと△QDEとなりQを動かす。
あとは上記の設定したA,B,Cで計算して終わり。
|
 |
