★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十二問

1 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/04(日) 05:00:00 ] 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で 解ける問題を考えてうぷするスレ。 これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。 関連スレへどうぞ 596 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/26(水) 18:55:31 ] >>595 p,q,rはp+q+r=0をみたす整数の定数，nは正の整数とし，以下の条件全てをみたす整数(x,y,z)の個数をN(n)と表す． 　x+y+z=0 　|x|≦n，|y|≦n，|z|≦n 　|x-p|≦n，|y-q|≦n，|z-r|≦n このとき，極限値lim[n→∞]N(n)/(n^2)を求めよ． たぶんこれでいいはずです． 597 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/26(水) 21:05:25 ] 次の和を簡単にせよ。 (1)Σ[r=0~n]{C[n,r]/(r+2)} (2)Σ[r=1~n]{C[n,r]/r} 598 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/26(水) 21:09:54 ] sinπ+sin(π/2)+sin(π/4)+…+sin(π/2^(n-1))+…=? 599 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/26(水) 22:45:53 ] >>597 (1) x(1+x)^n を二項展開して両辺をx=0〜1で定積分すれば 　(1 + n*2^(n+1))/((n+1)(n+2)) (2) (x-1+1)^nを二項展開して定数項を移項してから両辺をx-1で割ってx=1〜2で定積分すれば 　Σ_[k=1,n](2^k-1)/k 600 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/27(木) 12:10:26 ] >>598 これ本当に求まるのか？ 601 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/27(木) 12:16:57 ] (-1)*(-1)=1 を、納得できるように証明しなさい。 602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/27(木) 12:29:01 ] >>601 (-1)(1+(-1))=(-1)*0=0 (-1)(1+(-1))=-1+(-1)(-1) ∴-1+(-1)(-1)=0 ∴(-1)(-1)=1 603 名前：ＺＥＵＳ [2007/12/27(木) 13:21:57 ] 「音楽は感覚の数学であり、数学は理性の音楽である」 クラシックを聞きながら数学の問題を解くと良い。 604 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/27(木) 13:53:39 ] sin(π/180)は超越数か？ 605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/27(木) 13:56:17 ] 他スレで聞け 606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/27(木) 13:58:08 ] 京大の出題方式をまねただけなのに…（´；ω；`） 答えはNOだとわかってるのに… 607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/27(木) 14:03:08 ] スレタイ読んでから書き込め 超越数なんて高校で習うわけねえだろ 608 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/27(木) 14:17:29 ] ここの住民なら分かると思い省いただけですが 609 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/27(木) 14:30:23 ] 何故このスレの住人はすぐ怒るんですか 短気は損気と言いますよ 610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/27(木) 14:37:07 ] >>609 アホに付き合うほど暇じゃないんだよこっちは 611 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/27(木) 15:52:24 ] pは素数とする． (1) (p+1)^p-1はp^2で割り切れることを示せ． (2) (p+1)^p-1がp^3で割り切れるようなpを全て求めよ． 612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/27(木) 16:40:32 ] >>611 1(p+1)^p-1=�馬=1〜p　pCnp^n　より、p^2 で割り切れる。 2 1のn=3〜以降は全てp^3で割り切れる。∵nCp∈N 　よって1項目+2項目=(1/2)p^2(p^2-p+2)がp^3で割り切れればいい。 (1/2)p^2(p^2-p+2)/p^3=(1/2)(p-1+2/p)∈Z ∴　p=2 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/27(木) 20:20:13 ] a_n={n!^(1/n)}/n このときLim_（n→∞）a_nを求めよ。 614 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/27(木) 21:06:00 ] >>613 1/e 615 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/27(木) 22:51:27 ] 　 　 616 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/28(金) 00:17:48 ] (a+b+ab)^7の展開式におけるa^4b^6の係数を求めよ。 617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/28(金) 00:28:42 ] >>616 140 618 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/28(金) 01:58:09 ] f(x)=log{(1+1/x)^x}とする． lim[x→∞]{f(x+1)-f(x)}x^tが0以外の値に収束するような実数tの値を求め，また，極限値を求めよ． 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/28(金) 02:06:13 ] このスレはすっかり京大入試作問者になったつもりのスレになったね。 620 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/28(金) 02:09:39 ] >>592>>601>>604を見てたら東大でも京大でもないと思うよ 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/28(金) 02:41:37 ] 具体的にはＭＡＳＵＤＡ問のことなんだが。 622 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/28(金) 04:59:47 ] p、q　素数とし、nを自然数とする。 このとき、任意のp,q,nに対し、│p^n-q^n│が素数となることはあるか？ 623 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/28(金) 09:18:58 ] 聞いていることがよく解りません（＞＜） 624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/28(金) 09:38:27 ] p=5,q=3,n=2のとき│p^n-q^n│=16は素数でないので 任意のp,q,nに対し、│p^n-q^n│が素数となることはない 625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/28(金) 10:28:08 ] nを0以上の整数として、 I[n]=∫[0,x]{t^n*e^(-t)}dtとする。 �T　I[n+1]とI[n]の関係式を導け。 �U　a>0のとき、lim[n→∞]{a^n/(n!)}を求めよ。 �V　e^x=Σ[n=0~∞]{x^n/(n!)}を示せ。 626 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/28(金) 11:01:02 ] >>619 予備校では京大対策をメインでやってましたから．それに私は東大っぽい問題ではあまり難問がつくれないので出しても面白くないと思いますよ． 627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/28(金) 11:44:47 ] >>596 >>611 どう見ても京大チック 628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/28(金) 11:50:26 ] >>625 ありきたりすぎる 冬休みの宿題か？ 629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/28(金) 12:15:16 ] >>618 t=2で1/2に収束 630 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/28(金) 13:03:38 ] 京大チックな問題って何だろ？素数を好んで使う問題とか？ 631 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/28(金) 13:04:14 ] >>627 >>611はモロに京大ですが，>>596は東大チックにしたつもりですが．97年後期１番を真似た問題なんですけど． >>629 御名答． 632 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/28(金) 13:04:54 ] あー，>>631は私です． 633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/28(金) 23:11:16 ] 東大の問題ってさ、何つうか、あまり抽象的じゃないんだよね。 同じ整数の個数数えさせるのでも、京大は不等式で出すし、東大は座標の格子点で出す。 象徴的な言い方をすればそういうことだ。 それに東大は一般的な状況ではなく、特殊な状況、 特に、解答が美しく推移するように数字や式が操作されている。 その事実はMASUDAさんも認識しておられると思うけど。 634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/28(金) 23:16:04 ] xy座標平面上における半径r(＞0)の円の面積をS(r)とし、 その円内の格子点の個数をN(r)とする。このとき、 　　lim[r→∞]S(r)/N(r) を求めよ。 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/28(金) 23:18:43 ] いつだったかの、ベクトルの和が3進法とからんでる問題は面白かったな。 願わくば、図形問題なんだけど、三角関数や座標使って立式したらあとは3次方程式の解の配置定数分離型、とか、 点が空間を移動して、距離の最小値を求めるんだけど、実は線形計画法、とか、 ベクトルを1次変換で移動させて極限を求めるんだけど、実は区分求積、とか、 トランプゲームの戦略を考えてるんだけど、実は格子点の個数、とか、 そういう問題作ってください！ あと、益田塾の大学別模試とかオリジナル問題のアーカイブ作ってください！ 636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/28(金) 23:56:24 ] >>634　 　グラフは原点対象だから、y≧1を考える。 　x=t∈N上の格子点の数は 　[√(r^2-x^2)] 　よって,y≧0の格子点の数をN+(r)とすると 　∫-r→ｒ√(r^2-x^2)-1dx＜N+（r）＜∫-r→ｒ（√(r^2-x^2)）dx 　πr^2/2-2r＜N+（ｒ）＜πr^2/2 同様にπr^2/2-2r＜N-（ｒ）＜πr^2/2 また、y=0での格子点の個数N0（ｒ）は 　2r-1<N0(r)<2r+1　よって以上より 　πr^2+A(r)<N(r)<πr^2+B(r) A,B;1次の多項式。 　一方S(r)=πr^2 よってlim[r→∞]S(r)/N(r)＝１ 637 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/29(土) 00:08:52 ] >>636 円は原点中心とは言ってないよ 自由に動けるんだよ そこをどう処理するか 638 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/29(土) 00:16:44 ] 平面H[1]，H[2]があり，2平面のなす角の大きさはπ/3である．また，平面H[1]，H[2]の上にそれぞれ放物線C[1]，C[2]があり，それぞれの焦点距離は1である．2つの放物線C[1]，C[2]が互いの焦点を通過するとき，C[1]上の点をP，C[2]上の点をQとして，線分PQの最小値を求めよ． 639 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/29(土) 00:18:55 ] >>638訂正 × 2つの放物線C[1]，C[2]が互いの焦点を通過するとき ○ 2つの放物線C[1]，C[2]のそれぞれの頂点が互いの焦点に一致するとき 640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/29(土) 00:21:15 ] >>637　円の中心がずれたところで、格子点の数の変化量は高々4πｒ個 　よってやはり1に収束するとわかる。　■ 641 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/29(土) 00:25:57 ] >>637 N(r-1)≦N(r)≦N(r)+2r+1 ではさむ 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/29(土) 00:40:04 ] どうやら>>634は簡単すぎたようだな 643 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/29(土) 07:39:34 ] 微分係数の定義を述べよ 644 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/29(土) 09:52:09 ] >>643 まわりくどい 微分の定義を述べよでいいだろ 645 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/29(土) 16:52:07 ] 実数xを x=lim[n→∞]Σ[k=0,n](1/10)^(2^k) とする． (1) xが無理数であることを示せ． (2) x^2が無理数であることを示せ． (3) mを正整数として，x^mが無理数であることを示せ． 646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/29(土) 16:52:41 ] >634,637 各格子点(m,n)に、正方形領域 D_(m,n) = {(x,y)| m-1/2<x<m+1/2, n-1/2<y<n+1/2} を対応させる。 半径rの円内に格子点がN(r,O)個ある。(rは半径、Oは中心の位置) これらのDを合併した図形をGとする。 G は半径 r+(1/√2) の円に含まれ、半径 r-(1/√2) の円を含むから、 　S(r-1/√2) ≦ N(r,O) ≦ S(r+1/√2), 平面なので　S(r) = πr^2, 647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/29(土) 17:01:06 ] >>645(3) x^m=(lim[n→∞]Σ[k=十分大,n](1/10)^(2^k))^m が、循環しない無限小数だから。 (4)xが超越数であることを示せ。 648 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/29(土) 17:23:09 ] 超越数が好きな人が多いですね 649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/29(土) 17:34:02 ] a^(1/3) + b^(1/3) < c^(1/3) a, b, cと整数と四則演算のみでできた、この式と同値な式を求めてください。 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/29(土) 17:50:33 ] 27abc<c-a-b 651 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/29(土) 18:03:32 ] >>647 証明になってません． ちなみに超越数は高校範囲外です． 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/29(土) 18:11:17 ] >>650 慌てずに落ち着いて。 653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/29(土) 18:31:41 ] >>650 餅つけ、兄者。 　27abc < (c-a-b)^3, 恒等式 　(-A)^3 +(-B)^3 +C^3 -3(-A)(-B)C = (C-A-B)M, 　M = (-A)^2 +(-B)^2 +C^2 -AB +BC +CA = (1/2){(A-B)^2 +(B+C)^2 +(C+A)^2} >0, より、 　(-A)^3 +(-B)^3 +C^3 -3(-A)(-B)C >0　⇔　C-A-B >0, 654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/29(土) 19:11:43 ] >>647 加法定理を示せって問題で「加法定理より成立」って答えるのと一緒だなwww 655 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/29(土) 23:50:06 ] MASUDA ◆5cS5qOgH3M って、 83.xmbs.jp/checkmath/ か？ 656 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/30(日) 00:08:39 ] >>655 まあ実際ニュー即の影響力は馬鹿には出来ないよ ねらーの中でも特にニュー速民は匂いが違うしな。 何というか…”本質”みたいな物が見えているよね、ニュー速民は… 657 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/30(日) 00:22:14 ] >>656 何それ？ 658 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/30(日) 00:37:46 ] 馬鹿が釣れた 659 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/30(日) 01:18:48 ] >>645 そもそも右辺の無限級数が収束することを言及せずに実数として扱っているのは欠陥問題。 660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 01:22:00 ] >>659 661 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/30(日) 01:30:15 ] >>659は>>647か？ 662 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/30(日) 01:35:11 ] >>659 なるほど．では「収束を保証した」ものとして考えてください． 663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 01:39:12 ] >>659 いちいち書くほどのことか？ 664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 01:47:09 ] ＞「収束を保証した」 証明せずして保証するのは東大らしからぬ欠陥問題だな 665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 01:50:22 ] いま高校では収束正項級数の部分級数は収束する、ってやらんのか？ 666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 02:05:00 ] S=Σ[n=1,∞] (-1)^n　とする。 Sが実数ならば、有理数か無理数かを証明せよ。 Sが実数でないならば、それを証明せよ。 667 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 02:05:12 ] >659 　a_n = Σ[k=0,n] (1/10)^(2^k), とおく。　2^k ≧1 だから 　a_n < Σ[n=1,∞) (1/10)^n = 1/(10-1),　　　…上に有界 　a_n は明らかに 単調増加。 　a_n は上に有界な単調増加列だから収束する。 高木: ｢解析概論｣ 改訂第3版, 岩波書店, 第1章, §4, 定理6, p.8 (1956) 668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 02:05:36 ] >>659 収束するのはほとんど自明だろ 669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 02:17:00 ] >>666 S[n]=�納k=1,n](-1)^kとすると、 任意のmに対して S[2m]-S[2m-1]=(-1)^(2m)=1だから S=lim[n→∞]S[n]は収束しない したがって、Sは実数としては定義できない 670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 02:35:17 ] 話変わるけど、｢加法定理の証明｣ってどうなんだろね。 ｢高校の教育課程に則った証明｣をさせたいというのはわかるけど、それは｢数学的｣じゃ無い気がしてならない。 671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 02:37:48 ] 受験テクニックばかりに走って学校で習う基本的なことがないがしろになってないかが 確かめられればそれでいいんじゃね 672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 02:39:16 ] 教科書に載ってる事項の証明も意外と良問だと思う x^nの微分がnx^{n-1}であることを示せとか 点と直線の距離の公式を証明せよでも通用すると思う 673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 02:40:01 ] 2^k>=1+k. 674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 02:43:07 ] >>666　数列の極限が0に収束しない時点で級数は収束しない。アホ。 675 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 02:44:11 ] >>672　nを実数まで拡張したらなかなかの難問だな。 　大学生でもできないかもしれない。 676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 02:53:52 ] >>674 釣れますか？ 677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 03:03:04 ] それは何かの反撃になっているのか？ 678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 04:38:51 ] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∩＿＿＿∩ 　　　　　__ _,, -ー ,, 　　　　　　　　　　　 / ⌒　　⌒ 丶| 　 　 今、どんな気持ち？ 　 　 　 (／　　　"つ`..,：　　　　　　　　　(●)　　(●) 　丶 　　　　 　 ねぇ、どんな気持ち？ 　　　：/　　俺 　　　:::::i：.　　　　　　　 ミ 　(_●_ )　　　　| 　　　：i　　 　　　 　─::!,, 　　　　ﾊｯ　　ミ ､ 　|∪|　　　　､彡＿＿__ 　 　 　ヽ.....::::::::: 　::::ij(_::●　　　　ﾊｯ 　　　/ ヽノ　 　 　　＿＿＿/ 　 　 r "　　　 　.r　ミノ~.　　　　　　ﾊｯ　　　〉 ／＼　　　　丶 　　：|::|　　　　::::|　:::i ﾟ。　　　　　　　　　　　￣　　　＼ 　　　丶 　　：|::|　　　　::::|　:::|：　　　　　　　　　　　　　　　　　　＼ 　　丶 　　：`.|　　　　::::|　:::|_：　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　/⌒＿） 　 　：.,'　　　　::（　　:::}：　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　}　ﾍ　/ 　　 ：i　　　　　　`.-‐"　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　J´ （（ 679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 10:41:37 ] なんか変な奴が混じってるな>>664>>666>>670 さすが冬休み 東大が加法定理証明だしたんだからさ、 このスレでそれを数学的とか議論することじゃない 680 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/30(日) 10:48:54 ] たぶん>>659>>664は>>647と同じやつ 解き方わからんくてますだごときにつっこまれたと逆ギレ 681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 11:04:14 ] と、名無しの増田さんがおっしゃっております 682 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/30(日) 11:10:07 ] このスレ年末はにぎやかなのになんでクリスマスに誰もこなかったんだよ 寂しかったじゃまいか 683 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/30(日) 11:49:48 ] >>664 なるほど．じゃあ lim[n→∞]Σ[k=0,n](1/10)^(2^k)が収束することを示せ を加えれば満足ですか？ ちなみに東大は「保証する」という明確な言葉は使いませんが，収束が自明であるとして収束性に触れていない問題は出題しています． 684 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/30(日) 11:54:44 ] 以下の等式をみたす正の整数mが存在するような正整数nを全て求めよ． m^n+(5m+13)^n=(m+5)^n+(5m+12)^n ついでに>>683は私です． 685 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/30(日) 11:55:43 ] >>683 例えば何年度の何番の問題ですか？ 686 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/30(日) 12:13:55 ] 問題文中で「○=lim△とする」という問題ならそこそこあります． 今手元に過去問がないので問題番号までは覚えてませんが，91年あたりを見ていただければ． 687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 12:34:53 ] >>686 91年6番、94年4番、00年3番あたりですかね。 688 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 12:51:18 ] xyz空間において、xy平面上に点Aを、z軸上に点Bをとる。 Oを原点、aを正の実数とし、OAとx軸とのなす角を2θ、ABとxy平面のなす角をθ、 AB=aθに対し、θを0≦θ≦π/2の範囲で動かす。 このとき、ABが作る曲面とy=z=0に囲まれてできる立体の体積を求めよ。 689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 13:00:17 ] >>107 　p[1] = 2 = q[1], 　p[2] = 3 = q[2], 　p[2k+1] ≧ 6k-1 = q[2k+1], 　p[2k+2] ≧ 6k+1 = q[2k+2], でq[n]を定義する。 　Σ[k=3,n] 1/q[k] = (1/5 + 1/7 + 1/9 + …… + 1/q[n]) − {1/9 + 1/15 + …… + 1/(3r[n])} 　　= (1/2)(2/5 + 2/7 + 2/9 + …… + 2/q[n]) − (1/6)(2/3 + 2/5 + …… + 2/r[n]), 右辺第1項は5〜q[n]の奇数を亘り、第2項は6j+3型の奇数(<q[n])を亘る。 ここに q[n] = 3n-4 -{1+(-1)^n}/2,　r[n] = 2･[(n-1)/2] -1, ところで、y=1/x は下に凸だから, 　2/5 + 2/7 + 2/9 + …… + 2/q[n] ≦ ∫[4,1+q[n]] (1/x)dx = log{(1+q[n])/4}, 　2/3 + 2/5 + …… + 2/r[n] ≧ (1/3) + ∫[3,r[n]] (1/x)dx + 1/r[n] = (1/3) + log(r[n]/3) + 1/r[n],　… rについて単調増加 よって 　Σ[k=3,n] 1/q[k] ≦ (1/2)log{(1+q[n])/4} -(1/18) -(1/6)log(r[n]/3) -1/(6r[n]), ここで r[n] = 2･[(n-1)/2] -1 ≧ n-3,　q[n] ≦ 3n-4 を使うと, 　Σ[k=3,n] q_k < (1/2)log{3(n-1)/4} -(1/18) -(1/6)log{(n-3)/3} + 1/(6(n-3)) 　< (1/2){log(3n/4) -1/n} -(1/18) -(1/6){log(n/3) -3/(n-3)} + 1/(6(n-3)) 　= (1/2)log(3n/4) -1/(2n) -(1/18) -(1/6)log(n/3) +1/(3(n-3)) 　≦ (1/2)log(3n/4) -(1/18) -(1/6)log(n/3) 　= (1/3)log(Cn) 　< (1/3)log(n), 　C = (9/8)exp(-1/6) = 0.95229194… <1, 本年もお世話になりますた。それでは皆様、よいお年を…… 690 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/30(日) 14:05:24 ] >>687 たぶんそのあたりです．94年はちょっと覚えてませんが． 691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 14:09:25 ] 導関数を用いて m+nC2=mC2+mC1×nC1+nC2 を証明せよ。 692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 14:26:38 ] >>691 「〜を用いて」という表現は東大でもたまにあるが 用いた解法以外がとても思いつくのは困難であると 推測される問題に対する大学側の教育的配慮。 お前の問題は見るなり式変形が頭に浮かぶ問題だし それであっさり解けることを考えると欠陥問題というか悪問。 それともあれか？ 「こんなの見つけたぜ、俺すごいだろ？」 っていうぼくちんイオナズンか？ 693 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 14:30:33 ] ↑みたいにいちいち突っかかる香具師って何なの？ 空気嫁 694 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/30(日) 14:34:57 ] >>693 冬休みだからな クリスマスあたりから変な出題者が何人かいるし変に突っかかる奴も何人かいる 夏休みもこんな感じだったよ 695 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 14:35:41 ] >>693 別におかしくないだろ こういう指摘をしていかないと悪問がますます多くなる もしかして691が良問と思ってんの？ 696 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 14:41:50 ] >>693=>>691なだけだろ 空気読めって、空気読んでない出題してて言うセリフかよｗ 697 名前：693 mailto:sage [2007/12/30(日) 14:53:36 ] >>692は突っ込みだけならいいものを 最後の三行は不要ってことだよ ちなみに俺は>>691でもないし、良問とも思ってない 698 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/30(日) 14:59:35 ] >>691はたかだか２次の恒等式ですから「導関数を用いて」はあまりいい出題ではないですな． でも拡張して式変形ではなかなか解けないような問題に作り変えて導関数で解かせるようなうまい誘導をつければかなり面白い問題になるかと． 699 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 15:30:27 ] 二項係数C[n,k]として C[n,k]*C[n,k+1]≡0 (mod n)　を証明せよ。 700 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/30(日) 15:40:23 ] k=0のとき C[n,k]*C[n,k+1]=n≡0 k=n-1のとき C[n,k]*C[n,k+1]=n≡0 1≦k≦n-2のとき C[n,k]*C[n,k+1]={n^2/k(k+1)}C[n-1,k-1]*C[n-1,k] ∴n^2/k(k+1)≡0をいえばよい n^2はk(k+1)の倍数だが、k+1≦nであり、またkとk+1は互いに素だからn^2/k(k+1)はnの倍数 ■ 701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 15:45:01 ] n=3. k=1. n^2/k(k+1)=9/2. 702 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/30(日) 15:56:10 ] >>701 指摘�dっす n^2/k(k+1)はnの倍数 　↓ {n^2/k(k+1)}C[n-1,k-1]*C[n-1,k]はnの倍数 703 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/30(日) 15:59:16 ] >>701 ？ 704 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/30(日) 16:00:42 ] ごめん、そーいうことか 705 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/30(日) 16:40:47 ] >>704 死ねよｗ 706 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 16:48:55 ] >>702 その前が間違ってるんだから無意味な変更だな 707 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/30(日) 17:15:27 ] >>706 全部書き直すのが面倒だから省いただけなんだけどね よーするに n^2とk(k+1)の公約数がn以下だと言いたいわけ 708 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/30(日) 17:34:52 ] 1000＜2^10＜1250であることを用いて以下の問いに答えよ． (1) 8^8の桁数を求めよ． (2) 8^(8^8)の桁数をmとする．mの最高位の数を求めよ． 709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 18:05:36 ] >>707 6^2と3(3+1)の公約数12が6以下だと言いたいわけね 710 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 18:09:56 ] >>707 例えばn=pq (p>>qは素数), k=q^3.とすると {n^2/k(k+1)}C[n-1,k-1]*C[n-1,k]={p^2/q(q^3+1)}C[pq-1,q^3-1]*C[pq-1,q^3] だから,後ろ２つのに項係数も考えないとまずいのでは？ 711 名前：707 [2007/12/30(日) 18:41:00 ] >>709 >>710 マジだorz やり直してくる 712 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/30(日) 19:55:50 ] アホワロスｗ 713 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/30(日) 20:45:25 ] A[n]=Π[k=1,n]{1+4(cos(kπ/(2n+1)))^2}/{1+4(cos(kπ/(2n+2)))^2}　とする。 (1)　A[3]及びA[4]を求めよ。 (2)　lim[n→∞]A[n]を求めよ。 714 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/30(日) 21:52:29 ] 連乗積は高校範囲外だが 715 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/30(日) 22:05:40 ] >>714 まあまあそれくらいは許してやれ 出題する側になればわかるが、数式打ち込みはかなり面倒なんだよ 716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/31(月) 00:00:00 ] （ｋ＋１）（ｎ　ｋ）（ｎ　ｋ＋１）＝ｎ（ｎ　ｋ）（ｎ−１　ｋ）。 ｋ（ｎ　ｋ）（ｎ　ｋ＋１）＝ｎ（ｎ−１　ｋ−１）（ｎ　ｋ＋１）。 （ｎ　ｋ）（ｎ　ｋ＋１）＝ｎ（（ｎ　ｋ）（ｎ−１　ｋ）−（ｎ−１　ｋ−１）（ｎ　ｋ＋１））。 （ｎ　０）（ｎ　１）｜（ｎ　ｋ）（ｎ　ｋ＋１）。 （ｎ　０）（ｎ　１）（ｎ　２）｜（ｎ　ｋ）（ｎ　ｋ＋１）（ｎ　ｋ＋２）。 717 名前：691 mailto:sage [2007/12/31(月) 01:37:38 ] スマン、よく見たらこれ佐賀大の問題だったorz お詫びの問題↓ 半径10の円Cがある。半径3の円板Dを、円Cに内接させながら、円Cの演習に沿って滑ることなく転がす。 円板Dの周上の1点をPとする。点Pが、円Cの円周に接してから再び円Cに接するまでに描く曲線は、円Cを2つの部分に分ける。 それぞれの面積を求めよ。 718 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/31(月) 02:45:35 ] わかると思うけど 演習→円周 の間違い。 719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/31(月) 06:57:34 ] >>713 　Π[k=1,n] {1 + 4(cos(kπ/(2n+1)))^2} = F[2n+1], 　Π[k=1,n] {1 + 4(cos(kπ/(2n+2)))^2} = F[2n+2], ここに 　F[m] = (β^m -α^m)/√5 はフィボナッチ数。 　α = (1-√5)/2 = -0.61803398875… 　β = (1+√5)/2 =　1.61803398875… ゆえに 　A[n] = F[2n+1]/F[2n+2] → 1/β = |α|.　(n→∞) 720 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/31(月) 16:32:09 ] xy平面に正方形 　D={(x,y)|0≦|x|≦3，0≦|y|≦3} および点A(1,0)，B(-1,0)がある．円CはDに含まれ，かつ点A，Bのうちいずれか一方のみを周または内部に含む．円Cの中心が存在する領域を図示し，その面積を求めよ． よいお年を 721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/31(月) 16:57:56 ] 図示しろだと・・・！ 722 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/31(月) 17:01:39 ] >>721 そこは別にまともにとらなくても．数式で表していただければ． 723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/31(月) 17:33:29 ] 同一平面上に2つの凸多角形があり、 どの頂点も他方の凸多角形の内部（周囲含む）には存在しない。 このとき、両多角形の辺の交点が奇数になることはあるか？ 724 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/31(月) 17:37:23 ] あったらいいな♪ 725 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2007/12/31(月) 17:44:51 ] >>723 意味が良く分からん 一方と他方はどっちもどっちか？ 726 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2007/12/31(月) 17:55:33 ] >>723 こんなに日本語の下手な問題が大学受験に出ることは絶対無い。 727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/31(月) 18:08:36 ] >>723 ない 728 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2007/12/31(月) 18:43:36 ] 出と入りが同数だから偶数個。 凸でなくとも良い。 729 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2007/12/31(月) 18:47:39 ] 多面体でも同様なことが云える。 730 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/01(火) 00:28:34 ] あけおめあけおめ 731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 01:22:46 ] すべてが素数である数列a_nをつくり、 素数が無限に存在することを証明せよ。 732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 01:28:21 ] >>731 小さい素数から順番に並べればよい。 あるいはn番目のフェルマ数2^(2^n) + 1 の最小素因数とか。 733 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/01(火) 01:28:47 ] >>731 意味わからん誘導つけるな 734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 02:02:26 ] >>732　数列は作れても無限個ある証明はできてないな。 735 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/01(火) 02:04:44 ] >>734 異なるフェルマ数は互いに素 736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 02:06:16 ] >>735　証明問題なんだからちゃんと証明しろ。 だいたい高校生がそんなの知ってると思ってるのかね・・・（苦笑） 737 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/01(火) 06:04:42 ] >>736 ボク知ってますよ あと素数の逆数和が発散することから証明するやつ知ってます ただ…益田さんの問題は解けない(泣) 738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 06:18:39 ] >>733 別に誘導だと思わず、前半と後半を独立で解けばよさそう。 739 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/01(火) 08:39:23 ] まあ前半部分は大学入試で出ることは１００％ないでしょうけど． あっ，あけましておめでとうございます． >>737 私が素数がらみで何か出題しました？ 740 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/01(火) 09:33:22 ] >>739 あけましておめでとうございます 益田さんの問題が全般的にできないってことです(泣) ここの人達はなんでそんなに数学ができるのか謎です 741 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/01(火) 09:38:33 ] 東大京大早慶交流へ　優秀な学生を東大に戻す思惑も？ news.ameba.jp/domestic/2008/01/9783.html 742 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 12:21:11 ] lim [x → ∞] x^2*{(log(1+x))^99 - (log x)^99 }^100 / {(log(1+x))^101 - (log x)^101}^98 を求めよ 743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 12:57:55 ] 脳内計算だが、 x^2*{(log(1+x))^2 - (log x)^2 } を繰り出したらいいんでないの。 744 名前：743 mailto:sage [2008/01/01(火) 12:59:34 ] x^2*{(log(1+x))^99 - (log x)＾99 }＾2 の間違い。 745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 14:28:04 ] 2008に絡めた問題でも作れよ 746 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 14:38:44 ] >>745 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1167587242/ 池 747 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 15:24:17 ] >>745　2008!-1は素数となるかどうか、証明せよ。 748 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 15:33:24 ] >>747 答え「素数となるかどうか」である。証明：自明 749 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/01(火) 15:39:44 ] スーパーに行くと、みかんが箱ごとで売られていた。 見ると、以下のように書いてある。 Lサイズ10kgで2500円 Sサイズ10kgで2500円 LやSというのは、もちろんみかんの大きさである。 さて、どっちを買うほうが得か･･･？？ 750 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 15:39:53 ] >>744 くくり出した残りの極限が 1 になるってか？ あるいはくくり出した方が 1 か？で、答えは？ それから先に進まないっぽいなぁ 751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 15:40:23 ] >>745 1,　2008^（2008＾2008)の桁数を求めよ。 　また、｛2008^（2008＾2008)｝＾(-1)で、初めて0でない数が表れるのは小数第何位か、求めよ。 2,　2008^（2008＾2008)の最高位、一の位の数を求めよ。 　また、｛2008^（2008＾2008)｝＾(-1)で、初めて表れる0でない数を求めよ。 752 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/01(火) 15:48:23 ] 2008作ってる奴らへ スレ違いも甚だしいから失せろ 753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 15:51:17 ] どこがスレ違いなのか、説明せよ。 754 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 15:52:25 ] >>753 その問題もスレ違い 755 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/01(火) 15:54:14 ] >>745-754 いい加減うぜーよ 756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 15:56:30 ] どこがうざいのか、いちいちつっかかってくるお前の方がスレ違いでうざいのではないか、 論理的に説明せよ。 757 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/01(火) 15:58:03 ] >>751 試験時間150分以内にお前はそれを手計算のみで解けるというのか 758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 15:59:50 ] 東大入試作問者になったつもりで2008に絡めた問題を作ればすれ違いではない 759 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/01(火) 16:01:59 ] >>756 自明 屁理屈で頑張るのはやめとけ、な なんかお前がＫＹっぽくなってるから ここ↓に行っとけ science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1167587242/ 760 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/01(火) 16:05:20 ] 新年早々荒れてますな． >>758 それなら東大っぽい問題を作っていただかないと．最低でも大学入試っぽい問題で現実的に解答可能な問題で． 上の問題は東大はおろか大学入試問題にもなりません．出題した本人も答えられないでしょ？ 761 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 16:05:35 ] KYって言葉、オレは許せない 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 16:21:27 ] はいはいワロスワロス 763 名前：Eurms Eukie M_SHIRAISHI mailto:ms.eurms@gmail.com [2008/01/01(火) 16:21:55 ] O-daiwa tumran daigaku da. Yo wa nannno O-Dai gotoki to omoi jukenn sute ukatta ga, kekkyoku, ikanakatta. Koukyuu Kannryo no yousei-kou ni suginu. Kennkyuu-sha ni naritak-uba hoka no Universiy wo mezase ! saigo ni natta kedo:- Happy New Year to You and to Us ALL www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html 764 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 16:56:11 ] いい加減言い争いはやめて誰か>>742でも解いてくれ 出題者じゃないから、東大入試の範囲かどうかは保証しかねるが。 765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 17:13:44 ] >>742 は Cauchy の平均値の定理を使えばすぐできる。 Cauchy の平均値の定理自体は Rolle の定理を使えばすぐだが、 この辺の知識がないと苦しい。誘導無しではどうかと。 普通の平均値の定理でも評価次第では上手くいくかも。 766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 17:15:21 ] >>750 >>765 767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 17:48:42 ] >>719 　F[m] = {φ^m - (-1/φ)^m}/√5, 　φ = (1+√5)/2 =　1.61803398875… science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1043045905/ science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1073918716/ mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html 768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 17:54:59 ] 第６問っぽく球積問題作ったんだが 誰も>>688を解いてないな 769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 19:48:50 ] >>742 log(1+x) = log(x) +(1/x) -O(1/2x^2) より (log(1+x))^(m+1) - (log(x))^(m+1) = (m+1)*{1 -O(1/2x)}(1/x)(log(x))^m, {(log(1+x))^(m+1) - (log(x))^(m+1)}^n = (m+1)^n*{1 -O(n/2x)}(1/x^n)(log(x))^(mn), x^(n-m)*{(log(1+x))^(m+1) - (log(x))^(m+1)}^n / {(log(1+x))^(n+1) - (log(x))^(n+1)}^m 　= {(m+1)^n/(n+1)^m}｛1 +O((m-n)/2x)} 　→ (m+1)^n/(n+1)^m　(x→∞) m=98, n=100, >743 　(x^2)*{ [(log(1+x))^99 - (log(x))^99]／log(x)^98 }^2 〜 99^2 の間違い。 770 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 19:51:44 ] >>769 オーダー計算はご法度。 771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 20:17:37 ] >>769 成る程、面白い極限値になるね。 772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 21:11:26 ] で、オーダー計算を使わない大学入試的方法は？ 俺だったらオーダー計算でも満点やるかも知らんが、 一応聞いておきたい。 773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 21:57:41 ] >>772 初等的なら ｓ＾（ｋ＋１）−ｔ＾（ｋ＋１）＝（ｓ−ｔ）（ｓ＾ｋ＋…ｔ＾ｋ） を使えば良い。 あと個人的には （ｍ＋１）＾ｎ／（ｎ＋１）＾ｍ＝｛（ｍ＋１）＾（１／ｍ）／（ｎ＋１）＾（１／ｎ）｝＾ｍｎ を用いて先に （ｍ＋１）＾（１／ｍ）／（ｎ＋１）＾（１／ｎ） を計算すればすっきりした。 ｓ＾ｋ＋…ｔ＾ｋ の部分が ｍ＋１、ｎ＋１ に相当するのが見え易い。 774 名前：773 mailto:sage [2008/01/01(火) 22:03:08 ] ちょと後半表現が変だった。 ま、通じるか。 775 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 22:21:52 ] 「一応聞いておきたい」という、上から目線の人の意見も是非聞きたい。 776 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/01(火) 23:14:33 ] xyz座標空間のx＞0かつy＞0の領域に一辺の長さ1の立方体Tがある． この立方体Tに対して，x軸，y軸それぞれに平行な光線を当て，yz平面，xz平面にできた影の面積をそれぞれS[1]，S[2]とする． S[1]+S[2]の最大値を求めよ． 777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 23:17:40 ] 有界閉集合上の連続関数は最大値及び最小値をとる。 なぜに最小値を問わないにょか？ 778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 23:40:04 ] >>772 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1042887886/l50 で逃亡した人？ここでも逃亡？ 779 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 00:07:38 ] >>777 「S[1]+S[2]のとりうる値の範囲を求めよ」でもよかったんですが，東大はどういうわけか片方しか聞きたがらない傾向があるんですよ． とりわけ最大値だけを聞くことが多いので真似してみました． 780 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/02(水) 00:08:27 ] >>779 名前ぬけてました．779は私です． 781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 00:11:23 ] >>776の元ﾈﾀと思われる正四面体の有名問題では両方きいてたよ。 782 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/02(水) 00:22:41 ] >>776 元ネタは別の問題なので，おっしゃられてる正四面体の問題がどのようなものなのか分かりませんが，家帰ったら過去問見ときます．情報サンクスです． 783 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 01:39:36 ] >>742 {\large $\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{m-n}[\{\log(1+x)\}^{n+1}-(\log x)^{n+1}]^{m}}{[\{\log(1+x)\}^{m+1}-(\log x)^{m+1}]^{n}}$} $=\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{m-n}\{\log(1+x)-(\log x)\}^{m}[\{\log(1+x)\}^{n}+\{\log(1+x)\}^{n-1}(\log x)+\ text{・・・}+\{\log(1+x)\}^{n-k}(\log x)^ {\mathrm{k}}+\text{・・・}+(\log x)^{n}]^{m}}{\{\log(1+x)-(\log x)\}^{n}[\{\log(1+x)\}^{m}+\{\log(1+x)\}^{m-1}(\log x)+\text{・・・}+ \{\log(1+x)\}^{m-k}(\log x)^{\mathrm{k}}+\text{・・・}+(\log x)^{m}]^{n}}$ $=\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{m-n}\{\log(1+x)-(\log x)\}^{m-n}[\{\log(1+x)\}^{n}+\{\log(1+x)\}^{n-1}(\log x)+\text{・・・}+\ {\log(1+x)\}^{n-k}(\log x)^{\mathrm{k}}+\text{・・・}+(\log x)^ {n}]^{m}}{[\{\log(1+x)\}^{m}+\{\log(1+x)\}^{m-1}(\log x)+\text{・・・}+\{\log(1+x)\}^{m-k}(\log x)^{\mathrm{k}}+\text{・・・}+(\log x)^{m}]^{n}}$ =$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\{x\log\frac{(1+x)}{x}\ }^{m-n}$・$\displaystyle \{\frac{[\{\log(1+x)\}^{n}+\{\log(1+x)\}^{n-1}(\log x)+\text{・・・}+ \{\log(1+x)\}^{n-k}(\log x)^{\mathrm{k}}+\text {・・・}+(\log x)^{n}]^{\frac{1}{n}}}{[\{\log(1+x)\}^{m}+\ {\log(1+x)\}^{m-1}(\log x)+\text{・・・}+\{\log(1+x)\}^{m-k}(\log x)^ {\mathrm{k}}+\text{・・・}+(\log x)^{m}]^{\frac{1}{m}}}\}^{mn}$ 784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 04:02:36 ] logの間が開いているのとあいていないところ。 \{ \}で括っていないところ。 \cdotsをわざとつかわなかったのだろうか。 なんでtexを書いたのか。普通に打ったほうがはやいｗ 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 10:51:39 ] エラーを吐いたぞ 786 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 11:09:26 ] 世の中には外見が全て同じの、重さはそれぞれ10gと11gの金貨があることを知っているものとする。あなたは同じ重さの金貨を10枚持っているが、そのことを両皿天秤を3回だけ用いて証明できるだろうか。 787 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 11:15:12 ] >>742 ここに一般化されてるよ ttp://dxdy.blog4.fc2.com/blog-entry-12.html 小生君の計算が犬並だが･･･ >>783 >>785 Inftyエディターだと思われ･･ 788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 12:50:39 ] >>787 良く見つけてきたなぁ。 どの様にしたら見つけられるんだ？ 789 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 13:53:33 ] >>787 大晦日やったかな みかんの方程式っていうので、でてた！ 落ちぶれ学者　でググったらでたよ！ 790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 14:15:27 ] xyz 空間上に ∠Q が直角であるような三角形 PQR がある。 P, Q, R の z 座標をそれぞれ p, q, r とすると p ≦ q ≦ r であり、 PQR を xy 平面上に正射影した図形は、 一辺の長さが1の正三角形であった。 r - p = a として以下の問いに答えよ。 (1) a の取りうる値の範囲を求めよ。 (2) a を用いて △PQR の面積を表せ。 791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 14:20:39 ] >>789 >みかんの方程式 >>749か？全然気が付かなかった。俺も落ちぶれたものよのうフォッフォッフォッフォッ 792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 18:33:03 ] 大昔の東大風に気分を変えてパズルのような問題でも。 ○□○＝○ ○□○＝○ ○□○＝○ ○には1〜9までの数を1つずつ重複しないようにいれる。 □には＋または×の記号を入れる。 (1)全ての式を成立させよ。 (2)左辺の○と□を区別しないとき、解は(1)で求めたものに限られることを示せ。 793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 19:13:58 ] 全ての□に＋が入ると仮定すると、左辺の合計＋右辺の合計＝45。 ところが45の整数の分割は奇遇を異にするため少なくとも1つは×がある。 ×が成立するのは2×3＝6のみ。 残りは1,4,5,7,8,9だが、9は明らかに右辺になくてはならず、 ＋もしくは×で9を作るのは4＋5＝9のみ。 最後に1＋4＝5ができる。 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 19:15:49 ] 素で2×4＝8を忘れてたｗ 奇遇の問題から2×4＝8は不適。 795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 19:19:04 ] 1+7=8じゃないか。 796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 19:24:02 ] 4+5と1+4で4と5が重複してる件 797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 19:57:06 ] >>795-796 俺もうダメだわ。 798 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 20:26:32 ] 益田氏、今までの自作の中で、どれが自分で思う傑作問題ですか？ 799 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/02(水) 20:42:21 ] >>798 完全な私のオリジナルで気に入ってるものはいくつかありますが，傑作問題とまでいくものはまずないですな． 傑作問題ができてもたいていは既存の問題の類題のようなもんですからね． 調べてみたら○○や数オリで似た感じのが出てたなんてしばしばです． だからうまいこと味付けしてオリジナルのように見せる姑息なことばかりやってます． 800 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/02(水) 20:43:21 ] >>799訂正 ○○→○○大学 801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 20:52:33 ] ある先生が『来週の月曜日から金曜日の間に抜き打ち試験を行う』と言いました。 木曜日まで試験を行わなかったら、金曜日に試験を行うということが生徒にばれてしまいます。 従って、金曜日に抜き打ち試験を行うことは不可能です。 しかしながら、水曜日まで試験を行わなかったら、木曜日に試験を行うということが生徒にばれてしまいます。 なぜなら金曜日に抜き打ち試験を行うことは不可能なのですから、水曜日まで試験を行わなかった場合、 木曜日に試験を行うしかないとわかるからです。従って、木曜日に試験を行うことも不可能です。 同じ論理で、水曜日、火曜日、月曜日に試験を行うことも不可能です。 さて、本当に理論上抜き打ちで試験を行うことは不可能ですか？ 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 20:55:45 ] 証明 来週抜き打ちで試験を行うと言った時点で予告試験となるので 抜き打ち試験とはなりえない　 証明終 803 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 21:12:54 ] lim[n→∞]n*∫[0,π/4](tanx)^ndxを求めよ。 804 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 21:26:23 ] >>803 1/2 鳥取大で出てた希ガス 805 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 21:50:43 ] >>801 その問題が大学入試問題として通用するのか？ どこからか文句が出て、「何を書いても（書かなくても）全て満点にします」 と言うことに絶対ならない自信はあるのか？ 806 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 21:58:39 ] >>805 小論文やディベートとかで使うことはできるかもな 807 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 22:00:49 ] a_1=√2 a_(n+1)=a_n^√2とする。 このとき、Lim_n→∞　a_nが収束することを示し、 値を求めよ。 808 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 22:10:40 ] >>807 明らかに収束しないだろ 逆じゃないのか？ a_(n+1)=(√2)^a_n 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 22:11:20 ] >>808 逆でした＾＾ 810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 22:42:26 ] >>803 　I_n = ∫{tan(x)}^n dx, とおく。 　1 + {tan(x)}^2 = 1/{cos(x)}^2 = {tan(x)} ' より 　I_(n-1) + I_(n+1) = ∫{tan(x)}^(n-1) {tan(x)}' dx = (1/n){tan(x)}^n, 　(n-1){I_(n-1) + I_(n+1)}/2 < (n-1)I_(n-1)/2 + (n+1)I_(n+1)/2 < (n+1){I_(n-1) + I_(n+1)}/2, 　{(n-1)/2n}{tan(x)}^n < (n-1)I_(n-1)/2 + (n+1)I_(n+1)/2 < {(n+1)/2n}{tan(x)}^n, 　x=π/4 とおいて n→∞ とする。 811 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 23:32:04 ] >>807 平均値の定理を利用して,極限値2。 812 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 23:36:59 ] >>801 単なる質問なら質問スレへどうぞ。>>802の議論はおかしい。 813 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 23:44:26 ] >>688>>768 この種の立体幾何の問題は俺の脳内計算とキーボードとモニタでは解けない。 かと云って、机の上には本とパソコンと食い物とゴミが一杯で ノートと鉛筆を出す余裕がない。正月過ぎるまで待ってくれ。 814 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/02(水) 23:51:28 ] (1) pが5以上の素数ならば，pを6で割った余りは1か5のいずれかであることを示せ． (2) 5桁の素数の個数は2400個以下であることを示せ． 815 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/03(木) 00:03:58 ] >>814 (1) は易しすぎて東大入試レベルとは云えないと思うが。 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 00:04:59 ] (1)が簡単なのはどこの大学でもよくあること。 817 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/03(木) 00:12:29 ] >>815 易しくても(1)がないと，受験生は(2)がかなりきつくなりますよ． 誘導が易しいのは東大でも普通ですよ．京大や東工大と違い，単発で難問ばかりだすわけじゃありません． 818 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/01/03(木) 09:57:15 ] 入学試験は難問を出す場ではない。しかし、東京大学にもなると人がたくさん来るから難問も混ざることになる。 819 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 10:09:14 ] 有名問題だが f(x)、g(x) は連続で f'(x)＋f(x)g'(x)≦0 かつ f(0)＝0 を満たすとき、 x≧0 で f(x)≦0、x＜0 で f(x)≧0 が成り立つ事を示せ。 820 名前：819 mailto:sage [2008/01/03(木) 10:10:04 ] × 連続 ○ 微分可能 また、やっつまった 821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 10:45:39 ] グロンウォール型の不等式だな。数セミにも時々似た様なのが出ていた。 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 10:55:11 ] 人がたくさん来るからではないだろ・・・ 823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 11:02:12 ] >>819 [ f(x) exp{g(x)} ]’≦0 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 11:30:09 ] 数列a[n]が a[1]=1,a[2]=k（k≠0,±1) (1/a[1]a[2])＋(1/a[2]a[3])＋…(1/a[n]a[n+1])＝a[n]/a[n+1]をみたすとする。 このとき、a[n]の一般項を求めよ。 ヒント：a[n+2]=ka[n+1]-a[n]を導く。 825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 11:35:38 ] 東大入試にはヒントが付くのか？ 826 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 13:26:21 ] ヒント：つかない 827 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/03(木) 13:32:51 ] なんか大数の宿題(ほど難しくないけど)みたいな問題を出せばいいと勘違いしてるやつ多いな 東大どころか大学入試からもはずれてるし 828 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/03(木) 13:50:19 ] 閑話休題 2x2の行列のある部分集合Fは次の性質を持つ。 　・Fの任意の元 a,b について、a-bはFに属する。 　　そして、Fの任意の元 aは、a-a=0 となる。 　・また、Fの任意の元a,bについてa*bはFに属する。 　　そして、Fのある元eは次のような性質を持つ 　　　・任意のFの元aについて　a*e = e*a であり、これはFに属する。 　　　・e*e=e 　　　・-e * -e =e という等式が成り立つ。 　・さらに、Fのある元iについて次の等式が成り立つ、i * i = -e 元、e,iを求めよ。 829 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/03(木) 14:11:04 ] >>814 訂正．(2)が桁数間違えました． (1) pが5以上の素数ならば，pを6で割った余りは1か5のいずれかであることを示せ． (2) 5桁の素数の個数は24000個以下であることを示せ． 830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 14:23:51 ] >>824も a[n+2]=ka[n+1]-a[n]を導けで止めとけばよかったのに けどそれだと簡単過ぎるから皮肉にもここの住民には向かないってか…？ 831 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/03(木) 14:58:06 ] 別に簡単でも面白けりゃいいと思うが 最近の東大って難問1題くらいだろ 832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 15:37:15 ] 問題作るだけなら ☆２ちゃんねらーず編・大学入試数学問題集☆ science6.2ch.net/test/read.cgi/math/988730706/ もあるでよ。本スレは良問と云うより、原則（入試範囲の）難問と言う事で、 或る程度の期間解答が出なかったら、出題者自身が解答するというスタイルでどうだろう。 833 名前：719 mailto:sage [2008/01/03(木) 16:37:47 ] >>713 (補足) 　Π_(k=1, [N/2]) (1 + 4*cos(kπ/N)^2) = F_N,　　　(N≧2) については下記を参照下され… 　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1073918716/386 　細矢, ｢数学100の問題｣, 数セミ増刊, 日本評論社, p.90-92 (1984.9) 　「フィボナッチ数の問題｣ 834 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/01/03(木) 16:57:33 ] Reply:>>822 それではなぜか？ 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 17:20:23 ] 人がたくさんくるからは理由にならん 東大並みにたくさんくる大学は他にもある 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 19:33:04 ] >>835 一流私大にも沢山人は来るが、多くを推薦で取っているので 入試の難問は偏差値を上げる為の「見せかけ」問題。 もちろん例外の一流私大もあるであろうが。 837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 19:34:29 ] 足切りでたくさん来れないようにしてるじゃん 838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 19:42:50 ] 順にA、B、Cと進まなければ理解できない人間と Bを飛ばしてAからCを理解してしまう人間がいる 839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 19:55:18 ] 東大の問題は簡単ですね oshiete1.goo.ne.jp/qa3613933.html 840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 19:57:42 ] 釣られすぎﾜﾛﾀｗｗｗ 841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 20:54:52 ] 最近の東大の問題って詰まらんね。 842 名前：￣￣￣￣￣Ｖ￣￣￣￣￣￣￣ [2008/01/03(木) 21:16:03 ] 　 　　　 　　 　＿＿＿_　　　　　　　　　＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ 　　　　　　 ／_ノ　　ヽ､_＼　 　　　　(　もう・・・私のばか・・・・！！！ .　　　　　／　（● ）　(● ）＼　　　（　　また本心と・・・・違うこと・・言っちゃったお・・・ 　　　　／//////（__人__)///＼　　 ◯　　　ほんとは・・・素直になりたいのに//// 　　　　|　　 　　　　　　　　　 　|　。O　　￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ ￣ 　　　　 ＼　　　　 　　　　　 ／ 　　　　ノ　　　　　　　　　　 　＼ 　 ／´　　　　　　　　　　　　 　　ヽ 　|　　　　ｌ　　　　　　　　　　　　　　＼ 　ヽ　　　 -一''''''"~~｀`'ー--､　　　-一'''''''ー-､. 　　ヽ ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒)　)　　(⌒＿(⌒)⌒)⌒)) 843 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 21:26:47 ] 入試なんておもろいおもろくないでやってるんじゃないんだからさ 844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 21:28:59 ] >>713の心 x^2-x-1=0の二解をα,βとする。フィボナッチ数 Fn={α^(n+1)-β^(n+1)}/(α-β)に、恒等式 x^(2n)-y^(2n)=(x-y)(x+y)Π[k=1,n-1]{x^2+y^2-2xyCos(kπ/n)}　及び x^(2n-1)-y^(2n-1)=(x-y)Π[k=1,n-1]{x^2+y^2-2xyCos(2kπ/(2n-1))} を利用し、半角の公式を用いて整理、偶奇をまとめれば、 Fn=Π[k=1,[n/2]]{1+4Cos^2(kπ/(n+1))}　が導ける 845 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/03(木) 22:25:16 ] kを正の定数,三角形ABCの重心をGとする.三角形ABCに対して,k=AG^2+BG^2+CG^2 が 成り立つとき,ab+bc+caの最大値を求めよ.ただし,BC=a,CA=b,AB=cとする. 846 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/03(木) 22:44:34 ] 京大っぽいな 847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 23:21:17 ] >>595が2007/12/25(火) 00:24:59 だから、このスレ年末年始で結構進んだな。 社会人は明日から初仕事だから、ちょっと勢いが鈍るかも。 848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/04(金) 00:15:09 ] >>829 おい！MASUDA！ふざけんな！ 今回のミスは致命的だろ！ どうやってそこまで数を絞り込むのか必死で考えてた俺に土下座しろ！ 849 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/04(金) 00:18:00 ] 数学板全体に社会人が多い証拠に１２時を過ぎると急に投稿が減るし、 スレの種類も違ってくる。それを過ぎるとナンバリングや残滓ageが増えてくる。 850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/04(金) 00:20:34 ] 社ニ病というやつだろう。 それでも過大評価かもしれんが。 851 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/04(金) 00:24:39 ] dxdy.blog4.fc2.com/blog-entry-15.html 852 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/04(金) 00:46:25 ] >>848 これは申し訳ないです．あとで2400はやけに少ないなとノート見直したら0が1個足りずでした． 853 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/04(金) 00:58:40 ] mは立法数(整数の3乗で表される数)でない正の整数とし，p=m^(1/3)とする．以下では必要ならばp,p^2が無理数であることを証明なしに用いてもよい． (1) a+bp+cp^2=0ならばa=b=c=0であることを示せ． (2) nを2以上の整数とする．各nについて整数a[n],b[n],c[n]を以下のように定める． 　(-1+p)^n=a[n]+b[n]p+c[n]p^2 このとき，a[n]b[n]c[n]≠0であることを示せ． 854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/04(金) 01:02:46 ] >>853　a=p,b=-1,c=0の時にも成立。 855 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/04(金) 01:05:37 ] >>853追加 (1) a,b,cは整数としてください． 856 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/04(金) 01:24:05 ] >> www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/ohkawa/ohkawa.htm#4 の様に出来るがな 857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/04(金) 01:24:09 ] >>853 p = 2^(1/3) とか具体的な値のほうがそれっぽいと思った。 それだけ。 858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/04(金) 01:45:16 ] >>845 中線定理より AB^2 + AC^2 = 2 * ( (3AG/2)^2 + (BC/2)^2 ) ∴ b^2 + c^2 - a^2/2 = 9AG^2/2 同様に c^2 + a^2 - b^2/2 = 9BG^2/2, a^2 + b^2 - c^2/2 = 9CG^2/2 辺々加えて両辺に 2/3 を乗じて a^2 + b^2 + c^2 = 3k 0 ≦ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) より ab + bc + ca ≦ 3k で等号は a=b=c のときに成立。 ゆえに最大値は 3k 859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/04(金) 13:28:32 ] xyz空間上に一辺が4の立方体K、一辺が1の正四面体Tの外接球の中心がそれぞれOにくるよう配置する。 Tに(±1,0,0),(0,±1,0),(0,0,±1)向きの光を順次当て、Kの表面にできるTの影の総和をSとする。 Sの最小値、最大値を求めよ。 ただし、順次Tに光を当てている途中、Tの向きは変えないものとする。 860 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/04(金) 17:39:22 ] >>847 が当たっていたな。 861 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/05(土) 02:35:00 ] 0≦x≦πにおいて以下の不等式が成り立つことを示せ． 　e^x＞3sinx ここで，eは自然対数の底2.718…，πは円周率3.141…である． 862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 05:59:15 ] 問題ミスってないだろうな 863 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/05(土) 10:42:19 ] >>862 パソコンでグラフだしてみたけど間違ってはいなかったよ 864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 12:42:11 ] >>861 ちょうぎりぎり 865 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 12:54:16 ] π = 3.14 じゃダメなのか？ 866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 13:06:11 ] a,b,cを任意の実数とするとき以下の不等式 　　sin(a)sin(b)sin(c) + cos(a)cos(b)cos(c)≦1 が成り立つことを証明せよ。 867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 13:53:00 ] 原点をOとするxy座標平面において、点PとQはa,bを実数として、 　　P(1+(√2)cos(a) , 1+(√2)sin(a))、Q((3/2)(-1+cos(b)) , (3/2)(1+cos(b))) であらわされる。また、三角形OPQの重心をGとする。3点O,P,Qが一直線上のときGは、各座標の相加平均であらわされる座標とする。 このとき、以下の問いに答えよ。 (1) Gの軌跡を求めよ。 (2) Gの軌跡に囲まれる領域の面積を求めよ。 868 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/05(土) 13:57:14 ] >>865 πだと成り立ちません． 869 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/05(土) 14:09:36 ] e>1だからx>=0のときe^x>=1で かつsin3x<=1 しかも唯一e^x=1になるx=0のときもsin3x=0である だからe^x>sin3x って違うよね… 870 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/05(土) 14:14:21 ] >>865 失敬，質問の意図を勘違いしてました． π=3.14でも示せます． 871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 14:34:34 ] >>866 sin(a)sin(b)sin(c) + cos(a)cos(b)cos(c) ≦ max{± sin(a)sin(b) ± cos(a)cos(b)} （複号任意） = max{± cos(a ± b)} ≦ 1 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 14:58:55 ] >>861 f(x)=e^x-3sinxとするとf'(x)=e^x-3cosx で、0≦a≦πでf'(a)=0となるaがただ一つ存在して、与範囲でf(x)はx=aのとき最小となる。 よってf(a)>0を示せば良いが、f'(a)=0よりcosa>sinaを示せばよく、これはa<π/4を示すことになる。 この時グラフの形からe^(π/4)>3/√2を示せば良いことがわかる。 ここでx,t>0でe^x≧(ex/t)^tが成り立つことから、x=π/2,t=3/2として e^(π/2)≧(eπ/3)^(3/2) >(2.7*3.1/3)^(3/2) =√(2.79^3)>√(11/4)^3>√(81/4)=9/2 よってe^(π/2)>9/2よりe^(π/4)>3/√2が言えるので問題の不等式も示される。 873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 15:37:28 ] 未解決問題はどれよ？ MASUDA氏も解かれてない問題は惜しまずに解答出して欲しい。 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 16:31:19 ] >>873 探せば山ほどあるさ 提唱者のは別だが 875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 17:03:31 ] いずれ briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/lst?.dir=/b856 に載るんだからさ。 www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/ 見たいに。 876 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/05(土) 18:24:41 ] >>872 御名答． 実は>>861は99年前期６番が元ネタです． 877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 18:36:11 ] 言わなくてもわかるけどね。 878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 18:46:28 ] >>877 そんなマニアックなこと知らねーよ 879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 20:21:50 ] 官軍の同志諸君、ならびに賊軍のあほんだれｗに告ぐ：− 御大は、無事、日本に帰られた。飛行機を使われなかったことは確かだ。 ハイテク筏かどうかは不明！ 決戦の場は、sci.logic や sci.math だ！！！！ 語学力（英語で充分）を磨こう！ 目標は、７万語の語彙だ。 "Word Power Made Easy"www.amazon.co.jp/s/ref=nb_ss_fb?__mk_ja_JP=%83J%83%5E%83J%83i&url=search-alias%3Denglish-books&field-keywords=Word%81%40Power%81%40Made%81%40Easy&Go.x=17&Go.y=15&Go=Go などを読んでおけ！ 尚、同署が読みこなせない者は「試験に出る英単語」から初めよ。完全にますたーするのだ。 恩大は某スレで、こんなことをおっしゃっている：− Yo(余) ni dekita koto ga sochi-ra ni dekinu wake ga arouka ! ! ! ! Onaji Mama kutte Doko tugau（違う）！！！！ 尚、尚、尚のそのまた尚、「完全にマスターする」の定義だが、眠っている 時に見る夢が英語になった場合を言う。 以上！　　恩大に向かって敬礼！！！！！　　Yes Sir と呼べ！ 880 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/05(土) 20:40:07 ] ある円の円周を2色に塗り分ける．このとき，PQ=QR(≠0)をみたす同じ色の3点P,Q,Rが円周上に必ず存在することを示せ． 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 21:16:56 ] >880 円周の5等分点のうち、3つ以上は同じ色である。 あとは P,Q,R をうまく選べぶだけだな。(終) 882 名前：881 mailto:sage [2008/01/05(土) 21:48:44 ] 【選べぶ】永良部ことができるのを示す、の意。 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 21:48:55 ] これなら東大入試問題として適当か？ x_1, x_2, ........ , x_n の対称式は、基本対称式の整式として書き表される事を示せ。 884 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 21:51:43 ] >>883　ネタであることを祈る 885 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/05(土) 21:53:21 ] Sin（A+B）って英語では、Sine A Plus B　といいますよね。 じゃあ、SinA ＋ B　は何て言いますか？？？ Sin（A+B）とSinA＋B　の違いが・・・わからない・・・ 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 21:54:09 ] >>883 もっと東大の出題傾向調べてから書き込め。 887 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 22:07:20 ] x,yは -π≦x≦π、-π≦y≦π を満たす。このとき、次の不等式を満たす領域の面積を求めよ。 sin(x+y)+sin(x)+sin(y)+1≦0 888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 22:24:34 ] >>885 sinA+Bだと・・・？ 889 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/05(土) 22:47:31 ] www.h5.dion.ne.jp/~terun/ コイツ馬鹿だわまじで 890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 22:48:49 ] >>861 　exp(x) は下に凸、sin(x)は上に凸だから、 それらに傾きが 3/√2 =a の接線を曳く。 　exp(x) ≧ a*{1 + x-log(a)},　　　… x=log(a) で接する。 　3sin(x)≦ a*(1 + x-π/4),　　　　… x=π/4 で接する。 辺々引いて 　exp(x) - 3sin(x) ≧ a*(π/4 -log(a)) 　　= a*{(π/4) -log(3) +(1/2)log(2)} 　　= a*(0.785398 -1.098612 +0.346574) 　　= a*0.0333595… 結局 >872 と同じだ....orz 891 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/05(土) 23:05:56 ] >>885 Sine A plus B は Sin (A+B)だけど、カッコがどこまでかかるのかが英語だと分からない Sin(A)＋Bって英語で言いたい時も、Sine A plus B なのか？ っていう事を言いたいんだと思われ・・・ two over n plus two といった場合も、2/n + 2 なのか　2/(n+2)なのか わかんないといいそうだな・・・ 892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 23:08:52 ] >>883>>884 ネタじゃないよ、マジだよ。 加法定理の証明が出るくらいだからこれくらい出てもおかしくない。 今年出てもおかしくない。 お前出来ないのか？ 893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 23:11:19 ] >>892 最後の一行が余計だったね 894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 23:20:36 ] 多項式Ｐｎ（x）（ｎ＝0、1、2、・・・・・）を、次のように定義する。 　Ｐ0(x)=1 　Ｐn+1(x)=Pn(x)( 1 + 2xPn(x) ) ( n=0,1.2・・・・・)　 （1） Ｐn(x)の１次の係数を求めよ。 （2） Ｐｎ(x)の次数を求めよ 895 名前：888 mailto:sage [2008/01/05(土) 23:23:19 ] >>891 そもそも三角比と角度（度数法でも弧度法でも可）の四則演算なんて出来るのか？ 896 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/05(土) 23:33:24 ] >>892 高校で扱う基本対称式は3次までと決められていますから，京大で出題されることはあっても東大ではありえない出題です． 897 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 23:36:28 ] >>883 高校生じゃよほどの数学マニアじゃない限り示せない 898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 23:47:52 ] >>895 弧度法ならおｋ 度数法は・・・無理だろｗ 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/01/05(土) 23:47:56 ] >>896 そうなのか？昔は受験で証明無しで使った様な記憶があるが 900 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/05(土) 23:58:38 ] >>899 昔は３次までの制限はなかったかもしれませんが，現行課程では３次までと決められているんです． 東大はカリキュラムには従順ですからはみ出て出題はしないでしょう． 901 名前：１３２人目の素数さん mailto:ｓage [2008/01/06(日) 00:23:34 ] >東大はカリキュラムには従順ですから 東大キライ 902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 00:29:32 ] つーか高校数学で基本対象式なんてやるのか？ 俺は佐武の線型代数学で初めて知ったんだがｗ 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 00:39:01 ] 正八面体を1つの平面で切断するとき 切り口に七角形以上の多角形は生じないことを証明せよ。 904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 00:54:01 ] >>903 二本づつ平行な辺があるので8-2=6角形まで 何かおかしな日本語になってしまう 905 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/06(日) 00:59:25 ] >>902 基本対称式という名前は登場しませんが，数１の数と式，数２の式と証明で学習します． ベクトルの一次独立という名前が教科書に登場しないのと同じようなものです． 906 名前：904 mailto:sage [2008/01/06(日) 01:05:55 ] 訂正 どの面にも平行な面があるので8-2=6角形まで 907 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 03:01:50 ] >>905 普通に教科書に一次独立ってかいてありますが。 じゃないと係数比較できないじゃん 908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 04:10:38 ] 書いてない教科書もある。 書かなければならないとは決まっていない。 入試問題に1次独立という言葉は出てこない。 909 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 04:11:18 ] MASUDAがツマラン事云うからこのスレが面白くなくなる。 別に旧課程でも旧旧課程でも面白くて難しい問題が提供されれば良いではないか？ 京大風とか、昔の私立の奇問・難問でも良い。 MASUDAはこのスレの平均年齢が何歳だと思って居るんだ。 当然ながら全員が高校生でもなければ、全員が塾講師でもない。 MASUDAは問題だけ提供すればよい。但し、良くミスるから、二週間経ったら 解答を書くこと。出来れば出題の背景にある数学理論なども公表して欲しい。 MASUDAもこの板、このスレから有益な情報を得ているのだろう。 お互い様だ。皆が楽しめればよい。自分だけ良い子になるな。 受験生の為のことが書きたかったら受験板に行け。 MASUDAに限らず、コテハンは態度が悪い。 このスレの良い点は、いわゆる２ちゃん用語が少ないことだけだな。 910 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 04:17:58 ] 確かに高校の範囲外だ何だとうだうだ言うのはうっとうしいな。 別に範囲外でもいいじゃないか。 でもぶっちゃけ>>883は面白くないけどな。 911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 04:19:44 ] それなら他にある難問スレみたいなとこへ行けばいいじゃまいか 912 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 04:39:02 ] そうやってすぐに名無しで自己正当化。 913 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 06:50:54 ] x1^2+x2^2+x3^2+...+xn^2=1の条件の下で x1x2+x2x3+...+xn-1xn+xnx1の最大最小を求めよ 914 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 06:55:48 ] Σ[r=0,n]nCr(-1)^r(2-r)^nを求めよ 915 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 08:24:14 ] >>911 難問ならいいという訳でもないし、第一難問スレと言っても問題専門のスレは science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1106654316/ science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/ 位で、後は各専門分野のスレで質問として提出するくらいだろう。 前提知識も、現行課程から旧々々課程の数学全体程度だろう。 問題の難易度も、私の様なオッサンなら、長くとも一週間掛けて解ける程度だろう。 だから二週間回答が付かなければ出題者が解答例を出して欲しいと云っているのだ。 解答が出れば別解も色々思いつくだろうし、 一見に似てもにつかない類題も沢山出来るだろう。 916 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 08:28:34 ] なけりゃ立てればいいじゃん 917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 08:49:47 ] >>916 俺に云うなよ、お前立てろ 918 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 08:51:21 ] >>913 (x1x2+x2x3+...+xn-1xn+xnx1) - (x1^2+x2^2+x3^2+...+xn^2-1) = (-1/2){(x1 - x2)^2 + (x2 - x3)^2+ ... + (xn-1 - xn)^2 + (xn - x1)^2} + 1 x_1 = ....... = x_n = 1/√n の時最大値 1 誤答例 ： 回転対称性より、x_1 = ....... = x_n = 1/√n の時最大値 1 所でMASUDAさんに伺いたいが極値を求める時は○○の時、極大値××と書くのが慣習だが、 詳しく書かないと減点なのか？ 最大最小の時は××だけで正解（満点）なのか？ 919 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/06(日) 10:29:18 ] >>909 私も面白いならいいと思いますが>>883の方は「東大でも出る」などとおっしゃっておられたので指摘したまでです． 一応受験生も少なからずおられるのでね． 920 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 10:32:32 ] a[n]={(n!)^1/n}/n, n = 1, 2, 3, ... と置くと、 (1) 数列 {an} は狭義単調減少数列であることを示せ。 (2) 極限値を求めよ。 921 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 10:35:59 ] Σ[r=0,2n](2nCr)^3*(-1)^rを求めよ 922 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 10:36:02 ] >>920 死ね 923 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 10:39:42 ] >>919 そこは高校範囲外じゃダメだとアンタには貫き通してほしかったんだが 範囲外だと逆に面白くないだろ　他にもそういうスレはいくらでもあるし 無駄に範囲外を乱発する輩も最近いっぱい出てスレが冷めたからな ルールがあるからこそ面白い問題になると俺は思う そのためのスレタイだろ 924 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 10:48:17 ] >>920 このスレで既出 925 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 10:54:12 ] >>923 言いたいことは分からなくもない 大学範囲をだされるとなんか冷める でもせめて旧課程くらいは認めてもいいんじゃね？ 926 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 11:02:33 ] >>915 なら提示しているscience6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/にお前が行けばいいだけじゃん 単に居座りたいようにしか見えないが 927 名前：920 [2008/01/06(日) 11:14:08 ] 今確認したところ613に同じ問題がありましたね すみませんでした 928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 11:47:36 ] >>927 同じじゃなくてちょっと細かくなっている。証明を見て精密化したのだろう。 だから答えを書いて欲しいと云っている。 929 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 12:41:57 ] >>913 www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm 問題１２５ >>914 www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm 問題１９４ >>920 www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all2.htm 問題２１５ >>921 www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all2.htm 問題２３３ｗ 解答の付いていない問題ばかりだが、入試範囲って保証はあるのかよ。>>921は明らかに範囲を超えた（高校生にとって）超難問だと思うがｗ 答えが知りたいんだったらそのページで聞いたら？ｗ 930 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 13:14:02 ] >>928 ？ 931 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/06(日) 14:08:59 ] 1,／2,4,／3,6,9,／4,8,12,16,／… という数列{a[n]}(n=1,2,…)がある．ただし，第k群は初項k，公差k，項数kの等差数列である． また，正の整数mに対して，f(m)を数列{a[n]}にmが現れる回数とする． m≦2008かつf(2m)=2f(m)をみたすmの個数を求めよ． 932 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 14:43:34 ] >>931 982個 933 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/06(日) 14:48:19 ] >>932 不正解です 934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 15:10:26 ] >>929 www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm#125 と書けよ 935 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 16:01:09 ] >>931 m=2もか orz。983個 936 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 16:09:22 ] >>935 正解です． 937 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 19:46:54 ] 日曜のこの時間帯はみんなテレビ見てるんだなぁ 938 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 21:29:56 ] θ=2π/7 として cosθ＋cos(2θ)＋cos(4θ) = -1/2 sinθ＋sin(2θ)＋sin(4θ) = (√7)/2 を示せ 939 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2008/01/07(月) 02:05:50 ] xについての方程式 　4x^2 - 4x - 1 = 0 の2解をα,βとする．xについての整数係数2次関数f(x)があり，a,bを整数として 　f(x)=x^2-2ax+a^2-2b^2 と表されるとき，適当な整数(m,n)が存在して 　f(mα+nβ)=0 とできることを示せ． 940 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/07(月) 05:20:12 ] α<βとする。 mα+nβ=(m+n)/2+(m-n)√2/2 であるから、 (m+n)/2=a, (m-n)/2=b とすれば十分。 すなわち、m=a+b , n=a-bとすればよい。 941 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/07(月) 05:34:55 ] α＞βだった。 942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/07(月) 06:03:00 ] >>938 上の式を A，下の式を B とすると A * 2sinθ= -sinθ ∴ A = -1/2 B^2 = 3/2 - A/2 = 7/4 sin(2θ) > 0, sin(4θ) = -sin(θ/2), sinθ > sin(θ/2) > 0 より B > 0 だから B = (√7)/2 >>939 >>941で解かれてるが α＞βとして α=(1+√2)/2, β=(1-√2)/2 f(x) = 0 を解くと x = a ± |b|√2 m=a+|b|, n=a-|b| とすると m, n は整数で， f(mα+nβ) = f(a + |b|√2) = 0 だから確かに題意を満たすような整数の組 (m, n) が存在した。 なんか面白い背景がありそうだな。 943 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/07(月) 06:03:23 ] a[1]=3,a[n+1]=Σ[k=1,n]a[k]a[n-k+1] でa[n]を定める.一般項を求めよ. 944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/07(月) 07:51:15 ] 1つの内角が120ﾟである三角形で、 各辺が最大公約数1の整数であるような三角形は 無数にあることを示せ。 945 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/07(月) 08:05:53 ] dxdy.blog4.fc2.com/

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