- 1 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/04(日) 05:00:00 ]
- 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
- 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/03(月) 00:36:56 ]
- >>233
あのな、>>223を読めっつってんだよ
「も」を削ってもダメな理由を聞いてるわけ
横レスするなら読んでから書け
- 238 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/03(月) 00:40:34 ]
- >234
あまり答えになってないと思うんだけどｗ
232→234が噛み合ってないしｗ
安価ミスか？
- 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/03(月) 00:41:32 ]
- >>237
まぁ、そうカリカリするな。頭から湯気が出てるぞ。
お茶でも飲め。
その上でゆっくりレスを読み返せ。 >>223 のどこに
>>225
> 東大の「任意の○○について」はよくて益田の「任意の○○について」はダメなのかｗ
なんて趣旨のことが書いてあるんだろう。どこにもそんなことは書いてないように思うよ。
つまり『東大の「任意の○○について」はよい』なんてどこにも書いてないでしょ。
- 240 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/03(月) 00:43:17 ]
- >>237
あの，そろそろ終わりにしませんか？問題がどんどん流れてしまいますし．
私は訂正したので解決しているのですが．
- 241 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/03(月) 00:45:37 ]
- そうそう。
>>237 よ、あまりのバカっぷりに笑うに笑えないぞ。ということで
=========終了============
- 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/03(月) 00:48:05 ]
- まさに >>235 の展開ｗｗｗ
でも正直 >>237 のおつむがかわいそうになってきた。
自分の言いたいことはまともに表現できてないみたいだし、
相手の言うことも理解できてないみたいだしｗｗｗ
- 243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/03(月) 00:50:16 ]
- ちょうど終了したところで、そろそろ>>165の答えがなぜ>>172になるのかの理由を教えてほしいんだけど
答えは予想つくけど論証がさっぱり分からん
- 244 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/03(月) 00:52:07 ]
- >>237
「も」を削ったからそれで良いなんて言えないでしょ。常考。
- 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/03(月) 01:52:21 ]
- >>217
S(a[k])=2^n*a[k]になるから、あとは
完全数についてのEulerの定理と同様に示す。
- 246 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/03(月) 01:56:37 ]
- >>245
つS(4)=1+2+4=7
- 247 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/03(月) 10:17:56 ]
- >>245
a[k]は完全数とは限りません．
また，S(a[k])=2^n*a[k]にもなりません．
- 248 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/03(月) 18:47:19 ]
- >>165
これ益田さんできたのですか？
ベクトル
反転
三角関数
どれも渋いことになるのだが。
ベクトル→内積から角度をもちだすがよくわからない
反転→ABCDをBCDに減らしてP,B,C,Dの４点で平面に帰着することができるが後の計算が煩雑すぎてわからない
三角関数→球の中心をOとして∠OIP=2I {I=A,B,C,D}とするとsinA*sinB*sinC*sinDの最大値を求めることになるが固定されたA,B,C,Dの関係式が複雑すぎて後の計算がほぼ不可能
- 249 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/03(月) 18:48:31 ]
- ∠OIPではなく∠IOP
- 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/03(月) 19:52:44 ]
- >>248
三角関数持ち出すより幾何の方が解きやすいぞ
単位球とみなして、4点がすべてz≦1/3の領域にくるように球面を回転することができる
これを示せばあとは論証だけで解決できるんじゃない？
- 251 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/03(月) 20:26:33 ]
- >>250
>z≦1/3
これを示したところで長さの積が最大になるPの位置が特定できるとは思えないのですが。
幾何でやると
(i) 積の最大(=m)とは固定された点A、B、C、Dに対してPの位置の特定→具体的な値は求まらない
(ii)mを最小にするとは動くA、B、C、DのもとでPは(i)の状態→具体的な値を求める
そういえば１つ点をおとして３つの場合の積は上のほうで問題があったと思うけどそのあたりにヒントがあるんですかね。
- 252 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/03(月) 22:14:41 ]
- >>172に期待
- 253 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/03(月) 22:36:59 ]
- >>251
A,B,C,Dが正四面体の4頂点をなすとき，AP*BP*CP*DPが最大になるのは，中心について点Aと対称な点にPを設定したときです．この最大値16√3/9がmの最小値になると予想して論証します．
つまり，この正四面体の状態からA,B,C,Dを動かしたときにAP*BP*CP*DPが16√3/9より大きくなるような点Pを設定できることを示せばいいわけです．
>>250がおっしゃっておられるように幾何で論証した方が楽です．座標から計算でいくと計算地獄になります．
なお，3点の場合の問題も出題しましたが，ヒントにはならないと思います．この問題のオリジナルは某数学者のもので，
『半径1の円周にn個の点列A[k](k=1,2,…,n)があるとき，Π[k=1,n]PA[k]≧2をみたす点Pを円周上に必ずとれることを示せ』
という問題でした．これの立体拡張版なわけですが，立体版では平面版に比べてはるかにややこしく，n個の点の場合については私は全く分かりません．私が分かったのは4≦nの場合まで．n=5ですらいまだにさっぱりです．n=5の場合が分かった方は教えて下さい．
- 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/04(火) 02:15:34 ]
- （・∀・） ﾆﾔﾆﾔ…
- 255 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/04(火) 10:01:41 ]
- >>254
＼(^o^)／馬鹿が釣れたw
- 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/04(火) 10:17:00 ]
- >255
またお前か
いつもながら意味がわからん
- 257 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/04(火) 17:50:04 ]
- nは正の整数，xは実数とする．f(x)=x^2+x+1として
{f(x)}^n≦f(|x|^n)3^(n-1)
が常に成り立つことを示せ．
- 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/04(火) 19:19:16 ]
- >>257
x≧0で成り立つことを、チェビシェフの不等式と数学的帰納法で示して
x<0では
f(x)<f(|x|)から、x≧0で成り立つことを用いて示せる。
- 259 名前：258 mailto:sage [2007/12/04(火) 19:22:39 ]
- 最終行は「0<f(x)<f(|x|)」でした。
- 260 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/05(水) 12:25:13 ]
- >>258-259
御名答
- 261 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/05(水) 12:26:36 ]
- rは0＜r＜1をみたす実数とする．xyz座標空間において以下のように表される領域をUとする．
|x|≦1
|y|≦1
|z|≦1
x^2+y^2≧r^2
y^2+z^2≧r^2
z^2+x^2≧r^2
この領域Uを立体とみなしたとき，その表面積S(r)の最大値を求めよ．
- 262 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/05(水) 14:43:58 ]
- マスコミは報道しないが…日本壊滅の危機！？
｢放置すると､日韓関係にﾋﾋﾞ｣ 外国人参政権付与､成立への流れ加速も…公明に各党同調､自民反対派は沈黙､首相次第か
オランダのイスラム原理主義みたいに…日本国内に韓国市が誕生する
search.yahoo.co.jp/search?p=%A5%AA%A5%E9%A5%F3%A5%C0%A4%CE%A5%A4%A5%B9%A5%E9%A5%E0%B8%B6%CD%FD&fr=top_v2&tid=top_v2&ei=euc-jp&search.x=1&x=26&y=15
マスコミが報道しない外国人参政権のカラクリ！
jp.youtube.com/watch?v=pILX1H6eRuU&feature=related
- 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/06(木) 00:43:17 ]
- (1) ∫[0,1]dx/(1+x^2) を求め、Σ[n=0,∞](-1)^n/(2n+1) =π/4 であることを示せ。(省略)
(2) lim[n→∞] n・(π/4-Σ[k=1,n](-1)^k/(2k+1)) を求めよ。
- 264 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/06(木) 01:23:57 ]
- >>263
(1)
成立しない
(2)
与式=lim[n→∞]n(π/4+π/4)=+∞
- 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/06(木) 01:52:23 ]
- >>264
？？？
- 266 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/06(木) 02:15:29 ]
- >>263
出題者がまだ自分のミスに気づいてないな・・・
- 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/06(木) 02:20:48 ]
- >>261
4/3*3.141592…*ｒ に限りなく近く少ない値って事かな？
- 268 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/06(木) 02:36:07 ]
- >267
変数のrがなぜ入ってるんだ？
- 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/06(木) 02:48:22 ]
- 次の式が成り立つような自然数a,b,c,dを見つけよ
1/a + 1/b + 1/7 + 1/c + 1/d = 1
ただし、a<b<7<c<dとする
- 270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/06(木) 02:51:28 ]
- 訂正
a<b<7<c<d<30とする
- 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/06(木) 03:16:32 ]
- >>269
a=2 b=4 c=14 d=28
つまらん
- 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/06(木) 03:33:24 ]
- つまりすぎてもつまらないという不思議
- 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/06(木) 03:57:02 ]
- >>261
(30π+96√2)/(π+4√2)
- 274 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/06(木) 14:21:20 ]
- sは正整数とする．ベクトル{p[n]↑}を以下のように定める．
p[1]↑=(1,s,1+s)
p[2]↑=(s,1+s,1+2s)
p[n+2]↑=p[n+1]↑+p[n]↑
(n=1,2,…)
(1) p[n]↑･p[n+2]↑-|p[n+1]↑|^2=t(-1)^nがすべてのnについて成り立つとき，s,tのみたすべき条件を求めよ．
(2) xyz座標空間において，原点をOとして，点P[n]をOP[n]↑=p[n]↑となるように定める．このとき，線分OP[n]がx軸，y軸，z軸それぞれとのなす角の大きさをa[n],b[n],c[n]とする(0≦a[n]≦π/2,0≦b[n]≦π/2,0≦c[n]≦π/2)．
lim[n→∞](a[n]+b[n]+c[n])を求めよ．
- 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/06(木) 22:36:34 ]
- >274
p[n]↑ = (q[n-2], q[n-1], q[n] )
q[n] = F[n] + F[n+1]*s,
F[n] はフィボナッチ数.
(1)
p[n]↑･p[n+2]↑-|p[n+1]↑|^2 = q[n]^2 - q[n+1]q[n-1],
- 276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/06(木) 22:47:59 ]
- >274
p[n]↑ = (Q[n-1], Q[n], Q[n+1] )
Q[n] = F[n-1] + F[n]*s,
F[n] はフィボナッチ数.
(1)
p[n]↑･p[n+2]↑-|p[n+1]↑|^2 = |Q[n+1]|^2 - Q[n]Q[n+2],
F[n]F[n+2] - |F[n+1]|^2 = (-1)^(n-1),
t = s^2 -s-1.
- 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/07(金) 09:28:14 ]
- >>274
(2)
細かい論証を省くと
lim[n→∞]a[n]=π/5
lim[n→∞]b[n]=π/3
lim[n→∞]c[n]=2π/5
なので求める極限値は14π/15
- 278 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/07(金) 10:25:24 ]
- >>276-277
御名答
- 279 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/07(金) 10:34:17 ]
- 数列{a[n]}は
a[1]=1，a[2]=1，a[3]=2
a[n+3]=a[n+2]+2a[n+1]-a[n]
(n=1,2,…)
このとき，n≧2ならば，a[2n+1]は3つの正の平方数の和で必ず表せることを示せ．
※一般項を求める必要がないとはいえ，4項間なので高校生向けではないかもですが…
- 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/07(金) 14:47:26 ]
- 漸化式を変形すると a[n+3]=5a[n+1]-6a[n-1]+a[n-3] となる。
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 とすると、
f(2x+y+z,x+2y,x+z)=5f(x+y,x+z,z)-6f(x,y,z)+f(x-z,z,y-x+z) という恒等式が成立する。
従ってa[n+1]、a[n-1]、a[n-3]が３つの平方数の和で表せるのなら、a[n+3]も３つの平方数の和で
表せることが示される。
a[1]=1=1+0+0、a[3]=2=1+1+0、a[5]=6=4+1+1、a[7]=19=9+9+1、a[9]=61=36+16+9、a[11]=197=100+81+16
のように、初期の方で成立していることが確かめられるので、数学的帰納法によりに題意は示された
- 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/07(金) 15:00:42 ]
- 書き忘れたが、恒等式で使われている関数の変数はすべて、
x+yを次(左側)の関数のx、x+zを次の関数のｙ、yを次の関数のz という関係にある
- 282 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/07(金) 15:01:33 ]
- >>280
ちょwwwすげwww
- 283 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/08(土) 00:59:03 ]
- 正の整数からなる増加数列{a[n]}に対して，S[n]を
S[n]=Σ[k=1,n]{(-1)^k}/a[k]
と定める．n→∞のときS[n]は収束することを示せ．
- 284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/08(土) 03:30:36 ]
- >283
S[2n] = Σ[k=1,2n-2]{(-1)^k}/a[k] = Σ[K=1,n-1] {-1/a[2K-1] +1/a[2K]} <0, 単調減少.
S[2n+1] = Σ[k=1,2n-1]{(-1)^k}/a[k] = -1/a[1] + Σ[K=1,n-1] {1/a[2K] -1/a[2K+1]} > -1/a[1], 単調増加.
∴ -1/a[1] < S[2n-1] < S[2n+1] < … < S[2n] < S[2n-2] < 0,
∴ S[2n], S[2n+1] はいづれも有界単調列なので, 収束する。
- 285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/08(土) 09:41:04 ]
- >>284
すげーあやしい答えに見えるのは気のせい？
S[2n]とS[2n-1]が同じ極限値に収束することはこれで示されたことになるの？
- 286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/08(土) 15:40:33 ]
- （√3）＾（√3） が無理数である事を示せ。
- 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/08(土) 17:24:01 ]
- >285
0 < S[2n] - S[2n-1] = 1/a[2n] →0, (n→0)
- 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/08(土) 18:14:23 ]
- >>279
b[n] = a[2n+1] −a[n+1]^2 −(a[n+2]-a[n+1])^2 −(a[n+1]-a[n])^2,
とおくと
b[1]=0, b[2]=0, b[3]=0,
また漸化式より
b[n+3] - 5b[n+2] + 6b[n+1] - a[n] = a[2n+7] - 5a[2n+5] + 6a[2n+3] - a[2n+1]
=0, >>280
ゆえ
b[n] =0.
- 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/08(土) 21:35:51 ]
- >>286
ゲルフォント・シュナイダーの定理より超越数
よって無理数
- 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/08(土) 21:49:15 ]
- >>285
交代級数の収束の話だろ常考
- 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/08(土) 22:59:31 ]
- >>290
常考ってなんだよ、(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
- 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/08(土) 23:08:28 ]
- 常考が分らない香具師が紛れ込んでるな
- 293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/08(土) 23:33:04 ]
- >288
右辺に
a[n] = Aα^n + Bβ^n + Cγ^n,
を代入する方法もあるな。まあ、漸化式を使うのと変わらんが。
α,β,γ は特性方程式 t^3 -t^2 -2t+1 =0 の3根,
A=1/{(α-1)(α-β)(α-γ)}, B=1/{(β-1)(β-α)(β-γ)}, C=1/{(γ-1)(γ-α)(γ-β)},
(解法)
t^3 -t^2 -2t+1 = (T^3 -21T+7)/27 = k･{4(cosθ)^3 -3cosθ + 1/(2√7)} = k･{cos(3θ) + 1/(2√7)},
ここに t=(T+1)/3, T=(2√7)cosθ, k=(14√7)/27,
θ = (1/3){π-arccos(1/(2√7))} = 33.631131549710301868494175086623ﾟ
α =-1.2469796037 1746706105 0009768008 5…
β = 0.4450418679 1262880857 7805128993 5…
γ = 1.8019377358 0483825247 2204639014 9…
- 294 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/09(日) 00:20:39 ]
- (1) m,nはm＜nをみたす正の整数とする．何回でも微分可能なxについての関数f(x)は
f(x)＞0，f'(x)＜0，f''(x)＞0をみたす．このとき
Σ[k=m,n]f(k)＜∫[m-1/2,n+1/2]f(x)dx
が成り立つことを示せ．
(2) Σ[k=1,n]1/k-logn≧i/10をみたす整数iの最大値を求めよ．なお，必要ならば，自然対数の底eがe=2.718…であることを用いてもよい．
- 295 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/09(日) 00:44:02 ]
- 誰か>>217を頼む
- 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 02:27:47 ]
- >>288
それを出すなら
【加法公式】
a[m+n+1] = a[m+1]a[n+1] + (a[m+2]-a[m+1])(a[n+2]-a[n+1]) + (a[m+1]-a[m])(a[n+1]-a[n]),
で生姜。
m=n の場合は >288 になる。
証明は >293 で。
- 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 02:58:36 ]
- （１） 連続するk個の整数の積はk ! で割り切れることを示せ。
（２） pは素数, 整数k≦(p+1)/2 のとき (p-(k+1))*(p-(k+2))*....*(p-(2k-1))≡0 (mod k ! ) を証明せよ。
- 298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 04:07:51 ]
- >>290
>>287は余計だという指摘か？
- 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 04:16:12 ]
- >>294
(1) 平均値の定理より
f(x) = f(k) + (x-k)f '(ξ) = f(k) + (x-k){f '(k) + (ξ-k)f "(η)},
(x-k)(ξ-k) ≧0, f ">0 より
f(x) ≧ f(k) + (x-k)f '(k), （← x=kでの接線の上側にある, 下に凸）
両辺をxで積分すると
∫[k-1/2,k+1/2] f(x)dx > f(k),
(2)
f(x)=1/x とおくと (1)より Σ[k=2,n] 1/k < log((2n+1)/3),
Σ[k=1,n] 1/k -log(n) < 1 + log((2n+1)/3n)
nが十分大きいときは
Σ[k=1,n] 1/k - log(n) ≦ 1 + log(2/3) < 3/5 = 6/10,
∵ e^2 = (2.71828…)^2 = 7.389… < 7.59375 = (3/2)^5, log(2/3) < -2/5,
Σ[k=1,n] 1/k = 1/2 + Σ[k=1,n-1] (1/2){1/k + 1/(k+1)} + 1/(2n) > (1/2) + ∫[1,n] (1/x)dx = (1/2) +log(n),
Σ[k=1,n] 1/k - log(n) > 1/2 = 5/10,
よって i=5
- 300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 04:23:58 ]
- >>296
証明は>>293なんて使わなくても片方の変数固定すれば明らか。
- 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 04:25:28 ]
- >>290＝>>292＝あほ
- 302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 05:00:11 ]
-
〔補題〕
k次積 n(n+1)……(n+k-1) は k!で割り切れる。
(略証)
kについての帰納法による。
k=1 のときは明らか。
k>1 のとき
nについての帰納法による。
n=1 のときは明らか。
nを1だけずらして、差を考える。
(n+1)(n+2)…(n+k) - n(n+1)…(n+k-1) = {(n+k)-n}(n+1)…(n+k-1) = k･(n+1)(n+2)…(n+k-1),
帰納法の仮定より、(k-1)次積 (n+1)(n+2)…(n+k-1) は (k-1)! で割り切れる。
∴ (n+1)(n+2)…(n+k) - n(n+1)…(n+k-1) はk!で割り切れる。
nについての帰納法により、k次積 n(n+1)…(n+k-1) もk!で割り切れる。
nから始まるk次積を n(n+1)…(n+k-1) = (n)_k と書いて Pochhammerの記号 とか言うらしい。
- 303 名前：302 mailto:sage [2007/12/09(日) 05:13:51 ]
- >297 (1)
〔補題〕
0≦k≦n のとき k次積 n(n-1)……(n-k+1) は k!で割り切れる。
(略証)
n(n-1)…(n-k+1)/k! = n!/{(n-k)!k!} = C[n,k] とおく。
nについての帰納法による。
C[n+1,0] = C[n+1,n+1] =1.
1≦k≦n のとき
C[n+1,k] = C[n,k] + C[n,k-1] (← Pascalの3角形)
帰納法の仮定よりC[n,*]は自然数だから、C[n+1,k] も自然数。
- 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 14:29:58 ]
- 何で二回も証明してんだ
それも何十回も証明書かれてるものの
- 305 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/09(日) 16:11:56 ]
- kは1≦kをみたす整数とする．整数nをk≦nの範囲で動かしたとき，二項係数C[n,k]が素数pで割り切れるようなnの集合をA[p,k]とする．
A[p,k]の要素を小さいものから並べると等差数列になるためのkのみたすべき必要十分条件を求めよ．
- 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 22:59:16 ]
- >>297
（２）は下の(2)と同じですな。
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/210
210 名前：MASUDA ◆wqlZAUTQF. [sage] 投稿日：2007/07/14(土) 03:30:17
C[n,r]は二項係数である。
(1) n≧2とする。『nが素数ならば、1≦r≦n-1を満たす任意のC[n,r]はnで割り切れる。』は真であるといえるか。
(2) nを3以上の奇数とする。『1≦r≦(n-1)/2を満たす任意のC[n-r,r]がn-rで割り切れることとnが素数であることは互いに必要かつ十分』は真であるといえるか。
- 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 23:43:51 ]
- θを実数全体を動くとするとき
(sinθ)^3+(cosθ)^3
の最大値、最小値を求めよ
- 308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 23:56:43 ]
- sin1が無理数であることを示せ。
- 309 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/10(月) 00:33:06 ]
- >>307
アステロイドとx+y=kの交点調べて[-1,1]
>>308
京大のパクリ
- 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/10(月) 00:47:53 ]
- ん？
- 311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/10(月) 08:22:56 ]
- ﾏｼﾞな話ですが、東大受験生を家庭教師してます。
今年で新課程３年目ですが、そろそろ新課程色が出そうな気がします。
１次変換、微分方程式といった所はどうなんでしょう？
皆さんのご意見をお伺いしたいです。
- 312 名前：311 mailto:sage [2007/12/10(月) 08:24:07 ]
- × 今年で
○ 今度で
- 313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/10(月) 08:34:00 ]
- 1次変換は出るかもな。
東大の傾向としては抽象的な性質を問うものよりも、
点を回転させて極限か面積・領域などと絡めるタイプだろう。
微分方程式は基本的に範囲外なのでまず出ない。
- 314 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/10(月) 08:54:09 ]
- 微分方程式は京大だけだろな。東大は範囲に忠実だし。
- 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/10(月) 21:57:57 ]
- 微分方程式チックな問題って、後期の総合科目IだかIIだかではバリバリ出るんじゃマイカ
- 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/10(月) 23:20:43 ]
- モノグラフの微分方程式で勉強した思ひ出
今の課程でも微分方程式を取り扱ってる問題集はほとんどないんだろうな
- 317 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/10(月) 23:35:16 ]
- >>316
そーでもないよ。チャート式には微分方程式ある
- 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/10(月) 23:41:26 ]
- >>309
>>308はsin1°ではなくてsin1
- 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/11(火) 00:53:03 ]
- 微分方程式か．．．
僕が工房の頃は、線形２階定数係数くらいはやってた気がする。
数列の隣接３項間漸化式、行列のｎ乗計算と同じ解き方ができるんで
感動した記憶がある。
- 320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/11(火) 01:05:12 ]
- 安い感動・・・
- 321 名前：296 mailto:sage [2007/12/11(火) 01:14:52 ]
- >>300 念のため…
【加法公式】
a[n]の隣接する4項の間に斉一次な漸化式が成立つとき、適当な対称行列C[i,j]があって
a[m+n+1] = Σ[i,j=1〜3] a[m+i-1]･C[i,j]･a[n+j-1],
(略証)
m=-1,0,1 のとき右辺は
Σ[j=1,3] {Σ[i=1,3] a[i-2]･C[i,j]} a[n+j-1],
Σ[j=1,3] {Σ[i=1,3] a[i-1]･C[i,j]} a[n+j-1],
Σ[j=1,3] {Σ[i=1,3] a[i ]･C[i,j]} a[n+j-1],
これが a[n], a[n+1], a[n+2] と一致することを示そう。
対称行列Aを A[m+2,i] = a[m+i-1] とおく。(i=1〜3, m=-1〜1)
また、C = A^(-1) とおくと
Σ[i=1,3] a[m+i-1]･C[i,j] = Σ[i=1,3] A[m+2,i]･C[i,j] = δ_(m+2,j), (j=1〜3, m=-1〜1)
だから 上の3式は a[n], a[n+1], a[n+2] に一致する。
さらに、a[n]の隣接する4項の間には斉一次な漸化式が成立つから、すべての整数mについて成立つ。(終)
- 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/11(火) 11:49:13 ]
- >>321
あとで演算子法に繋がる。
- 323 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/11(火) 13:02:27 ]
- (1) a,bは正の実数とする．xyz座標空間に3点
P(a,0,p)，Q(0,0,q)，R(0,b,r)
がある．△PQRが鈍角三角形となるためのp,q,rのみたすべき必要十分条件を求めよ．
(2) 立方体を平面でどのように切断しても，その切断面は正５角形にならないことを示せ．
- 324 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/11(火) 13:24:35 ]
- >>323
(2) 立方体の断面となる 5 角形は 2 組の辺が平行だが、
正 5 角形の辺で平行なものはない。
- 325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/12(水) 09:20:25 ]
- >>308
eの無理数性と同様にテイラー展開を使うと見た
ここの問題って実際の入試に出されるとクレームがつきそうだよね
- 326 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/12(水) 10:15:12 ]
- 綺麗な誘導問題がついてこそ東大だよな
- 327 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [2007/12/12(水) 11:02:52 ]
- iを虚数単位√(-1)，a,bを正の整数とする．
(1+i)^a*(1+i√3)^b
が実数であるときの値をf(a,b)とする．
(1) (1+i)^4，(1+i√3)^3の値を求めよ．
(2) |f(a,b)|の最小値を求めよ．
(3) 2log[2]|f(a,b)|がとりえない正の整数の個数を求めよ．
- 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/12(水) 11:09:25 ]
- 6173
- 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/12(水) 12:44:46 ]
- >>328
どう考えてもそんなにないだろwww
- 330 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/12(水) 15:08:48 ]
- ∫[0→π]{(sin(nx))/sinx}^2 dx nは自然数
- 331 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/12(水) 15:18:35 ]
- ∫[0→π/2]{(sin(2008x))/sinx}^2 dx=1004π
- 332 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/12(水) 16:00:27 ]
- Σ[k=0~n]C[3n,3k]を簡単にせよ。
- 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/12(水) 16:51:15 ]
- (2^{3n}+((1+√3i)/2)^{3n}+((1-√3i)/2)^{3n})/3 は簡単ですか？
- 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/12(水) 17:02:04 ]
- >>329
ばかます
- 335 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/12(水) 18:40:55 ]
- >>327
無限にあると思うが
- 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/12(水) 18:54:37 ]
- 6173はどっからでてきたかわかんないけど
|f(a,b)|=|(-4)^n*(-8)^m|=2^(2n+3m)
となるから無数だね
益田さん、対数の前の2は何ですか？これなかったら5個と求まりますが
- 337 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/12(水) 21:19:47 ]
- 馬鹿が釣れたｗ
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